高二复习专题一 3、4节

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高二数学复习考点知识精讲与练习4 等比数列的前n项和公式

高二数学复习考点知识精讲与练习专题4 等比数列的前n项和公式【考点梳理】考点一等比数列的前n项和公式考点二等比数列前n项和的性质1．数列{a n}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，S n为其前n项和，则S n，S2n－S n，S3n－S2n仍构成等比数列．2．若{a n}是公比为q的等比数列，则S n＋m＝S n＋q n S m(n，m∈N*)．3．若{a n}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，S偶S奇＝q；②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝a1＋a2n＋1q1－(－q)＝a1＋a2n＋21＋q(q≠－1)．考点三：等比数列前n项和的实际应用1．解应用问题的核心是建立数学模型．2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．3．注意问题是求什么(n ，a n ，S n )．注意：(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答． (2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n 计算准确． (3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．(4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．【题型归纳】题型一：等比数列前n 项和公式的基本运算1．（2022·江苏南通·高二期末）已知等比数列{}n a 的前6项和为1894，公比为12，则6a =（） A ．738B ．34C ．38D ．242．（2022·河南商丘·高二期中（理））已知正项等比数列{}n a 中，22a =，48a =，数列{}2n n a a ++的前n 项和为n S ，则62SS =（）A ．32B ．21C ．16D ．83．（2022·全国·高二课时练习）设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，3412a a +=，则公比q 等于（）．A ．1B ．2C ．3D ．4题型二：等比数列的判断和性质的应用4．（2022·全国·高二课时练习）设等比数列{}n a 前n 项和为S n ，若S 3＝8，S 6＝24，则a 10＋a 11＋a 12＝（） A ．32B ．64 C ．72D ．2165．（2022·广西·田东中学高二期末（理））已知数列{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若1234a a a ++=，4568a a a ++=，则12S =（） A ．40B ．60C ．32D ．506．（2020·四川·双流中学高二期中（理））设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若423S S =，则64S S =（） A ．2B ．73C ．310D ．12或题型三：等比数列奇偶项和的性质7．（2020·河南·高二月考（理））已知等比数列{}n a 共有32项，其公比3q =，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{}n a 的所有项之和是（） A ．30B ．60C ．90D ．1208．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++=，24242k a a a +++=，则k =（）A ．2B ．3C ．4D ．59．（2022·全国·高二课时练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（） A ．8，2B ．2，4C ．4，10D ．2，8题型四：等比数列中an 与Sn 的关系10．（2022·全国·高二课时练习）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n n S a =-，则2020S =（）A ．202021-B ．202121-C ．2020122⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2021122⎛⎫- ⎪⎝⎭11．（2022·宁夏·六盘山高级中学高二月考（理））已知数列{}n a 的前n 项和112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，那么数列{}n a （） A ．是等差数列但不是等比数列 B ．或者是等差数列，或者是等比数列 C ．是等比数列但不是等差数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列12．（2020·江苏·高二专题练习）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，121n n S S +=+，则6S =（）A ．63B ．127C ．128D ．256题型五：等比数列的简单应用13．（2022·甘肃·西北师大附中高二期中（理））中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么请问此人前两天所走的里程为（） A ．189里B ．216里C ．288里D ．192里14．（2022·全国·高二课时练习）为全力抗战疫情，响应政府“停课不停学”的号召，某市中小学按照教学计划，开展在线课程教学和答疑．某高一学生家长于3月5日在某购物平台采用分期付款的形式购买了一台价值m 元的平板电脑给学生进行网上学习使用，该平台规定：分12个月还清，从下个月5日即4月5日开始偿还，每月5日还款，且每个月还款钱数都相等．若购物平台的月利率为p ，则该家长每月的偿还金额是（）A ．12m 元B ．()()1212111mp p p ++-元C ．()12112m p +元D ．()()1313111mp p p ++-元 15．（2022·北京朝阳·高二期末）光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置.表达光圈的大小我们可以用光圈的F 值表示，光圈的F 值系列如下：F 1，F 1.4，F 2，F 2.8，F 4，F 5.6，F 8，…，F 64.光圈的F 值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F 8调整到F 5.6，进光量是原来的2倍.若光圈从F 4调整到F 1.4，则单位时间内的进光量为原来的（） A ．2倍B ．4倍C ．8倍D ．16倍【双基达标】一、单选题16．（2022·河南·高二期中（文））n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且33a =，26S =，则5a 的值为（）A ．34B ．3或12C ．3或34D ．12或3417．（2022·河南商丘·高二期中（理））在正项等比数列{}n a 中，512a =，673a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则满足1n n S a T +>的最大正整数n 的值为（） A ．11B ．12 C ．13D ．1418．（2022·江西·九江市第三中学高二期中（理））若{}n a 是等比数列，已知对任意*n N ∈，2121n n a a a ++=-，则2222123n a a a a ++++=（）A ．2(21)n -B ．121(2)3n -C ．41n -D ．1(41)3n -19．（2022·全国·高二课时练习）等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝1，a 4＝4，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝（）A ．2n－1B ．413n -C ．()143--nD ．()123n--20．（2022·江西·景德镇一中高二期中（文））已知数列{}n a 满足11a =，若1114()n n nn N a a ++-=∈，则数列{}n a 的通项n a =（） A ．341n -B ．431n -C ．413n -D ．314n -21．（2022·河南洛阳·高二期中（文））已知等比数列{}n a 的前n 项和为21nn S a b =⋅+-，则44a b +的最小值为（） A ．2B．．4D ．522．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列{}n a 中，已知42S =，86S =，17181920a a a a +++=（）A ．32B ．16C ．35D ．16223．（2022·全国·高二课时练习）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若存在*m ∈N ，满足29m mS S =，2511m m a m a m +=-，则m 的值为( )A ．-2B ．2C ．-3D ．324．（2022·全国·高二课时练习）某人于2020年6月1日去银行存款a 元，存的是一年定期储蓄，2022年6月1日将到期存款的本息一起取出再加a 元之后还存一年定期储蓄，此后每年的6月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行定期储蓄的年利率r 不变，则到2025年6月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有（）A ．()41a r +元B ．()51a r +元C ．()61a r +元D ．()()611a r r r⎡⎤+-+⎣⎦元 25．（2022·江苏·高二单元测试）设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列．已知数列{}n n a b +的前n 项和()2*51N n n S n n =+-∈，则d q -=（）A ．3-B ．1-C ．2D ．4【高分突破】一：单选题26．（2022·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知等比数列{a n }的首项为1，公比为2，则a 12+a 22+⋯+a n 2＝（） A ．（2n ﹣1）2B ．()1213n -C ．4n ﹣1D ．()1413n - 27．（2022·全国·高二学业考试）已知一个项数为偶数的等比数列{}n a ，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则1a =（） A ．1B ．4 C ．12D ．3628．（2022·全国·高二单元测试）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()112322n n n a a n ---=⋅≥，且1232a a =.记n T 为数列1nn a S ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，若对任意*n ∈N ，n T m <，则m 的最小值为（） A ．3B ．13C ．2D ．1229．（2022·全国·高二单元测试）在正项数列{}n a 中，首项12a =，且()()22*12,,2n n a a n n -∈≥N 是直线80x y -=上的点，则数列{}n a 的前n 项和n S =（） A ．()122n--B ．122n +-C ．12n +D ．122n-30．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二月考）公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米.所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.001米时，乌龟爬行的总距离为（）A ．61019000-米B ．410190-米C ．510990-米D ．5101900-米31．（2022·全国·高二课时练习）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝（） A ．29B ．31C ．33D ．3632．（2022·全国·高二课时练习）若正项等比数列{}n a 满足13116a a =，4322a a a +=，则()1121111n n nS a a a +=-++-=（）A ．()2123n ⎡⎤+-⎣⎦B ．()2123n -C ．()2123n +D ．()2123n⎡⎤--⎣⎦33．（2022·广西·崇左高中高二月考）已知{}n a 是公比不为1的等比数列，n S 为其前n 项和，满足2021201920192020a a a a -=-，则下列等式成立的是（）A ．2202020212019S S S =B ．2020202120192S S S +=C ．2201920212020S S S =D ．2019202120202S S S +=34．（2022·全国·高二课时练习）如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（）A ． 3． 213． 853D ． 3413二、多选题35．（2022·江苏苏州·高二期中）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，若5432a a a +=，且存在两项m a ，n a ，使得14m n a a a =，则（） A ．12n n a a +=B ．12n n S a a =-C ．5mn =D ．6m n +=36．（2022·全国·高二课时练习）n S 是数列{}n a 的前n 项的和，且满足11a =，12n n a S +=，则下列说法正确的是（） A ．{}n a 是等比数列 B ．1123n n a -+=⨯C ．{}n a 中能找到三项p a ，q a ，r a 使得p q r a a a =D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和74n T <37．（2022·江苏·高二单元测试）已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（）A ．若2q ，则n n T S =B ．若2q >，则n n T S >C ．若14q =-，则n n T S >D ．若34q =-，则n n T S <38．（2022·全国·高二单元测试）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且214S a =，2a 是11a +与312a 的等差中项，数列{}n b 满足1n n n n a b S S+=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列命题正确的是（）A ．数列{}n a 的通项公式为13-=n n aB ．31n n S =-C ．数列{}n b 的通项公式为()()1233131nn nn b +⨯=--D ．n T 的取值范围是11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭39．（2022·全国·高二课时练习）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数H ，使得对任意的*n ∈N ，都有n S H <，则称数列{}n a 为“和有界数列”．下列说法正确的是（） A ．若数列{}n a 是等差数列，且公差0d =，则数列{}n a 是“和有界数列” B ．若数列{}n a 是等差数列，且数列{}n a 是“和有界数列”，则公差0d = C ．若数列{}n a 是等比数列，且公比q 满足1q <，则数列{}n a 是“和有界数列” D ．若数列{}n a 是等比数列，且数列{}n a 是“和有界数列”，则公比q 满足1q <40．（2022·全国·高二单元测试）已知数列{}n a 满足11a =，()*1N 23n n naa n a +=∈+，则下列结论正确的是（）A ．13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列B ．{}n a 的通项公式为1123n n a -=- C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2234n n T n +=--三、填空题41．（2022·全国·高二课时练习）数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________.42．（2022·全国·高二课时练习）设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，则公比q ＝________.43．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列{a n }的公比为12-，则135246a a a a a a ++++的值是________.44．（2022·江西·景德镇一中高二期中）在数列{}n a 及{}n b中，1n n n a a b +=+1n n n b a b +=+11a =，11b =．设11n n nc a b =+，则数列{}n c 的前2022项和为__________．45．（2022·全国·高二课时练习）等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项的和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝______.四、解答题46．（2022·河南商丘·高二期中（文））已知正项数列{}n a 满足19a =，()12n n n a a a +=+，设()lg 1n n b a =+．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设1n n c a =+，数列{}n c 的前n 项积为n S ，若lg n n S b λ<恒成立，求实数λ的取值范围．47．（2022·河南商丘·高二期中（文））设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知636S =，且2a 是1a ，5a 的等比中项．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =⨯，求数列{}n b 的前n 项和n T ．48．（2022·陕西·延安市宝塔区第四中学高二月考）已知数列{}n a 的前n 项和S n ＝2n ＋1＋A ，若{}n a 为等比数列.（1）求实数A 及{}n a 的通项公式；（2）设b n ＝log 2a n ，求数列{a n b n }的前n 项和T n .49．（2022·河南洛阳·高二期中（理））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，211n n n S S a +++=，数列{}n b 满足12b =，2112na n nb b ++⋅=. （1）求证{}n a 为等差数列；（2）求证：12122n na a ab bb ++⋅⋅⋅+<.50．（2022·甘肃省民乐县第一中学高二期中（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111,1(*)n n a a S n N +==+∈，数列{}n b 满足11b =，12n n n b a b +=+．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足1nn n n ac b b +=，求证：1212n c c c +++<．【答案详解】1．B解：根据题意，等比数列{}n a 的前6项和为1894，公比为12，则有616(1)18914a q S q -==-，解可得124a =，则56134a a q ==；故选：B ． 2．B 【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q，则2q ==，所以，()()()()()()()66111263486421234112412635121221151212a a a a a a a a SS a a a a a --++++++++⨯--====+++--. 故选：B. 3．B解：由题意，正项等比数列{}n a 中，因为23S =，3412a a +=，所以()121221234331212a a a a q a a a a +=+=⎧⎧⇒⎨⎨+=+=⎩⎩，解得24q =．因为0q >，所以2q ．故选：B 4．B【详解】由于S 3、S 6－S 3、S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，S 3＝8，S 6－S 3＝16，故其比为2，所以S 9－S 6＝32，a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 9＝64．故选：B ． 5．B 【详解】由等比数列的性质可知，数列36396129,,,S S S S S S S ---是等比数列，即数列4，8，96129,S S S S --是等比数列，因此9661291216,12,32,32161260S S S S S S -==-==++=．故选:B. 6．B 【详解】设24,3S k S k ==，由数列{}n a 为等比数列(易知数列{}n a 的公比1q ≠-)，得24264,,S S S S S --为等比数列又242,2S k S S k =-=644S S k ∴-= 67,S k ∴=647733S k S k ∴== 故选：B ． 7．D 【详解】设等比数列{}n a 的奇数项之和为1S ，偶数项之和为2,S则311531a a S a a =++++，()2463213531123a a a a q a a a a S S ++++=++++==又1260S S +=，则11603S S +=，解得1230,90S S ==，故数列{}n a 的所有项之和是3090120+=. 故选：D 8．B 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则132112285k k a a a a a a q q +++++++==，即()2285184k q a a ++=-=，因为24242k a a a +++=，所以2q，则()21123221112854212712k k k a a a a a ++⨯-+++++=+==-，即211282k +=，解得3k =，故选：B. 9．D解：设等比数列项数为2n 项，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，根据题意得：S 奇＝85，S 偶＝170， ∴q S S ==偶奇2，又a 1＝1，∴S 奇()21211na q q -==-85，整理得：1﹣4n ＝﹣3×85，即4n ＝256，解得：n ＝4，则这个等比数列的项数为8．故选D ． 10．A 【详解】依题意21n n S a =-，当n=1时，a 1=2a 1-1，解得a 1=1；当2n ≥时，由21n n S a =-得1121n n S a --=-，两式相减，得1122n n n n S S a a ---=-，即12n n a a -=，所以12nn a a -=()2n ≥，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n na ，202020202020122112S -==--. 故选：A . 11．C解：数列{}n a 的前n 项和112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴当2n 时，1111112212nn nn n n a S S -- ⎡⎤=-=--=-⎢⎥⎢⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎪⎝⎝⎭⎝⎣⎭⎥⎦，当1n =时，1111122a S ==-=-，上式也成立．∴12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得112n n a a -=，∴数列{}n a 是首项为12-，公比为12的等比数列，但不是等差数列．故选：C ．12．A在121n n S S +=+中，令1n =，得23S =，所以22a =．由121n n S S +=+得2121n n S S ++=+，两式相减得212n n a a ++=，即212n n a a ++=，又11a =，212a a =，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以66126312S -==-. 故选：A ． 13．C 【详解】由题意，记每天走的路程为{}n a 是公比为12的等比数列，又由6161[1()]2378112-==-a S ，解得1192a =，所以11192()2-=⨯n n a ，则21192()962a =⨯= 故前两天所走的路程为：192+96=288 故选：C 14．B 【详解】设每月的偿还金额都是a 元，则()()()()122111111m p a a p a p a p +=+++++++，即()()()121211111a p m p p ⎡⎤-+⎣⎦+=-+，解得()()1212111mp p a p +=+-．故选：B 15．C 【详解】由题可得单位时间内的进光量形成公比为12的等比数列{}n a ，则F 4对应单位时间内的进光量为5a ，F 1.4对应单位时间内的进光量为2a ，从F 4调整到F 1.4，则单位时间内的进光量为原来的258a a =倍.故选：C. 16．C 【详解】设公比为q ，则211136a q a a q ⎧=⎨+=⎩解得12q =-或1q =，故25334a a q ==或53a =．故选：C. 17．B 【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则()25267556a q q a a q qa a ++==+=，即260q q +-=，0q >，则2q，514132a a q ∴==，所以，()11221321232n n nS --==-，()()211112122121122232nn n n n n n n n T a a a a --+++-⎛⎫=⋅⋅⋅=⋅=⋅= ⎪⎝⎭，因为1n n S a T +>，即211221123232n nn--+>，即2115222n n n -->，即213100n n -+<，n <，因为1112<，则25122<<，因此，满足条件的正整数n 的最大值为12. 故选：B. 18．D 【详解】因为对任意*n N ∈，2121n n a a a ++=-①，当1n =时，11a =，当2n ≥时，211121n n a a a --++=-②，①-②得11222n n n n a ---==，满足11a =，则()221124n n n a --==，即{}2n a 是首项为1，公比为4的等比数列，所以()22221231141(41)143n n n a a a a ⨯-++++==--. 故选：D. 19．B 【详解】由a 1a 2a 3＝1得321,a =∴a 2＝1，又a 4＝4，故q 2＝4，所以a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝1414n--＝413n -. 故选：B20．A 【详解】根据题意，由1114n n n aa +-=，得12121321111111444n nn a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得()114141144143n n n a a -⨯---==-，因11a =，所以1413n n a -=，即341n n a =-.故选：A. 21．C 【详解】当1n =时，1121a S a b ==+-，当2n ≥时，11121221n n n n n n a S S a b a a b ---==⋅+--⋅⋅--+=从而22a a =，34a a = 因为{}n a 是等比数列所以公比322a q a ==，且212a a a ==，即21ab a +-=，即1a b += 所以444a b ≥==+，当且仅当44a b =，即12a b ==时，等号成立所以44a b +的最小值为4 故选：C 22．A 【详解】解：由等比数列前n 项和的性质知，当数列依次每k 项和不为0时，则依次每k 项和仍成等比数列，所以4S ，84S S -，128S S -，1612S S -，2016S S -成等比数列，且公比为4q ．又441232S a a a a =+++=，484567844S S a a a a S q -=+++==，所以42q =，所以16201617181920432S S a a a a S q -=+++==．故选：A 23．D 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ．当1q =时，21122m m S ma S ma ==与29m m S S =矛盾，不合乎题意；当1q ≠时，()()2122111119111m m m m m m m a q S q q q S qa q q---===+=---，则8mq =，又2511m mma m q a m +==-，即5181m m +=-，解得3m =．故选：D. 24．D设此人2020年6月1日存入银行的钱为1a 元，2022年6月1日存入银行的钱为2a 元，以此类推，则2025年6月1日存入银行的钱为6a 元，那么此人2025年6月1日从银行取出的钱有()6a a -元．由题意，得1a a =，()21a a r a =++，()()2311a a r a r a =++++，……，()()()()()5432611111a a r a r a r a r a r a =++++++++++，所以()()()256111a a a r r r ⎡⎤-=++++++⎣⎦()()()()()561111111r r a r r r a r ⎡⎤+-+⎣⎦⎡⎤=+-++⋅⎣-=⎦．故选：D ． 25．A 【详解】设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，则()()1211111,222111n n n n b q n n db d d q A a n a n n B q q q --⎛⎫=+=-+==-⎪---⎝⎭（1q ≠），若1q =，则1n B nb =，则2211()5122n n n n dd S A n B a n n nb =+==+++--，显然没有出现5n ，所以1q ≠，所以21121221511n n b n b q d d a n n q q ⎛⎫-++-+= ⎪--⎝-⎭，由两边的对应项相等可得110,1,5,1221bd d a q q -====--，解得111,2,5,4a d q b ====，所以3d q -=-. 故选：A 26．D 【详解】由等比数列的定义，11122n n n a --=⋅=故222124n n n n b a --===由于112144,104n n n n b b b ---===≠ 故{}n b 是以1为首项，4为公比的等比数列a 12+a 22+⋯+a n 2＝1(14)41143nn ⋅--=-故选：D 27．C 【详解】由题意可得所有项之和S S +奇偶是所有偶数项之和S 偶的4倍，所以，4S S S +=奇偶偶，故13S S =奇偶设等比数列{}n a 的公比为q ，设该等比数列共有()2k k N *∈项，则()242132113k k S a a a q a a a qS S -=+++=+++==奇奇偶，所以，13q =，因为3212364a a a a ==，可得24a =，因此，2112aa q ==.故选：C. 28．B解：由()112322n n n a a n ---=⋅≥，得()111322424n n n n a a n --=⋅+≥，∴()111112242n n n n a a n --⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭. 又由()112322n n n a a n ---=⋅≥，得2126a a -=，又1232a a =，∴13a =.所以111122a -=， ∴数列12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，14为公比的等比数列，则12111112242n n n n a --⎛⎫⎛⎫-=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()12122122n n n nn a --=+=+，∴()()231111212112122222221221212nn nn n n n S --⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=+=⋅- ⎪-⎝⎭-，∴111112222232n n n n n n na S --==+++⋅-⋅.∴+12111111111122113222332312n n n n T ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+=⨯=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-. ∵对任意*n ∈N ，n T m <，∴m 的最小值为13. 故选：B. 29．B 【详解】在正项数列{}n a 中，12a =，且()2212,n n a a -是直线80x y -=上的点，可得22128n n a a -=，所以12n n a a -=，可得数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则{}n a 的前n 项和()12122212n n n S +-==--.故选：B 30．A由题意，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{}n a ，其中11100,10a q ==，且30.00110n a -==，所以乌龟爬行的总距离为3611110010(1)101101119000110nn n a a qa q S q q---⨯---====---. 故选：A. 31．B 【详解】由题意，231136112522a q a a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，则3161214a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得q 3＝18， ∴q ＝12，a 1＝16，∴S 5＝551116[1()](1)231112a q q--==-. 故选：B 32．D 【详解】由题意，2132116a a a ==，得214a =.令{}n a 的公比为0q >，由4322a a a +=，得2210q q +-=，得12q =，∴112a =，∴12n na =，令()111n n n b a +=-，则()2nn b =--，∴()()()12212212123nn n n S b b b ⎡⎤--⎣⎦⎡⎤=++⋅⋅⋅+==--⎣⎦--，故选：D. 33．B 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q (q ≠1)，又2021201920192020a a a a -=-，即201920129290120a a q a q -=+，而20190a ≠，则220q q +-=，解得2q =-，则201911201923a a S +⋅=，2019112020223a a S -⋅=，2019112021423a a S +⋅=，10a ≠，20192019201922111111202020212019(22)(42)(2)99a a a a a a S S S -⋅⋅+⋅+⋅=≠=，A 不正确；20192020202120192019201911111122422223323a a a a S a S a S -⋅+⋅+⋅=+==+，B 正确；20192019201922111111201920212020(2)(42)(22)99a a a a a a S S S +⋅⋅+⋅-⋅=≠=，C 不正确；2019201920191111201920212020112422523323a a a a a a S S S +⋅+⋅+⋅=+=+≠，D 不正确.故选：B 34．D 【详解】根据三角形中位线的性质可知：这五个正三角形的边长形成等比数列{}n a ：前5项分别为：2，1，12，14，18，所以这五个正三角形的面积之和为22222222461111112121248222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦51414114⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-，故选：D ． 35．BD 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，且0q >因为5432a a a +=，即4321112a q a q a q +=化简得：221q q +=解得：12q =或1q =-（舍去）对A ，因为12q =，所以112n n a a +=，故A 错误；对B ，1111112211112nn n n n a a a a q a a q S a a q q ---====----，故B 正确；对C，因为1a，即1a =，化简得：2214m n q+-=，又12q =解得6m n +=，当2m =，4n =时，8mn =，故C 错误；对D ，由C 知，6m n +=，故D 正确. 故选：BD. 36．BD 【详解】当1n =时，211222a S a ===；当2n ≥时，由12n n a S +=可得12n n a S -=，两式相减得12n n n a a a +=-，所以13n n a a +=，且2123aa =≠，则数列{}n a 从第二项开始成以3为公比的等比数列，则222323n n n a a --=⋅=⨯，所以21,1,23,2,n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩则1123n n a -+=⨯，所以A 选项错误，B 选项正确．由题意可知，数列{}n a 为单调递增数列，设p q <，若在数列{}n a 中能找到三项p a ，q a ，r a ，使得p q r a a a =，则r q p >>且p ，q ，*r ∈N ，若1p =，则p r a a =，这与数列{}n a 单调递增矛盾，若2p ≥，则224323292p q p q p q a a --+-=⨯⨯⨯=⨯，232r r a -=⨯，由p q r a a a =，可得42322p q r +--⨯=，由于432b q +-⨯能被3整除，22r -不能被3整除，故C 选项错误；因为21,1,11,2,23n n n a n -=⎧⎪=⎨≥⎪⨯⎩所以11T =；当2n ≥时，122111111113137231111112232323434413n n n n T ---⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=++++⋅⋅⋅+=+=+-<+= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭-，故选项D 正确．故选：BD 37．AB 【详解】由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110a S =>，0q ≠，当1q =时，10n S na =>，符合题意；当1q ≠时，()1101n n a q S q-=>-，即101nq q->-，等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩，对于1010n q q ⎧->⎨->⎩，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以(1,0)(0,1)q ∈-⋃，对于1010n q q ⎧-<⎨-<⎩可得：1q >.综上所述，q 的取值范围是(1,0)(0,)-+∞；因为2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2311(2)22n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0n S >，且(1,0)(0,)q ∈-⋃+∞，所以，当12q =-或2q 时，0n n T S -=，即n n T S =，故A选项正确.当112q -<<-或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故B 选项正确，D 选项错误. 当12(0)2q q -<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <，故C 选项错误；故选：AB. 38．BD 【详解】A ：由214S a =可得213a a =，所以等比数列{}n a 的公比3q =，所以113n n a a -=⨯. 由2a 是11a +与312a 的等差中项，可得2131212a a a =++，即()2111123132a a a ⨯=++⨯，解得12a =，所以123n n a -=⨯，所以A 不正确； B ：()()1121331113nnnn a q S q-⨯-===---，所以B 正确；C ：()()111123111331313131n n n n n n n n n a b S S -+++⨯⎛⎫===- ⎪⋅----⎝⎭，所以C 不正确；D ：12n n T b b b =++⋅⋅⋅+1223111111111111113333231313131313131n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以数列{}n T 是递增数列，得11110326n T T ⎛⎫≤<⨯-= ⎪⎝⎭，所以1186n T ≤<，所以D 正确.故选：BD. 39．BC【详解】若数列{}n a 是公差为d 的等差数列，则211(1)()222n n n d d dS na n a n -=+=+-，当0d =时，若10a ≠，则1n S a n =⋅，n S 是n 的一次函数，不存在符合题意的H ，A 错误；数列{}n a 是“和有界数列”，当0d ≠时，n S 是n 的二次函数，不存在符合题意的H ，当0d =，10a =时，存在符合题意的H ，B 正确；若数列{}n a 是公比为(1)≠q q 的等比数列，则1(1)1-=-n n a q S q，因q 满足1q <，则||1n q <，即|1|2nq -<，11|||||1|2||11n n a a S q qq=⋅-<--，则存在符合题意的实数H ，即数列{}n a 是“和有界数列”，C 正确；若等比数列{}n a 是“和有界数列”，当1q =-时，若n 为偶数，则0n S =，若n 为奇数，则1n S a =，即1=n S a ，从而存在符合题意的实数H ，D 错误. 故选：BC 40．AD 【详解】因为123nn n a a a +=+，所以112323n nn n a a a a ++==+，所以111323n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且11340a +=≠，所以13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2为公比的等比数列，即11342n na -+=⨯，所以1231n na +=-，可得1123n n a +=-，故选项A 正确，选项B 不正确；因为1231n na +=-单调递增，所以1123n n a +=-单调递减，即{}n a 为递减数列，故选项C 不正确；1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()()()()2312132323232223n n n T n ++=-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+- 22122323412nn n n +-=⨯-=---．故选项D 正确；故选：AD ． 41．2n －1(n ∈N *) 【详解】a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即21232112,2,2n n n a a a a a a ---=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩ 各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2，故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1(n ∈N *). 又1n =时，11a =符合a n ＝2n －1 故答案为：2n －1(n ∈N *). 42．12 【详解】由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，得210(S 30－S 20)＝S 20－S 10.∴302010201012S S S S -=-，∵数列{a n }是等比数列∴10302021222330201011121320S S a a a a q S S a a a a -++++==-++++ 故101012q =，解得：12q =± 因为等比数列{a n }为正项数列，所以0q >，故12q = 故答案为：12 43．2- 【分析】由等比数列的通项公式与性质求解即可【详解】∵等比数列{a n }的公比为12-，则()1351352461352a a a a aa a a a q a a a ++++==-++++.故答案为：2-44．4042. 【详解】由1n n n a a b +=+1n n n b a b +=+ 两式相加可得：()112n n n n a b a b +++=+，故数列{}n n a b +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2nn n a b +=；两式相乘可得：()()222112n n n n n n n n a b a b a b a b ++⋅=+-+=⋅，故数列{}n n a b ⋅是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n n n a b -⋅=，故112n nn nn n n a b c a b a b ⎛⎫+=+==⎪⋅⎝⎭，故数列{}n c 的前2022项和为2021202124042S =⨯=，故答案为：4042 45．32 【详解】当q ＝1时，显然不符合题意；当q ≠1时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴a 8＝14×27＝32. 故答案为：32 46．（1）12n n b -=（2）[)2,+∞ （1）由已知可得()2111++=+n n a a ，所以()()1lg 12lg 1++=+n n a a ，即12n n b b +=，又()()11lg 1lg 191b a =+=+=，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n b -=．（2）由（1）可知()1lg 12n n n a b -=+=，所以12101n n a -=-，12110n n n c a -=+=．所以021112222122212122101011010100n nn n n S c c c --+++⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅=⋅．lg n n S b λ<即1212n n λ--<，即1122n λ->-，因为1122n --关于n 单调递增，而11222n --<且无限接近于2，所以实数λ的取值范围是[)2,+∞． 47．（1）21n a n =-（2）()12326n n T n +=-⨯+（1）设{}n a 的公差为d （0d ≠）．由题可知()()1211165636,24,a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩所以{}n a 的通项公式为()12121n a n n =+-=-．（2）由（1）可知()212nn b n =-⨯，所以()()231123252232212n nn T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯…①()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯…②①－②得()()23122222212n n n T n +-=+⨯++⋅⋅⋅+--⨯()()()211121222212322612n n n n n -++⨯-=+⨯--⨯=-⨯--，所以()12326n n T n +=-⨯+．48．（1）A ＝－2，2nn a ＝.（2）()1122n n T n ++＝－（1）根据题意，数列{}n a 的前n 项和S n ＝2n ＋1＋A ，则a 1＝S 1＝22＋A ＝4＋A ，a 2＝S 2－S 1＝（23＋A ）－（22＋A ）＝4， a 3＝S 3－S 2＝（24＋A ）－（23＋A ）＝8，又由{}n a 为等比数列，则a 1×a 3＝（a 2）2，即（4＋A ）×8＝42＝16，解可得A ＝－2，则a 1＝4－2＝2，即数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则2nn a ＝，（2）设2n n b log a ＝，则设222nn n b log a log n ＝＝＝，则2nn n a b n ⨯＝，故231222322nn T n ⨯⨯⨯⋯⋯⨯＝＋＋＋＋，①则有()23121222122n n n T n n ⨯+⨯+⋯⋯+⨯⨯＋＝－＋，② ①－②可得：()231122222122n n n n T n n +++++⋯⋯+⨯－＝－＝－－，变形可得：()1122n n T n ++＝－，故()1122n n T n ++＝－.49．（1）证明：由题意有22111,(2)n n n n n n S S a S S a n ++-+=+=≥，两式相减得2211n n n n a a a a +++=-，即()22110n n n n a a a a ++--+=，所以()()1110n n n n a a a a ++--+=，因为数列{}n a 为正项数列，所以10n n a a ++>，所以11(2)n n a a n +-=≥，又因为2212S S a +=，即22122a a a +=，解得22a =，且11a =，所以211a a -=也满足上式，所以*11()n n a a n N +-=∈，所以数列{}n a 为以1为首项1为公差的等差数列；（2）证明：由（1）有()111n a n n =+-⨯=，又2112na n nb b ++⋅=，所以2112n n n b b ++⋅=，()21122n n n b b n --⋅=≥，两式相除有()2112112422n n n n b n b ++--==≥，又12b =，24b =，所以135721,,,,,n b b b b b -是以12b =为首项，公比为4的等比数列，24682,,,,,n b b b b b 是以24b =为首项，公比为4的等比数列，所以数列{}n b 是以12b =为首项，公比为2的等比数列，所以2nn b =，所以2n n na nb =，令1212n n na a a Tb b b =++⋅⋅⋅+，则()2111111212222n n nT n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯， ()2311111112122222n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，两式相减可得231111111111111222112222222212nn n n n n n T n n +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++-⨯=-⨯=--，所以222n nn T +=-，因为n N ∈，所以2222n nn T +=-<，从而得证原不等式成立. 50．（1）解：由11n n a S +=+，得11(2)n n a S n -=+≥，所以11(2)2(2)n n n n n a a a n a a n ++-=≥=≥，即又由11a =，得22a =，满足12n n a a +=，所以12n n a ，而122n n n n b b a +-==，所以1211222n n n b b ---=++⋯+，所以()1211212221=2121n n n nn b --⨯-=++++=--…；（2）证明：因为11+12111()2(21)(21)2121n nn n n n c -+==-----，所以121223111111111111()=(1)22221212121212121n n n n c c c ++++=-+-+--<-------.。

高二化学学业水平测试复习专题专题一物质的量及其计算

专题一、物质的量及其计算一、有关概念（n 、NA 、M 、Vm 、c ）及其内涵1、物质的量、物质的量（1）概念：用）概念：用中所含的原子数目作为标准来衡量其他微粒集体所含微粒数目多少的目多少的，符号为，符号为。

（2）单位：）单位：，简称，简称，符号，符号。

[注意事项] （1）“物质的量”是专用名词，是七个“物质的量”是专用名词，是七个之一，在表达中四个字不可拆分。

之一，在表达中四个字不可拆分。

（2）物质的量及其单位摩尔计量的对象不是宏观物体，它只适于表示如：如：等微粒及这些微粒的特定组合。

等微粒及这些微粒的特定组合。

（3）使用摩尔时必须用化学式指明微粒的种类，严禁指代不明。

例如： 1mol H 2表示的意义是表示的意义是还应明确微粒的内在联系，如：1mol Al 2(SO 4)3中含___ mol _Al 3+,_____ mol SO 42-，1 mol Na+中含中含 mo l 质子质子；电子；电子 mol 。

2、阿伏加德罗常数、阿伏加德罗常数（1）概念：）概念：摩任何微粒所含的微粒数或摩任何微粒所含的微粒数或所含的碳原子数，符号为所含的碳原子数，符号为，近似值为近似值为（2）微粒个数N 与物质的量的关系：n = 或 N = [注意事项] （1）阿伏加德罗常数是一个）阿伏加德罗常数是一个值。

6.02×1023是一个是一个值，它是通过实验测定的，值，它是通过实验测定的，常用于计算，不能用于有关概念中。

常用于计算，不能用于有关概念中。

（2）阿伏加德罗常数不是一个数,而是有单位的，单位是而是有单位的，单位是【练习】①0.25 mol H 2SO 4中约含中约含个氧原子；个氧原子； ②3.01×3.01×101024个NH 4+的物质的量为的物质的量为 mol ③含2 N A 个氢原子的磷酸分子的物质的量为个氢原子的磷酸分子的物质的量为④0.5mol Fe 2(SO 4)3中所含的Fe 3+离子数为离子数为3、摩尔质量、摩尔质量（1）概念：单位物质的量的物质所具有的）概念：单位物质的量的物质所具有的单位单位符号符号（2）与相对原子质量的关系：当微粒（原子、离子、单质、化合物等）的摩尔质量以克为单位时，在数值上等于以克为单位时，在数值上等于例: M （O 2）= M （CO 32-）= M （H 2SO 4）= M （NH 4+）= （3）有关计算：）有关计算： n = n = n = （（m 与M 关系）关系） m= m= m=[思考1]下列正确的是下列正确的是（（））A ．摩尔可以把物质的宏观数量（质量、气体体积等）与微观粒子的数量联系起来B ．水的摩尔质量和1mol 水的质量均可计为18g 18g··mol －1C ．水的摩尔质量和1mol 水的质量均可计为18g 18gD ．硫酸和磷酸的摩尔质量在数值上相等．硫酸和磷酸的摩尔质量在数值上相等 [思考2]设N A 代表阿伏加德罗常数，下列说法是否正确？①1mol 任何物质中都含有6.02×1023个粒子；个粒子；= g ，含有，含有个 = ；含有；含有 NA = ，含有，含有个电子。

高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题3 概率与统计专题限时集训7 回归分析、独立性检验

专题限时集训(七) 回归分析、独立性检验(对应学生用书第91页)(限时：40分钟)1．(2017·某某一模)下列说法错误的是( )【导学号：07804050】A ．回归直线过样本点的中心(x ，y )B ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量X 与Y ，随机变量K 2的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小D ．在回归直线方程y ^＝0.2x ＋0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y ^就增加0.2个单位C [根据相关定义知选项A ，B ，D 均正确；选项C 中，对分类变量X 与Y ，随机变量K 2的观测值k 越大，对判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故C 错误．选C.]2．(2017·某某名校联考)利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．如果k ＞3.841，那么有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为C ．99.5%D ．95%D [由图表中数据可得，当k ＞3.841时，有0.05的几率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有1－0.05＝0.95的几率，也就是有95%的把握认为变量之间有关系，故选D.]3．(2017·某某七市联考)广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据如下表(单位：万元)：广告费x 2 3 4 5 6 销售额y2941505971由上表可得回归方程为y ^＝10.2x ＋a ^，据此模型，预测广告费为10万元时销售额约为( )【导学号：07804051】A ．101.2万元B ．108.8万元C ．111.2万元D ．118.2万元C [根据统计数据表，可得x ＝15×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，y ＝15×(29＋41＋50＋59＋71)＝50，而回归直线y ^＝10.2x ＋a ^经过样本点的中心(4,50)，∴50＝10.2×4＋a ^，解得a ^＝9.2，∴回归方程为y ^＝10.2x ＋9.2，∴当x ＝10时，y ^＝10.2×10＋9.2＝111.2，故选C.]4．(2017·某某二模)现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如图77所示的两个等高堆积条形图．图77根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的( ) A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱理科D ．样本中的女生偏爱文科D [由图2知，样本中的女生数量多于男生数量，样本中的男生、女生均偏爱理科；由图1知，样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，故选D.] 5．(2016·某某模拟)对四组不同数据进行统计，分别获得以下散点图，如果对它们的相关系数进行比较，下列结论中正确的是( )图78(1)图78(2)图78(3)图78(4)A ．r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1B ．r 4＜r 2＜0＜r 1＜r 3C ．r 4＜r 2＜0＜r 3＜r 1D ．r 2＜r 4＜0＜r 1＜r 3A [由给出的四组数据的散点图可以看出，图(1)和图(3)是正相关，相关系数大于0，图(2)和图(4)是负相关，相关系数小于0，图(1)和图(2)的点相对更加集中，所以相关性要强，所有r 1接近于1，r 2接近于－1，由此可得r 2＜r 4＜r 3＜r 1.故选A.] 6．(2017·某某一模)设某中学的高中女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，n )，用最小二乘法近似得到回归直线方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( ) A ．y 与x 具有正线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该中学某高中女生身高为160 cm ，则可断定其体重必为50.29 kgD [因为回归直线方程y ^＝0.85x －85.71中x 的系数为0.85＞0，因此y 与x 具有正线性相关关系，所以选项A 正确；由最小二乘法及回归直线方程的求解可知回归直线过样本点的中心(x ，y )，所以选项B 正确；由于用最小二乘法得到的回归直线方程是估计值，而不是具体值，若该中学某高中女生身高增加 1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ，所以选项C 正确，选项D 不正确．]7．在用线性回归方程研究四组数据的拟合效果中，分别作出下列四个关于四组数据的残差图，则用线性回归模式拟合效果最佳的是( )ABCDC[当残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明拟合精度越好，拟合效果越好，对比4个残差图，易知选项C的图对应的带状区域的宽度越窄．故选C.]8．(2017·某某南城一中、高安中学第九校3月联考)随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.非一线一线合计愿生452065不愿生132235合计5842100由K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d，得K2＝100×45×22－20×13265×35×58×42≈9.616.参照下表，P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”C[K2≈9.616＞6.635，∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选C.]二、填空题9．(2017·某某二模)为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到了下表中的实验数据，计算得回归直线方程为y ^＝0.85x －0.25.由以上信息，可得表中c 的值为________.【导学号：07804052】6 [x ＝5＝5，y ＝5＝5，代入回归直线方程，得14＋c5＝0.85×5－0.25，解得c ＝6.]10．(2017·某某百校联盟二模)已知x 、y 的取值为：从散点图可知y 与x 呈线性相关关系，且回归直线方程为y ＝1.2x ＋a ，则当x ＝20时，y 的取值为________．27．6 [由表格可知x ＝3，y ＝7.2，所以这组数据的样本点的中心是(3,7.2)，根据样本点的中心在回归直线上，得7.2＝a ^＋1.2×3，得a ^＝3.6，所以这组数据对应的回归直线方程是y ^＝1.2x ＋3.6，将x ＝20代入，得y ＝1.2×20＋3.6＝27.6.]11．(2017·某某某某五中一模)某小卖部销售某品牌的饮料的零售价与销量间的关系统计如下：已知x ，y 的关系符合回归方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20.若该品牌的饮料的进价为2元，为使利润最大，零售价应定为________元． 3．75 [x ＝3.5，y ＝40，∴a ^＝40－(－20)×3.5＝110， ∴回归直线方程为：y ^＝－20x ＋110，利润L ＝(x －2)(－20x ＋110)＝－20x 2＋150x －220， ∴x ＝15040＝3.75元时，利润最大，故答案为3.75.]12．(2017·某某三中二模)以模型y ＝c e kx(e 为自然对数的底)去拟合一组数据时，为了求出回归直线方程，设z ＝ln y ，其变换后得到线性回归方程为z ＝0.4x ＋2，则c ＝________. e 2[∵y ＝c e kx，∴两边取对数，可得ln y ＝ln(c e kx )＝ln c ＋ln e kx＝ln c ＋kx ，令z ＝ln y ，可得z ＝ln c ＋kx ， ∵z ＝0.4x ＋2， ∴ln c ＝2， ∴c ＝e 2.] 三、解答题13．(2017·某某一模)为了调查某地区成年人血液的一项指标，现随机抽取了成年男性、女性各20人组成一个样本，对他们的这项血液指标进行了检测，得到了如图79所示的茎叶图．根据医学知识，我们认为此项指标大于40为偏高，反之即为正常．图79(1)依据上述样本数据研究此项血液指标与性别的关系，列出2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系？ (2)以样本估计总体，视样本频率为概率，现从本地区随机抽取成年男性、女性各2人，求此项血液指标为正常的人数X 的分布列及数学期望．附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .P (K 2≥k 0)0.025 0.010 0.005 k 05.0246.6357.879正常偏高合计男性 16 4 20 女性 12 8 20 合计281240K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d ＝40×16×8－4×12220×20×28×12≈1.905＜6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系． (2)由样本数据可知，男性正常的概率为45，女性正常的概率为35.此项血液指标为正常的人数X 的可能取值为0,1,2,3,4，P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－452⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352＝4625， P (X ＝1)＝C 1245⎝⎛⎭⎪⎫1－45⎝⎛⎭⎪⎫1－352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－452C 1235·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝44625， P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352＋C 1245⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45·C 1235·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－452⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝169625， P (X ＝3)＝C 1245⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452C 1235·⎝⎛⎭⎪⎫1－35＝264625， P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝144625，所以X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P462544625169625264625144625所以E (X )＝0×625＋1×625＋2×625＋3×625＋4×625＝2.8.14．(2017·某某三湘名校联盟三模)为了研究一种昆虫的产卵数y 和温度x 是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并作出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈线性相关关系，现分别用模型①：y ＝C 1x 2＋C 2与模型②：y ＝e C 3x ＋C 4作为产卵数y 和温度x 的回归方程来建立两个变量之间的关系.温度x /℃ 20 22 24 26 28 30 32 产卵数y /个6 10 21 24 64 113 322 t ＝x 2 400 484 576 676 784 900 1024 z ＝ln y1.792.303.043.184.164.735.77xtyz26692803.57错误! 错误! 错误! 错误!1157.540.430.32 0.00012其中t i ＝x 2i ，t ＝∑ni ＝1t i ，z i ＝ln y i ，z ＝∑ni ＝1z i ，附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝β^u ＋α^的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β^＝∑ni ＝1u i －uv i －v∑ni ＝1u i －u2，α^＝v －β^u .图710(1)在答题卡中分别画出y 关于t 的散点图、z 关于x 的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)．图711(2)根据表中数据，分别建立两个模型下y 关于x 的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30℃时的产卵数．(C 1，C 2，C 3，C 4与估计值均精确到小数点后两位)(参考数据：e 4.65≈104.58，e4.85≈127.74，e5.05≈156.02)(3)若模型①、②的相关指数计算得分分别为R 21＝0.82，R 22＝0.96，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.【导学号：07804053】[解] (1)画出y 关于t 的散点图，如图1；z 关于x 的散点图，如图2.图1 图2根据散点图可判断模型②更适宜作为回归方程类型． (2)对于模型①：设t ＝x 2，则y ＝C 1x 2＋C 2＝C 1t ＋C 2，其中C ^1＝∑7i ＝1t i －ty i －y∑7i ＝1t i －t2＝0.43，C ^2＝y －C ^1t ＝80－0.43×692＝－217.56，所以y ＝0.43x 2－217.56，当x ＝30时，估计温度为y 1＝0.43×302－217.56＝169.44. 对于模型②：y ＝e C 3x ＋C 4⇒z ＝ln y ＝C 3x ＋C 4，word 其中C ^3＝∑7i ＝1 z i －z x i －x∑7i ＝1x i －x2＝0.32，C ^4＝z －C ^3x ＝3.57－0.32×26＝－4.75.所以y ＝e 0.32x －4.75，当x ＝30时，估计温度为y 2＝e0.32×30－4.75＝e 4.85≈127.74. (3)因为R 21＜R 22，所以模型②的拟合效果更好．。

高二数学复习典型题型与知识点专题讲解1---空间向量及其运算(解析版)

高二数学复习典型题型与知识点专题讲解 01空间向量及其运算+空间向量基本定理+空间向量及其运算的坐标表示一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 回路法求模与夹角知识点2 共线与共面知识点3 空间向量基本定理知识点4 建系设点二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 回路法求模与夹角例1．（2021·湖北省直辖县级单位·高二阶段练习）如图，平行六面体ABCD A B C D ''''-，其中4AB =，3AD =，3AA '=，90BAD ∠=︒，60BAA '∠=︒，60DAA '∠=︒，则AC '的长为________【详解】根据题意，''AC AC CC AB BC AA =+='++'AC AB BC AA ∴=++'根据题中的数据可知，()()()()2'22'2'2222'2?··433243cos9033cos 6043cos 6055AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA AC AB BC AA ++=+++++=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒=∴=++=名师点评：回路法求模，比如AD AB BC CD =++,则有22||()AD AB BC CD =++。

也如本例中：AC AB BC CC '=+'+，特别提醒：找向量夹角时，注意共起点才能找夹角，当两个向量不共起点时，需平移成共起点条件下找夹角.例2．（2021·重庆南开中学高二阶段练习）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60︒，则AC 与1BD 所成角的余弦值___________.【详解】因为111,AC AB AD BD AD AB AA AD AB =+=-=+-，所以()()()()111AC BD AB AD AA AD AB AB AD AA AD AB ⋅=+⋅+-=+⋅+-，2211AB AA AB AD AA AD =⋅-+⋅+， 2222cos60222cos6024=⨯⨯-+⨯⨯+=， ()22222AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+， 222222cos60212=+⨯⨯⨯+=，所以23AC =()2211BD AA AD AB =+-，222111222AA AD AB AA AD AA AB AD AB =+++⋅-⋅-⋅，222222222cos60222cos60222cos60=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯， 8= 所以122BD =设AC 与1BD 所成的角为θ,所以111cos cos ,2AC BD AC BD AC BD θ⋅====⋅. 名师点评：利用向量求异面直线所成角时注意：①0,a b π≤<>≤，利用公式cos ,||||a b a b a b ⋅<>=，求出的cos ,a b <>可正可负可为零；②异面直线a ，b 所成角02πθ<≤，在利用向量求异面直线所成角时注意转化cos |cos ,|a b θ=<>. 知识点2 共线与共面例1．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），若AD mAB nAC=+，则41m n+的最小值为______．【答案】9【详解】 D 是线段BC 上一点，B ∴，C ，D 三点共线，AD mAB nAC =+，1m n ∴+=，且0m >，0n >，∴14()()52459441n m n m n m n m n m+=++=+++=，当且仅当4m n n m=时取等号． ∴41m n+的最小值为9．故答案为：9．练习1-1．（2021·广东深圳·高三阶段练习）如图，在ABC ∆中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB AC ，所在的直线分别交于点M N ，若AM AB λ=，,(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为__________．【答案】1 【详解】 BP BA AP =+，PC PA AC =+，又2BP PC =，∴()2AB AP AC AP -+=-， ∴12123333AP AB AC AM AN λμ=+=+，又P 、M 、N 三点共线， ∴12133λμ+=，∴12122()11333333μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当233μλλμ=，即1233λμ==时取等，∴λμ+的最小值为1故答案为：1练习1-2．（2021·全国·高二单元测试）已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使OA λ+mOB +nOC =0，那么m n λ++的值为________.【答案】0【详解】因A ，B ，C 三点共线，则存在唯一实数k 使AB k AC =，显然0k ≠且1k ≠，否则点A ，B 重合或点B ，C 重合，则()OB OA k OC OA -=-，整理得：(1)0k OA OB kOC -+-=，令λ=k -1，m =1，n =-k ，显然实数λ，m ，n 不为0，因此，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA +m OB +n OC =0，此时λ+m +n = k -1+1+(-k )=0，所以λ+m +n 的值为0.故答案为：0另解：由A ，B ，C 三点共线，且OA λ+mOB +nOC =0⇒mnOA OB OC λλ=--()10mn m n m n λλλλ⇒-+-=⇒+=-⇒++= 名师点评：①空间中三点,,P A B 共线⇔PA PB λ=;②空间中三点,,P A B 共线⇔对于空间中任意一点O ,(1)OP OA OB λμλμ=++=合理的利用好三点共线向量的充要条件，在解题时可以迅速得出结论。

期末复习专题训练1 小说阅读训练—2020年秋高二上学期语文人教版必修五

专题训练(一)小说阅读训练[练案4](一)阅读下面的文字，完成1～4题。

林教头岳庙结怨高衙内(节选) 恰才饮得三杯，只见女使锦儿，慌慌急急红了脸，在墙缺边叫道：“官人！休要坐地！娘子在庙中和人合口！”林冲连忙问道：“在那里？”锦儿道：“正在五岳楼下来，撞见个奸诈不级的把娘子拦住了，不肯放！”林冲慌忙道：“却再来望师兄，休怪，休怪。

”林冲别了智深，急跳过墙缺，和锦儿径奔岳庙里来；抢到五岳楼看时，见了数个人拿着弹弓、吹筒、粘竿，都立在栏干边，胡梯上一个年小的后生独自背立着，把林冲的娘子拦着，道：“你且上楼去，和你说话。

”林冲娘子红了脸，道：“清平世界，是何道理，把良人调戏！”林冲赶到跟前把那后生肩胛只一扳过来，喝道：“调戏良人妻子，当得何罪！”恰待下拳打时，认的是本管高太尉螟蛉之子高衙内。

当时林冲扳将过来，却认得是本管高衙内，先自手软了。

高衙内说道：“林冲，干你甚事，你来多管！”原来高衙内不晓得他是林冲的娘子；若还晓的时，也没这场事。

见林冲不动手，他发这话。

众多闲汉见闹，一齐拢来劝道：“教头休怪，衙内不认得，多有冲撞。

”林冲怒气未消，一双眼睁着瞅那高衙内。

众闲汉劝了林冲，和哄高衙内出庙上马去了。

林冲将引妻小并使女锦儿也转出廊下来，只见智深提着铁禅杖，引着那二三十个破落户，大踏步抢入庙来。

林冲见了，叫道：“师兄，那里去？”智深道：“我来帮你厮打！”林冲道：“原来是本官高太尉的衙内，不认得荆妇，时间无礼。

林冲本待要痛打那厮一顿，太尉面上须不好看。

自古道‘不怕官，只怕管’。

林冲不合吃着他的请受，权且让他这一次。

”智深道：“你却怕他本官太尉，洒家怕他甚鸟！俺若撞见那撮鸟时，且教他吃洒家三百禅杖了去！”(节选自《水浒传》第七回，有删节) 1．解释下列语句中加点词的含义。

①娘子在庙中和人合口．．．．．②引着那二三十个破落户③不认得荆妇，时间．．无礼④大踏步抢入．．庙来①__发生争吵__；②__泼皮__；③__一时之间__；④__冲撞而入__。

2022-2021学年成才之路高二生物人教版选修3练习：专题1 第3节基因工程的应用

专题一第三节一、选择题1．下列转基因植物与所选用的目的基因对应错误的是导学号 65500051()A．抗虫棉——Bt毒蛋白基因B．抗病毒转基因烟草——几丁质酶基因C．抗盐碱和抗旱植物——调整细胞渗透压的基因D．耐寒的番茄——抗冻基因[答案] B[解析]抗病毒转基因植物所接受的基因，常使用病毒外壳蛋白基因和病毒的复制酶基因，几丁质酶基因及抗毒素合成基因一般用作抗真菌转基因植物的目的基因，故选项B错。

2．运用现代生物技术的育种方法，将抗菜青虫的Bt毒蛋白基因转入优质油菜中，培育出转基因抗虫油菜品种，这一品种在生长过程中能产生特异的杀虫蛋白，对菜青虫有显著抗性，能大大减轻菜青虫对油菜的危害，提高油菜产量，削减农药使用量，爱护农业生态环境。

依据以上信息，下列叙述正确的是导学号 65500052()A．Bt毒蛋白基因的化学成分是蛋白质B．Bt毒蛋白基因中有菜青虫的遗传物质C．转基因抗虫油菜能产生杀虫蛋白是由于具有Bt毒蛋白基因D．转基因抗虫油菜产生的杀虫蛋白是无机物[答案] C[解析]基因是携带遗传信息的DNA片段，A选项错误；Bt毒蛋白基因是从苏云金芽孢杆菌细胞内提取的，其表达产物是毒蛋白(属于有机物)，毒蛋白能够杀死菜青虫，所以B、D选项错误，C选项正确。

3．下列关于基因工程的成果及应用的说法中，正确的是导学号 65500053()A．用基因工程方法培育的抗虫植物也能抗病毒B．基因工程在畜牧业上应用的主要目的是培育体形巨大、品质优良的动物C．基因工程在农业上的应用主要是培育高产、稳产、品质优良和具有抗逆性的农作物D．目前，在发达国家，基因治疗已用于临床实践[答案] C[解析]抗虫基因的产物是毒蛋白，只能对害虫起作用；基因工程在畜牧业上应用的主要目的是培育生长速度快、品质优良的动物；在发达国家，基因治疗目前处于初期的临床试验阶段。

4．下列关于基因治疗的说法正确的是导学号 65500054()A．基因治疗只能治疗一些传染病，如艾滋病B．基因治疗的主要方法是让患者口服一些健康的外源基因C．基因治疗的主要原理是引入健康基因并使之表达D．基因治疗在发达国家已成为一种常用的临床治疗手段[答案] C[解析]基因治疗是指将健康基因导入有缺陷的细胞内，使该基因的表达产物发挥功能，从而达到治疗疾病的目的。

浙江版高中通用技术复习专题一技术与设计的基本概念练习含答案

专题一技术与设计的基本概念考点过关练考点一技术的价值与性质1.(2023杭州第二中学三模,2)数字货币是一种不受管制的、数字化的货币,有以下优势:双离线支付、安全性更高、多终端选择。

下列关于数字货币的说法不正确的是( )A.省去找零麻烦,数字货币支付方便,体现了技术具有解放人的作用B.数字货币的使用将改变人们的思想观念,体现了技术具有发展人的作用C.数字货币安全性高,体现了技术具有保护人的作用D.数字货币的推行将在一定范围改变社会生活方式答案 C2.(2023稽阳联考,1)如图所示为一款纯电动汽车,下列关于技术性质的理解,不恰当的是( )A.电动汽车技术应用了电池技术、电机技术和电控技术,体现了技术的综合性B.不断改进的刀片电池技术使得电动汽车更加可靠,体现了技术的目的性C.汽车动能回收技术开创性地提高了电能的利用效率,体现了技术的专利性D.在解决充电太慢问题的过程中,研发了电池快充技术,体现了技术的实践性答案 C3.(2023宁波二模,1)如图所示的C919大型客机是我国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式干线客机。

客机于2017年5月成功首飞,2022年12月首架交付。

下列关于技术性质的理解中不恰当的是( )A.C919大型客机具有自主知识产权,体现了技术的专利性B.多家中国企业、中外合资企业参与了C919核心系统的制造,体现了技术的综合性C.对比其他主流客机,C919经济性更好、安全性更高、舒适性更强,体现了技术的目的性D.在C919研制过程中,科研人员一举攻克了上百项关键技术,体现了技术的创新性答案 B4.(2023温州三模,1)如图所示为某大学研发的形似“魔鬼鱼”的探测器,可下潜至海下1 205米处进行监测和信息采集。

以下关于该产品的分析不合理的是( )A.该探测器多项核心技术拥有自主知识产权,体现了技术的专利性B.该探测器安装了各种传感器,能适应复杂的海域,体现了技术的复杂性C.该探测器测试成功,推动了我国深海潜水技术的发展,体现了技术的实践性D.该探测器的成功研发促进了姿态稳定控制、有效载荷搭载等难题的攻破,体现了技术的综合性答案 D5.(2024届金华十校高二期末,1)如图所示是一款针对老年人的防摔马甲,依据人机工程学设计,能较好地贴合身体的各个部位,在穿戴者倒地的瞬间马甲内部气囊会弹开;可接入互联网实时定位,发生意外时能进行远程报警。

2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)3-4-1 三角函数的性质(1)(精练)(含详解)

3.4.1 三角函数的性质（1）（精练）（基础版）1．（2022·广西南宁）下列四个函数，最小正周期是2π的是（） A ．sin 2y x =B ．cos 2xy = C ．sin 4y x =D ．tan 3y x =2.（2021年湖南）下列函数中，周期为2π的奇函数为( )A ．y ＝sin x 2cos x2 B ．y ＝sin 2x C ．y ＝tan 2x D ．y ＝sin 2x ＋cos 2x3．（2022·江西景德镇）函数2π2sin tan()16y x x =+-+的最小正周期为（）A ．2π B ．πC ．32π D ．2π4．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学）函数()cos sin f x x x =+ 的最小正周期为________. 5．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋3π)(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝____. 6．（2022·全国·高三专题练习）求下列三角函数的周期： (1)y ＝3sin x ，x∈R ； (2)y ＝cos 2x ，x∈R ； (3)y ＝sin 1()34x π-，x∈R ； (4)y ＝|cos x|，x∈R .7（2021·上海·高三专题练习）求下列函数的周期：（1）cos 2sin 2cos 2sin 2x xy x x+=-；（2）66sin cos y x x =+.1．（2022·全国·单元测试）函数()1tan 36x f x ππ⎛⎫=+-⎪⎝⎭图象的对称中心的坐标为（） A ．16,0()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ B ．13,0()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ C ．16,1()2k k Z +⎛⎫∈⎪⎝⎭D ．13,1()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2．（2022·安徽）“3πϕ=”是“函数()sin 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于3x π=对称”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2021·青海西宁）已知函数()sin 022f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象过点30,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则()f x 图象的一个对称题组一周期题组二对称性中心为（） A ．1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0C ．4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,04．（2022·浙江金华）下列函数中，关于直线6x π=-对称的是（）A ．sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5（2022·全国·单元测试）函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（）A ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=对称 D ．关于直线3x π=对称6．（2022·河北省）关于()4sin 2()3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭有下列结论:∈函数的最小正周期为π； ∈表达式可改写成()4cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；∈函数的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称； ∈函数的图象关于直线6x π=-对称.其中错误的结论是( ) A ．∈∈B ．∈∈C ．∈D ．∈∈7．（2021·北京市）最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的一个函数是（）A ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8．（2022·江西·南昌十五中）若函数()sin (0)3⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭f x x πωω的图象与()2cos()=+g x x a π的图象都关于直线6x π=对称，则||||+a ω的最小值为（）A ．56B ．76C ．316D ．3761．（2022·江西）下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（） A ．sin 2y x =B ．cos 2y x =C ．cos 21y x =+D ．sin 21y x =+2．（2022·全国·高二课时练习）函数3sin(2)y x π=+是（） A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π的奇函数D ．周期为2π的偶函数题组三奇偶性3．（2021·全国·课时练习）下列函数中，最小正周期是π且是奇函数的是（） A ．sin 2y x =B ．sin y x =C ．tan2xy = D ．cos 2y x =4．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学）下列函数中为周期是π的偶函数是（） A ．sin y x = B ．sin ||y x = C ．sin y x =-D ．sin 1y x =+5．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，周期为2π的奇函数为（）． A ．sin cos 22x x y =B ．2sin y x =C ．tan 2y x =D ．sin 2cos2y x x =+6．（2022·新疆昌吉）已知函数()sin f x x x =，则下列关于函数3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的描述错误的是（）A ．奇函数B ．最小正周期为πC ．其图象关于点(,0)π-对称D ．其图象关于直线2x π=对称7．（2022·全国·课时练习）下列函数中，其图像关于原点对称的是（）． A ．2sin y x =B ．sin y x x =C ．sin x y x =D ．πsin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8．（2021·全国·课时练习）下列函数具有奇偶性的是（） A ．()()sin 0f x x x => B ．()()2sin 0f x x x =<C ．()1sinf x x= D ．()f x =9．（2022·河南）“函数f (x )=sin2x +(a 2-1)cos x 为奇函数”是“a =1”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2022·全国·专题练习）函数f （x ）=21sin cos 1sin x x x +-+是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数11．（2022·上海市）函数212cos 4y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，则“2ϕπ=”是“()f x 为偶函数”的（）条件A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件13．（2022·全国·高三专题练习）函数f (x 的奇偶性为（） A ．奇函数 B ．既是奇函数也是偶函数 C ．偶函数 D ．非奇非偶函数14．（2022·全国·高三专题练习）函数∈()sin cos f x x x =+，∈()sin cos f x x x =，∈21()cos 42f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭中，周期是π且为奇函数的所有函数的序号是（） A ．∈∈B ．∈C ．∈D ．∈∈15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()2cos 2f x x x ϕϕ+++为奇函数，且存在00,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()02f x =，则ϕ的一个可能值为（）A ．56πB ．3πC ．6π-D ．23π-16．（2022·全国·高三专题练习）使函数()sin())f x x x ϕϕ=++为偶函数的ϕ的一个值为（） A ．23πB ．3π C ．3π-D ．56π-17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>>∈R ．则“()f x 是偶函数“是“2ϕπ=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件18．（2022·全国·高三专题练习）在下列四个函数中，周期为2π的偶函数为（） A ．2sin 2cos2y x x = B ．22cos 2sin 2y x x =- C ．sin 2y x x =D ．22cos sin y x x =-19．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知函数()2cos 2cos 42x f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．14y f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭为奇函数B ．14y f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为奇函数C ．14y f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数D ．14y f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数20．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））设0a <，若函数()()()3cos 4sin 4f x x a x a =+-+的图象关于原点对称，则a 的最大值为（） A ．6π-B ．4π-C ．3π-D ．23π-1．（2022·内蒙古包头·高三期末（理））下列区间中，函数()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（2022·全国·高三专题练习）函数()tan 24f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为（）A ．114,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈B ．314,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈C ．312,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z∈ D ．112,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈3．（2022·河北·模拟预测）（多选）下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．tan y x =D ．lg sin y x =4．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）在下列区间中，函数()2022cos 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭5．（2022·湖北武汉·高三期末）下列四个函数中，以π为最小正周期，其在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（）A ．sin y x =B ．sin y x =C ．cos 2y x =D ．sin 2y x =6．（2022·全国·高三专题练习）在下列函数中，同时满足：∈在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；∈最小正周期为2π的是（） A ．tan y x =B ．cos y x =C ．tan2x y = D ．tan y x =-7．（2022·山东·昌乐）若()cos 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[],a a -上单调递增，则实数a 的最大值为__________.8．（2022·天津河西·高三期末）已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，其图象题组四单调性的一条对称轴为43x π=，则23f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭______. 9．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知函数()sin cos f x x x ωω=+（0>ω）在ππ,48⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的一个取值为________．3.4.1 三角函数的性质（1）（精练）（基础版）1．（2022·广西南宁）下列四个函数，最小正周期是2π的是（） A ．sin 2y x = B ．cos 2x y =C ．sin 4y x =D ．tan 3y x =【答案】C【解析】A 选项：22T ππ==，错误；B 选项：2412T ππ==，错误； C 选项：242T ππ==，正确；D 选项：3T π=，错误.故选：C. 2.（2021年湖南）下列函数中，周期为2π的奇函数为( )A ．y ＝sin x 2cos x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x【答案】A【解析】 y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D都不正确，故选A.3．（2022·江西景德镇）函数2π2sin tan()16y x x =+-+的最小正周期为（）A ．2π B ．πC ．32π D ．2π【答案】B【解析】函数2ππ2sin tan()1tan()cos 2266y x x x x =+-+=--+，其中函数πtan()6y x =-的最小正周期为π，函数cos 2y x =的最小正周期为2ππ2T ==所以函数πtan()cos 226y x x =--+的最小正周期为π.故选：B.4．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学）函数()cos sin f x x x =+ 的最小正周期为________. 【答案】2π【解析】因为()cos sin f x x x =+，所以22()2cos sin 2sin 224f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1ω=，所以函数的最小正周期22T ππω==；故答案为：2π5．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学）已知函数f (x )＝sin(ωx题组一周期＋3π)(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝____. 【答案】2 【解析】由2T ππω==，又ω>0，故2ω=.故答案为：2.6．（2022·全国·高三专题练习）求下列三角函数的周期： (1)y ＝3sin x ，x∈R ； (2)y ＝cos 2x ，x∈R ； (3)y ＝sin 1()34x π-，x∈R ； (4)y ＝|cos x|，x∈R .【答案】（1）2π ；（2）π ；（3）6π ；（4）π.【解析】(1)因为3sin(x ＋2π)＝3sinx ，由周期函数的定义知，y ＝3sinx 的周期为2π. (2)因为cos2(x ＋π)＝cos(2x ＋2π)＝cos2x ，由周期函数的定义知，y ＝cos2x 的周期为π.(3)因为()111sin 6sin 2sin 343434x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭，由周期函数的定义知，1sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期为6π.(4)y ＝|cosx|的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y ＝|cos x|的周期为π.7（2021·上海·高三专题练习）求下列函数的周期：（1）cos 2sin 2cos 2sin 2x xy x x+=-；（2）66sin cos y x x =+.【答案】（1）2π；（2）2π【解析】（1）cos 2sin 2cos 2sin 2x xy x x+=-，将各项同时除以cos2x ，结合正切函数和角公式化简可得cos 2sin 21tan 2cos 2sin 21tan 2x x x y x x x ++==--tantan 241tan tan 24x x ππ+=-⋅tan 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∈函数的周期是2T π=. （2）由立方和公式及完全平方公式化简可得66sin cos y x x =+()()224224sin cos sin sin cos cos x x x x x x=+-+()22222231sin cos 3sin cos 1sin 24x x x x x ⎡⎤=⋅+-=-⎢⎥⎣⎦53cos 488x =+.所以函数的周期是242T ππ==.题组二对称性1．（2022·全国·单元测试）函数()1tan 36x f x ππ⎛⎫=+-⎪⎝⎭图象的对称中心的坐标为（） A ．16,0()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ B ．13,0()2k k Z +⎛⎫∈⎪⎝⎭ C ．16,1()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．13,1()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】令()362x k k Z πππ-=∈，得13()2kx k Z +=∈，故函数()1tan 36x f x ππ⎛⎫=+-⎪⎝⎭图象的对称中心的坐标为13,1()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选:D. 2．（2022·安徽）“3πϕ=”是“函数()sin 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于3x π=对称”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由22x k πϕπ+=+，k Z ∈可得22x k πϕπ=-+，k Z ∈，即函数()sin 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴为22x k πϕπ=-+，k Z ∈；若3πϕ=，则23x k ππ=+，k Z ∈，能推出函数()f x 的图象关于3x π=对称；若函数()sin 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于3x π=对称，则223k ππϕπ=-+，k Z ∈，即3k πϕπ=+，k Z ∈；所以“3πϕ=”是“函数()sin 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于3x π=对称”的充分不必要条件，故选：A.3．（2021·青海西宁）已知函数()sin 022f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象过点⎛ ⎝⎭，则()f x 图象的一个对称中心为（） A ．1,03⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,0C ．4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,0【答案】C【解析】由题知()0sin f ϕ==π02ϕ<<，所以π3ϕ=，则()ππsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()ππ23x k k π+=∈Z ，则()223x k k =-∈Z ，当1k =时，43x =，即4,03⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，可验证其他选项不正确.故选：C.4．（2022·浙江金华）下列函数中，关于直线6x π=-对称的是（）A ．sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】A.将6x π=-代入sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得函数值为12，故6x π=-不是sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴；B.将6x π=-代入sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得函数值为0，故6x π=-不是sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴；C.将6x π=-代入cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6x π=-不是cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴；D.将6x π=-代入cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得函数值为1，故6x π=-是cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一条对称轴；故选：D.5（2022·全国·单元测试）函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（）A ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=对称 D ．关于直线3x π=对称【答案】B 【解析】令2()3x k k Z ππ+=∈,得126x k ππ=-,所以对称点为1,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当1k =,为,03π⎛⎫⎪⎝⎭,故B 正确；令2()32x k k Z πππ+=+∈,则对称轴为212k x ππ=+, 因此直线6x π=和3x π=均不是函数的对称轴.故选B6．（2022·河北省）关于()4sin 2()3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭有下列结论:∈函数的最小正周期为π； ∈表达式可改写成()4cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；∈函数的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称； ∈函数的图象关于直线6x π=-对称.其中错误的结论是( ) A ．∈∈ B ．∈∈ C ．∈ D ．∈∈【答案】C【解析】结论∈：周期2T ππω==，故本结论正确；结论∈：()4sin 24sin 24cos 226266f x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故本结论正确；结论∈：因为()4sin 2()0663f πππ⎛⎫-=⋅-+= ⎪⎝⎭，所以函数的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故本结论正确；结论∈：由∈的判断可知，函数函数的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故本结论不正确，综上，本题选C.7．（2021·北京市）最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的一个函数是（）A ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】函数sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为：22412T πππω===，故排除A. 将3x π=代入sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得：sin 236y ππ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=1，此时y 取得最大值，所以直线3x π=是函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭一条对称轴．故选D.8．（2022·江西·南昌十五中）若函数()sin (0)3⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭f x x πωω的图象与()2cos()=+g x x a π的图象都关于直线6x π=对称，则||||+a ω的最小值为（）A ．56B ．76C ．316D ．376【答案】B【解析】由题意可得(),()6326k k a n n ππππωπππ-=+∈+=∈Z Z ，即165(),()6k k a n n ω=+∈=-+∈Z Z ，故||||+a ω的最小值为17|1|66-+-=；故选：B.1．（2022·江西）下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（） A ．sin 2y x = B ．cos 2y x = C ．cos 21y x =+ D ．sin 21y x =+【答案】D【解析】选项A: sin 2()sin 2x x -=-，则sin 2y x =为奇函数.排除；选项B: cos 2()cos 2x x -=，则cos 2y x =为偶函数.排除；选项C: cos 2()1cos 21x x -+=+，则cos 21y x =+为偶函数.排除；选项D: 令()sin 21f x x =+，ππ()sin 1042f ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，ππ()sin 1242f =+=则ππ()()44f f -≠，ππ()()44f f -≠-，则sin 21y x =+既不是奇函数也不是偶函数．可选.故选：D题组三奇偶性2．（2022·全国·高二课时练习）函数3sin(2)y x π=+是（） A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数【答案】C【解析】函数3sin(2)3sin 2y x x π=+=-, 其最小正周期为22T ππ== 由()3sin 23sin 2x x --=，可得函数为奇函数.故选：C3．（2021·全国·课时练习）下列函数中，最小正周期是π且是奇函数的是（） A ．sin 2y x = B ．sin y x = C ．tan2x y = D ．cos 2y x =【答案】A【解析】A 选项，sin 2y x =的最小正周期是π，且是奇函数，A 正确. B 选项，sin y x =的最小正周期是2π，且是奇函数，B 错误. C 选项，tan2xy =的最小正周期为2π，且是奇函数，C 错误. D 选项，cos y x =的最小正周期是π，且是偶函数，D 错误. 故选：A4．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学）下列函数中为周期是π的偶函数是（） A ．sin y x = B ．sin ||y x = C ．sin y x =- D ．sin 1y x =+【答案】A【解析】对于A ，sin y x =为偶函数,且最小正周期为π,所以A 正确; 对于B ，sin y x =为偶函数,但不具有周期性,所以B 错误; 对于C ，sin y x =-为奇函数，所以C 错误;对于D, sin 1y x =+为非奇非偶函数,所以D 错误.综上可知,正确的为A 故选:A 5．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，周期为2π的奇函数为（）． A ．sin cos 22x x y =B ．2sin y x =C ．tan 2y x =D ．sin 2cos2y x x =+【答案】A【解析】对于选项A ，11sin cos 2sin cos sin 222222x x x x y x ==⨯⨯⋅=，则2221T πππω===，且()11sin sin 22x x -=-是奇函数，所以A 选项正确；对于选项B ，21cos 2sin 2x y x -==，则222T πππω===，且()1cos 21cos 222x x ---=是偶函数，所以B 选项错误；对于选项C ，tan 2y x =，则2ππT ω==，且()tan 2tan 2x x -=-是奇函数，所以C 选项错误；对于选项D ，sin 2cos 22224y x x x x x π⎫⎛⎫=+==+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，则222T πππω===()2244x x ππ⎡⎤⎛⎫-+-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭是非奇非偶函数，所以D 选项错误.故选：A.6．（2022·新疆昌吉）已知函数()sin f x x x =，则下列关于函数3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的描述错误的是（）A ．奇函数B ．最小正周期为πC ．其图象关于点(,0)π-对称D ．其图象关于直线2x π=对称【答案】B【解析】因为()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以2sin 3f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，最小正周期为2π，故B 错误；2sin 3f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭显然为奇函数，其图象关于点(,0)π-对称且关于直线2x π=对称，所以其它选项均正确；故选：B ．7．（2022·全国·课时练习）下列函数中，其图像关于原点对称的是（）． A ．2sin y x = B ．sin y x x = C ．sin xy x=D ．πsin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】对于A ：2sin y x =的定义域为R ，()()()22sin sin f x x x f x -=-==，所以2sin y x =是偶函数，图象不关于原点对称，故选项A 不正确；对于B ：sin y x x =的定义域为R ，()()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，所以sin y x x =是偶函数，图象不关于原点对称，故选项B 不正确；对于C ：sin xy x=的定义域为{}|0x x ≠ 关于原点对称， ()()()sin sin x xf x f x xx--===-，所以sin x y x =是偶函数，图象不关于原点对称，故选项C 不正确；对于D ：πsin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为R ，πsin cos 2y x x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-，所以πsin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数，图象关于原点对称，故选项D 正确；故选：D.8．（2021·全国·课时练习）下列函数具有奇偶性的是（） A ．()()sin 0f x x x => B ．()()2sin 0f x x x =<C ．()1sin f x x= D ．()f x =【答案】C【解析】对A ，函数的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，无奇偶性，故A 错误；对B ，函数的定义域为(),0-∞，不关于原点对称，无奇偶性；故B 错误；对C ，函数的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()11sin sin f x f x x x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，故为奇函数，故C 正确；对D ，函数的定义域为{}22,x k x k k πππ≤≤+∈Z ，不关于原点对称，无奇偶性，故D 错误．故选：C ．9．（2022·河南）“函数f (x )=sin2x +(a 2-1)cos x 为奇函数”是“a =1”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因函数()2()sin 21cos f x x a x =+-是定义域为R 的奇函数，则R ∀∈，f (x )+f (-x )=0，于是得22(1)cos 0a x -=，而cos x 不恒为0，则有210a -=，解得1a =±，因此，当a =1时，f (x )是奇函数，而f (x )是奇函数时，a 可以为-1，所以“函数f (x )=sin2x +(a 2-1)cos x 为奇函数”是“a =1”的必要不充分条件.故选：B10．（2022·全国·专题练习）函数f （x ）=21sin cos 1sin x xx +-+是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数【答案】C【解析】由1+sin x ≠0得sin x ≠-1，所以2,2x k k Z ππ≠-+∈所以函数f （x ）的定义域为|2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠-+∈⎨⎬⎩⎭，不关于原点对称，也不关于y 轴对称，所以f （x ）是非奇非偶函数.11．（2022·上海市）函数212cos 4y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数【答案】A【解析】2212cos 2cos 1cos 2sin 2442y x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=---=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为()()()sin 2sin 2f x x x f x -=--==-，所以为奇函数，周期22T ππ==，所以此函数最小正周期为π的奇函数，故选：A.12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，则“2ϕπ=”是“()f x 为偶函数”的（）条件A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】当2ϕπ=时，()2sin 22cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∈()()()2cos 22cos2f x x x f x -=-==，∈()f x 为偶函数. 当()f x 为偶函数时，2k πϕπ=+，k Z ∈，综上所述2ϕπ=是()f x 为偶函数的充分不必要条件，故选：A.13．（2022·全国·高三专题练习）函数f (x 的奇偶性为（） A ．奇函数 B ．既是奇函数也是偶函数 C ．偶函数 D ．非奇非偶函数【答案】D【解析】由2sin x -1≥0，即sin x ≥12，得函数定义域为52,266k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )，此定义域在x 轴上表示的区间不关于原点对称．所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．故选：D14．（2022·全国·高三专题练习）函数∈()sin cos f x x x =+，∈()sin cos f x x x =，∈21()cos 42f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭中，周期是π且为奇函数的所有函数的序号是（） A ．∈∈ B ．∈C ．∈D ．∈∈【答案】D【解析】对于∈()sin cos f x x x =+，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，周期为π，但不是奇函数；对于∈()sin cos f x x x =，1()sin 22f x x =，周期为22T ππ==；又()()11()sin 2=sin 222f x x x f x =-=---，故()sin cos f x x x =符合题意；对于∈21()cos 42f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，211()cos cos 2sin 24222f x x =x =x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由∈推导过程可知：21()cos 42f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭周期是π且为奇函数，符合题意.故选：D15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()2cos 2f x x x ϕϕ+++为奇函数，且存在00,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()02f x =，则ϕ的一个可能值为（） A ．56π B ．3π C ．6π-D ．23π-【答案】C【解析】()()()2cos 22sin 26x x f x x πϕϕϕ⎛⎫+++=++ ⎪⎝=⎭为奇函数，则()6k k Z πϕπ+=∈，可得()6k k ϕπ=π-∈Z ，所以排除BD 选项；对于A ，当56πϕ=时，()()2sin 22sin 2f x x x π=+=-，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，220,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，不合题意；对于C ，当6πϕ=-时，()2sin 2f x x =，2sin 242f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭满足题意.故选：C.16．（2022·全国·高三专题练习）使函数()sin())f x x x ϕϕ=++为偶函数的ϕ的一个值为（） A ．23πB ．3π C ．3π-D ．56π-【答案】D 【解析】()sin())2sin()3f x x x x πϕϕϕ=++=++函数()f x 为偶函数，所以32k ππϕ+=（k 为奇数），当1k =-时，ϕ=56π-．故选：D ． 17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>>∈R ．则“()f x 是偶函数“是“2ϕπ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】若2ϕπ=，则()sin()cos 2f x A x A x πωω=+=，()cos()cos ()f x A x A x f x ωω-=-==，所以()f x 为偶函数；若()sin()f x A x ωϕ=+为偶函数，则2k πϕπ=+，k Z ∈，ϕ不一定等于2π. 所以“()f x 是偶函数“是“2ϕπ=”的必要不充分条件.故选：B 18．（2022·全国·高三专题练习）在下列四个函数中，周期为2π的偶函数为（） A ．2sin 2cos2y x x = B ．22cos 2sin 2y x x =- C ．sin 2y x x = D ．22cos sin y x x =-【答案】B【解析】A.2sin 2cos 2sin 4y x x x ==，函数是奇函数，周期242T ππ==，故A 不正确； B.22cos 2sin 2cos 4y x x x =-=，函数是偶函数，周期242T ππ==，故B 正确； C. 函数sin 2y x x =，满足()()f x f x -=，是偶函数，但不是周期函数，44f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3344f ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即344f f ππ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数的周期不是2π，故C 不正确；D.22cos sin cos 2y x x x =-=，函数是偶函数，函数的周期22T ππ==，故D 不正确. 故选：B19．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知函数()2cos 2cos 42x f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．14y f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭为奇函数B ．14y f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为奇函数C ．14y f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数D ．14y f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数【答案】C【解析】∈()2cos 2cos =cos cos 1422x f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 114x x x π⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭，∈124y f x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭为偶函数，故A 错误；1cos 22sin 242y f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭既不是奇函数也不是偶函数，故B 错误；12cos 4y f x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭为偶函数，故C 正确；12cos 2sin 42y f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数，故D 错误.故选：C.20．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））设0a <，若函数()()()3cos 4sin 4f x x a x a =+-+的图象关于原点对称，则a 的最大值为（） A ．6π-B ．4π-C ．3π-D ．23π-【答案】D【解析】()()()3cos 4sin 4f x x a x a =+-+2cos 46x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数的图象关于原点对称，所以当0x =时，62a k πππ+=+，k Z ∈，解得：3a k ππ=+，k Z ∈，因为0a <，所以当1k =-时，a 的最大值23a π=-.故选：D 1．（2022·内蒙古包头·高三期末（理））下列区间中，函数()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】对于A 选项，当02x π<<时，3365x πππ<+<，则()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调；对于B 选项，当2x ππ<<时，54633x πππ<+<，则()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；对于C 选项，当32x ππ<<时，411336x πππ<+<，则()f x 在3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调；对于D 选项，当322x ππ<<时，117633x πππ<+<，则()f x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）函数()tan 24f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为（）A ．114,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈B ．314,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈C ．312,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈D ．112,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈【答案】C题组四单调性【解析】令,2242k x k k Z ππππππ-+<+<+∈，解得3122,22k x k k Z -+<<+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为312,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈，故选：C3．（2022·河北·模拟预测）（多选）下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．tan y x =D ．lg sin y x =【答案】CD【解析】cos 2y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故A 错误；sin 2y x =为奇函数，故B 错误；tan y x =图象如下图：故最小正周期为π，在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且为偶函数，故C 正确；sin y x =最小正周期为π，在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且为偶函数，则lg sin y x =也是以π为周期且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的偶函数，故D 正确.故选：CD4．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）在下列区间中，函数()2022cos 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】因为()2022cos 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令22,12k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，解得1122,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为112,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，当1k =时可得函数的一个单调递增区间为1325,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1325,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；故选：D5．（2022·湖北武汉·高三期末）下列四个函数中，以π为最小正周期，其在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（）A ．sin y x =B ．sin y x =C ．cos 2y x =D ．sin 2y x =【答案】A【解析】sin y x =的最小正周期为π，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，符合题意，故A 正确；sin y x =不是周期函数，故B 错误；cos 2y x =中，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2π,2πx ，故cos 2y x =中在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时不是单调函数，故C 错误；sin 2y x =,,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2π,2πx ，故sin 2y x =中在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时不是单调函数，故D 错误，故选：A.6．（2022·全国·高三专题练习）在下列函数中，同时满足：∈在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；∈最小正周期为2π的是（） A ．tan y x = B ．cos y x =C ．tan2x y = D ．tan y x =-【答案】C【解析】对于选项AD ，结合正切函数图象可知，tan y x =和tan =-y x 的最小正周期都为π，故AD 错误；对于选项B ，结合余弦函数图象可知，cos y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故B 错误；对于选项C ，结合正切函数图象可知，tan 2x y =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且最小正周期212T ππ==，故C 正确.故选：C.7．（2022·山东·昌乐）若()cos 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[],a a -上单调递增，则实数a 的最大值为__________.【答案】3π【解析】x ∈[],a a -，则,333x a a πππ⎡⎤-∈---⎢⎥⎣⎦，由题可知，[],,033a a πππ⎡⎤---⊆-⎢⎥⎣⎦，则3303a a a ππππ⎧--≥-⎪⎪⇒≤⎨⎪-≤⎪⎩，则a 的最大值为3π.故答案为：3π. 8．（2022·天津河西·高三期末）已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，其图象的一条对称轴为43x π=，则23f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭______.【答案】【解析】∈f (x )最小正周期为4π，∈2142ππωω=⇒=；∈f (x )图象的一条对称轴为43x π=，∈14,23k k πϕπ⨯+=∈Z ， ∈2,3k k πϕπ=-∈Z ，02πϕ<<，1,.3k πϕ∴==∈()1cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()11sin 232f x x π⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭'，∈211sin 32332f πππ⎛⎫⎛⎫=-⨯'+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为： 9．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知函数()sin cos f x x x ωω=+（0>ω）在ππ,48⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的一个取值为________．【答案】1，答案不唯一【解析】()π4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1ω=时，()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， πππ3π,,0,4848x x ⎡⎤⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在ππ,48⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，符合题意. 故答案为：1，答案不唯一。

高二数学复习考点知识与题型专题讲解3---空间向量基本定理

高二数学复习考点知识与题型专题讲解1.2 空间向量基本定理【考点梳理】考点一空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝x a＋y b＋z c.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．考点二空间向量的正交分解1．单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量x i，y j，z k使得a＝x i＋y j＋z k. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．考点三证明平行、共线、共面问题(1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.考点三求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|.(2)若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0. 知识点三求距离(长度)问题 ||a ＝a ·a ( ||AB →＝AB →·AB → )．【题型归纳】题型一：空间向量基底概念1．（2021·广东·广州市海珠中学高二期中）下列说法正确的是（） A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．直线的方向向量有且仅有一个2．（2021·云南师大附中高二期中）已知{},,a b c 能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是（） A ．,,a b b c +B ．,,a a b c -C ．,,a c b c a b ---D ．,,a b a b c ++3．（2021·湖南·周南中学高二）设向量,,a b c 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（） A ．{,,}a b b a a +-B ．{,,}a b b a b +- C ．{,,}a b b a c +-D ．{,,}a b c a b c +++ 题型二：空间基底表示向量4．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（理））如图，在三棱锥O ABC -中，设,,,OA a OB b OC c ===，若,2AN NB BM MC ==，则MN =（）A ．112263a b c +-B ．112263a b c -+ C ．111263a b c --D ．111263a b c ++5．（2022·江苏常州·高二期中）在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =（） A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +-D ．221332a b c ++6．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）如图，在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN 等于（）A ．111322a b c ++B ．111322a b c -+ C ．111322a b c +-D ．111322a b c -++ 题型三：空间向量基本定理判断共面7．（2022·全国·高二）已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，下列条件中能确定P ，A ，B ，C 四点共面的是（）A ．OP OA OB OC =++B ．2OP OA OB OC =-- C ．111532OP OA OB OC =++D ．111333OP OA OB OC =++8．（2022·全国·高二）对空间任一点O 和不共线三点A ､B ､C ，能得到P ､A ､B ､C 四点共面的是（）A ．OP OA OB OC =++B ．111236OP OA OB OC =++ C ．1122OP OA OB OC =++D ．以上都错9．（2022·全国·高二）下列向量关系式中，能确定空间四点P ，Q ，R ，S 共面的是（）A ．AP AQ AR AS →→→→=++B ．23AP AQ AR AS →→→→=++ C ．23AP AQ AR AS →→→→=+-D ．243AP AQ AR AS →→→→=-+ 题型四：空间向量共面求参数10．（2022·江西·临川一中高二期末（理））已知空间向量()2,1,a m =-，()1,1,2b =-，()1,2,2c t =-，若a ，b ，c 共面，则m ＋2t ＝（）A ．－1B ．0C ．1D ．－611．（2022·江苏·高二课时练习）已知i ，j ，k 是三个不共面的向量，22AB i j k =-+，23BC i j k =+-，35CD i j k λ=+-，且A ，B ，C ，D 四点共面，则λ的值为（）．A ．1-B ．1C ．2-D ．212．（2021·山东省实验中学高二期中）已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若2156OM OA OB OC λ=++，则A ，B ，C ，M 四点共面的充要条件是（） A ．1730λ=B ．1330λ=C ．1730λ=-D ．1330λ=-题型五：空间向量基本定理的应用13．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知存在非零实数λ使得AP BC λ=，且(,0)OP OA xOB yOC x y =-++>，则62x y +的最小值为（）A ．4+．8C ．6．6+14．（2022·安徽蚌埠·高二期末）在下列命题中正确的是（） A ．已知,,a b c 是空间三个向量，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++ B ．若,C AB D 所在的直线是异面直线，则,C AB D 不共面 C ．若三个向量,,a b c 两两共面，则,,a b c 共面D ．已知A ，B ，C 三点不共线，若111236OD OA OB OC =++，则A ，B ，C ，D 四点共面15．（2021·吉林·长春市第二十九中学高二）已知A 、B 、C 三点不共线，点O 是平面ABC 外一点，则在下列各条件中，能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的是（）A ．111222OM OA OB OC =++B ．1313O OB OC M OA =-+ C ．OM OA OB OC =++D ．2OM O OB OC A =-- 题型六：空间向量基本定理16．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知1111ABCD A B C D -是平行六面体．(1)化简1AA BC AB ++；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面11BCC B 对角线1BC 上的34分点，设1MN AB AD AA αβγ=++，试求α，β，γ的值．17．（2021·河北·石家庄市第六中学高二期中）如图，已知正方体'ABCD A B C D -'''.点E是上底面''''A B C D 的中心，取{,,}AB AD AA ' 为一个基底，在下列条件下，分别求,,x y z的值.(1)BD x AD y AB z AA =+'+'; (2)AE x AD y AB z AA =+'+.【双基达标】一、单选题18．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知M ，A ，B ，C 为空间中四点，任意三点不共线，且2OM OA xOB yOC =-++，若M ，A ，B ，C 四点共面，则x y +的值为（） A ．0B ．1C ．2D ．319．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且14OG OG =，则（）A ．1111666OG OA OB OC =++B ．1OG =111121212OA OB OC ++ C ．1OG =111181818OA OB OC ++D ．1OG =111888OA OB OC ++ 20．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且13OG OG =，则（）A ．1OG OA OB OC =++B ．1111333OG OA OB OC =++ C ．1111444OG OA OB OC =++D ．1111999OG OA OB OC =++21．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））已知O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则一定有（） A ．OA ，OB ，OC 共线B ．O ，A ，B ，C 中至少有三点共线 C ．OA OB +与OC 共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面22．（2022·江苏宿迁·高二期中）已知P 是ABC 所在平面外一点，M 是PC 中点，且BM x AB y AC z AP =++，则x y z ++=（）A ．0B ．1C ．2D ．323．（2022·福建龙岩·高二期中）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段1CD 的中点，3AC AF =，设AB a =，AD b =，1AA c =，则EF =（） A ．521632a b c +-B ．121632a b c ---C ．121632a b c ++D ．521632a b c --+24．（2022·全国·高二课时练习）设x a b =+，y b c =+，z c a =+，且{},,a b c 是空间的一个基底，给出下列向量组：①{},,a b x ；②{},,x y z ；③{},,b c z ；④{},,x y a b c ++，则其中可以作为空间的基底的向量组有（） A ．1B ．2C ．3D ．425．（2022·广东深圳·高二期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别是BC ，1CC 的中点，2AG GE =，则GF =（）A ．1121332AB AC AA -+B ．1121332AB AC AA ++C ．1211332AB AC AA -+-D ．1121332AB AC AA -++26．（2022·全国·高二课时练习）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，已知BA ，BC ，BB '为三条不共面的线段，若23AC x AB yBC zC C ''=++，则x y z ++的值为（）． A ．1B ．76C ．56D ．11627．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））已知空间的一组基底{},,a b c ，若m a b c =-+与n xa yb c =++共线，则x y +的值为（）． A ．2B ．2-C ．1D ．0【高分突破】一：单选题28．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）已知空间向量a ，b ，c ，下列命题中正确的个数是（） ①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线； ②若a ，b ，c 非零且共面，则它们所在的直线共面；⑧若a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc =++；④若a ，b 不共线，向量(),,0c a b R λμλμλμ=+∈≠，则{},,a b c 可以构成空间的一个基底. A ．0B ．1C ．2D ．329．（2022·江苏省阜宁中学高二期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵111ABC A B C -中，,M N 分别是111,A C BB 的中点，G 是MN 的中点，若1AG xAB yAA zAC =++，则x y z ++=（）A ．1B ．12C ．32D ．3430．（2022·安徽芜湖·高二期末）下列命题中正确的个数为（） ①若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，则a b ∥；②若向量a b +，b c +，c a +是空间一组基底，则a ，b ，c 也是空间的一组基底； ③{},,a b c 为空间一组基底，若()0,,xa yb zc x y z R ++=∈，则2220x y z ++=；④对于任意非零空间向量()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，若a b ∥，则312123aa ab b b ==．A ．1B ．2C ．3D ．4 二、多选题31．（2022·福建福州·高二期中）如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，AB a =，AD b =，AA c '=．若CM MD '=，12A C A P ''=，则（）A ．a A C b c =++'B ．1122AM a b c =++C ．A ，P ，D 三点共线D ．A ，P ，M ，D 四点共面32．（2022·河北邯郸·高二期末）已知a ，b ，c 是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（） A ．若0xa yb zc ++=，则0x y z ===B ．a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不共面C ．一定存在实数x ，y ，使得a xb yc =+D ．a b +，b c -，2c a +一定能构成空间的一个基底33．（2022·广东惠州·高二期末）下面四个结论正确的是（）A ．空间向量a ，()0,0b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P 、A 、B 、C 四点共面C ．已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一组基底D ．任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅34．（2021·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，且12OP OA mOB nOC =+-（m ，n R ∈），则m ，n 的值可能为（）A ．1m =，12n =-B ．12m =，1n =C ．12m =-，1n =-D ．32m =，1n =35．（2021·湖南·郴州市第三中学高二期中）下列结论正确的是（）A ．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C ．若a ，b 是两个不共线的向量，且(c a b λμλ=+，R μ∈且0)λμ≠，则{a ，b ，}c 构成空间的一个基底D ．若OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则O ，A ，B ，C 四点共面36．（2021·浙江省杭州第二中学高二期中）已知{},,a b c 是空间中的一个基底，则下列说法正确的是（）A ．存在不全为零的实数x ，y ，z ，使得0xa yb zc ++=B ．对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc =++C ．在a ，b ，c 中，能与a b +，a b -构成空间另一个基底的只有cD ．不存在另一个基底{},,a b c '''，使得2323a b c a b c '''++=++37．（2021·重庆·高二阶段练习）下列命题中，正确的有（）A ．空间任意向量,a b 都是共面向量B ．已知P ，A ，B ，C 四点共面，对空间任意一点O ，若2OP OA OB tOC =++，则1t =-C ．在四面体中P ABC -，若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=D ．若向量,,a b b c c a +++是空间一组基底，则,,a b c 也是空间的一组基底38．（2022·湖南省临湘市教研室高二期末）已知M ，A ，B ，C 四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使{,,}MA MB MC 成为空间的一个基底的是（）A ．111345OM OA OB OC =++B ．2MA MB MC =+C ．23OM OA OB OC =++D ．32MA MB MC =-三、填空题39．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若AB a =，BC b =，1AA c =，则BM =______．（用a 、b 、c 表示）40．（2022·江苏常州·高二期中）已知P 是ABC 所在平面外一点，2=PM MC ，且BM x AB y AC z AP =++，则实数x y z ++的值为____________.41．（2022·全国·高二）已知,a b 是平面α上的两个向量，有以下命题：①平面α上任意一个向量(),p a b R λμλμ=+∈；②若存在,R λμ∈，使0a b λμ+=，则0λμ==；③若,a b 不共线，则空间任意一个向量(),p a b R λμλμ=+∈；④若,a b 不共线，且p 与,a b 共面，则都有(),p a b R λμλμ=+∈.请填上所有真命题的序号___________.42．（2022·广东珠海·高二期末）已知四面体OABC 中，D ，E 分别在AB ，OC 上，且AD DB =，2OE EC =，若DE OA OB OC αβγ=++，则αβγ++=________.43．（2021·福建·三明一中高二）如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且AP ＝3PN ，23ON OM =，设OA a =，,OB b OC c ==，则OP =________（用,,a b c 来表示）44．（2022·全国·高二期末）已知三棱锥O ABC -，点M ，N 分别为线段AB ，OC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN 等于_____________．45．（2022·全国·高二）已知关于向量的命题，（1）a b a b -=+是a ，b 共线的充分不必要条件；（2）若//a b ，则存在唯一的实数λ，使a b λ=；（3）0a b ⋅=，0b c ⋅=，则a c =；（4）若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一基底；（5）()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅．在以上命题中，所有正确命题的序号是________．四、解答题46．（2022·江苏·徐州市王杰中学高二）如图，在空间四边形OABC 中，已知E 是线段BC 的中点，G 在AE 上，且2AG GE =．(1)试用OA ，OB ，OC 表示向量OG ；(2)若2OA =，3OB =，4OC =，60AOC BOC ∠=∠=︒，90AOB ∠=︒，求OG AB ⋅的值．47．（2022·全国·高二）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12C C EC =，13AC FC =．(1)求证：A 、F 、E 三点共线；(2)若点G 是平行四边形11B BCC 的中心，求证：D 、F 、G 三点共线．48．（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）如图，在四面体OABC 中，M 是棱OA 上靠近A 的三等分点，N 是棱BC 的中点，P 是线段MN 的中点．设OA a =，OB b =，OC c =．(1)用a ，b ，c 表示向量OP ；(2)若1a b c ===，且满足（从下列三个条件中任选一个，填上序号：①,,,3π===a b b c c a ；②,,,,32ππ===a b c a b c ；③2,,,,23a b c a b c ππ===，则可求出OP 的值；并求出OP 的大小．49．（2021·山东济宁·高二期中）已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒．(1)求1AD AC ⋅；(2)求1AC ．【答案详解】1．C【详解】对于A，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A错误，B错误；对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确；对于D，直线的方向向量有无数个，所以D错误.故选：C2．C【详解】由图形结合分析---,,a cbc a b三个向量共面，不构成基底，故选：C3．C选项A：由于()()2+--=，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；a b b a a选项B：由于()()2++-=，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；a b b a b选项C ：若,,a b b a c +-三个向量共面，则存在,x y R ∈，使得()()()()c x a b y b a x y a x y b =++-=-++，则向量,,a b c 共面，矛盾，故,,a b b a c +-三个向量不共面，因此可以作为空间的一个基底；选项D ：由于()a b c a b c ++=++，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；故选：C4．A【详解】连接,,OM ON 111()()()223MN ON OM OA OB OC CM OA OB OC CB =-=+-+=+--=11112112()()23263263OA OB OC OB OC OA OB OC a b c +---=+-=+-. 故选：A5．B【解析】【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．【详解】解：点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，∴23OM OA =，111()222ON OB OC OB OC =+=+， ∴122113122223a b c MN ON OM OB OC OA =-=+-+=-+．故选：B ．6．D【解析】【分析】利用空间向量的加法与减法可得出OM 关于a 、b 、c 的表达式.【详解】()()21113232MN MA AB BN OA OB OA BC OB OA OC OB =++=+-+=-+- 111322a b c =-++. 故选：D.7．D【解析】【分析】根据点P 与点,,A B C 共面，可得1x y z ++=，验证选项，即可得到答案.【详解】设OP xOA yOB zOC =++，若点P 与点,,A B C 共面，则1x y z ++=，对于选项A ：11131x y z ++=++=≠，不满足题意；对于选项B ：21101x y z ++=--=≠，不满足题意；对于选项C ：11131153230x y z ++=++=≠，不满足题意；对于选项D ：1111333x y z ++=++=，满足题意.故选：D.8．B【解析】【分析】证明出若OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=，则P 、A 、B 、C 四点共面，进而可得出合适的选项.【详解】设OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=，则()1OP xOA yOB x y OC =++--，()()OP OC x OA OC y OB OC ∴-=-+-，则CP xCA yCB =+，所以，CP 、CA 、CB 为共面向量，则P 、A 、B 、C 四点共面. 对于A 选项，OP OA OB OC =++，11131++=≠，P 、A 、B 、C 四点不共面；对于B 选项，111236OP OA OB OC =++，1111236++=，P 、A 、B 、C 四点共面；对于C 选项，1122OP OA OB OC =++，1112122++=≠，P 、A 、B 、C 四点不共面.故选：B.9．D【解析】【分析】由243AP AQ AR AS →→→→=-+，得23RP RQ RS →→→=+，即得解. 【详解】由243AP AQ AR AS →→→→=-+，得23AP AR AQ AR AS AR →→→→→→⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23RP RQ RS →→→=+，所以RP →，,RQ RS →→为共面向量，故,,,P Q R S 四点共面. 故选：D . 10．D 【解析】【分析】根据向量共面列方程，化简求得2m t +. 【详解】2111-≠-，所以,a b 不共线，由于a ，b ，c 共面，所以存在,x y ，使c xa yb =+，即()()()21,2,22,,1,11,t x m y -=--+，()()(),,21,2,22,,t x x y x y y m -+-=-， ()()1,2,22,,2y t x y x x m y ---+=+，21222x y x y mx y t-+=-⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，()()13123222x y m t mx y t =-⎧⎪=-⇒⋅-+⋅-=⎨⎪+=⎩，即26m t +=-.故选：D 11．B 【解析】【分析】根据已知条件用i ，j ，k 表示AC ，AD ，再由空间共面向量定理设AD x AB y AC =+，再列方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为22AB i j k =-+，23BC i j k =+-，35CD i j k λ=+-所以3AC AB BC i j k =+=-- ，()326A AC D CD i j k λ+==++-，由空间共面向量定理可知，存在实数,x y 满足AD x AB y AC =+，即()()()326232i j k x i j k i j k y λ++-=-+-+-，所以332262x y x y x y λ+=+⎧⎪=--⎨⎪-=-⎩，解得221x y λ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以λ的值为1，故选：B. 12．B 【解析】【分析】由四点共面的充要可得21156λ++=，求解即可. 【详解】O 是平面ABC 外任意一点，且2156OM OA OB OC λ=++，若A ，B ，C ，M 四点共面的充要条件是21156λ++=，即1330λ=. 故选：B. 13．A 【解析】【分析】根据向量的共面定理，得到2x y +=，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，存在非零实数λ使得AP BC λ=，可得//AP BC ，即,,,P A B C 四点共面，因为(,0)OP OA xOB yOC x y =-++>，根据向量的共面定量，可得11x y -++=，即2x y +=，又由621621621()()(62)(84222y x x y x y x y x y +=⋅++=⋅+++≥+=+当且仅当62y x x y=时，即x =时，等号成立，所以62x y +的最小值为4+故选：A. 14．D 【解析】【分析】对于A ，利用空间向量基本定理判断，对于B ，利用向量的定义判断，对于C ，举例判断，对于D ，共面向量定理判断【详解】对于A ，若,,a b c 三个向量共面，在平面α，则空间中不在平面α的向量不能用,,a b c 表示，所以A 错误，对于B ，因为向量是自由向量，是可以自由平移，所以当,C AB D 所在的直线是异面直线时，,C AB D 有可能共面，所以B 错误，对于C ，当三个向量,,a b c 两两共面时，如空间直角坐标系中的3个基向量两两共面，但这3个向量不共面，所以C 错误，对于D ，因为A ，B ，C 三点不共线，111236OD OA OB OC =++，且1111236++=，所以A ，B ，C ，D 四点共面，所以D 正确，故选：D 15．B 【解析】【分析】证明出当1x y z ++=，且OM xOA yOB zOC =++，则点M 、A 、B 、C 共面.然后逐项验证可得合适的选项. 【详解】若1x y z ++=，且OM xOA yOB zOC =++，则()1OM xOA yOB x y OC =++--，则()()OM OC x OA OC y OB OC -=-+-，即xCA yCB CM =+，所以，点M 、A 、B 、C 共面. 对于A 选项，1111222++≠，A 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面；对于B 选项，111133-+=，B 选项中的点M 、A 、B 、C 共面；对于C 选项，1111++≠，C 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面；对于D 选项，2111--≠，D 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面. 故选：B. 16．(1)1AC ； (2)12α=，14，34γ=. 【解析】【分析】（1）利用平行六面体的性质及向量的线性运算即得；（2）利用向量线性运算的几何表示可得1113244AB A MN AA D =++，进而即得. (1)∵1111ABCD A B C D -是平行六面体， ∴1111111AA BC AB AA BC A B AC ++=++= (2)∵MN =MB BN +11324DB BC =+()()11324AB AD AA AD =-++ 1113244AB AD AA =++，又1MN AB AD AA αβγ=++， ∴12α=，14，34γ=. 17．(1)1,1,1x y z ==-= (2)11,,122x y z === 【解析】【分析】（1）利用空间向量的加法运算，结合相等向量，由空间向量的基本定理求解；（2）利用空间向量的加法运算，结合相等向量，由空间向量的基本定理求解； (1)解：BD BA AA A D ''''=++，AD AB AA '=-+，又因为BD x AD y AB z AA =+'+'，所以1,1,1x y z ==-=; (2)AE AA A D D E =+''''+，12AA AD DB ='++，()12AA AD AB AD =++-'， 1122AD AB AA =+'+，又因为AE x AD y AB z AA =+'+，所以11,,122x y z ===. 18．D 【解析】【分析】根据四点共面结论：若,,,A B C D 四点共面，则OD aOA bOB cOC =++且1a b c ++=，【详解】若M ，A ，B ，C 四点共面，则21x y -++=，则3x y += 故选：D ． 19．B 【解析】【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量1OG 【详解】连接AG 并延长交BC 于N ，连接ON ，由G 是ABC 的重心，可得23AG AN =，()12ON OB OC =+ 则()()2221112=3332333AG AN ON OA OB OC OA OB OC OA ⎡⎤=-=+-=+-⎢⎥⎣⎦ 则()1111112444333OG OG OA AG OA OB OC OA ⎛⎫==+=++- ⎪⎝⎭111121212OA OB OC =++ 故选：B 20．D 【解析】【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量1OG 【详解】连接AG 并延长交BC 于N ，连接ON ，由G 是ABC 的重心，可得23AG AN =，()12ON OB OC =+则()()2221112=3332333AG AN ON OA OB OC OA OB OC OA ⎡⎤=-=+-=+-⎢⎥⎣⎦ 则()1111112111333333999OG OG OA AG OA OB OC OA OA OB OC ⎛⎫==+=++-=++ ⎪⎝⎭ 故选：D 21．D 【解析】【分析】根据空间向量基本定理即可判断【详解】由于向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底知OA ，OB ，OC 共面，所以O ，A ，B ，C 四点共面故选：D 22．A 【解析】【分析】利用向量减法的三角形法则进行计算即可. 【详解】因为M 是PC 中点，()()()1122BM PM PB PC AB AP AC AP AB AP ∴=-=--=--- 1122AB AC AP =-++，又BM x AB y AC z AP =++， 111,,22x y z ∴=-==，∴0x y z ++=. 故选：A. 23．B 【解析】【分析】利用向量加法的平行四边形法则，减法的三角形法则即可求解【详解】因为E 为1CD 中点，所以()()11111112222AE AD AC AA AD AD AB AA AD AB =+=+++=++ ()11333AC AF AF AC AD AB =⇒==+ 所以1111111213322632EF AF AE AD AB AA AD AB AB AD AA =-=+---=--- 即121362a b c EF =--- 故选：B 24．C 【解析】【分析】以A 为顶点作AB a =，AD b =，1AA c =，作出平行六面体1111ABCD A B C D -，根据空间向量的加法法则作出，,,,x y z a b c ++，然后判断各组向量是否共面可得结论．【详解】如图，作平行六面体1111ABCD A B C D -，AB a =，AD b =，1AA c =，则AC a b =+，1AD b c =+，1AB c a =+，1AC a b c =++，由平行六面体知，,,a b x 共面，,,x y z 不共面，,,b c z 不共面，,,x y a b c ++不共面，因此可以作为空间的基底的有3组．故选：C ．25．D 【解析】【分析】根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可. 【详解】23GF AF AG AC CF AE =-=+-()11121121232332AC AA AB AC AB AC AA =+-⨯+=-++，故选：D ． 26．B 【解析】【分析】根据向量的加法法则及共面向量的基本定理即可求解. 【详解】根据向量的加法法则可得AC AB BC CC AB BC C C '''=++=+-，又23AC x AB yBC zC C ''=++，且,,AB BC C C '不共面，所以 1 2=1 3=-1x y z =⎧⎪⎨⎪⎩，解得111,,23x y z ===-，所以1171236x y z ++=+-=. 故选：B. 27．D 【解析】【分析】根据m 与n 共线，由()xa yb c z a b c ++=-+，即可求解. 【详解】因为m 与n 共线，空间的一组基底{},,a b c ，所以()xa yb c z a b c ++=-+，所以,,1,x z y z z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩解得1,1.x y =⎧⎨=-⎩，所以x ＋y ＝0. 故选：D. 28．B 【解析】【分析】用向量共线或共面的基本定理即可判断. 【详解】若 a 与b ，b 与c 共线，0b = ，则不能判定a c λ= ，故①错误；若非零向量,,a b c 共面，则向量c 可以在一个与,a b 组成的平面平行的平面上，故②错误；,,a b c 不共面，意味着它们都是非零向量，可以作为一组基底，故③正确；c a b λμ=+，∴ c 与,a b 共面，故,,a b c 不能组成一个基底，故④错误；故选：C. 29．C 【解析】【分析】连接,AM AN ，由()111312244AG AM AN AB AA AC =+=++，即可求出答案. 【详解】连接,AM AN 如下图：由于G 是MN 的中点，()12AG AM AN =+∴ 11111222AA AC AB AA ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1131244AB AA AC =++. 根据题意知1AG xAB yAA zAC =++.32x y z ∴++=. 故选：C. 30．C 【解析】【分析】根据题意、空间向量基底的概念和共线的运算即可判断命题①②③，根据空间向量的平行关系即可判断命题④. 【详解】①：向量a b ，与空间任意向量都不能构成一个基底，则a 与b 共线或a 与b 其中有一个为零向量，所以//a b ，故①正确；②：由向量a b b c c a +++，，是空间一组基底，则空间中任意一个向量d ，存在唯一的实数组()x y z ，，使得d ()()()()()()x a b y b c z c a x z a x y b y z c =+++++=+++++，所以a b c ，，也是空间一组基底，故②正确；③：由{}a b c ，，为空间一组基底，若0()xa yb zc x y z R ++=∈，，，则0x y z ===，所以2220x y z ++=，故③正确；④：对于任意非零空间向量123()a a a a =，，，123()b b b b =，，，若//a b ，则存在一个实数λ使得=a b λ，有112233a b a b a bλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，又123b b b ，，中可以有为0的，分式没有意义，故④错误. 故选：C 31．BD 【解析】【分析】根据空间向量运算判断AB 选项的正确性，根据三点共线、四点共面的知识判断CD 选项的正确性. 【详解】A C AC AB AD a b c A A AA '=-=+-='+'-，A 选项错误. ()()11112222AM AC A AB AD AD a b c D AA =+=+++='++'，B 选项正确. 12A C A P ''=则P 是A C '的中点， ()()()111222c AP AC AA AB AD A b A a ''=+=++++=， c AD b AD AA ''=+=+，则不存在实数λ使AP AD λ'=，所以C 选项错误.()1112212122P a b c a b c b M AM AP AD +==⎛⎫=--= ⎪⎝++⎭+，由于,P M ∉直线AD ，所以,,,A P M D 四点共面，所以D 选项正确. 故选：BD 32．ABD 【解析】【分析】利用空间向量的基底的概念及空间向量基本定理逐项分析即得. 【详解】∵a ，b ，c 是空间的一个基底，则a ，b ，c 不共面，且两两共面､不共线， ∴若0xa yb zc ++=，则0x y z ===，A 正确，B 正确；若存在x ，y 使得a xb yc =+，则a ，b ，c 共面，与已知矛盾，C 错误；设()()()22a b x b c y c a ya xb y x c +=-++=++-，则21,1,0,y x y x =⎧⎪=⎨⎪-=⎩，此方程组无解，∴a b +，b c -，2c a +不共面，D 正确. 故选：ABD. 33．ABC 【解析】【分析】空间向量垂直的数量积表示可判断A ；由向量四点共面的条件可判断B ；由空间向量基底的定义可判断C ； a b ⋅是一个数值，c b ⋅也是一个数值，说明a 和c 存在倍数关系，或者说共线，可判断D. 【详解】空间向量a ，()0,0b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=，故A 正确；对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，且1111632++=，则P 、A 、B 、C 四点共面，故B 正确；因为{},,a b c 是空间的一组基底，所以,,a b c 不共面，m a c =+，则,,+a b a c 也不共面，即{},,a b m 也是空间的一组基底，故C 正确；任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，由于a b ⋅是一个数值，c b ⋅也是一个数值，则说明a 和c 存在倍数关系，或者说共线，不一定相等，故D 错误. 故选：ABC. 34．CD 【解析】【分析】根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可. 【详解】因为点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，所以由平面向量基本定理可知：()()AP y AC z AB AO OP y AO OC z AO OB =+⇒+=+++，化简得：(1)OP y z OA yOC zOB =--++，显然有11y z y z --++=，而12OP OA mOB nOC =+-，所以有11122m n m n +-=⇒-=，当1m =，12n =-时，32m n -=，所以选项A 不可能；当12m =，1n =时，12m n -=-，所以选项B 不可能；当12m =-，1n =-时，12m n -=，所以选项C 可能；当32m =，1n =时，12m n -=，所以选项D 可能，故选：CD 35．ABD 【解析】【分析】根据空间向量基本定理即可判断出各个选项的正误．【详解】解：对于选项A ：三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，所以选项A 正确，对于选项B ：三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，所以选项B 正确，对于选项C ：(c a b λμλ=+、R μ∈且λ、0)μ≠，∴a ，b，c 共面，不能构成基底，所以选项C 错误，对于选项D ：OA 、OB 、OC 共起点，若O 、A 、B 、C 四点不共面，则必能作为空间的一个基底，所以选项D 正确，故选：ABD ．36．BC【解析】【分析】根据空间向量基底概念分别判断即可．【详解】对于A，若存在不全为零的实数x，y，z，使得x y za b c，++=0{a，b，}c不能构成空间的一个基底，所以A错；对于B，因为{a，b，}c构成空间的一个基底，所以对空间任一向量p，总存在唯一的有序实数组(x，y，)z，使得p xa yb zc=++，所以B对；对于C，因为2()()b a b a b=+--，=++-，2()()a ab a b所以a，b，不能与a b+，a b-构成空间另一个基底；又因为设x，y，z R∈若()()0++-+=x a b y a b zc⇒++-+=⇒===，x y a x y b zc x y z()()00所以c与a b+，a b-构成空间另一个基底；所以在a，b，c中，能与a b+，a b-构成空间另一个基底的只有c，所以C对；对于D，存在，根据向量运算几何意义，++表示以O为顶点，以1a，2b，3c为相邻三边的长方体对角线，a b c23绕此对角线长方体旋转，基底也变为另一基底{a'，b'，}c'，都满足2323++='+'+'，所以D错误．a b c a b c故选：BC37．ACD【解析】【分析】利用空间向量共面定理及数量积运算，逐一分析判断即可．【详解】解：对于A ，空间任意向量,a b 都是共面向量，所以A 正确；对于B ，已知P ，A ，B ，C 四点共面，对空间任意一点O ，若2OP OA OB tOC =++，则211t ++=，解得2t =-，所以B 错误；对于C ，在四面体中P ABC -，若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则()()2PA BC PB BA PC PB PB PC PB BA PC BA PB ⋅=+⋅-=⋅-+⋅-⋅ ()2PB PC PB BA PB PB PC PB BA =⋅--⋅=⋅--0PB AC =⋅=，所以C 正确；对于D ，因为向量,,,a b b c c a +++是空间一组基底，则对于空间任一向量()d x y z =，，，都存在实数m ，n ，p ，使得()()()()d x y z m a b n b c p c a ==+++++，，，即()()()d m p a m n b n p c =+++++，所以,,a b c 也是空间的一组基底，所以D 正确．故选：ACD ．38．AC【解析】【分析】根据基底的性质，结合各选项中向量的线性关系、空间向量基本定理判断M 、A 、B 、C 是否共面，即可知{,,}MA MB MC 是否能成为空间基底.【详解】A ：因为111345OM OA OB OC =++，且1111345++≠，利用平面向量基本定理知：点M 不在平面ABC 内，向量,,MA MB MC 能构成一个空间基底；B ：因为2MA MB MC =+，利用平面向量基本定理知：向量,,MA MB MC 共面，不能构成一个空间基底；C ：由23,1231OM OA OB OC =++++≠，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法知：OM 是以点O 为顶点的对角线，向量,,MA MB MC 能构成一个空间基底；D ：由32MA MB MC =-，根据平面向量的基本定理知：向量,,MA MB MC 共面，不能构成空间的一个基底.故选：AC.39．1122a b c -++ 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算，结合题意，求解即可.【详解】根据题意，()1111111122BM BA AA A M AB AA AC AB AA AB BC =++=-++=-+++ 11122AB BC AA =-++=1122a b c -++. 故答案为：1122a b c -++.40．0【解析】【分析】由2=PM MC 可得出BM 关于{},BP BC 的表达式，再利用空间向量的减法可求得x 、y 、z 的值，即可得解.【详解】因为2=PM MC ，则()2BM BP BC BM -=-，所以，()()121221333333BM BP BC AP AB AC AB AB AC AP =+=-+-=-++，所以，1x =-，23y =，13z =，因此，0x y z ++=.故答案为：0.41．④【解析】【分析】通过反例可知①②错误；根据平面向量基本定理、空间向量基本定理可判断出③④正误.【详解】对于①，若0a b ==，则对于平面内任意一个向量p ，无法得到(),p a b R λμλμ=+∈，①错误；对于②，若0a b ==，则,λμ为任意实数，②错误；对于③，若p 与,a b 不共面，则对于空间任意一个向量p ，无法得到p a b λμ=+(),R λμ∈，③错误；对于④，由平面向量基本定理可知④正确.故答案为：④.42．13-【解析】连接OD ，根据题意，结合空间向量加减法运算求解即可.【详解】解：连接OD∵四面体OABC 中，D ，E 分别在AB ，OC 上，且AD DB =，2OE EC = ∴()2111232223DE OE OD OC OA OB OA OB OC =-=-+=--+∴121223αβγ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩∴13αβγ++=-.故答案为：13-43．111444a b c ++【解析】【分析】利用空间的基底结合空间向量的线性运算计算即可得解.,,OA a OB b OC c ===，而M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，则1()2OM OB OC =+1122b c =+，因AP ＝3PN ，23ON OM =，则33()44OP OA AP OA AN OA ON OA =+=+=+-132111443444OA OM a b c =+⋅=++，所以111444OP a b c =++. 故答案为：111444a b c ++44．()12c a b -- 【解析】【分析】根据给定条件利用空间向量的线性运算即可得解.【详解】三棱锥O ABC -，点M ，N 分别为线段AB ，OC 的中点，则()11112222MN MB BO ON AB OB OC OB OA OB OC =++=-+=--+()11112222OC OA OB c a b =--=--，所以MN 等于()12c a b --．故答案为：()12c a b --. 45．（1）（4）【解析】根据共线向量，向量垂直，向量的基本定理，向量数量积的定义与性质，逐一分析5个命题的真假，即可得解．【详解】（1）若a b a b -=+，则a ，b 反向共线，即满足充分条件，但当非零向量a ，b 同向共线时，不存在a b a b -=+，即满足不必要条件，故（1）正确；（2）若向量a ，b 中有一个零向量，则存在无数个实数λ，使a b λ=，即（2）错误；（3）若0a b ⋅=，0b c ⋅=，说明a b ⊥，b c ⊥，不一定存在a c =，即（3）错误；（4）令()()a b b c c a λμ+=+++，则()a b a b c μλλμ+=+++，所以110λμλμ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，无解，即a b +，b c +，c a +不共面，所以{},,a b b c c a +++构成空间的另一基底，即（4）正确；（5）()()cos ,a b c a b c a b c a b ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅，即（5）错误．命题（1）（4）正确．故答案为：（1）（4）．46．(1)111333OG OA OB OC =++(2)73【解析】【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；（2）由（1）可得111()()333OG AB OA OB OC OB OA ⋅=++⋅-，根据空间向量数量积的运算律及定。

高二历史人民版选修4课件：专题一第三课康乾盛世的开创者——康熙

化联系的积极作用。
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[答案]
(1)背景：镇压地方分裂割据势力，统一
已成历史趋势；殖民势力的入侵，威胁清王朝的统治。意图：加强对台湾的管辖。 (2)作用：经济上，大量移民进入台湾，缓解了福建沿海人口和生活压力，促进了台湾经济开发；文化上，输送福建教育人才，促进了台湾文化教育发展。
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一、为什么说《尼布楚条约》是平等的？ (1)谈判双方的形势：中国方面，1688年春，中国西北地区噶尔丹搞分裂活动，对中国方面产生了不利影响，清政府不得不在谈判中作出重大让步；俄国方面，俄国军
远征克里米亚失败，俄国政府遭到国内贵族、商人的反对，
也希望早日议和。 (2)谈判是按对等的原则安排的：双方兵力，参加谈判的人数对等。
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(3)双方代表在各自政府事先指示的范围内谈判，最
后签订的条款均未越出两国政府同意接受的范围；条约明确划定中俄两国东段边界，从法律上肯定了黑龙江和乌苏里江流域的广大地区都是中国领土。
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二、康熙帝在捍卫统一多民族国家的过程中表现出的优秀品质是什么？ (1)康熙帝14岁亲政，对于辅政大臣鳌拜的处置就显
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[例] 材料一
(2012·福建高考)阅读下列材料，回答问题。雍正五年(1727)台湾知府沈起元条陈台湾事宜
称：“漳泉内地无籍之民，无田可耕，无工可佣，无食可觅。一到台地，上之可以致富，下之可以温饱。”„„据统计，台湾归统时约有人口20万左右，到嘉庆中期，总人口已达 200万之众。 ——陈锋等《中国经济通史》
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材料二
1684年，清政府设立台湾府，下辖台湾、
凤山、诸罗三县。„„从康熙到嘉庆年间，先后担任府儒学教授的36人、训导23人，台湾县儒学教谕36人、训导25人，凤山县儒学教谕34人、训导11人，全部都是福建人。 ——陈孔立《台湾历史纲要》

高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题3-4幂函数-教师版

专题3.4幂函数练基础1．（2021·全国高一课时练习）下列命题中，不正确的是（）A ．幂函数y =x -1是奇函数B ．幂函数y =x 2是偶函数C ．幂函数y =x 既是奇函数又是偶函数D ．y =12x 既不是奇函数，又不是偶函数【答案】C 【解析】根据奇偶函数的定义依次判断即可.【详解】因为11xx -=，11=--xx ，所以A 正确；因为22()x x -=，所以B 正确；因为x x -=不恒成立，所以C 不正确；因为12y x =定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D 正确.故选：C.2.（2020·上海高一课时练习）下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞上单调递增的函数是()A ．2y x -=-B ．23y x=-C ．13y x=-D ．3y x-=【答案】B 【解析】A:2y x-=-为偶函数，且在()0,∞+上递增，即2y x -=-在(,0)-∞上单调递减，排除；B:23y x =-为偶函数，在(,0)-∞上单调递增；C:13y x=-为奇函数，故排除；D:3y x -=为奇函数，故排除.故选:B.3．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））幂函数()221()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则实数m 的值为（）A ．0B ．1C ．1或2D ．2【答案】D 【解析】由题意()f x 为幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =.因为()f x 在()0,∞上为增函数，所以210m ->，即12m >，所以2m =.故选D.4．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数3()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是()A ．()f x 的定义域和值域相等B ．()f x 的图象关于原点中心对称C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 是奇函数【答案】C 【解析】3()-=f x x ，函数的定义域和值域均为()(),00,-∞⋃+∞，A 正确；3()-=f x x ，()()33()f x x x f x ---=-=-=-，函数为奇函数，故BD 正确；()f x 在(),0-∞和()0,∞+是减函数，但在()(),00,-∞⋃+∞不是减函数，C 错误.故选：C.5．（2020·上海高一课时练习）若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的图像（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】B 【解析】设()f x x α=，依题意可得1()42α=，解得2α=-，所以2()f x x -=，因为22()()()f x x x f x ---=-==，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称.故选：B.6．（2019·延安市第一中学高三月考（文））已知幂函数()f x x α=的图像过点1(,22，则方程()2f x =的解是（）A ．4B ．22C ．2D ．12【答案】A 【解析】依题意得12(22α=，解得12α=，所以12()f x x =，由()2f x =得122x =，解得4x =.故选：A.7．（2021·浙江高一期末）幂函数()()22222m f x m m x -=--在()0,∞+为增函数，则m 的值是（）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B 【解析】由幂函数解析式的形式可构造方程求得1m =-或3m =，分别验证两种情况下()f x 在()0,∞+上的单调性即可得到结果.【详解】()f x 为幂函数，2221m m ∴--=，解得：1m =-或3m =；当1m =-时，()1f x x -=，则()f x 在()0,∞+上为减函数，不合题意；当3m =时，()7=f x x ，则()f x 在()0,∞+上为增函数，符合题意；综上所述：3m =.故选：B.8．（2021·全国高一课时练习）下列结论正确的是（）A ．幂函数图象一定过原点B ．当0α<时，幂函数y x α=是减函数C ．当1α>时，幂函数y x α=是增函数D ．函数2y x =既是二次函数，也是幂函数【答案】D 【解析】由函数1y x -=的性质，可判定A 、B 不正确；根据函数2y x =可判定C 不正确；根据二次函数和幂函数的定义，可判定D 正确.【详解】由题意，函数1y x -=的图象不过原点，故A 不正确；函数1y x -=在(,0)-∞及(0,)+∞上是减函数，故B 不正确；函数2y x =在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，故C 不正确；根据幂函数的定义，可得函数2y x =是二次函数，也是幂函数，所以D 正确.故选：D.9．（2021·全国高一课时练习）幂函数的图象过点(3，)，则它的单调递增区间是（）A ．[-1，+∞)B ．[0，+∞)C ．(-∞，+∞)D ．(-∞，0)【答案】B 【解析】根据利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据幂函数求出单调增区间即可.【详解】设幂函数为f (x )=x α，因为幂函数的图象过点(3，，所以f (3)=3α123，解得α=12，所以f (x )=12x ，所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞).故选：B10．（2021·全国高三专题练习）下列关于幂函数图象和性质的描述中，正确的是（）A ．幂函数的图象都过(1,1)点B ．幂函数的图象都不经过第四象限C ．幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种D ．幂函数必定是增函数或减函数中的一种【答案】AB 【解析】举反例结合幂函数的性质判断即可.【详解】因为11α=，所以的幂函数都经过(1,1)，故A 正确；当0x >时，0x α>，幂函数的图象都不经过第四象限，故B 正确；12y x =的定义域为[)0,+∞，为非奇非偶函数，故C 错误；1y x=在(),0-∞和()0,∞+上为减函数，但在定义域内不是减函数，故D 错误.故选：AB练提升1．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））若a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23，b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23，c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c【答案】D 【解析】∵y ＝x23(x >0)是增函数，∴a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23>b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23.∵y ＝12⎛⎫⎪⎝⎭x 是减函数，∴a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23＜c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，∴b ＜a ＜c .故本题答案为D.2．（2019·湖北高三高考模拟（理））幂函数op =的图象过点(2,4)，且=12，=(13)，=−log 3，则、、的大小关系是（）A．>>B．>>C．>>D．>>【答案】C【解析】幂函数op =的图象过点(2,4)，∴2＝4，m ＝2；∴=12=2>1，=(13)=19∈0,1，=−log 3＝﹣log 23＜0，∴2＞19＞−log 23，∴>>．故选：C ．3．（2021·全国高三专题练习）已知幂函数()f x x α=满足()()2216f f =，若()4log 2a f =，()ln 2b f =，()125c f -=，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a>>【答案】C 【解析】由()()2216f f =可求得13α=，得出()f x 单调递增，根据单调性即可得出大小.【详解】由()()2216f f =可得4222αα⋅=，∴14αα+=，∴13α=，即()13f x x =.由此可知函数()f x 在R 上单调递增.而由换底公式可得242log 21log 2log 42==，22log 2ln 2log e =，125-=，∵21log 2e <<，∴2222log 2log 2log 4log e<，于是4log 2ln 2<，12<，∴1245log 2-<，故a ，b ，c 的大小关系是b a c >>.故选：C.4．（2021·安徽高三二模（理））函数()nxf x x a =，其中1a >，1n >，n 为奇数，其图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析()f x 在()0,∞+、(),0-∞上的函数值符号，及该函数在()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意x ∈R ，0x a >，由于1n >，n 为奇数，当0x <时，0n x <，此时()0f x <，当0x >时，0n x >，此时()0f x >，排除AC 选项；当0x >时，任取1x 、()20,x ∈+∞且12x x >，则120x x a a >>，120n nx x >>，所以()()12f x f x >，所以，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，排除D 选项.故选：B.5．（2021·新疆高三其他模拟（理））若实数m ，n 满足m n >，且0mn ≠，则下列选项正确的是（）A ．330m n ->B ．1122m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()lg 0m n ->D ．11m n<【答案】A 【解析】利用幂函数、指数函数单调性和对数的运算可求解.【详解】解：∵函数3y x =，在R x ∈时单调递增，且m n >，∴330m n ->，故A 正确；∵函数1(2x y =，在R x ∈时单调递减，且m n >，∴11()()22mn<，故B 错误；当11,2m n ==时，()1lg lg 02m n -=<，故C 错误；当,11m n ==-时，1111m n=>=-，故D 错误；故选：A.6.【多选题】（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数()f x x α=图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若1x >，则()1f x >D ．若120x x <<，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭.【答案】ACD 【解析】将点(4,2)代入函数()f x x α=得：2=4α，则1=2α.所以12()f x x =，显然()f x 在定义域[0,)+∞上为增函数，所以A 正确.()f x 的定义域为[0,)+∞，所以()f x 不具有奇偶性，所以B 不正确.当1x >1>，即()1f x >，所以C 正确.当若120x x <<时，()()122212()()22f x f x x x f ++-=22-.122x x +-.=0<.即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，所以D 正确.故选：ACD.7．【多选题】（2021·湖南高三月考）已知函数1,0(),0x x e x f x xe x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有且仅有一个实数解，且幂函数()a g x x =在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值可能是（）A ．1B ．1eC ．2D ．e【答案】AD 【解析】作出()f x 的图象，根据方程根的个数判断参数a 的取值，再结合函数()a g x x =在()0,∞+上单调递增，即可求解出结果．【详解】当0x ≤时，()x f x xe =，()()1xf x e x '=+，当1x <-时()0f x '<，当10x -<<时()0f x '>所以()x f x xe =在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递增，最小值为1(1)f e --=-；所以()f x 的图象如图所示，因为()f x a =有且仅有一个实数解，即()y f x =的图象与y a =有且只有一个交点，所以[)1,1,0,a e e ⎧⎫∈+∞-⎨⎬⎩⎭，又因为()a g x x =在()0,∞+上单调递增，所以0a >，所以[){},1a e ∈+∞ .故选：AD8.（2019·上海高考模拟）设∈12,−1,−2,3，若=为偶函数，则=______．【答案】−2【解析】由题可知，=−2时，=−2，满足f(-x)=f(x),所以是偶函数；=13,12,−1,3时，不满足f(-x)=f(x),∴=−2．故答案为：−2．9．（2021·全国高三专题练习（理））已知幂函数()39*N m y x m -=∈的图像关于y 轴对称，且在()0,∞+上函数值随着x 的增大而减小.（1）求m 值.（2）若满足()()22132mma a +<-，求a 的取值范围.【答案】（1）1m =；（2）()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意可知39m -为负偶数，且*N m ∈，即可求得m 值；（2）将所求不等式化为()()22132a a +<-，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为函数39*()m y x m N -=∈在()0,∞+上单调递减，所以390m -<，解得3m <.又因为*m N ∈，所以1m =，2；因为函数的图象关于y 轴对称，所以39m -为偶数，故1m =.（2）由（1）可知，1m =，所以得()()22132a a +<-，解得4a >或23<a ，即a 的取值范围为()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.10．（2021·浙江高一期末）已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2g x x k =-．（1）求m 的值；（2）当[1,2)x ∈时，记(),()f x g x 的值域分别为集合A ，B ，设:,:p x A q x B ∈∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．（3）设2()()1F x f x kx k =-+-，且|()|F x 在[0,1]上单调递增，求实数k 的取值范围．【答案】（1）0m =；（2）01k ≤≤；（3）[][)1,02,-+∞ 【解析】（1）由幂函数的定义2(1)1m -=，再结合单调性即得解.（2）求解()f x ，()g x 的值域，得到集合A ，B ，转化命题p 是q 成立的必要条件为B A ⊆，列出不等关系，即得解.（3）由（1）可得22()1F x x kx k =-+-，根据二次函数的性质，分类讨论02k ≤和12k ≥两种情况，取并集即可得解.【详解】（1）由幂函数的定义得：2(1)1m -=，0m ⇒=或2m =，当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去；当0m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，符合题意；综上可知：0m =.（2）由（1）得：2()f x x =，当[1,2)x ∈时，[)()1,4f x ∈，即[)1,4A =，当[1,2)x ∈时，[)()2,4g x k k ∈--，即[)2,4B k k =--，由命题p 是q 成立的必要条件，则B A ⊆，显然B ≠∅，则2144k k -≥⎧⎨-≤⎩，即10k k ≤⎧⎨≥⎩，所以实数k 的取值范围为：01k ≤≤.（3）由（1）可得22()1F x x kx k =-+-，二次函数的开口向上，对称轴为2k x =，要使|()|F x 在[0,1]上单调递增，如图所示：或即02(0)0k F ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩或12(0)0k F ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，解得：10k -≤≤或2k ≥.所以实数k 的取值范围为：[][)1,02,-+∞ 练真题1.（2019·全国高考真题（理））若a >b ，则（）A．ln(a −b )>0B．3a <3b C．a 3−b 3>0D．│a │>│b │【答案】C 【解析】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A；因为9333a b =>=，知B 错，排除B；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C．2．（2020·天津高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩ 若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,(0,2)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)2)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D.3.（2020·江苏高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x=，则f (-8)的值是____.【答案】4-【解析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-4.(2018·上海卷)已知α－2，－1，－12，12，1，2，3f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝.【答案】-1【解析】∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f (x )＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故α＝－1.5.（浙江省高考真题（文））已知函数()2,1{ 66,1x x f x x x x ≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦，()f x 的最小值是．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.6．（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x (x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的所有值为________．【答案】－1【解析】试题分析：设点1,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0x >，则PA ===令1,0,2t x x t x=+>∴≥ 令()()22222222g t t at a t a a =-+-=-+-（1）当2a ≥时，t a =时()g t 取得最小值()22g a a =-，=，解得a =（2）当2a <时，()g t 在区间[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，()g t 取得最小值()22242g a a =-+=1a =-综上可知：1a =-或a =所以答案应填：-1.。

高二数学复习典型题型与知识点专题讲解3---直线的倾斜角与斜率式(解析版)

高二数学复习典型题型与知识点专题讲解03 直线的倾斜角与斜率+直线的方程+直线的交点坐标和距离公式一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 倾斜角与斜率知识点2 点斜式方程知识点3 五种方程知识点4 点的对称知识点5 线的对称知识点6 点到直线的距离知识点7 直线系（束）二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 倾斜角与斜率例1．（2021·重庆市朝阳中学高二阶段练习）若直线1y kx =+与连接(2,3),(3,2)A B -的线段总有公共点，则k 的取值范围是（）A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[)1,1,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦C ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(]1,1,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ 【答案】B由直线1y kx =+可得直线的斜率为k ，且过定点()0,1P ，又(2,3),(3,2)A B -，则由图可得，要使直线与线段AB 总有公共点，需满足PA k k ≥或PB k k ≤，又312111,20303PA PB k k --====----， ∴1a ≥或13a ≤-.故选：B.名师点评：直线l 的斜率是“在中间”还是“在两边”？取决于过点P 且垂直于x 轴的直线与线段AB 是否有交点.①若有交点，则斜率“在两边”即PA k k ≥或PB k k ≤；②若没有交点，则斜率“在中间”即PA PB k k k ≤≤.本例属于①.练习1-1．（2021·全国·高二课时练习）已知点2)A ，(4,3)B -，若直线l 过点(0,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A ．536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．[263ππ，] C ．3064πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，，D ．5036πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，，【详解】如图所示，由A 2），B （4，﹣3），P （0，1），可得斜率k PA=k PB ()1304--==--1，因为直线l 与线段AB 相交，所以直线l 的倾斜角的取值范围是3064πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，，. 故选：C .名师点评：根据例题1的结论过点P 且垂直于x 轴的直线与线段AB 无交点，故直线l 的斜率满足PB PA k k k ≤≤,从而求出直线l 的取值范围，1k -≤≤，进一步根据直角坐标系求出倾斜角的取值范围.例2．（2021·全国·高二课时练习）若A ，B 两点的横坐标相等，则直线AB 的倾斜角和斜率分别是（） A ．45，1B ．135，－1C ．90，不存在D ．180，不存在【答案】C【详解】由倾斜角和斜率的定义可知，直线AB 的倾斜角为90°，而当倾斜角为90°时，斜率不存在．故选：C.名师点评：对于直线l ，当倾斜角90α=时，直线l 的斜率不存在.知识点2 点斜式方程例1．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC ∆的三个顶点分别为()30A -,，()2,1B ，()2,3C -，BC 中点为D 点，求：（1）BC 边所在直线的方程;（2）BC 边上中线AD 所在直线的方程;（3）BC 边的垂直平分线的方程.【答案】（1）240x y +-=（2）2360x y -+=（3）220x y -+=（1）311222BC k -==---，故BC 边所在直线的方程为：()1122y x -=--，化简得到240x y +-=.（2）BC 中点D 为2213,22-+⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()0,2，故()202033AD k -==--，故AD 所在直线的方程为223y x =+，即2360x y -+=. （3）12BC k =-，故垂直平分线的斜率为2k =，中点为()0,2，故垂直平分线的方程为22y x =+，即220x y -+=.练习1-1．（2021·山东乳山·高二期中）已知,(0,0),3ABC A B ABC π∆∠=，y 轴为BC 边中线（1）求AC 边所在直线方程；（2）求CAB ∠角平分线所在直线方程．【答案】（10y +=（2）(2y x =（1）因为AB k =，AB 倾斜角为6π，3ABC π∠=，设BC 交y 轴于点M ，则根据条件可知ABM为等边三角形，则(0,M ，M 为BC中点，则(C -．AC k =AC0y +=．（2）因为AC k = AC 倾斜角为23π，所以2362BAC πππ∠=-=，所以A ∠内角角平分线斜率为tan tan 164tan 2641tan tan 64k ππππππ+⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭- 故A ∠内角平分线所在直线方程为(2y x =．名师点评：1、直线的点斜式方程：00()y y k x x -=-；2、点斜式方程是由直线上一点和该直线的斜率确定的,点斜式的前提是直线的斜率存在.因此点斜式不能表示平行于y 轴的直线.当直线倾斜角为90时,斜率不存在,此时直线方程为0x x =.3、当直线倾斜角为0时,此时直线方程为0y y =.4、方程00y y k x x -=-表示直线去掉一个点00(,)P x y ；方程00()y y k x x -=-表示一条直线. 知识点3 五种方程例1．（2021·全国·高二课时练习）直线1l ：y ax b =+与直线2l ：y bx a =+(0ab ≠，a b ≠)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】对B ，2l 斜率为正，在y 轴上的截距也为正，故不可能有1l 斜率为负的情况.故B 错.当,0a b >时， 1l 和2l 斜率均为正，且截距均为正.仅D 选项满足.故选：D名师点评：明确直线斜截式方程y kx b =+中k 表示直线的斜率，b 表示直线的纵截距.例2．（2021·全国·高二课前预习）求过点(4,2)A ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程．【答案】x －2y ＝0或x ＋y －6＝0或x －y －2＝0.【详解】当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上的截距都是0，满足题意．此时，直线的斜率为12，所以直线l 的方程为y ＝12x ，即x －2y ＝0. 当直线不过原点时，由题意可设直线方程为1x y a b +=.又因为过点A ，所以421a b+=. ① 因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a |＝|b |. ②由①②联立方程组，解得6,6a b =⎧⎨=⎩或2,2.a b =⎧⎨=-⎩所以所求直线的方程为166x y +=或122x y +=-，化简得直线l 的方程为x ＋y ＝6或x －y ＝2，即直线l 的方程为x ＋y －6＝0或x －y －2＝0，综上，直线l 的方程为x －2y ＝0或x ＋y －6＝0或x －y －2＝0.名师点评：一般来说直线在坐标轴上的截距的绝对值相等,则有三种情况:一是截距相等,斜率为-1;二是截距互为相反数,斜率为1;三是直线过原点.特别提醒：不要忽略了直线过原点，此时直线的横纵截距相等，也可以说横纵截距绝对值相等. 练习2-1．（2021·浙江·绍兴一中高二期中）如图，过点()2,1P 的直线l 交x 轴，y 轴正半轴于A ､B 两点，求使：（1）AOB ∆面积最小时l 的方程；（2）PA PB ⋅最小时l 的方程.【答案】（1）240x y +-=（2）30x y +-=（1）设直线的方程为1(2,1)x y a b a b+=>>，直线l 过点(2,1)P ，∴211a b+=． 212121a b a b +=， 8ab ∴．118422AOB S ab ∴=⨯=．当且仅当2112a b ==，即4a =，2b =时，AOB S 取最小值4，此时直线l 的方程为142xy +=，即240x y +-=．（2）由211a b+=，得20ab a b --=，变形得(2)(1)2a b --=，2||||(20)PA PB -+21][(1)4]2(2)4(1)b a b -+--．当且仅当21a -=，12-=b ，即3a =，3b =时，||||PA PB 取最小值4．此时直线l 的方程为30x y +-=．知识点4 点的对称例1．（2021·浙江·宁波咸祥中学高二期中）求(3,5)A -关于直线:3440l x y -+=对称的点的坐标___________.【答案】()3,3-【详解】设对称点为(,)B x y ，则5313435344022y x x y -⎧⨯=-⎪⎪+⎨-+⎪⨯-⨯+=⎪⎩，解得33x y =⎧⎨=-⎩，所以对称点坐标为(3,3)-，故答案为：(3,3)-．名师点评：点关于直线对称若点00(,)P x y 关于直线0(0)Ax By C B ++=≠的对称点为(,)P m n '解题思路(中点+垂直)①直线PP '与直线0(0)Ax By C B ++=≠的斜率互为负倒数,②线段PP '的中点00(,)22x m y n ++一定在直线0(0)Ax By C B ++=≠上. 即0000()1022n y A m x B x m y n A B C -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪⋅+⋅+=⎪⎩ 结论：00022000222()2()A m x Ax By C A B B n y Ax By C A B ⎧=-++⎪⎪+⎨⎪=-++⎪⎩+(不推荐记忆）练习1-1．（2021·上海·华师大二附中高二阶段练习）一条光线经过点(2,3)A 射到直线10x y ++=上，被反射后经过点(1,1)B ，则入射光线所在直线的方程为___________.【答案】5420x y -+=【详解】设点B 关于直线10x y ++=的对称点为()00,B x y '，则()00001110221111x y y x ++⎧++=⎪⎪⎨-⎪⋅-=--⎪⎩，解得0022x y =-⎧⎨=-⎩，所以()2,2B '--，又点(2,3)A ，所以()()325224AB k '--==--，直线AB '的方程为：()5324y x -=-，由图可知，直线AB '即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程:5420x y -+=.故答案为：5420x y -+=.练习1-2．（2021·全国·高二单元测试）有一光线从点()3,5A -射到直线l ：3440x y -+=以后，再反射到点(2,15)B ，则这条光线的反射线所在直线的方程为_____________．【答案】18510x y +-=【详解】设点()3,5A - 关于直线l ：3x ﹣4y +4＝0的对称点为(),C m n ，则3534402253134m n n m -++⎧⋅-⋅+=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪+⎩，解得m ＝3，n ＝﹣3，∴()3,3C -， ∵()2,15B ，∴直线BC 的方程为y +3()153323x +=--，即18510x y +-=．故答案为：18510x y +-=．知识点5 线的对称例1．（2021·全国·高二专题练习）直线230x y -+=关于点(1,1)对称的直线方程为____________.【答案】210x y --=【详解】设直线230x y -+=关于点(1,1)对称的直线方程为l '，在l '上任取一点(),P x y ，则点P 关于点(1,1)对称的点P '的坐标为()2,2x y --，由题意可知点P '在直线230x y -+=上，故()()22230x y ---+=，整理可得210x y --=.故答案为：210x y --=名师点评：直线关于点对称（求直线l 关于00(,)P x y 的对称直线l '）方法1:转化为点关于点对称的问题①在已知直线l 上任取两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，分别求出1P ，2P 关于00(,)P x y 的对称点3P ，4P ，再利用点斜式求出l '.②轨迹方程法：设对称直线l '上的任意一点(,)P x y ，求出(,)P x y 关于00(,)P x y 的对称点111(,)P x y ，则111(,)P x y 在直线l 上，求出l '.方法2:由中心对称性质知,所求对称直线与已知直线平行,用点到两直线的距离相等求解. 本题采用的是轨迹方程法，逆向求出对称直线.练习1-1．（2021·全国·高二课时练习）直线:210l x y +-=关于点(1,2)A 的对称直线方程为_________________【答案】290x y +-=【详解】解：在所求直线上取点(),x y ，关于点A (1,2)对称的点的坐标为()2,4x y --，代入直线210x y +-=，可得()22410x y -+--=即290x y +-=.故答案为：290x y +-=.例2．（2021·全国·高二课时练习）已知直线:0l x y -=，1:220--=l x y ，则1l 关于l 对称的直线方程为_____.【答案】220x y【详解】联立0220x y x y -=⎧⎨--=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩， ∴直线l 与1l 的交点坐标为()2,2，在直线1l 上任取一点()0,2-，其关于直线l 的对称点为()2,0-，由点()2,2和点()2,0-，可得()()20222y x -=⋅+--，即220x y ．故答案为：220x y ．名师点评：直线关于直线对称的问题（求直线1l 关于直线l 的对称直线2l ）方法1:转化为点关于直线对称的问题.①1l l ，在1l 上分别取两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，分别求出1P ，2P ，关于直线l 的对称点3P ，4P ，再利用点斜式求出2l ；②1l l ，根据1l l ，设出2l 的直线方程(与1,l l 都平行）再利用平行直线间的距离公式求出1l 与l 的距离1d ，l 与2l 的距离2d ，则12d d =，求出2l .③1l 与l 相交,先求出交点坐标000(,)P x y ，接着在1l 上任取一点111(,)P x y （非000(,)P x y ），求出1P 关于l 的对称点222(,)P x y ，利用2P ，0P 两点求出2l方法2：轨迹方程法：设对称直线2l 上的任意一点(,)P x y ，求出(,)P x y 关于l 的对称点111(,)P x y ，则111(,)P x y 在直线1l 上，求出2l .本例属于方法1中的②类，下一题练习题利用了方法2：轨迹方程法逆代求解.练习2-1．（2021·全国·高二专题练习）若直线l 与直线220x y --=关于直线40x y +-=对称，则l 的方程是__________．【答案】220x y【详解】设直线l 上任意一点为(),P x y ，则P 关于直线40x y +-=的对称点()',P m n 在直线220x y --=上，由对称性可得()114022y n x m x m y n -⎧⋅-=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得44m y n x =-⎧⎨=-⎩，代入直线l 可得()()24420y x ----=，化简可得所求直线方程为220x y -+=，故答案为220x y .知识点6 点到直线的距离例1．（2021·湖南省邵东市第一中学高二期中）点()1,1P 到直线3430x y ++=的距离是______．【答案】2【详解】由已知得2d ==，故答案为2.练习1-1．（2021·全国·高二专题练习）已知直线l 经过两条直线77240x y +-=和0x y -=的交点，且原点到直线的距离为125，则这条直线的方程是__．【答案】4x +3y ﹣12＝0或3x +4y ﹣12＝0【详解】由772400x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得127127x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴交点为（127，127）， ∵原点到直线的距离为125，∴这条直线的斜率存在，设为 k ，则所求条直线的方程为 y 127-=k （x 127-），即 7kx ﹣7y +12﹣12k ＝0，125=，得 k 43=- 或 k 34=-，所求条直线的方程为：y 12473-=-（x 127-），或y 12374-=-（x 127-），即 4x +3y ﹣12＝0，或 3x +4y ﹣12＝0．故答案为： 4x +3y ﹣12＝0，或 3x +4y ﹣12＝0．名师点评：点000(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离公式：d =.注意使用点到直线的距离公式时，直线方程需提前化为一般式方程.例2．（2021·山东乳山·高二期中）已知(2,6),(0,4)A B --两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值为________．【答案】0【详解】=525a +=，解得0a =或5a =-故答案为：0或5-练习2-1．（2021·湖南·高二阶段练习）若点()2,A m -和(),4B m 到直线30x y --=的距离相等，则m =___________.【答案】1【详解】=57+=-m m ，解得1m =故答案为：1名师点评：点111(,)P x y ，222(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离相等存在两种情况： ①1212P P l PP l k k ⇔=；②直线l ：0Ax By C ++=过12P P 的中点.例3．（2021·山东·济宁市教育科学研究院高三期末）若直线1l ：210x y -+=与直线2l ：210x my ++=平行，则直线1l 与2l 之间的距离为______．【详解】由直线1l ：210x y -+=与直线2l ：210x my ++=平行可得12(2)0m ⨯-⨯-=，即4m =-，故两直线可化为：1l ：2420x y -+=、2l ：2410x y -+=故直线1l 与2l 之间的距离为d =练习3-1．（2021·浙江·海亮高级中学高二期中）两平行直线1:30l x y -=和2:610l x my ++=之间的距离是__________【详解】因12l l //，则有613m =-，解得2m =-，即直线2:6210l x y -+=，而直线1:620l x y -=，于是得d ==名师点评：两条平行直线1l ：10Ax By C ++=与直线2l ：20Ax By C ++=（其中12C C ≠）间的距离公式：d =.使用该公式时注意直线1l 与2l 的方程都要化为一般式，且,A B 需一致，才可以使用该公式.知识点7 直线系（束）例1．（2021·江苏张家港·高二期中）已知直线()()()11330a x a y a a -+++-=∈R .求证：直线经过定点，并求出定点P ；【答案】（1）证明见解析，定点()3,0P法一：证明（直线系法）：将直线l 的方程改写为()()330x y a x y -++++-=，令30x y -++=，且30x y +-=，两式联立，解得3x =，0y =，所以直线过定点()3,0P .法二：（特殊值法）当1a =时，直线方程为：200y y =⇒=；当1a =-时，直线方程为：2603x x -=⇒=；所以两条直线交点为()3,0P .名师点评：求直线过定点,常用两种方法--特殊值法和直线系法特殊值法,即取两个特殊参数值,得到两条特殊直线,进而求两条特殊直线的交点坐标,并代入原直线方程检验,即得定点.直线系法,即将直线方程化为含参数的恒等式形式,利用恒等式各系数为0列出关于x 与y 的方程组，通过解方程组求出定点坐标.例2．（2021·安徽省涡阳第一中学高二阶段练习）（1）求经过()3,0，且与直线250x y +-=垂直的直线方程；（2）求平行于直线20x y --=，且与它的距离为【答案】（1）230x y --= ；（2）20x y -+=或60x y --= ．【详解】（1）设与直线250x y +-=垂直的直线方程为20x y m -+=，把点()3,0代入可得3m =-，综上可得直线的方程为230x y --=．（2）设所求的直线方程为0x y m -+=()2m ≠-，=2m =或6m =-．故直线方程为20x y -+=或60x y --=．名师点评：几种常见的直线系方程：（1）与直线0Ax By C ++=平行的直线系（束）方程为：0()Ax By m m C ++=≠（2）与直线0Ax By C ++=垂直的直线系（束）方程为：0Bx Ay m -+=.二、题型归类练专练一、单选题1．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高二期末）若直线1:230l ax y a +++=，2:(1)50l x a y +--=平行，则实数a 的值为（）A ．1-B ．2C ．1或2-D ．1-或2【答案】D【详解】∵直线1:230l ax y a +++=，2:(1)50l x a y +--=平行，()1253a a a a ⎧-=∴⎨-≠+⎩，解得1a =-或2a =. 故选：D.2．（2021·四川·成都市温江区第二中学校高二期末（文））“ 1a = ” 是 “直线 ()1:210l a x y -++= 与直线 ()2:1220l a x y ++-= 互相垂直” 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由直线垂直可得()1212a a +⎛⎫--⨯-=- ⎪⎝⎭，解得0a =或1，所以“ 1a = ” 是 “直线 ()1:210l a x y -++= 与直线 ()2:1220l a x y ++-= 互相垂直” 的充分不必要条件.故选：A.3．（2021·湖南衡阳·高二阶段练习）直线30ax y a ++-=恒过定点（）A ．()1,3-B ．()1,3C ．()3,1-D ．()1,3--【答案】A【详解】解：由30ax y a ++-=得到：()13y a x =-++，∴直线30ax y a ++-=恒过定点()1,3-．故选：A4．（2021·江苏宝应·高二期中）直线l 过点()1,2，且纵截距为横截距的两倍，则直线l 的方程是（）A ．20x y -=B ．240x y +-=C ．20x y -=或240x y +-=D ．20x y -=或220x y +-=【答案】C【详解】若直线l 过原点，可设直线l 的方程为y kx =，则有2k =，此时直线l 的方程为20x y -=；当直线l 不过原点时，可设直线l 的方程为()102x y a a a+=≠，即220x y a +-=，则有420a -=，可得2a =，此时直线l 的方程为240x y +-=.综上所述，直线l 的方程为20x y -=或240x y +-=.故选：C.5．（2021·河北·深州长江中学高二阶段练习）直线1:20l mx y m --=，直线2l 与1l 平行且经过点(1,4)Q -，则1l ，2l 之间距离的最大值是（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】B【详解】直线1:20l mx y m --=，也即()2y m x =-，恒过定点()2,0A ；显然若直线2l 平行于1l 且过点Q ，则12,l l 之间距离的最大值为AQ .又5AQ =.故选：B .6．（2021·江苏沭阳·高二期中）已知三角形ABC 三个顶点为()5,0A -、()2,4B 、()0,2C ，则BC 边上的高所在直线的方程为（）A ．5y x =--B ．5y x =-+C ．5y x =+D ．5y x =-【答案】A【详解】直线BC 的斜率为42120BC k -==-，故BC 边上的高所在直线的斜率为1-，因此，BC 边上的高所在直线的方程为()55y x x =-+=--.故选：A.7．（2021·北京市第五十七中学高二阶段练习）已知点3(2,)A -，(3,2)B --．若直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是（）A ．3,[4,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦B ．3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】A【详解】设直线l 过定点(,)P x y ，则直线:10l mx y m +--=可写成(1)10m x y -+-=，令10,10,x y -=⎧⎨-=⎩解得1,1.x y =⎧⎨=⎩∴直线l 必过定点(1,1)P ． 31421PA k --==--，213314PB k --==--．直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，∴由图象知，34m -≥或4m -≤-，解得34m ≤-或4m ≥，则实数m 的取值范围是3,[4,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦．故选：A8．（2021·全国·高二单元测试）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知ABC 的顶点(2,0)A ，(0,4)B ，若其欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为（）A ．(4,0)-B ．(2,2)--C ．(3,1)-D ．(4,2)--【答案】A【详解】设(,)C m n ，由重心坐标公式得，三角形ABC 的重心为2(3m +，4)3n +，代入欧拉线方程得：242033m n ++-+=，整理得：40m n -+=①AB 的中点为(1,2)，40202AB k -==--， AB 的中垂线方程为12(1)2y x -=-，即230x y -+=．联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩．ABC ∴的外心为(1,1)-．则2222(1)(1)3110m n ++-=+=，整理得：22228m n m n ++-=②联立①②得：4m =-，0n =或0m =，4n =．当0m =，4n =时B ，C 重合，舍去．∴顶点C 的坐标是(4,0)-．故选：A ．二、填空题9．（2021·全国·高二课时练习）已知直线1l ，2l ，3l 的斜率分别是1k ，2k ，3k ，其中12//l l ，且1k ，3k 是方程22320x x --=的两根，则123k k k ++的值为______．【答案】1或72【详解】因为1k ，3k 是方程22320x x --=的两根，所以13122k k ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或13212k k =⎧⎪⎨=-⎪⎩，又12l l //，所以12k k =，所以1231k k k ++=或72．故答案为：1或72 10．（2021·天津河西·高二期中）直线:(12)(1)130l m x m y m +-+--=分别交x 轴､y 轴的正半轴于A ､B 两点，当AOB 面积最小时，直线l 的方程为___________.【答案】240x y +-=【详解】∵直线:(12)(1)130l m x m y m +-+--=，∴1(23)0x y m x y --+--=，由10230x y x y --=⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩， ∴直线恒过定点()2,1P ，可设直线方程为()10,0x y a b a b +=>>，则,0,0,A a B b ，211a b+=，又211a b +=≥8ab ≥，当且仅当4,2a b ==时取等号， ∴142AOB S ab =≥△，当AOB 面积最小时，直线l 的方程为142xy +=，即240x y +-=.故答案为：240x y +-=.11．（2021·山东邹城·高二期中）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中ABC ∆各顶点的坐标分别为()0,0A ，()0,2B ，()4,0C ，则其“欧拉线”的方程为______.【答案】20x y -=【详解】解：由题设知：ABC 是直角三角形，则垂心为直角顶点(0,0)A ，外心为斜边BC 的中点(2,1)M ， ∴“欧拉线”的方程为20x y -=.故答案为：20x y -=.12．（2021·山东·高二阶段练习）如图，在等腰直角三角形ABC 中，2AB AC ==，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 发射后又回到原点P .若光线QR 经过ABC 的重心，则BP 长为______.【答案】43【详解】解：建立如图所示的直角坐标系：可得()0,0,(2,0),(0,2)A B C ，故直线BC 的方程为2x y +=，可知ABC 的重心为020002(,)33++++，即22(,)33，设(,0)P a ，其中02a <<，则点P 关于直线BC 的对称点1(,)P x y ，满足()0222011a x y y x a++⎧+=⎪⎪⎨-⎪⋅-=-⎪-⎩，解得：22x y a =⎧⎨=-⎩，即1(2,2)P a -，P 关于y 轴的对称点2(,0)P a -，由光的反射原理可知1P ，Q ，R ，2P 四点共线，直线QR 的斜率为()20222a a k a a ---==--+，故直线QR 的方程为2()2a y x a a-=++，由于直线QR 过ABC 的重心22(,)33，代入化简可得2320-=a a ，解得：23a =或0a =（舍去），故2(,0)3P ，故23AP =，所以24233BP AB AP =-=-=.故答案为：43. 三、解答题13．（2021·江苏·高二专题练习）已知以点2,(0)C t t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭为圆心的圆经过原点O ，且与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B .（1）求证：AOB 的面积为定值.（2）设直线240x y +-=与圆C 交于点M ，N ，若=OM ON ，求圆C 的方程.（3）在（2）的条件下，设P ，Q 分别是直线l ：20x y ++=和圆C 上的动点，求PB PQ +的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）22(2)(1)5x y -+-=（3）（1）证明：由题意可得：圆的方程为：222224()()x t y t t t-+-=+，可化为22024x tx y y t-+-=，则与坐标轴的交点分别为：4(2,0),(0)A t B t, 所以14242OAB St t==（定值）. （2）解：因为=OM ON ，所以原点O 在线段MN 的垂直平分线上，设线段MN 的中点为H ，则C ，H ，O 三点共线，OC 的斜率22k t =，所以22()(2)1t⨯-=-，解得2t =±，因为0t >，所以2t =，可得圆心(2,1)C所以圆C 的方程为22(2)(1)5x y -+-=.（3）解：由2（）可知：圆心(2,1)C ，半径r =点(0,2)B 关于直线20x y ++=的对称点为(4,2)B '--，则PB PQ PB PQ B Q ''+=+≥，又点B '到圆上点Q 的最短距离为B C r '-则PB PQ +的最小值为14．（2021·重庆·巴南中学校高二期中）若直线l 的方程为220ax y a +--=（a ∈R ）．（1）若直线l 与直线m ：20x y -=平行，求a 的值；（2）若直线l 在两轴上截距都存在且x 轴上截距是y 轴上截距的12，求该直线的方程．【答案】（1）4a =-（2）0x y -=或230x y +-=（1）解：将220ax y a +--=化为斜截式方程得1222a y ax +=-+，因为直线l 与直线:20m x y -=平行，所以122a -=且202a +≠，解得4a =-．（2）解：当直线l 过坐标原点时，20a --=，解得2a =-，此时直线l 的方程为0x y -=，此时满足条件；当直线l 不过坐标原点时，由于直线l 在两轴上截距都存在，则0a ≠且2a ≠-，故令0x =得22a y +=，令0y =得2a x a+=，因为直线在x 轴上截距是y 轴上截距的12，所以224a a a ++=，解得4a =，此时直线l 方程为230x y +-=. 综上，直线l 的方程为0x y -=或230x y +-=.。

高考数学复习专题3 蒙日圆综合训练

专题2 蒙日圆微点3蒙日圆综合训练专题2 蒙日圆微点3 蒙日圆综合训练一、单选题1．蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆()22:102x y C a a a+=>+的蒙日圆为226x y +=，则=a （） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（2022·江苏·仪征二中高二期中）2．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆C ：2211x y a a +=+(0)a >的离心率为12，则椭圆C 的蒙日圆方程为（）A ．229x y +=B ．227x y +=C ．225x y +=D ．224x y +=3．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆()222210x y a b a b+=>>相切的两条垂直切线的交点轨迹为2222x y a b +=+，这个圆亦被称为蒙日圆，现将质点P 随机投入椭圆22:12x C y +=所对应的蒙日圆内，则质点落在椭圆外部的概率为？（附：椭圆22221x y a b +=的面积公式为S ab π=）（） A 29B 23C ．219−D ．213−（2022·海南·高二期末）4．加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 22:154x y C +=的蒙日圆的半径为（）A ．3B ．4C ．5D ．6（2022·重庆八中高二月考）5．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根．若圆()()2239x y b −+−=与椭圆2213x y +=的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b 的值为（）A ．3±B ．4±C ．5±D ．±（2022安徽卓越县中联盟高二期中）6．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆()()2229x y b −+−=上有且只有一个点在椭圆2213x y +=的蒙日圆上，则b 的值为（）A．±1B ．5±C ．D ．±（2022·河南南阳高二月考）7．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，椭圆C 2，M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P 、Q 两点，则MPQ 面积的最大值为（）A ．23bB ．22bC 2D ．26b（2022·河南·鹤壁高中模拟）8．在圆()()()222340x y r r −+−=>上总存在点P ，使得过点P 能作椭圆2213x y +=的两条相互垂直的切线，则r 的取值范围是（） A ．()3,7B ．[]3,7C ．()1,9D ．[]1,9（2022·江苏·模拟）9．在平面直角坐标系xOy 中，若直线30x ay ++=上存在动点P ，使得过点P 的椭圆22:13x C y +=的两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是（）A ．22,,2⎛⎡⎫−∞+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭ B ．55,⎛⎡⎫−∞⋃+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭ C ．2222⎡−⎢⎣⎦D ．5522⎡−⎢⎣⎦二、多选题10．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，1F 、2F分别为椭圆的左、右焦点，点A 在椭圆上，直线22:0l bx ay a b +−−=，则（） A ．直线l 与蒙日圆相切B ．C 的蒙日圆的方程为2222x y a +=C ．记点A 到直线l 的距离为d ，则2d AF −的最小值为(43623bD ．若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 的面积的最大值为28b （2022·江苏扬州·高三期末）11．在椭圆C ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x 2＋y 2＝a 2＋b 2上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．该圆由法国数学家G ．Monge （1745－1818）最新发现．若椭圆C ：22x ＋y 2＝1，则下列说法中正确的有（）A ．椭圆C 外切矩形面积的最大值为2B ．点P （x ，y ）为蒙日圆Γ上任意一点，点()(23,0,0,23M N −，当∠PMN 最大值时，tan ∠PMN ＝23C ．过椭圆C 的蒙日圆上一点P ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于点Q ，若kOP ，kOQ 存在，则kOP ⋅kOQ 为定值12−D ．若椭圆C 的左右焦点分别为F 1，F 2，过椭圆C 上一点P 和原点作直线l 与蒙日圆相交于M ，N ，且123·2PF PF =，则32PM PN ⋅=12．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>的蒙日圆为2223:2C x y a +=，过C 上的动点M 作Γ的两条切线，分别与C 交于P ，Q 两点，直线PQ 交Γ于A ，B 两点，则（） A ．椭圆ΓB ．MPQ 面积的最大值为232aC ．M 到Γ的左焦点的距离的最小值为(2aD ．若动点D 在Γ上，将直线DA ，DB 的斜率分别记为1k ，2k ，则1212k k =−（2022·湖南·长沙一中模拟预测）13．“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C ，其方程为2222401049x y y x y y ⎧+=>⎪⎨+=≤⎪⎩，，．则下列说法正确的是（）A ．曲线C 包含的封闭图形内部(不含边界)有11个整数点(横、纵坐标均为整数)B ．曲线C 上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5C ．若A (0、B (0，P 是曲线C 下半部分中半椭圆上的一个动点，则cos ∠APB的最小值为－19D ．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆；那么曲线C 中下半部分半椭圆扩充为整个椭圆C '：221(33)49x y y +=−≤≤后，椭圆C '的蒙日圆方程为：2213x y +=三、填空题14．已知点P 为直线40ax y +−=上一点，P A ，PB 是椭圆C ：()22211x y a a +=>的两条切线，若恰好存在一点P 便得PA PB ⊥，则椭圆C 的离心率为________________．（2022·浙江绍兴诸暨高二期末）15．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆22216x y b+=的蒙日圆为228x y +=，则2b =___________. （2022·浙江江山中学模拟）16．法国数学家蒙日（Monge ，17461818−）发现：椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>的两条互相垂直切线的交点P 的轨迹方程为：2222x y a b +=+，这个圆被称为蒙日圆．若某椭圆()22211x y a a +=>对应的蒙日圆方程为225x y +=，则=a _________．（2022安徽舒城中学三模）17．若椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆中心，则称这个圆为蒙日圆.若椭圆()2222:144x y C a a+=>的蒙日圆的半径为3则椭圆C 的离心率为___________.（2022江苏·滨海八滩中学高二期中）18．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆22216x y b+=的蒙日圆为2210x y +=，则该椭圆的离心率为___________. 19．已知两动点,A B 在椭圆()22211x C y a a+=>上，动点P 在直线34100x y +−=上，若APB∠恒为锐角，则椭圆C 的离心率的取值范围为__________．20．已知O ：22 1.x y +=若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是______．21．过椭圆221169x y +=上一点M 作圆222x y +=的两条切线，点A ､B 为切点过A ､B 的直线l与x 轴､y 轴分别交于点P ､Q 两点，则POQ △面积的最小值为___________.22．过椭圆22194x y +=上一点M 作圆222x y +=的两条切线，切点为,A B ，过,A B 的直线与x 轴和y 轴分别交于,P Q ，则POQ △面积的最小值为__________.23．已知椭圆C ：22143x y +=，点P 为椭圆外一点，过点P 向椭圆作两条切线，当两条切线相互垂直时，点P 在一个定圆上运动，则该定圆的方程为__________．四、双空题24．加斯帕尔·紫日是19世纪著名的几何学家，创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展．他给出了紫日圆的定义，即：“在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，半径等于长半轴与短半轴平方和的算术平方根”．已知椭圆方程为：22154x y +=，写出该椭圆任意两条互相垂直的切线的交点形成的圆的方程_________，过点(3,6)且与该圆相切的直线的一般方程为______．五、解答题25．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆()222210x y a b a b+=>>相切的两条垂直切线的交点轨迹为一个圆，该圆的方程为2222x y a b +=+，这个圆被称为蒙日圆，已知抛物线24x y =的焦点是椭圆C 的一个短轴端点，且椭圆C ．（1）求椭圆C 的标准方程和它的“蒙日圆”E 的方程；（2）若斜率为1的直线l 与“蒙日圆”E 相交于A ，B 两点，且与椭圆C 相切，O 为坐标原点，求OAB 的面积．26．给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，称圆心在坐标原点 OC的“伴随圆”．若椭圆C 的一个焦点为2F ，其短轴上的一个端点到2F 距离为（1）求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（2）若过点(0,)(0)P m m <的直线 l 与椭圆C 只有一个公共点，且l 截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为 m 的值；（3）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点，试判断直线12,l l 的斜率之积是否为定值,并说明理由.27．给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，称圆心在原点O 22a b +C 的“伴椭圆”，若椭圆C 的一个焦点为(2,0)F ，其短轴上一个端点到F 3 （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(,)22a b作椭圆C 的“伴随圆”'C 的动弦MN ，过点11(,)M x y 、22(,)N x y 分别作“伴随圆”'C 的切线，设两切线交于点Q ，证明：点Q 的轨迹是直线，并写出该直线的方程；（3）设点P 是椭圆C 的“伴随圆”'C 上的一个动点，过点P 作椭圆C 的切线1l 、2l ，试判断直线1l 、2l 是否垂直？并说明理由.28．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点是(0,1)3（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知矩形ABCD 的四条边都与椭圆C 相切，设直线AB 方程为y kx m =+，求矩形ABCD 面积的最小值与最大值.（2022江西南昌莲塘一中高二期末）29．定义椭圆:C 22221x y a b +=(0a b >>)的“蒙日圆”方程为2222x y a b +=+.已知抛物线24x y =的焦点是椭圆C 的一个短轴端点，且椭圆C 6. （1）求椭圆C 的标准方程和它的“蒙日圆”E 的方程；（2）若斜率为1的直线l 与“蒙日圆”E 相交于,A B 两点，且与椭圆C 相切，O 为坐标原点，求OAB 的面积.30．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个焦点为)5,05（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.31．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点为)5,05．点P 为圆M ：2213x y +=上任意一点，O 为坐标原点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)记线段OP 与椭圆C 交点为Q ，求PQ 的取值范围；(3)设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切，l 与圆M 相交于另一点A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，试判断直线PB 与椭圆C 的位置关系，并证明你的结论．32．已知圆22:5O x y +=，椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左右焦点为12,F F ，过1F 且垂直于x轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图P 为圆上任意一点，过P 分别作椭圆两条切线切椭圆于A ，B 两点．（ⅰ）若直线PA 的斜率为2，求直线PB 的斜率；（ⅱ）作PQ AB ⊥于点Q ，求证：12QF QF +是定值．专题2 蒙日圆微点3蒙日圆综合训练专题2 蒙日圆微点3蒙日圆综合训练一、单选题1．蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆()22:102x y C a a a +=>+的蒙日圆为226x y +=，则=a （） A ．1B ．2C ．3D ．4（2022·江苏·仪征二中高二期中）2．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆C ：2211x y a a +=+(0)a >的离心率为12，则椭圆C 的蒙日圆方程为（）A ．229x y +=B ．227x y +=C ．225x y +=D ．224x y +=3．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆()222210x y a b a b +=>>相切的两条垂直切线的交点轨迹为2222x y a b +=+，这个圆亦被称为蒙日圆，现将质点P 随机投入椭圆22:12x C y +=所对应的蒙日圆内，则质点落在椭圆外部的概率为？（附：椭圆22221x y a b +=的面积公式为S ab π=）（） A 2B 2C ．21D ．21（2022·海南·高二期末）4．加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 22:154x y C +=的蒙日圆的半径为（）A ．3B ．4C ．5D ．6（2022·重庆八中高二月考）5．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根．若圆()()2239x y b −+−=与椭圆2213x y +=的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b 的值为（）A ．3±B ．4±C ．5±D ．±（2022安徽卓越县中联盟高二期中）6．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆()()2229x y b −+−=上有且只有一个点在椭圆2213x y +=的蒙日圆上，则b 的值为（）A．±1B ．5±C ．D ．±（2022·河南南阳高二月考）7．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，椭圆C ，M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P 、Q 两点，则MPQ 面积的最大值为（）A ．23bB ．22bC 2D ．26b（2022·河南·鹤壁高中模拟） 8．在圆()()()222340x y r r −+−=>上总存在点P ，使得过点P 能作椭圆2213x y +=的两条相互垂直的切线，则r 的取值范围是（） A ．()3,7B ．[]3,7C ．()1,9D ．[]1,9（2022·江苏·模拟）9．在平面直角坐标系xOy 中，若直线30x ay ++=上存在动点P ，使得过点P 的椭圆22:13x C y +=的两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是（）A ．22,,2⎛⎡⎫−∞+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭ B ．55,⎛⎡⎫−∞⋃+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭C ．22⎡⎢⎣⎦D ．55⎡⎢⎣⎦二、多选题10．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>2，1F 、2F分别为椭圆的左、右焦点，点A 在椭圆上，直线22:0l bx ay a b +−−=，则（） A ．直线l 与蒙日圆相切B ．C 的蒙日圆的方程为2222x y a +=C ．记点A 到直线l 的距离为d ，则2d AF −的最小值为(43623b D ．若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 的面积的最大值为28b （2022·江苏扬州·高三期末）11．在椭圆C ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x 2＋y 2＝a 2＋b 2上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．该圆由法国数学家G ．Monge （1745－1818）最新发现．若椭圆C ：22x ＋y 2＝1，则下列说法中正确的有（）A ．椭圆C 外切矩形面积的最大值为2B ．点P （x ，y ）为蒙日圆Γ上任意一点，点()(23,0,0,23M N −，当∠PMN 最大值时，tan ∠PMN ＝23C ．过椭圆C 的蒙日圆上一点P ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于点Q ，若kOP ，kOQ 存在，则kOP ⋅kOQ 为定值12−D ．若椭圆C 的左右焦点分别为F 1，F 2，过椭圆C 上一点P 和原点作直线l 与蒙日圆相交于M ，N ，且123·2PF PF =，则32PM PN ⋅=12．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的蒙日圆为2223:2C x y a +=，过C 上的动点M 作Γ的两条切线，分别与C 交于P ，Q 两点，直线PQ 交Γ于A ，B 两点，则（） A ．椭圆Γ2B ．MPQ 面积的最大值为232aC ．M 到Γ的左焦点的距离的最小值为(2aD ．若动点D 在Γ上，将直线DA ，DB 的斜率分别记为1k ，2k ，则1212k k =−（2022·湖南·长沙一中模拟预测）13．“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C ，其方程为2222401049x y y x y y ⎧+=>⎪⎨+=≤⎪⎩，，．则下列说法正确的是（）A ．曲线C 包含的封闭图形内部(不含边界)有11个整数点(横、纵坐标均为整数)B ．曲线C 上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5C ．若A (0、B (0，P 是曲线C 下半部分中半椭圆上的一个动点，则cos ∠APB 的最小值为－19D ．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆；那么曲线C 中下半部分半椭圆扩充为整个椭圆C '：221(33)49x y y +=−≤≤后，椭圆C '的蒙日圆方程为：2213x y +=三、填空题14．已知点P 为直线40ax y +−=上一点，P A ，PB 是椭圆C ：()22211x y a a +=>的两条切线，若恰好存在一点P 便得PA PB ⊥，则椭圆C 的离心率为________________．（2022·浙江绍兴诸暨高二期末）15．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆22216x y b+=的蒙日圆为228x y +=，则2b =___________.（2022·浙江江山中学模拟）16．法国数学家蒙日（Monge ，17461818−）发现：椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>的两条互相垂直切线的交点P 的轨迹方程为：2222x y a b +=+，这个圆被称为蒙日圆．若某椭圆()22211x y a a+=>对应的蒙日圆方程为225x y +=，则=a _________．（2022安徽舒城中学三模）17．若椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆中心，则称这个圆为蒙日圆.若椭圆()2222:144x y C a a+=>的蒙日圆的半径为23则椭圆C 的离心率为___________.（2022江苏·滨海八滩中学高二期中）18．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆22216x y b+=的蒙日圆为2210x y +=，则该椭圆的离心率为___________.19．已知两动点,A B 在椭圆()22211x Cy a a+=>上，动点P 在直线34100x y +−=上，若APB ∠恒为锐角，则椭圆C 的离心率的取值范围为__________．20．已知O ：22 1.x y +=若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是______．21．过椭圆221169x y +=上一点M 作圆222x y +=的两条切线，点A ､B 为切点过A ､B 的直线l与x 轴､y 轴分别交于点P ､Q 两点，则POQ △面积的最小值为___________.22．过椭圆22194x y +=上一点M 作圆222x y +=的两条切线，切点为,A B ，过,A B 的直线与x 轴和y 轴分别交于,P Q ，则POQ △面积的最小值为__________.23．已知椭圆C ：22143x y +=，点P 为椭圆外一点，过点P 向椭圆作两条切线，当两条切线相互垂直时，点P 在一个定圆上运动，则该定圆的方程为__________．四、双空题24．加斯帕尔·紫日是19世纪著名的几何学家，创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展．他给出了紫日圆的定义，即：“在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，半径等于长半轴与短半轴平方和的算术平方根”．已知椭圆方程为：22154x y +=，写出该椭圆任意两条互相垂直的切线的交点形成的圆的方程_________，过点(3,6)且与该圆相切的直线的一般方程为______．五、解答题25．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆()222210x y a b a b +=>>相切的两条垂直切线的交点轨迹为一个圆，该圆的方程为2222x y a b +=+，这个圆被称为蒙日圆，已知抛物线24x y =的焦点是椭圆C 的一个短轴端点，且椭圆C ．（1）求椭圆C 的标准方程和它的“蒙日圆”E 的方程；（2）若斜率为1的直线l 与“蒙日圆”E 相交于A ，B 两点，且与椭圆C 相切，O 为坐标原点，求OAB 的面积．26．给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，称圆心在坐标原点 OC 的“伴随圆”．若椭圆C 的一个焦点为2F ，其短轴上的一个端点到2F 距离为（1）求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（2）若过点(0,)(0)P m m <的直线 l 与椭圆C 只有一个公共点，且l 截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为 m 的值；（3）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点，试判断直线12,l l 的斜率之积是否为定值,并说明理由.27．给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，称圆心在原点O C 的“伴椭圆”，若椭圆C 的一个焦点为F ，其短轴上一个端点到F（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(,)22a b作椭圆C 的“伴随圆”'C 的动弦MN ，过点11(,)M x y 、22(,)N x y 分别作“伴随圆”'C 的切线，设两切线交于点Q ，证明：点Q 的轨迹是直线，并写出该直线的方程；（3）设点P 是椭圆C 的“伴随圆”'C 上的一个动点，过点P 作椭圆C 的切线1l 、2l ，试判断直线1l 、2l 是否垂直？并说明理由.28．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点是(0,1)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知矩形ABCD 的四条边都与椭圆C 相切，设直线AB 方程为y kx m =+，求矩形ABCD面积的最小值与最大值.（2022江西南昌莲塘一中高二期末） 29．定义椭圆:C 22221x y a b+=(0a b >>)的“蒙日圆”方程为2222x y a b +=+.已知抛物线24x y =的焦点是椭圆C 的一个短轴端点，且椭圆C 的离心率为63. （1）求椭圆C 的标准方程和它的“蒙日圆”E 的方程；（2）若斜率为1的直线l 与“蒙日圆”E 相交于,A B 两点，且与椭圆C 相切，O 为坐标原点，求OAB 的面积.30．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个焦点为)5,05（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.31．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点为)5,0，5点P 为圆M ：2213x y +=上任意一点，O 为坐标原点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)记线段OP 与椭圆C 交点为Q ，求PQ 的取值范围；(3)设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切，l 与圆M 相交于另一点A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，试判断直线PB 与椭圆C 的位置关系，并证明你的结论． 32．已知圆22:5O x y +=，椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左右焦点为12,F F ，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和22（1）求椭圆的标准方程；（2）如图P 为圆上任意一点，过P 分别作椭圆两条切线切椭圆于A ，B 两点．（ⅰ）若直线PA 的斜率为2，求直线PB 的斜率；（ⅱ）作PQ AB ⊥于点Q ，求证：12QF QF +是定值．参考答案：1．B【解析】分两条切线的斜率是否同时存在进行分类讨论，在两条切线的斜率同时存在时，可在圆上任取一点()00,x y ，并设过该点的直线方程为()00y y k x x −=−，与椭圆方程联立，利用0∆=可得出关于k 的二次方程，利用韦达定理可求得实数a 的值.【详解】当椭圆两切线与坐标垂直时，则两切线的交点坐标为(，该点在圆226x y +=上，所以，226a +=，解得2a =；当椭圆两切线的斜率同时存在时，不妨设两切线的斜率分别为1k 、2k ，设两切线的交点坐标为()00,x y ，并设过该点的直线方程为()00y y k x x −=−，联立()002212y kx y kx x y a a⎧=+−⎪⎨+=⎪+⎩，消去y 得()()()()()()2220000222220a k a x k a y kx x a y kx a a ⎡⎤++++−++−−+=⎣⎦，()()()()()()2222200004242220k a y kx a k a a y kx a a ⎡⎤⎡⎤∆=+−−++⋅+−−+=⎣⎦⎣⎦，化简得()2220000220k a x kx y a y ⎡⎤+−++−=⎣⎦，由韦达定理得()2122012a y k k a x −==−+−，整理得()220022240a x y a +−+=−=，解得2a =.综上所述，2a =. 故选：B.【点睛】本题考查利用椭圆两切线垂直求参数，考查分类讨论思想以及方程思想的应用，属于中等题. 2．B【分析】根据椭圆C 的离心率可求出3a =，根据题意知椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，利用过上顶点和右顶点的切线可得蒙日圆上的一点，即可椭圆C 的蒙日圆方程.【详解】因为椭圆C ：2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12，12=，解得3a =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=，所以椭圆的上顶点A ，右顶点(2,0)B ，所以经过,A B 两点的切线方程分别为y 2x =，所以两条切线的交点坐标为，又过A ，B 的切线互相垂直，由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r =，所以椭圆C 的蒙日圆方程为227x y +=. 故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，同时考查圆的方程，属于基础题. 3．D【分析】算出蒙日圆和椭圆的面积后，根据几何概型的概率公式可得结果.=所以23S ππ==圆，1S π=⨯=椭圆，根据几何概型的概率公式可得质点落在椭圆外部的概率为1P == 故选：D .【点睛】本题考查了由椭圆方程求,a b ，考查了椭圆的面积公式，考查了圆的面积公式，考查了几何概型的概率公式，属于基础题. 4．A【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆 22:154x y C +=的两条切线2x y ==的交点在圆上，所以3R ==，故选：A 5．B【分析】由题意求出蒙日圆方程，再由两圆只有一个交点可知两圆相切，从而列方程可求出b 的值【详解】由题意可得椭圆2213x y +=的蒙日圆的半径12r =，所以蒙日圆方程为224x y +=，因为圆()()2239x y b −+−=与椭圆2213x y +=的蒙日圆有且仅有一个公共点，所以两圆相切，32=+，解得4b =±，故选：B 6．C【分析】根据题意得椭圆2213x y +=的蒙日圆方程为224x y +=，进而得该圆与已知圆相切，再根据圆的位置关系求解即可.【详解】解：根据题意，椭圆2213x y +=的蒙日圆方程为224x y +=，因为圆()()2229x y b −+−=上有且只有一个点在椭圆2213x y +=的蒙日圆上，所以该圆与已知圆相切，5=1=（无解，舍去），解得b =故选：C. 7．A【分析】利用椭圆的离心率可得a =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出22212MP MQ b +=，再利用基本不等式可得出MPQ 面积的最大值.【详解】因为2c e a ====a =，所以，蒙日圆的方程为2223x y b +=，由已知条件可得MP MQ ⊥，则PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，则222212MP MQ PQ b +==，所以，2221324MPQMP MQ S MP MQ b +=⋅≤=△，当且仅当MP MQ ==时，等号成立.故选：A. 8．B【分析】设(),P m n ，过P 与椭圆相切的直线方程为()y n k x m −=−，将其与椭圆方程联立，可得()()22212103k x k n km x n km ⎛⎫++−+−−= ⎪⎝⎭，进而得到()()22221=441=03k n km k n km ⎛⎫⎡⎤∆−−+−− ⎪⎣⎦⎝⎭，化简整理()2223210m k kmn n −++−=，设其方程的根为12,k k ，由12=1k k ⋅−，可知点P 在圆224x y +=上，再根据圆与圆的位置关系，即可求出结果.【详解】设(),P m n ,且过P 与椭圆相切的直线方程为()y n k x m −=−，即y kx km n =−+，将其代入椭圆方程2213x y +=，化简得()()22212103k x k n km x n km ⎛⎫++−+−−= ⎪⎝⎭所以()()22221=441=03k n km k n km ⎛⎫⎡⎤∆−−+−− ⎪⎣⎦⎝⎭，即()()()2222222222221221203k n kmn k m n kmn k m k n kmn k m k −+−−+−−−++=所以22223210k n kmn k m −+−+=，即()2223210m k kmn n −++−= 设12,k k 是方程()2223210m k kmn n −++−=的两根，因为两切线互相垂直，所以12=1k k ⋅−,即21221==13n k k m −⋅−−，所以224m n +=，即点P 在圆224x y +=上，其圆心为()0,0，半径为2；又P 在圆()()()222340x y r r −+−=>上，且其圆心为()3,4，所以 22r r −≤≤+，即252r r −≤≤+所以[]3,7r ∈. 故选：B. 9．B【分析】先计算出点P 的轨迹方程为圆，然后圆与直线30x ay ++=有交点，即圆心到直线的距离小于等于半径.【详解】设(),P m n ，则过P 得切线方程为()=y n k x m −−。

专题一化学反应的热效应-2022-2023学年高二化学期末专题复习(解析版)

专题一化学反应的热效应考点1化学反应中能量变化的有关概念、△H的计算基础化学反应中能量变化的有关概念。

重难ΔH的计算。

基础1．下列说法中正确的是A．在化学反应过程中，发生物质变化的同时不一定发生能量变化B．破坏生成物化学键所需要的能量大于破坏反应物化学键所需要的能量时，该反应为吸热反应C．生成物的总焓大于反应物的总焓时，反应吸热，ΔH>0D．ΔH的大小与热化学方程式的化学计量数无关【答案】C【解析】A．化学反应的本质是旧键断裂，新键生成，断裂旧键吸收的能量和形成新键释放的能量不相等，故在化学反应过程中，发生物质变化的同时一定发生能量变化，选项A错误；B．由题意得，形成反应产物全部化学键所释放的能量大于破坏反应物全部化学键所需要的能量，反应为放热反应，选项B错误；C．反应产物的总焓大于反应物的总焓时，反应吸热，△H>0，选项C正确；D．焓变与热化学方程式的系数有关，同一个反应热化学方程式中系数变化，△H的数值同比例变化，选项D错误；答案选C。

2．强酸与强碱的稀溶液发生中和反应的热效应为：H+(aq)+OH-(aq)=H2O(l)△H=-57.3KJ·mol-1。

分别向1L 0.5mol·L-1的Ba(OH)2的溶液中加入①浓硫酸；②稀硫酸；③稀硝酸；④稀醋酸，恰好完全反应的热效应分别为△H1、△H2、△H3、△H4，下列关系正确的是A．△H1>△H2>△H3 >△H4B．△H1＜△H2＜△H3＜△H4C．△H1>△H2=△H3 >△H4D．△H4＜△H1=△H2＜△H32．【答案】B【解析】强酸与强碱的稀溶液发生中和反应的热效应：H+(aq)+OH-(aq)△H2O(l) ∆H=-57.3kJ/mol，表示稀溶液氢离子和氢氧根离子之间反应生成1mol水放出的热量为57.3kJ。

分别向1L0.5mol•L-1的Ba(OH)2的溶液中加入：①浓硫酸，浓硫酸溶于水放热，并且与Ba(OH)2生成硫酸钡沉淀也放热，放热大于57.3kJ；②稀硫酸，稀硫酸与Ba(OH)2生成硫酸钡沉淀放热，放热大于57.3kJ，但小于①放出的热量；③稀硝酸，是强酸和强碱的稀溶液间的中和反应，放热57.3kJ ； ④稀醋酸为弱电解质，电离吸收热量，放热小于57.3kJ ；放出的热量为：①＞②＞③＞④，因放热∆H ＜0，则∆H 1＜∆H 2＜∆H 3＜∆H 4；答案为B 。

2020-2021年上海市杨浦高中高二上—立体几何复习卷1

立体几何复习卷1班级姓名学号内容：第一轮复习第十四章第十五章专题3 专题4 一、填空题：1.若一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形, 则这个圆锥的侧面积为_________.2.若正三棱柱的所有棱长均为a 且其体积为163, 则a =_________.3.已知长方体的三条棱长分别为1, 1, 2, 并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上, 则此球的表面积为___________.4.若圆椎的母线10l =, 母线与旋转轴的夹角30α︒=, 则该圆椎的侧面积为__________.5.已知半径为R 的球的球面上有三个点, 其中任意两点间的球面距离都等于π3R, 且经过这三个点的小圆周长为4π, 则R =_________.6.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等, 圆柱与球的表面积分别记为12, S S , 则12:S S = .7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.8.已知正四棱锥的所有棱长都相等，则此四棱锥的侧棱与底面所成的角的大小为 .9.设,E F 分别是正三棱锥P ABC -的棱,PA BC 上的点，且PE BFEA FC=，若异面直线,EF PB 所成角为α，异面直线,EF AC 所成角为β，则αβ+的弧度数是 .10.已知圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为4arccos 5，则该圆锥的体积为.11.已知正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的表面积S = . 12.如图，在xOy 平面上,将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y = 和1y =-围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω,过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面,所得截面面积为2418y ππ-+,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为 .第12题图二、选择题：13.设空间中有四个点, 则“其中三点共线”是“四点共面”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件 14.具有下列性质的三棱锥中，是正三棱锥( ) A.顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等 B.底面是正三角形，且侧面都是等腰三角形 C.相邻两条侧棱间的夹角相等D.三条侧棱相等，侧面于底面所成的角也相等15.已知123, , l l l 是空间三条不同的直线, 下列命题中正确的是( ) A. 如果12l l ⊥, 23//l l , 则13l l ⊥B. 如果12//l l , 23//l l , 则123, , l l l 共面C. 如果12l l ⊥, 23l l ⊥, 则13l l ⊥D. 如果123, , l l l 共点, 则123, , l l l 共面 16.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( ).A.35003cm π B.38663cm π C.313723cm π D.320483cm π17.若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( ).A ．大于5 B. 等于5 C.至多等于4 D. 至多等于318.如图,半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内,过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ,过圆O 的直径CD 作平面α成45角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B ,该交线上的一点P 满足60BOP ∠=,则,A P 两点间的球面距离为( )A．R B ．4Rπ C．arccos3R D ．3Rπ三、解答题：19.如图, 圆锥的顶点为,P 底面圆心为O , 底面的一条直径为,AB C 为半圆弧AB 的中点,E 为劣弧CB 的中点. 已知2PO =, 1OA =. 求:(1)三棱锥P AOC -的体积;(2)异面直线PA 与OE 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).PAB OCEA BE 1A 1B C 1C D1D FABE1A 1B C1C D1D 20.如图, 在长方体1111ABCD A B C D -中, 11AA =, 2AB AD ==,E ,F 分别是棱AB , BC 的中点. (1)证明11, , , A C E F 四点共面, (2)求直线1CD 与平面11AC EF 所成角的大小.21.如图, 在长方体1111ABCD A B C D -中, 11AA AD ==, E 为CD 中点. (1)求证: 11B E AD ⊥;(2)若2AB =, 求二面角11A B E A --的大小.A B1A 1B C1C 22.如图, 直三棱柱111ABC A B C -中, 12AB AC AA ===, 45ABC ︒∠=.(1)求点A 到平面1A BC 的距离;(2)求二面角1A AC B --的大小(结果用反三角函数值表示).23.如图,圆锥顶点为P .底面圆心为O ,其母线与底面所成的角为22.5.AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦,轴OP 与平面PCD 所成的角为60. (1)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； (2)求cos COD ∠.答案1.8π2.43.6π4.50π5.6.3:2 7.1616π- 8.459.2π 10.16π11.18+12. 2216ππ+ 13.A 14.D 15.A 16.A 17.C 18.A19.解: 由题意, AO OC ⊥, 故1122AOC S OA OC =⋅=△,111123323P AOC AOC V S PO -=⋅=⨯⨯=△;由OAE BOE ∠=∠可知//AC OE ,故PAC ∠即为异面直线PA 与OE 所成的角(或其补角), 在PAC △中, PA PC =AC由余弦定理222cos 2PA AC PC PAC PA AC +-∠==⋅,故所求异面直线所成角的大小为.20.证明: 在ABC △中, 由中位线定理可知//EF AC , 由长方体的性质有11//AC AC ,结合公理4可得11//EF AC , 即EF , 11A C 确定一个平面, 再由E , F 及11, A C 分别EF 及11A C 上得: 11, , , A C E F 四点共面.PAB OCE下求直线1CD 与平面11AC EF 所成角的大小, 如图建立直角坐标系,由1(0,2,0), (0,0,1)C D , 得1(0,2,1)CD =-, 由11(2,0,1), (0,2,1)A C , 得11(2,2,0)A C =-, 由(2,1,0)E , 得1(0,1,1)A E =-,111220(2,2,2)011i j kA E A C ⨯=-=----,取平面11A EFC 的方法向量为(1,1,1)n =, 设直线1CD 与平面11AC EF 所成角为θ,11||sin ||||5CD n CD n θ⋅===⋅,故直线1CD 与平面11AC EF 所成角的大小为21.(1)证明: 如图建立直角坐标系, 设2AB a =, 则有1(2,0,1), (,1,0)B a E a , 1(,1,1)B E a =--,1(0,0,0), (0,1,1)A D , 1(0,1,1)AD =,则11(,1,1)(0,1,1)0B E AD a ⋅=--⋅=, 即11B E AD ⊥.(2)解: 此时1(1,1,1)B E =--, 1(2,0,1)AB =,11111(1,1,2)21i j kB E AB ⨯=--=--,故可取平面1B AE 的一个法向量为1(1,1,2)n =--, 11(2,0,0)A B =, 111111(0,2,2)2i j kB E A B ⨯=--=--,故可取平面1B AE 的一个法向量为2(0,1,1)n =,由图可知, 二面角11A B E A --的平面角是一个锐角, 设为θ,AB1A 1B C1C xzyO 故1212||33cos 2||||62n n n n θ⋅===⋅⋅, 故π6θ=,综上所述, 所求二面角的大小为π6.22.(1)解: 如图建立直角坐标系, 则有1(2,0,0), (0,2,0), (0,0,2)B C A , 故1(2,0,2)A B =-, 1(0,2,2)AC =-, (2,0,0)BA =-, 11202(4,4,4)022i j kA B AC ⨯=-=-, 故可取平面1A BC 的法向量为1(1,1,1)n =, 设点A 到平面1A BC 的距离为d , 则11||233||BA n d n ⋅==. (2)解: 平面1AAC 的法向量可取为2(1,0,0)n =, 由图可知二面角1A AC B --的平面角是一个锐角, 记为θ, 则1212||3cos 3||||n n n n θ⋅==⋅, 故3arccos 3θ=,综上所述, 所求二面角的大小为3arccos 3.23.解:(1)证：,////PABPCD m AB CD CD PCD AB PCD =⊂⇒设面面直线且面面//AB m ⇒直线//AB ABCD m ABCD ⊂⇒面直线面.所以,PCD ABCD 面与面的公共交线平行底面.证毕 (2)rPO OPF F CD r =︒︒=∠5.22tan .60,由题知，则的中点为线段设底面半径为.22tan 22.5tan 60tan 60tan 22.5cos ,tan 4521tan 22.5OF OF COD PO r ∠︒︒=⇒︒⋅︒==︒=-︒. 2cos 2cos 1tan 22.52-12CODCOD ∠∠=-⇒︒=，2cos 1[3(2-1,)]3(322)2COD ∠+==-212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以.。