高中数学经典例题

典型例题一

例1下列图形中，满足唯一性的是（）．

A．过直线外一点作与该直线垂直的直线

B．过直线外一点与该直线平行的平面

C．过平面外一点与平面平行的直线

D．过一点作已知平面的垂线

分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．

解：A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．

C．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．

D．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点A、平面α，过点A有两条直线AB、AC都垂直于α，由于AB、AC为相交直线，不妨设AB、AC所确定的平面为β，α与β的交线为l，则必有l

AC⊥，又由于AB、AC、l都在平面β内，

AB⊥，l

这样在β内经过A点就有两条直线和直线l垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．

故选D．

说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．

典型例题二

例2已知下列命题：

（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；

（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；

（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；

（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．

上述命题正确的是（）．

A．（1）、（2）B．（2）、（3）C．（3）、（4）D．（2）、（4）

分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系；

（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；

（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；

（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性． 故选D ．

说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如在正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为棱1AA 和1BB 上的点，G 为棱BC 上的点，且1BB EF ⊥，EG FC ⊥1，求FG D 1∠．

典型例题三

例3 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是1BB 的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：⊥OE 平面1ACD ．

分析：本题考查的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明⊥OE 平面1ACD ，只要在平面1ACD 内找两条相交直线与OE 垂直．

证明：连结D B 1、D A 1、BD ，在△BD B 1中，

∵O E 、分别是B B 1和DB 的中点，

∴D B EO 1//．

∵⊥11A B 面D D AA 11，

∴1DA 为1DB 在面D D AA 11内的射影．

又∵D A AD 11⊥，

∴11DB AD ⊥．

同理可证，C D D B 11⊥．

又∵111D CD AD = ，1AD 、⊂C D 1面1ACD ，

∴⊥D B 1平面1ACD ．

∵EO D B //1，

∴⊥EO 平面1ACD ． 另证：连结CE AE 、，O D 1，设正方体1DB 的棱长为a ，易证CE AE =．

又∵OC AO =，

∴AC OE ⊥．

在正方体1DB 中易求出：

a a a DO DD O D 26222

22211=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=+=， a a a OB BE OE 232222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=， ()a a a E B B D E D 23222

2212111=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=

+=． ∵21221E D OE O D =+，

∴OE O D ⊥1． ∵O AC O D = 1，O D 1、⊂AC 平面1ACD ，

∴⊥OE 平面1ACD ．

说明：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法．在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用．

典型例题四

例4 如图，在△ABC 中，

90=∠B ，⊥SA 平面ABC ，点A 在SB 和SC 上的射影分别为N M 、，求证：SC MN ⊥．

分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思想．欲证MN SC ⊥，可证⊥SC 面AMN ，为此须证AN SC ⊥，进而可转化为证明⊥AN 平面SBC ，而已知SB AN ⊥，所以只要证BC AN ⊥即可．由于图中线线垂直、线面垂直关系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂

直．

证明：∵⊥SA 面ABC ，⊂BC 平面ABC ，