勾股定理及其逆定理 (讲义及答案)
(寒假班内部讲义)第十八章-勾股定理
第十八章勾股定理第一部分知识网络一、重、难点重点：勾股定理及其逆定理的应用。
难点：勾股定理及其逆定理的应用。
二、知识要点梳理知识点一：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题知识点二：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。
知识点三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
知识点四：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
三、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．第二部分 学习笔记1.直角三角形的边、角之间分别存在什么关系？（1） 角与角之间的关系：在△ABC 中，∠C=90°，有∠A+∠B=90°；（2） 边与边之间的关系：在△ABC 中，∠C=90°，有222c a b =+2.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c ，那么222c a b =+ 即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理及其逆定理,经典过关题及练习题(含答案)
CBAFEDCB A勾股定理及其逆定理（讲义）一、 知识点睛1. 11-19的平方：_______________________________________________________________________________________________________．2. 勾股定理：_______________________________________________________________________________________________________． 3. 勾股定理的验证：4. 勾股定理逆定理：_______________________________________________________________________________________________________．5. 勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．常见勾股数有______________；______________；_______________；________________；________________；_________________．二、精讲精练1. 一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为25B ．三角形的周长为25C ．斜边长为5D ．三角形的面积为202. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若BC =8，AB =17，则AC 的长是________．S 3S 2S 1AB C86C3. 已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △ACF 中，BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，AF长为12cm ，则正方形CDEF 的面积为_________．4. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，分别以BC ，AB ，AC 为边向外作正方形，面积分别记为S 1，S 2，S 3．若S 2=4，S 3=6，则S 1=___________．5. 如图，已知Rt △ABC 的两直角边长分别为6和8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为___________．6. （1）等面积法是几何中一种常见的证明方法，可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”．例如，著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较长的直角边长都为a ，较短的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为4×12ab +(a -b )2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则a 2+b 2=c 2．图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形的两直角边长为3和4，则斜边上的高为________． 7. 如图，点C 在线段BD 上，AC ⊥BD ，CA =CD ，点E 在线段CA 上，且满足DE =AB ，连接DE 并延长交AB 于点F ． （1）求证：DE ⊥AB ；（2）若已知BC =a ，AC =b ，AB =c ，你能借助本题提供的图形证明勾股定理吗？试一试吧．图2图1b ba ED A ABDEFc c图2b aba ED CBAlcba8. 如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积是_________．第8题图 第9题图9. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC >BC ，分别以AB ，BC ，CA 为一边向△ABC 外作正方形ABDE ，正方形BCMN ，正方形CAFG ，连接EF ，GM ，ND ．设△AEF ，△CGM ，△BND 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则下列结论正确的是（ ）A ．S 1=S 2=S 3B ．S 1=S 2<S 3C ．S 1=S 3<S 2D ．S 2=S 3<S 110. 如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为______．11. 如图，从电线杆离地面8m 处向地面拉一条钢索，若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m ，那么需要多长的 钢索？12. 小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处1米．法算出旗杆的高度．13. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ）DCBAAB C DE F GH图3图2图1h 26246b 106c 125A ．B ．C ．D ．7152024257202425715202425252420157图2图1DCBAA ．0.3，0.4，0.5B ．7，12，15C ．11，60，61D ．9，40，4114. 如图，在单位正方形组成的网格图中有AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A ．CD ，EF ，GHB ．AB ，EF ，GHC ．AB ，CD ，GHD ．AB ，CD ，EF 15. 若三角形的三边长分别是222122221n n n n n ++++，，（n 为正整数），则三角形的最大内角等于_______度．16. 将直角三角形的三边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形17. 三边长分别是15，36，39的三角形是_______三角形.18. 如图，求出下列直角三角形中未知边的长度：c =____，b =____，h =_____．19. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形中正确的是（ ）20. 一个零件的形状如图1中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2请说明理由．勾股定理及其逆定理（随堂测试）1．有一块土地形状如图所示，∠B =∠D =90°，AB =20米，BC =15米，CD =7BAD CB ．A ．c b c a b a a b c a b c c b a c b a A BCD EF D ．c b a a b c C ．米，则这块地的面积为__________．2．若三角形的三边长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④0.3，0.4，0.5；⑤2n +1，2n ，2n 2+2n +1（n 为正整数）．则其中能构成直角三角形的是_____________．3．如图，在四边形ABCD 中，AD =3，AB =4，BC =12，CD =13，∠BAD =90°． （1）求BD 的长； （2）证明：BD ⊥BC ； （3）求四边形ABCD 的面积．勾股定理及其逆定理（作业）1. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ）A ．1.5，2，2.5B ．9，12，15C ．7，24，25D ．1，1，22. 若三角形的三边长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④11，60，61；⑤22(+)12(+)(+)+1m n m n m n ，，（m ，n 为正整数）．其中能构成直角三角形的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3. 下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ）4. 已知甲、乙两人从同一点出发，甲往东走了12km ，乙往南走了5km ，这时甲、乙两人相距______．5. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9，BC =12，则点C 到AB 的距离为____________．DC BAF E D CB A 6. 记为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ A ．S l +S 2>S 3 B ．S l +S 2< S 3C ．S 1+S 2=S 3D ．S 12+S 22=S 327. 中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，___________cm 2．8. 如图，每个小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积为_________．9. 如图，在正方形ABCD 中，AB =4，AE =2，DF =1，则图中共有直角三角形________个．10. 11. 如图，一架长25（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4方向上滑动了几米？12. 已知一个三角形的三边长分别是5cm ，12cm ，13cm ，你能算出这个三角形的面积吗？b915勾股定理及其逆定理【参考答案】➢ 课前预习1. 大于，互余；2. 121，144，169，196，225，256，289，324，3613. 16A S =9B S = 25C S =A B C S S S +=➢ 知识点睛1. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．2. 略3. 三角形两边的平方和等于第三边的平方，直角三角形．4. 3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41；11，60，61．➢ 精讲精练1. C2. 169 cm 23. 24.245. 证明略6. 167. 148. AD =12 cm ，AC =15 cm 9. B 10. B 11. 90 12. 直角 13. C14. 符合要求，理由略15. （1）同位角相等，两直线平行．逆命题成立．（2）如果两个实数的积是正数，那么这两个实数是正数．逆命题不成立． （3）锐角三角形是等边三角形．逆命题不成立．（4）到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．逆命题成立．。
《勾股定理》勾股定理的逆定理(含答案)
第3章《勾股定理》： 3.2 勾股定理的逆定理填空题1．你听说过亡羊补牢的故事吗如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m，宽 1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需 m 长．（第1题）（第2题）（第3题）2．如图，将一根长24cm的筷子，底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的最小值是 cm．3．如图所示的一只玻璃杯，最高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是厘米．4．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯米．（第4题）（第5题）（第6题）5．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是错误!，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是．（结果保留根号）6．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC 的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 m．（结果不取近似值）7．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）（第7题）（第8题）（第9题）8．如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 cm．（π取3）9．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是．10．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米．（第10题）（第11题）（第12题）11．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）12．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A 和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是寸．13．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32=4+5；列举：5、12、13，猜想：52=12+13；列举：7、24、25，猜想：72=24+25；…列举：13、b、c，猜想：132=b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b= ，c= ．解答题14．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．15．如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB=110°．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．16．先请阅读下列题目和解答过程：“已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2-b2c2=a4-b4①∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）②∴c2=a2+b2③∴△ABC是直角三角形．”④请解答下列问题：（1）上列解答过程，从第几步到第几步出现错误？（2）简要分析出现错误的原因；（3）写出正确的解答过程．17．如图，四边形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=12，CD=13，∠BAD=90°，（1）试说明：BD⊥BC；（2）计算四边形ABCD的面积．18．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）直线AE与BD互相垂直吗？请证明你的结论．19．请阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，A∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），B∴c2=a2+b2，C∴△ABC为直角三角形．D问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：；（2）错误的原因是；（3）本题正确的结论是：．20．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．21．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n 2 3 4 5 …a 22-1 32-1 42-1 52-1 …b 4 6 8 10 …c 22+1 32+1 42+1 52+1 …（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a= ，b= ，c= ；（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．22．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=95．（1）求CD，AD的值；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．23．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．（图2，图3备用）24．如图，小明用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为3米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米， 3 ≈1.732）．25．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？26．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，点D到地面的垂直距离DE=错误!m．求点B到地面的垂直距离BC．27．如图（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE位置上，如图所示，测得BD=0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？28．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB 于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？29．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？30．如下图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=8，BC=6，CD=24，AD=26，求四边形ABCD的面积．答案：填空题1．故答案为：1.5m．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：用勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方进行解答．解答：解：由图可知这条木板的长为错误!=错误!=1.5m．点评：本题较简单，只要熟知勾股定理即可．2．故答案为：11cm．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：筷子如图中所放的方式时，露在杯子外面的长度最小，在杯中的筷子与圆柱形水杯的底面直径和高构成了直角三角形，由勾股定理可求出筷子在水杯中的长度，筷子总长度减去杯子里面的长度即露在外面的长度．解答：解：设杯子底面直径为a，高为b，筷子在杯中的长度为c，根据勾股定理，得：c2=a2+b2，故：c=错误!=错误!=13cm，h=24-13=11cm．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．3．故答案为：6厘米．考点：勾股定理的应用．分析：根据最长4cm，可得筷子长为12cm．那么可得AC长，那么利用勾股定理可得内径．解答：解：根据条件可得筷子长为12厘米．如图AC=10厘米，BC=错误!=错误!＝6厘米．点评：主要考查学生对解直角三角形的应用的掌握情况．4．故答案为：2cm．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：根据题意，将梯子下滑的问题转化为直角三角形的问题解答．解答：解：在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得：OB=6m，根据题意，得：OB′=6+2=8m．又∵梯子的长度不变，在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得：OA′=6m．则AA′=8-6=2m．点评：熟练运用勾股定理，注意梯子的长度不变．5．故答案为：2 2 ．考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题．分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．解答：解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．∵AB=π•错误!=2，CB=2．∴AC=AB2+BC2 =8 =2 2 ，故答案为：2 2 ．点评：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．6．故答案为：3 5 m．考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题；转化思想．分析：求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为6cm的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点B是半圆的一个端点，而点P是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B和P在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．解答：解：圆锥的底面周长是6π，则6π=nπ×6 180，∴n=180°，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．则在圆锥侧面展开图中AP=3，AB=6，∠BAP=90度．∴在圆锥侧面展开图中BP=32+62 =45 ＝3 5 m．故小猫经过的最短距离是3 5 m．故答案是：3 5 m．点评：正确判断小猫经过的路线，把曲面的问题转化为平面的问题是解题的关键．7．故答案为：22m．考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题．分析：要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解答：解：其侧面展开图如图：AD=πR=4π，AB=CD=20m．DE=CD-CE=20-2=18m，在Rt△ADE中，AE=AD2+DE2 =错误!≈21.9≈22m．故他滑行的最短距离约为22m．点评：U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为4m的半圆的周长，矩形的长等于AB=CD=20m．本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．8．故答案为：15cm．考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题．分析：本题应先把圆柱展开即得其平面展开图，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πr，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B 的线段长，由勾股定理求得AB的长．解答：解：圆柱展开图为长方形，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πrcm，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理得AB=122+(3π)2 =错误!=错误!=15cm．故蚂蚁经过的最短距离为15cm．（π取3）点评：解答本题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形长和宽的值，然后用勾股定理计算即可．9．故答案为：10．考点：平面展开-最短路径问题．分析：根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB．解答：解：将点A和点B所在的两个面展开，则矩形的长和宽分别为6和8，故矩形对角线长AB=62+82 =10，即蚂蚁所行的最短路线长是10．点评：本题的关键是将点A和点B所在的面展开，运用勾股定理求出矩形的对角线．10．故答案为：2.5．考点：平面展开-最短路径问题；勾股定理．分析：先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．解答：解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（0.2+0.3）×3，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=22+[（0.2+0.3）×3]2=2.52，解得x=2.5．点评：本题用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．11．故答案为：2.60．考点：平面展开-最短路径问题．分析：解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．解答：解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽，∴长为2+0.2×2=2.4米；宽为1米．于是最短路径为： 2.42+12 =2.60米．故答案为：2.60．点评：本题主要考查两点之间线段最短，有一定的难度，是中档题．12．故答案为：25寸．考点：平面展开-最短路径问题．分析：根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答．解答：解：将台阶展开矩形，线段AB 恰好是直角三角形的斜边，两直角边长分别为24寸，7寸，由勾股定理得AB=72+242 =25寸． 点评：本题结合实际，运用两点之间线段最短等知识来解答问题．13．故答案为：b=84，c=85；考点：勾股数． 专题：规律型．分析：认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第n 组数为（2n+1），（(2n +1)2−12）， （(2n +1)2+12 ），由此规律解决问题．32-12解答：在32=4+5中，4=32-12 ，5=32+12； 在52=12+13中，12=52-12 ，13=52+12； …则在13、b 、c 中，b=132-12 =84，c=132+12=85； 点评：认真观察各式的特点，总结规律是解题的关键． 解答题14．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理． 专题：探究型．分析：根据等边三角形的性质利用SAS 判定△ABP≌△CBQ，从而得到AP=CQ ；设PA=3a ，PB=4a ，PC=5a ，由已知可判定△PBQ 为正三角形从而可得到PQ=4a ，再根据勾股定理判定△PQC 是直角三角形．解答：解：（1）猜想：AP=CQ ，证明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°，∴∠ABP=∠QBC．又AB=BC ，BP=BQ ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ；（2）由PA：PB：PC=3：4：5，可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，连接PQ，在△PBQ中由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，∴△PBQ为正三角形．∴PQ=4a．于是在△PQC中∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2∴△PQC是直角三角形．点评：此题考查学生对等边三角形的性质，直角三角形的判定及全等三角形的判定方法的综合运用．15．考点：等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理．专题：证明题；压轴题；探究型分析：此题有一定的开放性，要找到变化中的不变量才能有效解决问题．解答：（1）证明：∵CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形；（3分）（2）解：当α=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形．（5分）∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=90°，即△AOD是直角三角形；（7分）（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO．∵∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-α=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，∴190°-α=α-60°∴α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．∵∠AOD=190°-α，∠ADO=α-60°，∵∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=50°，∴α-60°=50°∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．∵190°-α=50°∴α=140°．综上所述：当α的度数为125°，或110°，或140°时，△AOD是等腰三角形．（12分）说明：第（3）小题考生答对1种得（2分），答对2种得（4分）．点评：本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．16．考点：勾股定理；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理．专题：阅读型．分析：从公式入手，式子的左边提取公因式，式子的右边符合平方差公式，并分解，两边同一个不为零的数，从而得到勾股定理．解答：解：（1）从第②步到第③步出错（写成第“2”或“二”等数字都不扣分；另外直接写“第③步”或“到第③步”都算正确），（2分）（2）等号两边不能同除a2-b2，因为它有可能为零．（4分）（3）（从头或直接从第③步写解答过程都行），∵a2c2-b2c2=a4-b4，∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），移项得：c2（a2-b2）-（a2+b2）（a2-b2）=0，得（a2-b2）（c2-a2-b2）=0，（5分）∴a2=b2或c2=a2+b2（6分）∴△ABC是直角三角形或等腰三角形．（7分）点评：正确理解勾股定理来验证直角三角形，从公式的角度入手，得出结论从而验证．17．考点：勾股定理；勾股定理的逆定理．分析：（1）先根据勾股定理求出BD的长度，然后根据勾股定理的逆定理，即可证明BD⊥BC；（2）根据两个直角三角形的面积即可求解．解答：解：（1）∵AD=3，AB=4，∠BAD=90°，∴BD=5．又BC=12，CD=13，∴BD2+BC2=CD2．∴BD⊥BC．（2）四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积=6+30=36．点评：综合运用了勾股定理及其逆定理，是基础知识比较简单．18．考点：勾股定理的逆定理；直角三角形全等的判定．专题：证明题．分析：（1）根据SAS 判定△ACE≌△BCD，从而得到∠EAC=∠DBC，根据角之间的关系可证得AF⊥BD．（2）互相垂直，只要证明∠AFD=90°，从而转化为证明∠EAC+∠CDB=90即可解答：（1）证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD ，∠ACE=∠BCD=90°，在△ACE 和△BCD，⎩⎪⎨⎪⎧∠AC ＝BC∠ACE ＝∠BCD CE ＝CD ∴△ACE≌△BCD（SAS ）；（2）解：直线AE 与BD 互相垂直，理由为：证明：∵△ACE≌△BCD，∴∠EAC=∠DBC，又∵∠DBC+∠CDB=90°，∴∠EAC+∠CDB=90°，∴∠AFD=90°，∴AF⊥BD，即直线AE 与BD 互相垂直．点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定及直角三角形的判定的掌握情况．19．故答案为：（1）第C 步 （2）等式两边同时除以a 2-b 2 （3）直角三角形或等腰三角形考点：勾股定理的逆定理．专题：阅读型．分析：通过给出的条件化简变形，找出三角形三边的关系，然后再判断三角形的形状． 解答：解：（1）C ；（2）方程两边同除以（a 2-b 2），因为（a 2-b 2）的值有可能是0；（3）∵c 2（a 2-b 2）=（a 2+b 2）（a 2-b 2）∴c 2=a 2+b 2或a 2-b 2=0∵a 2-b 2=0∴a+b=0或a-b=0∵a+b≠0∴c 2=a 2+b 2或a-b=0∴c 2=a 2+b 2或a=b∴该三角形是直角三角形或等腰三角形．点评：本题考查了因式分解和公式变形等内容，变形的目的就是找出三角形三边的关系再判定三角形的形状．20．考点：勾股定理；勾股定理的逆定理．分析：如图，连接BD．由勾股定理求得BD的长度；然后根据勾股定理的逆定理判定△BDC是直角三角形，则四边形ABCD的面积=直角△ABD的面积+直角△BDC 的面积．解答：解：∵在△ABD中，AB⊥AD，AB=3，AD=4，∴BD=AB2+AD2 =32+42 =5．在△BDC中，CD=12，BC=13，BD=5．∵122+52=132，即CD2+BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，∴S四边形A B C D=S△A B D+S△B D C=12AB•AD+12BD•CD12×3×4+12×5×12=36，即四边形ABCD的面积是36．点评：本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．21．故答案填：n2-1，2n，n2+1；考点：勾股定理的逆定理；列代数式．专题：应用题；压轴题．分析：（1）结合表中的数据，观察a，b，c与n之间的关系，可直接写出答案；（2）分别求出a2+b2，c2，比较即可．解答：解：（1）由题意有：n2-1，2n，n2+1；（2）猜想为：以a，b，c为边的三角形是直角三角形．证明：∵a=n2-1，b=2n；c=n2+1∴a2+b2=（n2-1）2+（2n）2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2而c2=（n2+1）2∴根据勾股定理的逆定理可知以a，b，c为边的三角形是直角三角形．点评：本题需仔细观察表中的数据，找出规律，利用勾股定理的逆定理即可解决问题．22．考点：勾股定理的逆定理．分析：利用勾股定理求出CD和AD则可，再运用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形．解答：解：（1）∵CD⊥AB且CB=3，BD=95，故△CDB为直角三角形，∴在Rt△CDB中，CD=CB2−BD2 =32−（95）2 =125，在Rt△CAD中，AD=AC2−CD2 =42−（125）2 =165．（2）△ABC为直角三角形．理由：∵AD=165，BD=95，∴AB=AD+BD=165+95=5，∴AC2+BC2=42+32=25=52=AB2，∴根据勾股定理的逆定理，△ABC为直角三角形．点评：本题考查了勾股定理和它的逆定理，题目比较典型，是一个好题目．23．故答案为：32m或（20+4 5 ）m或803m．考点：勾股定理的应用；等腰三角形的性质．专题：分类讨论．分析：根据题意画出图形，构造出等腰三角形，根据等腰三角形及直角三角形的性质利用勾股定理解答．解答：解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6由勾股定理有：AB=10，应分以下三种情况：①如图1，当AB=AD=10时，∵AC⊥BD，∴CD=CB=6m，∴△ABD的周长=10+10+2×6=32m．②如图2，当AB=BD=10时，∵BC=6m，∴CD=10-6=4m，∴AD=4 5 m，∴△ABD的周长=10+10+4 5 =（20+4 5 ）m．③如图3，当AB为底时，设AD=BD=x，则CD=x-6，由勾股定理得：AD=82+(x−6)2 =x解得，x=253，∴△ABD的周长为：AD+BD+AB=803m．点评：本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，在解答此题时要注意分三种情况讨论，不要漏解．24．考点：勾股定理的应用．分析：因为∠CAD=30°，则AC=2CD，再利用勾股定理求得CD的长，再加上DE 的长就求出了树的高度．解答：解：在Rt△ACD中，∠CAD=30°，AD=3，设CD=x，则AC=2x，由AD2+CD2=AC2，得，32+x2=4x2，x= 3 =1.732，所以大树高1.732+1.68≈3.4（米）．点评：此题主要考查了学生利用勾股定理解实际问题的能力．25．考点：勾股定理的应用．分析：根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解答：解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4m，EC=8m，AE=AB-EB=10-4=6m，在Rt△AEC中，AC=AE2+EC2 =错误!=10m，故小鸟至少飞行10m．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．26．考点：勾股定理的应用．分析：在Rt△ADE中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在Rt△ABC中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出BC的长．解答：解：在Rt△DAE中，∵∠DAE=45°，∴∠ADE=∠DAE=45°，AE=DE=8 ，∴AD 2=AE 2+DE 2=36m(8 )2+(8 )2=16，∴AD=4，即梯子的总长为4米．∴AB=AD=4．在Rt△ABC 中，∵∠BAC=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=12AB=2， ∴BC 2=AB 2-AC 2=42-22=12， ∴BC=12 =2 3 m ；∴点B 到地面的垂直距离BC=2 3 m ．点评：本题考查了勾股定理的应用，如何从实际问题中整理出直角三角形并正确运用勾股定理是解决此类题目的关键．27．考点：勾股定理的应用．分析：要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC 和CE 的长即可．解答：解：在Rt△ACB 中，AC 2=AB 2-BC 2=2.52-1.52=4，∴AC=2，∵BD=0.5，∴CD=2．在Rt△ECD 中，EC 2=ED 2-CD 2=2.52-22=2.25，∴EC=1.5，∴AE=AC -EC=2-1.5=0.5． 答：梯子顶端下滑了0.5米．点评：注意此题中梯子的长度是不变的．熟练运用勾股定理．28．考点：勾股定理的应用．分析：根据使得C ，D 两村到E 站的距离相等，需要证明DE=CE ，再根据△DAE≌△EBC，得出AE=BC=10km ； 解答：解：∵使得C ，D 两村到E 站的距离相等．∴DE=CE，∵DA⊥AB 于A ，CB⊥AB 于B ，∴∠A=∠B=90°，∴AE 2+AD 2=DE 2，BE 2+BC 2=EC 2，∴AE 2+AD 2=BE 2+BC 2，设AE=x ，则BE=AB-AE=（25-x ），∵DA=15km，CB=10km ，∴x 2+152=（25-x ）2+102，解得：x=10，∴AE=10km，∴收购站E应建在离A点10km处．点评：本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．29．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC＞200则A城不受影响，否则受影响；（2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点，在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．解答：解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，因为160＜200，所以A城要受台风影响；（2）设BF上点D，DA=200千米，则还有一点G，有AG=200千米．因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，因为AC⊥BF，所以AC是BF的垂直平分线，CD=GC，在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，由勾股定理得，CD=DA2−AC2 =2002−1602 =120千米，则DG=2DC=240千米，遭受台风影响的时间是：t=240÷40=6（小时）．点评：此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂．30．考点：勾股定理的应用．分析：连接AC，根据已知条件运用勾股定理逆定理可证△ABC和△ACD为直角三角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来，两者面积相加即为四边形ABCD的面积．解答：解：连接AC，∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，∵AC2=AB2+BC2=82+62=102，∵AC＞0，∴AC=10，在△ACD中，∵AC2+CD2=100+576=676，AD2=262=676，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°，∴S四边形A B C D=S△A B C+S△A C D=12×6×8+12×10×24=144．点评：通过作辅助线可将一般的四边形转化为两个直角三角形，使面积的求解过程变得简单．。
人教版八年级下册数学 第17章《勾股定理》讲义 第6讲 勾股定理-逆定理(有答案)
人教版八年级下册数学第17章《勾股定理》讲义第6讲勾股定理－逆定理（有答案）第6讲 勾股定理－逆定理 第一部分 知识梳理知识点一：勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 .①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形知识点二：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）知识点三：勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整例4、已知:△ABC 的三边分别为m 2－n 2,2mn,m 2+n 2(m,n 为正整数,且m ＞n),判断△ABC 是否为直角三角形.例5、三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 举一反三：1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A 、8，15，17B 、4，5，6C 、5，8，10D 、8，39，402、下列各组线段中的三个长度：①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成直角三角形的有（ ）A 、5组B 、4组C 、3组D 、2组3、现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（ ）A 、30厘米B 、40厘米C 、50厘米D 、以上都不对4、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。
勾股定理(讲义)
21E DC B A勾股定理 一、知识归纳 1．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 2．勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 3．勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a = ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 二、题型题型一：直接考查勾股定理例１. 在ABC ∆中，90C ∠=︒⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长解：题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长AB C D E例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m三、勾股定理的逆定理知识归纳 1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
2. 常用的平方数112＝_______，122＝_______，132＝_______，142＝_______，152＝_______，162＝_______，172＝_______，182＝_______，192＝_______，202＝_______，252＝_______．注意.如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
初中数学勾股定理(讲义及答案)及答案
一、选择题1．如图，ABC 是等边三角形，点D ．E 分别为边BC ．AC 上的点，且CD AE =，点F 是BE 和AD 的交点，BG AD ⊥，垂足为点G ，已知75∠=︒BEC ，1FG =，则2AB 为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．72．如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为（ ）A ．1cmB ．1.5cmC ．2cmD ．3cm3．如图，在ABC 中，90A ∠=︒，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作⊥OD AB 于点D ，若则AD 的长为( )A ．2B ．2C ．3D ．44．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一动点，则DN+MN 的最小值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．125．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的点A （0，﹣2）、点B （3m ，4m +1）（m ≠﹣1），点C （6，2），则对角线BD 的最小值是（ ）A ．2B ．13C ．5D ．66．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（ ）A ．5.3尺B ．6.8尺C ．4.7尺D ．3.2尺 7．在△ABC 中，AB =10，BC =12，BC 边上的中线AD =8，则△ABC 边AB 上的高为（ ）A ．8B ．9.6C ．10D ．12 8．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．下列以线段a 、b 、c 的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A ．9,41,40a b c ===B ．5,5,52a b c ===C ．::3:4:5a b c =D ．11,12,13a b c === 10．如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD ＝3，BE ＝1，则BC 的长是（ ）A ．32B ．2C ．22D ．10二、填空题11．如图，∠MON ＝90°，△ABC 的顶点A 、B 分别在OM 、ON 上，当A 点从O 点出发沿着OM 向右运动时，同时点B 在ON 上运动，连接OC ．若AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，则OC 的长度的最大值是________．12．如图，在△ABC 中，OA ＝4，OB ＝3，C 点与A 点关于直线OB 对称，动点P 、Q 分别在线段AC 、AB 上(点P 不与点A 、C 重合)，满足∠BPQ ＝∠BAO.当△PQB 为等腰三角形时，OP 的长度是_____．13．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为________14．在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，以ABC 的边AC 为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在ABC 的斜边AB 上，则这个等腰三角形的腰长为_________.15．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°,以AC 为斜边向外作等腰直角三角形COA ，已知BC=8,OB=102,则另一直角边AB 的长为__________.16．已知Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∠ACB ＝90°，以AC 为一边在Rt △ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为_____．17．如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________18．如图，E 为等腰直角△ABC 的边AB 上的一点，要使AE ＝3，BE ＝1，P 为AC 上的动点，则PB ＋PE 的最小值为____________．19．如图所示，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，若AD ＝4，DC ＝3，求BE 的长．20．已知：如图，等腰Rt OAB ∆的直角边OA 的长为1，以AB 边上的高1OA 为直角边，按逆时针方向作等腰11Rt OA B ∆，11A B 与OB 相交于点2A ，若再以2OA 为直角边按逆时针方向作等腰22Rt OA B ∆，22A B 与1OB 相交于点3A ，按此作法进行下去，得到33OA B ∆，44OA B ∆，…，则66OA B ∆的周长是______.三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．（1）求BF 的长；（2）求CE 的长．22．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O ．（1）“距离坐标”为(1，0)的点有 个；（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为(p ，q )，且∠BOD = 150︒，请写出p 、q 的关系式并证明；（3）如图3，点M 的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30︒，求OM 的长．23．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为： （不写证明过程）24．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==． （1）若30AED ∠=︒，则ADB =∠______．（2）求证：BED CDF △≌△．（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．25．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A ﹣C ﹣B ﹣A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）若点P 在AC 上，且满足PA ＝PB 时，求出此时t 的值；（2）若点P 恰好在∠BAC 的角平分线上，求t 的值；（3）在运动过程中，直接写出当t 为何值时，△BCP 为等腰三角形．26．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；②若∠DCE =45°， 求证：DE 2=AD 2+BE 2；(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．27．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ∇=-（1）在ABC ∆中，若90ACB ∠=︒，81AB AC ∇=，求AC 的值．（2）如图2，在ABC ∆中，12AB AC ==，120BAC ∠=︒，求AB AC ∇，BA BC ∇的值．（3）如图3，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ∆=，8AC =，64AB AC ∇=-，求BC 和AB 的长．28．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.29．如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ︒<∠<︒.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ，CD ，AD ．（1）补全图形.（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).（3）延长CD与AP交于点E,直接用等式表示线段BD与DE之间的数量关系.30．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC，其顶点A，B，C都在格点上，同时构造长方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边EF经过点A，ED经过点B．同学们借助此图求出了△ABC的面积．（1）在图（1）中，△ABC的三边长分别是AB＝，BC＝，AC＝．△ABC 的面积是．（2）已知△PMN中，PM＝17，MN＝25，NP＝13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN，并直接写出△RMN的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】结合等边三角形得性质易证△ABE≌△CAD，可得∠FBG＝30°，BF＝2FG＝2，再求解∠ABE ＝15°，进而两次利用勾股定理可求解．【详解】∵△ABC为等边三角形∴∠BAE＝∠C＝60°，AB＝AC，CD＝AE∴△ABE≌△CAD（SAS）∴∠ABE=∠CAD∴∠BFD＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAF＝∠BAC＝60°，∵BG⊥AD，∴∠BGF＝90°，∴∠FBG＝30°，∵FG＝1，∴BF＝2FG＝2，∵∠BEC＝75°，∠BAE＝60°，∴∠ABE＝∠BEC﹣∠BAE＝15°，∴∠ABG＝45°，∵BG⊥AD，∴∠AGB＝90°，∴=AB2=AG2+BG22)2=6．故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，证明△ABG为等腰直角三角形是解题关键．2．D解析：D【分析】根据折叠的性质可得AD=A'D，AE=A'E，易得阴影部分图形的周长为=AB+BC+AC，则可求得答案．【详解】解：因为等边三角形ABC的边长为1cm，所以AB=BC=AC=1cm，因为△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，所以AD=A'D，AE=A'E，所以阴影部分图形的周长=BD+A'D+BC+A'E+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC=1+1+1=3（cm）．故选：D．【点睛】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用以及折叠前后图形的对应关系．3．B解析：B【分析】过点O作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，由角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据勾股定理求出BC的长，易得四边形ADFO为正方形，根据线段间的转化即可得出结果.【详解】解：过点O作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，∵BO,CO分别为∠ABC，∠ACB的平分线，所以OD=OE=OF，又BO=BO,∴△BDO≌△BEO,∴BE=BD.同理可得，CE=CF.又四边形ADOE为矩形，∴四边形ADOE为正方形.∴AD=AF.∵在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，∴BC=10.∴AD+BD=6①,AF+FC=8②，BE+CE=BD+CF=10③，①+②得，AD+BD+AF+FC=14，即2AD+10=14，∴AD=2.故选：B.【点睛】此题考查了角平分线的定义与性质，以及全等三角形的判定与性质，属于中考常考题型．4．C解析：C【解析】【分析】要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，∴BN＝ND∴DN＋MN＝BN＋MN连接BM交AC于点P，∵点 N为AC上的动点，由三角形两边和大于第三边，知当点N运动到点P时，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，BN＋MN的最小值为BM的长度，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8−2＝6，BCM＝90°，∴BM＝＝10，∴DN＋MN的最小值是10．故选：C．【点睛】此题考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．5．D解析：D【分析】先根据B（3m，4m+1），可知B在直线y=43x+1上，所以当BD⊥直线y=43x+1时，BD最小，找一等量关系列关于m的方程，作辅助线：过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，利用三角形相似得BH2=EH•FH，列等式求m的值，得BD的长即可．【详解】解：如图,∵点B(3m，4m+1)，∴令341m xm y=⎧⎨+=⎩，∴y=43x+1，∴B在直线y=43x+1上，∴当BD⊥直线y=43x+1时，BD最小，过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，∵BE在直线y=43x+1上，且点E在x轴上，∴E(−34，0)，G(0，1)∵F是AC的中点∵A(0，−2)，点C(6，2)，∴F(3，0)在Rt△BEF中，∵BH2=EH⋅FH，∴(4m+1)2=(3m+34)(3−3m)解得：m1=−14(舍)，m2=15，∴B(35，95)，∴BD=2BF=2×2239(3)55⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=6，则对角线BD的最小值是6；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似的判定，圆形与坐标特点，勾股定理等知识点.本题利用点B的坐标确定其所在的直线的解析式是关键．6．D解析：D【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．【详解】解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：x2+62=（10-x）2，解得：x=3.2，答：折断处离地面的高度OA是3.2尺．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．7．B解析：B【分析】如图，作CE AB ⊥与E,利用勾股定理的逆定理证明AD BC ⊥,再利用面积法求出EC 即可.【详解】如图，作CE AB ⊥与E.AD 是ABC ∆的中线,BC =12,∴BD=6,10,8,6,AB AD BD ===∴ 222AB AD BD =+,90,ADB ∴∠=,AD BC ∴⊥ 11,22ABC S BC AD AB CE ∆== 1289.6.10CE ⨯∴== 故选B.【点睛】 本题主要考查勾股定理的逆定理,三角形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会面积法求三角形的高.8．B解析：B【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．【详解】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．9．D解析：D【分析】根据直角三角形的判定，符合a 2+b 2＝c 2即可；反之不符合的不能构成直角三角形．【详解】解：A 、因为92+402＝412，故能构成直角三角形；B 、因为52+52=(2，故能构成直角三角形； C 、因为()()()222345x x x +=，故能构成直角三角形；D 、因为112+122≠152，故不能构成直角三角形；故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足222a b c +=关系时，则三角形为直角三角形．10．D解析：D【分析】根据条件可以得出∠E ＝∠ADC ＝90°，进而得出△CEB ≌△ADC ，就可以得出AD ＝CE ，再利用勾股定理就可以求出BC 的值．【详解】解：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠ADC ＝90°，∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°．∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＝∠DCA ．在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CEB ≌△ADC （AAS ），∴CE ＝AD ＝3，在Rt △BEC中，，故选D ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．二、填空题11．5【解析】试题分析：取AB 中点E ，连接OE 、CE ，在直角三角形AOB 中，OE=AB ，利用勾股定理的逆定理可得△ACB 是直角三角形，所以CE=AB ，利用OE+CE≥OC ，所以OC 的最大值为OE+CE ，即OC 的最大值=AB=5．考点：勾股定理的逆定理，12．1或78【分析】 分为三种情况：①PQ BP =，②BQ QP =，③BQ BP =，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．【详解】解：分为3种情况：①当PB PQ =时，4=OA ，3OB =， ∴22435BC AB ==+=， C 点与A 点关于直线OB 对称，BAO BCO ∴∠=∠，BPQ BAO ∠=∠，BPQ BCO ∴∠=∠，APB APQ BPQ BCO CBP ∠=∠+∠=∠+∠，APQ CBP ∴∠=∠，在APQ 和CBP 中，BAO BCP APQ B PQ B P C P ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩， ()APQ CBP AAS ∴△≌△，∴5AP BC ==，1OP AP OA ∴=-=；②当BQ BP =时，BPQ BQP ∠=∠，BPQ BAO ∠=∠，BAO BQP ∴∠=∠，根据三角形外角性质得：BQP BAO ∠>∠，∴这种情况不存在；③当QB QP =时，QBP BPQ BAO ∠=∠=∠，PB PA ∴=，设OP x =，则4PB PA x ==-在Rt OBP △中，222PB OP OB =+，222(4)3x x ∴-=+， 解得：78x =； ∴当PQB △为等腰三角形时，1OP =或78； 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意分类讨论．13．310或10【详解】分两种情况：（1）顶角是钝角时，如图1所示：在Rt △ACO 中，由勾股定理，得AO 2=AC 2-OC 2=52-32=16，∴AO=4，OB=AB+AO=5+4=9，在Rt △BCO 中，由勾股定理，得BC 2=OB 2+OC 2=92+32=90，∴10；（2）顶角是锐角时，如图2所示：在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AD 2=AC 2-DC 2=52-32=16，∴AD=4，DB=AB-AD=5-4=1．在Rt △BCD 中，由勾股定理，得BC 2=DB 2+DC 2=12+32=10，∴BC=10 ； 综上可知，这个等腰三角形的底的长度为310或10．【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，难度适中，分情况讨论是解题的关键．14．23或2【分析】先求出AC 的长，再分两种情况：当AC 为腰时及AC 为底时，分别求出腰长即可.【详解】在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，∴AB=2BC=4，∴22224223AC AB BC =-=-=,当AC 为腰时，则该三角形的腰长为23；当AC 为底时，作AC 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如图，此时△ACD 是等腰三角形，则AE=3,设DE=x ，则AD=2x ，∵222AE DE AD +=,∴222(3)(2)x x +=∴x=1（负值舍去），∴腰长AD=2x=2，故答案为：32【点睛】此题考查勾股定理的运用，结合线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题时注意：“AC 为一边的等腰三角形”没有明确AC 是等腰三角形的腰或底，故应分为两种情况解题，这是此题的易错之处.15．12【分析】延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.证∆BCO ≅∠EAO ，再证三角形BOE 是等腰直角三角形，利用勾股定理可得BE=()()222210210220BO EO +=+=，可得AB=BE-AE.【详解】如图，延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.因为三角形COA 是等腰直角三角形所以CO=AO,∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°因为∠ABC=90°，∠AOC=90°，所以∠BAO+∠BCO=180°,又∠BAO+∠OAE=180° 所以∠BCO=∠OAE所以∆BCO ≅∠EAO所以BO=EO, ∠BOC=∠EOA所以，∠BOE=∠EOA+∠AOB=90°所以三角形BOE 是等腰直角三角形所以()()222210210220BO EO +=+=所以AB=BE-AE=20-8=12故答案为：12【点睛】考核知识点：全等三角形，勾股定理.构造全等三角形是关键.16．72965【分析】分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D 所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A 所在顶点为直角时．【详解】（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时．∵AC =CD =4，BC =3，∴BD =CD +BC =7；（2）如图2中，以点D 所在顶点为直角时，作DE ⊥BC 与E ，连接BD ．在Rt△BDE中DE=2，BE=5，∴BD2229=+=；DE BE（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E，在Rt△BDE中，DE=4．BE=7，∴BD2265=+=．DE BE故答案为：7或29或65．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．17．【解析】【分析】延长BC，AD交于E点，在直角三角形ABE和直角三角形CDE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.【详解】如图，延长AD、BC相交于E，∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,∴∠E=30°∴AE=2AB，CE=2CD∵AB=3，AD=4,∴AE=6, DE=2设CD=x,则CE=2x，DE=x即x=2x=即CD=故答案为：【点睛】 本题考查了勾股定理的运用，含30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角△ABE 和直角△CDE ，是解题的关键．18．5【解析】试题分析：作点B 关于AC 的对称点F ，构建直角三角形，根据最短路径可知：此时PB +PE 的值最小，接下来要求出这个最小值，即求EF 的长即可，因此要先求AF 的长，证明△ADF ≌△CDB ，可以解决这个问题，从而得出EF =5，则PB +PE 的最小值为5．解：如图，过B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，并截取DF =BD ，连接EF 交AC 于P ，连接PB 、AF ，则此时PB +PE 的值最小，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =CB ,∠ABC =90°，AD =DC ，∴∠BAC =∠C =45°，∵∠ADF =∠CDB ，∴△ADF ≌△CDB ，∴AF =BC ,∠FAD =∠C =45°，∵AE =3，BE =1，∴AB =BC =4，∴AF =4，∵∠BAF =∠BAC +∠FAD =45°+45°=90°,∴由勾股定理得：EF 22AF AE +2243+，∵AC 是BF 的垂直平分线，∴BP =PF ，∴PB +PE =PF +PE =EF =5，故答案为5.点睛：本题主要考查最短路径问题.解题的关键在于要利用轴对称知识，结合两点之间线段最短来求解.19．78【解析】 试题分析：根据矩形性质得AB=DC=6，BC=AD=8，AD ∥BC ，∠B=90°，再根据折叠性质得∠DAC=∠D′AC ，而∠DAC=∠ACB ，则∠D′AC=∠ACB ，所以AE=EC ，设BE=x ，则EC=4-x ，AE=4-x ，然后在Rt △ABE 中利用勾股定理可计算出BE 的长即可．试题解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD∥BC，∠B=90°，∵△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，∴∠DAC=∠D′AC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠D′AC=∠ACB，∴AE=EC，设BE=x ，则EC=4﹣x ，AE=4﹣x ，在Rt△ABE 中，∵AB 2+BE 2=AE 2，∴32+x 2=（4﹣x ）2，解得x=78， 即BE 的长为78．20．28+ 【分析】依次求出在Rt △OAB 中，OA 1Rt △OA 1B 1中，OA 2OA 1）2；依此类推：在Rt △OA 5B 5中，OA 6＝（2）6，由此可求出△OA 6B 6的周长． 【详解】∵等腰Rt OAB ∆的直角边OA 的长为1，∴在Rt △OA 1B 1中OA 1＝2OA ＝2，在22Rt OA B ∆中OA 2＝2OA 1＝（2）2， …故在Rt △OA 6B 6中OA 6＝2OA 5＝（2）6= OB 666A B OB 6故△OA 6B 6+2×（2）6+2×18=28+．【点睛】 本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．三、解答题21．（1）BF 长为6；（2）CE 长为3，详细过程见解析．【分析】（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt △ABF 中，可由勾股定理求出BF 的长；（2）设CE=x ，根据翻折可知，EF=DE=8-x ，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt △CEF 中，可由勾股定理求出CE 的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B=90°，且AD=BC=10， 又∵AFE 是由ADE 沿AE 翻折得到的，∴AF=AD=10，又∵AB=8，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：，故BF 的长为6．（2）设CE=x ，∵四边形ABCD 为矩形，∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x ，又∵△AFE 是由△ADE 沿AE 翻折得到的，∴FE=DE=8-x ，由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222CF +CE =EF ，∴2224+x =(8-x)，解得：x=3，故CE 的长为3．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．22．(1)2；(2)q p =；(3)OM =【分析】（1）根据“距离坐标”的定义结合图形判断即可；（2）过M 作MN ⊥CD 于N ，根据已知得出MN q =，OM p =，求出∠MON ＝60°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出2232MN MO NO p =-=即可解决问题；（3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点，首先证明OM OE OF EF ===，求出2MF =，23ME =，然后过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，根据含30度直角三角形的性质求出1FG =，3MG =，再利用勾股定理求出EF 即可．【详解】解：（1）由题意可知，在直线CD 上，且在点O 的两侧各有一个，共2个，故答案为：2；（2）过M 作MN CD ⊥于N ，∵直线l AB ⊥于O ，150BOD ∠=︒，∴60MON ∠=︒，∵MN q =，OM p =，∴1122NO MO p ==， ∴2232MN MO NO p =-=， ∴3q p =； （3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点．∴OFP OMP △≌△，OEQ OMQ △≌△，∴FOP MOP ∠=∠，EOQ MOQ ∠=∠，OM OE OF ==，∴260EOF BOD ∠=∠=︒，∴△OEF 是等边三角形，∴OM OE OF EF ===，∵1MP =，3MQ =， ∴2MF =，23ME =，∵30BOD ∠=︒，∴150PMQ ∠=︒，过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，∴30FMG ∠=︒，在Rt FMG △中，112FG MF ==，则3MG =， 在Rt EGF 中，1FG =，33EG ME MG =+=， ∴22(33)127EF =+=，∴27OM =．【点睛】本题考查了轴对称的应用，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质等，正确理解题目中的新定义是解答本题的关键．23．（1）见解析；（2）CD 2AD +BD ，理由见解析；（3）CD 3+BD【分析】（1）由“SAS ”可证△ADB ≌△AEC ；（2）由“SAS ”可证△ADB ≌△AEC ，可得BD ＝CE ，由直角三角形的性质可得DE 2AD ，可得结论；（3）由△DAB ≌△EAC ，可知BD ＝CE ，由勾股定理可求DH ＝32AD ，由AD ＝AE ，AH ⊥DE ，推出DH ＝HE ，由CD ＝DE +EC ＝2DH +BD 3AD +BD ，即可解决问题；【详解】证明：（1）∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；（2）CD 2AD +BD ，理由如下：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；∴BD ＝CE ，∵∠BAC ＝90°，AD ＝AE ，∴DE ＝2AD ，∵CD ＝DE +CE ，∴CD ＝2AD +BD ；（3）作AH ⊥CD 于H ．∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；∴BD ＝CE ，∵∠DAE ＝120°，AD ＝AE ，∴∠ADH ＝30°，∴AH ＝12AD ， ∴DH 22AD AH -3， ∵AD ＝AE ，AH ⊥DE ，∴DH ＝HE ，∴CD ＝DE +EC ＝2DH +BD 3+BD ，故答案为：CD 3+BD ．【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.24．（1）90°；（2）证明见解析；（3）变化，234l +≤<．【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形的性质可求DAE=∠DEA=30°，由三角形内角和定理可求解；（2）根据等腰三角形的性质，可证得∠CDF=∠DEA 和∠EDB=∠DFA ，由此可利用“ASA”证明全等；（3）根据全等三角形的性质可得l =2+AD ，根据AD 的取值范围即可得出l 的取值范围．解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°，∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=30°，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°，故答案为：90°；（2）∵AD=DE=DF ，∴∠DAE=∠DEA ，∠DAF=∠DFA ，∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，∴∠DEA+∠DFA=60°，∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°，∴∠EDB=∠DFA ，∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°，∴∠CDF=∠DEA ，在△BDE 和△CFD 中∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE ≌△CFD （ASA ）（3）∵△BDE ≌△CFD ，∴BE=CD ，∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD ，当D 点在C 或B 点时，AD=AC=AB=2,此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；当D 点在BC 的中点时，∵AB=AC ，∴BD=112BC =，AD ==此时22l AD =+=综上可知24l +≤<．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取．25．(1) 2516；（2）83t =或6；（3）当153,5,210t =或194时，△BCP 为等腰三角形．（1）设存在点P ，使得PA PB =，此时2PA PB t ==，42PC t =-，根据勾股定理列方程即可得到结论；（2）当点P 在CAB ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，根据勾股定理列方程即可得到结论； （3）在Rt ABC 中，根据勾股定理得到4AC cm =，根据题意得：2AP t =，当P 在AC上时，BCP 为等腰三角形，得到PC BC =，即423t -=，求得12t =，当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，若CP PB =，点P 在BC 的垂直平分线上，如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，求得194t =，若PB BC =，即2343t --=，解得5t =，PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，由射影定理得；2BC BF AB =⋅，列方程2234352t --=⨯，即可得到结论． 【详解】 解：在Rt ABC 中，5AB cm =，3BC cm =，4AC cm ∴=，（1）设存在点P ，使得PA PB =，此时2PA PB t ==，42PC t =-，在Rt PCB 中，222PC CB PB +=，即：222(42)3(2)t t -+=，解得：2516t =， ∴当2516t =时，PA PB =； （2）当点P 在BAC ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，在Rt BEP 中，222PE BE BP +=，即：222(24)1(72)t t -+=-，解得：83t =，当6t =时，点P 与A 重合，也符合条件，∴当83t =或6时，P 在ABC ∆的角平分线上； （3）根据题意得：2AP t =，当P 在AC 上时，BCP 为等腰三角形，PC BC ∴=，即423t -=，12t ∴=， 当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，CP PB =①，点P 在BC 的垂直平分线上，如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，1322BE BC ∴==， 12PB AB ∴=，即52342t --=，解得：194t =， PB BC =②，即2343t --=，解得：5t =，PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，12BF BP ∴=， 90ACB ∠=︒，由射影定理得；2BC BF AB =⋅，即2234352t --=⨯，解得：5310t=，∴当15319,5,2104t=或时，BCP为等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．26．（1）①详见解析；②详见解析；（2）DE2=EB2+AD2+EB·AD，证明详见解析【分析】（1）①根据旋转的性质可得CF=CD，∠DCF=90°，再根据已知条件即可证明△ACD≌△BCF；②连接EF，根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°，再证明△DCE≌△FCE得到EF=DE 即可证明；（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出AD，DE，BE之间的关系．【详解】解：（1）①证明：由旋转可得CF=CD，∠DCF=90°∵∠ACD=90°∴∠ACD=∠BCF又∵AC=BC∴△ACD≌△BCF②证明：连接EF，由①知△ACD≌△BCF∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACD，BF=AD∴∠EBF=90°∴EF2=BE2+BF2，∴EF2=BE2+AD2又∵∠ACB=∠DCF=90°，∠CDE=45°∴∠FCE=∠DCE=45°又∵CD=CF，CE=CE∴△DCE≌△FCE∴EF=DE∴DE2= AD2+BE2⑵DE2=EB2+AD2+EB·AD理由：如图2，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△CBF，过点F作FG⊥AB，交AB 的延长线于点G，连接EF，∴∠CBE=∠CAD，∠BCF=∠ACD， BF=AD∵AC=BC，∠ACB=60°∴∠CAB=∠CBA =60°∴∠ABE=120°，∠EBF=60°，∠BFG=30°∴BG=12BF，FG=32BF∵∠ACB=60°，∠DCE=30°，∴∠ACD+∠BCE=30°，∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°∵CD=CF，CE=CE∴△ECF≌△ECD∴EF=ED在Rt△EFG中，EF2=FG2+EG2又∵EG=EB+BG∴EG=EB+12 BF，∴EF2=（EB+12BF）2+（3BF）2∴DE2=（EB+12AD）2+（32AD）2∴DE2=EB2+AD2+EB·AD【点睛】本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系．27．(1)AC=9;(2)AB∇AC=-72,BA∇BC=73【分析】(1)在Rt AOC∆中,根据勾股定理和新定义可得AO2-OC2=81=AC2;(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2,OB=23再用新定义即可得出结论;②先构造直角三角形求出BE ,AE ,再用勾股定理求出BD ,最后用新定义即可得出结论;(3)作BD ⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD 是直角三角形,根据中线性质得出OA 的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.【详解】(1)已知如图:AO 为BC 上的中线,在Rt AOC ∆中,AO 2-OC 2=AC 2因为81AB AC ∇=所以AO 2-OC 2=81所以AC 2=81所以AC=9.(2)①如图2,取BC 的中点D ,连接AO ,∵AB =AC ,∴AO ⊥BC ,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠ABC =30°,在Rt △AOB 中,AB =12,∠ABC =30°,∴AO =6,OB 2222126AB AO -=-3∴AB ∇AC =AO 2﹣BO 2=36﹣108=﹣72, ②取AC 的中点D ,连接BD ,∴AD =CD =12AC =6,过点B 作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ,在Rt △ABE 中,∠BAE =180°﹣∠BAC =60°,∴∠ABE =30°, ∵AB =12,∴AE =6,BE 222212663AB AE -=-=, ∴DE =AD +AE =12,在Rt △BED 中,根据勾股定理得,BD ()2222631267BE DE +=+= ∴BA ∇BC =BD 2﹣CD 2=216;(3)作BD ⊥CD,因为24ABC S ∆=,8AC =,所以BD=26ABC S AC ∆÷=,因为64AB AC ∇=-,AO 是BC 边上的中线,所以AO 2-OC 2=-64,所以OC 2-AO 2=64,由因为AC 2=82=64,所以OC 2-AO 2= AC 2所以∠OAC=90°所以OA=24228322ABC S AC ∆⨯÷=⨯÷= 所以OC=22228373AC OA +=+=所以BC=2OC=273,在Rt △BCD 中,CD=()2222276163BC BD -=-=所以AD=CD-AC=16-8=8所以AB=22228610AD BD +=+=【点睛】考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.28．（1）3；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可；（2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．【详解】解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，5AD =，∴222AC AD CD =-=，∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°， ∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ，∴222GH BG BH BG =+=，∴2EG GH EH BG CG =+=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．29．（1）见解析；（2）∠ADC=45α︒+；（3）2BD DE =【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可； （3）画出图形，结合（2）的结论证明△BED 为等腰直角三角形，从而得出结论.【详解】解：（1）如图所示；。
勾股定理与勾股定理逆定理(解析版)
【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：勾股定理与勾股定理逆定理考点一 勾股定理【知识点睛】❖ 直角三角形勾股定理在Rt △ABC 中，两直角边的平方和=斜边的平方，即222c b a =+常见变形：222b a c +=；22b a c +=；22b c a -=❖ 注意事项：当直角三角形的给出的两边没有说明是什么边长时，利用勾股定理求长度时通常需要分类讨论❖ 直角三角形求长度其他常用相关性质有：直角三角形斜边上的中线=½斜边长 等腰三角形的两腰长相等； 等腰三角形的“三线合一” 中垂线的性质定理； ❖ 勾股定理常见面积模型图形结论 321S S S =+总结当分别以直角三角形的三边为边（或底边、半径）做规则的正方形、等边三角形、等腰直角三角形、半圆时，均满足两直角边所做图形的面积和等于斜边所做图形的面积1．直角三角形的两条边长a ，b 满足，则其斜边长为（ ）A ．5B ．C ．4或5D ．或5【分析】由非负数的性质求出a 和b 的值即可求解． 【解答】解：∵a ，b 满足，∴3﹣a ＝0，b ﹣4＝0， ∴a ＝3，b ＝4，①当4是直角边时，其斜边长＝＝5， ②当4是斜边时，其斜边长为4， 故选：C ．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90，AC ＝3，BC ＝4，CD 是△ABC 的中线，则AD 的长为（ ）A．2B．2.5C．4D．5【分析】根据勾股定理即可得到AB的长，进而可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，∴AB＝，∵AD是BC边上中线，∴AD＝AB＝2.5，故选：B．3．如图，在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（）A．2B．2C．D．【分析】根据勾股定理即可得到答案．【解答】解：∵在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，∴任意两个格点间的距离有：1，2，3，，＝2，＝，＝3，＝，＝，∴任意两个格点间的距离不可能是，故选：D．4．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．【分析】由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、大正方形的面积为：c2，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；B、大正方形的面积为：（a+b）2，也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴B选项不能证明勾股定理．C、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；D、梯形的面积为：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2+c2＝ab+c2，∴（a2+b2）+ab＝ab+c2，∴a2+b2＝c2，故D选项能证明勾股定理；故选：B．5．如图，有一个水池，水面是一边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（）尺．A．7.5B．8C．D．9【分析】设芦苇的长度为x尺，则AB的长为（x﹣1）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理列方程即可．【解答】解：设芦苇的长度为x尺，则AB的长为（x﹣1）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC2＝AB2+AC2，即：，解得：x＝，即芦苇的长度为：尺，故选：C．6．为预防新冠疫情，学校大门入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.3米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.7米的学生CD正对门缓慢走到离门0.8米处时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，此时人头顶到测温仪的距离AD等于（）A．1.0米B．1.25米C．1.2米D．1.5米【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝2.3米，BE＝CD＝1.7米，ED＝BC＝0.8米，∴AE＝AB﹣BE＝2.3﹣1.7＝0.6（米）．在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1（米），故选：A．7．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝（）A．183B．87C．119D．81【分析】利用勾股定理的几何意义解答．【解答】解：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，如图，连接BD，在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，即S1+S4＝S3+S2，因此S4＝135﹣48＝87，故选：B．8．如图Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝10，点F是BA延长线上一点，过点F作FD∥BC，交CA延长线于点D，点E是CD的中点，若BF＝12，DF＝5，则EF的长是（）A．3B．5C．6.5D．6【分析】延长FE交BC于G，利用ASA证明△DFE≌△CGE，得BG＝DF＝5，EF＝EG，在Rt△BGF中，利用勾股定理求得FG的长，即可得出答案．【解答】解：延长FE交BC于G，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，∵FD∥BC，∴∠D＝∠C，在△DFE和△CGE中，，∴△DFE≌△CGE（ASA），∴CG＝DF＝5，EF＝EG，∴BG＝5，在Rt△BGF中，由勾股定理得，FG＝＝13，∴EF＝FG＝6.5，故选：C．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AC+BC＝3.5，AB＝2.5，则CD的长为（）A．1B．1.2C．1.25D．1.5【分析】利用勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，然后结合AC+BC＝3.5，AB＝2.5求得AC•BC的值；最后利用等面积法求得CD的长度即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则AC2+BC2＝AB2．∵AC+BC＝3.5，AB＝2.5，∴AC•BC＝[（AC+BC）2﹣（AC2+BC2）]＝[（AC+BC）2﹣AB2]＝（3.52﹣2.52）＝3．又∵CD⊥AB，∴AC•BC＝AB•CD，∴CD＝＝＝1.2．故选：B．10．代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE＝∠AED，AD＝4，则△ADE的面积为（）A．24B．6C．2D．2【分析】由已知得出AD＝AE＝AB，进而利用图形面积的割补关系解得即可．【解答】解：如图：∵∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE＝AB，∵AF⊥BE，∴EF＝BF＝BE，∴GE＝AH，∵∠GEM＝∠HAM，∠MGE＝∠MHA，∴△GEM≌△HAM（ASA），∴S△HAM＝S△GEM，∴S△ADE＝S△ADH+S△DGE，∵AD＝4，DH＝2AH，AD2＝DH2+AH2，∴AH＝4，DH＝8，∴DG＝GE＝4，∴，故选：A．11．勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成，可以用其面积关系验证勾股定理，将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（）A．60B．100C．110D．121【分析】延长AB交KL于点O，延长AC交LM于点P，证△OBF≌△ACB（AAS），得AC＝OB，同理△ACB≌△PGC（AAS），得PC＝AB，再证矩形AOLP是正方形，边长AO＝7，则KL＝10，LM＝11，即可解决问题．【解答】解：延长AB交KL于点O，延长AC交LM于点P，如图所示：则四边形AOLP是矩形，∴∠BOF＝∠BAC＝90°，∵四边形BCGF是正方形，∴BC＝BF，∠CBF＝90°，∴∠ABC+∠OBF＝90°，又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，在△OBF和△ACB中，，∴△OBF≌△ACB（AAS），∴AC＝OB，同理：△ACB≌△PGC（AAS），∴PC＝AB，∴AB+OB＝PC+AC，即OA＝AP，∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+OB＝AB+AC＝3+4＝7，∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，∴长方形LMJK的面积为：10×11＝110，故选：C．12．如图，将一副三角尺叠放在一起，若AB＝2cm，则AF的长为cm．【分析】先利用30°的直角三角形的性质可得AC长，再利用BC∥DE可得∠AFC＝45°，进而可得△ACF为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出AF长．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝2cm，∠B＝30°，∴AC＝＝1，∵BC∥DE，∴∠AFC＝∠D＝45°，∴△ACF为等腰直角三角形，∴AF＝＝．故答案为：．13．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝．【分析】根据“垂美”四边形的定义得到BD⊥AC，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD为“垂美”四边形，∴BD⊥AC，∴∠AEB＝∠AED＝∠BEC＝∠DEC＝90°，在Rt△AED中，AE2+DE2＝AD2＝9，在Rt△BEC中，BE2+CE2＝BC2＝25，∴AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34，在Rt△AEB中，AE2+BE2＝AB2，在Rt△CED中，CE2+DE2＝CD2，∴AB2+CD2＝AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34，故答案为：34．14．如图，一架梯子AB斜靠在某个胡同竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处，保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点E处．已知顶端A距离地面的高度AC为2米，BC为1.5米．（1）梯子的长为米；（2）若顶端E距离地面的高度EF比AC多0.4米，则胡同的宽CF为米．【分析】（1）根据勾股定理可求出梯子的长；（2）根据勾股定理可得出BD的长，进而可求解．【解答】解：（1）在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，AC＝2米，CB＝1.5米，BC2+AC2＝AB2，∴AB2＝22+1.52＝6.25，∴AB＝±2.5，∵AB＞0，∴AB＝2.5米，即梯子的长为2.5米，故答案为：2.5；（2）由题意得CD＝AC+0.4＝2.4米，BE＝AB＝2.5米，∴BF2＝2.52﹣2.42＝0.49，∴BF＝0.7米，∴CD＝CB+BF＝1.5+0.7＝2.2米，故答案为：2.2．15．如图，已知，∠MON＝∠BAC＝90°，且点A在OM上运动，点B在ON上运动，若AB＝8，AC＝6，则OC 的最大值为．【分析】取AB的中点E，连接OE，CE，利用勾股定理求出CE，再利用直角三角形斜边上中线的性质得OE的长，最后利用三角形三边关系可得答案．【解答】解：取AB的中点E，连接OE，CE，∴AE＝4，在Rt△ACE中，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∵∠AOB＝90°，点E为AB的中点，∴OE＝AB＝4，∵OC≤OE+CE，∴当点O、E、C共线时，OC最大值为4+2，故答案为：4+2．16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，，，分别以Rt△ABC的三条边AC、AB、BC为直径画半圆，则两个月牙形图案的面积之和（阴影部分）为．【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，设以AB，BC，AC为直径的半径分别为①，②，③，由勾股定理得S+S②＝S③，从而得出两个月牙形图案的面积之和为△ABC的面积，进而得出答案．①【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，由勾股定理得：AB＝＝3，设以AB，BC，AC为直径的半径分别为①，②，③，∴S①＝，同理S，S，∴S①+S②＝S③，∴S阴影＝S①+S②+S△ABC﹣S③＝S×＝，故答案为：．17．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原由，C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3km，CH＝2.4km，BH＝1.8km．求原来的路线AC的长．【分析】先利用勾股定理的逆定理证明∠CHB＝90°，得出∠CHA＝90°，再利用勾股定理列出方程AC2＝（AC ﹣1.8）2+2.42，解方程即可求出AC的长度．【解答】解：∵CH2+BH2＝2.42+1.82＝9，BC2＝32＝9，∴CH2+BH2＝BC2，∴△CHB是直角三角形，且∠CHB＝90°，∴∠CHA＝90°，∴AC2＝AH2+CH2，∵AB＝AC，∴AH＝AB﹣HB＝AC﹣1.8，∴AC2＝（AC﹣1.8）2+2.42，解得：AC＝2.5，答：原来的路线AC的长为2.5km．18．如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，E为BC边上一点，且CE＝2，AE＝2．（1）求AB的长；（2）点F为AB边上的动点，当△BEF为等腰三角形时，求AF的长．【分析】（1）由勾股定理的逆定理证出∠ACE＝90°，由勾股定理可求出答案；（2）分三种情况，由勾股定理可求出答案．【解答】解：（1）∵AC＝6，CE＝2，AE＝2，∴AC2+CE2＝40，AE2＝40，∴AC2+CE2＝AE2，∴∠ACE＝90°，∴AB＝＝＝6；（2）①∵BC＝6，CE＝2，∴BE＝4，当BF＝BE＝4时，∴AF＝AB﹣BF＝6﹣4；②如图，当BF＝EF时，有∠FEB＝∠B＝45°，∴∠BFE＝90°，BF＝EF，设BF＝EF＝x，∵BF2+EF2＝BE2，∴x2+x2＝42，∴x＝2（负值舍去），∴AF＝AB﹣BF＝6﹣2＝4；③如图，当BE＝EF时，有∠EFB＝∠B＝45°，∴∠BEF＝90°，EF＝BE＝4，∴BF＝＝4，∴AF＝AB﹣BF＝6﹣4＝2．综上所述，AF的长为6﹣4或4或2．19．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DE＝16cm，EF＝20cm，P，Q是△DEF的边上的两个动点，其中点P从点E开始沿E→D方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点D开始沿D→F→E方向运动，且速度为每秒2m，它们同时出发，设出发的时间为ts．（1）DF＝cm．（2）当点P在边EF的垂直平分线上时，t＝s．（3）当点Q在边EF上时，求使△DFQ成为等腰三角形的运动时间．【分析】（1）根据勾股定理求得DF便可；（2）设EF的垂直平分线MN分别与DE、EF交于点M、点N，由勾股定理列出t的方程，进行解答便可；（3）分FD＝FQ，DF＝DQ，QD＝DF三种情形分别进行计算即可．【解答】解：（1）∵∠D＝90°，∴DF＝（cm），故答案为：12；（2）设EF的垂直平分线MN分别与DE、EF交于点M、点N，如下图，∴EM＝MF＝t，∴DM＝DE﹣EM＝16﹣t，∵MF2﹣DM2＝DF2，即t2﹣（16﹣t）2＝122，角得t＝12.5，故答案为：12.5；（3）根据题意得，FQ＝2t﹣12，当FD＝FQ时，2t﹣12＝12，解得t＝12，当QF＝QD时，过点Q作QH⊥FD于点H，则FH＝DH，∴HQ为△EDF的中位线，∴2t﹣12＝10，解得t＝11，当DF＝DQ时，作DG⊥EF于G，则DG＝＝＝，在Rt△DGF中，由勾股定理得，FG＝＝＝，∴FQ ＝2FG ＝，∴2t ﹣12＝，解得t ＝13.2，综上：t ＝12或11或13.2．考点二 勾股定理的逆定理【知识点睛】 ❖ 勾股定理的逆定理在△ABC 中，若两边的平方和=第三边的平方，则该△为直角三角形即在△ABC 中，若222c b a =+，则△ABC 为直角三角形，且∠C 为直角【类题训练】1．以下列各组线段为边作三角形，不能作出直角三角形的是（ ） A ．3，7，8 B ．6，8，10C ．1，2，D ．0.3，0.4，0.5【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可． 【解答】解：A 、32+72≠82，故A 选项不能构成直角三角形； B 、62+82＝102，故B 选项能构成直角三角形； C 、12+22＝（）2，故C 选项能构成直角三角形；D 、0.32+0.42＝0.52，故D 选项能构成直角三角形． 故选：A ．2．如图，小正方形的边长均为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ACB 的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【分析】利用勾股定理求解AB ，BC ，AC 的长可判断△ABC 为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可求解．【解答】解：由图可知：AB ＝，BC ＝， AC ＝，∴AB 2+BC 2＝AC 2，AB ＝BC ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC ＝90°， ∴∠ACB ＝45°．故选：B．3．如图，某海域有相距10海里的两个小岛A和C，甲船先由A岛沿北偏东70°方向走了8海里到达B岛，然后再从B岛走了6海里到达C岛，此时甲船位于B岛的（）A．北偏东20°方向上B．北偏西20°方向上C．北偏西30°方向上D．北偏西40°方向上【分析】根据题意可得：∠DAB＝70°，AB＝8海里，BC＝6海里，AC＝10海里，然后利用勾股定理的逆定理先证明△ABC是直角三角形，从而∠ABC＝90°，最后利用平行线的性质求出∠ABE＝110°，从而利用角的和差关系即可解答．【解答】解：如图：由题意得：∠DAB＝70°，AB＝8海里，BC＝6海里，AC＝10海里，∵AB2+BC2＝82+62＝100，AC2＝102＝100，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°，∵AD∥BE，∴∠ABE＝180°﹣∠DAB＝110°，∴∠CBE＝∠ABE﹣∠ABC＝20°，∴此时甲船位于B岛的北偏西20°方向上，故选：B．4．如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点A，B，C为格点，点D为AC与网格线的交点，则∠ADB﹣∠ABD＝．【分析】连接AE，BE，设AE与BD交于点F，根据勾股定理的逆定理先证明△ABE是等腰直角三角形，从而可得∠BAE＝45°，再根据题意可得∠AFD＝∠ADF，然后利用三角形的外角，进行计算即可解答．【解答】解：如图：连接AE，BE，设AE与BD交于点F，由题意得：AB2＝12+32＝10，AE2＝12+22＝5，EB2＝12+22＝5，∴AE＝EB，BE2+AE2＝AB2，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAE＝45°，∵BD∥EC，∴∠ADB＝∠ACE，∠AFD＝∠AEC，∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE，∴∠AFD＝∠ADF，∵∠AFD是△ABF的一个外角，∴∠AFD﹣∠ABD＝∠BAE＝45°，∴∠ADB﹣∠ABD＝45°，故答案为：45°．5．如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，AD＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积是．【分析】先连接AC，由勾股定理求得AC的长度，然后根据勾股定理的逆定理判定△ACD是直角三角形，最后根据四边形ABCD的面积＝直角△ABC的面积+直角△ADC的面积，列式计算即可．【解答】解：如图，连接AC，在△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5．在△ADC中，AD＝12，CD＝13，AC＝5．∵122+52＝132，即AD2+AC2＝CD2，∴△ADC是直角三角形，且∠DAC＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝AB•BC+AC•AD＝×4×3+×5×12＝6+30＝36．故答案为：36．6．如图，点A、B、C在正方形网格点上，则∠ABC+∠ACB＝．【分析】延长BA到点D，连接CD，根据勾股定理的逆定理证明△ACD是等腰直角三角形，从而可得∠DAC＝45°，然后再利用三角形的外角进行计算即可解答．【解答】解：如图：延长BA到点D，连接CD，由题意得：AD2＝22+12＝5，CD2＝22+12＝5，AC2＝12+32＝10，∴AD2+CD2＝AC2，∴△ACD是直角三角形，∴∠ADC＝90°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∵∠DAC是△ABC的一个外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝45°，故答案为：45°．7．如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这5个格点中的3点为顶点画三角形，共可以画个直角三角形．【分析】根据题意画出图形，再找到其中的直角三角形即可得到结论．【解答】解：如图，一共可以画9个三角形，其中△ABE，△BCE，△CDE是直角三角形，共可以画3个直角三角形．故答案为：3．8．如图，点B为x轴上的一个动点，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，1），CE⊥x轴于E点，当点B的坐标为时，△ABC为直角三角形．【分析】可设点B的坐标为（x，0），分三种情况：①AB为斜边；②AC为斜边；③BC为斜边；根据勾股定理及逆定理列出方程计算即可求解．【解答】解：设点B的坐标为（x，0），分三种情况：①AB为斜边，（4﹣1）2+42+（x﹣4）2+12＝x2+42，解得x＝；②AC为斜边，（x﹣4）2+12+x2+42＝（4﹣1）2+42，解得x＝2；③BC为斜边，（x﹣4）2+12＝x2+42+（4﹣1）2+42，解得x＝﹣3．故当点B的坐标为（，0）或（2，0）或（﹣3，0）时，△ABC为直角三角形．故答案为：（，0）或（2，0）或（﹣3，0）．9．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C有个．【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．【解答】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的格点C有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个．故满足条件的格点C有3个．故答案为：3．10．如图所示，四边形ABCD，∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m．（1）求四边形ABCD的面积；（2）如图2，以A为坐标原点，以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系，点P在y轴上，若S△PBD ＝S四边形ABCD，求P的坐标．【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理可求出BD＝5m，然后再证明△BDC是直角三角形，从而可得∠DBC＝90°，最后根据四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积，进行计算即可解答；（2）设P（0，a），可得PD＝|a﹣4|，然后根据已知可得•|a﹣4|•3＝9，进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，∴BD＝＝＝5（m），∵BC＝12m，CD＝13m，∴DB2+BC2＝52+122＝169，CD2＝132＝169，∴BD2+BC2＝CD2，∴△BDC是直角三角形，∴∠DBC＝90°，∴四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积＝AD•AB+DB•BC＝×4×3+×5×12＝36（m2），∴四边形ABCD的面积为36m2；（2）设P（0，a），∵DA＝4m，∴D（0，4），∴PD＝|a﹣4|，∵S△PBD＝S四边形ABCD，PD•AB＝×36，•|a﹣4|•3＝9，|a﹣4|＝6，a﹣4＝±6，a＝10或a＝﹣2，∴P（0，10）或（0，﹣2）．11．在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表：n23456…a22﹣132﹣142﹣152﹣162﹣1…b4681012…C22+132+142+152+162+1…（1）观察上表，用含n（n＞1，且n为整数）的代数式表示a，b，c，则a＝，b＝，c＝．（2）在（1）的条件下判断：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论．【分析】（1）根据表格中数据，即可解答；（2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．【解答】解：（1）观察上表，用含n（n＞1，且n为整数）的代数式表示a，b，c，则a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，故答案为：n2﹣1，2n，n2+1；（2）以a，b，c为边的三角形是直角三角形，证明：∵a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴a2＝（n2﹣1）2＝n4﹣2n2+1，b2＝（2n）2＝4n2，c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1，∴a2+b2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，∴a2+b2＝c2，∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝5，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF＝5，最后由线段的差可得结论；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论．【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC＝10，∴BD＝5，Rt△ABD中，∵AB＝13，∴AD＝＝＝12，Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF＝BD＝5，∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH在△CHB和△AEF中，∵，∴△CHB≌△AEF（SAS），∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，∴∠CEF＝∠CHE，∴CE＝CH，∵BD＝CD，FD⊥BC，∴CF＝BF，∴∠CFD＝∠BFD＝45°，∴∠CFB＝90°，∴EF＝FH，Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，∴BF2+EF2＝AE2．。
勾股定理及其逆定理
- 1 -第一讲、勾股定理及其逆定理一、勾股定理：（1）文字表述：在任何一个直角三角形（Rt △）中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方（也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等）。
（2）数学表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c （斜边对应的角为直角），那么222c b a =+。
（a ：勾，b ：股，c ：弦）。
能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222c b a =+中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ，常见的勾股数有3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25等。
（2）平方根的表示方法一个正数a 的正的平方根，用符号2a 表示，a 叫做被开方数，2叫做根指数（一般情况下省略不写），正数a 的负的平方根用符号-2a 表示，a 的平方根合起来记作±2a ，其中2±读作二次根号，2a 读作“二次根号下a ”．根指数为2的平方根也可记作“2a ±”读作“正、负根号”。
时，未必等于有正负两个解。
=- 2 -，即，那么这个正数的平方根或二次方根。
这就是说，如果，那么2、已知两条线的长为5cm和4cm，当第三条线段的长为_________时，这三条线段能组成一个直角三角形。
3、能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数。
请你写出三组勾股数：___________。
4、如图，求出下列直角三角形中未知边的长度。
c=________ b=__________h=__________5、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC∶AC=3∶4，AB=10，则AC=_______，BC=________。
6、已知等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为__________7、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是。
勾股定理及其逆定理(含答案)
勾股定理及其逆定理1.如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，若BC=8，OB=5，则OM的长为( )A. 1B. 2C. 3D. 42.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为( )A. 5cmB. 10cmC. 14cmD. 20cm3.如图：图形A的面积是（）A.225B.B. 144C.C. 81D.D. 无法确定4.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（）A. 6B. 8C. 10D. 125.如图，两个正方形的面积分别为64和49，则AC等于（）A. 15B. 17C. 23D. 1136. 如图，小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3（如图）．以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（）A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间6.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD的面积为（）A.B. 3C.D. 58. 直角三角形的两条直角边的长分别为4和5，则斜边长是（）A. 3B. 41C.D. 97.如图，图中直角三角形共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.如图，AD⊥CD，CD=4，AD=3，∠ACB=90°，AB=13，则BC的长是（）A. 8B. 10C. 12D. 169.若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（）A. 6B. 7C. 8D. 910.如图，字母B所代表的正方形的面积是（）A. 12 cm2B. 15 cm2C. 144 cm2D. 306 cm213. 已知直角三角形的两边长分别为2、3，则第三边长可以为（）A. B. 3 C. D.14. 如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（）A. （5，4）B. （4，5）C. （4，4）D. （5，3）11.如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，若BC=8，OB=5，则OM的长为( )A.3B.4C.5D.612.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为（）A. 5B.6C.7D.2513.如图，菱形中，，这个菱形的周长是（）A. B. C. D.18. 如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是（）A. 48B. 60C. 76D. 8014.如图，E为正方形ABCD内部一点，且，，，则阴影部分的面积为（）A. 25B. 12C. 13D. 1915.如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AC=10km，BC=24km，则M、C两点之间的距离为( )A. 13kmB. 12kmC. 11kmD. 10km16.Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=15，则AB=（）A. 17B.C. 289D. 18117.直角三角形两直角边长为5和12，则此直角三角形斜边上的中线的长是（）A. 5B. 6C. 6.5D. 1318.如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，E是CD的中点，已知，，则AC的长为( )A. 10B. 11C. 12D. 1319.在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）A. a=15，b=8，c=17B. a=9，b=12，c=15C. a=7，b=24，c=25D. a=3，b=5，c=720.下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（）A. 2，3，4B. 3，4，5C. 6，8，12D.21.如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（）A. 10 mB. 15 mC. 18 mD. 20 m22.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A. 3，4，5B. 2，3，4C. 4，6，7D. 5，11，1223.在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（）A. 4、7、9B. 5、12、13C. 6、8、10D. 7、24、2524.一个圆柱形铁桶的底面半径为12cm，高为32cm，则桶内所能容下的木棒最长为（）A. 20cmB. 50cmC. 40cmD. 45cm25.已知的三边长分别为a，b，c，则下列条件中不能判定是直角三角形的是（）.A. B.C. D.26.以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）A. 3，4，5B. 9，12，15C. ，，D. 0.3，0.4，0.527.-64的立方根是（）A. ±8B. 4C. -4D. 1628.-8的立方根是（）A. -2B. ±2C. 2D. -29.的立方根是（）A. -1B. 0C. 1D. ±130.下列说法正确的是（）A. 1的相反数是-1B. 1的倒数是-1C. 1的立方根是±1D. -1是无理数31.在实数0，-2，，3中，最大的是（）A. 0B. -2C.D. 332.在实数，，，中有理数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个33.8的相反数的立方根是（）A. 2B.C. -2D.34.下列说法正确的是（）A. 是有理数B. 5的平方根是C. 2＜＜3D. 数轴上不存在表示的点35.-的相反数是（）A. -B. -C. ±D.36.|1-|的值为（）A. 1-B. 1+C. -1D. +137.在下列实数中：π，-，0，，最小的数是（）A. -B. 0C.D. π38.下列结论正确的是（）A. 无限不循环小数叫做无理数B. 有理数包括正数和负数C. 0是最小的整数D. 两个有理数的和一定大于每一个加数39.下列说法正确的是（）A. 3.14是无理数B. 是无理数C. 是有理数D. 2p是有理数40.下列各式正确的为（）A. =±4B. -=-9C. =-3D.41.下列说法正确的是（）A. 1的平方根是它本身B. 是分数C. 负数没有立方根D. 如果实数x、y满足条件y=，那么x和y都是非负实数42.下列四个数：-2，-0.6，，中，绝对值最小的是（）A. -2B. -0.6C.D.43.与最接近的整数是（）A. 4B. 5C. 6D. 744.下列对实数的说法其中错误的是（）A. 实数与数轴上的点一一对应B. 两个无理数的和不一定是无理数C. 负数没有平方根也没有立方根D. 算术平方根等于它本身的数只有0或145.下列说法：①带根号的数都是无理数；②无理数都可用数轴上的点表示；③的平方根是±4：④a2的算术平方根是a；⑤负数也有立方根，其中正确的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，勾股定理的有关知识，注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键．首先由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求得AB的长，即CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，继而求得答案．【解答】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB=5，∴AC=2OB=10，∴CD=AB===6，∵M是AD的中点，∴OM=CD=3．故选：C．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记．根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC，OB=BD，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=×6=3cm，OB=BD=×8=4cm，根据勾股定理得，AB===5cm，所以，这个菱形的周长=4×5=20cm．故选D．3.【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理列式计算即可得解；本题考查了勾股定理，是基础题，主要是对勾股定理的理解与应用．【解答】解：由勾股定理得，A边长，故A的面积.故选C．4.【答案】C【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，∴AC=AC1，∠CAC1=60°，∵AB=8，AC=6，∠BAC=30°，∴∠BAC1=90°，AB=8，AC1=6，∴在Rt△BAC1中，BC1的长=，故选：C．根据旋转的性质得出AC=AC1，∠BAC1=90°，进而利用勾股定理解答即可．此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质得出AC=AC1，∠BAC1=90°．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了勾股定理，求出AB、BC的长是解题的关键．根据正方形的性质求出AB、BD、DC的长，再根据勾股定理求出AC的长即可．【解答】解：如图，∵两个正方形的面积分别是64和49，∴AB=BD=8，DC=7，∴BC=BD+DC=8+7=15，根据勾股定理得：AC==17．故选B.6.【答案】C【解析】解：由勾股定理得，OB==，∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴该点位置大致在数轴上3和4之间．故选：C．利用勾股定理列式求出OB，再根据无理数的大小判断即可．本题考查了勾股定理，估算无理数的大小，熟记定理并求出OB的长是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∴BC2=EC2-EB2=22-12=3，∴正方形ABCD的面积=BC2=3．故选：B．先根据正方形的性质得出∠B=90°，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理得出BC2，即可得出正方形的面积．本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．也考查了正方形的性质．8.【答案】C【解析】解：由勾股定理得：斜边长为，故选：C．利用勾股定理即可求出斜边长．本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，理解勾股定理的内容是关键．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了直角三角形的定义，比较简单，掌握直角三角形的定义是关键，要做到不重不漏．根据直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形，可作判断．【解答】解：如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个，故选：C10.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．直接利用勾股定理得出AC的长，进而求出BC的长．【解答】解：∵AD⊥CD，CD=4，AD=3，∴AC==5，∵∠ACB=90°，AB=13，∴BC==12．故选C．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是勾股定理和等腰三角形的性质，在等腰三角形的腰和底边高线所构成的直角三角形中，根据勾股定理即可求得等腰底边上的高．【解答】解：根据题意画出图形，，如图：BC =12，AB=AC=10 ，在△ABC中，AB =AC，AD⊥BC，则BD =DC=BC=6 ，在Rt△ABD中，AB=10，BD=6，，故选C.12.【答案】C【解析】解：如图，∵a2+b2=c2，而a2=81，c2=225，∴b2=225-81=144，∴字母B所代表的正方形的面积为144cm2．故选：C．如图，利用勾股定理得到a2+b2=c2，再根据正方形的面积公式得到a2=81，c2=225，则可计算出b2=144，从而得到字母B所代表的正方形的面积．本题考查了勾股定理：会利用勾股定理进行几何计算．13.【答案】D【解析】【分析】本题考查了勾股定理，是基础题，难点在于要分情况讨论，分3是直角边和斜边两种情况讨论求解．【解答】解：3是直角边时，第三边==，3是斜边时，第三边==，所以，第三边长为或．故选D．14.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出DO的长度．首先根据菱形的性质求出AB的长度，再利用勾股定理求出DO的长度，进而得到点C的坐标．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（-3，0），（2，0），点D在y轴上，∴AB=AO+OB=5，∴AD=AB=CD=5，∴DO===4，∴点C的坐标是（5，4）．故选A．15.【答案】A【解析】【分析】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，勾股定理的有关知识，注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键．首先由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求得AB的长，即CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，继而求得答案．【解答】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB=5，∴AC=2OB=10，∴CD=AB===6，∵M是AD的中点，∴OM=CD=3．故选A．16.【答案】A【解析】【分析】本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用．建立格点三角形，利用勾股定理求解AB的长度即可．【解答】解：如图所示：AB===5．故选：A．17.【答案】C【解析】【分析】通过菱形性质及勾股定理求出边AB的值，周长为4AB即可．本题主要考查了菱形的性质，解决四边形问题一般转化为三角形问题．【解答】解：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，设AC与BD交于点O，则AO=1，BO=2，所以AB=．周长为4AB=4．故选C．18.【答案】C【解析】【分析】本题考查勾股定理以及正方形的性质，解题关键是利用勾股定理求出正方形的边长，然后利用部分之和等于整体求出阴影部分面积.由已知得△ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S阴影部分=S正方形ABCD-S△ABE转换求面积.【解答】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=100，∴S阴影部分=S正方形ABCD-S△ABE=AB2-×AE×BE=100-×6×8=76.故选C.19.【答案】D【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理的运用，利用勾股定理求出正方形的边长并观察出阴影部分的面积的表示是解题的关键，根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案．【解答】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=3，BE=4，由勾股定理得：AB=5，∴正方形的面积是5×5=25，∵△AEB的面积是AE×BE=×3×4=6，∴阴影部分的面积是25-6=19，故选D．20.【答案】A【解析】【分析】本题考查勾股定理和直角三角形斜边上的中线的性质，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB=26，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到M、C两点之间的距离．【解答】解：在Rt△ABC中，AB2=AC2+CB2，∴AB==26，∵M点是AB中点，∴MC=AB=13，故选A．21.【答案】A【解析】【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用,掌握勾股定理是解决问题的关键．由题意可知：斜边为AB，直接由勾股定理求得答案即可．【解答】解：根据勾股定理，AB===17．故选A22.【答案】C【解析】解：由题意得，斜边=，所以斜边上的中线=×13=6.5．故选：C．根据勾股定理，先求出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出中线长．此题考查了勾股定理以及直角三角形斜边上的中线的性质．23.【答案】D【解析】【分析】考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，了解矩形的性质是解答本题的关键，难度不大．首先利用三角形的中位线定理求得BC的长，然后利用勾股定理求得AC的长即可．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴O为BD的中点，∵E为CD的中点，∴OE为△ABC的中位线，∵OE=6，∴BC=2OE=12，∵AB=5，∴AC==13，故选D．24.【答案】D【解析】【分析】本题考查了勾股数的定义，掌握勾股数的知识是解决问题的关键.理解勾股数的定义，即在一组（三个数）中，两个数的平方和等于第三个数的平方.解：由题意可知，在A组中，152+82=172=289，在B组中，92+122=152=225，在C组中，72+242=252=625，而在D组中，32+52≠72，故选：D．25.【答案】B【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、22+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误；B、42+32=572，故是直角三角形，故此选项正确；C、62+82≠122，故不是直角三角形，故此选项错误；D、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故此选项错误．故选：B．26.【答案】C【解析】【分析】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．本题考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键．【解答】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC=5m，AB=12m，∴AC===13（m），∴这棵树原来的高度=BC+AC=5+13=18（m）．故选C.27.【答案】A【解析】解：A.∵32+42=52，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；B.∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；C.∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；D.∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；故选：A．利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．28.【答案】A【解析】解：A、42+72≠92，故不是直角三角形，故此选项符合题意；B、52+122=132，故是直角三角形，故此选项不符合题意；C、82+62=102，故是直角三角形，故此选项不符合题意；D、72+242=252，故是直角三角形，故此选项不符合题意．故选：A．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．本题考查勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．29.【答案】C【解析】【分析】本题考查勾股定理的实际应用，首先要正确理解题意，明白怎么放桶内所能容下的木棒最长，然后灵活利用勾股定理，难度一般．根据题意画出示意图，AC为圆桶底面直径，AC=24cm，CB=32cm，那么线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC中利用勾股定理即可求出AB，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度．【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，∴AC=2×12=24cm，CB=32cm，∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，∴AB===40cm．故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．故选C．30.【答案】A【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．【解答】解：A.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C=×180°=75°，故不能判定△ABC是直角三角形；B.∵，设a、b、c边长为k、k、k∴则有k2+k2=2k2，即a2+b2=c2，∴∠C=90°，故能判定△ABC是直角三角形；C.∵∠C=∠A-∠B，∴∠A=∠B+∠C，∴∠A=90°，故能判定△ABC是直角三角形；D.∵b2=a2-c2，∴b2+c2=a2，故能判定△ABC是直角三角形．故选A．31.【答案】C【解析】解：A、因为32+42=52，故能构成直角三角形，此选项错误；B、因为92+122=152，能构成直角三角形，此选项错误；C、因为（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，此选项正确；D、因为0.32+0.42=0.52，能构成直角三角形，此选项错误．故选：C．根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．32.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是立方根的定义，掌握立方根的定义是解题的关键.依据立方根的定义求解即可.【解答】解：∵（-4）3=-64，∴-64的立方根是-4．故选C．33.【答案】A【解析】解：∵-2的立方等于-8，∴-8的立方根等于-2．故选：A．如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．34.【答案】C【解析】解：的立方根是1，故选：C．根据开立方运算，可得一个数的立方根．本题考查了立方根，先求幂，再求立方根．35.【答案】A【解析】解：A、1的相反数是-1，正确；B、1的倒数是1，故错误；C、1的立方根是1，故错误；D、-1是有理数，故错误；故选：A．根据相反数、倒数、立方根，即可解答．本题考查了相反数、倒数、立方根，解决本题的关键是熟记相反数、倒数、立方根的定义．36.【答案】D【解析】【分析】本题考查了实数的大小比较，要注意无理数的大小范围．根据正负数的大小比较，估算无理数的大小进行判断即可．【解答】解：2＜＜3，实数0，-2，，3中，最大的是3．故选D．37.【答案】B【解析】解：在实数，，，中=2，有理数有，共2个．故选：B．整数和分数统称为有理数，依此定义求解即可．此题考查了有理数和无理数的定义，注意需化简后再判断．38.【答案】C【解析】解：8的相反数是-8，-8的立方根是-2，则8的相反数的立方根是-2，故选：C．根据相反数的定义、立方根的概念计算即可．本题考查的是实数的性质，掌握相反数的定义、立方根的概念是解题的关键．39.【答案】C【解析】【分析】本题考查了实数的意义、实数与数轴的关系，利用被开方数越大算术平方根越大是解题关键．根据无理数的意义，开平方，被开方数越大算术平方根越大，实数与数轴的关系，可得答案．【解答】解：A、是无理数，故A错误；B、5的平方根是，故B错误；C、＜，∴2＜3，故C正确；D、数轴上存在表示的点，故D错误；故选C．40.【答案】D【解析】解：根据相反数、绝对值的性质可知：-的相反数是．故选：D．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．本题考查的是相反数的求法．要求掌握相反数定义，并能熟练运用到实际当中．41.【答案】C【解析】解：|1-|的值为-1．故选：C．计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．绝对值的性质，负数的绝对值是其相反数．考查了实数的性质，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．42.【答案】A【解析】解：∵-＜＜0＜π，∴最小的数是-．故选：A．根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数直接进行比较大小，再找出最小的数．此题主要考查了有理数的比较大小，根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小的原则解答．43.【答案】A【解析】解：A、无限不循环小数叫做无理数，正确，故本选项符合题意；B、有理数包括正有理数、0和负有理数，不正确，故本选项不符合题意；C、0不是最小的整数，没有最小的整数，不正确，故本选项不符合题意；D、一个数同0相加仍得这个数，所以两个有理数的和不一定大于每一个加数，不正确，故本选项不符合题意．故选：A．根据有理数、无理数、整数及有理数的加法法则判断即可．本题考查了有理数、无理数、整数及有理数的加法法则，属于基础知识，需牢固掌握．44.【答案】C【解析】解：整数和分数统称为有理数．A.3.14是小数，可写成分数的形式，所以是有理数，错误．B.是有理数，错误．D.2p表示p的2倍，要视乎p本身是否为有理数而定，错误．故选：C．按照有理数无理数的定义判断即可．本题考查了有理数的定义，正确理解有理数定义是解题关键．45.【答案】D【解析】解：A、=4，故原题计算错误；B、-=9，故原题计算错误；C、=3，故原题计算错误；D、=，故原题计算正确；故选：D．根据=|a|进行化简计算即可．此题主要考查了二次根式和立方根，关键是掌握二次根式的性质．46.【答案】D【解析】解：A、1的平方根是±1，错误；B、是无理数，错误；C、负数有立方根，错误；D、如果实数x、y满足条件y=，那么x和y都是非负实数，正确；故选：D．根据平方根、分数、立方根和实数的概念解答即可．此题考查实数问题，关键是根据平方根、分数、立方根和实数的概念解答．47.【答案】C【解析】解：∵|-2|=2，|-0.6|=0.6，||=，||=，∵，所以绝对值最小的是，故选：C．根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．此题考查了实数的大小比较，以及绝对值的意义，注意先运算出各项的绝对值．48.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次根式的性质和估计无理数的大小等知识点，主要考查学生能否知道在5和5.5之间，题目比较典型，根据无理数的意义和二次根式的性质，即可求出答案.【解答】解：∵，∴，∴最接近的整数为，∴.故选B.49.【答案】C【解析】【分析】本题考查了实数，利用平方根的意义、立方根的意义、实数与数轴的关系是解题关键．根据平方根的意义、立方根的意义、实数与数轴的关系，可得答案．【解答】解：A.实数与数轴上的点一一对应，说法正确，故选项不符合题意；B.π+（1-π）=1，说法正确，故选项不符合题意；C.负数的立方根是负数，说法错误，故选项符合题意；D.算术平方根等于它本身的数只有0或1，说法正确，故选项不符合题意．故选C．50.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了实数中无理数的概念，算术平方根，平方根，立方根的概念.①根据无理数的定义即可判定；②根据无理数与数轴的关系即可判定；③根据算术平方根、平方根的定义计算即可判定；④根据算术平方根的定义即可判定；⑤根据立方根的定义即可判定.【解答】解：①带根号的数不一定是无理数，有的是有理数，故说法错误；②无理数都可用数轴上的点表示，故说法正确；③=4，4的平方根是±2，故说法错误：④a2的算术平方根是|a|，故说法错误；⑤负数也有立方根，故说法正确．正确的是：②⑤.故选B．。
勾股定理四大核心知识讲义(解析版)
专题02 勾股定理四大核心知识讲义【勾股定理证明】赵爽弦图ab c()22142c ab b a =⨯+-，化简得：222a b c +=.欧几里得证明方法证明：S 1+S 2=S 3；△ABF ≌△ADE →S △ABF =S △ADE →2 S △ADE =S 长方形AENM =S 正方形ABCD =2 S △ABF 同理，S MNPF =S 1 故S 1+S 2=S 3 方法3ABD C BD D BDDAC D S S S S '''''=++△△△梯形，即：()2211112222a b ab ab c ⨯+=++化简得：222a b c += 方法422211112222c ab ab a b ab ab ++=+++，化简得：222a b c +=.总统证明法A BD C A'D'C'a bca bcca bac bac bac bb ac()2211112222a b ab ab c ⨯+=++化简得：222a b c += 达芬奇证明法a 2+b 2+2×12ab =c 2+ ab ，a 2+b 2=c 2【勾股定理应用】【勾股数】1. 毕达哥拉斯学派提出2221,22,221a n b n n c n n =+=+=++（n 为正整数）是一组勾股数.2. 我国《九章算术》中提到：()2212a m n =-，()221,(2b mn c m n m n ==+、为正整数，m n >）时，,,a b c 构成一组勾股数； 3. a 2－b 2，2ab ，a 2+b 2（a 、b 为正整数，且a >b ）4. 常见勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；9、40、41……5. 直角三角形三边长为a 、b 、c ，斜边c 上的高为h ，则：以111,,a b h为边的三角形是直角三角形.6. 若a 、b 、c 是一组勾股数，则ka 、kb 、kc （k 为正整数）是一组勾股数.【在做某些题时较为简便】 【几个经典图形】结论：S 阴影=S △结论：23c a b a ===、、结论： c a ==、 ∠A =∠B =30°结论：2c a S ==△、、结论：2h S =△、 【勾股定理逆定理证明】命题：由题设和结论组成.将原命题的题设与结论互换即为其逆命题.如：“对顶角相等”的逆命题为：“相等的角是对顶角”.勾股定理逆定理证法：（构造全等三角形）【典例解析】【题型一】勾股定理及其应用 赵爽弦图【例1】（2020·河南南阳市月考）下图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边()x y >，下列四个说法：①2249x y +=，②2x y -=，③2449xy +=，④9x y +=．其中说法正确的是（ ）．A ．①③B ．①②③C ．②④D ．①②③④【答案】B .【解析】解：如图所示，∵△ABC 是直角三角形， ∴x 2+y 2=49，故①正确； 由图可知x -y =CE =2，故②正确；四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 即：2xy +4=49，故③正确； 2xy =45， ∵x 2+y 2=49，∴（x +y ）2=45+49=94，故④错误； 故答案为：B ．【例2】（2021·沙坪坝区期末）我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝2，BC ＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．B．C．12D．12【答案】D.【解析】解：如图，CB=BD，∵AC=2，CD=2BC=6由勾股定理得：AD==AD+BD=3，+=．∴风车的外围周长是：4×()312故答案为：D．【变式1】（2021·四川资阳市期末）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明：a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值．【答案】（1）见解析；（2）23.【解析】解：（1）大正方形面积为c2，直角三角形面积为12ab，小正方形面积为（b﹣a）2，∴c2＝4×12ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2，即c2＝a2+b2；（2）由图可知：（b﹣a）2＝3，4×12ab＝13﹣3＝10，∴2ab＝10，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝3+2×10＝23．【变式2】（2021·浙江湖州市期末）在每个小正方形的边长为1的网格图形中．每个小正方形的顶点称为格点.以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点,,,E F G H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在图中所示的格点弦图中，正方形ABCD，此时正方形EFGH的面积为52．问：当格点弦图中的正方形ABCD时，正方形EFGH的面积的所有可能值是________(不包括52)．【答案】36或50.【解析】解：设四个全等的直角三角形的直角边边长分别为a，b．则正方形EFGH的边长为a+b，即S EFGH=（a+b）2．①当a=5，b=1或a=1，b=5时，此时S EFGH=36．②当a =b ， 此时S EFGH =52．③当a =b =S EFGH =50 故答案为：36或50．【变式3】（2020·山东威海市期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．若直角三角形两直角边分别为a ，()b a b >，且3ab =，大正方形的面积为8，则a b -=____．【解析】解：小正方形的边长为a -b ，ab =3， （a -b ）2=8－2ab =2，∴a -b ；【变式4】（2020·河南南阳市期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止已有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图1所示摆放，其中b a >，点E 在线段AC 上，点B 、D 在边AC 两侧，试证明：222+=a b c ．【答案】见解析.【解析】证明：如图2，连接BD 、CD ，过点D 作DF ⊥BC 于F ，则DF =CE =b -a ． ∵△ABC ≌△DAE ∴∠ABC =∠DAE ，∵△ABC 是直角三角形，∠ACB =90°， ∴∠ABC +∠BAC =90°， ∴∠DAB =∠DAE +∠BAC =90°．∵S 四边形ADCB =S △ADB +S △DCB =212c +1()2a b a -． S 四边形ADCB =S △ADC +S △ACB =21122b ab +，∴212c +1()2a b a -=21122b ab +， ∴a 2+b 2=c 2． 勾股定理与面积【例1】（2021·陕西西安市期末）如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形A ，B ，C ，D 的边长分别是4，5，3，4，则最大正方形E 的面积是___．【答案】66.【解析】解： A 、B 的面积和为S 1，C 、D 的面积和为S 2， S 1=42+52，S 2=32+42，则S 3=S 1+S 2，S 3=16+25+9+16=66． 故答案为：66．【例2】（2020·浙江杭州市）勾股定理相传在商代由商高发现，故又称“商高定理”．如图1，以直角三角形ABC 的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三块阴影区域面积分别记为123,,S S S ，两个较小正方形纸片的重叠部分（六边形PQMNHG ）的面积记为4S ，则1234,,,S S S S 的关系为（ ）A ．1234S S S S +=+B ．1324S S S S +=+C ．1234S S S S ++=D ．1234S S S S ++<【答案】C .【解析】解：设图1最大正方形的面积为S 5,较小正方形面积为S 6，最小正方形面积为S 7， 则S 5= S 6+ S 7，图2中空白部分面积为：S 6+ S 7-S 4, 而S 1+S 2+S 3+S 空白=S 5= S 6+ S 7， 即S 1+S 2+S 3+ S 6+ S 7-S 4 = S 6+ S 7 S 1+S 2+S 3= S 4 故答案为：C .【例3】（2020·扬州市期中）如图1，有一个面积为2的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图2，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长后，变成图3：“生长”10次后，如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”．随着不断地“生长”，形成的图形中所有正方形的面积和也随之变化．若生长n 次后，变成的图中所有正方形的面积用n S 表示，则n S =______．【答案】2n＋2.【解析】解：经过n次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n+1）倍，∴生长n次后，变成的图中所有正方形的面积S n=2n+2，故答案为：2n+2．【变式1】（2019·北京昌平区期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出了2个小正方形（如图①），其中，3个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过一次“生长”后，又生出了4个小正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，在“生长”了2019次后形成的图形中所有正方形的面积和是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】C.【解析】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得a2+b2=c2，即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1，生长1次后，所有的正方形的面积和是2，同理可得，生长2次后，所有的正方形的面积和是3，生长3次后，所有的正方形的面积和是4，⋯⋯所以，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1=2020．故答案为：C．【变式2】（2020·浙江期末）在ABC中，已知::5:12:13AC BC AB=，AD是ABC 的角平分线，DE AB⊥于点E．若ABC的面积为S，则ACD△的面积为（）A．14S B．518S C．625S D．725S【答案】B.【解析】设AC=5k，BC=12k，AB=13k，∴AC2+BC2=AB2∴△ABC为直角三角形，∠C=90°，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴∠CAD=∠BAD，∠C=∠AED =90°，∵AD=AD，∴△ACD≌△AED，∴S△ACD=S△AED，AE=AC=5k，∴BE=13k-5k=8k，S△BED：S△AED=8:5∴S△ACD=518S．故答案为：B.勾股定理及勾股数应用【例1】（2020·长汀县月考）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？【答案】沿北偏西40°方向航行．【解析】解：PQ =16×1.5=24（海里）， PR =12×1.5=18（海里），∵QR =30，242+182=302，即PQ 2+PR 2=QR 2，∴∠QPR =90°．由“远航”号沿北偏东50°方向航行可知，∠QPS =50°．则∠RPS =∠QPR －∠QPS =90°－50°=40°，即“海天”号沿北偏西40°方向航行．【例2】阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：22221()21()2a m n b mnc m n ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩其中m ＞n ＞0，m ，n 是互质的奇数． 应用：当n =1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．【答案】12，13或3，4．【解析】解：当n =1，a =12（m 2﹣1），b =m ，c =12（m 2+1）， ∵直角三角形有一边长为5，∴当a =5时，12（m 2﹣1）=5，解得：m， 当b =5时，即m =5，得，a =12，c =13，当c =5时，12（m 2+1）=5，解得：m =±3， ∵m ＞0，∴m =3，得，a =4，b =3，综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．【例3】（2021·河南洛阳市期末）在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，5cm =BC ，12cm AC =，三个内角的平分线交于点P ，则点P 到AB 的距离PH 为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3013cmD ．6013cm 【答案】B . 【解析】解：在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB =13∵三个内角的平分线交于点P∴P 到三角形ABC 三边的距离相等，均为PH 的长S △ABC =S △APC +S △APB +S △BCP =12（AC +BC +AB ）·PH S △ABC =12·BC ·AC ∴12×5×12=12×（5+12+13）·PH ∴PH =2故答案为：B ．【变式1】（2020·浙江嘉兴市期末）如图，在ABC 中，13,17,AB AC AD BC ==⊥，垂足为D ，M 为AD 上任一点，则22MC MB -等于（ ）A ．93B ．30C ．120D ．无法确定【答案】C .【解析】解：由题意知∠ADB =∠ADC =90°∴由勾股定理得：AB 2=AD 2+BD 2，AC 2=AD 2+CD 2，∴AC 2－AB 2=CD 2-BD 2，即172-132= CD 2-BD 2同理，CM 2－MB 2=CD 2－BD 2=172-132=120故答案为：C .【变式2】阅读：所谓勾股数就是满足方程222x y z +=的正整数解，即满足勾股定理的三个正整数构成的一组数.我国古代数学专著《九章算术》一书，在世界上第一次给出该方程的解为：2212x m n （）=-，y mn =，2212z m n =+（），其中0m n >>，m ，n 是互质的奇数．应用：当3n =时，求一边长为8的直角三角形另两边的长．【答案】15，17．【解析】解：当x =8 时，()221382m -=， 解得m =5或m =-5（舍），∴y =mn =15，z =17.当y =8时，3m =8，m =83（舍）当z =8时，()221382m +=，解得m =（舍） 综上所述，当n =3时，一边长为8的直角三角形另两边的长分别为15，17．特殊三角形中的应用【例1】（2020·山东威海市期末）七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小明将一个直角边长为20cm 的等腰直角三角形纸板，切割七块．正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．210cmB ．225cm 2C 2D ．225cm【答案】B .【解析】解：如图，BC =20，CD =BD =EM ，∴EG =GM ，∴EF =FG =5，∴S =12EF 2=252， 故答案为：B .【例2】（2021·北京房山区期末）如图甲，直角三角形ABC 的三边a ，b ，c ，满足222+=a b c 的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，OAB 是腰长为1的等腰直角三角形，90OAB ∠=︒，延长OA 至1B ，使1AB OA =，以1OB 为底，在OAB 外侧作等腰直角三角形11OA B ，再延长1OA 至2B ，使121A B OA =，以2OB 为底，在11OA B 外侧作等腰直角三角形22OA B ，……，按此规律作等腰直角三角形n n OA B （1n ≥，n 为正整数），则22A B 的长及20212021OA B 的面积分别是（ ）A ．2，20202B ．4，20212C ．20202D ．2，20192【答案】A . 【解析】解：由题意可得：OA =AB =AB 1=1，OB 1=2，∵△OA 1B 1为等腰直角三角形，∴OA 1=A 1B 1，∴OB 2=2OA 1=OA 2=A 2B 2=2，……∴OA n=n， ∵S △OAB =12，S △OA 1B 1=1，S △OA 2B 2=2，…… ∴S △OAnBn =12n -，∴S △OA 2021B 2021=20202，故答案为：A ．【例3】（2021·福建厦门期末）如图，△ABC 与△BED 全等，点A ，C 分别与点B ，D 对应，点C 在BD 上，AC 与BE 交于点F ．若∠ABC ＝90°，∠D ＝60°，则AF ：BD 的值为_____．【答案】3：4．【解析】解：根据题意知，△ABC ≌△BED ，则∠ACB ＝∠D ＝60°，∠ABC ＝∠BED ＝90°，AC ＝BD ，∴AC //ED ．∴∠AFB ＝∠E ＝90°∴∠DBE =∠A =30°设AF =x ，BF =a ，在Rt △ABF 中，AB =2BF =2a ，由勾股定理得：（2a ）2=a 2+x 2，即a=3x ，BF=3x ，AB=3x 同理，在Rt △ABC 中，CF =13x ，AC =AF +CF =43x ， ∴3443AF x AC x == 故答案为：3：4．【变式1】（2021·安徽安庆市期末）如图，在平面直角坐标系中，12OA =，130AOx ∠=︒，以1OA 为直角边作12Rt OA A △，并使1260AOA ∠=︒，再以12A A 为直角边作123Rt A A A △，并使21360A A A ∠=︒，再以23A A 为直角边作234Rt A A A △，并使32460A A A ∠=︒，…，按此规律进行下去，则2020A 的坐标是_______．【答案】(0，1－31010).【解析】解：∵∠A 1Ox =30°，∠A 1OA 2=60°，∴∠A 2Ox =90°，A 2在y 轴上，在Rt △A 1A 2O 中，OA 1=2，∴OA 2=2OA 1=4，A 1A 2∴A 2的纵坐标为：4，∴A 2（0，4），同理，A 3(-1)，A 4（0，-8），A 1在第一象限，A 2在y 轴正半轴上，A 3在第二象限，A 2在y 轴负半轴上，由此发现：点A 1，A 2，A 3，A 4，…，A n ，每四次一循环，2020÷4=505，∴点A 2020在y 轴的负半轴上，纵坐标是：20201010131⎡⎤--=-+⎢⎥⎣⎦， 故答案为：(0，1－31010).影响时间【例1】如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160m处有一所医院A，当卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到噪声的影响．若已知卡车的速度为250米/分钟，则卡车P沿道路ON方向行驶一次时，给医院A带来噪声影响的持续时间是分钟．【答案】0.48．【解析】解：过点A作AD⊥ON于D，∵∠MON＝30°，AO＝160m，∴AD＝12OA＝80m，以A为圆心100m为半径画圆，交ON于B、C两点，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝12 BC，在Rt△ABD中，BD60m==，∴BC＝120m，∵卡车的速度为250米/分钟，∴卡车经过BC的时间＝120÷250＝0.48分钟，故答案为：0.48．【例2】（2021·四川资阳期末）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【答案】（1）会受噪声影响，见解析；（2）2分钟.【解析】解：（1）学校C会受噪声影响．理由：过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，∴CD＝150200250⨯＝120（m），∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，∴学校C会受噪声影响．（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，∵ED=（m），∴EF＝50×2=100（m），∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，∴100÷50＝2（分钟），即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．【例3】（2021·重庆万州期末）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过40千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A 正前方18米的C 处，过了2秒后到达B 处（BC ⊥AC ），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB 为30米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？【答案】超速，每小时超速3.2千米．【解析】解：根据题意，得AC =18，AB =30，∠C =90°，在Rt △ACB 中，由勾股定理可得：BC =24即小汽车2秒行驶24米，即小汽车行驶速度为：43.2千米/时，43.2>40，所以小汽车超速行驶，超速3.2（千米/时）．【变式1】（2021·重庆期末）如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且30QPN ∠=︒，在A 处有一所中学，120AP =米，此时有一辆消防车在公路MN 上沿PN 方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．（1）学校是否会受到影响？请说明理由．（2）如果受到影响，则影响时间是多长？【答案】（1）学校受到噪音影响，见解析；（2）32秒.【解析】解：（1）学校受到噪音影响．理由如下：过A 作AB ⊥MN 于B ，∵PA =120，∠QPN =30°∴AB =12PA =60 而60<100，故消防车在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校受到噪音影响；（2）以点A 为圆心，100m 为半径作圆交MN 于C 、D ，在Rt △ABC 中，AC =100，AB =60，由勾股定理得：BC =80同理，BD =80∴CD =160，拖拉机在线段CD 上行驶所需要的时间为：160÷5=32（秒），∴学校受影响的时间为32秒．【变式2】（2020·吉林长春市期末）《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪正前方30米的处，过了2秒后，小汽车行驶至处，若小汽车与观测点间的距离为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？【答案】超速.【解析】解：根据题意，得AC =30m ，AB =50m ，∠C =90°，在Rt △ACB 中，BC =40m∴小汽车的速度为40÷2=20 m /s =72 km /h >70 km /h ；A C BAB∴这辆小汽车超速．最值问题【例1】（2021·江苏泰州市期末）已知△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，动点P 在线段BC 上从B 点向C 点运动，连接AP ，则AP 的最小值为等于________．【答案】4.【解析】解：过A 作AP ⊥BC 于P ，∵AB =AC =5，∴BP =12BC =3， 在Rt △ABP 中，由勾股定理得，AP =4由垂线段最短知，AP 的最小值为4故答案为：4．【例2】（2021·重庆渝北区期末）如图，在等腰ABC 中，13AB AC ==，AD 是ABC 的高，12AD =，10BC =，E 、F 分别是AC 、AD 上一动点，则CF EF +的最小值为______．【答案】12013. 【解析】解：作E 关于AD 的对称点M ，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，过C 作CN ⊥AB 于N ，∵AB ＝AC ＝13，BC ＝10，AD 是BC 边上的高，∴BD ＝DC ＝5，AD ⊥BC ，AD 平分∠BAC ，在Rt △ABD 中，AD ＝12，∴S △ABC ＝12×BC ×AD ＝12×AB ×CN ， ∴CN ＝BC ×AD ÷AB ＝12013， ∵E 关于AD 的对称点M ，∴EF ＝FM ，∴CF ＋EF ＝CF ＋FM ＝CM ，根据垂线段最短得出：CM ≥CN ，即CF ＋EF ≥12013， 即CF ＋EF 的最小值是12013， 故答案为：12013． 【例3】（2021·江苏连云港市期末）如图，90MON ∠=︒，已知ABC ∆中，10AC BC ==，12AB =，ABC ∆的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当点B 在边ON 上运动时，点A 随之在边OM 上运动，ABC ∆的形状保持不变，在运动过程中，点C 到点O 的最大距离为（ ）A ．12.5B ．13C ．14D ．15【答案】C .【解析】解：取AB的中点D，连接CD∵AC=BC=10，AB=12，∵点D是AB边中点，∴BD=12AB=6，CD⊥AB，∴CD=8，连接OD，OC，有OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值=OD+CD，∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD=12AB=6∴OD+CD=6+8=14，即OC的最大值=14，故答案为：C．新定义问题【例1】（2020·渠县月考）阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．小华：等边三角形一定是奇异三角形！小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华的说法：“等边三角形一定是奇异三角形”______正确（填“是”或“不是”）（2）在Rt ABC中，两边长分别是a=10c=，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．【答案】（1）是；（2）①当c为斜边时，Rt△ABC不是奇异三角形；②当b为斜边时，Rt△ABC 是奇异三角形．【解析】解：（1）设等边三角形的边长为a，∵a2+a2=2a2，∴等边三角形一定是奇异三角形，∴“等边三角形一定是奇异三角形”是正确的，故答案为：是；(2)①当c为斜边时，Rt△ABC不是奇异三角形；②当b为斜边时，Rt△ABC是奇异三角形；理由如下，分两种情况：①当c为斜边时，b=∴a=b，∴a2+c2≠2b2(或b2+c2≠2a2)，∴Rt△ABC不是奇异三角形；②当b为斜边时，b ，∵a2+b2=200，∴2c2=200，∴a2+b2=2c2，∴Rt△ABC是奇异三角形．【例2】（2021·北京昌平区）定义：点P是ABC内部的一点，若经过点P和ABC中的一个顶点的直线把ABC平分成两个面积相等的图形，则称点P是ABC关于这个顶点的均分点．例如图中，点P是ABC关于顶点A的均分点．（1）下列图形中，点D一定是ABC关于顶点B的均分点的是________；（填序号）（2）如图，在ABC 中，9,010BAC BC ︒∠==，点P 是ABC 关于顶点A 的均分点，直线AP 与BC 交于点D ，当BP AD ⊥时，4BP =，求CP 的长．【答案】（1）④；（2）【解析】解：（1）①D 点在直线AE 上，故D 点不是△ABC 关于顶点B 的均分点． ②D 点在直线AE 上，故D 点不是△ABC 关于顶点B 的均分点．③不能推出AE =EC ，即不能说明△ABE 和△BCE 面积相等，故不能证明D 点是△ABC 关于顶点B 的均分点．④由AE =EC ，可知△ABE 和△BCE 面积相等，所以D 点是△ABC 关于顶点B 的均分点． 故答案为：④．（2）过点C 点作CE ⊥AP 于E ，∵点P是△ABC关于顶点A的均分点，BC=10，∴BD=CD=5，在Rt△BPD中，由勾股定理得：PD=3，易证：△BPD≌△CDE，∴PD=DE=3，PB=CE=4，∴PE=2PD=6在Rt△PEC中，由勾股定理得：PC【例3】（2020·浙江嘉兴市期末）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点．（1）特例感知①等腰直角三角形_________勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；②如图1，已知ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若AD=，试求线段CD的长度．BD=1（2）深入探究>，CD是AB边上试如图2，已知ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA CB探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；【答案】（1）①是；②2；（2）见解析．【解析】解：（1）是；②由题意知，CD⊥AB，BD AD=1，由勾股定理可得：BC2=DC2+BD2=DC2+5，AC2=CD2+1,∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点，CD是AB边上的高，∴CD2=BC2－AC2，∴CD2=4，解得：CD=2（-2舍去）；（2）AD=CB，∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高，∴CD2=AC2-BC2，∵CD⊥AB∴AC2-CD2=AD2∴BC2=AD2∴BC=AD【变式1】我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．（1）如图1，点P在线段BC上，∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，BP＝CD．求证：点P 是△APD的准外心；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的准外心P在△ABC 的直角边上，试求AP的长．【答案】（1）见解析；（2）AP的长为32或2或78.【解析】解：（1）证明：∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，∴∠APB+∠P AB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，∴∠P AB＝∠DPC，∴△ABP≌△PCD，∴AP＝PD，∴点P是△APD的准外心；（2）解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，∴AC=4，当P点在AB上，P A＝PB，则AP12=AB32=；当P点在AC上，P A＝PC，则AP12=AC＝2，当P 点在AC 上，PB ＝PC ，如图，设AP ＝t ，则PC ＝PB ＝4﹣x ，在Rt △ABP 中，32+t 2＝(4﹣t )2，解得t 78=， 即此时AP 78=， 综上所述，AP 的长为32或2或78． 【变式2】（2021·浙江宁波市）定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足290αβ+=︒，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若ABC 是“近直角三角形”，90B ∠>︒，50C ∠=︒，则A ∠=_____度；（2）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =．若CD 是ACB ∠的平分线，①求证：BDC 是“近直角三角形”；②求BD 的长．（3）在（2）的基础上，边AC 上是否存在点E ，使得BCE 也是“近直角三角形”？若存在，直接写出．．．．CE 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）20，（2）①见解析；②53；（3）52或74． 【解析】解：（1）∠B 不可能是α或β，当∠A =α时，∠C =β=50°，此时，α+2β=90°，不成立当∠A =β，∠C =α=50°时，β=20°（2）①∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACB=2∠BCD又∠BAC=90°∴∠ACB+∠B=90°即2∠BCD+∠B=90°∴△BCD是“近直角三角形”．②过点D作DH⊥BC于H在Rt△BAC中，由勾股定理得：AC=5 可得：△ACD≌△HCD∴DH=AD，AC=CH=4，∴BH=1设BD=x，则DH=3-x，在Rt△BDH中，x2=（3-x）2+1，解得：x=53，即BD=5 3 .（3）①过点E作EF⊥BC于F，设CE=x，则AE=4-x，EF=4-x由AB=BF=3得：CF=2，在Rt△CEF中，x2=22+（4-x）2，解得：x=5 2②当∠ABE =∠C 时，延长EA 至G ，使得AE =AG ，根据条件可得：△ABG ≌△ABE ，∴∠GBA =∠C =∠EBA由∠GBA +∠G =90°，知∠C +∠G =90°，故∠GBC =90°设CE =x ，则AE =AG =4-x ，∴（4-x ）2+32=（8-x ）2-52，解得：x =74综上所述，满足题的CE 值为52或74． 【变式3】（2021·浙江宁波期末）定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．（12，次三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；（2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）；（3）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，5BC =，CD 为ABC 的中线，若BCD △是平方倍三角形，求ABC 的面积．【答案】（1）是；（2）1：1；（3252. 【解析】解：（1）此三角形是平方倍三角形，理由如下：∵22223+=⨯，满足是平方倍三角形的定义，2的三角形是平方倍三角形；（2）在Rt ∆ABC 中，则a 2+b 2=c 2，∵Rt ∆ABC 是平方倍三角形，∴c 2+b 2=3a 2，∴a 2+b 2=3a 2－b 2∴a =b ，c a故该直角三角形的三边之比为1：1；（3）∵Rt △ABC 中，CD 为△ABC 的中线，∴CD =12AB =AD =BD ， 设CD =12AB =AD =BD =x ，则AB =2x ， ∵AB ＞BC ，∴2x ＞5，即：x ＞52， ∵△BCD 是平方倍三角形，①当BD 2+CD 2=3BC 2，即x 2+x 2=3×52，解得：x （舍负），∴AB =2x =AC =∴△ABC 的面积=152⨯= ②当BC 2+BD 2=3DC 2，则52+x 2=3x 2，解得：x =2（舍负），∴AB =2x =AC =5，∴△ABC的面积=2555122⨯⨯=，综上所述，△ABC 25 2．【题型二】勾股定理逆定理及其应用判断三角形形状【例1】（2021·江苏苏州市期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠B＝∠C+∠A B．a2＝（b+c）（b﹣c）C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝3：4：5【答案】C.【例2】（2021·山西长治市期末）如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则ABC∠的度数为（）A．45︒B．50︒C．55︒D．60︒【答案】A.【解析】解：如图，连接AC，由题意可得：22221310,125=AB AC BC=+==+=∴AC=BC，AB2=AC2+BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠BAC=45°，故答案为：A．【变式1】（2021·浙江绍兴市期末）如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成ABC．设AB=x，若ABC为直角三角形，则x=__．【答案】43或53.【解析】解：∵在△ABC中，AC=1，AB=x，BC=3-x ∴1+x＞3-x，1+3-x>x解得：1<x<2.①∵1＜x，∴AC不能为斜边，②若AB为斜边，则x2=（3-x）2+1，解得x=53，满足1＜x＜2，③若BC为斜边，则（3-x）2=1+x2，解得x=43，满足1＜x＜2，故答案为：43或53．【变式2】（2021·江西吉安市期末）如图，在四边形ABCD中，CD＝AD＝，∠D＝90°，AB＝5．BC＝3．（1）求∠C的度数；（2）求四边形ABCD的面积．【答案】（1）135°；（2）10．【解析】解：连接AC，如图，∵∠D＝90°，∴AD2+CD2=AC2∵CD＝AD＝∴AC=4∵AB＝5．BC＝3∴AC2+BC2=AB2∴∠ACB=90°∵CD＝AD∴∠ACD=45°∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=135°. （2）S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=1122AC BC AD CD ⨯+⨯=114322⨯⨯+⨯=10.【变式3】（2021·广东佛山市期末）在△ABC中，（1）如图1，AC＝15，AD＝9，CD＝12，BC＝20，求△ABC的面积；（2）如图2，AC＝13，BC＝20，AB＝11，求△ABC的面积．【答案】（1）150；（2）66.【解析】解：（1）∵AC＝15，AD＝9，CD＝12 ∴CD2+AD2=AC2，∴∠ADC=90°，∠BDC=90°在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=16∴AB=AD+BD=25∴S△ABC=112512150 22AB CD⋅=⨯⨯=.（2）过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC=∠BDC=90°设AD=x，则BD=x+11由勾股定理得：CD2=132-x2=202-（x+11）2，解得：x=5∴CD2=144，即CD=12，∴S△ABC=11111222AB CD⋅=⨯⨯=66.三角形存在性问题【例1】（2021·福建泉州市期末）Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5．图1 图2（1）如图1，点E在边BC上，且∠AEC=2∠B．①在图1中用尺规作图作出点E，并连结AE（保留作图痕迹，不写作法与证明过程）；②求CE的长．（2）如图2，点D为斜边上的动点，连接CD，当△ACD是以AC为底的等腰三角形时，求AD的长．【答案】（1）①见解析；②78；（2）2.5.【解析】解：（1）①作∠BAE=∠B②由勾股定理，得BC=4∵∠AEC=∠B+∠BAE，又∵∠AEC=2∠B，∴∠BAE=∠B ，∴BE=AE，．设CE=x，则BE=AE=4-x，在Rt△AEC中，x2+32=（4-x）2，∴x=7 8 .（2）AC为底时，AD=CD，∴∠A=∠DCA∵∠A+∠B=90°，∠DCA+∠BCD=90°，∴∠B=∠BCD，∴BD=CD，即AD =BD =2.5．【例2】（2021·广东佛山市期末）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，20AB cm =，16AC cm =，点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度向点C 运动，连接PB ，设运动时间为t 秒（0t >）（1）求BC 的长．（2）当PA PB =时，求t 的值．【答案】（1）12；（2）252. 【解析】解：（1）由勾股定理可得：BC 2+AC 2=AB 2，BC ；（2）由题意知P A =PB =t ，PC =16-t ，在Rt △PCB 中，（16-t ）2=t 2-122，解得：t =252， ∴当点P 运动到P A =PB 时，t 的值为252． 【变式1】（2020·南阳市月考）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，20AB =，15BC =，点D 为AC 边上的动点，点D 从点C 出发，沿边CA 往A 运动，当运动到点A 时停止，若设点D 运动的时间为t 秒，点D 运动的速度为每秒2个单位长度．（1）当2t =时，CD =______，AD =______；（请直接写出答案）（2）当t 为何值时，CBD 是直角三角形；（写出解答过程）（3）求当t 为何值时，CBD 是等腰三角形？并说明理由．【答案】（1）4，21；（2）92或252；（3）254或152或9．【解析】解：（1）t=2时，CD=2×2=4，∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15，∴AC=，AD=AC-CD=25-4=21；故答案为：4，21；（2）①∠CDB=90°时，S△ABC=12AC•BD=12AB•BC，∴BD=12，CD=，∴2t=9，解得：t=92（秒）；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，∴2t=25，解得：t=252（秒）；综上所述，当t=92或252秒时，△CBD是直角三角形；（3）①CD=BD时，过点D作DE⊥BC于E，则CE=BE，DE∥AB，∴CD=AD=12AC=252，∴2t=25 2，解得：t=254（秒）；②CD=BC时，CD=15，∴2t=15，解得：t=152（秒）；③BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，同理可得：CF=9，则CD=2CF=18，∴2t=18，t=9（秒）；综上所述，当t=254或152或9秒时，△CBD是等腰三角形．41。
人教版 八年级数学 勾股定理逆定理讲义 (含解析)
第17讲勾股定理逆定理知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习勾股定理的逆定理。
它是初中几何中及其重要的一个定理，是今后判断某三角形是直角三角形的证明方法之一，有着广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，因此本节内容至关重要。
知识梳理讲解用时：20分钟勾股定理逆定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2.2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.勾股定理与勾股定理逆定理是互逆的关系3.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理.4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.（例：勾股定理与勾股定理逆定理）5.勾股数：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.熟记几组常见的勾股数：（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）（7，24，25）、（9、40、41）等等.注意：一组勾股数同时扩大或缩小相应的倍数，仍满足勾股定理的逆定理.课堂精讲精练【例题1】在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（）A．4、7、9 B．5、12、13 C．6、8、10 D．7、24、25【答案】A【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．解：A、42+72≠92，故不是直角三角形，故此选项符合题意；B、52+122=132，故是直角三角形，故此选项不符合题意；C、82+62=102，故是直角三角形，故此选项不符合题意；D、72+242=252，故是直角三角形，故此选项不符合题意．故选：A．讲解用时：2分钟解题思路：本题考查勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．教学建议：掌握勾股定理的逆定理，只要满足最长的边的平方等于另外两边的平方和即可.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2=a2 B．a：b：c=3：4：5C．∠A：∠B：∠C=9：12：15 D．∠C=∠A﹣∠B【答案】C【解析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．解：A、由b2﹣a2=c2得b2=a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B、由a：b：c=3：4：5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；C、由∠A：∠B：∠C=9：12：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠C=75°≠90°，故不是直角三角形．D、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A﹣∠B解得∠A=90°，故是直角三角形；故选：C．讲解用时：2分钟解题思路：本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．教学建议：通过勾股定理逆定理或者三角形内角和判断出直角即可.难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：金堂县期末年份：2017【练习1.2】下列各组数中，是勾股数的为（）A．1，1，2 B．1.5，2，2.5 C．7，24，25 D．6，12，13【答案】C【解析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．解：A、∵12+12≠22，∴不是勾股数，此选项错误；B、1.5和2.5不是整数，此选项错误；C、∵72+242=252，∴是勾股数，此选项正确；D、∵62+122≠132，∴不是勾股数，此选项错误．故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了勾股数，说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…教学建议：熟记基本的勾股数同时扩大或缩小相应的倍数仍然满足勾股定理的逆定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2017【例题2】已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为．【答案】24【解析】根据三角形三边长，利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形，然后即可求得面积．解：∵62+82=102，∴此三角形为直角三角形，∴此三角形的面积为：×6×8=24．故答案为：24．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查学生对勾股定理逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形．教学建议：通过勾股定理逆定理判断出直角三角形，然后求面积.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：牡丹区期末年份：2017【练习2.1】三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形的形状是三角形．【答案】直角【解析】根据题目中的式子和勾股定理的逆定理可以解答本题．解：∵2ab=（a+b）2﹣c2，∴2ab=a2+2ab+b2﹣c2，∴a2+b2=c2，∵三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，∴此三角形是直角三角形，故答案为：直角．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查勾股定理的逆定理、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．教学建议：化简之后通过勾股定理的逆定理证明直角.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…可发现，4=，12=，24=…请写出第5个数组：．【答案】11，60，61【解析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．解：∵①3=2×1+1，4=2×12+2×1，5=2×12+2×1+1；②5=2×2+1，12=2×22+2×2，13=2×22+2×2+1；③7=2×3+1，24=2×32+2×3，25=2×32+2×3+1；④9=2×4+1，40=2×42+2×4，41=2×42+2×4+1；⑤11=2×5+1，60=2×52+2×5，61=2×52+2×5+1，故答案为：11，60，61．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．教学建议：学会探索勾股数的规律.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：永城市期中年份：2017【练习3.1】若8，a，17是一组勾股数，则a= ．【答案】【解析】分a为最长边，17为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．解：①a为最长边，a=，不是正整数，不符合题意；②17为最长边，a==15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．故答案为：15．讲解用时：3分钟解题思路：考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．教学建议：本题要分两种情况考虑，熟记勾股数都是正整数.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：通州区校级期中年份：2017【例题4】如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为单位1．（1）求证：△ABC为直角三角形；（2）求点B到AC的距离．【答案】（1）△ABC为直角三角形；（2）【解析】（1）根据勾股定理以及逆定理解答即可；（2）根据三角形的面积公式解答即可．解：（1）由勾股定理得，AB=，BC=2，AC=AB2+BC2=65=AC2△ABC为直角三角形；（2）作高BD，由得，解得，BD=点B到AC的距离为．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查勾股定理问题，关键是根据勾股定理以及逆定理解答．教学建议：熟练掌握并应用勾股定理的逆定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】计算图中四边形ABCD的面积．【答案】246【解析】首先利用勾股定理求出BD的长，再利用勾股定理的逆定理证明三角形BDC是直角三角形，最后利用三角形的面积公式求出答案．解：∵∠A=90°，∴BD2=AD2+AB2=400，∴BD2+CD2=625=BC2，∴△BCD为直角三角形，∴S四边形ABCD=AD•AB+CD•BD=246．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了勾股定理的逆定理以及勾股定理的知识，解题的关键是证明△BCD为直角三角形，此题难度不大．教学建议：灵活应用勾股定理和勾股定理逆定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：阜宁县期末年份：2017【例题5】如图，已知在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2cm，AD=cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形ABCD的面积．【答案】+6【解析】连接BD，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，则四边形ABCD的面积是两个直角三角形的面积和．解：连接BD．∵∠A=90°，AB=2cm，AD=，∴根据勾股定理可得BD=3，又∵CD=5，BC=4，∴CD2=BC2+BD2，∴△BCD是直角三角形，∴∠CBD=90°，∴S四边形ABCD =S△ABD+S△BCD=AB•AD+BC•BD=×2×+×4×3=+6（cm2）．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，辅助线的作法是关键．解题时注意：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．教学建议：灵活应用勾股定理和勾股定理逆定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】如图，四边形ABCD中，AB=AD=2，BC=3，CD=1，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．【答案】2+【解析】首先在Rt△BAD中，利用勾股定理求出BD的长，再根据勾股定理逆定理在△BCD中，证明△BCD是直角三角形，再根据四边形ABCD的面积=三角形BAD的面积+三角形BDC的面积即可求出答案．解：连接BD，在Rt△BAD中，∵AB=AD=2，∴BD==2，在△BCD中，DB2+CD2=（2）2+12=9=CB2，∴△BCD是直角三角形，∴∠BDC=90°，∴四边形ABCD的面积=三角形BAD的面积+三角形BDC的面积=2×2÷2+1×2÷2=2+．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解本题的关键．教学建议：灵活应用勾股定理和勾股定理逆定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，AD是△ABC的中线，AD=12，AB=13，BC=10，求AC长．【答案】13【解析】首先利用勾股定理逆定理证明∠ADB=90°，再利用勾股定理计算出AC 的长即可．解：∵AD是△ABC的中线，且BC=10，∴BD=BC=5．∵52+122=132，即BD2+AD2=AB2，∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，又∵CD=BD，∴AC=AB=13．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，根据题意证明∠ADB=90°是解决问题的关键．教学建议：熟练运用并掌握勾股定理及其逆定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：滨海县期末年份：2017【练习6.1】如图，有一块耕地ACBD，已知AD=24m，BD=26m，AC⊥BC，且AC=6m，BC=8m．求这块耕地的面积．【答案】96m2【解析】连接AB，先根据勾股定理求出AB的长，再由勾股定理的逆定理，判断出△ABD的形状，根据S四边形ADBC =S△ABD﹣S△ABC即可得出结论．解：连接AB，∵AC⊥BC，AC=6m，BC=8m，∴Rt△ABC中，AB==10m，∵AD=24m，BD=26m，∴AD2=242=576，BD2=262=676，AB2=102=100，∴AB2+AD2=BD2，∴△ABD是直角三角形，∴S四边形ADBC =S△ABD﹣S△ABC=AB•AD﹣AC•BC=×10×24﹣×8×6=120﹣24=96m2．答：这块土地的面积是96m2．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是勾股定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．教学建议：熟练运用并掌握勾股定理及其逆定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习6.2】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．若一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢B，小鸟至少需飞行多少米？【答案】10【解析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，在Rt△AEC中，AC==10m，故小鸟至少飞行10m．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．教学建议：将实际问题转化为具体的几何问题，通过勾股定理进行计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：高安市期中年份：2018【例题7】如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C 处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．【答案】沿南偏东60°方向【解析】首先根据勾股定理逆定理得出∠ABC=90°，然后再判断AD∥NM，可得∠NBA=∠BAD=30°，再根据平角定义可得∠MBC=180°﹣90°﹣30°=60°，进而得到答案．解：∵AB=60，BC=80，AC=100，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∴AD∥NM，∴∠NBA=∠BAD=30°，∴∠MBC=180°﹣90°﹣30°=60°，∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．教学建议：熟练掌握并应用勾股定理的逆定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：灵石县期中年份：2018【练习7.1】某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案】沿西北方向航行【解析】根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．解：根据题意，得PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里），∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°．由“远洋号”沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，则∠SPR=45°，即“海天”号沿西北方向航行．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查路程、速度、时间之间的关系，勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．教学建议：熟练掌握并应用勾股定理的逆定理.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AD=9，BD=16，CD=12．（1）求△ABC的周长；（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．【答案】（1）60；（2）是【解析】（1）由勾股定理求出BC、AC，即可得出结果；（2）由勾股定理的逆定理即可得出结论．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC=∠ADC=90°，∴BC==20，AC==15，∵AB=AD+BD=25，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=25+20+15=60；（2）△ABC是直角三角形；理由如下：∵BC2+AC2=202+152=252=AB2，∴△ABC是直角三角形．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：东海县校级期中年份：2017【作业2】如图，四边形ABCD中，∠ADC=90°，AD=12，CD=9，AB=25，BC=20，求四边形ABCD的面积．【答案】204【解析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△ACB是直角三角形，分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案．解：连结AC，在△ADC中，∵∠D=90°，AD=12，CD=9，∴AC==15，S△ABC=AD•CD=×12×9=54，在△ABC中，∵AC=15，AB=25，BC=20，∴BC2+AC2=AB2，∴△ACB是直角三角形，∴S△ACB=AC•BC=×15×20=150．∴四边形ABCD的面积=S△ABC +S△ACD=150+54=204．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：岱岳区期中年份：2017【作业3】如图，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的位置如图所示，你能判断△ABC是什么三角形吗？请说明理由．【答案】直角三角形【解析】根据勾股定理即可求得△ABC的三边的长，再由勾股定理的逆定理即可作出判断．解：△ABC是直角三角形．在直角△ABF、直角△BCD、直角△ACE中，根据勾股定理即可得到：AB==；BC==；AC==5；则AC2=BC2+AB2∴△ABC是直角三角形．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：成都期中年份：2017【作业4】如图，在四边形ABCD中，AB=BC=3，CD=，AD=，且∠B=90°，∠D=60°，求∠BCD的度数．【答案】75°【解析】连接AC，由于∠B=90°，AB=BC=3，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC=45°，而CD=，AD=，易得AC2+AD2=CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD=90°，根据直角三角形的性质可求∠DCA，从而易求∠BCD．解：连接AC，∵∠B=90°，AB=BC=3，∴AC===3，∠BAC=∠BCA=45°，又∵CD=，AD=∴AC2+AD2=18+6=24，CD2=24，∴AC2+AD2=CD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD=90°，∴∠DCA=90°﹣∠D=30°，∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=75°．讲解用时：4分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为三角形．【答案】直角【解析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．解：∵a+b=10，ab=18，c=8，∴（a+b）2﹣2ab=100﹣36=64，c2=64，∴a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形．故答案为：直角．讲解用时：3分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。
初二数学--勾股定理讲义(经典)
第一章 勾股定理【学问点归纳】123456⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题、面积问题、求长度问题、最短距离问题勾股定理的应用、航海问题、网格问题、图形问题 考点一：勾股定理（1）对于随意的直角三角形，假如它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么肯定有222c b a =+勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（2）结论：①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。
③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
（3）勾股定理的验证a bcabcab ababba例题：例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。
（1）在△中，∠90°①若5，12，则；②若15，25，则；③若61，60，则；④若a∶3∶4，10则△的面积是。
（2）假如直角三角形的两直角边长分别为1n2-，2n（n>1），那么它的斜边长是（） A、2n B、1 C、n2－1 D、1n2+（3）在△中，为三边长，则下列关系中正确的是（）A.222a b c+= B. 222a c b+=C. 222c b a+= D.以上都有可能（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7或25例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。
（1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为。
（2）已知△中，∠90°，若14，10，则△的面积是（）A、242c m B、36 2c m C、482c m D、602c m（3）已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，假如以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）A 、5B 、25C 、7D 、15例3：探究勾股定理的证明有四个斜边为c 、两直角边长为的全等三角形，拼成如图所示的五边形，利用这个图形证明勾股定理。
【初二】第三章勾股定理讲义
勾股定理1.1 勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
1.2勾股定理的证明：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
即 222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。
1.4勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。
【例1】 下列说法正确的是（ ）A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c +=B. 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c +=C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c +=D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=【例2】 若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为（ ）CABcb aDCGFE Hcb a cba ED CBA【例3】 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．【例4】 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定【例5】 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5 C【例6】 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍【例7】 在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，（1）如果34a b ==，，则c =_______； （2）如果68a b ==，，则c =_______； （3）如果512a b ==，，则c =________； （4）如果1520a b ==，，则c =________.(5)若c ＝41，a ＝40，则b ＝______； (6)若∠A ＝30°，a ＝1，则c ＝______；(7)若∠A ＝45°，a ＝1，则b ＝______．【例8】 如图所示，在ABC ∆中，三边a b c ，，的大小关系是（ ）A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<【例9】 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． 【例10】已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，•如果8cm AB =，10cm BC =，EC 的长为 ． 【例11】一个矩形的抽屉长为24cm ，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ． 【例12】如图，将一根30㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和24㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？CBA“路”4m3m【例13】 将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外边的长度为cm h ，则h 的取值范围为（ ） 【例14】如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是576和676，那么最小的正方形的面积为（ ） 【例15】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．(1)若a ∶b ＝3∶4，c ＝75cm ，求a 、b ； (2)若a ∶c ＝15∶17，b ＝24，求△ABC 的面积； (3)若c －a ＝4，b ＝16，求a 、c ； (4)若a 、b 、c 为连续整数，求a ＋b ＋c ．2 勾股定理的逆定理【例1】 分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10；(2)5、12、13；(3)8、15、17； (4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)【例2】 下列线段不能组成直角三角形的是( )．A ．a ＝6，b ＝8，c ＝10B ．3,2,1===c b aC ．43,1,45===c b a D ．6,3,2===c b a【例3】 已知ABC △的三边长分别为5，13，12，则ABC △的面积为（ ）A ．30B ．60C ．78D ．不能确定【例4】 在ABC △中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，①若a 2＋b 2＞c 2，则∠c 为____________； ②若a 2＋b 2＝c 2，则∠c 为____________； ③若a 2＋b 2＜c 2，则∠c 为____________．【例5】 若ABC △中，()()2b a b a c -+=，则B ∠=____________； 【例6】 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的ABC△是______三角形．【例7】 下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．A ．1∶1∶2B ．1∶3∶4C ．9∶25∶26D ．25∶144∶169【例8】 已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m (其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形( )．A ．一定是等边三角B ．一定是等腰三角形C ．一定是直角三角D ．形状无法确定【例9】 若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以22a a a -+、、为边的三角形的面积为______．【例10】 ABC △的两边a b ，分别为512，，另一边c 为奇数，且a b c ++是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______．【例11】 如图，ABC △中，90C ∠=︒，330AC B =∠=︒，，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7【例12】 如图，在△ABC 中，已知AB =AC =2a ，∠ABC =15°，CD 是腰AB 上的高，求CD 的长．DCBA【例13】 如图所示，已知∠1=∠2，AD =BD =4，CE ⊥AD ，2CE =AC ，那么CD 的长是（ ）【例14】 如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长．【例15】 如图，在ABC △中，CD AB ⊥于D ，9435AC BC DB ===，，．（1）求CD AD ，的值；（2）判断ABC △的形状，并说明理由．【例16】 已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．【例17】 如图所示，在四边形ABCD 中，已知：AB ：BC ：CD ：DA =2：2：3：1，且∠B =90°，求∠DAB 的度数．【例18】 如图，已知CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC =BE ，AE =BD ．（1）试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并说明你的结论； （2）若AC =5，BD =12，求CE 的长．【例19】 阅读理解题：（1）如图所示，在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，且PBCA21EBDCADCBAABDCD CBACDBE AA12AD BC =．求证：90BAC ∠=︒（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．（3）直接运用这个结论解答下列题目：一个三角形一边长为5，这边上的中线长为，另两边之和为7，求这个三角形的面积．【例20】 已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝CB 41，求证：AF ⊥FE ．【例21】 已知∠MAN ，AC 平分∠MAN ．（1）在图1中，若∠MAN =120°，∠ABC =∠ADC =90°，求证：AB +AD =AC ；（2）在图2中，若∠MAN =120°，∠ABC +∠ADC =180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；BCDN AM MAND CB【例22】 在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?． 1.等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．2.如图，一根高8米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端A 触地处到旗杆CB A底部B 的距离为6米，则折断点C 到旗杆底部B 的距离为3.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于 ．4. Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为( )．5.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，AD ＝20，则CD 的长为 ．6.在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，则该三角形为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 7.如图，已知正方形ABED 与正方形BCFE ，现从A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有（ ）A ．10B ．12C ．14D ．168.如图，在Rt ABC △中，已知，90ACB ∠=︒，15B ∠=︒，AB 边的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于D ，且13BD =，则AC 的长是 ．9. 如图所示，在ABC △中，::3:4:5AB BC CA =，且周长为36，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，BPQ △的面积为（ ）2cm ．10. 如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ，AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积．DCBAFECBDAE DBC AQCA。
勾股定理及逆定理答案与解析
勾股定理一、重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
二、勾股定理内容及证明勾股定理内容：1.文字描述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾股勾2+股2=弦22.符号描述：如果直角三角形的两直角边边长分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2aba2+b2=c2注意：勾股定理的结论有许多变形，如下所示c2=a2+b2，a2=c2−b2，b2=c2−a222,bc a a=勾股定理的证明：[例] 已知正方形ABCD 边长为c 。
过点A 作任意直线，过B 点作该直线的垂线交于点E ，同理过C 点作BE 的垂线。
设直角三角形ABE 两直角边分别为AE=b ，BE=a 。
求证a 2+b 2=c 2证明：易证，四个直角三角形全等。
故：=4+S S S 大正方形三角形小正方形即：221c =4a b+b-a 2（）化简得c 2=a 2+b 2即在直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
三、例题精讲：题型一、勾股定理的应用[例一]（1）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边a ，较长直角边为b ，那2A ． 13B ． 14C ． 25D ．169考点： 勾股定理。
分析： 根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方13，也就是两条直角边的平方和是13，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12．根据完全平方公式即可求解。
解答： 解：根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，四个三角形的面积=4× ab=13﹣1， ∴2ab=12，联立解得：（a+b ）2=13+12=25． 故选C ．点评： 本题考查了勾股定理和完全平方公式的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和a ，b 的关系。
第02讲 勾股定理逆定理(3个知识点+5类热点题型+习题巩固)(解析版)
第02讲勾股定理逆定理课程标准学习目标①勾股定理逆定理②勾股数③勾股定理的应用1.掌握勾股定理的逆定理内容，并能够熟练的运用它来判断直角三角形。
2.掌握勾股数并能够判断勾股数。
3.能够在各类实际问题中熟练应用勾股定理。
知识点01勾股定理逆定理1.勾股定理逆定理内容：在△ABC 中，如果三角形的三边分别是c b a ，，且满足222c b a =+，则该三角形一定是有一个直角三角形且∠C 是直角。
勾股定理的逆定理用于判断一个三角形是不是直角三角形。
2.直角三角形的判定①勾股定理逆定理②三角形中有一个角是90°。
③三角形中有两个角之和为90°。
【即学即练1】1．以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，2，3B．2，3，4C．1，，D．，3，5【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故符合题意；D、（）2+32≠52，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：C．【即学即练2】2．如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．（1）试说明△ABC为直角三角形．（2）求CE的长．【分析】（1）先计算AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，再利用勾股定理的逆定理可得结论；（2）设CE长为x cm，则BE＝（8﹣x）cm．由DE垂直平分AB，可得AE＝BE＝8﹣x．再利用勾股定理建立方程即可．【解答】（1）证明：∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形．（2）解：设CE长为x cm，则BE＝（8﹣x）cm．∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE＝8﹣x．在Rt△ACE中，由勾股定理得x2+62＝（8﹣x）2，解得，所以CE的长为．知识点02勾股数1.勾股数的定义：满足勾股定理：即222cba=+的三个正整数称为勾股数。
八年级初二数学勾股定理(讲义及答案)含答案
一、选择题1．如图钢架中，∠A ＝15°，现焊上与AP 1等长的钢条P 1P 2，P 2P 3…来加固钢架，若最后一根钢条与射线AB 的焊接点P 到A 点的距离为4+23，则所有钢条的总长为（ ）A ．16B ．15C ．12D ．102．如图，在Rt ABC 中，90BAC ︒∠=，以Rt ABC 的三边为边分别向外作等边三角形'A BC ，'AB C △，'ABC △，若'A BC ，'AB C △的面积分别是10和4，则'ABC △的面积是( )A ．4B ．6C ．8D ．93．如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则△ABC 的面积为（ ）A ．2539+B ．2539+C ．18253+D ．25318+4．如图，OP ＝1，过点P 作PP 1⊥OP ，且PP 1＝1，得OP 1＝2；再过点P 1作P 1P 2⊥OP 1且P 1P 2＝1，得OP 2＝3；又过点P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3＝1，得OP 3＝2……依此法继续作下去，得OP 2018的值为( )A 2016B 2017C 2018D 20195．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（ ）A ．20B ．24C ．994D ．5326．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE 2+BG 2=2a 2+2b 2，其中正确结论有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 7．下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（ ）A ．1，2，6B ．3，5，4C ．5，12，13D ．3，2，138．如图所示，有一个高18cm ，底面周长为24cm 的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（ ）A ．16cmB ．18cmC ．20cmD ．24cm9．在ABC ∆中，::1:1:2BC AC AB =,则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形10．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB ＝5，AD ＝3，则BC 的长为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10二、填空题11．在△ABC 中，若222225,75a b a b c -+===，，则最长边上的高为_____．12．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，BC 边上的高AD ＝4，则△ABC 的周长为__________. 13．如图是“赵爽弦图”，△ABH 、△BCG 、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形．如果AB ＝13，EF ＝7，那么AH 等于_____．14．已知，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=7，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，DE=DF ，若BF=4，则EF=_______15．在Rt △ABC 中，直角边的长分别为a ，b ，斜边长c ，且a +b =35，c =5，则ab 的值为______．16．如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得△ABC ，则AC 边上的高的长度是_____________．17．如图，在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，将矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为MN ，连接CN ．若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，则22MN BM 的值为______________．18．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，2AC BC ==，D 为BC 边上一动点，作如图所示的AED ∆使得AE AD =，且45EAD ∠=，连接EC ，则EC 的最小值为__________．19．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：______．20．在△ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AC=8，点 D 在边 AB ， 且 BD=3，点 P 是△ABC 边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD 的长是____________．三、解答题21．如图，在△ABC 中，AB ＝30 cm ，BC ＝35 cm ，∠B ＝60°，有一动点M 自A 向B 以1 cm/s 的速度运动，动点N 自B 向C 以2 cm/s 的速度运动，若M ，N 同时分别从A ，B 出发．(1)经过多少秒，△BMN 为等边三角形； (2)经过多少秒，△BMN 为直角三角形．22．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明ACD AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．感悟与应用：（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，12DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒； ②求AB 的长．23．已知a ，b ，c 满足88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，（1）求a ，b ，c 的值；（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．24．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =，求ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.25．已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 与点E . （1）根据题意用尺规作图补全图形（保留作图痕迹）； （2）设,BC m AC n ==①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根吗？并说明理由. ②若线段2AD EC =，求mn的值.26．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述); (2)证明勾股定理;(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2a b +的值.27．如图1, △ABC 和△CDE 均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a ，且点A 、D 、E 在同一直线上，连结BE.(1)求证: AD=BE.(2)如图2,若a=90°，CM ⊥AE 于E.若CM=7, BE=10, 试求AB 的长.(3)如图3,若a=120°, CM ⊥AE 于E, BN ⊥AE 于N, BN=a, CM=b,直接写出AE 的值(用a, b 的代数式表示).28．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离()()22121212PP x x y y =-+-直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y . （1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．29．已知：四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD的顶点A重合，两边分别射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAP＝60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，请直接判断△AEF的形状是．（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE＝CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．30．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．（体验）（1）从特殊入手许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：的大小的形状…直角三角形…直角三角形…请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；（2）猜想一般结论在中，设，，（），①若为直角三角形，则满足；②若为锐角三角形，则满足____________；③若为钝角三角形，则满足_____________．（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）A．一定是锐角三角形B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，求出钢条的根数，然后根据最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离即AP5为3AP1＝a，作P2D⊥AB于点D，再用含a的式子表示出P1P3，P3P5，从而可求出a的值，即得出每根钢条的长度，从而可以求得所有钢条的总长．【详解】解：如图，∵AP1与各钢条的长度相等，∴∠A=∠P1P2A=15°，∴∠P2P1P3=30°，∴∠P1P3P2=30°，∴∠P3P2P4=45°，∴∠P3P4P2=45°，∴∠P4P3P5=60°，∴∠P3P5P4=60°，∴∠P5P4P6=75°，∴∠P4P6P5=75°，∴∠P6P5B=90°，此时就不能再往上焊接了，综上所述总共可焊上5根钢条．设AP1＝a，作P2D⊥AB于点D，∵∠P2P1D＝30°，∴P2D=12P1P2，∴P1D3，∵P1P2=P2P3，∴P1P3＝2P13a，∵∠P4P3P5=60°，P3P4=P4P5，∴△P4P3P5是等边三角形，∴P3P5＝a，∵最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为3，∴AP5=a3a+a＝3解得，a＝2，∴所有钢条的总长为2×5＝10，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，发现并利用规律找出钢条的根数是解答本题的关键．2．B解析：B 【分析】设AB=c ，AC=b ，BC=a ，用a 、b 、c 分别表示'A BC ，'AB C △，'ABC △的面积，再利用Rt ABC 得b 2+c 2=a 2，求得c 值代入即可求得的面积'ABC △的面积. 【详解】设AB=c ，AC=b ，BC=a ， 由题意得'A BC 的面积=13102a a ⋅=， 'AB C △的面积=1342b ⋅= ∴24033a =21633b =在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，b 2+c 2=a 2， ∴c 2=a 2-b 24016338333= ∴'ABC △的面积=2133224c c c ⋅⋅==38364= 故此题选B 【点睛】此题考察勾股定理的运用，用直角三角形的三边分别表示三个等边三角形的面积，运用勾股定理的等式求得第三个三角形的面积3．A解析：A 【解析】分析：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE 为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP 中，AE=5，延长BP ，作AF ⊥BP 于点F ．AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE 为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB 的度数，在直角△APF 中利用三角函数求得AF 和PF 的长，则在直角△ABF 中利用勾股定理求得AB 的长，进而求得三角形ABC的面积．详解：∵△ABC为等边三角形，∴BA=BC，可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，∴AE2=PE2+PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．∴∠APF=30°，∴在直角△APF中，AF=12AP=32，PF=32AP=332．∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+332）2+（32）2=25+123．则△ABC的面积是34•AB2=34•（25+12）253故选A．点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．4．D解析：D【解析】【分析】由勾股定理求出各边，再观察结果的规律.【详解】∵OP=1，OP12OP23OP34=2，∴OP45…，OP20182019故选D【点睛】本题考查了勾股定理，读懂题目信息，理解定理并观察出被开方数比相应的序数大1是解题的关键．5．B解析：B【分析】设小正方形的边长为x，则矩形的一边长为（a+x）,另一边为（b+x）,根据矩形的面积的即等于两个三角形的面积之和，也等于长乘以宽，列出方程，化简再代入a,b的值，得出x2＋7x=12，再根据矩形的面积公式，整体代入即可.【详解】设小正方形的边长为x，则矩形的一边长为（a+x）,另一边为（b+x）,根据题意得：2（ax+x2+bx）=（a+x）（b+x）,化简得：ax+x2+bx-ab=0，又∵ a = 3 ， b = 4 ，∴x2＋7x=12;∴该矩形的面积为=（a+x）（b+x）=（3+x）（4+x）=x2＋7x+12=24.故答案为B.【点睛】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键.6．D解析：D【解析】分析：由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS 得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.详解：①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，∴△BCE≌△DCG，∴BE=DG，故结论①正确.②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O.由①可知，△BCE≌△DCG，∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，∴∠DOM=∠MCB=90°，∴BE⊥DG.故②结论正确.③如图所示，连接BD、EG，由②知，BE⊥DG，则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，∴BG2+DE2=2a2+2b2.故③结论正确.故选：D.点睛：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.7．A解析：A【解析】A. 12+226)2，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；B. 32+42=52，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C. 52+122=132，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；D. 32+22132，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；故选A.8．C解析：C【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，进而得到SC=12cm，FC=18-2=16cm，再利用勾股定理计算出SF长即可．【详解】将圆柱的侧面展开，蜘蛛到达目的地的最近距离为线段SF的长，由勾股定理，SF2=SC2+FC2=122+(18-1-1)2=400，SF=20 cm，故选C.【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．9．D解析：D【分析】根据题意设出三边分别为k、k2k，然后利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，又有BC、AC边相等，所以三角形为等腰直角三角形．【详解】设BC、AC、AB分别为k，k2k，∵k2+k2=2k）2，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，又BC=AC，∴△ABC是等腰直角三角形．故选D．【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，利用设k法与勾股定理证明三角形是直角三角形是难点，也是解题的关键．10．C解析：C【分析】根据等腰三角形的三线合一得出∠ADB=90°，再根据勾股定理得出BD的长，即可得出BC 的长.【详解】在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD ⊥BC ，BC=2BD.∴∠ADB=90°在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：BD=22-AB AD =225-3=4∴BC=2BD=2×4=8.故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键. 二、填空题11．125【分析】解方程222225,7a b a b +=-=可求得a=4，b=3，故三角形ABC 是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高.【详解】解：∵222225,7a b a b +=-=，将两个方程相加得：2232a =，∵a ＞0，∴a=4代入得：22425b +=，∵b ＞0，∴b=3，∵a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理，∴△ABC 是直角三角形，如下图，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，1122ABC SAC BC AB CD =⋅⋅=⋅⋅ ， 即：1134522CD ⋅⋅=⋅⋅， 解得：CD=125，故答案为：125. 【点睛】 本题考查求解三角形的高，解题关键是利用三角形的面积进行转化，在同一个三角形中，一个底乘对应高等于另一个底乘对应高. 12．1425+或825+ 【分析】分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，在直角三角形ABD 与直角三角形ACD 中，利用勾股定理求出BD 与DC 的长，由BD+DC 求出BC 的长，即可求出周长；如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，同理由BD -CD 求出BC 的长，即可求出周长．【详解】解：分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：BD=22226425AB AD -=-=， 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：CD=2222543AC AD -=-=，∴BC=253+， ∴△ABC 的周长为：652531425+++=+；如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：22226425AB AD -=-= 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：2222543AC AD --=，∴BC=253-， ∴△ABC 的周长为：65253825++=+综合上述，△ABC 的周长为：145+85+故答案为：145+825+【点睛】此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 13．【分析】根据面积的差得出a+b 的值，再利用a-b=7，解得a ，b 的值代入即可．【详解】∵AB ＝13，EF ＝7，∴大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，∴四个直角三角形面积和为169﹣49＝120，设AE 为a ，DE 为b ，即141202ab ⨯=， ∴2ab ＝120，a 2+b 2＝169，∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝169+120＝289，∴a +b ＝17，∵a ﹣b ＝7，解得：a ＝12，b ＝5，∴AE ＝12，DE ＝5，∴AH ＝12﹣7＝5．故答案为：5．【点睛】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab 的值． 14．322或11或5或1095 【分析】分别就E ，F 在AC,BC 上和延长线上，分别画出图形，过D 作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G ，H ，通过构造全等三角形和运用勾股定理作答即可.【详解】解：①过D 作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G ，H∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵D 是AB 的中点，∴DG=12BC 同理：DH=12AC 又∵BC=AC∴DG=DH在Rt△DGE 和Rt△DHF 中DG=DH,DE=DF∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL ）∴GE=HF又∵DG=DH,DC=DC∴△GDC≌△FHC∴CG=HC∴CE=GC -GE=CH-HF=CF=AB-BF=3 ∴EF=223332+=②过D 作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G ，H∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵D 是AB 的中点，∴DG=12BC 同理：DH=12AC 又∵BC=AC∴DG=DH在Rt△DGE 和Rt△DHF 中DG=DH,DE=DF ∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL ）∴GE=HF又∵DG=DH,DC=DC∴△GDC≌△FHC∴CG=HC∴CE=CF=AC+AE=AB+BF=7+4=11221111112+=③如图，以点D 为圆心，以DF 长为半径画圆交AC 边分别为E 、E '，过点D 作DH⊥AC 于点H ，可知DF DE DE '==，可证△EHD≌△E HD '，CE D CFD '≌，△DHC 为等腰直角三角形，∴∠1+∠2=45°∴∠EDF=2（∠1+∠2）=90°∴△EDF 为等腰直角三角形可证AED CFD △△≌∴AE=CF=3,CE=BF=4 ∴2222435EF CE CF =+=+=④有第③知，EF=5，且△EDF 为等腰直角三角形，∴ED=DF=522,可证△E CF E DE ''∆∽,2223y x +=525222x =+综上可得：25x =∴2222E F DE DF DE '''''=+=1095E F ''= 【点睛】本题考查了全等三角形和勾股定理方面的知识，做出辅助线、运用数形结合思想是解答本题的关键.15．10【分析】先根据勾股定理得出a 2+b 2＝c 2，利用完全平方公式得到（a +b ）2﹣2ab ＝c 2，再将a +b ＝35，c＝5代入即可求出ab的值．【详解】解：∵在Rt△ABC中，直角边的长分别为a，b，斜边长c，∴a2+b2＝c2，∴（a+b）2﹣2ab＝c2，∵a+b＝35，c＝5，∴（35）2﹣2ab＝52，∴ab＝10．故答案为10．【点睛】本题考查勾股定理以及完全平方公式，灵活运用完全平方公式是解题关键.16．35 5【详解】四边形DEFA是正方形，面积是4；△ABF，△ACD的面积相等，且都是×1×2=1．△BCE的面积是：12×1×1=12．则△ABC的面积是：4﹣1﹣1﹣12=32．在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC=222+1=5．设AC边上的高线长是x．则12AC•x=5x=32，解得：x=355．355.17．12【解析】如图，过点N作NG⊥BC于点G，连接CN，根据轴对称的性质有：MA=MC，NA=NC，∠AMN=∠CMN.因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，所以∠ANM=∠CMN.所以∠AMN=∠ANM，所以AM=AN.所以AM=AN=CM=CN.因为△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，所以DN:CM=1:3.设DN=x ，则CG=x ，AM=AN=CM=CN=3x ，由勾股定理可得()22322x x x -=， 所以MN 2=()()2222312x x x x +-=，BM 2=()()22232x x x -=.所以222212MN x BM x==12. 枚本题应填12.点睛：矩形中的折叠问题，其本质是轴对称问题，根据轴对称的性质，找到对应的线段和角，也就找到了相等的线段和角，矩形中的折叠一般会伴随着等腰三角形(也就是基本图形“平行线+角平分线→等腰三角形”)，所以常常会结合等腰三角形，勾股定理来列方程求解. 18．22-【分析】根据已知条件，添加辅助线可得△EAC ≌△DAM （SAS ），进而得出当MD ⊥BC 时，CE 的值最小，转化成求DM 的最小值，通过已知值计算即可．【详解】解：如图所示，在AB 上取AM=AC=2，∵90ACB ∠=，2AC BC ==，∴∠CAB=45°，又∵45EAD ∠=，∴∠EAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD=45°，∴∠EAC =∠DAB ，∴在△EAC 与△DAB 中AE=AD ，∠EAF =∠DAB ，AC =AM ，∴△EAC ≌△DAM （SAS ）∴CE=MD ，∴当MD ⊥BC 时，CE 的值最小，∵AC=BC=2，由勾股定理可得2222AB AC BC =+=，∴222=-BM ，∵∠B=45°， ∴△BDM 为等腰直角三角形，∴DM=BD ，由勾股定理可得222+BD DM =BM∴DM=BD=22-∴CE=DM=22-故答案为：22-【点睛】本题考查了动点问题及全等三角形的构造，解题的关键是作出辅助线，得出全等三角形，找到CE 最小时的状态，化动为静．19．17，144，145【分析】由题意观察题干这些勾股数，根据所给的勾股数找出三个数之间的关系即可．【详解】解：因为这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过，所以从3、5、7…依次推出第8组的“勾”为17，继续观察可知弦-股=1，利用勾股定理假设股为m ，则弦为m+1，所以有22217(1)m m +=+，解得144m =，1145m +=，即第8组勾股数为17，144，145.故答案为17，144，145.【点睛】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及勾股定理进行分析即可．20．3315【分析】根据直角三角形的性质求出BC ，勾股定理求出AB ，根据直角三角形的性质列式计算即可．【详解】解：如图∵∠B=90°，∠A=30°，∴BC=12AC=12×8=4， 由勾股定理得，22228443AC BC -=-=43333AD ∴==当点P 在AC 上时，∠A=30°，AP=2PD ，∴∠ADP=90°，则AD 2+PD 2=AP 2，即（32=（2PD ）2-PD 2，解得，PD=3，当点P 在AB 上时，AP=2PD ，3∴3当点P 在BC 上时，AP=2PD ，设PD=x ，则AP=2x ，由勾股定理得，BP 2=PD 2-BD 2=x 2-3，()(222233x x ∴-=-解得，15 故答案为：3315【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．三、解答题21．(1) 出发10s 后，△BMN 为等边三角形；(2)出发6s 或15s 后，△BMN 为直角三角形．【分析】（1）设时间为x ，表示出AM=x 、BN=2x 、BM=30-x ，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；（2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=12BM 列方程求解可得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=12BN 列方程求解可得． 【详解】解(1)设经过x秒，△BMN为等边三角形，则AM＝x，BN＝2x，∴BM＝AB－AM＝30－x，根据题意得30－x＝2x，解得x＝10，答：经过10秒，△BMN为等边三角形；(2)经过x秒，△BMN是直角三角形，①当∠BNM＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BMN＝30°，∴BN＝12BM，即2x＝12(30－x)，解得x＝6；②当∠BMN＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BNM＝30°，∴BM＝12BN，即30－x＝12×2x，解得x＝15，答：经过6秒或15秒，△BMN是直角三角形．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.22．（1）BC−AC＝AD；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14【分析】（1）在CB上截取CE＝CA，连接DE，证△ACD≌△ECD得DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，据此∠CED＝2∠CBA，结合∠CED＝∠CBA＋∠BDE得出∠CBA＝∠BDE，即可得DE＝BE，进而得出答案；（2）①在AB上截取AM＝AD，连接CM，先证△ADC≌△AMC，得到∠D＝∠AMC，CD＝CM，结合CD＝BC知CM＝CB，据此得∠B＝∠CMB，根据∠CMB＋∠CMA＝180°可得；②设BN＝a，过点C作CN⊥AB于点N，由CB＝CM知BN＝MN＝a，CN2＝BC2−BN2＝AC2−AN2，可得关于a的方程，解之可得答案．【详解】解：（1）BC−AC＝AD．理由如下：如图（a），在CB上截取CE＝CA，连接DE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD，又CD＝CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴DE ＝DA ，∠A ＝∠CED ＝60°，∴∠CED ＝2∠CBA ，∵∠CED ＝∠CBA ＋∠BDE ，∴∠CBA ＝∠BDE ，∴DE ＝BE ，∴AD ＝BE ，∵BE ＝BC−CE ＝BC−AC ，∴BC−AC ＝AD ．（2）①如图（b ），在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠MAC ，∵AC ＝AC ，∴△ADC ≌△AMC （SAS ），∴∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ＝12，∵CD ＝BC ＝12，∴CM ＝CB ，∴∠B ＝∠CMB ，∵∠CMB ＋∠CMA ＝180°，∴∠B ＋∠D ＝180°；②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，∵CB ＝CM ＝12，∴BN ＝MN ＝a ，在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，在Rt △ACN 中，2222216(8)CN AC AN a --+＝＝， 则22221216(8)a a --+＝， 解得：a ＝3，即BN ＝MN ＝3，则AB ＝8+3+3=14，∴AB=14．【点睛】本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．23．（1）a ＝8，b ＝15，c ＝17；（2）能，60【分析】（1）根据算术平方根，绝对值，平方的非负性即可求出a 、b 、c 的值；（2）根据勾股定理的逆定理即可求出此三角形是直角三角形，由此得到面积和周长【详解】解：（1）∵a ，b ，c 88a a --|c ﹣17|+b 2﹣30b +225， 2881||7(15)a a c b --+-＝﹣，∴a ﹣8＝0，b ﹣15＝0，c ﹣17＝0，∴a ＝8，b ＝15，c ＝17；（2）能．∵由（1）知a ＝8，b ＝15，c ＝17，∴82+152＝172．∴a 2+c 2＝b 2，∴此三角形是直角三角形，∴三角形的周长＝8+15+17＝40； 三角形的面积＝12×8×15＝60． 【点睛】此题考查算术平方根，绝对值，平方的非负性，勾股定理的逆定理判断三角形的形状.24．（1）3；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．【详解】解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，5AD =∴222AC AD CD =-=，∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°， ∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ，∴222GH BG BH BG =+=，∴2EG GH EH BG CG =+=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．25．（1）详见解析；（2）①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根，理由详见解析；②512m n = 【分析】（1）根据题意，利用尺规作图画出图形即可；（2）①根据勾股定理求出AD ，然后把AD 的值代入方程，即可得到答案；②先得到出边长的关系，然后根据勾股定理，列出方程，解方程后得到答案.【详解】（1）解：作图，如图所示：（2）解：①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根.理由如下：依题意得， BD BC m ==，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒222BC AC AB ∴=+AB =AD AB BD m ∴=-=222AD m AD n ∴+-)()22222m m m n m n =++-22222222m n m m n =+-+-0=；∴线段AD 的长度是方程22 20x mx n +-=的一个根②依题意得：,,AD AE BD BC AB AD BD ==== 2AD EC =2233AD AE AC n ∴=== 在RT ABC 中，90ACB ∠=222BC AC AB ∴+=22223m n n m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭22224493m n n mn m +=++ 25493n mn = 512m n ∴= 【点睛】本题考查的是基本作图，勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．26．（1）见解析；（2）证明见解析；（3）25.【分析】（1）直接叙述勾股定理的内容，并用字母表明三边关系；（2）利用大正方形面积、小正方形面积和4个直角三角形的面积和之间的关系列式整理即可证明；（3）将原式利用完全平方公式展开，由勾股定理的内容可得出()2a b +为大正方形面积和4个直角三角形的面积和，根据已知条件即可求得.【详解】解：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．在直角三角形中，两条直角边分别为 a 、b ，斜边为 c ，a 2+b 2= c 2．（2）∵ S 大正方形=c 2，S 小正方形=(b-a)2，4 S Rt △=4×12ab=2ab ， ∴ c 2=2ab+(b-a)2=2ab+b 2-2ab+a 2=a 2+b 2，即 a 2+b 2= c 2．（3）∵ 4 S Rt △= S 大正方形- S 小正方形=13-1=12,∴ 2ab=12.∴ (a+b)2= a 2+b 2+2ab=c 2+2ab=13+12=25.【点睛】 本题考查勾股定理的内容及勾股定理的几何验证，利用等面积法证明勾股定理及运用勾股定理是解答此题的关键.27．（1）见解析；（2）26；（3+ 【分析】（1）由∠ACB=∠DCE 可得出∠ACD=∠BCE ，再利用SAS 判定△ACD ≌△BCE ，即可得到AD=BE ；（2）由等腰直角三角形的性质可得CM=12DE ，同（1）可证△ACD ≌△BCE ，得到AD=BE ，然后可求AE 的长，再判断∠AEB=90°，即可用勾股定理求出AB 的长；（3）由等腰三角形的性质易得∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，根据30度所对的直角边是斜边的一半可求出，然后利用三角形外角性质推出∠BEN=60°，在Rt △BEN 中即可求出BE ，由于BE=AD ，所以利用AE=AD+DE 即可得出答案.【详解】证明：（1）∵∠ACB=∠DCE∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE在△ACD 和△BCE 中，AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACD ≌△BCE （SAS ）∴AD=BE（2）∵∠DCE=90°，CD=CE ，∴△DCE 为等腰直角三角形，∵CM ⊥DE ，∴CM 平分DE ，即M 为DE 的中点∴CM=12DE ， ∴DE=2CM=14，∵∠ACB=∠DCE∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE在△ACD 和△BCE 中，AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACD ≌△BCE （SAS ）∴AD=BE=10，∠CAD=∠CBE∴AE=AD+DE=24如图，设AE ，BC 交于点H ，在△ACH 和△BEH 中，∠CAH+∠ACH=∠EBH+∠BEH ，而∠CAH=∠EBH ，∴∠BEH=∠ACH=90°，∴△ABE 为直角三角形 由勾股定理得2222AB=AE BE =2410=26++（3）由（1）（2）可得△ACD ≌△BCE ，∴∠DAC=∠EBC ，∵△ACB ，△DCE 都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=120°∴∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，∵CM ⊥DE ，∴∠CMD=90°，DM=EM ，∴CD=CE=2CM ，3CM∴33∵∠BEN=∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠EBC+∠CBA=∠BAE+∠DAC+∠CBA=30°+30°=60°， ∴∠NBE=30°，∴BE=2EN ，3EN∵BN=a∴23=AD ∴AE=AD+DE=3233+a b 【点睛】本题考查全等三角形的旋转模型，掌握此模型的特点得到全等三角形是关键，其中还需要用到等腰三角形三线合一与30度所对的直角边的性质，熟练掌握这些基本知识点是关键.28．（1）13，5；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）当P 的坐标为（1304，）时，PD+PF 的长度最短，最短长度为73.【解析】【分析】 （1）根据阅读材料中A 和B 的坐标，利用两点间的距离公式即可得出答案；由于M 、N 在平行于y 轴的直线上，根据M 和N 的纵坐标利用公式1|y -2|y 即可求出MN 的距离; （2）由三个顶点的坐标分别求出DE ，DF ，EF 的长，即可判定此三角形的形状；（3）作F 关于x 轴的对称点F'，连接DF'，与x 轴交于点P ，此时PD PF +最短，最短距离为DF'，P 的坐标即为直线DF'与x 轴的交点.【详解】解：（1）∵()2, 4A 、()3, 8B --∴()()22AB 234813=+++=故A 、B 两点间的距离为：13.∵M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1∴()MN 415=--=故M 、N 两点的距离为5.（2）∵()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F∴()()22DE 13635=++-= ()()22DF 14625=-+-= ()()22EF 343252=--+-=∴DE=DF ，222DE DF EF +=∴△DEF 为等腰直角三角形（3）作F 关于x 轴的对称点F'，连接DF'，与x 轴交于点P ，此时DP+PF 最短设直线DF'的解析式为y=kx+b将D （1,6），F'（4，-2）代入得：。
勾股定理综合应用(讲义及答案)
勾股定理综合应用（讲义）课前预习1.请填写“勾股定理”或“勾股定理逆定理”：条件是直角三角形时，考虑______________________；要证明三角形是直角三角形，考虑______________________．2.等面积法如图，Rt△ABC的面积可以表示为_____________，还可以表示为_______________，根据面积的不同表达形式，可以得到a，b，c，h之间的数量关系为___________________________．知识点睛1.利用勾股定理解决实际问题的处理思路：（1）理解题意，把实际问题转化为数学问题；（2）找出相应的直角三角形，并找出其______、______；（3）根据已知及所求，利用___________进行计算．2.等面积法：当几何图形中出现多个高（垂直、距离）时，可以考虑利用____________解决问题，即利用图形面积的不同表达方式列方程．精讲精练1.一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度是___________．（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺）2.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，“引葭（jiā）赴岸”：今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．题目大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度是_______尺，这根芦苇的长度是_______尺．3.如图，公路上A，B两站相距5km，在公路附近有C，D两所学校，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知AD=2km，BC=1km，现要在公路边建一个青少年活动中心E，使C，D 两所学校到E的距离相等，则青少年活动中心E应建在距离A多远处？4.如图所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光．一个身高1.5m的学生从远方走过来，走到离门_______m处时，灯刚好发光．（门的厚度忽略不计）5.由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=4米，BC=13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．6.如图，铁路MN和铁路PQ在P点处交汇，点A处是某中学，AP=160米，点A到铁路MN的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响．（1）火车在铁路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时，那么学校受到影响的时间是多久？7.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边上的高，AC=5cm，BC=12cm，则CD=_________．8.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，M为BC边的中点，若MN⊥AC于点N，则MN=__________．第8题图第9题图9.如图，每个小正方形边长为1，则△ABC中边AC上的高BD的长为__________．10.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AB=10cm，AC+BC=14cm，则△ABC的面积为_________，CD的长为__________．11.若直角三角形两条直角边的长分别为7和24，在这个三角形内有一点P到各边的距离都相等，则这个距离是__________．12.如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，则这块地的面积为___________．13.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，求四边形ABCD的面积．14.如图，广场上雕塑底座正面ABCD是一个四边形且边AB=40cm，小明想要检测雕塑底座的边AD是否垂直于底边AB，但他随身只带有一个长度为20cm的刻度尺和计算工具，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？请你帮小明设计一个可行的方案．15.给你一根长绳子，没有其他工具，你能方便地得到一个直角吗？16.借助勾股定理，利用升旗的绳子、卷尺，请你设计一个方案，测算出旗杆的高度．【参考答案】课前预习1.勾股定理，勾股定理逆定理2.12ab，12ch，ab ch知识点睛1.（2）直角边、斜边（3）勾股定理2.面积相等精讲精练1. 4.55尺2.12，133.青少年活动中心E应建在距离A2.2km处4.45.这棵树原来的高度为19米6.（1）会受到影响，理由略（2）学校受到影响的时间是40分钟7.6013cm8.1259.8510.24cm2,4.8cm11.312.216m213.234cm214.有办法，方案略15.能，方法略16.略。
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勾股定理及其逆定理（讲义）课前预习
1.请你回顾直角三角形的性质：
边：直角三角形斜边长任意一条直角边长；
角：直角三角形两锐角；
2.请同学们计算并背诵下列数的平方：
112= ，122= ，132= ，142= ，152= ，162= ，172= ，182= ，192= ．
3.想一想：如图是由边长为1 的正方形组成的网格，直角三角
形的顶点在网格的格点上．分别以直角三角形的三边为边，向外作正方形，请你分别求出这三个正方形的面积S A，S B，S C ，并思考S A，S B，S C 之间的数量关系．
C
A
B
知识点睛
1.勾股定理：
如果用a，b 和c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么a2+b2=c2．
2.勾股定理的验证：
3.勾股定理逆定理：
如果，那么这个三角形是．
如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
4.勾股数：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数．常见勾股
数有；；；
精讲精练
1.一个直角三角形两直角边长分别为 3 和4，下列说法正确的是
A．斜边长为25 B．三角形的周长为25
C．斜边长为5D．三角形的面积为20背记 11—19 的平方：
112=121，122=144，132=169，142=196，152=225，162=256，172=289，182=324，192=361．
外弦图
内弦图
勾股定理：
角（Rt△）→边（a2+b2=c2）勾股定理逆定理：
边（a2+b2=c2）→角（Rt△）
2.如图，在 Rt△ABC 和Rt△ACF 中，BC 长为 3cm，AB 长为
4cm，AF 长为12cm，则正方形C DEF 的面积为．
F E
S3 A
D
第2题图
3.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°AC 为边
向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S2=4，S3=6，则S1= ．
4.如图，已知R t△ABC 的两直角边长分别为6和8，分别以其三
边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．5.等面积法是几何中一种常见的证明方法，可以直观地推导或验
证公式，俗称“无字证明”．例如，著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较长的直角边长都为a，较短的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，
也可以表示为4 ⨯1
ab + (a -b)2 ．由此推导出重要的勾股定2
理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，那
么a2+b2=c2．图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证图1
法”，请你利用图2推导勾股定理． C
D a
b
A a E b B
图2
6.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c 的面积分别为
5 和11，则b的面积为．
E
D
l
C B
第6题图第7题图
7.如图，在R t△ABC 中，∠ACB=90°，以斜边A B 为边向外作正
方形ABDE，已知正方形，BC 的长为8，
则点E到直线B C
8.如图，在△ABC 中，若AB=13cm，BD=5cm，CD=9cm
，求线段A D，AC 的长． A
B D
C 9.
打结处 1
10.下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（）
A．0.3，0.4，0.5 B．7，12，15
C．11，60，61 D．9，40，41
1.如图，在单位正方形组成的网格图中有AB，CD，EF，GH
四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）
A．CD，EF，GH B ．AB，EF，GH C ．AB，CD，GH D ．AB，CD，EF C E B
H F D
G
12.若三角形的三边长分别是2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1（n 为正
整数），则三角形的最大内角等于度．
13.三边长分别是15，36，39 的三角形是三角形．
14.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆
成两个直角三角形，下列图形中正确的是（）
7
25 24 20
20
25 24
20 24
7 20
7 15
15
7 15 25
A．B．C．D．
15.一个零件的形状如图 1 所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC
都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图 2 所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．
C C
D D
4
A B A 3 B
图1 图2
15
【参考答案】
课前预习
1. 大于，互余
2. 121，144，169，196，225，256，289，324，361
3. S A=16，S B=9，S C=25
S A+S B=S C
知识点睛
1.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
2.略
3.三角形两边的平方和等于第三边的平方，直角三角形．
4. 3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41；
11，60，61．
精讲精练
1. C
2. 169 cm2
3. 2
4. 24
5. 略
6. 16
7. 14
8. AD=12 cm，AC=15 cm
9. 12 米
10.B
11.B
12. 90
13.直角
14.C
15.符合要求，理由略。