高中数学论文：用数形结合解零点问题沪教版
高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解
高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。
（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =−,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。
（详见方法技巧） 二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫⎪⎝⎭中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用 （1）函数的零点： 工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
数形结合巧运用,零点分布妙化解--浅谈对二次函数零点分布问题解题教学的研究
解题探索数形结合巧运用，零点分布妙化解一浅谈对二次函数零点分布问题解题教学的研究张程燕(山东省济南中学，250001)一元二次函数是中学数学中最基本、最重要的 函数之一，也是高考考查的重要内容之一，是高考的 高频考点.高中数学教学中一元二次函数的零点分 布问题即初中数学教学中一元二次方程根的分布问 题，是二次函数部分的重点知识与内容，既是学生学 习的重点，也是学习的难点，因此对二次函数零点分 布问题的解题教学研究十分必要.目前，高中生对二 次函数零点分布问题的解题方法偏重于借助对二次 方程根的判别式和韦达定理的运用，能够解决的零 点分布问题有限且易出错，解题方法尚不够系统和 完善，针对这一学情，结合高中所学的零点存在定理 以及数形结合这一重要的数学思想方法，笔者将系 统地分析一元二次函数的零点分布问题，力求将解 题方法系统化、模式化、巧妙化，从而提高数学解题 教学的效率和质量，优化学生的思维品质，发展学生 的数学核心素养.1熟悉知识背景，理解方法本质学生对同一类数学题的解答与掌握，需要的不 仅仅是理解并掌握这类题目的解题方法与技巧，更 需要知晓题目所涉及的知识背景.从知识背景出发， 联系解题所需要的数学知识和方法，将知识与方法 有机融合在一起，构建起数学解题模型，既加深了学 生对数学知识的熟悉程度，也有助于学生理解数学 方法的本质，从而达到学以致用、举一反三的学习效 果，这也是数学解题教学的期望所在.本文所涉及的 数学知识与方法如下所述：1.函数零点存在定理:如果函数y =/(%)在区 间[a ，]上的图像是一^条连续不断的曲线，且有/ (a )/() <0,那么函数y =/()在区间（a ，)内至少 有一个零点，即存在c e (a ，)，使得/(C) = 0，这个c 也就是方程/() =0的解[1].特别地，对于一次函数y = h +&(�)和二次 函数y = a / +心+c (a #0)而言，若/(幻在区间（a ， 6)上满足零点存在定理，则在（a ，)上有且仅有一个零点.2.数形结合的思想方法——从四个方面将二次函数图像与代数不等式之间建立联系:①开口方向， ②对称轴，③判别式4，④特殊点函数值的符号.2探究典型例题，把握解题方法数学解题教学是数学教师根据教学需要选择合 适的试题，以学生的学情为起点，以自身的解题经 历、经验和研究为基础，通过师生间对话交互，促进 学生深度思考，优化学生思维品质的教学活动[2].本文选取四道典型例题，从思路分析、解答过程和 方法指导三个方面对二次函数零点分布问题进行解题 教学探究，全方位、多角度的对例题进行剖析，帮助学 生理解问题本质、建立解题模型以及掌握解题方法.例1如果方程尤2 + (^i -1)) +爪2 -2=0的两个 实根一个小于1，另一个大于1，求实数m 的取值范围.思路分析：（1)方程尤2 + (爪-1)尤+爪2-2=0根的分布问题0函数/(%) =%2 + (m - 1)% +m 2 -2的零点分布问题，完成方程的根与函数零点的转化；(2) 函数/() =% + (m -1)%+m 2 - 2 开口上，其与％轴的交点一个在1的左侧、一个在1的右 侧，易画出草图，熟悉题设，理清思路；(3)利用数形结合的思想方法，从四个方面二次函数图像与代数不等式之间建立联系：开口向 上是确定的;对称轴可以在1的左侧、右侧或者对称 轴为1;判别式4 = ( m - 1)2 - 4 ( m - 2 ) > 0;特殊 点函数值/(1) <0.解题过程1法一:数形结合由已知可列方程组:• 62•r 4 = (m -1)2 - A i m 1 - 2 ) >0, |/( 1) =1 + m — 1 + m 2 —2 <0.r 3m 2 + 2m -9 <0, m 2 + m - 2 <0.1 +2 槡 -1 +2 槡----;---< m <---------,33-2 < m < 1.%，^2满足0<% < 1<%2 <6,求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口向上，过定点（0,4)，其 与X 轴有两个交点％，2满足0<%<1<% <6,易 画出草图，熟悉题设，理清思路；(2)利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系.解题过程：-2 < m < 1. m e ( - ，1）方法指导：因为/(X )开口向上，所以X —± ^ 时，/(X )— + (即/( -) >0，/( + ) >0),再有/(1) <0,则在区间（-^ ,1)和（1，+1)上都满足 零点存在定理，所以在两个区间都各有一个零点，从而满足题意.因此，判别式4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0可省略不解，解答过程十分简单.解题过程1 :法一（简化）：数形结合 由已知得:/(1) <0....1 + m - 1 + m 2 - 2 < 0. ... m 2 + m - 2 < 0..-2 < m < 1. .m e (-2,1).我们再来看一下第二种解题方法/昔助对二次 方程根的判别式和韦达定理的运用，来解决二次函 数零点分布问题.解题过程2:法二:韦达定理4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0,xt - 1 )(%2 - 1) <0.4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0，%1%2 _ (xt +X 2 ) +1 <0.4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0，一2) -（1 一 m ) +1 <0.由已知，得{.{.{3m 2 + 2m -9<0，m 2 + m - <01 +2 槡 -1+2 槡...|-^^<m < ^3^，-2 < m < 1..- 2 < m < 1. .m e (-2,1).方法指导:韦达定理使用的前提是一元二次方 程的两根存在，即判别式4^0.因此在利用判别式 和韦达定理解决二次函数的零点分布问题时，判别 式4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0不可以省略，必须 要求解.显然，在解决二次函数零点分布问题时，利 用韦达定理解题比利用数形结合解题计算量要大. 也就是说，数形结合方法解决零点分布问题更简易、 更巧妙、更通用.例2已知函数/(X ) =X 2 -2ax +4有两个零点由已知可列方程组：,/(0) =4>0， |/(1)=5-2a <0，...1/(6) =40 -12a >0.a >10a < —5 10 5 10.T <a <T .a E (T ’y ).方法指导：因为/(X )开口向上，且由图像可得， /(0) >0，(1) <0，(6) >0,则在区间(0,1)和(1,6)上 都满足零点存在定理，所以在区间(0，1 )和（1，）上各 有一个零点，满足题意“/(X )两个零点X i ，2且0 <X 1 < 1 <X 2 <6”，故而有关对称轴0 <a <6和判别式4 = (-2a )2 -4 x 1 x 4的不等式可省略.例3已知函数/(X ) =X 2 - 2aX +4有两个零点，且都大于1，求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口向上，过定点（0，4 )，且 两个零点X 1，2都大于1，易画出草图，熟悉题设，理 清思路；()利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系解题过程：• 63•由已知可列方程组：/(1) =5 -2a >0, a >1,轴=—2a2x 1=a > 1a <52,，4 =4a 2 - 16 >0. La >2 或 a <-2.2 < a <52a g5)•方法指导：因为/()开口向上，所以/( - 〇〇) > 0，/( + 〇〇 ) > 0，且由图像可得/(1) > 0，但仅仅凭借 特殊点函数值/(1) >0并不能满足零点存在定理， 这就需要其它三个方面加以限制，即开口方向、对称轴-冬>1和4>0.La例4函数/(*) =a *2 -*-1在区间（0,1)内恰有一个零点，求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口方向不确定，过定点 (0，_1)；()首项系数含参且在(0，1)内恰有一个零点， 满足条件的草图有很多，因此需要分类讨论，而分类 讨论的依据可以是首项系数的符号.亦或者，我们可 以利用前面的解题思路，按照端点函数值/(0)/( 1) 的符号来讨论；(3)利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系.解题过程:分类讨论法一:按首项系数分类讨论(1) 若a =0,则/() = -*-1为一次函数，令/(*) =0,得 *= -1.此时/(*)只有*=-1这一个零点，在区间（0, 1)内无零点.(2)若 a >0,则/(*) = a *2 - * - 1 为一兀二次函数，开口向上，过定点（0, -1).由已知可列方程组：f (0) = ―1:0, .a >2.[/(1) =a - 2 >0.(3)若 a <0,则/(*) =a *2-*-1 为一兀二次 函数，开口向下，过定点（0, -1).由已知可列方程组：a <0，1 a <0,0 <^<1， ,、2a 或{ A =1 + 4a >0，4=1 +4a =0, |/(1) =a 一 2>0./(1) =a -2<0a <0，、a <2a <0，或a >a >2••.均无解.综上所述：的取值范围为(2，+ ^ )•方法指导:与例1例2、例3 —样，需要画出函 数草图，从开口方向、对称轴、判别式A 和特殊点函 数值的符号四个方面建立起函数图像与不等式之间 的关系.但由于函数首项系数含参，具有不确定性， 因此依据首项系数的符号进行分类讨论，进而求解 参数的范围.需要说明的是:在情形（2)中，二次函 数/(*) =a *2 -* - 1区间（0,1)上满足零点存在定 理，则在(0，1 )上有且仅有一个零点.法二:按特殊点函数值符号分类讨论：()当/(0)/(1) <0,由/(0) = -1，得/(1) =a-2 >0,即 a >2 时；此时满足零点存在定理，二次函数/(*) =a *2 -* -1在区间(0，）内必恰有一-零点.(2)当/(0)/(1) >0,由/(0) = -1，得/(1) =a-2 <0,即 a <2 时；由图可列方程组得:• 64•a<0,0 <2a<1,A-4a+1=0,/(0) = -1 <0,/(1) =a-2<0.a<0,a无解.、a<2.()当/(0)/() =0,由/(0) = -1，得/(1) -a -2=0,即a=2 时；v/(x) =ax2-x-1=22-x-1= (2+1) (-1)，...令/(x) =(2x+1)(x- 1) =0.得 X1 =-+送（0，1)，2 =1 送（0，1).■■■/(x) =ax2-X-1在区间（0，1)内没有零点..a=2不符合题意，舍去.综上所述：的取值范围为(2，+ 1X1 ).方法指导：1)当/(0)/() <0时，满足函数零 点存在定理，则对于二次函数而言在区间（0，1)有 且只有一个零点，满足题意；⑵当/(0)/(1) >0时，函数/(X)端点值同号，不满足零点存在定理，所以结合图像，还得添加其它 三个条件:开口方向、对称轴、判别式A;(3)当/(0)/(1)=0时，可直接求得a=2，此时 函数解析式确定，直接求出零点的值，再判断零点是 否在区间（0，1)内即可.通过对比按首项系数分类讨论和按特殊点函数 值符号（即是否满足零点存在定理）分类讨论两种 方法，我们发现:虽同为利用数形结合与分类讨论的 数学思想方法解题，但显然方法二比方法一简单许 多，再次验证了函数零点存在定理在零点分布问题 求解中的优势所在.3研究零点分布，归纳解题结论通过对典型例题的深度探究，我们发现:二次函 数的零点分布问题，可以从开口方向、对称轴、判别 式和特殊点函数值符号四个方面找寻二次函数图像 与代数不等式之间的关系，从而建立起数学解题模型.我们还发现，当特殊点的函数值符号异号时，即在某区间上函数满足零点存在定理时，那就只需要 列特殊点函数值符号的不等式即可，其它三个不等 式不用列也无需解；当不满足零点存在定理时，就需 要其它三个方面的不等式加以限制，此时不能省略.因此，从四个方面将二次函数图像与代数不等式之 间建立联系，利用数形结合解决二次函数的零点分 布问题时，要注意四个方面研究的顺序性，优先考虑 特殊点函数值的符号情况，若满足零点存在定理，则可简化解题步骤，巧妙解决二次函数的零点分布问 题.此外，对于需要分类讨论的二次函数零点存在问 题，以/( a)/( 6 )的符号为切入点展开分类讨论，显然思路比较清晰，便于求解.数形结合巧运用，零点分布妙化解.利用一个简单的数学知识——零点存在定理和一个常用的数学 思想方法——数形结合，把二次函数零点分布问题 的解题方法系统化、直观化和形象化，在题目的诸多变化中找到了数学解题的“不变性”，达到“以不变 应万变”的解题教学效果，从而能够促进学生的深 度思考，提升学生的解题能力，优化学生的数学思维 品质，发展学生的数学核心素养.(说明：本文中出现的函数图像，都是在假设存 在的前提下依据题意画出的草图，并不代表此函数 图像一定存在.尤其在涉及分类讨论求参数范围时，满足条件的函数图像是否真实存在取决于解题的结果是否有解.）参考文献：[1] 中学数学课程教材研究开发中心.普通中教科书数学必修第一册（2019年A版）[M].北 京:人民教育出版社，2019.[2] 安学保.讲在学生需要处，讲在思维深处——例谈高中数学解题教学中的问题驱动[J].中学数学教学参考，2019,（22) :54 -57.[3] 江春莲，胡玲.基于APOS理论和R M I原的二次函数图象平移教学实验研究[J].数学教育学报，2020,29(6) ：2 -39.[4] 葛丽婷，旆梦媛，于国文.基于UbD理论单元教学设计——以平面解析几何为例[J].数学 教育学报，2020,29(5) :5 -31.• 65•。
(完整版)数形结合法在函数零点问题中的应用
数形结合法在函数零点问题中的应用高三数学组 2017年3月15日【教学目标】函数的零点一直是近年来全国各地高考卷上的热点，因其综合性强，让很多同学感到困难。
本文通过对高考试卷中有关零点问题的研究，来说明如何将数形结合思想运用于函数零点的问题中，使零点问题变得直观形象，从而有效地将问题解决。
【教学思想、方法】数形结合分类讨论转化与化归函数与方程【考向洞察】1、针对题型(1) 确定零点的大致范围，多出现在选择题中；(2) 确定零点的个数问题，多出现在选择题中；(3) 利用已知零点的个数求参数的范围，多出现在选择题、填空题、解答题中均有可能出现。
2、解决方案(1) 直接画出函数图像，观察图像得出结论。
(2) 不能直接画出函数图像的，可以等价地转化为两个函数图像的交点，通过判断交点的个数得出函数零点的个数或要求的参数范围。
【例题讲解】例1、设函数1()ln3f x x x=-，则函数()y f x=（ D ）A. 在区间1(,1)e，(1,)e内均有零点B. 在区间1(,1)e，(1,)e内均无零点C. 在区间1(,1)e内有零点，(1,)e内无零点D. 在区间1(,1)e内无零点，(1,)e内有零点解1：113'()33x f x x x -=-=，()f x 在1(,)e e 单调递减，11()103f e e=+>，1(1)03f =>，()103e f e =-<，由零点存在定理知，区间1(,1)e内无零点，(1,)e 内有零点。
解2：令()0f x =，得1ln 3x x =，作出函数13y x =和ln y x =的图象，如右图，显然在区间1(,1)e内无零点，(1,)e 内有零点。
例2、设1()2,0()222,0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪->⎩，则()y f x x =-的零点个数是__2____。
解：作出函数()y f x =和y x =的图象，如右图，由图可知直线y x =与函数()f x 的图象有两个交点，所以()y f x x =-有2个零点。
数形结合解决函数的零点问题
数形结合 解决函数的零点问题
复习旧知
结论：函数的零点就是方程f(x)=0的
实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标。
等价关系：
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
判断函数零点个数的 3 种方法
一、 f (x) k 型函数的零点问题
的个3 数.
由图像可知有8个交点.
y
2
1 y=
x1
因为两函数图像都
x)
1
y = sin(2∙π∙x)
关于点 (1, 0) 对称,
所以交点的横坐标
2
o
2
1
4
x 6之和为8 8. 10
2
二、f (x) g(x) 型函数的零点问题
经验总结： 1.分离成两个函数求交点的问题. 2.注意分离的两个函数应尽可能的 是熟悉、常见的函数.
二、f (x) g(x)型函数的零点问题
例3 (2018年新课标Ⅰ)
已知函数 ex , x 0,
f (x)
, g(x) f (x) x a.
ln x, x 0.
若 g(x) 存在2个零点,则 a 的取值范围(
A.[－1,0)
B.[0,＋∞)
C.[－1,＋∞)
D.[1,＋∞)
例 4 (2018·山西质量检测)
已知 f(x)＝2|lxn＋x1|， ，xx≤>00，，
则方程 f[f(x)]＝3 的
根的个数是( C )
A．3 B．4 C．5 D．6
经验总结： 1.先分离出内外层函数，分别作出内外 层函数的图像，借助图像来求解. 2.注意：遵循“由外到内”的顺序，一层 层拆解直到求出x的值。
浅谈高中数学零点问题
浅谈⾼中数学零点问题 函数的零点是考纲上要求的基本内容，也是⾼中新课程标准新增内容之⼀，是函数的重要性质。
接下来店铺为你整理了浅谈⾼中数学零点问题，⼀起来看看吧。
浅谈⾼中数学零点问题篇⼀ ⼀、求函数的零点 例1求函数y=x2-(x<0)2x-1(x≥0)的零点。
解：令x2-1=0(x<0)，解得x=1， 2x-1=0(x≥0)，解得x=。
所以原函数的零点为和-1和。
点评：求函数f(x)的零点，转化为⽅程f(x)=0，通过因式分解把⽅程转化为⼀(⼆)次⽅程求解。
⼆、判断函数零点个数 例2求f(x)=x-的零点个数。
解：函数的定义域(-∞，0)∪(0，+∞)。
令f(x)=0即x-=0， 解得：x=2或x=-2。
所以原函数有2个零点。
点评：转化为⽅程直接求出函数零点，注意函数的定义域。
三、根据函数零点反求参数 例3若⽅程ax-x-a=0有两个解,求a的取值范围。
析：⽅程ax-x-a=0转化为ax=x+a。
由题知，⽅程ax-x-a=0有两个不同的实数解，即函数y=ax与y=a+x 有两个不同的交点，如图所⽰。
(1)0此种情况不符合题意。
(2)a>1。
直线y=x+a 在y轴上的截距⼤于1时，函数y=ax与函数y=a+x 有两个不同的交点。
所以a<0与0 点评：采⽤分类讨论与⽤数形结合的思想。
四、⽤⼆分法近似求解零点 例4求函数f(x)=x3+x2-2x-2的⼀个正数零点(精确到0.1)。
解：(1)第⼀步确定零点所在的⼤致区间(a，b)，可利⽤函数性质，也可借助计算机，但尽量取端点为整数的区间，并尽量缩短区间长度，通常可确定⼀个长度为1的区间。
(2)列表如下： 零点所在区间中点函数值区间长度 (1，2)f(1.5) >0 1 (1，1.5) f(1.25) <00.5 (1.25,1.5) f(1.375) <00.25 (1.375,1.5) f(1.438)>0 0.125 (1.375,1.438) f(1.4065)>0 0.0625 可知区间(1.375，1.438)长度⼩于0.1，故可在(1.375，1.438)内取1.4065作为函数f(x)正数的零点的近似值。
数形结合思想在零点问题中的应用
＾（ｚ）一—３（Ｔｘ工－－。ｗ）一ｃｏｓｘ一４１ｎ（３一乞），ｚ Ｅ［吾，
ｌ十ｓｌｎｘ
７ｒ
么
丌］，再利用数形结合的思想来满足第一问的条 件，从而证到第二问．
解（Ｉ）当ｚ∈（ｏ，詈）时，／（ｚ）一一（１＋ ｓｉｎ：ｒ）（７ｒ＋２ｘ）一２ｘ－－鲁ｃｏ舛＜０，函数，（ｚ）在
（ｏ，号）上为减函数，又，（ｏ）一７ｒ一了８＞ｏ，厂（专）
２．７１８２８…是自然对数的底数）
围是（ｅ，譬）．
Ｖ
ｊ
（Ｉ）当志≤０时，求函数．厂（ｚ）的单调区间； （ＩＩ）若函数．厂（ｚ）在（ｏ，２）内存在两个极值 点，求是的取值范围．
点评当函数中由出现ｅｚ，ｌｎｘ等组合起来 的非初等函数时，常借助于导函数来研究，研究导 函数的零点，再利用数形结合的思想，作出函数或 导函数的图象，可以使问题所需要的条件明朗化．
另一方面，数形结合主要是指数与形建立的 一一对应关系，将抽象的数学语言与直观的图形
结合起来，通过对图形的处理，化难为易，化抽象
为直观．由于零点问题蕴含着丰富的数形结合思
想，所以在高考试卷中一直备受青睐．笔者通过
点评已知函数零点个数，可以直接作出函
数图像，也可以转化为两个函数图象的交点 个数． ２利用数形结合思想研究导函数的零点与 给定区间的关系
ｆｇ（Ｏ）＞Ｏ，
点评求函数在给定区间上的最值问题，如
果不是二次函数，我们可以利用导数作出函数的
图象，研究给定区间与导函数零点之间的关系． 本题作为四川卷的最后一题，将数形结合思想在
零点问题中的作用发挥得淋漓尽致． ３利用数形结合思想及导函数的零点作出 函数的图象
借助于函数的图象来研究函数的性质是一 种常用的数形结合方法．当函数不再是初等函数 时，我们常借助导函数的零点，再利用数形结合 的思想作出函数本身的图象，就可以使问题顺利
函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题(学生版)-高中数学
函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题是近年高考的热点及难点,特别是隐零点及零点赋值经常成为导数压轴的法宝.(一)确定函数零点个数1.研究函数零点的技巧用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数．2.判断函数零点个数的常用方法(1)直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题．(2)分离出参数,转化为a=g(x),根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是直线y=a与函数y=g(x)图象交点的个数问题．只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可．3. 处理函数y=f(x)与y=g(x)图像的交点问题的常用方法(1)数形结合,即分别作出两函数的图像,观察交点情况;(2)将函数交点问题转化为方程f(x)=g(x)根的个数问题,也通过构造函数y=f(x)-g(x),把交点个数问题转化为利用导数研究函数的单调性及极值,并作出草图,根据草图确定根的情况.4.找点时若函数有多项有时可以通过恒等变形或放缩进行并项，有时有界函数可以放缩成常数，构造函数时合理分离参数，避开分母为0的情况.1(2024届河南省湘豫名校联考高三下学期考前保温卷数)已知函数f x =ax2e xa≠0,a∈R．(1)求f x 的极大值；(2)若a=1，求g x =f x -cos x在区间-π2,2024π上的零点个数．(二)根据函数零点个数确定参数取值范围根据函数零点个数确定参数范围的两种方法1.直接法：根据零点个数求参数范围,通常先确定函数的单调性,根据单调性写出极值及相关端点值的范围,然后根据极值及端点值的正负建立不等式或不等式组求参数取值范围；2.分离参数法：首先分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围,分离参数法适用条件：(1)参数能够分类出来；(2)分离以后构造的新函数,性质比较容易确定.2(2024届天津市民族中学高三下学期5月模拟)已知函数f x =ln x+2(1)求曲线y=f x 在x=-1处的切线方程；(2)求证：e x≥x+1；(3)函数h x =f x -a x+2有且只有两个零点，求a的取值范围．(三)零点存在性赋值理论及应用1.确定零点是否存在或函数有几个零点,作为客观题常转化为图象交点问题,作为解答题一般不提倡利用图象求解,而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点, 赋值之所以“热”, 是因为它涉及到函数领域的方方面面：讨论函数零点的个数(包括零点的存在性, 唯一性)；求含参函数的极值或最值；证明一类超越不等式；求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等,零点赋值基本模式是已知f(a)的符号,探求赋值点m(假定m<a)使得f(m)与f(a)异号,则在(m,a)上存在零点．2.赋值点遴选要领：遴选赋值点须做到三个确保：确保参数能取到它的一切值；确保赋值点x0落在规定区间内；确保运算可行三个优先：(1)优先常数赋值点；(2)优先借助已有极值求赋值点；(3)优先简单运算.3.有时赋值点无法确定,可以先对解析式进行放缩,再根据不等式的解确定赋值点(见例2解法),放缩法的难度在于“度”的掌握,难度比较大.3(2024届山东省烟台招远市高考三模)已知函数f x =x+ae x a∈R.(1)讨论函数f x 的单调性；(2)当a=3时，若方程xf x -x +f x -xf x=m+1有三个不等的实根，求实数m的取值范围.(四)隐零点问题1.函数零点按是否可求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的,称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的,称之为“隐零点”.2.利用导数求函数的最值或单调区间,常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题,若导数零点存在,但无法求出,我们可以设其为x 0,再利用导函数的单调性确定x 0所在区间,最后根据fx 0 =0,研究f x 0 ,我们把这类问题称为隐零点问题. 注意若f (x )中含有参数a ,关系式f '(x 0)=0是关于x 0,a 的关系式,确定x 0的合适范围,往往和a 的范围有关.4(2024届四川省成都市实验外国语学校教育集团高三下学期联考)已知函数f x =e x ，g x =ln x .(1)若函数h x =ag x -1 -x +1x -1，a ∈R ，讨论函数h x 的单调性；(2)证明：142x -1 f 2x -f x >2g x -2.(参考数据：e 45≈2.23，e 12≈1.65)1(2024届山西省晋中市平遥县高考冲刺调研)已知函数f x =ln x+sin x+sin π10.(1)求函数f x 在区间1,e上的最小值；(2)判断函数f x 的零点个数，并证明.2(2024届江西省九江市高三三模)已知函数f x =e ax+e-ax(a∈R，且a≠0).(1)讨论f x 的单调性；(2)若方程f x =x+x-1有三个不同的实数解，求a的取值范围.3(2024届重庆市第一中学校高三下学期模拟预测)已知函数f(x)=a(ln x+1)+1x3(a>0)．(1)求证：1+x ln x>0；(2)若x1,x2是f(x)的两个相异零点，求证：x2-x1<1-1 a．4(2022高考全国卷乙理)已知函数f x =ln1+x+axe-x (1)当a=1时,求曲线y=f x 在点0,f0处的切线方程；(2)若f x在区间-1,0,0,+∞各恰有一个零点,求a取值范围．5(2024届辽宁省凤城市高三下学期考试)已知函数f x =xe x -1-ln x -x .(1)求函数f x 的最小值；(2)求证：e f x +x >e x -e -1 ln x -12.6(2024届湖南省长沙市第一中学高考最后一卷)已知函数f x =xe x-1,g x =ln x-mx,m∈R.(1)求f x 的最小值；(2)设函数h x =f x -g x ，讨论h x 零点的个数.7(2024届河南省信阳市高三下学期三模)已知函数f x =ax-ln1-x.a∈R(1)若f x ≥0恒成立，求a的值；(2)若f x 有两个不同的零点x1,x2，且x2-x1>e-1，求a的取值范围.8(2024届江西省吉安市六校协作体高三下学期5月联考)已知函数f x =e x-1-ax-a a∈R.(1)当a=2时，求曲线y=f x 在x=1处的切线方程；(2)若函数f x 有2个零点，求a的取值范围.9(2024届广东省茂名市高州市高三第一次模拟)设函数f x =e x+a sin x，x∈0,+∞.(1)当a=-1时，f x ≥bx+1在0,+∞上恒成立，求实数b的取值范围；(2)若a>0,f x 在0,+∞上存在零点，求实数a的取值范围.10(2024届河北省张家口市高三下学期第三次模)已知函数f(x)=ln x+5x-4．(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；-2．(2)证明：f(x)>-35x11(2024届上海市格致中学高三下学期三模)已知f x =e x-ax-1，a∈R，e是自然对数的底数.(1)当a=1时，求函数y=f x 的极值；(2)若关于x的方程f x +1=0有两个不等实根，求a的取值范围；(3)当a>0时，若满足f x1，求证：x1+x2<2ln a.=f x2x1<x212(2024届河南师范大学附属中学高三下学期最后一卷)函数f (x )=e λx -4sin x +λ-2的图象在x =0处的切线为y =ax -a -3,a ∈R .(1)求λ的值；(2)求f (x )在(0,+∞)上零点的个数.13(2024年天津高考数学真题)设函数f x =x ln x ．(1)求f x 图象上点1,f 1 处的切线方程；(2)若f x ≥a x -x 在x ∈0,+∞ 时恒成立，求a 的值；(3)若x 1,x 2∈0,1 ，证明f x 1 -f x 2 ≤x 1-x 2 12．14(2024届河北省高三学生全过程纵向评价六)已知函数f x =axe x，g x =sin x+cos x.(1)当a=1时，求f x 的极值；(2)当x∈0,π时，f x ≤g x 恒成立，求a的取值范围.15(2024届四川省绵阳南山中学2高三下学期高考仿真练)已知函数f x =a ln x-1x+x a∈R.(1)讨论f x 的零点个数；(2)若关于x的不等式f x ≤2x-2e在0,+∞上恒成立，求a的取值范围.16(2024届四川省成都石室中学高三下学期高考适应性考试)设f x =(a2-1)e x+sin x-3(1)当a=2，求函数f(x)的零点个数.(2)函数h(x)=f(x)-sin x-x2+2ax+2，若对任意x≥0，恒有h(x)>0，求实数a的取值范围17(2023届云南省保山市高三上学期期末质量监测)已知函数f x =2ax-sin x.(1)当a=1时，求曲线y=f x 在点0,f0处的切线方程；(2)当x>0时，f x ≥ax cos x恒成立，求实数a的取值范围.18(2024届广东省揭阳市高三上学期开学考试)已知函数f x =2ln x-12mx2+1m∈R.(1)当m=1时，证明：f x <1；(2)若关于x的不等式f x <m-2x恒成立，求整数m的最小值.19(2023届黑龙江省哈尔滨市高三月考)设函数f x =x3-3ax2+3b2x(1)若a=1，b=0，求曲线y=f x 在点处的切线方程；(2)若，不等式对任意恒成立，求整数k的最大值．20(2023届江苏省连云港市高三学情检测)已知函数.(1)判断函数f x 零点的个数，并证明；(2)证明：.。
(完整word)数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)汇总,推荐文档
数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
灵活运用数学思想，高效解答分段函数零点问题
故θ为钝角，所以cos θ<0，即a 2+(2a -1)2-(2a +1)22a (2a -1)=a (a -8)2a (2a -1)<0，解得12<a <8，所以实数a 的取值范围是12<a <8.剖析：上述解法中，求得的a >12，不能保证2a +1、a 、2a -1是三角形的三边长，即忽视了三角形的性质：三角形两边之和大于第三边，正解：因为2a +1,a ,2a -1是三角形的三边长，所以ìíî2a +1>0，a >0，2a -1>0，解得a >12，因为2a +1最大，所以要使2a +1、a 、2a -1能表示三角形的三边长，还需满足a +(2a -1)>2a +1，即a >2，设θ为最长边2a +1所对的角，则cos θ=a 2+(2a -1)2-(2a +1)22a (2a -1)=a (a -8)2a (2a -1)<0，解得12<a <8，所以a 的取值范围是2<a <8.三角形三边之间的关系主要有：（1）三角形两边之和大于第三边；(2）三角形两边之差小于第三边；（3）大角对大边，小角对小边；（4）等腰三角形的两腰相等；（5）正三角形的三边相等；（6）直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和.大家只有熟记并学会灵活运用这些关系，才能有效地规避错误.俗话说：谨慎能捕千秋蝉，小心驶得万年船.以上三个误区告诉我们：对于解三角形问题，切莫忽视三角形固有的性质，即三边之间的关系，三角之间的关系，边角之间的关系，以及边角与正余弦定理之间的关系.（作者单位：江苏省淮北中学）相较于常规函数，分段函数较为复杂，往往需用两个或两个以上的函数式表示.但在不同区间上，函数仍然具有单调性、对称性、奇偶性、周期性等.对于分段函数零点问题，通常可将问题转化为解方程（组）问题或求函数图象交点的问题，运用方程思想或数形结合思想，使问题快速获解.一、利用方程思想函数f ()x 的零点是函数与x 轴交点的横坐标，即方程f ()x ＝0的根.在解答分段函数零点问题时，可灵活运用方程思想，根据零点的定义构建方程（组），分别求得在各个区间段上方程的解，再综合所求得的结果，即可确定函数零点的个数或取值范围.例1.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2-4x ，求函数g (x )=f (x )-x +2的零点的个数.解：当x <0时，-x >0，所以f (-x )=(-x )2+4x ，因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以-f (x )=f (-x )=x 2+4x ，所以当x <0时，f (x )=-x 2-4x ，所以f (x )=ìíî-x 2-4x ,x <0,x 2-4x ,x ≥0,g (x )=ìíî-x 2-5x +2,x <0,x 2-5x +2,x ≥0,当x <0时，由-x 2-5x +2=0，得x，当x ≥0时，由x 2-5得x x ，所以g (x )=f (x )-x +2有3个零点.由于该分段函数是奇函数，所以可以根据函数的奇偶性，由当x ≥0时函数的解析式求得当x <0时函数的解析式；然后分别令函数式为0，建立方程，求得满足各个区间段的方程的根，这样运用方程思想便能快速获得问题的答案.例2.已知a >0，函数f (x )=ìíîx 2+2ax +a ,x ≤0,-x 2+2ax -2a ,x >0.探索探索与与研研究究45探索探索与与研研究究若g(x)=f(x)-ax恰有2个零点，求a的取值范围.解：g(x)=f(x)-ax=ìíîx2+ax+a,x≤0,-x2+ax-2a,x>0,若g(x)有两个小于0的零点，则方程x2+ax+a=0(x≤0)有2个不相等的实根，则ìíîïïa2-4a>0，-a2<0，a2-8a<0，解得4<a<8.若g(x)有两个大于0的零点，则方程-x2+ax-2a=0(x>0)有2个不相等的实根，则{a2-4a<0，a2-8a>0，此时不等式组无解.若g(x)有一正一负2个零点，则方程x2+ax+a=0(x≤0)和-x2+ax-2a=0（x>0）均只有1个解,则ìíîïïa2-4a=0，a2-8a=0，a>0，此时不等式组无解.综上所述，a的取值范围为（4，8）.对于分段函数零点的个数问题，往往需分别讨论每个区间段上函数零点的个数，即相应方程的解的个数.若分段函数式为二次式，则需讨论方程的判别式△大于0、等于0、小于0的情形，或讨论方程的根的分布情况.二、利用数形结合思想数形结合思想是解答函数问题的重要思想.对于较为复杂的分段函数零点问题，运用数形结合思想，往往能使解题思路更加明朗，大大降低解题的难度.在解题时，可根据函数的解析式在同一个坐标系中画出各个区间上函数的图象，寻找函数图象与x轴的交点，该交点即为函数的零点，通过研究函数的图象，就可以明确函数零点的个数及取值范围.以例1为例.解：由上述解法可知g(x)=ìíî-x2-5x+2,x<0,x2-5x+2,x≥0,画出函数y=g(x)的图象，如图1所示，由图1可知，函数y=g(x)有3个零点.值得注意的是，在画函数的图象时，一定要先明确各个函数式对应的x的取值范围，再画出相应的函数图象，才能得到正确的答案.以例2为例.解：令g(x)=f(x)-ax=0，可得f()x=ax.（1）当x≤0时，x2+2ax+a=ax，整理得x2=-a()x+1.显然x≠-1，则a=-x2x+1.令h(x)=-x2x+1，则h′(x)=-x2+2x(x+1)2.由h′(x)>0，得x∈(-2,-1)⋃(-1,0)，此时h(x)单调递增.由h′(x)<0，得x∈(-∞,-2)，此时h(x)单调递减.所以h(x)的极小值为h(-2)=4.（2）当x>0时，由f()x=ax，得-x2+2ax-2a=ax，整理得x2=a(x-2)，显然x≠2，则a=x2x-2.令t(x)=x2x-2，则t′(x)=x2-4x(x-2)2，由t′(x)>0，得x>4，此时t(x)单调递增.由t′(x)<0，得0<x<2或2<x<4，此时t(x)单调递减.即当x=4时，t(x)的最小值为t(4)=8，画出函数图象，如图2所示.由图可知，当a>0时，要使g(x)=f(x)-ax恰有2个零点，需使4<a<8.我们将问题转化为y=f(x)与y=ax的交点问题，通过研究两个函数的图象的位置关系，求得问题的答案.若函数f(x)可以拆分为两个函数g(x)与h(x)的和或差，则可在同一个坐标系中分别画出两个函数g(x)与h(x)的图象，则函数的零点就是函数g(x)与h(x)的交点.在利用函数的图象解题时，特别需要注意的是，定义域端点处的函数值是否能取到，决定着图象在端点处断开还是连接.总之，解答分段函数的零点问题，需从零点的概念入手，通过建立方程，运用方程思想求解，或通过画出图象，利用数形结合思想来求解.相比较而言，运用方程思想求解时的运算量较大，运用数形结合思想求解比较简洁、直观.（作者单位：甘肃省武威第十中学）图2图146。
专题四：函数零点的解题思路及技巧(学生版1)——王彦文
专题五：函数零点的解题思路及技巧【高考地位】函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查.【方法点评】一、零点或零点存在区间的确定使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否大于0；第二步 若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可.例1 函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【变式演练1】方程220x x +-=的解所在的区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【变式演练2】函数21()log f x x x=-的零点所在区间（ ） A ．1(0,)2 B ．1(,1)2 C ．(1,2) D ．(2,3) 二、零点的个数的确定方法1：定义法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 判断函数的单调性；第二步 根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其零点；第三步 得出结论.例2.函数x e x f x3)(+=的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【变式演练3】函数3()22x f x x =+-在区间（0,1）内的零点个数是（ ）A.0B.1C.2D.3【变式演练4】方程3sin x x =的根的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【变式演练5】已知函数()()ln x f x x x g x x e -==，．（1）记()()()F x f x g x =-，求证：函数()F x 在区间()1+∞，内有且仅有一个零点；方法2：数形结合法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 函数()g x 有零点问题转化为方程()()f x m x =有根的问题；第二步 在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像；第三步 观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数；第四步 由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出结论.例3. 方程31()|log |3x x =的解的个数是 （ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 【高考再现】8.【2015高考北京，理14】设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥ ①若1a =，则()f x 的最小值为 ；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是． 【反馈练习】1．【 2017年福建福州外国语学校高二上月考一数学试卷,】函数1()()22x f x x =-+的零点所在的一个区间是（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,32. 【2017届山西省名校高三9月联考数学试卷, 文4】函数3()3||1(1)f x x x x =-+≤的零点所在区间为（ ） A ．11(,)34--和1(,1)2B ．11(,)23--和11(,)32 C ．11(,)23--和1(,1)2 D ．11(,)34--和11(,)323. 【2017届】已知二次函数2()f x ax bx c =++满足22c a b +>且0c <，则含有()f x 的零点的一个区间是（ ） A ．(0,2) B ．(1,0)- C ．(0,1) D ．(2,0)-4. 【2017届甘肃肃南裕固族自治县一中高三10月月考数学试卷, 文12】已知函数()()()()21,01,0x x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],0-∞B ．[)0,1C ．(),1-∞D ．[)0,+∞。
高考数学：数形结合在函数问题
例 2 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2 －|x＋2|.若对任意的x∈[－1，2]，f(x＋a)>f(x)恒成立，则 实数a的取值范围是( D ) A．(0，2) B．(－∞，－6)∪(0，2) C．(－2，0) D．(－2，0)∪(6，＋∞)
【解析】f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x<0 时，f(x)＝2－|x＋2|.根据奇函数的图像关于 原点对称，作出 f(x)的图像，如图所示．
g′(x)＝(2a－1)e2x－2aex＋1＝(ex－1)·[(2a－1)ex－1]，
①若 a>12，令 g′(x)＝0，得极值点 x1＝0，x2＝ln 2a1－1.当 x2>x1＝0，即12<a<1 时，在(x2， ＋∞)上有 g′(x)>0，此时 g(x)在区间(x2，＋∞)上单调递增，并且在该区间上有 g(x)∈(g(x2)， ＋∞)，不合题意；
n－m
的最大值为3＋2
10 .
分考点讲解
与不等式有关的问题
利用函数f(x)和g(x)图像的上下位置关系，可直观地得到不等 式f(x)>g(x)或f(x)<g(x)的解集．
当f(x)的图像在g(x)的图像的上方时，自变量x的范围是不等式 f(x)>g(x)的解集；当f(x)的图像在g(x)的图像的下方时，自变量x 的范围是不等式f(x)<g(x)的解集．
C．[1，＋∞)
D.e12，1e
【解析】由 f(x)＝xln2， （xx≤ ＋01， ），x>0，得 f(x)－1＝xln2－ （1x＋，1x≤ ）0－，1，x>0. 在平面直角坐标系中，画出函数 y＝f(x)－1 与 y＝a(x＋1)的大致图像，如图所示．
嵌套函数的零点问题
嵌套函数作为复合函数的一种形式,在高考命题中经常出现㊂嵌套函数分同一个函数间的嵌套与不同函数间的嵌套,利用复合函数的形式加以合理嵌套,巧妙融入零点及其应用问题,成为高考中的一类比较综合的创新应用问题,倍受大家的关注㊂一㊁整体思维,分类讨论对于一些相对简单的嵌套函数的零点问题,可以将其内层函数加以整体化处理,借助整体思维进行合理转化,由内到外通过分类讨论,达到解决问题的目的㊂例1已知函数f (x )=x +1,x ɤ0,l o g 2x ,x >0,则函数y =f [f (x )]+1的所有零点构成的集合为㊂分析:根据题设条件,化嵌套函数的零点问题为对应的方程问题,利用分段函数中变量的取值范围,通过内层方程的求解,由内到外结合外层方程的求解来确定原方程的解,从而可得对应嵌套函数的零点㊂解:依题意可令y =f [f (x )]+1=0,所以f [f (x )]=-1㊂当x ɤ0时,由f (x )=x +1=-1得x =-2,由f (x )=-2得x +1=-2或l o g 2x =-2,解得x =-3或x =14;当x >0时,由f (x )=l o g 2x =-1得x =12,由f (x )=12得x +1=12或l o g 2x =12,解得x =-12或x =2㊂综上可得,函数y =f [f (x )]+1的所有零点构成的集合为-3,-12,14,2㊂涉及简单的嵌套函数的零点问题,可结合内外层函数之间的关系,通过内层函数的整体思维,先内层处理,由内及外,后外层求解,分层分析,分类讨论,结合内外层函数所对应的方程,达到解题的目的㊂整体思维解决嵌套函数的零点问题,是换元解套思维的简单形式㊂二㊁换元解套,数形结合对于一些相对复杂的嵌套函数的零点问题,可以将内层函数进行换元处理,通过换元,引入新参数,转化为新参数的外层函数问题,进而回归问题本源加以分析与处理㊂例2已知函数f (x )=x +2,x <0,x 2+12x ,x ȡ0,则函数y =f [f (x )]-1的零点个数为㊂分析:根据题设条件,化嵌套函数的零点问题为对应的方程问题,通过内层函数的换元处理,结合换元后方程的求解,以及分段函数的图像来确定对应曲线与直线的交点个数,即确定方程的解的个数,从而得到相应函数的零点个数㊂解:依题意可令y =f [f (x )]-1=0,可得f [f (x )]=1㊂令f (x )=t ,由f (t )=1,可得t +2=1或t 2+12t =1,解得t =-1或t =-1+174t =-1-174<0,舍去㊂ 图1作出分段函数y =f (x )的图像,如图1所示㊂结合函数y =f (x )的图像,可知方程f (x )=-1有1个解,方程f (x )=-1+174有2个解,所以函数y =f [f (x )]-1的零点个数为3㊂32知识结构与拓展高一数学 2023年11月换元解套是处理嵌套函数的零点问题的主要方法,解答的两个步骤是:换元解套,通过换元t=g(x),引入参数,则y=f(t),将一个嵌套函数的零点问题巧妙拆解为两个简单函数t=g(x)与y=f(t)的零点问题;解方程,利用方程f(t)=0,确定参数t的值,代入方程t=g(x)求出x的值㊂在利用换元解套思维解题时,可借助函数的图像进行数形结合,从而达到直观处理问题的目的㊂三㊁逆向思维,参数范围解决一些含参数的嵌套函数的零点问题,可以通过整体思维应用或换元解套思维突破,加以合理的逆向思维,结合图像的直观分析来确定参数的取值范围㊂例3已知函数f(x)=-x2-2x,函数g(x)=x+14x,x>0,x+1,xɤ0,若函数y=g[f(x)]-a有4个不同的零点,则实数a的取值范围是㊂分析:根据题设条件,化嵌套函数的零点问题为对应的方程问题,利用函数y=f(x)的值域,结合内层函数的换元处理,确定外层函数y=g(t)(t<1)与y=a的图像的交点个数,从而借助数形结合来确定对应参数的取值范围㊂解:由题意知函数y=g[f(x)]-a有4个不同的零点,所以方程g[f(x)]-a=0有4个不同的实数根㊂令t=f(x)=-x2-2x=-(x+1)2+1ɤ1,由方程g[f(x)]-a=0,可得方程g(t)=a(tɤ1)有4个不同的实数根㊂易知方程f(x)=t在tɪ(-ɕ,1)内有2个不同的实数根,即函数y=f(x)=-x2-2x与直线y=t(t<1)有2个不同的交点,所以方程g(t)-a=0有4个不同的实数根等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图像有2个不同的交点㊂易得g(1)=1+14=54㊂当x>0时,g(x)=x+14xȡ2x㊃14x=1,当且仅当x=14x,即x=12时,等号成立㊂图2画出函数y=g(t)(t<1)的图像,如图2所示㊂结合图像可知当1ɤa<54时,函数y=g(t)(t<1)与y=a有2个不同的交点,所以实数a的取值范围是1,54㊂解决含参数的嵌套函数的零点问题,可借助整体思维或换元解套思维来分析内外层函数的图像与性质,通过分离参数,结合对应的图像来确定参数的取值范围㊂利用数形结合分析参数的取值范围时,要注意图像的关键点(如区间的端点㊁函数的极值点等)的位置关系,从而加以合理的取舍㊂(多选题)已知x0是函数f(x)=e x+x-2的零点(其中e=2.71828 为自然对数的底数),下列说法正确的是()㊂A.x0ɪ(0,1)B.l n(2-x0)=x0C.x0-e-x0<0D.x2-x00>e提示:对于A,函数f(x)=e x+x-2为增函数,则f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以零点x0ɪ(0,1),A正确㊂对于B,x0是方程f(x)=e x+x-2的零点,则e x0+x0-2=0,变形可得e x0=2-x0,两边同时取对数得l n(2-x0)=x0,B正确㊂对于C,x0是函数f(x)=e x+x-2的零点,则e x0+x0-2=0,即x0=2-e x0,所以x0-e-x0=2-e x0-e-x0=2-(e x0+e-x0)㊂又x0ɪ(0,1),所以e x0+e-x0>2,所以x0-e-x0<0,C正确㊂对于D,x0ɪ(0,1),所以2-x0ɪ(1,2),所以x2-x00<1<e,D不正确㊂应选A B C㊂作者单位:甘肃省肃南裕固族自治县第一中学(责任编辑郭正华) 42知识结构与拓展高一数学2023年11月。
求解函数零点问题的常用方法
思路探寻函数的零点问题是函数中较为常见的一类问题.此类问题考查的范围较广、考查的方式灵活，对同学们的逻辑思维能力和应变能力都有较高的要求.下面，我就结合实例来谈一谈求解函数零点问题的常用方法.一、因式分解法因式分解是一种比较直接的方法.在求函数的零点时，我们根据函数的零点的定义将函数y =f (x )的零点问题转化为求方程f (x )=0的实数根的问题，通过因式分解求得方程f (x )=0的实数根，便能求出函数的零点.例1.求函数y =2x 3-3x 2+1的零点.解:2x 3-3x 2+1=(x -1)(2x 2-x -1)=(x -1)(x -1)(2x +1)=(x -1)2(2x +1)，令2x 3-3x 2+1=0，解得x =1或x =-12则函数y =2x 3-3x 2+1的零点是-12，1.因式分解法一般只适用于解答较为简单且易于分解因式的问题.二、判别式法对于二次函数零点问题，我们可以将其转化为一元二次方程问题，利用方程的判别式来判断方程的根的情况，进而判定函数的零点是否存在、求出零点的个数.例2.已知二次函数y =ax 2+bx +c ，若ac <0，则函数零点的个数是.解：设ax 2+bx +c =0，其判别式为Δ=b 2-4ac .因为ac <0，所以b 2-4ac >0，故方程ax 2+bx +c =0有2个不相等的实数根，即函数y =ax 2+bx +c 的零点个数是2.在解题时，我们要注意将函数的零点与方程的根对应起来.对于二次方程ax 2+bx +c =0，当Δ>0时，方程有2个不相等的实数根，函数y =ax 2+bx +c 有2个零点；当Δ=0时，方程只有一个实数根，函数有1个零点；当Δ<0时，方程没有实数根，函数没有零点.三、图象法图象法也称数形结合法.在处理函数零点问题时，我们可以首先画出函数的图象，然后借助函数的图象来分析函数的零点或交点.在画图时，一定要确保函数图象的准确性，不然就容易得出错误的答案.例3.求函数y =2x -x -1的零点.解：令2x -x -1=0，则2x =x +1，于是函数y =2x -x -1的零点即为函数f (x )=2x 与函数g (x )=x +1的交点的横坐标.由图可知，函数f (x )与g (x )有两个交点，且分别在（0,1），（1,2）内，经验证，函数y =2x -x -1的零点为0和1.运用图象法来求解函数的零点问题较为直接、便捷，能使问题变得更加直观，方便我们快速找到解题的思路.四、二分法若函数y =f (x )在区间[a ,b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0，可通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐渐逼近零点，进而求得零点近似值.这种方法叫做二分法.在求函数的零点所在区间或者近似值时，我们可以运用二分法来求解.例4.求函数f (x )=x 3+x 2-2x -2的一个正数零点的近似值（精确到0.1）.解：先初步判断零点x 0所在区间，因为f (1)<0，f (2)>0，所以f (1)∙f (2)<0，故函数f (x )在区间（1,2）上必有一个零点.取（1,2）的中点x 1=1.5，可得f (1.5)>0，则f (1)∙f (1.5)<0，所以x 0∈()1,1.5；取（1,1.5）的中点x 2=1.25，可得f (1.25)<0，则f (1.25)∙f (1.5)<0，所以x 0∈（1.25,1.5）；取（1.25,1.5）的中点x 3=1.375，可得f (1.375)<0，则f (1.375)∙f (1.5)<0，所以x 0∈（1.375,1.5）；取（1.375,1.5）的中点x 4=1.4375，可得f (1.4375)>0，则f (1.375)∙f (1.4375)<0，所以x 0∈（1.375,1.4375）.又因为|1.4375-1.375|=0.0625<0.1.所以函数f (x )=x 3+x 2-2x -2的一个正数零点的近似值为1.4375.值得注意的是，只有在区间端点值异号时，才能使用二分法.以上这四种方法都是求解函数零点问题的常用方法.在解题，同学们要首先将函数的零点问题转化为方程、函数图象问题，然后利用方程的根与判别式、结合函数的图象来解题.（作者单位：江苏省沭阳如东高级中学）方海元50Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
高中数学函数零点问题及解题策略探究
高中数学函数零点问题及解题策略探究郭文峰(福建省宁德市民族中学ꎬ福建宁德３５５０００)摘㊀要:函数是高中数学学习的重难点ꎬ函数零点问题则是函数的重点所在.本论文结合具体的例题ꎬ对不同类型的函数零点问题的解题方式进行了探究.关键词:高中数学ꎻ零点问题ꎻ策略探究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１０－００３６－０３收稿日期:２０２３－０１－０５作者简介:郭文峰(１９８３.２－)ꎬ男ꎬ福建省福安人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀函数零点是沟通函数㊁方程和图象的重要媒介ꎬ充分体现了函数和方程之间的内在联系ꎬ也蕴含了丰富的数学思想.在函数零点问题解答中ꎬ由于题目类型不同ꎬ解题思路也就有所不同ꎬ学生不仅要理清这一类型题目的特点ꎬ还应掌握多种零点问题的解答方法ꎬ才能灵活应对各种函数零点问题的解答ꎬ真正提升学生的解题效率.１高中函数零点问题常考类型分析１.１求函数零点的值求函数零点值问题只要掌握了函数零点的定义ꎬ将函数问题转化成为方程ꎬ即可通过方程的根得出函数的零点值.例１㊀已知ｆ(ｘ)＝ｘ３－３ｘ２－４ｘꎬ求该函数的零点.㊀解析㊀令ｆ(ｘ)＝０ꎬ即ｘ３－３ｘ２－４ｘ＝０ꎬ解方程得出ｘ１＝０ꎬｘ２＝４ꎬｘ３＝－１.因此ꎬ函数ｆ(ｘ)的零点就是ｘ３－３ｘ２－４ｘ＝０的三个根ꎬ即０ꎬ４ꎬ－１.例２㊀已知ｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋ｂꎬ求该函数的极值点.解析㊀由题可知ｆᶄ(ｘ)＝２ｘ(３ｘ－ａ)ꎬ令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ得出ｘ＝０或ｘ＝ａ３.当ａ＝０时ꎬ在(－¥ꎬ＋¥)上ꎬｆᶄ(ｘ)ȡ０.因此ꎬｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋ｂ在该区间内单调递增ꎬ不存在极值点.当ａ>０时ꎬ在(－¥ꎬ０)ꎬ(ａ３ꎬ＋¥)上ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ因此ꎬｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋ｂ在该区间内单调递增ꎻ在(０ꎬａ３)上ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ则ｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋ｂ单调递减.此时ꎬ该函数具备极大值点０ꎬ极小值点ａ３.当ａ<０时ꎬ在(－¥ꎬａ３)ꎬ(０ꎬ＋¥)上ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ则ｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋ｂ单调递增ꎻ在(ａ３ꎬ０)上ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ则ｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋ｂ单调递减.因此ꎬ该函数具备极大值点ａ３ꎬ极小值点为０[１].１.２求函数零点个数此类题目可以先将函数的零点求出来ꎬ然后看零点一共有多少个ꎻ还可以利用零点存在性定理ꎬ并结合函数的单调性ꎬ对函数零点的个数进行确定ꎻ也可以通过构造函数的方式ꎬ将函数的零点问题进行转化ꎬ使其成为求函数图象的交点个数问题.例３㊀求函数ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ０.５ｘ－(１２)ｘ的零点６３个数.解析㊀令ｌｏｇ０.５ｘ－(１２)ｘ＝０ꎬ得出ｌｏｇ０.５ｘ＝(１２)ｘꎬ令ｙ１＝ｌｏｇ０.５ｘꎬｙ２＝(１２)ｘꎬ绘制出函数图象(如图１所示).图１结合图象分析得出ꎬｙ１＝ｌｏｇ０.５ｘꎬｙ２＝(１２)ｘ之间存在两个交点.因此ꎬ原函数ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ０.５ｘ－(１２)ｘ存在２个零点.例４㊀已知ａ>１ｅꎬ判断ｆ(ｘ)＝ａｘ２＋(ａ＋１)ｘ－(ａ＋１)ｘｌｎｘ－１的零点个数.解析㊀在函数定义域(０ꎬ＋¥)内ꎬｆᶄ(ｘ)＝２ａｘ－(ａ＋１) ｌｎｘꎬ令２ａｘ－(ａ＋１) ｌｎｘ＝ｈ(ｘ)ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝２ａ－ａ＋１ｘ＝２ａｘ－(ａ＋１)ｘ.令ｈᶄ(ｘ)＝０ꎬ则ｘ＝ａ＋１２ａ.当０<ｘ<ａ＋１２ａ时ꎬ则ｈᶄ(ｘ)<０ꎻ当ｘ>ａ＋１２ａ时ꎬ则ｈᶄ(ｘ)>０ꎬ所以ｆᶄ(ｘ)在区间(０ꎬａ＋１２ａ)内单调递减ꎬ在区间(ａ＋１２ａꎬ＋¥)内单调递增ꎬ因此ꎬｆᶄ(ｘ)的最小值为ｆᶄ(ａ＋１２ａ)＝(ａ＋１)(１－ｌｎａ＋１２ａ).因为ａ>１ｅꎬ所以ａ＋１２ａ＝１２＋１２ａ<１２＋ｅ２<ｅꎬ即ｆᶄ(ｘ)最小值为ｆᶄ(ａ＋１２ａ)＝(ａ＋１)(１－ｌｎａ＋１２ａ)>０.因此ꎬｆ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)单调递增ꎬ至多存在一个零点.因为ｆ(１)＝２ａ>０ꎬ所以ｆ(ｘ)在区间(１ꎬ＋¥)内没有零点.又因为ａ为常数ꎬ当ｘң０时ꎬ在原函数中ꎬａｘ２ң０ꎬ(ａ＋１)ｘң０ꎬｌｎｘң－¥ꎬ所以ｆ(ｘ)ң－１<０.综上ꎬ函数ｆ(ｘ)在区间(０ꎬ１)内有一个零点ꎬ在(０ꎬ＋¥)内有一个零点[２].１.３求函数零点的范围例５㊀已知函数ｆ(ｘ)＝１ｘ－２ｘ在(ｎ－１ｎꎬｎｎ＋１)上存在零点ꎬ则正整数ｎ的值为多少?解析㊀易知函数ｆ(ｘ)为减函数ꎬ因为ｆ(１２)＝２－２>０ꎬｆ(１)＝１－２<０ꎬ因此该函数在(１２ꎬ１)中存在零点.同时ꎬ由已知条件得出ｆ(ｘ)在(ｎ－１ｎꎬｎｎ＋１)上存在零点ꎬ因此ꎬ０<ｎ－１ｎ<ｎｎ＋１<１ꎬ得出ｎɤ２ꎻ将ｎ＝２代入ｎｎ＋１ꎬ得出ｎｎ＋１＝２３ꎬ所以ｆ(２３)<０ꎬ因此ｎ＝２符合题意.１.４根据函数零点个数求解参数范围１.４.１基于转化思想解决零点问题例６㊀已知函数ｆ(ｘ)＝－ｘ２＋２ｅｘ＋ｍ－１ꎬｇ(ｘ)＝ｘ＋ｅ２ｘ(ｘ>０).(１)若ｇ(ｘ)＝ｍ存在零点ꎬ求ｍ的取值范围ꎻ(２)确定ｍ的取值范围ꎬ使得函数ｈ(ｘ)＝ｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)存在两个零点.解析㊀(１)因为ｇ(ｘ)＝ｘ＋ｅ２ｘȡ２ｅ２＝２ｅ(ｘ>０)ꎬ当且仅当ｘ＝ｅ２ｘ时ꎬ取等号.因此ꎬ该函数存在最小值ꎬ即２ｅ.所以ꎬ当ｍɪ[２ｅꎬ＋¥)时ꎬ函数存在零点.(２)要使得ｈ(ｘ)＝ｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)存在两个零点ꎬ即ｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)＝０存在两个不同的实数根(如图２所示)ꎬ即两个函数的图象有两个不同的交点.因为ｆ(ｘ)＝－ｘ２＋２ｅｘ＋ｍ－１＝－(ｘ－ｅ)２＋ｍ－１＋ｅ２ꎬ其对称轴为ｘ＝ｅ.所以当ｍ>－ｅ２＋２ｅ＋１７３图２时ꎬ函数ｈ(ｘ)＝ｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)存在两个零点.１.４.２基于数形结合思想解决零点问题在高中函数零点问题中ꎬ数形结合思想是一种非常有效的方法ꎬ主要是借助函数零点的概念ꎬ引导学生对函数图象进行观察ꎬ明确函数图象与坐标轴的交点ꎬ在图象的辅助下ꎬ顺利解决函数零点问题.例７㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２－ｘ－１ꎬｘɤ０ꎬｆ(ｘ－１)ꎬｘ>０ꎬ{若方程ｆ(ｘ)＝ｘ＋ａ有且只有两个不相等的实数根ꎬ求实数ａ的取值范围.解析㊀将ｆ(ｘ)＝ｘ＋ａ有且只有两个不相等的实数根ꎬ看做成为ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｘ－ａ存在两个不相同的零点.在平面直角坐标系中分别作出函数ｆ(ｘ)＝２－ｘ－１ꎬｘɤ０ꎬｆ(ｘ－１)ꎬｘ>０ꎬ{以及ｈ(ｘ)＝ｘ的图象(如图３)ꎬ接着对ｈ(ｘ)＝ｘ进行平移.当ａ<１时ꎬ两个函数存在两个交点ꎻ此时ꎬｆ(ｘ)＝ｘ＋ａ有且只有两个不相等的实数根.图４１.４.３基于分类与整合思想解决零点问题分类讨论与整合ꎬ就是化整为零㊁各个击破ꎬ是一种非常有效的函数零点问题解决手段.通常ꎬ这一种方法常常被用于综合性的函数零点问题中ꎬ需要在解题的过程中ꎬ通过分类讨论ꎬ最终在各个击破的基础上ꎬ整合到一起.例８㊀已知函数ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的偶函数ꎬ当ｘȡ０时ꎬｆ(ｘ)＝ｘ２－２ｍｘ＋ｍꎬ如果函数存在两个不同的零点ꎬ求ｍ的取值范围.解析㊀因为ｆ(ｘ)＝ｘ２－２ｍｘ＋ｍ的图象开口向上ꎬ且图象必须经过(０ꎬｍ)点㊁图象对称轴为ｘ＝ｍ.(１)当ｍ>０时ꎬ由于函数必然经过(０ꎬｍ)点ꎬ且ｙ轴为图象的对称轴ꎬ根据判别式值等于０ꎬ得出ｍ＝１ꎻ(２)当ｍ＝０时ꎬ因为函数只有一个零点ꎬ所以ｍ＝０与题意不相符ꎻ(３)当ｍ<０时ꎬ通过函数图象即可得知ꎬ该函数存在两个不同的零点ꎬ其符合题意.２基于函数零点问题解答的日常教学启示结合上述例题研究显示ꎬ学生对函数零点的概念㊁零点存在性定理的掌握情况以及对函数和方程㊁图象之间的关系熟悉程度ꎬ直接决定了学生的解题能力.鉴于此ꎬ为了真正提升学生的数学解题能力ꎬ高中数学教师在日常教学中ꎬ唯有坚持以生为本的理念ꎬ引导学生积极主动参与到相关数学概念和定理的探究学习中.为了全面提升学生的解题能力ꎬ唯有彻底转变传统的教学模式ꎬ指向数学新课程的要求ꎬ灵活借助多种方式优化课堂教学ꎬ包括:探究式学习㊁多媒体信息技术教学等ꎬ使得学生在多样化学习中ꎬ高效完成课堂学习目标.在最新的课程标准中明确提出了数学六大核心素养ꎬ并且已经成为当前考查的方向.在常见的函数零点问题中就蕴含了数形结合思想㊁转化化归思想㊁分类讨论思想等ꎬ学生唯有熟练掌握这些数学思想ꎬ才能促使其形成正确的解题思路.鉴于此ꎬ高中数学教师在日常教学时ꎬ应结合不同的例题内容ꎬ针对性地融入数学思想ꎬ使得学生在日常学习中ꎬ逐渐完成数学思想的内化和应用ꎬ进而提升自身的数学解题能力.参考文献:[１]孟彩彩ꎬ巩铠玮.基于波利亚 怎样解题表 的习题教学案例研究 以 函数的零点 为例[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０２２(０９):６－８.[２]寿啸天.高中数学函数零点解决方法探究[Ｊ].试题与研究ꎬ２０２０(２８):３１－３２.[责任编辑:李㊀璟]８３。
函数“零点”问题解法探讨
切时的切点为 P，
切点横坐标为 x 0，
则让直线 y = kx 绕着定
图2
x 1 < x 2，求证：a > e.
证明：由题设得方程 f ( x ) = 0，即 ex = ax 有两个不相
数学·解题研究
利用函数零点解不等式恒成立问题
江苏盐城市亭湖高级中学（224005） 薛振鸿
［摘 要］函数零点及不等式恒成立问题是常见的问题之一 .f ( x ) g ( x ) > 0或f ( x ) g ( x ) < 0 恒成立，即两个函数积的不等式恒
ï 2
kx
=
lnx
,
î 0
0
所以 2lnx 0 = 1，
解得 x 0 =
e，
从而可得 k =
图1
2(
1
e )
2
=
1
.
2e
然后，再结合图形具体分析 . 根据二次函数的图像
规律“二次项系数的绝对值越大，则开口越小”可知，为
1
满足题意，需要 0 < k < . 故选 D.
2e
解法二：因为函数 f ( x ) = kx2 - lnx 有两个不同的零
成立问题可用两个函数零点相等性质来解决 . 研究函数零点及不等式恒成立问题的求解方法能提高学生的解题能力 .
［关键词］函数；零点；不等式
［中图分类号］ G633.6
［文献标识码］ A
［文章编号］ 1674-6058（2019）32-0019-02
恒成立问题是中学数学的常见题型 . f ( x ) g ( x ) > 0
数学·解题研究
函数“零点”问题解法探讨
辽宁新民市第一高级中学（110300） 周卫东
高考数学解题方法专题讲解(8)数形结合法求解函数零点问题
高考数学解题方法专题讲解专题(八) 数形结合法求解函数零点问题直观想象是指借助几何直观想象和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的思想过程．函数的零点问题可以转化为两个函数图象的交点问题，可以通过画图分析图象的特征、图象间的关系解决．[例] (1)方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －4)＝f (x )，且在区间[0,2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，则a 的取值范围为________．解析：(1)∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．故选B.(2)由f (x －4)＝f (x )知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f (x －4)＝f (x )＝f (4－x )，所以函数图象关于x ＝2对称，且f (2)＝f (6)＝f (10)＝2，要使方程f (x )＝log a x有三个不同的根，则满足⎩⎨⎧a >1，f (6)<2，f (10)>2，如图，即⎩⎨⎧a >1，log a 6<2，log a10>2，解得6<a <10.故a 的取值范围是(6，10)．答案：(1)B (2)(6，10)名师点评函数与方程中的直观想象素养的培养，运用数形结合思想是解决函数与方程问题的行之有效的思想方法，利用直观想象建立形与数的联系，探索到方程的根，函数的零点，图象的交点之间的关系，通过“挖”题目的信息，培养了学生直观想象力、数学抽象、逻辑推理的学科素养．[变式练]1．[2021·山东济宁邹城一中模拟]已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－e x，x ≤0，x 2－2x ，x >0，若函数y ＝f (x )－m 有两个不同的零点，则m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,1]C ．(－1，＋∞) D．[－1，＋∞)2．[2018·浙江卷]已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________．专题(八)变式练1．解析：根据题意知f (x )＝1－e x ，x ≤0，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x >0.画出函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象如图所示，∵函数y ＝f (x )－m 有两个不同的零点，∴函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象有两个交点，由图象可得m 的取值范围为(－1,1)．答案：A2．解析：当λ＝2时，f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x <2，其图象如图(1)．由图知f (x )<0的解集为(1,4)．f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．在同一平面直角坐标系中画出y 1＝x －4与y 2＝x 2－4x ＋3的图象，如图(2)，平移直线x＝λ，可得λ∈(1,3]∪(4，＋∞)．答案：(1,4) (1,3]∪(4，＋∞)。
(完整版)高一：零点问题的解题方法
谈函数与方程 ( 零点问题 ) 的解题方法课题——解题技术篇从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要观察转变与化归、数形结合及函数与方程的思想．(1)函数零点的定义关于函数y＝ f(x) (x∈D )，把使 f(x)＝ 0 成立的实数x 叫做函数y＝ f(x) (x∈ D)的零点．(2)零点存在性定理 (函数零点的判断 )若函数y＝ f(x)在闭区间 [a，b] 上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a) ·f(b)＜ 0，则在区间 (a，b)内，函数 y＝ f(x)最少有一个零点，即相应方程f(x)＝ 0 在区间 (a，b)内最少有一个实数解．也能够说：若是函数y＝f(x)在区间 [a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b)＜ 0，那么，函数 y＝ f(x) 在区间 (a， b)内有零点，即存在c∈ (a，b)，使得 f(c) ＝0，这个 c 也就是方程f(x)＝ 0 的根．[提示 ]此定理只能判断出零点存在，不能够确定零点的个数．(3)几个等价关系函数 y＝ f(x)有零点?方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与函数y＝ 0(即 x 轴 )有交点．实行：函数 y＝ f( x)－ g(x)有零点?方程f(x)－g(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)－g(x)的图象与y＝0(即x轴 )有交点．实行的变形：函数 y＝ f(x)－ g(x)有零点 ? 方程 f(x)＝ g(x) 有实数根 ? 函数 y＝ f(x)的图象与 y＝g(x)有交点．1．函数的零点是函数y＝ f(x)与 x 轴的交点吗？可否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝ f(x)与 x 轴的交点，而是y＝ f(x)与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；其实不是任意函数都有零点，只有f(x) ＝0 有根的函数y＝ f(x)才有零点．2．若函数 y＝ f(x) 在区间 (a， b)内有零点，必然有f(a) ·f(b)<0 吗？提示：不用然，以下列图，f(a) ·f(b)>0 ．提示：不用然，可能有多个．(4)二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c (a>0)的图象与零点的关系＝ b2－ 4ac＞ 0＝ 0＜ 0二次函数y＝ ax2＋ bx＋c(a＞ 0)的图象与 x 轴的交点(x1， 0)， (x2， 0)(x1， 0)无交点零点个数210关于今后的考试中仍以观察函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转变成主要考点，涉及题目的主要考向有：1．函数零点的求解与所在区间的判断；2．判断函数零点个数；3．利用函数的零点求解参数及取值范围．考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1． (2015 ·州十校联考温 )设 f(x)＝ ln x＋ x－ 2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A ．(0， 1)B． (1， 2)C．(2， 3)D． (3， 4)【剖析】法一：∵ f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，∴ f(1)·f(2)＜0，∵ 函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，∴函数 f(x)的零点所在的区间是(1， 2) ．法二：函数 f(x)的零点所在的区间转变成函数g( x)＝ ln x，h(x)＝－ x＋ 2 图象交点的横坐标所在的范围，以下列图，可知 f(x) 的零点所在的区间为(1， 2)．【答案】 B1的图象交点的横坐标所在区间为() 2． (2015 西·安五校联考 )函数 y＝ ln(x＋ 1)与 y＝xA ．(0， 1)B． (1， 2)C．(2， 3)D． (3， 4)1＋∞)上为增函数，且f(1) ＝ ln 2 －1＜ 0， f(2)＝ ln 3 －2＞ 0，∴f(x)的零点所在区间为(1， 2)．【答案】 B3．函数 f(x)＝ 3x－7＋ ln x 的零点位于区间(n，n＋ 1)(n∈ N)内，则 n＝________．【剖析】求函数 f(x)＝ 3x－ 7＋ ln x 的零点，能够大体估计两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln 2，由于 ln 2 ＜ln e ＝ 1，因此 f(2)＜ 0， f(3) ＝2＋ ln 3 ，由于 ln 3 ＞ 1，因此 f(3)＞ 0，因此函数f(x)的零点位于区间(2， 3)内，故 n＝ 2．【答案】 24．(2015 长·沙模拟 )若 a＜ b＜ c，则函数 f(x)＝ (x－ a)(x－ b)＋ (x－ b)(x－ c)＋ (x－ c)(x－ a)的两个零点分别位于区间 ()A ．(a， b)和 (b， c)内B． (－∞， a)和( a， b)内C．(b， c)和 (c，＋∞ )内D． (－∞， a)和 ( c，＋∞ )内【剖析】本题观察零点的存在性定理．依题意得f(a)＝ (a － b)( a－ c)＞ 0 ， f(b)＝ (b－ c)(b－ a) ＜ 0， f(c)＝ (c－b)( c－a) ＞0，因此由零点的存在性定理知f(x)的零点位于区间(a， b)和 (b， c)内．【答案】 A5． (2014 ·考湖北卷高 )已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当x≥ 0 时， f(x)＝ x2－ 3x，则函数g(x)＝ f(x)－ x＋ 3 的零点的会集为()A ．{1 ，3}B． { － 3，－ 1， 1， 3}C．{2 －7， 1， 3}D． { － 2－7， 1，3}【剖析】令 x＜ 0，则－ x＞0，因此 f(x) ＝－ f(－ x)＝－ [( － x)2－ 3(－ x)] ＝－ x2－ 3x．求函数 g(x)＝ f(x)－ x＋ 3 的零点等价于求方程f(x) ＝－ 3＋ x 的解．当 x≥ 0 时， x2－3x＝－ 3＋x，解得 x1＝ 3，x2＝ 1；当 x＜ 0 时，－x2－3x＝－ 3＋x，解得 x3＝－ 2－7．【答案】 D确定函数f(x)零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x) ＝0 易解时，可先解方程，再看解得的根可否落在给定区间上．(2)利用函数零点的存在性定理：第一看函数 y＝ f(x)在区间 [a，b] 上的图象可否连续，再看可否有 f(a) ·f(b) ＜ 0．若有，则函数 y＝ f(x)在区间 (a， b)内必有零点．(3)数形结合法：经过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上可否有交点来判断．61．已知函数f(x)＝x－ log2x，在以下区间中，包含f(x)零点的区间是()【剖析】 由于 f(1) ＝6－ log 21＝ 6＞ 0， f(2)＝ 3－ log 22＝ 2＞0， f(4) ＝ 3－ log 24＝－ 1＜ 0，因此函数 f(x)的2 2 零点所在区间为 (2， 4)．【答案】 C2．方程 log 3x ＋ x ＝ 3 的根所在的区间为 ( )A ．(0， 1)B ． (1， 2)C ． (2， 3)D ．(3， 4)【剖析】法一：方程 log 3x ＋ x ＝ 3 的根即是函数 f(x)＝ log 3x ＋ x － 3 的零点，由于 f(2) ＝ log 32＋ 2－ 3＝log 32－ 1<0 ， f(3) ＝ log 33＋ 3－ 3＝ 1>0 且函数 f(x)在 (0，＋ ∞ )上为单调增函数．∴函数 f(x)的零点即方程 log 3x ＋ x ＝ 3 的根所在区间为 (2， 3)．法二 ：方程 log 3x ＋ x ＝3 的根所在区间即是函数y 1＝ log 3x 与 y 2＝ 3－ x 交点横坐标所在区间，两函数图象以下列图．由图知方程 log 3的根所在区间为 (2， 3)．x ＋ x ＝ 3 【答案】 C3．(2015 ·武汉调研 )设 a 1， a 2，a 3 均为正数， λ1＜ λ2＜λ3，则函数a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 的两个零点 f(x)＝123x － λ x － λ x － λ分别位于区间 ( )A ．(－∞， λ1)和 (λ1， λ2)内B ． (λ1， λ2)和 (λ2， λ3)内C ．(λ，λ) 和 (λ，＋∞ )内D ． (－∞， λ) 和(λ，＋∞ )内23313【剖析】 本题观察函数与方程．利用零点存在定理求解．当x ∈ (λ1， λ2)时，函数图象连续，且x → λ，1f(x)→ ＋ ∞ ，x → λ2， f(x)→－ ∞ ，因此函数 f(x)在 (λ1， λ2)上必然存在零点；同应该x ∈ (λ2， λ3)时，函数图象连续，且 x → λ， f(x)→ ＋∞ ， x → λ， f(x)→ － ∞ ，因此函数 f(x)在 (λ， λ)上必然存在零点，应选B ．2323【答案】 B考向二、判断函数零点个数x －2， x>0，g(x)＝ f(x)＋ x 的1．已知函数 f(x)＝满足 f(0) ＝ 1，且 f(0)＋ 2f( －1) ＝0，那么函数－x 2 ＋bx ＋ c ， x ≤ 0零点个数为 ________．【剖析】 ∵f(0) ＝ 1，∴c ＝ 1，又∵f(0) ＋ 2f(－1)＝ 0，∴f(－ 1)＝－ 1－ b ＋ 1＝－ 112，∴b ＝ 2．∴当 x ＞ 0 时，g( x)＝ 2x－ 2＝ 0 有唯一解 x＝1；当 x≤ 0 时， g(x)＝－ x2＋3x＋1，令 g(x)＝ 0 得 x＝－1或 x＝2(舍去 )，22综上可知， g(x)＝ f(x)＋ x 有 2 个零点．【答案】 22． (2013 高·考天津卷 )函数 f(x)＝ 2x|log 0.5x|－ 1 的零点个数为 () A ．1B． 2C．3D． 4x1x．【剖析】由 f(x) ＝2 |log0.5x|－ 1＝ 0，可得 |log0．5x|＝2设 g(x)＝ |log0.5x|， h(x)＝1 xg( x)， h(x)的图象，能够发现两个函数图2 ，在同一坐标系下分别画出函数象必然有 2 个交点，因此函数f(x)有 2 个零点．【答案】 B3． (2015 ·考天津卷高)已知函数2－ |x|， x≤2，函数 g(x)＝ 3－ f(2－ x)，则函数y＝ f(x)－ g(x) f(x) ＝x－ 2 2， x＞ 2，的零点个数为 ()A ．2B． 3C．4D． 5【剖析】分别画出函数 f(x)， g(x)的草图，观察发现有 2个交点．【答案】 A4．若定义在R 上的偶函数f( x)满足 f( x＋2) ＝ f(x)，且当 x∈ [0， 1]时， f(x)＝ x，则函数y＝f(x)－ log 3|x|的零点个数是________．【剖析】由题意知， f(x)是周期为 2 的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝ f(x)及 y＝ log3 |x|的图象，以下：观察图象能够发现它们有 4 个交点，即函数y＝ f(x)－ log3|x|有 4 个零点．5判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令 f(x)＝ 0，若是能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不但要求函数在区间[a ， b] 上是连续不断的曲线，且f(a) ·f(b)＜ 0，还必定结合函数的图象与性质( 如单调性、奇偶性、周期性、对称性 )才能确定函数有多少个零点或零点值所拥有的性质．(3)数形结合法：转变成两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不相同的值，就有几个不相同的零点．1． (2015 ·博期末淄 )函数 f(x)＝ x － ln(x ＋ 1)－ 1 的零点个数是 ________．【剖析】 函数 f( x)＝ x －ln( x ＋ 1)－ 1 的零点个数，即为函数 y ＝ ln( x ＋ 1)与 y ＝ x － 1 图象的交点个数．在同一坐标系内分别作出函数y ＝ ln( x ＋ 1)与 y ＝ x － 1 的图象，如图，由图可知函数 f(x)＝ x － ln(x ＋ 1)－ 1 的零点个数是 2．【答案】 2lg x ， x>0， 2．若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x ＋ 2)＝ f(x)，且 x ∈ [ － 1，1]时，f(x)＝1－ x 2，函数 g( x)＝0， x ＝0， － 1，x<0，x则方程 f(x)－g(x)＝0 在区间 [ － 5， 5]上的解的个数为 ()A ．5B ． 7C ．8D ． 10【剖析】 依题意得，函数f(x)是以 2 为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝ f(x)与函数 y ＝g(x)的图象，结合图象得，当 x ∈ [－ 5， 5]时，它们的图象的公共点共有8 个，即方程 f(x)－ g(x)＝ 0 在区间 [－ 5， 5]考向三、利用函数的零点求解参数及取值范围1． (2014 合·肥检测 )若函数 f(x)＝ ax2－ x－ 1 有且仅有一个零点，则实数 a 的取值为 ()1A ．0B．－41C．0 或－4D． 2【剖析】当 a＝ 0时，函数 f(x)＝－ x－ 1 为一次函数，则－ 1 是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a≠ 0 时，函数 f(x)＝ ax2－ x－ 1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－ x－ 1＝ 0有两个相11等实根．∴Δ＝1＋ 4a＝0，解得 a＝－4．综上，当 a＝ 0 或 a＝－4时，函数仅有一个零点．【答案】 C2．(2014 ·阳模拟洛)已知方程 |x2－ a|－ x＋ 2＝ 0(a＞ 0)有两个不等的实数根，则实数 a 的取值范围是 ()A ．(0， 4)B． (4，＋∞ )C．(0， 2)D． (2，＋∞ )【剖析】依题意，知方程 |x2－ a|＝ x－ 2 有两个不等的实数根，即函数y＝ |x2－ a|的图象与函数y＝ x－ 2的图象有两个不相同交点．如图，则a＞ 2，即 a＞ 4．【答案】 B3．已知函数21x，若实数 x是方程 f(x)＝0 的解，且101f(x)＝ log x－30<x <x ，则 f(x )的值为 ()A ．恒为负B．等于零C．恒为正D．不小于零1【剖析】在同一坐标系中作出y＝ log2x 和 y＝3x的图象，由图象知f(x1)＜0．【答案】 A4．(2014 高·考江 卷 )已知 f(x)是定 在 R 上且周期3 的函数，当 x ∈ [0，3) ，f(x)＝x 2－ 2x ＋1．若2函数 y ＝ f(x) －a 在区 [ － 3， 4]上有 10 个零点 (互不相同 )， 数 a 的取 范 是 ________．【剖析】 当 x ∈ [0 ，3) ， f(x)＝ x 2－ 2x ＋1 ＝ x － 1 2－ 1 ，由 f(x)是周期 3 的函数，作出 f( x)在 [－2 23， 4]上的 象，如 ．函数 y ＝ f(x)－a 在区 [ － 3， 4]上有互不相同的10 个零点，即函数 y ＝ f(x)，x ∈ [－ 3， 4]与 y ＝ a 的象有 10 个不相同交点，在坐 系中作出函数f(x) 在一个周期内的 象如 ，可知当0＜ a ＜1足 意．2【答案】0， 125． (2015 湖·北八校 考 )已知 x ∈ R ，符号 [x] 表示不超 x 的最大整数，若函数[x]－ a(x ≠ 0)有且f(x)＝ x有 3 个零点， a 的取 范 是 ( )344 33 4 4 3 A ． 4，5 ∪ 3，2B ． 4，5 ∪3，2 1， 2 ∪ 5， 31，2∪5，3C ． 2 3 42D ． 2 3 4 2[x][x]1【剖析】 当 0＜ x ＜ 1 ， f(x)＝ x － a ＝－ a ；当 1≤ x ＜ 2 ， f(x)＝ x －a ＝ x － a ；当 2≤ x ＜ 3 ， f(x)[x]2 [ x] [x][x]＝ x － a ＝ x － a ； ⋯ ． f(x)＝ x － a 的 象是把y ＝ x 的 象 行 向平移而获取的，画出y ＝ x 的 象，3 44 3如 所示，通 数形 合可知a ∈ 4， 5 ∪ 3， 2 ．【答案】 A已知函数有零点 (方程有根 )求参数取 范 常用的方法：(1)直接法：直接依照 条件成立关于参数的不等式，再通 解不等式确定参数范 ．(2)分别参数法：先将参数分别， 化成求函数 域 加以解决．(3)数形 合法：先 剖析式 形，在同一平面直角坐 系中，画出函数的 象，尔后数形 合求解．2x－1， x≤ 1，1． (2015 莱·芜一模 )已知函数 f(x)＝则函数 f(x)的零点为 ()1＋ log x， x>1，2A ．1， 0B．－ 2，02 1C．2D． 0【剖析】当 x≤ 1 时，由 f(x)＝ 2x－1＝ 0，解得 x＝ 0；当 x＞ 1时，由 f(x)＝1＋ log21 x＝ 0，解得 x＝，2又由于 x＞1，因此此时方程无解．综上，函数f(x) 的零点只有 0．【剖析】 D2x－ 1， x＞ 0，若函数 g(x)＝ f(x)－ m有 3 个零点，则实数m 的取值范围是2．已知函数f( x)＝－x2－2x，x≤0，________．2x－ 1， x＞ 0，【剖析】画出 f(x)＝的图象，如图．－ x2－ 2x， x≤ 0由函数 g(x) ＝ f(x)－ m 有 3 个零点，结合图象得：0＜ m＜ 1，即 m∈ (0，1) ．【答案】 (0，1)3．已知函数 f(x)＝2x－ a， x≤ 0，a 的取值范围是 ________．有三个不相同的零点，则实数x2－ 3ax＋ a， x＞ 0【剖析】要使函数 f(x)有三个不相同的零点，则当x≤ 0 时，方程2x－ a＝ 0，即 2x＝ a 必有一根，此时 0＜ a≤ 1；当 x>0 时，方程 x2－ 3ax＋ a＝ 0 有两个不等实根，即方程x2－ 3ax＋ a＝ 0 有 2 个不等正实根，于＝9a2－ 4a＞ 0，3a＞ 0，44是∴a＞9，故9＜ a≤1．a＞ 0，【答案】49，1必记结论有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(3)连续不断的函数图象经过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．1． (2015 ·考安徽卷高 )以下函数中，既是偶函数又存在零点的是()A ．y＝ cos x B． y＝ sin xC．y＝ ln x D． y＝ x2＋ 1【剖析】 y＝ cos x 是偶函数，且存在零点；y＝ sin x 是奇函数； y＝ ln x 既不是奇函数又不是偶函数；y＝x2＋1 是偶函数，但不存在零点．【答案】 A2．函数 f(x)＝ 2x－2－ a 的一个零点在区间(1，2) 内，则实数 a 的取值范围是 () xA ．(1， 3)B． (1， 2) C．(0， 3)D． (0， 2)【剖析】由题意知 f(1) ·f(2) ＜ 0，即 a(a－ 3)＜0，∴0＜ a＜ 3．【答案】 C3． (2016 东·城期末 )函数 f(x)＝ e x＋1x－ 2的零点所在的区间是() 2A ．11，1 0，2B．2C．(1， 2)D． (2， 3)【剖析】∵f 177312＝e－4＜ 3－4＜ 0， f(1) ＝ e－2＞ 0，∴零点在区间2， 1 上．【答案】 B4．(2014 昆·明三中、玉溪一中统考 ) 若函数 f(x)＝3ax＋ 1－ 2a在区间 (－1， 1)内存在一个零点，则 a 的取值范围是 ()A ．1，＋∞B． (－∞，－ 1)∪1，＋∞55C．－ 1，1D． (－∞，－ 1) 5【剖析】当 a＝ 0时， f(x)＝ 1 与 x 轴无交点，不合题意，因此a≠ 0；函数 f(x)＝ 3ax＋ 1－ 2a 在区间 (－11， 1)内是单调函数，因此 f( －1)·f(1) ＜ 0，即 (5a－ 1)(a＋ 1)＞0，解得 a＜－ 1 或 a＞5．【答案】 B5．f(x)是 R 上的偶函数， f(x＋ 2)＝ f( x)，当 0≤ x≤1 时， f(x)＝ x2，则函数 y＝ f(x)－ |log5 x|的零点个数为()A ．4B ． 5C． 8 D ．10【剖析】由零点的定义可得f( x)＝ |log5x|，两个函数图象如图，总合有 5 个交点，因此共有 5 个零点．【答案】 B6． (2014 ·封模拟开 )偶函数 f(x)满足 f(x－ 1)＝f(x＋ 1)，且当 x∈ [0， 1]时， f(x)＝－ x＋ 1，则关于x 的方程 f(x)＝ lg(x＋ 1)在 x∈ [0，9] 上解的个数是 ()A ．7B ． 8C．9D． 10【剖析】依题意得 f(x＋ 2)＝f(x)，因此函数f(x)是以 2 为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y＝ f(x)的图象与y＝ lg(x＋ 1)的图象 (以下列图 )，观察图象可知，这两个函数的图像在区间[0，9] 上的公共点共有9 个，因此，当 x∈ [0，9]时，方程 f(x)＝ lg( x＋ 1)的解的个数是9．【答案】 C7．(2014 ·宁模拟南 ) 已知函数f(x)＝ ln x＋ 3x－ 8 的零点 x0∈ [a，b]，且 b－ a＝ 1， a，b∈ N*，则 a＋ b＝________．【剖析】∵f(2)＝ ln 2 ＋ 6－ 8＝ ln 2 － 2<0 ，f(3)＝ ln 3 ＋ 9－ 8＝ ln 3 ＋ 1>0，且函数f(x) ＝ln x＋3x－8 在(0，＋∞ )上为增函数，∴ x0∈ [2， 3]，即 a＝ 2， b＝ 3．∴a＋ b＝5．【答案】 58．已知函数 y＝ f(x) (x∈R )满足 f(－ x＋ 2)＝f(－ x)，当 x∈[ －1， 1]时， f(x)＝ |x|，则 y＝ f(x)与 y＝log7 x 的交点的个数为 ________．【剖析】由于 f(－ x＋ 2)＝ f(－x)，因此 y＝ f(x)为周期函数，其周期为2．在同素来角坐标系中，画出函数y＝ f(x)和 y＝log 7x 的图象如图，当x＝7 时， f(7) ＝1， log77＝ 1，故 y＝ f( x)与 y＝log7 x 共有 6 个交点．【答案】 69．若函数y＝ f(x)( x∈R) 满足 f(x＋ 2)＝ f(x)且 x∈ [ － 1， 1]时， f(x)＝ 1－ x2；函数 g(x)＝ lg|x|，则函数y＝f(x)与 y＝ g(x)的图象在区间 [ － 5， 5]内的交点个数共有 ________个．【剖析】函数 y＝ f(x)以 2 为周期， y＝g( x)是偶函数，画出图象可知有8 个交点．【答案】 810． (2015 高·考湖南卷 )已知函数 f(x)＝x3， x≤ a，若存在实数 b，使函数 g(x)＝ f(x)－ b 有两个零点，x2， x＞ a.则 a 的取值范围是 ________．【剖析】令φ(x)＝ x3(x≤ a)，h(x)＝ x2(x＞a) ，函数 g(x)＝ f(x)－ b 有两个零点，即函数 y＝ f( x)的图象与直线y＝ b 有两个交点，结合图象 (图略 )可得 a＜ 0 或φ(a)＞ h(a)，即 a＜ 0 或 a3＞ a2，解得 a＜ 0 或 a＞1，故 a∈ (－∞， 0)∪(1 ，＋∞)．【答案】 (－∞， 0)∪ (1，＋∞ )1． (2014 ·考山东卷高 )已知函数f( x)＝ |x－2|＋ 1， g(x)＝ kx．若方程f(x)＝ g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是 ()A ． 0，1B ．1， 1C． (1，2) D ．(2，＋∞ ) 22【剖析】先作出函数f(x)＝|x－ 2|＋ 1 的图象，以下列图，1当直线 g(x) ＝ kx 与直线 AB 平行时斜率为1，当直线 g( x)＝ kx 过 A 点时斜率为2，故 f(x)＝ g(x) 有两个不1相等的实根时， k 的范围为2， 1．【答案】 B2．若函数 f(x)＝a x－ x－ a(a＞ 0 且 a≠ 1) 有两个零点，则实数 a 的取值范围是 ()A ．(2，＋∞ )B ． 0，1C． (1，＋∞ ) D ．(0， 1) 2【剖析】函数 f(x)＝ a x－x－ a(a＞ 0 且 a≠ 1)有两个零点，就是函数y＝ a x(a＞ 0 且 a≠ 1)与函数 y＝ x＋ a(a ＞ 0 且 a≠ 1)的图象有两个交点，由图 1 知，当 0＜ a＜1 时，两函数的图象只有一个交点，不吻合题意；由图 2 知，当 a＞ 1 时，由于函数y＝ a x(a＞ 1)的图象与y 轴交于点 (0，1)，而直线 y＝ x＋ a 与 y 轴的交点必然在点 (0， 1)的上方，因此两函数的图象必然有两个交点，因此实数 a 的取值范围是a＞ 1．【答案】 C2－ |x|，x≤2，3． (2015 ·考天津卷高 )已知函数f(x)＝函数 g(x)＝ b－ f(2－ x)，其中 b∈ R．若函数 y x－ 2 2， x＞ 2，＝ f(x)－ g(x)恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是 ()7777A ．4，＋∞B ．－∞，4C．0，4 D ．4，2【剖析】函数 y＝f(x)－ g(x)恰有 4 个零点，即方程f(x)－ g(x)＝0，即 b＝ f(x)＋ f(2－ x)有 4 个不相同的实数根，即直线 y ＝ b 与函数 y＝ f(x) ＋ f(2 － x) 的图象有 4个不同的交点．又 y ＝ f(x) ＋ f(2 － x) ＝x2＋ x＋ 2， x＜ 0，2， 0≤ x≤ 2，7作出该函数的图象以下列图，由图可得，当4＜ b＜2时，直线 y＝ b 与函数 y＝ f(x)x2－ 5x＋8， x＞ 2，＋f(2－ x)有 4 个交点．【答案】 D4．已知函数1，当 x∈ [0，1]时， f( x)＝ x，若在区间 (－ 1，1]内，函数 g(x)＝ f(x) f(x)满足 f(x)＋ 1＝f x＋1－ mx－m 有两个零点，则实数 m 的取值范围是 ()A ．0，1B ．1，＋∞C． 0，1 D ． 0，1 2232【剖析】当 x∈ (－1， 0]时， x＋ 1∈ (0， 1]．由于函数f(x)＋ 1＝1，因此 f(x) ＝1－ 1＝1－f x＋ 1 f x＋ 1x＋ 1x－x， x∈ － 1， 0]，.即 f(x)＝x＋ 1函数 g(x)＝ f(x)－ mx－m 在区间 (－ 1，1]内有两个零点等价1＝－x＋ 1x， x∈ 0，1].于方程 f(x)＝ m(x＋ 1)在区间 (－ 1， 1]内有两个根，令y＝m(x＋ 1)，在同一坐标系中画出函数y＝ f(x)和 y＝1m(x＋ 1)的部分图象 (图略 )，可知当 m∈0，2时，函数 g(x)＝ f(x)－ mx－ m 有两个零点．|x2＋ 5x＋ 4|，x≤ 0，5．(2014 ·高考天津卷 ) 已知函数f(x)＝若函数 y＝ f(x)－ a|x|恰有 4 个零点，则实数2|x－2|， x＞ 0.a 的取值范围为________．【剖析】画出函数 f(x)的图象以下列图．函数 y＝ f(x)－ a|x|有 4 个零点，即函数y1＝ a|x|的图象与函数f(x)的图象有 4 个交点 (依照图象知需a＞0)．当 a＝2 时，函数 f(x)的图象与函数 y ＝ a|x|的图象有 3 个交点．故 a＜ 2．1当 y12＋ 5x＋ 4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与 y15 个交点，＝ a|x|(x≤ 0)与 y＝ |x＝ a|x|的图象有y＝－ ax，得 x2＋ (5－ a)x＋4＝ 0．此时，由y＝－ x2－ 5x－ 4由＝ 0 得(5－ a)2－16＝ 0，解得 a＝ 1，或 a＝9( 舍去 )，则当 1＜ a＜ 2 时，两个函数图象有 4 个交点．故实数 a 的取值范围是1＜ a＜ 2．【答案】 (1， 2)考向四、二分法(1)定义：关于在区间 [a， b] 上连续不断且f( a) ·f(b)＜ 0 的函数 y＝ f(x)，经过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点渐渐逼近零点，进而获取零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤以下：①确定区间 [a， b] ，考据 f(a) ·f(b)<0 ，给定精确度ε；②求区间(a， b)的中点 c；(ⅰ )若 f(c)＝ 0，则 c 就是函数的零点；(ⅱ )若 f(a) ·f(c)＜ 0，则令 b＝c(此时零点x0∈ (a， c))；(ⅲ )若 f(c) ·f(b)＜ 0，则令 a＝c(此时零点x0∈ (c， b))．④判断可否达到精确度ε：即若 |a－ b|<ε，则获取零点近似值a(或 b)；否则重复②③④．1． (教材习题改编 )以下函数图象与x 轴均有交点，其中不能够用二分法求图中函数零点的是()A B C D【剖析】由图象可知，选项 C 所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能够用二分法求解．【剖析】 C2． (教材习题改编 )用二分法求函数y＝ f(x)在区间 (2， 4)上的近似解，考据f(2) f(4)·＜ 0，给定精确度ε＝ 0.01，取区间 (2， 4)的中点 x12＋4＝3，计算得 f(2) ·f(x1)＜ 0，则此时零点所在的区间为 ()＝2xA ．(2， 4)B． (3， 4)C．(2， 3)D． (2． 5， 3)【剖析】∵f(2) ·f(4) ＜ 0， f(2) ·f(3) ＜ 0，∴f(3) ·f(4)＞ 0，∴零点 x0所在的区间为 (2， 3)．【剖析】 C3．用二分法求方程 x2＝ 2的正实根的近似解(精确度0.001)时，若是我们采用初始区间[1.4 ，1.5] ，则要达到精确度要求最少需要计算的次数是________．1.5－ 1.4【剖析】设最少需要计算n 次，由题意知2n＜0．001，即2n＞100，由26＝64，27＝128知n＝7．【剖析】 7。
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用数形结合解零点问题
“数缺形时少直觉，形少数时难入微”（华罗庚语）.数形结合指的是在解决数学问题时，使数的问题，借助形去观察，而形的问题，借助数去思考.函数的零点就是函数图象与x 轴的交点的横坐标，数形结合能给零点问题的解决带来方便.
一、零点个数问题
例1．函数()44f x x x =++-的零点有 个.
解析: ()44f x x x =
++-的零点就是方程44x x +=-的解,在同一平面直角坐标系中画出4y x =+和4y x =-的图象(如图1) ,可见函数
()44f x x x =++-的零点个数为1.
评注:函数()44f x x x =++-的图象不容易画,所以转化为容易画的4y x =+和4y x =-的图象的交点问题加以观察.
例2.讨论函数2()1f x x a =--的零点个数. 解析: 在同一平面直角坐标系中画出21y x =-和y a =的图象(如图2) ,可见:
当0a <时, 21y x =-和y a =没有公共点, 函数2()1f x x a =--的零点个数为0;
当0a =或1a >时, 21y x =-和y a =有2个公共点, 函数2
()1f x x a =--的零点个数为2;
当1a =时, 21y x =-和y a =有3个公共点, 函数2()1f x x a =--的零点个数为3;
当01a <<时, 21y x =-和y a =有4个公共点, 函数2()1f x x a =--的零点个数为4. 1y=x+4y=4-x y x O (图1) y=a
1y=|x 2-1|
y
x O (图2)
例3.若存在区间[,]a b ,使函数[]()2(,)f x k x x a b =+
+∈的值域是[,]a b ,求实数k 的范
围. 解析: 因为()2f x k x =++在[2,)-+∞上递增,
若存在区间[,]a b ,使()f x 在[,]a b 上的值域是[,]a b ,必有()()f a a f b b
=⎧⎨=⎩.问题转化为“求k 的范围,使关于x 的
方程2k x x ++=有两个不等实根”. 在同一平面直角坐标系中画出2y x =+和2y x =+的图象(如图3),可见当2k =-时, 2y x =+和y x k =-的图象有两个不同的公共点.
由2x k x -=+得: 22(21)20x k x k -++-=,49k ∆=+.所以当94k =-时,直线y x k =-与曲线2y x =+相切.
结合图形观察得,当924k -
<≤-时, 2y x =+和y x k =-的图象有两个不同的公共点,此时关于x 的方程2k x x +
+=有两个不等实根. 所以k 的范围是9(,2]4
--. 评注: 由于画图精确性的限制,直线与曲线相切时的k 的值,并不能通过图象观察得出,这时要以数助形,运算求解.
二、零点所在区间问题
例4．函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ）
A ．(0，1)
B ．(1，2)
C ．(2，3)
D ．(3，+∞)
解析:在同一平面直角坐标系中，画出函数y =lg x 与3y x =-+的图象(如图4).它们的交点横坐标0x ,显然在
区间(1，3)内，由此排除A 、D.至于选B 还是选C,单凭直观
比较困难了,这时要比较0x 与2的大小. 3
y=-x+31y=lg x y x O (图4)
(图3)
y=x+2.25y=x+2
1-2y=x+2
y
x O
当x =2时，lg x =lg2，3－x =1.由于lg2＜1，因此0x ＞2，从而判定0x ∈(2，3)，故本题应选C .
评注:数形结合，要在结合方面下功夫.本题不仅要通过图象直观估计，而且还要计算两个函数值，通过比较其大小进行判断.
例5. (2007年广东高考题)已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 的取值范围．
解析:当0a =时, 函数()y f x =在区间[]11-，上没
有零点. 当0a ≠时, ()f x 的零点就是关于x 的方程22321()2x x a --=
-的根.在同一平面直角坐标系中，画出函数221y x =-与3()2
y k x =-的图象(如图5). 若过定点A (0,32)的直线3()2y k x =-与抛物线相切于x 轴下方,由2321()2x k x -=-中的21280k k ∆=-+=,解得627k =-(当627k =+时,切点在x 轴上方).
设直线1x =与221y x =-交于B 点,直线AB 的斜率12
k =-. 所以使3()2y k x =-与221y x =-[](11)x ∈-，有公共点的k 的范围是1,6272⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦. 解不等式126272a -≤-≤-得, 实数a 的取值范围为(-∞, 372
--]∪[1, +∞). 评注:此题是一元二次方程根的分布问题，涉及到在区间内有一个根、两个根等情况.此题有多种解题方法，此处数形结合的应用可以减少分类讨论.
三、零点值的问题
例 6.若函数()3x f x e x =+-的零点是1x ,()ln 3g x x x =+-的零点是2x ,求12x x +的值.
B
A -1y=2x 2-1
1y x
O B (图5) (图6)
B
A
3y
x O
解析: 在同一平面直角坐标系中，画出函数x y e =、ln y x =与3y x =-+的图象(如图
6).
设x y e =与3y x =-+交于点A 11(,)x y ，ln y x =与3y x =-+交于点B 22(,)x y ，因为x y e =和ln y x =互为反函数，所以A 、B 两点关于直线y x =对称,有12y x =.
又A 11(,)x y 在3y x =-+上,所以12113x x x y +=+=.。