广东省中考数学复习(检测)专题训练9

专题训练九解答题突破——几何综合题1．如图1，AB是⊙O的直径，AB＝6，过点O作OH⊥AB交圆于点H，点C是弧AH 上异于A，B的动点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分别为D，E，过点C的直线交OA的延长线于点G，且∠GCD＝∠CED．

图1

(1)求证：GC是⊙O的切线；

(2)求DE的长；

(3)过点C作CF⊥DE于点F，若∠CED＝30°，求CF的长．

2．如图2，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．

图2

(1)求证：BE＝CE；

(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；

(3)若BC＝8，AD＝10，求CD的长．

3．(2016·丹东模拟)如图3，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC 相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E.

图3

(1)∠ACB＝__________°，理由是：________________________；

(2)猜想△EAD的形状，并证明你的猜想；

(3)若AB＝8，AD＝6，求BD．

4．(2016·临沂模拟)如图4，正方形OABC与正方形ODEF放置在直线l上，连接AD，CF，此时AD＝CF，AD⊥CF成立．

(1)正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图5，试判断AD与CF还相等吗？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

(2)正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，AD与OC的交点为G，如图6，求证：AD⊥CF.

(3)在(2)小题的条件下，当AO＝3，OD＝2时，求线段CG的长．

图4图5图6

5．如图7，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点(不与点A、点D重合)，将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP，BH.

图7

(1)求证：∠APB＝∠BPH；

(2)求证：AP＋HC＝PH；

(3)当AP＝1时，求PH的长．

参考答案：

1．(1)证明：连接OC，交DE于M，如图3所示：

图3

∵OH⊥AB，CD⊥OA，CE⊥OH，

∴∠DOE＝∠OEC＝∠ODC＝90°.

∴四边形ODCE是矩形．

∴∠DCE＝90°，DE＝OC，MC＝MD.

∴∠CED＋∠MDC＝90°，

∠MDC＝∠MCD.

∵∠GCD＝∠CED，∴∠GCD＋∠MCD＝90°，即∠OCG＝90°. ∴GC⊥OC，点C是⊙O上一点，∴GC是⊙O的切线；

(2)解：由(1)得：DE＝OC＝1

2AB＝3；

(3)解：∵∠DCE＝90°，∠CED＝30°，

∴CE＝DE·cos∠CED＝3×

3

2＝

3 3

2.∴CF＝

1

2CE＝

3 3

4.

1．(1)证明：连接OD，BD，

图1

∵AB是⊙O的直径，

∴AB⊥BC，即∠ABO＝90°，

∵AB＝AD，

∴∠ABD＝∠ADB，

∵OB＝OD，

∴∠DBO＝∠BDO，

∴∠ABD＋∠DBO＝∠ADB＋∠BDO，

∴∠ADO＝∠ABO＝90°，

∴AD是半圆O的切线；

(2)证明：由(1)知，∠ADO＝∠ABO＝90°，

∴∠A＝360°－∠ADO－∠ABO－∠BOD＝180°－∠BOD，∵AD是半圆O的切线，

∴∠ODE＝90°，

∴∠ODC＋∠CDE＝90°，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠ODC＋∠BDO＝90°，

∴∠BDO＝∠CDE，

∵∠BDO＝∠OBD，

∴∠DOC＝2∠BDO，

∴∠DOC＝2∠CDE，

∴∠A＝∠CDE；

(3)解：∵∠CDE＝27°，

∴∠DOC＝2∠CDE＝54°，

∴∠BOD ＝180°－54°＝126°， ∵OB ＝2，

∴BD 的长＝126·π×2180＝75

π.

2．(1)证明：∵AD 是直径，∴∠ABD ＝∠ACD ＝90°.

在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，⎩

⎪⎨⎪⎧

AB ＝AC ，

AD ＝AD ，∴Rt △ABD ≌Rt △ACD .

∴∠BAD ＝∠CAD . ∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE . (2)解：四边形BFCD 是菱形．

证明：∵AD 是直径，AB ＝AC ，∴AD ⊥BC ，BE ＝CE . ∵CF ∥BD ，∴∠FCE ＝∠DBE .

在△BED 和△CEF 中，⎩⎪⎨⎪

⎧

∠FCE ＝∠DBE ，BE ＝CE ，

∠BED ＝∠CEF ＝90°，

∴△BED ≌△CEF ，∴CF ＝BD . ∴四边形BFCD 是平行四边形． ∵∠BAD ＝∠CAD ，∴BD ＝CD . ∴四边形BFCD 是菱形．

(3)解：∵AD 是直径，AD ⊥BC ，BD ＝CD ， ∴∠AEC ＝∠CED ＝90°，∠CAE ＝∠DCE . ∴△AEC ∽△CED .∴

EC ED ＝AE

CE

.∴CE 2＝DE ·AE ， 设DE ＝x ，∵BC ＝8，AD ＝10，∴42＝x (10－x )， 解得：x ＝2或x ＝8(舍去)

在Rt △CED 中，CD ＝CE 2＋DE 2＝42＋22＝2 5. 3．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上， ∴∠ACB ＝90°(直径所对的圆周角是直角)． (2)△EAD 是等腰三角形．

证明：∵∠ABC 的平分线与AC 相交于点D ，∴∠CBD ＝∠ABE . ∵AE 是⊙O 的切线，∴∠EAB ＝90°. ∴∠AEB ＋∠EBA ＝90°.

∵∠EDA ＝∠CDB ，∠CDB ＋∠CBD ＝90°， ∵∠CBE ＝∠ABE ，∴∠AED ＝∠EDA .∴AE ＝AD . ∴△EAD 是等腰三角形．