初三专题复习几何变换之旋转辅导讲义

几何变换之旋转

【中考剖析：】

内容要求考点

旋转

了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离

相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等

的性质；会识别中心对称图形; 能按要求作出简

单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前后的图

形，指出旋转中心和旋转角．

图形旋转后求角度、线段关系、长度、周长、

面积

【专题结构：】

一、旋转有关概念

1、旋转：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中

心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点'P，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．(如图)

2、旋转问题应把握三元素：旋转中心、旋转角度和旋转方向．

3、旋转的性质：旋转后的图形与原图形是全等的，对应的旋转角度相等．

二、中心对称

1、中心对称的有关概念：把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果它能够与另一个图形重

合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点(如图)

三、共顶点旋转模型（证明基本思想SAS

）

P'

Q'

Q

P

O

D

C

B

A

O

共顶点等边三角形

共顶点等腰直角三角形

共顶点等腰三角形

四、旋转前后具有以下性质

1、对应线段相等，对应角相等

2、对应点位置的排列次序相同

3、任意两条对应线段所在的直线夹角都等于旋转角

【例题精讲：】 一、对旋转的初步认识

【例1】正方形网格中，ABC ∆为格点三角形(顶点都是格点)，将ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到11AB C ∆．

⑴在正方形网格中，作出11AB C ∆；(不要求写作法)

⑵设网格小正方形的边长为1cm ，用阴影表示出旋转过程中线段BC 所扫过的图形，然后求出它的面积．(结果保留)

【巩固】在下图的网格中按要求画出图象，并回答问题．

π

⑴先画出ABC ∆向下平移5格后的111A B C ∆，再画出ABC ∆以O 点为旋转中心，沿顺时针方向旋转90︒后的222A B C ∆；

⑵在与同学交流时，你打算如何描述⑴中所画的222A B C ∆的位置？

【例2】如图所示，ABC ∆是直角三角形，BC 是斜边，将ABP ∆绕点A 逆时针旋转后，能与'ACP ∆重合， 如果2AP =，那么'PP =______．

【巩固】如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到矩形'''AB C D ，如果

22CD DA ==，那么 'CC =_________．

【例3】如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且45DAE ∠=︒，将

ADC ∆绕点A 顺时针旋转90︒后，得到AFB ∆，连接EF ，下列结论：

①AED AEF ∆∆≌； ②ABE ACD ∆∆∽； ③BE DC DE +=； ④222BE DC DE += 其中正确的是( )

A ．②④；

B ．①④；

C ．②③；

D ．①③．

D'

C'

B'

D C

B A

二、大角夹半角模型

在大角夹半角模型中比较常见的是

90和 45， 120和 60．

【例4】正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，

15=∠EAD ， 30=∠FAB ,=

AD 3，求AEF ∆的面积．

【巩固】正方形ABCD 中，点E 在DC 延长线上，点F 在CB 延长线上， 45=∠EAF , 请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？

【例5】四边形ABCD 是由等边ABC ∆和顶角为

120的等腰ABD ∆拼成，将一个角顶点放在D 处，将 60角绕D 点旋转，该

60角两边分别交直线BC 、AC 于M 、N ．交直线AB 于E 、F 两点，

F

E

D

C

B

A

（1）当E 、F 分别在边AB 上时（如图1），求证：MN AN BM =+；

【巩固】条件如例5，当E 、F 分别在边BA 的延长线上时如图2，求线段BM 、AN 、MN 之间又有怎样的数量关系?

【例6】如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120的等腰三角形，以

D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．

三、等边三角形的“Y ”字型模型

【例7】如图，是等边内一点，若，，，求的度数．

【巩固】如图，P 是等边ABC ∆中的一个点，2,23,4PA PB PC ===，则ABC ∆的边长是 ．

【例8】如图ABC ∆三边长分别是17BC =，18CA =，19AB =，过ABC ∆内的点P 向ABC ∆三边分别作垂线PD PE PF ，，，且=27BD CE AE ++，求BD BF +的长度．

【例9】如图，在凸四边形ABCD 中，30,60ABC ADC ∠=∠=，,AD DC =证明:

222BD AB BC =+．

P ABC ∆3AP =4PB =5PC =APB ∠P

C

B

A

D

C

B

A