夫琅禾费单缝衍射次极大位置

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夫琅禾费单缝衍射光强分布的研究

夫琅禾费单缝衍射光强分布的研究（Research Of Fraunhofer Single Slot Diffraction Of Light

Intensity Distribution）

摘要：我们在光学中学习了有关夫琅禾费单缝衍射和圆孔衍射的内容，本文主要是对夫琅禾费单缝衍射光强的计算公式进行数学推导以及拓展，并且根据推导的数学公式对夫琅禾费单缝衍射光强分布情况进行讨论，对夫琅禾费单缝衍射的特点进行分析介绍。

关键词：夫琅禾费单缝衍射（Fraunhofer single slot diffraction）、光强（Light intensity）、光强分布（Light intensity distribution）、最大值（Maximum）

引言：光的衍射是光的波动性的重要现象之一。衍射现象即波在传播过程中不沿直线传播，而是向各方向绕射的现象。而光绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影，并在屏幕上出现光强分布不均匀的现象，称为光的衍射。在衍射现象中，把平行光束的衍射现象，称为夫琅禾费衍射。夫琅禾费衍射在光学研究中有着重要意义，它主要包括单缝衍射、圆孔衍射。这里我重点介绍夫琅禾费单缝衍射的光强分布特点。

一、夫琅禾费单缝衍射实验装置与衍射图样的特点。

所谓夫琅禾费衍射是指光源、衍射屏和观察屏三者之间都是相距无限远的衍射情况。即相当于入射光和衍射光都是平行的情况。在这种情况下计算衍射花样中光强的分布时，数学运算就比较简单。所谓光源在无限远，实际上就是把光源置于第一个透镜的焦平面上，使之成为平行光束；所谓观察角在无限远，实际上是在第二个透镜的焦平面上观察衍射花样。由于透镜的会聚，衍射花样的光强将比菲涅耳衍射花样的光强大大增加。夫琅禾费单缝衍射包含着衍射现象的许多主要特征。夫琅禾费单缝衍射光路图如下图所示：

18-2 夫琅禾费单缝衍射

b A θ
总体上说：总体上说：
k≠0
λ
? 中央明纹中心
B
b sin θ = 0
b sin θ = ±2k
λ/2
2 λ b sin θ = ± ( 2k + 1) 干涉加强（明纹） 2k + 1 干涉加强（明纹）个半波带 2
= ± kλ 干涉相消（暗纹） 2k个半波带干涉相消（暗纹）
b sinθ ≠ k
λ
λ
b
−
λ λ
b
o
λ λ
b b f
2
− f b
2 f b
λ
b
3
λ
sinθ
3 f b
λ
b
x
第十八章光的衍射与偏振讨论
18-2 夫琅禾费单缝衍射 18干涉相消（暗纹） = ± kλ 干涉相消（暗纹）干涉加强（明纹）干涉加强（明纹）
x1 （1）第一暗纹距中心的距离 b sin θ 1 = λ 和 b sin θ 1 ≈ b ） f
b sin θ = ± 2 k
λ
干涉相消（暗纹） = ± kλ 干涉相消（暗纹）干涉加强（明纹）干涉加强（明纹）除了中央明纹外的其它明纹、它明纹、暗纹的宽度
l = θ k +1 f − θ k f =
λ f
b
（4）单缝衍射的动态变化）单缝上下移动，根据透镜成像原理衍射图不变。单缝上下移动，根据透镜成像原理衍射图不上下移动

夫琅禾费单缝衍射

18-2 夫琅禾费单缝衍射
I

I
0

sin
2

I
0

sinb sin b sin
2
I0=A2，是中央明纹中心的光强。
讨论通过求极值，可得明、暗纹出现的角度
1) =0，I=I0，明纹中心；
2) bsin = 1.43， 2.46， 3.47，…，为其它
光直线传播衍射最大
b 一定，越大，1越大，衍射效应越明显。
（2）中央明纹(k=1的两暗纹间)
角范围 sin
b
b
线范围 f x f
b
b
中央明纹的宽度
l0
2x1
2
b
f
第十八章光的衍射与偏振
18-2 夫琅禾费单缝衍射
单缝宽度变化，中央明纹宽度如何变化？
央极大，此时圆弧AB变成直线，设
B R
O A
2

A0=AB
A
A0
R A0
2
A

A0
sin
I A2
夫琅禾费单缝衍射光强分布
I

I
0

sin
2

I
0

sinb sin b sin

夫琅禾费单缝衍射实验的教学研究

4.3夫琅禾费单缝衍射图样条纹宽度
4.3.1中央眀纹宽度
对于近轴近似，角宽度，中央亮纹的边缘对应的衍射角，称为中央亮纹的半角宽；线宽度
4.3.2其他眀纹（次极大）宽度
由，得，即其它眀纹宽度是中央眀纹宽度的一半。
5夫琅禾费单缝衍射实验仪器及实物图
在实验室，通常使用钠光灯和激光作为光源。使用钠光灯作为光源，波长稳定，但发光效率低，灯的使用寿命短，一般只有几百小时的工作时间；使用激光作为光源，光束具有良好的单色性、单一方向性、高亮度及高稳定性等，并且计算简单，操作方便，衍射条纹清晰。考虑到本文主要是探究点光源和线光源作为实验用光源时所产生的各种问题，本文选用激光作为光源，设计了如下两种实验仪器及实物图[8]。
；其中，
、和分别为缝宽、光波波长和衍射光束与光轴的夹角（衍射角）[5]。
令光强的一阶导为零即
解得
光强的二阶导
4.1光强极值分布条件
4.1.1 光强主极大（中央明纹中心）位置
，即，得，这是与光轴平行的光线会聚点（中央亮纹的中心点）的光强，是衍射图样中光强的极大值，称为中央主极大。
4.1.2 光强极小（暗纹）位置
3.1“焦面接收”装置
把单色点光源放在凸透镜的前焦面上，经透镜后的光束成为平行光垂直照在单缝上，由惠更斯—菲涅耳原理，位于狭缝波阵面上每一点都可看成新的子波波源，它们向各个方向发射球面次波，这些次波经透镜会聚于的后焦面上，把接收屏放在凸透镜的后焦面上，则由几何光学可知、相当于距单缝无限远。

单缝衍射的光强分布及缝宽测定

周鹏1

（武汉大学物理科学与技术学院，湖北，武汉，430072）

摘要：本实验利用光电转化法研究单缝夫琅禾费衍射的光强分布，并利用衍射花样测定单缝的宽度，加深了对光的衍射理论的理解。关键词：单缝衍射；光强分布；光电检流计

作者：周鹏（1994.11—），男，山东济宁人，武汉大学2011级物理弘毅班本科生，学号：2011301020006

1.引言

为了计算衍射图必须取一定的近似，通常取菲涅尔近似和夫琅禾费近似，相应的衍射区光波的行为分别为菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射。夫琅禾费衍射要求光源级接受屏到衍射屏的距离都是无限远或相当于无限远，其衍射图样不随距离的增加而改变。夫琅禾费衍射的计算较菲涅尔衍射简单，在傅里叶光学中具有重要的意义。

2.实验原理

图 1 夫琅禾费衍射原理图

夫琅和费衍射是平行光的衍射，在实验中可借助两个透镜来实现，如图1所示。与光轴平行的衍射光会聚于屏上0P 处，是中央亮纹的中心，其光强设为0I ；与光轴成θ 角的衍射光束会聚于P θ 处，可以证明, P θ处的光强I θ为

202sin ,s n i u I I u a u θλ

πθ

(1)

式中，a 为狭缝宽度，λ为单色光的波长。理论上可以证明，激光发散角（rad 53101~101--⨯⨯）很小，可当做平行光入射．不加透镜，若满足2/8L a λ>>，单缝衍射就处于夫琅禾费衍射区域。根据该式可以对L 的取值范围进行估算：实验时，若取4110a m -≈⨯，入射光是He-Ne 激光，其波长为632.80nm ，2/ 1.62a cm cm λ=≈，所以只要取cm L 20≥，就可满足夫琅禾费衍射的远场条件．但实验证明，取80L cm ≈，结果较为理想

实验五单缝衍射的相对光强分布

a a a

它们的相对光强分别为

I 0.047, 0.017, 0.008, I0
实验内容按夫琅和费衍射的要求，布置和调整各光学元件.如用激光作光源，投射于宽度可调的单缝上。当显示衍射图像的屏离单缝甚远( L>>a)时，透镜L2可以省略。
1 2 4 5 6 3 7
1—激光器，2—单缝，3—光导轨，4—小孔屏，5—光电探头，6—一维测量装置，7—数字检流计；
条纹)的位置 xK ，测量单缝到光电池的距离 xk L。将 xK和L值代入式 k L 中，就得到曲线上各级暗条纹对应的衍射角 K 。取第一级暗条
纹的衍射角代入式宽度a。
K ，计算相应的单缝 a

5．由光强分布曲线确定各级亮条纹光强次极大值的位置及相对光强，分别与式
实验原理
光的衍射现象是光的波动性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ重要表现。根
据光源及观察衍射图象的屏幕（衍射屏）到产生衍射的障碍物的距离不同，分为菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射两种，前者是光源和衍射屏到衍射物的距离为有限远时的衍射，即所谓近场衍射；后者则为无限远时的衍射，即所谓远场衍射。
产生夫琅和费衍射的条件，是光源和显示衍
的衍射图像，描述这些图象的特点。
单缝 1：a=0.1 2:a=0.2 3:a=0.3 单丝 4:a=0.1 5:a=0.2 6:a=0.3 小孔 7:Ф=0.2 8:Ф=0.3 9:Ф=0.4 小屏 10:Ф=0.2 11:Ф=0.3 12:Ф=0.4

夫琅禾费衍射

摘要：运用数学方法推导了不同孔径夫琅禾费衍射的振幅和光强分布，并作出计算机模拟

图，定性定量的研究夫朗禾费衍射的光强分布和图样。

引言

光学中的衍射分为近场衍射和远场衍射，而我们在实验室见到的多是远场衍射，即夫琅禾费衍射，所以本文对其进行了进一步研究。夫琅禾费衍射是平行光入射，所以可以较容易的用数学方法对其研究论证。本文对不同孔径的夫琅禾费衍射进行了研究，掌握了他们的成像规律才能将其更好的应用在实际生活中。

关键词:夫朗禾费衍射光强分布计算机模拟惠更斯-菲涅耳原理傅里叶变换 1夫琅禾费单缝衍射光强及分布的研究

衍射花样的光强分布

B'M B

x F

P 0

I/I 0

光强

振幅

－3π-2π-ππ2π3π

－3π

-2π

-π

2π

3π

y=tgu

图1 图2

当光屏放置在透镜2L 的焦平面上时，屏上出现衍射花样，光强的分布可由

u c I I 20sin =式决定，不同的衍射角θ对应于光屏上不同的观察点，首先来决定衍射花样

中光强最大值和最小值的位置，即求出满足光强的一阶导数为零的那些点：

()222

2sin cos sin sin 0u u u u d u du u u -⎛⎫== ⎪⎝⎭ 由此得sin 0,u u tgu ==

分别解以上两式，可得出所有的极值点。

1）

单缝衍射中央最大值的位置：

由sin 0u =，解得满足

()00sin /u b πθλ=的那个方向，即

0sin θ=0 (中央最大值的位置) （1）

也就是在焦点0P 处，2

00p I =A ，光强为最大。这里，叠加的各个次波位相差为零，所以振幅叠加相互加强。

单缝衍射光强分布实验报告

实验报告：单缝衍射光强分布实验

一、实验目的

通过实验观察和探究单缝衍射现象，了解光的波动性质，研究单缝衍

射光强分布的规律。

二、实验原理

单缝衍射是指当光线通过一个狭缝时，由于光的波动性质，光波会发

生衍射现象，即光线会向周围扩散。根据夫琅禾费衍射公式，单缝衍射光

强分布的规律可以通过以下两个公式推导得出：

1.衍射公式：θ=mλ/b

其中，θ为衍射角，m为条纹的级次（m=0,±1,±2,...），λ为波长，b为狭缝宽度。

2. 衍射光强分布公式：I = I0 * (sin(β) / β)^2 * (sin(Nα) / sin(α))^2

其中，I为条纹的光强，I0为中央条纹的光强，β为β = πb *

sinθ / λ，α为α = πa * sinθ / λ，a为光源的宽度，N为缝数。

三、实验步骤

1.将光源与被研究的缝隙间隔一定距离，并确保光源垂直照射缝隙。

2.使用光屏接收衍射光，并根据需要调整光屏距离缝隙的距离，以便

更好地观察衍射条纹。

3.用CCD相机拍摄光屏上的衍射条纹，通过图像处理软件量化光强，

得到光强分布曲线。

4.调整狭缝的宽度，观察并记录不同宽度下的光强分布情况。

5.重复实验多次，取平均值以减小误差。

四、实验结果与分析

通过实验观察到的结果，我们可以得到以下结论：

1.光强分布呈现明暗相间的条纹状，其中最中央的一条条纹最亮，两

侧的条纹逐渐减弱。

2.随着波长λ的增大，条纹间距减小，光强分布也发生变化。

3.随着缝宽b的增大，条纹变得更为集中，光强分布呈现更明显的周

期性变化。

《大学物理AII》作业No.06光的衍射参考答案

《大学物理AII 》作业No.06光的衍射

班级________学号________姓名_________成绩_______-------------------------------------------------------------------------------------------------------****************************本章教学要求****************************

1、理解惠更斯-菲涅耳原理以及如何用该原理解释光的衍射现象。

2、理解夫琅禾费衍射和菲涅耳衍射的区别，掌握用半波带法分析夫琅禾费单缝衍射条纹的产生，能计算明暗纹位置、能大致画出单缝衍射条纹的光强分布曲线；能分析衍射条纹角宽度的影响因素。

3、理解用振幅矢量叠加法求单缝衍射光强分布的原理。

4、掌握圆孔夫琅禾费衍射光强分布特征，理解瑞利判据以及光的衍射对光学仪器分辨率的影响。

5、理解光栅衍射形成明纹的条件，掌握用光栅方程计算主极大位置；理解光栅衍射条纹缺级条件，了解光栅光谱的形成以及光栅分辨本领的影响因素。

6、理解X 射线衍射的原理以及布拉格公式的意义，会用它计算晶体的晶格常数或X 射线的波长。

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一、填空题

7.6 单缝夫琅禾费衍射解析

7.6 单缝夫琅禾费衍射
单缝衍射实验装置
L1
K
L2
E屏幕
S
*
用菲涅耳半波带法解释单缝衍射现象
将衍射光束分成一组一组的平行光，每组平行光的衍射角（与原入射方向的夹角）相同
AC a sin
衍射角不同，最大光程差也不同，P点位置不同，光的强度分布取决于最大光程差
A
a
B
C (2) (1 ) (2)
(1 ) (2)
(1 )
P0
x P
f
菲涅耳半波带法
相邻平面间的距离是
Fra Baidu bibliotek
A
A1 A2 A3
C
入射单色光的半波长任何两个相邻波带上对应点所发出的光线到达BC 平面的光程差均为半波长（即位相差为），在P 点会聚时将一一抵消。
B

AB面分成奇数个半波带，出现亮纹
AC a sin 3

x f tan f sin 0.5 4.5 103 2.25 103
而第1级明纹在屏上的宽度为第2级暗纹与第1级暗纹在屏上的间距, 则 2 x x2 x1 f tan 2 f tan1 f
a a
600109 3 f 0.5 1 . 5 10 m 3 a 0.2 10
3 2a

光学基础光的干涉与衍射的现象与计算

光的干涉与衍射是光学中的重要现象，我们可以通过这些现象来理解光的性质和传播规律。本文将介绍光的干涉与衍射的概念、原理以及计算方法。

一、干涉的概念与现象

干涉是指两束或多束光相遇时所产生的相互作用现象。干涉的本质是光波的叠加，当两束光波相遇时，它们会相互叠加并产生明暗交替的干涉条纹。

干涉现象可以通过Young双缝实验来观察。Young实验中，将一块狭缝板放在光源前方，形成两个狭缝，然后让光通过这两个狭缝，形成两个相干光源。当这两个光源发出的光在屏幕上相遇时，就会出现干涉条纹。干涉条纹的出现是因为两个光波在相遇点处发生干涉，相长干涉会产生亮条纹，相消干涉会产生暗条纹。

二、干涉的计算方法

干涉计算的关键是求出相邻两条干涉条纹之间的光程差。干涉条纹之间的光程差决定了干涉条纹的间距和亮暗程度。

光程差的计算公式为：

Δ = d * sinθ

其中，Δ为光程差，d为两个狭缝之间的距离，θ为入射光线与平行光束的夹角。

在Young实验中，干涉条纹的间距可以用以下公式计算：

λ = Δy / L

其中，λ为干涉条纹间距，Δy为相邻两个亮条纹的间距，L为屏幕与狭缝板的距离。

三、衍射的概念与现象

衍射是指当光波通过一个或多个小孔或物体边缘时，波的传播方向发生改变的现象。衍射现象是光波的波动性质的表现，它使光线呈现出扩散的特点。

衍射的经典实验是夫琅禾费衍射实验。在夫琅禾费衍射实验中，光通过一个狭缝后，形成一个光源的小孔。当这个光源的小孔和屏幕距离较远时，我们可以观察到在屏幕上的衍射图样。衍射图样的形状决定于狭缝的尺寸和光的波长。

2_6夫琅禾费单缝衍射

屏幕屏幕
S
*
3
2.6.2 强度的计算 x
屏幕
dx
r
θ
r0
P
B
S
F1
x
λ
Δ = x sin θ
M N 0 D B′
P0
θ
宽度dx窄带所发次波振幅
将波前 BB′分割成许多等宽窄带dx, 初位相 ϕ0 = 0
A0 dx A0 整个狭缝所发次波振幅； b A0 dx cos ωt M点所发次波的振动 dE0 = b
λ
b
中央亮纹在θ＝±λ / b之间，其半角宽度为： Δθ = 中央亮纹线宽度为：线宽度
λ
b
12
2λ Δ = 2 f '2 tg (Δθ ) ≈ f '2 b
次最大（高级亮纹）的角宽度为：
b b b 由此可见，中央亮纹的角宽度是次最大角宽度的两倍。两倍
(3)、暗纹等间距；次最大不等间距。 (4)、白光作为光源，中央白，其余各级为彩色条纹。 (5)、缝宽b的影响→衍射反比律由中央最大值的半角宽度公式： Δθ = 当b ↑，Δθ ↓；当b>>λ时， Δθ →0
πb sin θ λ
λ
次最大光强的角位置近似为：
sin θ k 0
2
2k + 1 λ ≈± 2 b
⎛ sin u ⎞ 代入单缝衍射因子 I = ⎜ ⎟ I 0 各次最大的光强为： ⎝ u ⎠

大学物理：17-9 单缝的夫琅禾费衍射

θ = 0，δ = 0
—— 中央明纹(中心)
Bθ
S
*
a
Aδ f′
·p
θ 0
f
3. 衍射图样的讨论
3.1 菲涅耳半波带法（半定量方法）
在波阵面上截取一个条状带，使它上下两边缘发
的光在屏上p处的光程差为 λ/2 ，此带称为半波带。
y 当 a sinθ = λ 时，可将缝分为两个“半波带”
θ1
B
半波带 a 半波带
由半波带法可得明暗纹条件为：
a sinθ = ±kλ，k = 1,2,3… ——暗纹
a sinθ = ±(2k + 1) λ ， k = 1,2,3…
2
——明纹
a sinθ = 0
——中央明纹(中心)
asinθ ≠ k λ ( k = 1,2,3,L ) 介于明暗之间
2
注意： k ≠ 0
3.3 衍射图样
线宽度为
f
Δx0
=
2
f
⋅ tgθ1
=
2
fθ
1=
2
f
λ
a
∝
λ
a
B. 次极大
Δθ = λ
a
源自文库
中央明纹角宽度为其余条纹角宽度的两倍。
Δx ≈
fλ
a
=
1 2
Δx0

夫琅禾费单缝衍射光强分析与探讨修改

夫琅禾费单缝衍射光强分析与探讨

摘要：在夫琅禾费单缝衍射实验中,如果在透镜的物方焦面内沿着某一圆周改变

光源S的位置,让透镜出射的单色

平面光波都以相同的入射角H0入射到单缝衍射屏上,则单缝衍射光强分布均会发生改变,说明衍射图样的光强分布不仅

和入射角H0以及衍射角H有关,而且和光源S的位置有关;考虑单缝衍射屏上光波相位的分布和平面光波的入射方位(即

光源S的位置)的关系,采用矢量图解法对单缝衍射因子进行分析及计算,得到了全面的夫琅禾费单缝衍射光强公式。

关键词：单缝衍射;光强;光程差;斜入射

1 夫琅禾费单缝衍射（一） (1)

的物方焦点时的装置及现象 (1)

1.1 单色点光源S位于透镜L

1.2 用积分法来求夫琅禾费单缝衍射的光强………………………………（）

1.3 衍射光强的极值分布条件及特点………………………………………（）

2 夫琅禾费单缝衍射（二）……………………………………………………（）2.1 单色点光源S位于透镜L

的物方焦面上时的装置……………………（）

2.2 单缝衍射因子分析及计算………………………………………………（）

3 总结…………………………………………………………………………（）

1 夫琅禾费单缝衍射（一）

1.1 单色点光源S位于透镜L

的物方焦点时的装置及现象

如图1所示,单色点光源S置于凸透镜L1的物方焦平面上,从点光源发出的光经过透镜以后变成平行光,垂直射到宽度约为十分之几毫米的狭缝上。缝后置一凸透镜L2,在L2象方焦平面上放置接收屏,则屏上显现出由一系列不连续的明亮短线组成的衍射图样,如图1[1]所示。改变缝的宽度,衍射图样也发生变化,缝越宽,衍射图样越收缩,当缝宽足够大时(远大于波长),则衍射图样缩成一点,这就是点光源S在透镜中所成的象。狭缝对光波在方向上的限制,使光在x方向上产生衍射,生成一系列沿x方向排列的明亮的短线,这些短线好像是点光源的一个扩展开的象。

光的衍射(单缝)

例、一束波长为 =5000Å的平行光垂直照射在一个单缝上。 a=0.5mm，f=1m (3) 如果在屏幕上离中央亮纹中心为x=3.5mm处的P点为一亮纹，试求(a)该P处亮纹的级数；(b)从P处看，对该光波而言，狭缝处的波阵面可分割成几个半波带？ ( a ) a sin ( 2k 1 ) 亮纹 2
(2)正、负表示衍射条纹对称分布于中央明纹的两侧 (3) 对于任意衍射角，单缝不能分成整数个半波带，在屏幕上光强介于最明与最暗之间。
讨论
I
当增加时,为什么光强的极大值迅速衰减？
5 3 2a 2a
AC a sin
3 2a 5 sin 2a
0
当角增加时，半波带数增加，未被抵消的半波带面积减少，所以光强变小；
kf xk a
x (2k 1) f / 2a
明纹中心
讨论：条纹在屏幕上的位置与波长成正比，如果用白光做光源，中央为白色明条纹，其两侧各级都为彩色条纹。该衍射图样称为衍射光谱。
由微分式x k f / a 看出缝越窄（ a 越小），条纹分散的越开，衍射现象越明显；反之，条纹向中央靠拢。
x sin tg f
ax 1 k 3 f 2
(b)当k=3时，光程差
a sin ( 2k 1 )

2
7

2

[实验报告]单缝衍射的光强分布与缝宽测量

单缝衍射的光强分布与缝宽测量

摘要：本文主要介绍了通过观察单缝的夫琅和费衍射现象及其随单缝宽度变化的规律，加深对光的衍射理论的理解。学习光强分布的光电测量方法。利用衍射图案测定单缝的宽度。关键词：单缝衍射；光强分布；光电流；单缝缝宽

The Light intensity distribution of the Single-slit diffraction and

the Seam width determination

Abstract : The main purpose of the experiment is to observe the single slit Fraunhofer diffraction

phenomena and single slit width with change rules, deepen the understanding of light diffraction theory. Learning light intensity distribution of photoelectric measuring method. Diffraction pattern determine the width of the single slot.

Key words : Single-slit diffraction ；Light intensity distribution ；photo-current ；the seam width

一、引言

单缝衍射的基本解释是光在传播过程中遇到障碍物，光波会绕过障碍物继续传播。而所谓的夫琅禾费衍射是指光源、衍射屏和观察屏三者之间都是相距无限远的情况。即当入射光和衍射光都是平行的情况。其图案是一组平行于狭缝的明暗相间的条纹。与光轴平行的衍射光束是亮纹的中心，其衍射光强为极大值。除中央主极大外，两相邻暗纹之间有一次极大。位置离主极大越远，光强越小。二、实验原理