2018届高三理科数学一轮复习学案 导数与函数的综合问题

第四节 导数与函数的综合问题

突破点(一) 利用导数研究生活中的优化问题

1．生活中的优化问题

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．

2．利用导数解决生活中优化问题的基本思路

[典例] 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝

a

x －3

＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(1)求a 的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

[解] (1)因为x ＝5时，y ＝11， 所以a

2

＋10＝11，a ＝2.

(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝

2

x －3

＋10(x －6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f (x )＝(x －3)⎣⎡⎦

⎤2x －3＋10(x －6)2

＝2＋10(x －3)(x －6)2,3＜x ＜6.

从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．

于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：

f ′(x ) ＋ 0 － f (x )

极大值

由上表可得， 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.

当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

[方法技巧]

利用导数解决生活中的优化问题的步骤

(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )；

(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；

(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”

1．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌新的墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( )

A ．32米，16米

B ．30米，15米

C ．40米，20米

D ．36米，18米

解析：选A 要求材料最省，则要求新砌的墙壁总长最短，设堆料厂的宽为x 米，则长为512x 米，因此新墙总长为L ＝2x ＋512x (x >0)，则L ′＝2－512

x 2，令L ′＝0，得x ＝±16.

又x >0，∴x ＝16.则当x ＝16时，L 取得极小值，也是最小值，即用料最省，此时长为512

16＝

32(米)．故选A.

2．某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，则银行获得最大收益的存款利率为( )

A ．3.2%

B ．2.4%

C ．4%

D ．3.6%

解析：选A 依题意知，存款量是kx 2，银行应支付的利息是kx 3，银行应获得的利息是0.048kx 2，所以银行的收益y ＝0.048kx 2－kx 3，故y ′＝0.096kx －3kx 2，令y ′＝0，得x ＝0.032或x ＝0(舍去)．因为k >0，所以当00；当0.032

3．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米．

解析：设广场的长为x 米，则宽为40 000

x 米，于是其周长为y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋40 000x (x >0)，所以y ′＝2⎝⎛⎭⎫1－40 000

x 2，令y ′＝0，解得x ＝200(x ＝－200舍去)，这时y ＝800.当0200时，y ′>0.所以当x ＝200时，y 取得最小值，故其周长至少为800米．

答案：800

4．(2017·北京东城模拟 )某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．

解析：设商场销售该商品所获利润为y 元，则y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2

＋11 700p －166 000(p ≥20)，则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700.令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．

则p ，y ，y ′变化关系如下表：

故当p ＝30又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元时，所获利润最大为23 000元．

答案：30 23 000

5．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－3

80

x ＋8(0

100千米．

(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解：(1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040小时，共耗油10040×1128 000×403－

380×40＋8＝17.5(升)．

因此，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升． (2)当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100

x 小时，设耗油量为h (x )升， 依题意得h (x )＝⎝⎛⎭⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x ＝11 280x 2＋800x －15

4(0

－800x 2＝x 3－803

640x 2

(0