2014高考数学理复习 二轮作业手册(新课标·通用版)专题限时集：第17讲 函数与方程思想、数形结合思想

专题限时集训(十七)[第17讲 函数与方程思想、数形结合思想](时间：45分钟)1．若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．1C ．－12D ．－13．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.334．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离的最小值为________．5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－36．函数f (x )＝ln x 的图像与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图像的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4 2x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝4 2，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．48．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，f (－4)＝－1，f (x )的导函数f ′(x )的图像如图X17－1所示．若两正数a ，b 满足f (a ＋2b )<1，则a ＋2b ＋2的取值范围是( )图X17－1A.13，2 B ．(－∞，1)C ．(－1，0) D.12，39．已知函数f (x )＝3x ＋sin x －2cos x 的图像在点A (x 0，f (x 0))处的切线斜率为3，则tan x 0的值是________．10．若曲线y ＝x －12在点m ，m －12处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，则m ＝________．11．函数f (x )＝2－sin x3－cos x的值域是________．12．已知x 3＋sin x －2a ＝0，4y 3＋sin y cos y ＋a ＝0，则cos(x ＋2y )＝________． 13．等差数列{a n }中，a 3＝3，a 1＋a 4＝5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n ²a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .14．如图X17－2所示，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且α∈π6，π2.将角α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B .记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)若x 1＝13，求x 2；(2)分别过A ，B 作x 轴的垂线，垂足依次为C ，D .记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2.若S 1＝2S 2，求角α的值．15．已知函数f (x )＝ln x ，a 是大于0的实数．(1)若f (x )≤ax ＋a －1x＋1－2a 在[1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )＋ax 2－2x ，若函数F (x )有两个极值点，证明F (x )的极小值小于－32.专题限时集训(十七)1．D [解析] i (x ＋y i )＝－y ＋x i ＝3＋4i ，根据两复数相等的充要条件得x ＝4，y ＝－3.故|x ＋y i |＝（－3）2＋42＝5.2．D [解析] 由y ＝－12x ＋ln x 得y′＝－12＋1x ，由y′＝－12＋1x ＝12，得x ＝1，把x ＝1代入曲线方程y ＝－12x ＋ln x 得y ＝－12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫1，－12，代入直线方程y ＝12x ＋b 得b ＝－1.3．D [解析] 设|PF 2|＝x, 则|PF 1|＝2x ，由椭圆定义得3x ＝2a ，结合图形知，2a 32c ＝33⇒ca＝33，故选D . 4.2 [解析] y′＝2x －1x ，令y′＝1，得方程2x 2－x －1＝0，解得x ＝－12(舍)或x ＝1，故与直线y ＝x －2平行的曲线y ＝x 2－ln x 的切线的切点坐标为(1，1)，该点到直线y ＝x －2的距离d ＝2即为所求．5．B [解析] 画出可行域如图中△ABC ，易得A(3，－2)，B(3，4)，C(0，1)，作出直线y ＝23x ，平移易知直线过B 点时在y 轴上的截距最大，此时z 最小．即z min ＝2³3－3³4＝－6，故选B.6．C [解析] 4的图像如图所示． 可知其交点个数为2，选C . 方法二：(数值法)可知它们有7．C [解析] 设P(x 0，y 0)，根据抛物线定义得|PF|＝x 0＋2，所以x 0＝3 2，代入抛物线方程得y 2＝24，解得|y|＝2 6，所以△POF 的面积等于12²|OF|²|y|＝12³2³2 6＝2 3.8．D [解析] 因为f(x)是定义域为R 的奇函数，f (－4)＝－1，所以f (4)＝1，又因为f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在R 上单调递增，若两正数a ，b 满足f (a ＋2b )<1，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，a ＋2b <4，把b 看作横坐标，a 看作纵坐标，画出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，a ＋2b <4的可行域(图略)，a ＋2b ＋2的几何意义为过点(－2，－2)和(b ，a )的直线的斜率，由可行域知，当(b ，a )为点(2，0)时，a ＋2b ＋2取最小值，其最小值为0＋22＋2＝12；当(b ，a )为点(0，4)时，a ＋2b ＋2取最大值，其最大值为4＋20＋2＝3.所以a ＋2b ＋2的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，3.9．－12 [解析] f ′(x )＝3＋cos x ＋2sin x ，根据已知3＋cos x 0＋2sin x 0＝3，由此可得tan x 0＝－12.10．64 [解析] 由题意知m >0，因为y ＝x －12，所以y ′＝－12x －32，所以y ′|x ＝m ＝－12m －32，所以切线方程为y －m －12＝－12m －32(x －m )，即y ＝－12m －32x ＋32m －12，令x ＝0得y ＝32m －12；令y ＝0得x ＝3m ，因为切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，所以12²3m ²32m －12＝18，解得m ＝64.11.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－34，3＋34 [解析] 函数f (x )的几何意义是指坐标平面上定点A (3，2)与动点M (cos x ，sin x )连线的斜率，而动点M 的两坐标的平方和为1，动点M 是坐标平面内单位圆上的点组成的，问题等价于求定点A 和单位圆上的动点连线斜率的取值范围．如图所示，函数f (x )的值域的两个端点，就是过点A 的单位圆的两条切线AM ，AN 的斜率，设切线方程为y －2＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋2＝0，圆心到直线的距离为|－3k ＋2|1＋k 2，这个距离等于圆的半径，即|－3k ＋2|1＋k 2＝1，解得k ＝3±34，故所求的函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－34，3＋34.12．1 [解析] 构造函数，则f ′(t )＝3t 2＋cos t ，当t ∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )时，f ′(t )>0，当t ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋32π(k ∈Z )时，3t 2>1，cos t ≥－1，此时f ′(t )>0，故函数f (t )是R 上的增函数．根据题意f (x )＝f (－2y )，故x ＝－2y ，所以cos(x ＋2y )＝1.13．解：(1)设数列{a n }的公差为d ， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，a 1＋（a 1＋3d ）＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)因为a n ＝n ，所以a n ＋1＝n ＋1，故b n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 14．解：(1)由三角函数定义，得x 1＝cos α，x 2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3.因为α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，cos α＝13，所以sin α＝1－cos 2α＝2 23.所以x 2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝12cos α－32sin α＝1－2 66.(2)依题意得y 1＝sin α，y 2＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3.所以S 1＝12x 1y 1＝12cos α²sin α＝14sin 2α，S 2＝12|x 2|y 2＝12⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3²sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－14sin ⎝⎛⎭⎫2α＋2π3.依题意得sin 2α＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋2π3，整理得cos 2α＝0.因为π6<α<π2，所以π3<2α<π，所以2α＝π2，即α＝π4.15．解：(1)设g (x )＝ax ＋a －1x＋1－2a －ln x ，x ∈[1，＋∞)，则g (1)＝0，g ′(x )＝a －a －1x 2－1x ＝ax 2－x －（a －1）x 2＝a （x －1）⎝⎛⎭⎫x －1－a a x 2. 当0<a <12时，1－a a >1，若1<x <1－a a，则g ′(x )<0，g (x )单调递减，此时g (x )<g (1)＝0，不符合题意．当a ≥12时，1－a a≤1，若x >1，则g ′(x )>0，g (x )单调递增，则g (x )>g (1)＝0，即f (x )≤ax ＋a －1x＋1－2a 在[1，＋∞)上恒成立．综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞. (2)证明：由题意F (x )＝ln x ＋ax 2－2x ，F ′(x )＝1x ＋2ax －2＝2ax 2－2x ＋1x，因为函数F (x )有两极值点，所以2ax 2－2x ＋1＝0的Δ>0，则0<a <12.不妨设2ax 2－2x ＋1＝0的两根为x 1，x 2且0<x 1<x 2，则F (x )在(0，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，x 2是F (x )的极小值点，所以当F ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<－32时，必有F (x 2)<－32.因为x 1＋x 22＝12a，所以F ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝F ⎝⎛⎭⎫12a ＝ln 12a －32²12a ，要证F ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<－32，即证ln 12a －32²12a ＋32<0.令12a ＝t (t >1)，设G (t )＝ln t －32t ＋32，则G ′(t )＝1t －32<0， 所以t >1时，G (t )单调递减，又因为G (1)＝0，所以G (t )<0，即F ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<－32，也即F (x )的极小值小于－32.。