平面几何中的向量方法(25)
5.5平面向量应用
= .
A
B
解： = ∙ = ( + ) ∙ ( + ) = ∙ + ∙ + ∙ + ∙ =
同理：
=
− ∙ + （）
（1）+（2）得：
+
= （
涉及长度问题常常考虑向量的数量积，对 与 进行计算.
（1） ， 分别对质点所做的功；
（2） ， 的合力F对质点所做的功。
17.在风速为（ − ）/的西风中，飞机以150km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向。
作
业
答
案
(3)基底向量的夹角最好是明确的(直角最合适);
(4)尽量使基底向量和所涉及的向量共线或构成三角形或构成平行四边形.
3.用向量的坐标处理问题时，建立平面直角坐标系的基本原则：
选择坐标轴和原点不当会增加解题的运算量，也会带来不必要的麻烦.具有公共原点的两
条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，因此在已知图形中，只要选择互相垂直的两条直
A
Q
B
P
C
课后作业：
4.在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，用向量方法证明 ⊥ .
5.如下图，在正方形ABCD中，E,F分别为AB,BC的中点。求证： ⊥ （利用向量证明）.
D
C
F
A
E
B
6.如下图，在▱ABCD中，AB=3，AD=1，∠ = ，求对角线AC和BD的长.
又因为 = − = − ； 与共线，所以我们设： = = ( − )
平面向量的应用(教师版)
平面向量的应用1 平面几何中的向量方法① 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.② 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3) 把运算结果“翻译”成几何关系.Eg 点A 、B 、C 、D 不在同一直线上(1)证明直线平行或共线：AB//CD ⇔AB⃗⃗⃗⃗⃗ //CD ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)证明直线垂直：AB ⊥CD ⟺AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 (3)求线段比值：AB CD =|λ|且AB//CD ⇔ AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ (4)证明线段相等： AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2=CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2⇔AB =CD 2 向量在物理中的应用① 速度、力是向量，都可以转化为向量问题；② 力的合成与分解符合平行四边形法则.【题型一】平面向量在几何中的应用【典题1】证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.【证明】 设四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AO =OC ,BO =OD∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AB =DC 且AB//DC 所以四边形ABCD 是平行四边形即对角线互相平分的四边形是平行四边形.【点拨】① 证明四边形是平行四边形⇔AB =DC 且AB//DC ⇔AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ② 证明几何中的平行和长度关系可以转化为向量的倍数关系.【典题2】 已知平行四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，求证AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2) (即对角线的平方和等于邻边平方和的2倍).【证明】由 |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 两式相加得|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2(|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2) 即AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2)【点拨】利用|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB |2可证明线段长度关系.【典题3】 用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.【证明】(分析 设H 是高线BE 、CF 的交点，再证明AH ⊥BC ，则三条高线就交于一点.)设H 是高线BE 、CF 的交点，则有BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∵BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∴(AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 化简得AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0C∴AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 则AH ⊥BC (向量中证明AB ⊥CD ，只需要证明AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0) 所以三角形三条高线交于一点.【典题4】证明三角形三条中线交于一点.【证明】(分析 设BE 、AF 交于O ，证明C 、O 、D 三点共线便可)AF 、CD 、BE 是三角形ABC 的三条中线设BE 、AF 交于点O ，∵点D 是中点，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 连接EF ，易证明∆AOB~∆FOE,且相似比是2：1，∴BO =23BE,∴CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∴CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 即C 、O 、D 三点共线， (向量中证明三点A 、B 、C 共线，只需证明AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∴AF 、CD 、BE 交于一点，即三角形三条中线交于一点.巩固练习1(★★) 如图，E ，F 分别是四边形ABCD 的边AD ，BC 的中点，AB =1，CD =2，∠ABC =75°，∠BCD =45°，则线段EF 的长是 ．【答案】√72【解析】 由图象，得EF →=EA →+AB →+BF →，EF →=ED →+DC →+CF →．∵E ，F 分别是四边形ABCD 的边AD ，BC 的中点，∴2EF →=(EA →+ED →)+(AB →+DC →)+(BF →+CF →)=AB →+DC →．∵∠ABC =75°，∠BCD =45°，∴＜AB →，DC →＞=60°，∴|EF|→=12√(AB →+DC →)2=12√AB →2+DC →2+2|AB|→⋅|DC|→cos ＜AB →，DC →＞=12√12+22+2×1×2×12=√72． ∴EF 的长为√72． 故答案为 √72． 2(★★) 证明勾股定理，在Rt∆ABC 中，AC ⊥BC ，AC =b ，BC =a ,AB =c ，则c 2=a 2+b 2.【证明】 由AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 即|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 故c 2=a 2+b 2.3(★★) 用向量方法证明 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【证明】如图平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ | A BC∴四边形ABCD 是菱形.4(★★)用向量方法证明 设平面上A ，B ，C ，D 四点满足条件AD ⊥BC ，BD ⊥AC ，则AB ⊥CD ．【证明】 因AD ⊥BC ，所以AD →⋅BC →=AD →⋅(AC →−AB →)=0，因BD ⊥AC ，所以AC →⋅BD →=AC →⋅(AD →−AB →)=0，于是AD →⋅AC →=AD →⋅AB →，AC →⋅AD →=AC →⋅AB →，所以AD →⋅AB →=AC →⋅AB →，(AD →−AC →)⋅AB →=0，即CD →⋅AB →=0，所以CD →⊥AB →，即AB ⊥CD ．5(★★)用向量方法证明 对角线相等的平行四边形是矩形.【证明】如图，平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O,设OA =a ，∵对角线相等 ∴OB =OD =a∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2+AO ⃗⃗⃗⃗⃗ (OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−a 2=0 ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 即AB ⊥AD∴四边形ABCD 是矩形.6(★★★) 已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足OP 1→+OP 2→+OP 3→=0，|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|=1．求证 △P 1P 2P 3是正三角形．【证明】法一 ∵OP 1→+OP 2→+OP 3→=0，∴OP 1→+OP 2→=−OP 3→．∴|OP 1→+OP 2→|=|−OP 3→|．∴|OP 1→|2+|OP 2→|2+2OP1→•OP 2→=|OP 3→|2． 又∵|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|=1，∴OP 1→•OP 2→=−12．∴|OP 1→||OP 2→|cos∠P 1OP 2=−12，即∠P 1OP 2=120°．B C同理∠P 1OP 3=∠P 2OP 3=120°．∴△P 1P 2P 3为等边三角形．法二 以O 点为坐标原点建立直角坐标系，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则OP 1→=(x 1，y 1)，OP 2→=(x 2，y 2)，OP 3→=(x 3，y 3)．由OP 1→+OP 2→+OP 3→=0，得{x 1+x 2+x 3=0y 1+y 2+y 3=0.∴{x 1+x 2=−x 3y 1+y 2=−y 3.， 由|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|=1，得x 12+y 12=x 22+y 22=x 32+y 32=1∴2+2(x 1x 2+y 1y 2)=1∴|P 1P 2→|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√x 12+x 22+y 12+y 22−2x 1x 2−2y 1y 2=√2(1−x 1x 2−y 1y 2)=√3同理|P 1P 3→|=√3，|P 2P 3→|=√3∴△P 1P 2P 3为正三角形【题型二】平面向量在物理中的应用【典题1】 如图，已知河水自西向东流速为|v 0|=1m/s ，设某人在静水中游泳的速度为v 1，在流水中实际速度为v 2．(1)若此人朝正南方向游去，且|v 1|=√3m/s ，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v 2的大小；(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且|v 2|=√3m/s ，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v 1的大小．【解析】如图，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =v 0⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =v 1⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =v 2⃗⃗⃗⃗ ，则由题意知v 2⃗⃗⃗⃗ =v 0⃗⃗⃗⃗ +v 1⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB 为平行四边形．(1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB 为矩形，且|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |=AC =√3，如下图所示，则在直角△OAC中，|v2⃗⃗⃗⃗ |=OC=√OA2+AC2=2，tan∠AOC=√31=√3，又α=∠AOC∈(0 ,π2)，所以α=π3；(2)由题意知α=∠OCB=π2，且|v2⃗⃗⃗⃗ |=|OC|=√3，BC=1，如下图所示，则在直角△OBC中，|v1⃗⃗⃗⃗ |=OB=√OC2+BC2=2，tan∠BOC=√3=√33，又∠AOC∈(0 ,π2)，所以∠BOC=π6，则β=π2+π6=2π3，答(1)他实际前进方向与水流方向的夹角α为π3，v2的大小为2m/s；(2)他游泳的方向与水流方向的夹角β为2π3，v1的大小为2m/s．【点拨】注意平行四边形法则的使用！【典题2】在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1⃗⃗⃗ ，F2⃗⃗⃗⃗ ，且|F1⃗⃗⃗ |=|F2⃗⃗⃗⃗ |，F1⃗⃗⃗ 与F2⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ．给出以下结论①θ越大越费力，θ越小越省力；②θ的范围为[0 ,π]；③当θ=π2时，|F1⃗⃗⃗ |=|G|；④当θ=2π3时，|F1⃗⃗⃗ |=|G|．其中正确结论的序号是．【解析】对于①，由|G|=|F1⃗⃗⃗ +F2⃗⃗⃗⃗ |为定值，所以G2=|F1⃗⃗⃗ |2+|F2⃗⃗⃗⃗ |2+2|F1⃗⃗⃗ |×|F2⃗⃗⃗⃗ |×cosθ=2|F1⃗⃗⃗ |2(1+cosθ)，解得|F1⃗⃗⃗ |2=|G|22(1+cosθ)；由题意知θ∈(0 ,π)时，y=cosθ单调递减，所以|F1⃗⃗⃗ |2单调递增，即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确．对于②，由题意知，θ的取值范围是(0 ,π)，所以②错误．对于③，当θ=π2时，|F1⃗⃗⃗ |2=G22，所以|F1⃗⃗⃗ |=√22|G|，③错误．对于④，当θ=2π3时，|F1⃗⃗⃗ |2=|G|2，所以|F1⃗⃗⃗ |=|G|，④正确．综上知，正确结论的序号是①④．故答案为①④．【典题3】如图，重为10N的匀质球，半径R为6cm，放在墙与均匀的AB木板之间，A端锁定并能转动，B端用水平绳索BC拉住，板长AB=20cm，与墙夹角为α，如果不计木板的重量，则α为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？【解析】如图，设木板对球的支持力为N⃗，则N⃗=10sinα，设绳子的拉力为f．又AC=20cosα，AD=6tanα2，由动力矩等于阻力矩得|f|×20cosα=|N⃗|×6tanα2=60sinα⋅tanα2，∴|f|=6020cosα⋅sinα⋅tanα2=3cosα(1−cosα)≥3(cosα+1−cosα2)2=314=12，∴当且仅当 cosα=1−cosα 即cosα=12，亦即α=60°时，|f|有最小值12N．巩固练习1(★★) 一条渔船以6km/ℎ的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/ℎ，则这条渔船实际航行的速度大小为 ．【答案】2√10km/ℎ【解析】如图所示，渔船实际航行的速度为v AC →=v 船→+v 水→；大小为|v AC →|=|v 船→+v 水→|=√62+22 =2√10km/ℎ．2(★★) 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1 ,F 2，且F 1 ,F 2与水平夹角均为45°，|F 1⃗⃗⃗ |=|F 2⃗⃗⃗⃗ |=10√2N ，则物体的重力大小为 ．【答案】20【解析】如图，∵|F 1→|=|F 2→|=10√2N ，∴|F 1→+F 2→|=10√2×√2N =20N ，∴物体的重力大小为20．故答案为 20．3(★★) 已知一艘船以5km/ℎ的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．【答案】5√3km/ℎ【解析】如图，设AD →表示船垂直于对岸的速度，AB →表示水流的速度，以AD ，AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC →就是船实际航行的速度．在Rt△ABC 中，∠CAB =30°，|AD →|=|BC →|=5，∴|AC →|=|BC →|sin30°=10，|AB →|=|BC →|tan30°=5√3．故船实际航行速度的大小为10km/ℎ，水流速度5√3km/ℎ．4 (★★)一个物体受到同一平面内三个力F 1、F 2、F 3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m ．已知|F 1|=2N ，方向为北偏东30°；|F 2|=4N ，方向为东偏北30°；|F 3|=6N ，方向为西偏北60°，求这三个力的合力F 所做的功．【答案】24√6 J【解析】 以三个力的作用点为原点，正东方向为x 轴正半轴，建立直角坐标系． 则由已知可得OF 1→=(1，√3)，OF 2→=(2√3，2)，OF 3→=(﹣3，3√3)．∴OF →=OF 1→+OF 2→+OF 3→=(2√3−2，4√3+2)．又位移OS →=(4√2，4√2)．∴OF →•OS →=(2√3−2)×4√2+(4√3+2)×4√2=24√6(J)．。
向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用
平面几何中的向量是一种抽象的概念，它可以用来描述空间中的点、线、面等几何图形的位置、方向和大小。
因此，向量在平面几何中有着广泛的应用。
首先，向量可以用来描述平面上的点。
例如，若给定两个点
A(x1,y1)和B(x2,y2)，则它们之间的距离可以用向量表示，即AB=<x2-x1,y2-y1>。
其次，向量可以用来描述平面上的线段。
例如，若给定两个点
A(x1,y1)和B(x2,y2)，则它们之间的线段可以用向量表示，即AB=<x2-x1,y2-y1>。
此外，向量还可以用来描述平面上的多边形。
例如，若给定一个多边形ABCD，则它的面积可以用向量表示，即
S=1/2|AB×AC|，其中AB和AC分别表示多边形ABCD的两
条边。
最后，向量还可以用来描述平面上的角度。
例如，若给定两个向量a=<x1,y1>和b=<x2,y2>，则它们之间的夹角可以用向量
表示，即θ=arccos(a·b/|a||b|)，其中a·b表示向量a和b的点积，|a|和|b|分别表示向量a和b的模。
综上所述，向量在平面几何中有着广泛的应用，它可以用来描
述空间中的点、线、面等几何图形的位置、方向和大小，从而为平面几何的研究提供了有力的工具。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结向量知识点与公式总结篇1考点一：向量的概念、向量的基本定理了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。
注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。
考点二：向量的运算向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会推断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积推断两个平面向量的垂直关系。
命题形式重要以选择、填空题型显现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。
考点三：定比分点掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能娴熟应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮忙理解。
重点考查定义和公式，重要以选择题或填空题型显现，难度一般。
由于向量应用的广泛性，常常也会与三角函数，解析几何一并考查，若显现在解答题中，难度以中档题为主，偶然也以难度略高的题目。
考点四：向量与三角函数的综合问题向量与三角函数的综合问题是高考常常显现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，实现了高考中试题的掩盖面的要求。
命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。
考点五：平面向量与函数问题的.交汇平面向量与函数交汇的问题，重要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。
命题多以解答题为主，属中档题。
考点六：平面向量在平面几何中的应用向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此，很多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟识的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，给予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。
用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”
将平面几何问题转(3,1)=的直线方程。
分析：在所求的直线上任取一点(,)P x y ，则A P −−→(2,1)x y =+-由A P−−→∥a −−→。
利用向量的平行条件可写出方程。
解：设(,)P x y 是所求直线上任意一点，A P−−→(2,1)x y =+- ∵A P−−→∥a −−→∴(2)3(1)0x y +--=，即所求的直线方程为350x y -+=。
评注：此题是利用向量平行的充要条件写出直线方程。
例2、已知点(3,0)P -，点A 在Y 轴上,点Q 在轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足.0P A A M −−→−−→=,32A M MQ −−→=-−−→当点A 在轴Y 上移动时,求动点M 的轨迹方程。
分析：设出M 的坐标，利用32A M M Q −−→=-−−→，可以将点A 的坐标用M 点的坐标表示出来，从而用.0P A A M−−→−−→=，确定所求轨迹。
例3在平面坐标系xoy 中，平面上任意点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的;若12O P x y e e −−→=+（其中12,e e 分别是与x 轴y 轴同方向的单位向量），则P 点斜坐标为(,)x y（1） 若点P 在斜坐标系的斜坐标为（2，-2）求点P 到点O 的距离。
（2） 求以原点O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xoy 中的方程。
分析：将平面直角坐标系改为平面斜坐标系，圆的形状是否改变？圆的方程是否改变？如何求两点的距离？情景发生了变化，事物总是跟着发生一系列的变化，这是一个有趣的数学问题！解：（1）∵P点斜坐标为（2，-2）∴1222O P e e −−→=-，228812(22)O Pe e ==-−−→-*0.5=4 ∴2O P−−→=,即点P 到原点的距离是2。
设圆上动点M 的斜坐标为(,)x y ，则12O Mx y e e −−→=+∴2112()x y e e =+ ∴221x y y x ++=，故所求方程是221x y y x ++=。
高中数学25 平面向量的应用举例
2.5平面向量的应用举例2.5.1平面几何中的向量方法由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可以用向量方法解决平面几何中的一些问题。
下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用。
例1平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。
如图2..5.1,=+,=-,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？分析：不妨设=，=，则=+，=-，。
与= ·=（+）·（-）=a·a+a·b+b·a+b·b+2a·b。
同理-2a·b。
观察（1）、（2）两式的特点，我们发现，（1）+（2）得+=2（）=2+）。
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。
思考如果不用向量的方法，能证明上述关系吗？平面几何经常涉及距离（线段长度）、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用下列方法解决部分几何问题。
解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素；然后通过向量的运算，特别是数量积来研究电、线段等元素之间的关系；最后再把运算结果“翻译”成几何关系得到几何问题的结论。
这就是用向量方法解决几何问题的“三部曲”：（1） 建立皮面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3） 把运算结果“翻译”成几何关系。
例2 如图2.5-2，连接□ABCD 的一个顶点至AD 、DC 边的中点E 、F ，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？分析：由于R 、T 是对角线AC 上的两点要判断AR 、RT 、TC 之间的关系，只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可。
利用向量解决平面几何问题的方法与技巧
利用向量解决平面几何问题的方法与技巧平面几何是数学中的一个重要分支，它研究平面上的点、直线、圆等几何图形及其性质。
解决平面几何问题时，常常可以运用向量的概念和运算来简化计算和分析过程。
本文将介绍一些利用向量解决平面几何问题的方法与技巧。
一、向量的基本概念与运算在讨论向量解决平面几何问题之前，首先需要了解向量的基本概念和运算。
向量是具有大小和方向的量，可以表示为箭头形式或坐标形式。
向量的加法满足交换律和结合律，即（a+b）+c=a+（b+c），a+b=b+a。
向量的数乘是将向量的长度进行拉伸或压缩的操作，结果仍是一个向量。
二、利用向量进行辅助构造1. 向量平移在解决平面几何问题时，有时可以通过向量平移来简化问题。
设有一个平面几何问题，已知点A，B，C等多个点，需要求得某个点D。
可以选择一个已知向量，用它将所有的点平移，然后通过平移后的点的位置关系来确定点D的位置。
2. 向量加法构造向量当需要得到几何图形中的一个向量时，可以利用已知向量进行向量加法构造。
例如，已知直线上的两个点A和B，需要求得直线上的另一个点C，可以利用已知向量AB和一条与直线垂直的向量得出向量AC，从而确定点C在直线上的位置。
三、利用向量进行问题的求解1. 直线和向量的关系在平面几何中，直线可以由点和向量唯一确定。
已知直线上的两点A和B，通过向量AB可以得到直线上的一个特征向量。
2. 平行和共线的判定利用向量的平行性质，可以方便地判定两条直线是否平行或共线。
若两个向量的方向相同或相反，则两条直线平行；若两个向量共线，则两条直线共线。
3. 角度和向量的夹角利用向量的内积，可以求得两个向量之间的夹角。
已知两个向量a和b，它们的夹角θ满足公式cosθ=(a·b)/(|a||b|)。
4. 平面和向量的关系在解决平面几何问题时，有时可以通过平面的法线向量来简化问题。
已知平面上的三个点A、B、C，可以通过向量AB和向量AC求得平面的法线向量，从而得到平面的方程。
6.4.1平面几何中的向量方法(奔驰定理、三角形四心)(教学课件)--高中数学人教A版
任务一：平面几何中的向量方法
【例3】正方形ABCD的边长为6, E是AB的中点，F是BC边上靠近
点B的三等分点，AF与DE交于点M,求∠EMF的余弦值．
解：建系如图
则D 0,6 ，E 3,0 ，F 6,2 ，DE = 3, −6 ，AF = 6,2
【例8】在△ ABC中，AB＝5，AC＝6，D是BC的中点，H是△ ABC的垂心，
则DH ⋅ BC = ？
任务三 ：三角形的四心的向量表示
【选做】O是△ ABC所在平面上的一点，动点P满足OP = OA + λ(
AC
|AC|cos∠C
)，则点P 形成的图形一定通过△ ABC 的垂心。
AB
|AB|cos∠B
2
1
AC
2
1
.
2
C
任务一：平面几何中的向量方法
【思考1-2】利用向量法解决平面几何问题的基本思路是什么？
转化
• 用向量表示问题中涉及的几何元素，把几何问题转化为向量问题
运算
• 通过向量运算研究几何元素之间的关系
翻译
• 把运算结果“翻译”成几何关系
任务一：平面几何中的向量方法
【例2】如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC
6.4.1平面几何中的向量方法-奔驰
定理，三角形四心
任务一：平面几何中的向量方法
【思考1-1】平面几何中的位置关系如何用向量表示
几何
向量
坐标
՜ ՜ ՜
՜
՜
՜
平行 // ( ≠ 0 ) ⇔ = ； //
Ԧ
⇔ 1 2 − 2 1 = 0.
向量在平面几何、解析几何中的应用
摘要：向量在平面几何与解析几何中多有应用，在历年来的高考试卷中也涉及部分向量知识。
向量知识不但让难题迎刃而解，还可让学生形成通用性规则，利用平面向量视角研究几何问题将取得良好成果与进展。
关键词：平面向量平面几何解析几何高中数学一、引言使用向量方法解题存在对应解题步骤，各步骤间联系紧密，存在逻辑顺序，在审题后需仔细核对题目题干，寻求问题突破口，在将几何问题转化为代数问题后，可实现题目的高精度运算，达到预期目的。
因此类题型具有复杂特点，在学生做题量得到提升后，学生对解答此类题目将拥有独到的个人见解，不但让图形对应特征得以描述，也让问题解决难度有所降低，下面将对相关题型与具体解题思路进行说明论证，在同学们阅读对应题干时，需带着对问题的解决思路求解。
二、向量教学存在的问题向量是高中数学的一大重点内容，在历年的高考试卷中有所涉及，也常与其他学科一同考试，为此提升向量教学效率，让学生灵活掌握向量知识，在拥有基本阅读审题能力的同时，提前了解向量习题的解题策略，不但有效保证做题效率，还让学生在复习前即可拥有一定知识储备，但现阶段教学存在的问题也较明显。
1.课内教学内容与高考试题具有脱轨性。
学生在学习人教版数学教材时，会学到复杂、零碎的知识，教师讲解新知识点时，也会向学生传授以往讲授过的知识点，用温故而知新的教学方法试图让学生快速进入学习状态，并建立对应向量学习思维。
高考试卷题量有限，不但要做到对高中阶段全部知识的灵活考查，还要做到面面俱到、照顾各个学习层次学生，并具有区分性，向量本身具有一定基础性，学生在初中阶段即接触过向量知识，在培养学生独立完成习题能力的同时，即使学生完全掌握教材教学内容，也不一定做对高考对应的向量试题，在与平面几何和立体几何综合出题考查的同时，学生对知识的综合运用能力也将决定做题准确率与效率。
面临新高考的改革，数学教师还需明确自身育人使命，适当给学生传授高考习题解题技巧，改变以往题海战术的陈旧教学模式，让学生热爱学习数学学科知识，并善于发现生活中的数学元素。
平面几何中的向量方法
平面几何中的向量方法一、向量的定义和运算在平面几何中，向量可以用带方向的线段来表示。
向量的表示常用字母的小写形式，如a、b，放在一个有顺序的大括号中，如{a}，表示向量a。
向量的运算包括向量的加法、减法、数乘和点乘等。
向量的加法：向量的加法满足：{a}+{b}={c}即向量a和向量b的和为向量c，向量的加法满足平行四边形法则。
向量的减法：向量的减法可以用向量的加法和数乘来表示：{a}-{b}={a}+(-1){b}。
向量的数乘：向量的数乘满足：k{a} = {ka}即向量a和实数k的乘积为向量ka，其中k为实数。
向量的点乘：向量a和b的点乘表示为a·b，满足：a·b = ，a，b，cosθ其中，a，和，b，分别为向量a和b的模长，θ为a和b之间的夹角。
二、向量的性质和定理1.向量的零向量：零向量是长度为0的向量，用0或{0}表示，它的任何向量和都等于它本身。
2.向量的相等：向量a和b相等，当且仅当它们的模长相等且方向相同。
3.向量的平行：向量a和b平行，当且仅当它们的夹角θ为0或π。
4.向量的共线：向量a和b共线，当且仅当它们可以表示成同一向量的倍数。
5.向量的模长公式：a，=√(a·a)向量a的模长等于a与自己的点乘的平方根。
6.向量的加法交换律和结合律：向量的加法满足交换律：{a}+{b}={b}+{a}；和结合律：{a}+({b}+{c})=({a}+{b})+{c}。
以上是平面几何中常用的向量性质和定理，这些性质和定理为后续向量方法的应用提供了基础。
三、向量方法的应用1.向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，向量可以表示成坐标形式，即用有序数对表示。
设向量a的起点为A(x1,y1)，终点为B(x2,y2)，则向量a可以表示为：{a}={AB}={x2-x1,y2-y1}。
2.向量的线性组合：向量的线性组合是指将若干个向量按一定比例相加所得到的新向量。
设有n个向量a1, a2, ..., an和n个实数k1, k2, ..., kn，则它们的线性组合为：k1{a1} + k2{a2} + ... + kn{an}。
平面几何中的向量方法
平面几何中的向量方法引言平面几何是数学中的一个重要分支，研究平面上的点、线、面等几何对象以及它们之间的关系与性质。
向量方法是解决平面几何问题的一种常用方法，通过引入向量概念，可以简化计算过程，提高问题求解的效率。
本文将介绍平面几何中的向量方法，并通过具体例子进行说明，帮助读者更好地理解和应用这一方法。
向量的定义和表示向量定义在平面几何中，向量是具有大小和方向的量。
它可以表示从一个点到另一个点的箭头，并且箭头长度表示向量大小，箭头方向表示向量方向。
向量表示在平面几何中，通常使用字母加上箭头来表示一个向量。
例如，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示从点A 指向点B 的向量。
另外，还可以使用坐标来表示一个向量。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则从A 指向B 的向量可以表示为AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x2−x1,y2−y1)。
向量运算向量加法在平面几何中，两个向量可以进行加法运算。
假设有两个向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，它们的加法结果可以表示为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 。
即将第二个向量的起点放在第一个向量的终点，连接第一个向量的起点和第二个向量的终点，得到一个新的向量。
向量减法在平面几何中，两个向量可以进行减法运算。
假设有两个向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，它们的减法结果可以表示为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 。
即将第二个向量取负后进行加法运算。
向量数量乘法在平面几何中，一个向量可以与一个实数相乘。
假设有一个向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和一个实数k ，则它们的数量乘积可以表示为k ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(kx,ky )，其中x 和y 是向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标。
内积在平面几何中，两个非零向量之间定义了内积运算。
假设有两个非零向量A=(x 1,y 1)和B⃗ =(x 2,y 2)，它们的内积可以表示为A ⋅B ⃗ =x 1x 2+y 1y 2。
平面几何中的向量方法 (解析版)
《平面几何中的向量方法》教案数学学科素养1.逻辑推理：从直观入手，从具体开始，逐步抽象，得出结论；2.数学运算：坐标运算证明几何问题；3.数据分析：根据已知信息选取合适方法证明或求解；4.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事物之间是可以相互转化的. 重点：体会向量在解决平面几何问题中的作用； 难点：如何将几何问题化归为向量问题.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学过程一、 情景导入1. 平面向量的运算在几何中的运用（1）证明线线平行和点共线问题此类问题常用向量共线基本定理：若()()1122,,,a x y b x y ==,其中0b ≠,则1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=.（2）证明垂直问题 此类问题常用向量数量积的运算性质：112200a b a b x y x y ⊥⇔⋅=⇔+=,其中非零向量()()1122,,,a x y b x y ==.（3）求夹角问题 此类问题可利用夹角公式：21cos a ba b x θ⋅==+,其中非零向量()()1122,,,a x y b x y ==. （4）求线段的长度此类问题可以用向量的模的计算公式：若(),a x y =,则22||a a x ==+2．中点坐标公式和三角形重心坐标公式：（1）中点坐标公式：若111222( ) ( ) ( )P x y P x y P x y ，，，，，，且P 为12P P 的中点：则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ； （2）三角形重心坐标公式：若ABC ∆的三个顶点坐标为：111222( ) () ( )P x y P x y P x y ，，，，，，( )P x y ，为ABC ∆的重心，则12312333x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩；注意：重心分ABC ∆的中线为2:1的性质. 拓展：定比分点的坐标公式设111222( ) ( ) ( )P x y P x y P x y ，，，，，,因为12P P PP λ=，所以：121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩注意：根据这个公式可以在111222( ) () ( )P x y P x y P x y ，，，，，三个量中，知道两个求第三个；3．平移和平移公式：点的平移公式：设( )P x y ，是旧点，它按() a h k =，平移后的新点是'(' ')P x y ，，则它们的坐标有如下关系： ''x x hy y k =+⎧⎨=+⎩；注：应用这个公式可以对新旧点和平移向量三个量中，解决知二求一的问题.四、典例分析题型一 向量在平面几何证明问题中的应用例1 在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12AB ，求证：AC ⊥BC .[证明] 证法一：∵∠CDA ＝∠DAB ＝90°，AB ∥CD ，CD ＝DA ＝12AB ，故可设AD →＝e 1，DC →＝e 2，|e 1|＝|e 2|，则AB →＝2e 2. ∴AC →＝AD →＋DC →＝e 1＋e 2，BC →＝AC →－AB →＝(e 1＋e 2)－2e 2＝e 1－e 2.而AC →·BC →＝(e 1＋e 2)·(e 1－e 2)＝e 21－e 22＝|e 1|2－|e 2|2＝0，∴AC →⊥BC →，即AC ⊥BC .证法二：如图，建立平面直角坐标系，设CD ＝1，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)． ∴BC →＝(－1,1)，AC →＝(1,1)．∴BC →·AC →＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0. ∴AC ⊥BC .变式训练1： 如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .【答案】见解析．【解析】证明 法一：设AD ―→＝a ，AB ―→＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0，又DE ―→＝DA ―→＋AE ―→＝－a ＋12b ，AF ―→＝AB ―→＋BF ―→＝b ＋12a ，所以AF ―→·DE ―→＝⎝⎛⎭⎫b ＋12a ·⎝⎛⎭⎫－a ＋12b ＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12|b |2＝0. 故AF ―→⊥DE ―→，即AF ⊥DE .法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF ―→＝(2,1)，DE ―→＝(1，－2)．因为AF ―→·DE ―→＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF ―→⊥DE ―→，即AF ⊥DE .用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化．(2)向量的坐标运算法的四个步骤①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．变式训练2： 如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB＝12.求证：点E ，O ，F 在同一直线上．证明 设AB →＝m ，AD →＝n ， 由CE ED ＝AF FB ＝12，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点， 所以FO →＝FA →＋AO →＝13BA →＋12AC →＝－13m ＋12(m ＋n )＝16m ＋12n ，OE →＝OC →＋CE →＝12AC →＋13CD →＝12(m ＋n )－13m ＝16m ＋12n . 所以FO →＝OE →.又O 为FO →和OE →的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上.题型二 向量在平面几何计算问题中的应用例2 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n . (1)若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12AB ；(2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于点F ，求AF 的长度(用m ，n 表示)． [解] (1)证明：以C 为坐标原点，以边CB ，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，m )，B (n,0)． ∵D 为AB 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，m 2.∴|CD →|＝12n 2＋m 2，|AB →|＝m 2＋n 2，∴|CD →|＝12|AB →|，即CD ＝12AB .(2)∵E 为CD 的中点， ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，m 4，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n4，－34m ，设F (x,0)，则AF →＝(x ，－m )． ∵A ，E ，F 三点共线，设AF →＝λAE →， 即(x ，－m )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n4，－34m .则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n4λ，－m ＝－34mλ，故λ＝43，x ＝n 3，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3，0，∴|AF →|＝13n 2＋9m 2，即AF ＝13n 2＋9m 2.用向量法求平面几何中的长度问题，即向量的模的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，利用公式|a |2＝a 2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解，即若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.变式训练3：如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解 设AD →＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ， 而|BD →|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2，∴5－2a ·b ＝4，∴a ·b ＝12.∴|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6， ∴|AC →|＝6，即AC ＝ 6.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业1、在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12AB ，求证：AC ⊥BC .2 在正ABC ∆中，D 是边BC 上的点，且1,3==BD AB ，则AD AB ⋅的值为 .BCC 1解：如图，过D 作AB D D ⊥'于D '，则2160cos =='BD D B ， ∴25213=-='D A ， 由数量积的几何意义得D A AB AD AB '⋅=⋅215=． 3 在ABC ∆中，90=∠BAC ，6=AB ，D 在斜边BC 上， 且DB CD 2=，则AD AB ⋅的值为 .4 在ABC ∆中，AB AD⊥,BC =1=,则=⋅AD AC .这是一道有相当难度的高考题，但若从向量的几何意义出发展开思考， 不仅思路自然，而且过程简单．B C D。
平面几何中的向量方法
平面几何中的向量方法首先，我们来看一下向量的定义。
在平面几何中，向量通常用有向线段来表示，记作→AB。
其中A称为向量的起点，B称为向量的终点。
向量的模表示为|→AB|，即有向线段的长度。
而方向则由起点指向终点的方向确定。
两个有相同模和相同方向的向量被认为是相等的。
接下来，我们来介绍一些向量的基本性质。
向量具有可加性，即两个向量可以相加得到一个新的向量。
设有向线段→AB和→BC，则它们的和记作→AC，即两个向量相加的结果是一个新的向量，其起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。
此外，向量还具有数量乘法的性质，即一个向量可以与一个实数相乘得到一个新的向量，其模的大小为原向量模的大小与实数的绝对值的乘积，方向与原向量相同（若实数为正）或相反（若实数为负）。
在几何问题中，向量方法可以简化求解过程，使得问题的解决变得更加直观。
例如，在求解平面几何图形的重心时，可以利用向量的方法来进行计算。
设有一个三角形ABC，其顶点坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，则三角形的重心G的坐标可以表示为G((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3)。
通过向量的方法，我们可以简洁地得到三角形的重心坐标，而不需要进行繁琐的计算。
此外，向量方法还可以用于证明几何关系。
例如，在证明平行四边形的对角线互相平分的问题中，可以利用向量的方法进行证明。
设有平行四边形ABCD，其对角线AC和BD的中点分别为M和N，则可以利用向量的加法和数量乘法来证明向量AM等于向量MC，向量BM等于向量MD，从而得到对角线互相平分的结论。
在平面几何中，向量方法具有广泛的应用，可以简化问题的求解过程，使得复杂的几何关系变得清晰而直观。
通过向量方法，我们可以更加方便地进行几何问题的分析和求解，为我们的几何学习和研究提供了有力的工具。
希望本文对你在平面几何中的向量方法有所帮助。
高一数学平面几何中的向量方法(图文课件分享)
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我半信半疑的博学绅士，在我半途半熟之前就被凝结了！-这一切使他免于爆炸-而我梦Honor以求的荣誉团契，金牌和名人堂中的利基则化为乌有，冷淡的空气他北极的气氛。
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问题：平行四边形是表示向量加法与减法 的几何模型。如图，你能发现平行四边形 对角线的长度与两条邻边长度之间的关系
吗？
DB AB AD, AC AB AD,
猜想：
D
C
1.长方形对角线的长度
与两条邻边长度之间有
何关系？
A
B
2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
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人教a版必修4学案：2.5.1平面几何中的向量方法(含答案)
2.5.1平面几何中的向量方法自主学习知识梳理1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔________⇔____________.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b ⇔__________⇔__________.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝_______________＝_______________.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝______.2．直线的方向向量和法向量(1)直线y＝kx＋b的方向向量为____________，法向量为__________．(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为__________，法向量为__________．自主探究在平行四边形中有下列的结论：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的2倍．请用向量法给出证明．对点讲练知识点一利用向量证明平行问题例1如图所示，若ABCD为平行四边形，EF∥AB，AE与BF相交于点N，DE与CF 相交于点M.求证：MN∥AD.回顾归纳(1)本题利用平行向量基本定理证明两直线平行，解题时要注意灵活运用已知条件．(2)向量法证明直线平行，恰是向量平行问题的一种存在形式—它们的基线无公共点．与前面例1比较，最大的区别在于，此处共线的两个向量没有公共端点．变式训练1△ABC中，M、N分别为AB、AC的中点．求证：MN∥BC.知识点二 利用向量证明垂直问题例2 如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2BA ，∠ABC ＝60°，作AE ⊥BD 交BC于E ，求BEEC的值．回顾归纳 利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．变式训练2 已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PFCE 为矩形．求证：P A ＝EF 且P A ⊥EF .知识点三 直线方向向量的应用例3 在△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求∠A 的平分线的方程．回顾归纳 直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量为v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B )．这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系．求两条直线的夹角时非常有用．变式训练3 在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC →|＝2，则OC →＝________.1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)上任取两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→就是直线l 的一个方向向量，λP 1P 2→(λ∈R 且λ≠0)也是直线l 的方向向量．所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线．同理，与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 (A 2＋B 2≠0)垂直的向量都叫直线l 的法向量．一条直线的法向量也有无数多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用．①y ＝kx ＋b 的方向向量v ＝(1，k )，法向量为n ＝(k ，－1)．②Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的方向向量v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B ).课时作业一、选择题1．在△ABC 中，已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是( )A ．2 5 B.52 5 C ．3 5 D.7252．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点3．如图，非零向量OA →＝a ，OB →＝b 且BC ⊥OA ，C 为垂足，若OC →＝λa ，则λ等于( )A.a·b |a|2B.a·b |a||b|C.a·b |b |2D.|a||b|a·b4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形5．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC →＝λCE →，其中λ等于( )A ．2 B.12 C ．－3 D ．－13二、填空题6．过点(1,2)且与直线3x －y ＋1＝0垂直的直线的方程是 ____________.7．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5.则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝______.8．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状一定是______．三、解答题9. 如图所示，已知四边形ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线． 求证：AC ⊥BD .10．三角形ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，延长BE 交AC 于F ，连结DF .求证：∠ADB ＝∠FDC .§2.5 平面向量应用举例 2．5.1 平面几何中的向量方法答案知识梳理1．(1)a ＝λb x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)a·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0(3)a·b|a||b | x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22(4)x 2＋y 22．(1)(1，k ) (k ，－1) (2)(B ，－A ) (A ，B ) 自主探究证明 在平行四边形ABCD 中， AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB → ∴AC →2＝(AB →＋AD →)2＝AB →2＋AD →2＋2AB →·AD →； BD →2＝(AD →－AB →)2＝AD →2＋AB →2－2AB →·AD →. ∴AC →2＋BD →2＝2AB →2＋2AD →2. 即|AC →|2＋|BD →|2＝2(|AB →|2＋|AD →|2)．∴平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的2倍． 对点讲练例1 证明 ∵EF ∥AB ，∴△NEF ∽△NAB ，设AB →＝μEF →(μ≠1)，则AN EN＝μ，AE →＝(μ－1)EN →，同理，由EF →∥CD →，可得DE →＝(μ－1)EM →， ∴AD →＝ED →－EA →＝AE →－DE →＝(μ－1)MN →，∵μ≠1，令λ＝μ－1，∴AD →＝λMN →，∴AD ∥MN .变式训练1 证明 设AB →＝a ，AC →＝b ，则BC →＝AC →－AB →＝b －a ，又M 、N 分别为AB 、AC 的中点．∴AM →＝12a ，AN →＝12b .△AMN 中，MN →＝12b －12a ＝12(b －a )，∴MN →＝12BC →，即MN →与BC →共线，∴MN ∥BC .例2 解 方法一 (基向量法) 设BA →＝a ，BC →＝b ，|a |＝1，|b |＝2.a·b ＝|a||b |cos 60°＝1，BD →＝a ＋b . 设BE →＝λBC →＝λb ，则AE →＝BE →－BA →＝λb －a .由AE ⊥BD ，得AE →·BD →＝0. 即(λb －a )·(a ＋b )＝0.解得λ＝25，∴BE EC ＝2535＝23.方法二 以B 为坐标原点，直线BC 为x 轴建立平面直角坐标系，根据条件，设B (0,0)，C (2,0)，A ⎝⎛⎭⎫12，32，D ⎝⎛⎭⎫52，32.又设E (m,0)，则BD →＝⎝⎛⎭⎫52，32，AE →＝⎝⎛⎭⎫m －12，－32.由AE ⊥BD ，得AE →·BD →＝0.即52⎝⎛⎭⎫m －12－32×32＝0， 得m ＝45，∴BE EC ＝4565＝23.变式训练2 证明以D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系Oxy (如图所示)，设正方形边长为1，|OP →|＝λ，则A (0,1)，P ⎝⎛⎭⎫2λ2，2λ2，E ⎝⎛⎭⎫1，22λ，F ⎝⎛⎭⎫22λ，0， 于是P A →＝⎝⎛⎭⎫－22λ，1－22λ，EF →＝⎝⎛⎭⎫22λ－1，－22λ.∵|P A →|＝⎝⎛⎭⎫－22λ2＋⎝⎛⎭⎫1－22λ2＝λ2－2λ＋1，同理|EF →|＝λ2－2λ＋1， ∴|P A →|＝|EF →|，∴P A ＝EF .P A →·EF →＝⎝⎛⎭⎫－22λ⎝⎛⎭⎫2λ2－1＋⎝⎛⎭⎫1－22λ⎝⎛⎭⎫－22λ＝0，∴P A →⊥EF →.∴P A ⊥EF .例3 解 AB →＝(3,4)，AC →＝(－8,6)， ∠A 的平分线的一个方向向量为： AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝⎝⎛⎭⎫35，45＋⎝⎛⎭⎫－45，35 ＝⎝⎛⎭⎫－15，75. ∵∠A 的平分线过点A .∴所求直线方程为－75(x －4)－15(y －1)＝0.整理得：7x ＋y －29＝0.变式训练3 ⎝⎛⎭⎫－105，3105解析已知A (0,1)，B (－3,4)， 设E (0,5)，D (－3,9)， ∴四边形OBDE 为菱形．∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDE 的对角线OD .设C (x 1，y 1)，|OD →|＝310，∴OC →＝2310OD →.∴(x 1，y 1)＝2310(－3,9)＝⎝⎛⎭⎫－105，3105，即OC →＝⎝⎛⎭⎫－105，3105.课时作业1．B [BC 中点为D ⎝⎛⎭⎫32，6，AD →＝⎝⎛⎭⎫－52，5， ∴|AD →|＝525.]2．D [∵OA →·OB →＝OB →·OC →.∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ， OC ⊥AB ，∴O 为垂心．]3．A [BC →＝OC →－OB →＝λa －b .∵BC ⊥OA ，∴BC →·OA →＝(λa －b )·a ＝0，即λa 2－a·b ＝0.∴λ＝a·b|a |2.]4．B [∵|OB →－OC →|＝|CB →|＝|AB →－AC →|， |OB →＋OC →－2OA →|＝|AB →＋AC →|， ∴|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|，∴A ，B ，C 是同一矩形的三个顶点，且∠BAC ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．] 5．C[如图所示，由题知∠ABC ＝30°，∠AEC ＝60°，CE ＝33，∴|BC ||CE |＝3，∴BC →＝－3CE →.] 6．x ＋3y －7＝0解析 设P (x ，y )是所求直线上任一点，直线3x －y ＋1＝0的方向向量为(－1，－3)， 由(x －1，y －2)·(－1，－3)＝0得x ＋3y －7＝0. 7．－25解析 △ABC 中，B ＝90°，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝⎛⎭⎫－45＝－16； CA →·AB →＝5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝－9. ∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25. 8．等腰三角形解析 ∵(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →) ＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2 ＝|AB →|2－|AC →|2＝0， ∴|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 是等腰三角形．9．证明 ∵四边形ABCD 是菱形，∴|AB →|＝|AD →|，又∵AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →， ∴AC →·BD →＝(AB →＋AD →)·(AD →－AB →)∴AC →⊥BD →，即AC ⊥BD . 10．证明如图所示，建立直角坐标系，设A (2,0)，C (0,2)，则D (0,1)，于是AD →＝(－2,1)， AC →＝(－2,2)，设F (x ，y )，由BF →⊥AD →， 得BF →·AD →＝0， 即(x ，y )·(－2,1)＝0， ∴－2x ＋y ＝0①又F 点在AC 上，则FC →∥AC →， 而FC →＝(－x,2－y )，因此2×(－x )－(－2)×(2－y )＝0， 即x ＋y ＝2.②由①、②式解得x ＝23，y ＝43，∴F ⎝⎛⎭⎫23，43，DF →＝⎝⎛⎭⎫23，13，DC →＝(0,1) DF →·DC →＝13，又DF →·DC →＝|DF →||DC →|cos θ＝53cos θ，∴cos θ＝55，即cos ∠FDC ＝55，又cos ∠ADB ＝|BD →||AD →|＝15＝55，∴cos ∠ADB ＝cos ∠FDC ， 故∠ADB ＝∠FDC .。
25梅涅劳斯、赛瓦定理的平面向量应用
梅涅劳斯定理、赛瓦定理的平面向量应用梅赛快车，梅赛德斯？奔驰呀？前面不是露过脸了吗，怎么还没过瘾，想来个连续剧呀？非也，本文所谓梅塞快车，指的是梅涅劳斯（古希腊数学家）定理和赛瓦（意大利数学家）定理，它们是平面几何学和射影几何学的两颗璀璨的明珠，擅长解答平面向量线性相关系数问题，搭上它们，就上了快车了．等急了吧？快上车！哦，不，应该是上快车．梅涅劳斯（Menelaus ）定理：如图，若一条直线顺次与ABC ∆的三边CA BC AB ,,或其延长线交于点F E D ,,，则1=∙∙FACFEC BE DB AD ． 子曰：证明的过程也是熟悉的过程．下面给大家提供两个证法一：如图，过点A 作DF AG //交BC 的延长线于点G ，EG CE FA CF EB GE DB AD ==,，所以FA CF EC BE DB AD ∙∙1=∙∙=EGCEEC BE EB GE 证法二：如图，过点C 作DF CH //交AB 于点H ，则 DA HD FA CF DH BD EC BE ==,，所以FACF EC BE DB AD ∙∙1=∙∙=DA HDDH BD DB AD ． 定理的特征：三个比例式的乘积为1，每个比例式的三个字母（两个顶点一个分点，注：分点在边的延长线上叫外分点）是共线的，结构形式为：顶点分点分点顶点→→，首尾相接，直至绕回起点．赛瓦（Ceva ）定理：如图，在ABC ∆内任取一点O ，延长CO BO AO ,,分别交对边于D F E ,,，则相交，可得1=∙∙FA CFBC EB OE AO ①；由直线COD 与ABE ∆三边（延长线） 相交，可得1=∙∙DA BDBC EC OE AO ②．①÷②得1=∙∙FACFEC BE DB AD ．或许有同学用梅氏定理时纠结于从哪个顶点开始，从那条边开始．其实你若知道梅氏定理的绰号，纠结的症状不治而愈．哈，它的绰号叫做“没事”定理，亦即从哪儿开始，走哪条路都没事，反正得转一圈，都得轮一遍．赛瓦定理亦然．上述证明过程体现了两个定理的相似性．其实两个定理互为“对偶定理”，即只要证明了其中一个，另一个自然成立（糗大了，竟然都证了！）．这是因为在射影平面中，确定一条直线和确定一个点，都需要三个坐标（齐次坐标），于是面空间与点空间形成自然的同构，而这样的同构映射保持结合性（就是指EB点在线上、线过某点这样的结合关系）不变．对偶图形包括两个方面：①图元素互换：点与线互换；②结合性互换：共点与共线互换．这两个定理都有逆定理，这一点可依据三角形唯一性获知．特别地，运用赛瓦定理逆定理，我们可以证明三角形的三条中线、角平分线，锐角三角形的三条高交于一点．两辆车介绍完毕，下面该让平面向量线性相关系数问题上车体验速度了． 例1 （2013年全国联赛山东赛区预赛3）如图，在ABC ∆中，点O 为BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AC AB ,于不同的两点N M ,，若AN n AC AM m AB ==,，则n m +的值为 ．分析：其中直线MON 与ABC ∆的三边都相交，妥妥的梅氏定理．解：由梅氏定理可得1=∙∙NA CN OC BO MB AM ，所以111=--mn ，整理得2=+n m ．例2 如图，在AOB ∆中，,41OA OC =OB OD 21=，AD 与BC 交于点M ．设=OA a ，=OB b ．（1）用b a ,表示OM ；（2）延长OM 与AB 交于点E ，用b a ,表示ME ． 分析：（1）若能求出MB CM 或MDAM ，即可用b a ,表示OM ．而求上述 两个比例，可分别运用梅氏定理的组合：直线AMD 与BOC ∆、直线BMC 与AOD ∆，任选一组即可；对于第（2）问，为了乘车更过瘾，我们把这一问当做独立的一问来做，即不用第（1）问的结论，那就需分别求出E 分AB 之比和M 分OE 之比，前者可用赛瓦定理，后者可用梅氏定理．解：（1）解法一：用直线AMD 与BOC ∆，由1=∙∙DB OD AO CA MC BM ，可得1143=∙∙MC BM ，所以34=MC BM ，所以MC BM 43=，所以)(4)(3OM OC OB OM -=-，整理得=+=OC OB OM 7473=+OA OB 7173b a 7371+． 解法二：用直线BMC 与AOD ∆，由1=∙∙CA OC BO DB MD AM ，可得13121=∙∙MD AM ，所以6=MDAM，所以MD AM 6=，所以)(6OM OD OA OM -=-，整理得=+=OD OA OM 7671=+OB OA 7371b a 7371+．（2）由1=∙∙DO BD EB AE CA OC ，可得1131=∙∙EB AE ，可得3=EBAE，所以EB AE 3=，所以)(3OE OB OA OE -=-，整理得OB OA OE 4341+=．N ABCOM OAB用直线AMD 与BOE ∆，由1=∙∙AB EA ME OM DO BD ，可得1431=∙∙ME OM ，所以34=ME OM ，所以=+==OB OA OE ME 28928373b a 289283+．．分析：梅赛定理的本质，就是充分运用已有的线段比例关系，求出未知的线段比例关系．本例是前文《向量运算，莫失良“技”（１）》中的例３的改编题．在（2）中求EBAE时，也可运用梅氏定理：用直线OME 与ABC ∆，由1=∙∙OA COMC BM EB AE ，可得14134=∙∙EB AE ，所以3=EB AE ．这样做不甚好，原因一是要运用（1）中结论：34=MC BM ，二是梅氏定理要涉及与一条边的延长线相交，总不如赛瓦定理用起来顺手，围着三角形转圈就行，解决的是三角形内部矛盾．但愿今天梅赛定理的惊鸿一瞥，会使大家对向量线性相关问题兴趣更加盎然！。
如何利用向量解决平面几何问题的投影
如何利用向量解决平面几何问题的投影平面几何是数学中重要的内容之一，而解决平面几何问题的投影，向量方法是一种常用且有效的解决方案。
本文将介绍如何利用向量解决平面几何问题的投影，并提供一些具体的案例分析。
一、向量投影的基本概念在介绍向量解决平面几何问题的投影之前，首先需要了解向量投影的基本概念。
向量投影是指一个向量在另一个向量或者某个平面上的投影，可以理解为一个向量在某个方向上的分量。
二、向量投影的计算方法向量投影的计算方法可以通过向量的内积来实现。
设有两个向量A 和B，向量A在向量B上的投影记为proj_BA，可以通过以下计算公式得到：proj_BA = (A·B) / |B|其中，A·B表示向量A和向量B的内积，|B|表示向量B的模长。
三、向量投影的应用举例下面通过一些具体的例子来说明如何利用向量解决平面几何问题的投影。
例1：已知向量A(2,3)在向量B(4,5)上的投影proj_BA，求解该投影的值。
首先计算A·B = 2*4 + 3*5 = 8 + 15 = 23然后计算向量B的模长|B| = √(4^2 + 5^2) = √(16 + 25) = √41最后代入公式进行计算：proj_BA = 23 / √41 ≈ 3.58例2：已知向量A(4,1)在平面P上的投影proj_PA，求解该投影的值。
假设平面P通过一点P0(2,3)，且平面法向量为N(1,-1)。
首先计算A·N = 4*1 + 1*(-1) = 4 - 1 = 3然后计算向量N的模长|N| = √(1^2 + (-1)^2) = √2最后代入公式进行计算：proj_PA = 3 / √2 ≈ 2.12通过以上两个例子，我们可以看到向量投影的计算方法可以很好地应用于解决平面几何问题中的投影问题。
只需要通过向量的内积和模长计算，我们就可以得到所需的投影结果。
四、向量投影的几何意义除了计算投影的值，向量投影还有一个重要的几何意义。
平面向量的坐标表示与向量模长
平面向量的坐标表示与向量模长在平面几何中，向量是一种具有方向和大小的物理量，通常用箭头表示。
为了描述和计算向量的性质和运算，常常使用它的坐标表示和模长。
本文将探讨平面向量的坐标表示以及如何计算其模长。
一、平面向量的坐标表示平面向量通常由两个不平行的线段表示，其中一个线段表示向量的大小和方向，另一个线段表示向量的方向。
为了方便计算和描述，我们可以使用坐标表示来表示平面向量。
平面坐标系是一个由两条彼此垂直的坐标轴组成的坐标系，通常称为x轴和y轴。
以原点O为起点，x轴和y轴正方向分别为正向和负向。
在平面坐标系中，每个点都可以表示为一个有序对(x, y)，其中x表示点到y轴的水平距离，y表示点到x轴的垂直距离。
对于平面向量AB，可以使用一个有序对来表示其坐标表示，即(ABx, ABy)，其中ABx表示向量AB在x轴上的投影长度，ABy表示向量AB在y轴上的投影长度。
二、向量的模长向量的模长表示向量的大小，也称为向量的长度。
在平面向量中，向量的模长通常由向量的坐标表示计算而得。
设平面向量AB的坐标表示为(ABx, ABy)，那么向量AB的模长记作|AB|，可以通过勾股定理得到如下公式：|AB| = √(ABx^2 + ABy^2)其中^2表示平方运算，√表示开方运算。
三、示例与应用为了更好地理解平面向量的坐标表示和模长，我们来看一个具体的示例。
示例：已知平面向量AC的坐标表示为(3, 4)，求向量AC的模长。
解析：根据上述公式，我们可以计算向量AC的模长：|AC| = √(3^2 + 4^2)= √(9 + 16)= √25= 5因此，向量AC的模长为5。
平面向量的坐标表示和模长在几何学和物理学中有着广泛的应用。
它们可以用于描述力和力矩等物理量，计算线段的长度和方向等几何性质。
同时，在向量运算和向量计算中，坐标表示和模长也是必不可少的工具。
结论平面向量的坐标表示和模长是描述和计算向量性质的重要工具。
通过使用坐标表示，我们可以准确地表示向量的方向和大小；通过计算模长，我们可以得到向量的大小。
平面向量的投影
平面向量的投影在数学中，平面向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度。
在几何学和物理学中，平面向量的投影经常用于解决矢量分析中的各种问题。
本文将介绍平面向量的投影概念、计算方法以及应用。
一、概念在平面几何中，向量的投影是指一个向量在另一个向量上的“阴影”，它是一个标量，表示两个向量之间的关系。
设向量a和向量b位于同一平面上，向量a的投影记为proj_b(a)，它的大小表示向量a在向量b上的投影长度。
二、计算方法平面向量的投影可以使用向量的内积进行计算。
设向量a=(a1, a2)和向量b=(b1, b2)，则向量a在向量b上的投影长度为：proj_b(a) = |a| cosθ其中，|a|为向量a的模长，θ为a与b之间的夹角。
三、示例为了更好地理解平面向量的投影，让我们通过一个具体的示例来计算投影长度。
假设有两个向量a=(3, 4)和b=(1, 2)，我们需要计算向量a在向量b上的投影。
首先，计算向量a的模长：|a| = √(3^2 + 4^2) = √25 = 5然后，计算向量a与向量b之间的夹角：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)其中，a·b为向量a与向量b的点积。
a·b = 3*1 + 4*2 = 11|b| = √(1^2 + 2^2) = √5因此，cosθ = 11 / (5 * √5)最后，计算向量a在向量b上的投影长度：proj_b(a) = 5 * cosθ根据计算结果，可以得出向量a在向量b上的投影长度为5 * (11 /(5 * √5)) = 11 / √5。
四、应用平面向量的投影在各个学科领域都有广泛的应用。
在物理学中，它可以用于求解物体在斜面上的受力情况。
在工程学中，它可以用于计算力的分解。
在计算机图形学中，它可以用于模拟光线的传播和阴影效果。
总结：平面向量的投影是一个重要的数学概念，它可以帮助我们解决许多几何学和物理学中的问题。
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2.5.1平面几何中的向量方法教材分析本节内容是数学必修4第二章平面向量 2.5平面向量应用举例的第一课时．本节课是在学习了向量的线性运算及向量数量积的基础上进行的，是对前面学习内容的延续与拓展；本节的目的是让学生加深对向量的认识，更好地体会向量这个工具的优越性。
对于向量方法，就思路而言，向量方法与平面几何中的解析法是一致的，不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.同时本节课也是对向量相关知识的进一步巩固、应用，加深对向量相关知识的理解，深化学生对向量的理解，培养学生数学实际应用的能力．课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解利用向量方法解决平面几何中的平行、全等、相似、长度、夹角等问题．教学目标重点: 用向量知识解决实际问题的基本方法，向量法解决几何问题的“三步曲”.难点：选择恰当的方法，将几何问题化归为向量问题.知识点：平面几何中的向量方法；通过向量运算研究几何问题中点，线段，夹角之间的关系.能力点：掌握向量理论在平面几何中的初步运用；会用向量知识解决几何问题；通过经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题的过程，体会向量处理几何问题的优越性；发展学生的运算能力、推理论证能力和解决实际问题的能力．教育点：让学生亲身经历问题相互转化的过程，体验向量在解决平面几何问题中的工具作用，增强学生的探究意识和学习热情；在探究和解决问题的过程中，培养学生细心观察、互相合作的精神．自主探究点：通过向量线性运算与向量数量积的几何背景，探究解决几何元素间的关系，如平行、距离、夹角等问题的方法与步骤．考试点：平面几何中的向量方法．拓展点：通过课后思考探究直线的有关问题和函数的最值问题．教具准备多媒体课件、三角板课堂模式学案导学一、引入新课1、知识回顾：问题1：请同学们完成下列表格（向量的加、减法运算及其几何意义）？问题2：向量数量积的概念，利用它可以进行哪些量的计算？问题3：如何判断两个向量的平行、垂直？【师生活动】师：展示课件、提出问题．生：思考并完成问题．1.向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量减法的三角形法则2. 向量的数量积：||||cos=θa b a b向量的模：=a=夹角公式21cos||||xθ==a ba b3. 向量平行与垂直的判定：1221//0x y x y⇔-=a b1212x x y y⊥⇔+=a b【设计意图】使学生对本节课所必备的基础知识有一个清晰准确的认识，分散教学难点，更为学生自主探究铺平道路．师：由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下面通过几个具体实例,说明向量方法在平面几何中的运用.b .首尾相接，首尾连同起点，连终点，方向指【设计意图】在开课之初就让学生明确本节课所要研究的内容，让学生带着问题去学习，引发学生探究新知识的欲望．二、探究新知【师生活动】师生共同回忆勾股定理的平面几何证明方法．师：展示赵爽弦图和欧几里德证法，进而提出问题：还能用更简单的方法证明吗？师：勾股定理就是要研究三角形三条边长度之间的关系，而涉及长度问题，我们常常要考虑向量中哪些知识？生：思考、交流、形成一致认识． 向量的模就是相应线段的长度，要考虑向量的数量积．师：怎样将线段变为向量？也就是说怎样把这个几何问题转化为向量问题？ 生：思考、讨论． （多数学生能用向量方法证明勾股定理） 设AB =a ，AC =b ，则CB -=a b ．所以()22CBCB -=-2222==a b a a b +b ．因为⊥a b ，所以0a b =．所以 ()22CBCB AB AC -=-==+22222222==a b a a b +b a +b即 222BC AB AC =+．师：我们把直角三角形演变成矩形，你能发现矩形中四条边与两条对角线的关系吗？生：独立思考、小组交流，得出结论，代表回答． 类比“勾股定理”容易得到：“矩形的两对角线长度的平方和等于两邻边平方和的二倍”． 即：222222AB BC CD DA AC BD +++=+．师：如果不小心把矩形碰歪了，变成了平行四边形，这个结论还成立吗？ 生：思考交流，得到猜想结论．【设计意图】学生借助于勾股定理，对直角三角形和矩形中边与边之间的长度关系有较直观的认识、较容易理解；以此为基础支持，在具体、直观的问题中观察、类比、体验，得到猜想，为重难点的突破奠定基础；并由此进入例1的讨论． 【师生活动】例1 证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和． 师：你能证明猜想结论的正确性吗？生：思考、小组交流，探究问题的答案，并板书展示探究过程．教师引导学生共同批改学生答案，探讨解题中出现的问题和解题的关键点，并校对自己的答案． 证明：设 设AB =a ，AD =b ，则DC =a ，BC =b ，AC +=a b ，DB -=a b ． 所以||||||AB DC ==a ，||||||AD BC ==b ；()22AC AC +=2222==a b a +a b +b ，()22DB DB -=-2222==a b a a b +b ．所以()()()+222AC DBAC DB +=-=+2222222222=a +a b +b +a a b +b a b ；()2222||||+||+||2+AB BC DC AD +=22a b．所以2222+||||+||+||AC DBAB BC CD DA +22=，即222222AC BD AB BC CD DA +=+++． 所以平行四边形两对角线平方和等于四条边的平方和．【设计意图】培养学生反思、总结的习惯；通过动手操作让学生进行独立的探究学习，提高学生向量运算能力和推理论证能力． 【师生活动】师：如果不用向量方法，你能证明上述关系吗？生：思考、交流． （予以简单提示：作辅助线构造直角三角形，借助勾股定理、全等三角形等知识） 师生共同完善演绎推理过程．师：将上述方法与向量方法比较，我们会发现：利用向量法可以把一个思维过程变成了一个算法过程，从而降低了思维难度． 那么利用向量法解决问题的关键是什么？ 生：思考回答；选取基底，将几何问题转化为向量问题． 师：回顾解题过程，你能总结向量方法解决几何问题的步骤吗？ 生：独立思考，小组讨论交流．师生共同总结用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系.【设计意图】通过教师提问，学生分析讨论，层层深入地进入问题的探究，让学生在自主合作探究中理解向量方法解决几何问题的方法与步骤.而且衔接自然，能够使学生对比地得出两种方法的特点，通过学生自己总结解题方法，使学生对向量方法解决平面几何问题有较深刻的印象.【师生活动】师：我们知道，向量也可以进行坐标运算，本题能否建立适当直角坐标系利用向量的坐标运算进行证明呢？生：思考，动手操作，并交流探究过程．师：巡视课堂，对学生探究过程出现的问题和面对的困难进行个别辅导，并展示完成较好的学生的答案．证明：设(,0)B a，(,)D b c，则(,)C a b c+．所以(,0),(,)AB a AD b c==，(,),(,)AC a b c DB a b c=+=--．所以222222||,||,||(),||()AB a AD b c AC a b c DB a b c==+=++=-+．所以2222222222(||||)2()AB BC CD DA AB AD a b c+++=+=++2222222||||2()AC BD AC DB a b c+=+=++．所以222222AC BD AB BC CD DA+=+++，即：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．【设计意图】比较是最好的学习方法．第二种方法与第一种方法有所不同，但其本质是一致的，通过引导学生仔细体会，比较两种方法的异同，找出其内在的联系，以达融会贯通，灵活运用之功效．并为解决本节课的重难点问题作铺垫，便于知识水到渠成的向前发展．三、理解新知【师生活动】1.回顾问题的探究过程，向量方法解决平面几何问题共分为几步？向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.2.利用向量方法解决平面几何问题的关键一步是什么？关键步骤是：用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．3.将平面几何问题转化为向量问题的思路有几种？第一种：选取恰当的基底，利用基向量法；第二种：建立适当的平面直角坐标系，利用坐标法．【设计意图】巩固新知，总结解题方法，加深对向量方法解决平面几何问题的认识与理解，为准确地运用新知作必要的铺垫．四、运用新知例1 已知直角三角形的两直角边长分别为2和4，求两直角边上的中线所夹的锐角的余弦值． 【师生活动】师：展示课件，提出问题． 生：思考问题，并表述自己的思路．师生共同分析、共同完善，最后教师课件展示证明过程．证明：如图所示，2,4,90BC AC ACB ==∠=︒，则1,2CD CE ==．所以2217AD AC CD =+=2222BE BC CE =+=．所以()()10AD EB AC CDEC CB AC EC AC CB CD EC CD CB =++=+++=设AD EB 与的夹角为θ，则5cos 34341722AD EB AD EBθ===⨯ 53434师：除了基向量法，还有其它方法吗？生：思考交流，提出解决问题的方法——利用向量的坐标法进行证明； 学生板书展示． 教：巡视课堂，关注学生的解答过程，进行个别指导. 最后课件展示详细步骤，学生校对答案，并反思总结．【设计意图】校对答案，题后反思，可以加深学生对知识的理解，构建自己的解题思维过程． 证法二：建立如图所示平面直角坐标系，则(0,4),(2,0),(1,0),(0,2)A B D E ．则(1-4(2,2)AD EB ==-，），． 所以12(4)(2)10AD EB =⨯+-⨯-=，221(4)17AD =+-= 222(2)22BE =+-=设AD EB 与的夹角为θ，则105cos 34341722AD EB AD EBθ===⨯．53434【设计意图】直接应用，内化新知，提高学生分析问题、解决问题的能力.通过本例让学生体会两种方法的联系与区别，及其适用题型；灵活的构想,一题多变，数形结合思想得到充分体现.例2 如图，ABCD 中，点E F 、分别是AD DC 、边的中点，BE BF 、分别与AC 交于R T 、两点，你能发现AR RT TC 、、之间的关系吗？ 【师生活动】师：充分利用多媒体，作出上述图形，测量、展示AR RT TC 、、的长度，引导学生观察三者的关系． 生：仔细观察图形，发现==AR RT TC ．师：继续演示，拖动平行四边形的顶点；又有什么结论呢？ 生：通过数据对比发现，==AR RT TC 仍然成立． 师生共同总结，得出猜想结论，==AR RT TC ．【设计意图】为了培养学生的观察、发现、猜想能力，让学生能动态地发现图形中AR RT TC 、、之间的相等关系,师：由于R T 、是对角线AC 上的两点，要判断AR RT TC 、、之间的关系． 只需分别判断AR RT TC 、、与AC 的关系即可． AR RT TC 、、、AC 怎样的位置关系呢？ 生：思考易答，AR RT TC 、、、AC 共线． 师：怎样用向量的知识刻画共线问题？生：只需判断AD AR AT 、、与AC 共线即可． 师：如何将几何问题转化为向量问题？步骤是什么呢？ 生：向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 师：请同学们沿此思路思考解决问题．生：自主思考、探究． 让学生发表自己的思考探究过程．师：适时引导，分别从两个角度表示AR TC 、；如：（1）=AR n AC n ，（2）=AR AE ER +n． 解：设AB =a ，AD =b ，则AC =+a b ．由于AR 与共线，所以可设()AR n =+a b ，n R ∈．又因为EB =AB AE -12=-a b ，ER 与EB 共线， 所以可设mEB =1(2m =-a b)．因为+=， 所以11()(22n m +=+-a b b a b)，即1()()2m n m n --++0a b =． 由于向量，a b 不共线，要使上式成立，必须⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-.021,0m n m n 解得13m n ==． 所以13=． 同理13=. 于是RT 13=.所以AR RT TC ==．【设计意图】通过本题让学生体会利用向量的几何运算解决问题的关键是如何选择恰当的基底，原则上讲，只要选择不共线的两个非零向量即可作为基底，但实际上基底的选择将直接影响证明的难易． 恰当的选择基底需要较多的实践.五、课堂小结教师提问：通过本节课的学习，你有哪些收获？留给你印象最深的是什么？（引导学生从知识点、思想方法两方面进行总结）学生总结：1．知识点：向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系.2．思 想方法：向量法，向量法与几何法、解析法的比较，将平面几何问题转化为向量问题的转化化归的思想方法，深切体会向量的工具性这一特点．教师展示课件并作强调．【设计意图】让学生通过小结，反思学习过程，提升对所学知识及数学思想方法的理解和应用意识；提高 学生的概括、归纳能力.同时学生在回顾、总结、反思的过程中，将知识条理化、系统化，使认知结构更趋合理；最后教师用课件展示小结内容并进行重点强调，使学生印象深刻.六、布置作业1．书面作业必做题： 113P 习题2.5 A 组 1，2． 选做题：1.在ABC ∆中，若()()0CA CB CA CB +⋅-=，则ABC ∆为（ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 2．已知：如图,,AD BE CF 是ABC ∆的三条高, 求证：AD BE CF 、、交于一点． 3．在平面直角坐标系中，已知点A (－1，－2)，B (2，3)， C (－2，－1) (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足()0AB tOC OC -=，求t 的值． 答案：1．C ．2．证明：设BE 与CF 交于点H ，且,,AB AC AH ===b c h ，则 ,,BH CH BC =-=-=-h b h c c b ．,BH AC CH AB ⊥⊥，()()0,0∴-=-h b c h c b =．()()∴-=-h b c h c b ∴-=-h c b c h b c b ，即()-=0h c b ． AH BC ∴⊥． AH ∴与AD 重合． AH ∴与AD 重合．∴AD BE CF 、、交于一点．3．(1)42,210；(2)115t =- 2．课外思考思考1：如图，在Rt ABC ∆中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点， 问：BC PQ 与的夹角θ取何值时，BP CQ 的值最大？并求出这个最大值． 思考2：如图，在Rt ABC ∆中，已知BC a =，．若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点， 问：BC PQ 与的夹角θ取何值时，BP CQ 的值最大？并求出这个最大值．[设计意图]通过适量的课后作业，巩固新知，有助于学生对自己进行自我评价，也便于教师及时了解学情．书面作业的布置，设置了两组练习，一组必做题，一组选做题，这样可以使学生在完成基本学习任务的同时，又能得到符合自身实践的提高与感悟，使不同层次的学生都能获得成功的喜悦，加强学习的自信心，激发学习的兴趣．课外思考探究活动有利于进一步激励学生学习的热情，探究新知的欲望，使课堂教学得以延伸．七、教后反思1.本节设计的指导思想是：充分使用多媒体，引导学生展开观察、归纳、猜想、论证等一系列思维活动；突出学生的主体地位，把学习的主动权还给学生.2.平面向量的运算包括向量的代数运算与几何运算.相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手.而向量的几何运算在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力.3.本节知识方法容量较大，思维含量较高，教师要把握好火候，恰时恰点地激发学生的思维火花.八、板书设计欢迎您的下载，资料仅供参考！。