九上241圆2412垂直于弦直径数学初中教育教育专区
人教版数学九年级上册第24章 园 24.1.2垂直于弦的直径 课例分析课件(共32张PPT)
24.1.2垂直于弦的直径 （第一课时）
24.1.2垂直于弦的直径（第1课时）
教学目标
1．通过观察实验，理解圆的轴对称性；
2．掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算 问题；
3. 经历探索垂径定理的过程，提升观察、分析、逻辑推理和归纳 概括能力.
A 4E
B
3
O
C
例2 如图，在⊙O中，半径OC⊥AB，垂 足 为E，若CE=2cm，AB=8cm，求⊙O的半径．
A
42
E
r
r-2
O
B
主要是在计算上应用垂径定理解决问题，常用的辅助线是作过圆心垂直于弦的线段，有
时通过设未知数列方程的方法解决问题，充分渗透方程思想，将勾股定理和垂径定理结 合起来应用.学会规范书写解题格式，通过图形逐步熟悉垂径定理的基本图形，熟悉半径， 弦长，圆心到弦的距离三者之间的关系，为例题之后的思考归纳做好准备工作.
例3 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D
两点．求证：AC＝BD．
思路3：过点O作OE⊥AB于点E， 根据垂径定理．
O
A
E
B
O
CE
D
AC
O E DB
引导学生观察图形，逐步发现垂径定理的基本图形，在寻找其他更好的方法的过程中， 学生的思维得到不断的锻炼.
r r
新知应用
A
E
B
O
C
O
A
M
A'
D
如何证明圆是轴对称图形？ 定稿：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于
直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.我们还可以证明， 对于圆上任意一点A在圆上都能找到一点A＇，这两点关于直径 所在直线对称，我们如何找到这样的点A＇呢？
人教版九年级数学上册第24章《 圆：24.1.2 垂直于弦的直径》
第二十四章 圆
如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论中错
误的是( B )
A．CE＝DE
C. B⌒C＝B⌒D
B．A理的推论 通过垂径定理的证明及应用，我们还可以进一步 得到垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
第二十四章 圆
【例3】如图所示，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦， AM＝BM，OM∶OC＝3∶5，求AB的长.
解：∵圆O的直径CD=10cm，
∴圆O的半径为5cm，即OC=5cm， ∵OM：OC=3：5， ∴OM= 3 OC=3cm， 连接OA，5∵AB⊥CD， ∴M为AB的中点，即AM=BM= 1 AB，
第二十四章 圆
【例1】求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所 在的直线都是圆的对称轴.
分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任 意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆 上.
第二十四章 圆
证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C,D以外 的任意一点.过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为
所以 AD= 1 AB= 1 37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23.
2
2
在Rt△OAD中，由勾股定理，
得OA2=AD2+OD2，
即R2=18.52+（R-7.23）2.
解得R≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.
第二十四章 圆
总结
(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂 直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质 是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可．
九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径教案2新人教版(1)
24．1．2 垂直于弦的直径教学目标1、知识目标:(1）充分认识圆的轴对称性。
（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质,掌握垂径定理。
（3)运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。
2、能力目标：让学生经历“实验—观察—猜想-验证—归纳”的研究过程,培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。
让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。
3、情感目标：通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神。
教学重点垂直于弦的直径的性质及其应用。
教学难点1、垂径定理的证明。
2、垂径定理的题设与结论的区分。
教学辅助多媒体、可折叠的圆形纸板。
教学方法本节课采用的教学方法是“主体探究式”。
整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用,注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。
令学生参与到“实验—-观察—-猜想--验证-—归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理.学生不再是知识的接受者,而是知识的发现者，是学习的主人。
教学过程教师活动学生活动教学环节设计目的情景创设情景创设情景问题：赵州桥主桥拱的跨度（弧所对的弦的长)为37。
4m, 拱高（弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？把一些实际问题转化为数学问题思考：若用直角三角形解决，那么E是否为AB中点?从实际出发,充分发现问题的存在，再带着问题去思考它们之间的关系，有助于定理的得出。
回顾旧识回顾旧识我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题1）什么是轴对称图形？2）我们学习过的轴对称图形有哪些？(电脑上直观的动画演示，运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画)学生观察一些图形：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。
如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。
通过复习,强化学生本节课所需要的相关知识，为学生自主探索垂径定理做奠基。
人教版初中数学九年级上册 24.1.2垂直于弦的直径 教学课件PPT
谢谢
D
B
R的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
A
E
B
O·
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边 形ADOE是正方形．
C
E ·O
A
D
B
3.如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
24.1.2垂直于弦的直径
创设情境，导入新知
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
D
C
E
A
O
B
归纳小结
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所
对的两条弧． ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合 是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法．
②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线．
重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形— （结合）勾股定理—建立方程．
布置作业
1.教科书习题 24.1 第 1，2 题． 2. 补充：已知圆心到圆内两条平行弦的距离分别 为6和8，圆的半径为10 ，求两条弦之间的距离
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条
直径所在直线都是它的对称轴．
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为 E． 你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
线段：AE=BE OA=OB
九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径教案1新人教版(2021年
2018-2019学年九年级数学上册第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教案1 （新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学上册第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教案1 （新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年九年级数学上册第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教案1 （新版）新人教版的全部内容。
24。
1。
2 垂直于弦的直径※教学目标※【知识与技能】1.探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质.2.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题。
【过程与方法】1.在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程．2.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神.【情感态度】使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．【教学重点】垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．【教学难点】利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．※教学过程※一、情境导入(课件出示图片)你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形,它的跨度（弧所对的弦的长）为37。
4m，拱高(弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？二、探索新知1.圆的轴对称性问题1 将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？（圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.）2.垂径定理及其推论如图,AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ,垂足为M ．(1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么? （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD ．（2）AM =BM ，AC BC =，AD BD =,即直径CD 平分弦AB ,并且平分AB 及ADB ． 归纳总结垂径定理＊：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
24.1.2 垂直于弦的直径(2)-九年级数学上册教学课件(人教版)
O
圆心的直线都是圆的对称轴.
01
OPTION
目录
考点 1：垂径定理的推论1 考点2：垂径定理的推论2 考点3：垂径定理的推论3 考点4：垂径定理的推论4 考点5：课堂小结
垂径定理(3分钟)
探 【探究1】垂径定理的条件和结论分别是什么？ 究 条件：①过圆心， 结论：③平分弦，
归
②垂直于弦.
④平分弦所对的劣弧，
探 【例2】怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗?
究
A
归 方法: 纳 1.在圆弧上任取三点A、B、C;
2.作线段AB、BC的垂直平分线,
精 其交点O即为圆心; 讲 3.以点O为圆心,OC长为半径作圆.
精 ⊙O即为所求. 练
B
O C
03
OPTION
目录
考点 1：垂径定理的推论1 考点2：垂径定理的推论2 考点3：垂径定理的推论3 考点4：垂径定理的推论4 考点5：课堂小结
C
D
A
B
精 讲
(垂直平分弦的直径平分弦所对的弧) A⌒M－C⌒M＝⌒BM－D⌒M ∴A⌒C＝B⌒D
.O
精
N
练
垂径定理的推论4(3分钟)
探 垂径定理推论4 夹在两平行弦之间的弧相等
究：
。
归
M
纳
C
D
A
B
精
.O
讲
精
N
练
垂径定理的推论4(3分钟)
探 究
A
归 纳
M
C
D
B
A
B
.
O
O.
E
.O
AC
DB
精
N
讲
精
解决有关弦的问题,经常是过圆心作弦的弦心距,或作垂
新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆24.1.2垂直于弦的直径》优质课教案_2
24.1.2垂直于弦的直径一.内容和内容分析1内容圆的轴对称性和垂径定理2. 内容分析本节内容是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。
所以它在教材中处于非常重要的位置。
“垂径定理”在教材中起着重要的作用，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有广泛的应用。
因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用。
二.目标和目标解析1. 目标（1）研究圆的对称性,掌握垂径定理（2）学会运用垂径定理解决一些有关证明、计算问题。
2.目标解析学生能理解垂径定理的条件有两个:①一条直线(或线段)过圆心；②这条直线(或线段)垂直于弦，结论有三个:③平分这条弦；④平分这条弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．学生能利用垂径定理，并通过勾股定理完成和半径、弦等有关的简单计算和证明，感受作“垂直于弦的直径”的辅助线的作用．达成目标(2)的标志是：学生知道圆是轴对称图形，并能指出圆的对称轴；学生能从圆的轴对称性的角度进行观察和发现，并能利用叠合法证明垂径定理．三.教学问题诊断分析学生虽然已经学习了轴对称等图形变化，但运用图形变化的观念去发现问题解决问题的意识还不强，因此对于垂径定理的发现和证明时，学生可能不容易想到用轴对称的角度去思考。
此外垂径定理的题设与结论比较复杂，题设的变式比较多样，一些学生不能把握题设的本质，从而造成对定理的理解不深入．基于以上分析，本课的教学难点是：垂径定理的探索及题设与结论的理解．四.教学过程：1复习轴对称和轴对称图形问题1如图A和 A’关于直线L对称需要满足什么条件问题2轴对称图形定义设计意图：为证明圆是轴对称图形作铺垫2探索圆的轴对称性活动一把一个圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？设计意图：直观认识圆的轴对称性活动二已知：如图，在⊙O中，CD是圆的直径求证：圆是轴对称图形师生活动：引导学生选取⊙O上点C,D以外的任意一点A，过点A作AA'⊥CD,交⊙O于点A',垂足为E，设计意图：要学生掌握证明一个图形是轴对称图形的方法3垂径定理问题1：由CD是直径，CD⊥AB能得出那些等量关系师生活动：学生分组讨论，得出结论AE=BE AC=BC AD=BD问题2：请学生用文字语言叙述出来。
人教版(2012)九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径 课件(29张ppt)
B D
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2, ∴R2=18.52+（R-7.23）2,解得R≈27.3.
即赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
O
例题变式
如图，在⊙O中，弦AB的长为 6 cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为 4 cm，
求⊙O的半径．
解： 过圆心O 作OE⊥AB于E， A
,(垂径定理）
3E B
4
O
在Rt △ AOE 中 ,
垂径定理 圆是轴对称图形
知识小结 内容
推论
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平 分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就 可以推出其他三个结论（“知二推三”）
5)
y
.
C 3
A O 2M D
Hale Waihona Puke 5B x达标练习4.如图，⊙O 的直径CD⊥AB于E，AB＝6cm，CE＝9㎝.
求⊙O 的半径.
C
O
r 9-r
3E
A
B
D
角形全等. 要证 ⌒AC =A⌒D,⌒BC =⌒BD ，只需证明C点与D点
C
关于直径AB对称.
A
O ED B
同位讨论
CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，垂足为E. 求证：CE=DE,⌒AC = A⌒D, ⌒BC =⌒BD.
证明：连接OC,OD,则OC=OD 在Rt△OCE和Rt△ODE中：
A O
__O_E_=_O_E_____________
1.半径为4cm的⊙O 中，弦AB=2 cm,
那么圆心O 到弦AB 的距离是
人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径课件
C
解:连接OC.
E 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
F ●O
OE CD,
D CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
根据勾股定理，得 OC2 CF 2 OF 2 ,
R2 3002 R 902 .
解得R=545.
例3：已知：⊙O中弦AB∥CD,
M
求证：A⌒C＝B⌒D.
C
D
A
B
证明：作直径MN⊥AB.
.O
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） N
A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M
∴A⌒C＝B⌒D
归纳总结
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E
.O
AC
DB
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心 距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为 应用垂径定理创造条件.
C
C
A
D
B
O
O
A DB
图a
图b
归纳总半径r, 弦心距d
·O
（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题
时，常常通过连半径或作弦心距构造直角 A C
B
三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. C
弓形中重要数量关系
h
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r A
D
B
之间有以下关系：
人民教育出版社
精品教学课件
授课教师：
学校：
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
2019最新九年级数学上册 第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径教案
24.1.2 垂直于弦的直径※教学目标※【知识与技能】1.探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质.2.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题.【过程与方法】1.在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程．2.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神.【情感态度】使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．【教学重点】垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．【教学难点】利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．※教学过程※一、情境导入（课件出示图片）你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m ，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？二、探索新知1.圆的轴对称性问题1 将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？（圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.）2.垂径定理及其推论 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． （1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD ．（2）AM =BM ，AC BC =，AD BD =，即直径CD 平分弦AB ，并且平分AB 及ADB ．归纳总结垂径定理*：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.想一想 （出示课件）判断下列图形，能否使用垂径定理？提问（1） 一条直线满足过圆心和垂直于弦，则可得到什么结论？提问（2） 已知直径AB ，弦CD 且CE =DE ，那么可得到的结论有哪些？结论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧提问（3） 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，为什么不是直径?3.利用垂径定理及推论解决实际问题问题3 如图，用AB 表示主桥拱，设AB 所在圆的 圆心为O ，半径为R .经过圆心O 作弦AB 的垂线OC ，D 为垂足，OC 与AB 相交与点C ，连接OA .根据垂径定理，D 是AB 的中点，C 是AB 的中点，CD 就是拱高.由题设可知AB =37cm ，CD =7.23cm ，所以113718.522AD AB ==⨯=(cm)，O D O C CD =-=7.23R -.在Rt △OAD 中，由勾股定理，得222OA AD OD =+，解得27.3R ≈(m).因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.三、巩固练习1.如图，AB 是圆O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，根据圆的轴对称性可得：CE =_______，BC =_______；AC =_______．2.如图，在圆O 中，MN 为直径，若MN ⊥AB ，则_______，_______，_______，若AC =BC ,AB 不是直径，则_______，_______，_______．3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中AB )，点O 是这段弧的圆心，C 是AB 上的一点，OC ⊥AB ，垂足为D 。