人教版九年级数学上册同步练习 24.2.2 第2课时切线的判定与性质

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秋季九年级数学上册24.2.2第2课时切线的判定与性质习题课件新版新人教版

7．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切于点A.若∠MAB＝30°，则∠B＝__6_0_°.
8．如图，等腰△OAB中，OA＝OB，以点O为圆心作圆与底边AB 相切于点C.求证：AC＝BC.
解：∵AB切⊙O于点C，∴OC⊥AB.∵OA＝OB，∴AC＝BC
9．(2016·海南)如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A， PO交⊙O于点C，连接BC.若∠P＝40°，则∠ABC的度数为( B)
(2)∵CM 平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM，又∵∠A＝∠BDC，∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，∵∠ADB＝90°，DM＝1， ∴DN＝DM＝1，∴MN＝ DM2＋DN2＝ 2
15．(阿凡题：1070589)(2017·德州模拟)如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦BC为6 cm，D，E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点， P为AB延长线上一点，且PC＝PE.
练习2：(2016·泉州)如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB＝60°， ∠A的大小为( B )
A．15° B．30° C．45° D．60°
1．下列说法中，正确的是( D ) A．AB垂直于⊙O的半径，则AB是⊙O的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线 C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
5．(2016·湖州)如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A ＝25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是 ( )B
A．25° B．40° C．50° D．65°
6．如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO＝5，PA切⊙O 于A点，则PA＝__4__.
⊙O相切？并说明理由．解：(1)∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，

新人教版九年级数学上册 24.2.2.(2).切线的性质与判定

2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
∵ BC ⊥ OA于A,OA为⊙O的半径 ∴BC为⊙O的切线
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
∵OA为⊙O的半径,BC ⊥ OA于A ∴BC为⊙O的切线
最常用！
切线的性质定理
思考：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？
性质定理切线的性质有 1 个公共点 d=r
作业布置
书面作业：
1.书上98页练习题，书上101页4、5题； 2.《探究丛书》107页14、15题.
课外探究：
《实践与探究》108页的“拓展与探究”
第一种情况
例.如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB 求证：直线AB是⊙O的切线.
连接
第二种情况
例.如图，OA＝OB=5，AB＝8, ⊙O的直径为6. 求证：直线AB是⊙O的切线.
作垂直
1.判断下列命题是否正确. ⑴.经过半径外端的直线是圆的切线. ⑵.垂直于半径的直线是圆的切线. ⑶.过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. ⑷.和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. ⑸.过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.
( ( ( ( (
) ) ) ) )
2.如图所示，A是⊙O上一点，且AO=5,PO= 13,AP=12,则PA与⊙O的位置关系是相切 . 3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ C ） A．40° B．35° C．30° D．45°
例2. 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC中点，⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线．

部编版人教数学九上《24.2.2第2课时切线的判定和性质测试题(含答案)》最新精品优秀

图24 2 18
A．40°B．50°
C．80°D．100°
2．如图24 2 19所示，⊙O与直线AB相切于点A，BO与⊙O交于点C.若∠BAC＝30°，则∠B等于( )
图24 2 19
A．29°B．30°
C．31°D．32°
3．如图24 2 20，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是( )
6．如图24 2 23所示，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长．
7．如图24 2 24所示，⊙O的直径AB＝12 cm，C为AB延长线上一点，CP与⊙O相切于点P，过点B作弦BD∥CP，连接PD.
图24 2 20
A．∠EAB＝∠CB．∠B＝90°
C．EF⊥ACD．AC是⊙O的直径
4．如图24 2 21，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过点C的切线与AB的延长线交于P点．若∠P＝40°，则∠D的度数为____．
图24 2 21
5．如图24 2 22，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E.求证：直线CE是⊙O的切线．
前言：
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第2课时切线的判定和性质
1．如图24 2 18所示，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC.若∠BCD＝50°，则∠AOC的度数为 ( )
(1)求证：点P为的中点；

人教版九年级上册第24章课时2 切线的判定与性质3(23页)

经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线
切线的性质
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有1个公共点
常见辅助线
d=r
有切线时：连切点，得垂直；作垂直，得切点
证切线时：有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径
A O
第2题
第3题
4. 如图，PA为⊙O的切线，切点为A，OP = 2， ∠APO=30° ，求⊙O的半径.
解：连接OA，则OA为⊙O的半径，因为PA是⊙O的切线，所以OA⊥AP，又∠APO＝30°，OP＝2，所以OA＝1 OP＝1，
2
即⊙O的半径为1.
5.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，
A
证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E.
∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB.
E
又 AD 平分∠BAC，DE⊥AC，
∴ DE = DB. ∴ AC 是⊙O 的切线.
B
D
C
典例精析
方法总结
当未提及直线与圆有公共点时，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段等于半径，即可得出已知直线为圆的切线.
典例精析证切线时辅助线的添加方法
都是沿圆的切线方向飞出的.
合作探究
思考
如图，在 ⊙O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和 ⊙O 有什么位置关系？
可以看出，圆心 O 到直线 l 的距离就是 ⊙O 的半径，直线 l 就是⊙O的切线.
O
l A
合作探究
归纳
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
随堂演练

2020年人教版九年级数学上册24.2.2《切线的判定和性质》课后练习(含答案)

2020年人教版九年级数学上册24.2.2《切线的判定和性质》课后练习知识点 1 切线的判定1.下列说法中正确的是( )A.与圆有公共点的直线是圆的切线B.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线2.如图所示，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为____________.3.如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB=________°时，AC才能成为⊙O的切线.4.如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为E.求证：直线CE是⊙O的切线.知识点 2 切线的性质5.如图，AB，AC是⊙O的两条弦，∠BAC=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为( )A.25°B.30°C.35°D.40°6.如图所示，AB是⊙O的直径，C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是( )A.15°B.30°C.60°D.75°7.如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB=12，AC=8，则⊙O的半径为________.8.如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接CB.若⊙O的半径为2，∠ABC=60°，则BC=________.9.如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，若∠OPA=40°，求∠ABC的度数.10.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面三个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC.其中正确结论的个数是( )A.3B.2C.1D.011.如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是________.(结果保留π)12.在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，若AB和CD 之间的距离为18，则弦CD的长为________.13.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长.14.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CF=2，DF=4，求⊙O的直径的长.15.已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF是⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(要求写出两种情况)：________或者________；(2)如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断.参考答案1.B2.答案不唯一，如∠ABC=90°3.60 [解析] ∵在△AOB 中，OA=OB ，∠AOB=120°，∴∠OAB=30°，∴当∠CAB=60°时，OA ⊥AC ，此时AC 为⊙O 的切线.4.证明：连接OD ，∵OA=OD ，∴∠2=∠3.∵AD 平分∠CAE ，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AE ∥OD ，∴∠E=∠ODC.∵AE ⊥CD ，∴∠E=90°，∴∠ODC=90°，∴OD ⊥CE.又∵OD 是⊙O 的半径，∴CE 是⊙O 的切线.5.D6.D [解析] 连接OD.∵CA ，CD 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AC ，OD ⊥CD ，∴∠OAC=∠ODC=90°.∵∠ACD=30°，∴∠AOD=360°－∠C －∠OAC －∠ODC=150°.∵OB=OD ，∴∠DBA=∠ODB=12∠AOD=75°.7.5 [解析] 连接OB ，根据切线的性质可知OB ⊥AB.设圆的半径为r ，根据勾股定理可得r2＋AB 2=(r ＋AC)2，即r 2＋122=(r ＋8)2，解得r=5.8.8 [解析] ∵CA 与⊙O 相切，∴AB ⊥AC.∵在Rt △ABC 中，∠ABC=60°，∴∠C=30°，∴BC=2AB=8.故答案为8.9.解：∵AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，∴∠BAP=90°.∵∠OPA=40°，∴∠AOP=180°－90°－40°=50°.∵OB=OC ，∴∠ABC=∠BCO.又∵∠AOP=∠ABC ＋∠BCO ，∴∠ABC=12∠AOP=12×50°=25°. 10.A [解析] 连接OD ，根据切线的性质定理可得OD ⊥CD.由于AB 是⊙O 的直径，根据“直径所对的圆周角等于90°”，可得∠ADB=90°，结合已知条件“∠A=30°”可以说明①②的正确性；在Rt △ADB 中，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得AB=2BD ，从而AB=2BC.11.16π [解析] 如图，设AB 与小圆切于点C ，连接OC ，OB.∵AB 与小圆切于点C ，∴OC ⊥AB ，∴BC=AC=12AB=12×8=4. ∵在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2＋BC 2，∴圆环(阴影)的面积=π·OB 2－π·OC 2=π(OB 2－OC 2)=π·BC 2=16π.故答案是16π.12.24 [解析] 如图，设AB 与⊙O 相切于点F ，连接OF ，OD ，延长FO 交CD 于点E.∵2πR=26π，∴R=13，∴OF=OD=13.∵AB 是⊙O 的切线，∴OF ⊥AB.∵AB ∥CD ，∴EF ⊥CD ，即OE ⊥CD ，∴CE=ED.∵EF=18，OF=13，∴OE=5.在Rt △OED 中，∵∠OED=90°，OD=13，OE=5，∴ED=OD 2－OE 2=132－52=12，∴CD=2ED=24.13.解：(1)证明：如图，连接OC.∵AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∴∠ACB=90°，即∠ACO ＋∠OCB=90°.∵OA=OC ，∠BCD=∠A ，∴∠ACO=∠A=∠BCD ，∴∠BCD ＋∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴OC ⊥CD.又∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线.(2)由(1)及已知得∠OCD=90°，OB=OC=3，CD=4，在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD=5，∴BD=OD －OB=5－3=2.14.解：(1)证明：如图，连接OD ，CD.∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠BDC=90°.又∵E 为BC 的中点，∴DE=12BC=CE ， ∴∠EDC=∠ECD.∵OD=OC ，∴∠ODC=∠OCD ，∴∠EDC ＋∠ODC=∠ECD ＋∠OCD=∠ACB=90°，∴∠ODE=90°，即OD ⊥DE.又∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线.(2)设⊙O 的半径为x.在Rt △ODF 中，根据勾股定理，得OD 2＋DF 2=OF 2，即x 2＋42=(x ＋2)2，解得x=3.∴⊙O 的直径的长为6.15.解：(1)答案不唯一，如①∠BAE=90°，②∠EAC=∠ABC.理由：①∵∠BAE=90°，∴AE ⊥AB.又∵AB 是⊙O 的直径，∴EF 是⊙O 的切线.②∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC ＋∠BAC=90°.∵∠EAC=∠ABC ，∴∠BAE=∠BAC ＋∠EAC=∠BAC ＋∠ABC=90°，即AE ⊥AB.又∵AB 是⊙O 的直径，∴EF 是⊙O 的切线.(2)EF 是⊙O 的切线.证明：如图，作直径AM ，连接CM ，则∠ACM=90°，∠M=∠B ，∴∠M ＋∠CAM=∠B ＋∠CAM=90°.∵∠CAE=∠B ，∴∠CAE ＋∠CAM=90°，即AE ⊥AM.∵AM 是⊙O 的直径，∴EF 是⊙O 的切线.。

最新2019-2020年度人教版九年级数学上册同步练习：24.2.2.2切线的判定和性质-精品试题

第2课时切线的判定和性质知能演练提升能力提升1.如图,AB是☉O的直径,点D在AB的延长线上,DC与☉O相切于点C,若∠A=25°,则∠D的度数为( )A.40°B.50°C.60°D.70°2.如图,AD,DC,BC都与☉O相切,且AD∥BC,则∠DOC的度数为( )A.100°B.90°C.60°D.45°(第1题图)(第2题图)3.如图,☉O与△ABC各边分别相切于点D,E,F,△ABC的周长为20 cm.若AF=5 cm,CF=3 cm,则BE= cm.4.如图,PA,PB是☉O的切线,切点分别为A,B,点C在☉O上,如果∠C=70°,那么∠P 的度数为.(第3题图)(第4题图)5.如图①,将一个量角器与一张等腰直角三角形(△ABC)纸片放置成轴对称图形,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,半圆(量角器)的圆心与点D重合,测得CE=5 cm,将量角器沿DC方向平移2 cm,半圆(量角器)恰与△ABC的边AC,BC相切,如图②,则AB= cm.6.如图,∠ACB=60°,半径为1 cm的☉O切BC于点C,若将☉O在CB上向右滚动,则当滚动到☉O与CA也相切时,圆心O移动的水平距离是 cm.7.如图,AB是☉O的直径,∠A=30°,延长OB到点D,使BD=OB.求证:(1)△OCB是等边三角形;(2)DC是☉O的切线.8.如图,AB为☉O的直径,PQ与☉O相切于点T,AC⊥PQ,且垂足为C,交☉O于点D.(1)求证:AT平分∠BAC;(2)若AD=2,TC=,求☉O的半径.★9.如图,△ABC是边长为4的等边三角形,点O在边AB上,☉O过点B且分别与边AB,BC相交于点D,E,EF⊥AC,垂足为F.(1)求证:直线EF是☉O的切线;(2)当直线DF与☉O相切时,求☉O的半径.创新应用★10.如图,AB是☉O的直径,AM,BN分别与☉O相切于点A,B,CD交AM,BN于点D,C,DO 平分∠ADC.(1)求证:CD是☉O的切线;(2)若AD=4,BC=9,求☉O的半径R.答案：能力提升1.A 连接OC,则∠DCO=90°,∠DOC=50°.故∠D=40°.2.B 根据切线长定理,得∠ADO=∠CDO,∠DCO=∠BCO.∵AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°.∴∠ODC+∠OCD=90°.∴∠DOC=90°.3.24.40°连接OA,OB,则∠AOB=2∠C=140°,由四边形内角和为360°可求得∠P=40°.5.(6+16) 设量角器的半径为x cm,则由题图②知,△GCH为等腰直角三角形,且GH=GC=x cm,CH=(3+x)cm,根据勾股定理,得x=3(+1),从而CD=(3(+1)+5)cm,AB=2CD=(6+16)cm.6.7.证明:(1)(方法1)∵∠A=30°,∴∠COB=60°.又OC=OB,∴△OCB是等边三角形.(方法2)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.又∠A=30°,∴∠ABC=60°.又OC=OB,∴△OCB是等边三角形.(2)由(1)知,BC=OB,∠OCB=∠OBC=60°.又BD=OB,∴BC=BD.∴∠BCD=∠BDC=∠OBC=30°.∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°,故DC是☉O的切线.8.(1)证明:如图,连接OT.∵PQ与☉O相切于点T,∴OT⊥PQ.又AC⊥PQ,∴OT∥AC,∠TAC=∠ATO.又OT=OA,∴∠ATO=∠OAT,∠OAT=∠TAC,即AT平分∠BAC. (2)解:过点O作OM⊥AC,垂足为M,∴AM=MD==1.又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°,∴四边形OTCM为矩形,OM=TC=.在Rt△AOM中,AO===2,即☉O的半径为2.9.(1)证明:连接OE,则OB=OE.∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠C=60°.∴△OBE是等边三角形.∴∠OEB=∠C=60°.∴OE∥AC.∵EF⊥AC,∴∠EFC=90°.∴∠OEF=∠EFC=90°.∴EF是☉O的切线.(2)解:∵DF是☉O的切线,∴∠ADF=90°.设☉O的半径为r,则BE=r,EC=4-r,AD=4-2r.在Rt△ADF中,∵∠A=60°,∴AF=2AD=8-4r.∴FC=4-(8-4r)=4r-4.在Rt△CEF中,∵∠C=60°,∴EC=2FC,∴4-r=2(4r-4).解得r=.∴☉O的半径是.创新应用10.(1)证明:过点O作OE⊥CD,垂足为E.∵AM与☉O相切于点A,∴OA⊥AD.又DO平分∠ADC,∴OE=OA.又OA是☉O的半径,∴OE为☉O的半径.∴CD是☉O的切线.(2)解:过点D作DF⊥BC,垂足为F.∵AM,BN分别与☉O相切于点A,B,∴AB⊥AD,AB⊥BC.∴四边形ABFD是矩形.∴AD=BF,AB=DF.又AD=4,BC=9,∴FC=9-4=5.又AM,BN,DC分别与☉O相切于点A,B,E, ∴DA=DE,CB=CE.∴DC=AD+BC=4+9=13.在Rt△DFC中,DC2=DF2+FC2,∴DF===12.∴AB=12.∴☉O的半径R是6.。

人教版九年级数学上册同步练习：24.2.2第2课时切线的判定和性质

人教版九年级数学上册同步练习：24.2.2第2课时切线的判定和性质线上，⊙O与PA相切于点C.求证：直线PB与⊙O相切．图24－2－234．如图24－2－24，P是⊙O外一点，OP 交⊙O于点A，OA＝AP.甲、乙两人想作一条经过点P且与⊙O相切的直线，其作法如下．甲：以点A为圆心，AP长为半径画弧，交⊙O于点B，则直线BP即为所求．乙：过点A作直线MN⊥OP，以点O为圆心，OP长为半径画弧，交射线AM于点B，连接OB，交⊙O于点C，直线CP即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是()图24－2－24A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误C．两人都正确D．两人都错误5．如图24－2－25，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O 的切线，你所添加的条件为______________．图24－2－25图24－2－266．如图24－2－26，AB为⊙O的直径，圆周角∠ABC＝40°，当∠BCD＝________°时，CD为⊙O的切线．7．如图24－2－27，D为⊙O上一点，点C 在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.求证：CD是⊙O的切线．图24－2－278．2019·绥化如图24－2－28，梯形ABCD 中，AD∥BC，AE⊥BC于点E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA长为半径的圆经过点B，交BC于另一点F.(1)求证：CD与⊙O相切；(2)若BF＝24，OE＝5，求AE的长．图24－2－289．如图24－2－29，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC.若∠BCD＝50°，则∠AOC的度数为()图24－2－29A．40°B．50°C．80°D．100°10．2019·泰安如图24－2－30，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线垂直于AD所在直线，垂足为M.若∠ABC＝55°，则∠ACD等于()图24－2－30A．20°B．35°C．40°D．55°11．如图24－2－31，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与图中7×4方格中的格点相连，连线能够与该圆弧相切的格点有()图24－2－31A．1个B．2个C．3个D．4个12.如图24－2－32，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ 的最小值为()图24－2－32A．5 B．4 2 C．4.75 D．4.813．如图24－2－33，一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O 与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE 的长为()图24－2－33A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1.5 cm14．如图24－2－34，⊙O的半径为1，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为________．图24－2－3415．如图24－2－35，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过点A，D两点的⊙O与BC 边相切于点E，则⊙O的半径为________．图24－2－3516．小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按图24－2－36所示放置于桌面上，此时，光盘与AB，CD分别相切于点N，M.现从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切时，则光盘的圆心经过的距离是________．图24－2－36 图24－2－37 17．如图24－2－37，在半圆O中，AB是︵的中点，CE 直径，D是半圆O上一点，C是AD⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，CB于点P，Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心．其中正确的结论是________(只需填写序号)．︵上18．已知，AB是⊙O的直径，点P在AB(不与点A，B重合)，把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．(1)当点P，C都在AB上方时(如图24－2－38①)，判断PO与BC的位置关系(只回答结果)；(2)当点P在AB上方而点C在AB下方时(如图②)，(1)中的结论还成立吗？证明你的结论；(3)当点P，C都在AB上方时(如图③)，过点C作CD⊥直线AP于点D，且CD是⊙O的切线，求证：AB＝4PD.图24－2－3819．2019·玉林如图24－2－39，AB是⊙O 的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β.(1)用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；(2)连接OF与AC交于点O′，当O′是AC 的中点时，求α，β的值．图24－2－3920．如图24－2－40①，直线PA交⊙O于A，E两点，PA的垂线CD切⊙O于点C，交PA于点D，过点A作⊙O的直径AB.(1)求证：AC平分∠DAB；(2)如图②，将直线CD向下平行移动，得到CD与⊙O相切于点C，AC还平分∠DAB吗？请说明理由．图24－2－4021．如图24－2－41，AB是⊙O的直径，AB＝8，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC＝5，PT为⊙O的切线，切点为T.(1)如图①，当点C运动到点O时，求PT 的长；(2)如图②，当点C运动到点A时，连接PO，BT，求证：PO∥BT；(3)如图③，设PT2＝y，AC＝x，求y与x 之间的函数解析式及y的最小值．图24－2－41答案详析1．D 2.B3．证明：如图，连接OC，过点O作OD⊥PB 于点D.∵⊙O与PA相切于点C，∴OC⊥PA.∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB，∴OD＝OC，∴直线PB与⊙O相切．4．C [解析] 对于甲的作法：连接OB ，如图①.∵OA ＝AP ，∴OP 为⊙A 的直径，∴∠OBP ＝90°，即OB ⊥PB ，∴PB 为⊙O 的切线，∴甲的作法正确．对于乙的作法：如图②，∵MN ⊥OP ，∴∠OAB ＝90°. 在△OAB 和△OCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ，∠AOB ＝∠COP ，OB ＝OP ，∴△OAB ≌△OCP ，∴∠OAB ＝∠OCP ＝90°，即OC ⊥PC ， ∴PC 为⊙O 的切线，∴乙的作法正确．5．答案不唯一，如∠ABC ＝90° [解析] 当△ABC 为直角三角形，∠ABC ＝90°时，BC与⊙O相切．∵AB是⊙O的直径，∠ABC＝90°，∴BC是⊙O的切线．6．50[解析] 连接OC.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC＝40°.∵∠BCD＝50°，∴∠OCD＝90°，∴CD为⊙O的切线．7．证明：如图，连接OD.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB.又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°(直径所对的圆周角是直角)，∴∠ADO＋∠ODB＝90°，∴∠ADO＋∠CDA＝90°，即∠CDO ＝90°，∴OD ⊥CD.∵OD 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．8．解：(1)证明：如图，过点O 作OG ⊥CD ，垂足为G.∵AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ，∴OA ⊥AD.∵∠ADO ＝∠GDO ，OA ⊥AD ，OG ⊥CD ， ∴OG ＝OA ，∴CD 是⊙O 的切线，即CD 是与⊙O 相切(2)如图，连接OF.∵OE ⊥BC ，∴BE ＝EF ＝12BF ＝12. 在Rt △OEF 中，OE ＝5，EF ＝12，∴OF ＝OE 2＋EF 2＝13，∴AE ＝OA ＋OE ＝OF ＋OE ＝13＋5＝18.9．C [解析] 由切线的性质可知∠OCD ＝90°.∵∠BCD＝50°，∴∠OCB＝40°.∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝40°，∴∠AOC＝2∠OBC＝80°.10．A[解析] ∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，∴∠ADC＋∠ABC＝180°，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝180°－∠ABC＝125°，∠BAC＝90°－∠ABC＝35°，∴∠MDC＝55°.如图，连接OC.∵MC是⊙O的切线，∴∠OCM＝90°.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC＝35°.∵过点C的切线垂直于AD所在的直线，∴∠AMC＝90°，∴∠MCD＝35°，∴∠ACD＝∠OCM－∠MCD－∠ACO＝20°.11．C[解析] 如图，连接AB，BC，作AB，BC 的垂直平分线，可得点A，B，C所在的圆的圆心为O′(2，0)．只有当∠O′BF＝∠O′BD＋∠DBF＝90°时，BF与圆相切，此时△BO′D≌△FBE，EF＝DB＝2，此时点F的坐标为(5，1)．作过点B，F的直线，直线BF经过格点(1，3)，(7，0)，此两点亦符合要求．即与点B的连线，能够与该圆弧相切的格点是(5，1)或(1，3)或(7，0)，共3个．12．D[解析] 如图，设PQ的中点为F，⊙F与AB的切点为D，连接FD，FC，CD.∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴∠ACB＝90°，∴PQ为⊙F的直径．∵⊙F与AB相切，∴FD⊥AB，FC＋FD ＝PQ，而FC＋FD≥CD，∴当CD为Rt△ABC的斜边AB上的高且点F在CD上时，PQ有最小值，为CD的长，即CD为⊙F的直径．∵S△ABC ＝12BC·AC＝12CD·AB，∴CD＝4.8.13．B[解析] 如图，连接OC，并过点O作OF⊥CE于点F.∵△ABC为等边三角形，边长为4 cm，∴△ABC的高为2 3 cm，∴OC＝ 3 cm.又∵⊙O与BC相切于点C，∠ACB＝60°，∴∠OCF＝30°.在Rt△OFC中，可得FC＝32cm，∴CE＝2FC＝3 cm.14．2 2[解析] ∵PQ切⊙O于点Q，∴∠OQP＝90°，∴PQ2＝OP2－OQ2，而OQ＝1，∴PQ2＝OP2－1，即PQ＝OP2－1，当OP 最小时，PQ最小．∵点O到直线l的距离为3，∴OP 的最小值为3，∴PQ 的最小值为9－1＝2 2.15.254[解析] 如图，连接AO ，EO ，延长EO 交AD 于点F.∵⊙O 与BC 边相切于点E ，∴OE ⊥BC. ∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ∥AD ，∴OF ⊥AD ，∴AF ＝DF ＝12AD ＝6. 易得四边形ABEF 为矩形，则EF ＝AB ＝8. 设⊙O 的半径为r ，则OA ＝r ，OF ＝8－r. 在Rt △AOF 中，∵OF 2＋AF 2＝OA 2， ∴(8－r)2＋62＝r 2，解得r ＝254，即⊙O 的半径为254. 16．433 [解析] 如图，当圆心O 移动到点P 的位置时，光盘在直尺边上沿着CD 向右滚动到再次与AB 相切，切点为Q ，设OP 与AB 交于点H ，连接ON ，PQ.∵ON ⊥AB ，PQ ⊥AB ，∴∠ONH ＝∠PQH ＝90°.又∵∠OHN ＝∠PHQ ，ON ＝PQ ，∴△ONH ≌△PQH ，∴OH ＝PH.在Rt △PHQ 中，∠P ＝∠A ＝30°，PQ ＝1，∴PH ＝23 3，则OP ＝433. 17．②③[解析] ∵在半圆O 中，AB 是直径，D 是半圆O 上一点，C 是AD︵的中点， ∴AC︵＝DC ︵，但不一定等于DB ︵， ∴∠BAD 与∠ABC 不一定相等，故①错误．如图，连接OD ，则OD ⊥GD ，∠OAD ＝∠ODA.∵∠ODA ＋∠GDP ＝90°，∠OAD ＋∠GPD ＝∠OAD ＋∠APE ＝90°，∴∠GPD ＝∠GDP ，∴GP ＝GD ，故②正确．补全⊙O ，延长CE 交⊙O 于点F.∵CE ⊥AB ，∴A 为FC︵的中点，即AF ︵＝AC ︵. 又∵C 为AD︵的中点，∴CD ︵＝AC ︵，∴AF ︵＝CD︵， ∴∠CAP ＝∠ACP ，∴AP ＝CP.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACQ ＝90°， ∴∠ACP ＋∠PCQ ＝90°，∠CAP ＋∠PQC ＝90°，∴∠PCQ ＝∠PQC ，∴PC ＝PQ ，∴AP ＝PQ ，即P 为Rt △ACQ 斜边AQ 的中点，∴点P 为Rt △ACQ 的外心，故③正确．18．解：(1)PO 与BC 的位置关系是PO ∥BC.(2)(1)中的结论仍成立．证明：由折叠的性质可知△APO≌△CPO，∴∠APO＝∠CPO.又∵OA＝OP，∴∠A＝∠APO，∴∠A＝∠CPO.︵所对的圆周角，又∵∠A与∠PCB都为PB∴∠A＝∠PCB，∴∠CPO＝∠PCB，∴PO∥BC.(3)证明：∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠APO＝∠COP.由折叠的性质可得∠AOP＝∠COP，∴∠APO＝∠AOP.又∵OA＝OP，∴∠A＝∠APO，∴∠A＝∠APO＝∠AOP，∴△APO为等边三角形，∴∠AOP＝60°，∴∠COP＝60°.又∵OP＝OC，∴△POC也为等边三角形，∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC.∵∠OCD＝90°，∴∠PCD＝30°.在Rt△PCD中，PD＝12PC.又∵PC＝OP＝12AB，∴PD＝14AB，即AB＝4PD.19．解：(1)如图，连接OC.∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE.∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAE＝2α.∵∠D＝90°，∴∠DAE＋∠E＝90°，∴2α＋β＝90°，∴β＝90°－2α(0°＜α＜45°)．(2)如图，连接CF.∵AO′＝CO′，∴AC⊥OF，∴FA＝FC，∴∠FAC＝∠FCA＝∠OAC，∴CF∥OA.∵AF∥OC，∴四边形AFCO是平行四边形．又∵OA＝OC，∴四边形AFCO是菱形，∴AF＝OA＝OF，∴△AOF是等边三角形．∴∠FAO＝2α＝60°，∴α＝30°.∵2α＋β＝90°，∴β＝30°，∴α＝β＝30°.20．解：(1)证明：连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵CD切⊙O于点C，∴CD⊥OC.又∵CD⊥PA，∴OC∥PA，∴∠PAC＝∠OCA，∴∠OAC＝∠PAC，即AC平分∠DAB.(2)AC还平分∠DAB.理由：连接OC.∵CD切⊙O于点C，∴CD⊥OC.∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠DAC.又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.因此∠DAC＝∠OCA＝∠OAC，即AC平分∠DAB.21．[全品导学号：04402239]解：(1)连接OT.∵PT为⊙O的切线，∴OT⊥PT，∴在Rt△PTO中，PT＝PO2－OT2＝3.(2)证明：连接AT，OT.∵PT为⊙O的切线，∴PT⊥OT，∴∠PTO＝∠PAO＝90°.在Rt△PAO和Rt△PTO中，∵PO＝PO，OA＝OT，∴Rt△PAO≌Rt△PTO，∴PA＝PT，∠APO＝∠TPO，∴PO⊥AT.∵AB是⊙O的直径，∴∠ATB是直角，即BT⊥AT，∴PO∥BT.(3)连接PO，OT.∵PT为⊙O的切线，∴PT⊥OT.∵AC＝x，∴CO＝OA－AC＝4－x.在Rt△PCO中，PO2＝PC2＋CO2＝52＋(4－x)2.在Rt△POT中，PO2＝PT2＋OT2＝PT2＋42，∴PT2＋42＝52＋(4－x)2，即y＋42＝52＋(4－x)2，∴y＝9＋(4－x)2＝x2－8x＋25＝(x－4)2＋9(0≤x≤4)，∴当x＝4时，y有最小值9.∴y与x之间的函数解析式为y＝x2－8x＋25(0≤x≤4)，y的最小值是9.。

人教版初中数学九上第二十四章圆 24.2.2 第2课时切线的判定与性质

35°，则∠ACB 的度数为（ C ）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
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综合运用
6．如图，直线 l 为☉O 的切线，A 为切点，B 为直线 l 上一点，连接 OB，交
☉O 于点 C．若 AB＝12，OA＝5，则 BC 的长为
（ D ）
A．5
B．6
∴∠OBC＝∠DBC．
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB＝∠DBC，∴OC∥BD．
∵BD⊥CD，∴OC⊥CD．
∵点C在☉O上，∴CD为☉O的切线．
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知识点二切线的性质
5．（2021·长春）如图，AB 是☉O 的直径，BC 是☉O 的切线．若∠BAC＝
∵BC∥DE，∴∠E＝∠ACB＝45°．
由（1）知OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，
∴△ODE为等腰直角三角形，∴DE＝OD＝5．
在Rt△ODE中，OD2＋DE2＝OE2，
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14．如图，以 Rt△ ABC 的边 AC 为直径作☉O 交斜边 AB 于点 E，连接 EO 并
点”，其他条件不变，则∠ACB 的度数为
55°或125°
．
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13．（2021·郴州）如图，△ ABC 是☉O 的内接三角形，AC 是☉O 的直径，D

人教版数学九年级上册24.2.2.2《切线的判定和性质》说课稿

人教版数学九年级上册24.2.2.2《切线的判定和性质》说课稿一. 教材分析《切线的判定和性质》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的第二个知识点。

本节内容是在学生已经掌握了圆的定义、性质以及圆的基本运算的基础上进行学习的。

本节内容主要介绍了切线的定义、判定和性质，以及切线与圆的位置关系。

这些知识对于学生理解和掌握圆的性质，解决与圆有关的问题具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于圆的性质和运算已经有了一定的了解。

但是，对于切线的定义、判定和性质以及切线与圆的位置关系可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我需要注重引导学生从已知的圆的性质出发，推导出切线的性质，从而帮助学生理解和掌握切线的相关知识。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握切线的定义、判定和性质，以及切线与圆的位置关系。

2.过程与方法目标：通过观察、思考、讨论和操作，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和动手操作能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：切线的定义、判定和性质，以及切线与圆的位置关系。

2.教学难点：切线的判定和性质的推导过程，以及切线与圆的位置关系的理解。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用讲授法、引导发现法、小组合作学习和动手操作相结合的教学方法。

同时，利用多媒体课件和几何画板等教学手段，帮助学生直观地理解切线的性质和判定。

六. 说教学过程1.导入：通过复习圆的性质，引导学生思考与圆有关的问题，激发学生的学习兴趣。

2.引导发现：引导学生从已知的圆的性质出发，观察和思考切线的性质，引导学生发现切线的判定和性质。

3.讲解与示范：讲解切线的定义、判定和性质，以及切线与圆的位置关系，并通过几何画板进行演示。

4.动手操作：让学生利用几何画板或者手工画图，自己尝试作出圆的切线，并判断其性质。

5.小组合作学习：让学生分组讨论，总结切线的性质和判定，以及切线与圆的位置关系。

24.2.2 第2课时切线的判定和性质人教版数学九年级上册同步练习(含答案)

24.2.2第二课时切线的判定和性质1．下列命题中，真命题是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧C．在同圆中，相等的弦所对的弧也相等D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线2．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40°B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2D．⊙A与AC的交点是AC中点3．如图，«Skip Record If...»是⊙O的直径，«Skip Record If...»交⊙O于点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»于点«Skip Record If...»，下列说法不正确的是（）A．若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»是⊙O的切线B．若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»是⊙O的切线C．若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»是⊙O的切线D．若«Skip Record If...»是⊙O的切线，则«Skip Record If...»4．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD．若∠C＝46°，则∠AOD的度数为（）A．44°B．88°C．46°D．92°5．如图，菱形ABCD的两边与⊙O分别相切于点A.C，点D在⊙O上，则∠B的度数是（）A．45°B．50°C．60°D．65°6．如图，«Skip Record If...»为⊙O的直径，弦«Skip Record If...»于点E，直线l切⊙O 于点C，延长«Skip Record If...»交l于点F，若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的长度为（）A．2B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．47．下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程．已知：如图1，⊙«Skip Record If...»及⊙«Skip Record If...»上一点«Skip Record If...»．求作：直线PN，使得PN与⊙«Skip Record If...»相切．作法：如图2，①作射线OP；②在⊙«Skip Record If...»外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，⊙Q与射线OP交于另一点M；③连接MQ并延长交⊙Q于点N；④作直线PN．所以直线PN即为所求作直线．根据小石设计的尺规作图的过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵«Skip Record If...»是⊙«Skip Record If...»的直径，∴«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»（）（填推理的依据）．∴«Skip Record If...»．又∵«Skip Record If...»是⊙«Skip Record If...»的半径，∴«Skip Record If...»是⊙«Skip Record If...»的切线（）（填推理的依据）．8．已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：① 或② ；（2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线．（3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB．9．如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度．10．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，«Skip Record If...»于点F，连接OF，且«Skip Record If...»．（1）求证：DF是«Skip Record If...»的切线；（2）求线段OF的长度．11．如图，AB为«Skip Record If...»的直径，E为«Skip Record If...»上一点，点C为«Skip Record If...»的中点，过点C作直线CD垂直直线AE，垂足为D．（1）求证：DC为«Skip Record If...»的切线；（2）若AB=4，∠CAD=30°，求AC．12．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D，⊙O的切线DE交BC于E，且点E是BC的中点．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）①当∠BAC＝ °时，四边形OBED为正方形；②若AB＝4，当BC＝时，四边形ODCE是平行四边形．参考答案1．B【分析】根据圆的有关概念和性质、垂径定理进行判断解答．【详解】解：A.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原命题是假命题；B.垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧，是真命题；C.在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，原命题是假命题；D.经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，原命题是假命题；故选：B．【点拨】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关概念和性质、垂径定理等知识．2．D【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．【详解】解：A.∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；B.∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；C.∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；D.∵⊙A与AC的交点是AC中点，∴AB＝«Skip Record If...»AC，但不能证出∠B＝90°，∴不能判定BC是⊙A切线；故选：D．【点拨】本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键．3．A【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O 的切线，可判断B选项正确；若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确；根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确；若«Skip Record If...»，没有理由可证明DE是⊙O的切线．【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴CD=BD，∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确；当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴OD是△ABC的中位线，∴CD∥BD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，所以D选项正确；当CD=BD时，又AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确．若«Skip Record If...»，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误．故选：A．【点拨】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．4．B【分析】根据切线的性质得到∠CAB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理解答即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∴∠CAB＝90°，∵∠C＝46°，∴∠B＝90°﹣46°＝44°，由圆周角定理得，∠AOD＝2∠B＝88°，故选B．【点拨】本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.5．C【分析】连接OA.OC，由AB，BC与⊙O相切，可得∠BAO=∠BCO=90°，可求∠B+∠AOC=80°，由四边形ABCD为菱形，可得∠B=∠D，，由点D在⊙O上，根据同弧所对圆心角与圆周角∠AOC=2∠D，可得∠B+2∠B =180°求解即可．【详解】解：连接OA.OC，∵AB，BC与⊙O相切，∴OA⊥AB，OC⊥BC，∴∠BAO=∠BCO=90°，∴∠B+∠AOC=360°-∠BAO-∠BCO=180°∵四边形ABCD为菱形，∴∠B=∠D，又∵点D在⊙O上，∴∠AOC=2∠D，∴∠B+2∠B =180°∴∠B＝60°．故选：C．【点拨】本题考查圆的切线性质，圆周角定理，菱形的性质，掌握圆的切线性质，圆周角定理，菱形的性质是解题关键．6．B【分析】根据垂径定理求得«Skip Record If...»，AE=DE=2，即可得到∠COD=2∠ABC=45°，则△OED 是等腰直角三角形，得出«Skip Record If...»，根据切线的性质得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF=OC=OD=«Skip Record If...»．【详解】解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...» AE=DE=2，∴∠COD=2∠ABC=45°，∴△OED是等腰直角三角形，∴OE=ED=2，∴«Skip Record If...»，∵直线l切⊙O于点C，∴BC⊥CF，∴△OCF是等腰直角三角形，∴CF=OC，∵«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，故选：B．【点拨】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得CF=OC=OD是解题的关键．7．（1）作图见解析；（2）«Skip Record If...»，直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理可得∠MPN=90°，根据切线的判定定理即可得结论.【详解】（1）（1）补全图形如下图；（2）证明：∵«Skip Record If...»是⊙«Skip Record If...»的直径，∴«Skip Record If...»＝90 «Skip Record If...»（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．∴«Skip Record If...»．又∵«Skip Record If...»是⊙«Skip Record If...»的半径，∴«Skip Record If...»是⊙«Skip Record If...»的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点拨】本题考查了切线的判定及圆周角定理，正确作出图形是解题关键.8．（1）①OA⊥EF；②∠FAC=∠B；（2）见解析；（3）见解析．【分析】(1) 添加条件是:①OA⊥EF或∠FAC=∠B根据切线的判定和圆周角定理推出即可．(2) 作直径AM，连接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠FAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．(3)由同圆的半径相等得到OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，根据∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，等量代换得到∠BAC=∠B，所以点C在AB的垂直平分线上，得到OC垂直平分AB．【详解】（1）①OA⊥EF②∠FAC=∠B，理由是：①∵OA⊥EF，OA是半径，∴EF是⊙O切线，②∵AB是⊙0直径，∴∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠FAC=∠B，∴∠BAC+∠FAC=90°，∴OA⊥EF，∵OA是半径，∴EF是⊙O切线，故答案为：OA⊥EF或∠FAC=∠B，（2）作直径AM，连接CM，即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∵∠FAC=∠B，∴∠FAC=∠M，∵AM是⊙O的直径，∴∠ACM=90°，∴∠CAM+∠M=90°，∴∠FAC+∠CAM=90°，∴EF⊥AM，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线．（3）∵OA=OB，∴点O在AB的垂直平分线上，∵∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，∴∠BAC=∠B，∴点C在AB的垂直平分线上，∴OC垂直平分AB，∴OC⊥AB．【点拨】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角．9．（1）见解析；（2）AC＝4．【分析】（1）根据«Skip Record If...»和«Skip Record If...»证明«Skip Record If...»，再根据经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线来判定；（2）根据（1）中的结论和∠ADB＝30°来说明在«Skip Record If...»中，直角边OA等于斜边OD的一半，又因为OA=OB，所以OA=OB=DB=2，所以AC=2OA=4．【详解】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，又∵«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）解：由（1）可知«Skip Record If...»，∵«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，∵«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»．【点拨】这道题考察的是切线的判定和30°所对直角边是斜边一半的概念．对圆相关概念、性质，以及特殊直角三角形性质熟练掌握是解题的关键．10．（1）见解析；（2）«Skip Record If...»．【分析】（1）连接OD，先说明«Skip Record If...»是等边三角形得到«Skip Record If...»，说明«Skip Record If...»，进而得到«Skip Record If...»即可证明；（2）根据三角形中位线的判定与性质、直角三角形的性质得到«Skip Record If...»，最后运用勾股定理解答即可．【详解】（1）证明：连接OD∵«Skip Record If...»是等边三角形∴«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»是等边三角形∴«Skip Record If...»∴OD//AB∵«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴DF是«Skip Record If...»的切线；（2）∵OD//AB，«Skip Record If...»∴OD为«Skip Record If...»的中位线∴«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»，«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»由勾股定理，得：«Skip Record If...»∴在«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»．【点拨】本题主要考查了圆的切线的证明、三角形中位线的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．11．（1）见解析；（2）«Skip Record If...»．【分析】（1）利用在同一个圆中等弧对等角得出∠BAC=∠CAD，根据等腰三角形的性质、等量代换以及平行线的判定得到AD∥OC，再根据垂线的性质可以证明出OC⊥DC，根据切线的判定即可得出结论；（2）求«Skip Record If...»可以放在«Skip Record If...»中，结合（1）的结论以及利用勾股定理求解即可．【详解】（1）连接OC，则：∵点C为«Skip Record If...»的中点∴«Skip Record If...»∴∠BAC=∠CAD∴OA=OC∴∠BAC=∠OCA∴∠CAD=∠OCA∴AD∥OC∵AD⊥DC∴∠ADC=90°∴∠OCD=90°∴OC⊥DC又OC是«Skip Record If...»的半径∴DC为«Skip Record If...»的切线；（2）过点«Skip Record If...»作«Skip Record If...»的垂线交于点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为等腰三角形，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»AB=4，∠CAD=30°，«Skip Record If...»，由（1）知«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，在«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»【点拨】本题考查了圆的切线、等弧对等角、平行线的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相关知识点、添加适当辅助线进行解答．12．（1）见解析；（2）①45；②4．【分析】（1）连接OD.OE，如图1所示，然后证明△ODE≌△OBE，从而得到OB⊥BC即可；（2）①连接BD.OD，当∠BAC＝45°，△ABC是等腰直角三角形，然后得到DE为△ABC的中位线，证得∠DOB＝∠OBE＝∠ODE＝90°，根据OD＝OB即可求证；②连接OE，当BC＝4，E是BC的中点，则有CE=OD，只需证明CE∥OD即可【详解】解：（1）证明：连接OD.OE，如图1所示：∵点O为AB的中点，点E为BC的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴∠DOE＝∠ODA，∠BOE＝∠A，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠DOE＝∠BOE，在△ODE和△OBE中，«Skip Record If...»∴△ODE≌△OBE（SAS），∴∠ODE＝∠OBE，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：①当∠BAC＝45°时，四边形OBED是正方形，理由如下：如图2，连接BD.OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，由（1）得：OB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵∠BAC＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∵BD⊥AC，∴AD＝CD，∵E为BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴OD⊥AB，∴∠DOB＝∠OBE＝∠ODE＝90°，∴四边形OBED是矩形，∵OD＝OB，∴四边形OBED为正方形，故答案为：45；②当BC＝4时，四边形ODCE是平行四边形，理由如下：如图3，∵AB＝4，BC＝4，∴OD＝OA＝2，AB＝BC，∴∠A＝∠ODA，∠A＝∠C，∴∠ODA＝∠C，∴OD∥CE，∵点E是BC的中点，∴CE＝2，∴OD＝CE，∴四边形ODCE是平行四边形，故答案为：4．【点拨】本题主要考查了圆的性质，圆切线的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，正方形的判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.。

人教九年级数学同步测控24-2-2 第2课时切线的判定和性质

第2课时切线的判定和性质知能演练提升1.如图,AB为☉O的切线,点A为切点,OB交☉O于点C,点D在☉O上,连接AD,CD,OA,若∠ADC=35°,则∠ABO的度数为()A.25°B.20°C.30°D.35°2.一扇圆弧形门如图所示,小红了解到这扇门的相关数据:这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的,AB=CD=0.25 m,BD=1.5 m,且AB,CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据,请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是()A.2 mB.2.5 mC.2.4 mD.2.1 m3.如图,☉O与△ABC各边分别相切于点D,E,F,△ABC的周长为20 cm.若AF=5 cm,CF=3 cm,则BE= cm.4.如图,四边形ABCD内接于☉O,AB是直径,过点C的切线与AB的延长线交于点P,若∠P=40°,则∠D的度数为.5.如图①,将一个量角器与一张等腰直角三角形(△ABC)纸片放置成轴对称图形,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,半圆(量角器)的圆心与点D重合,测得CE=5 cm,将量角器沿DC方向平移2 cm,半圆(量角器)恰与△ABC的边AC,BC相切,如图②,则AB=cm.6.如图,直线a⊥b,垂足为H,点P在直线b上,PH=4 cm,O为直线b上一动点,若以1 cm 为半径的☉O与直线a相切,则OP的长为.7.如图,AB是☉O的直径,点C为☉O上一点,过点B作BD⊥CD,垂足为点D,连接BC,BC 平分∠ABD.求证:CD为☉O的切线.8.如图,Rt△ABC内接于☉O,点D是Rt△ABC斜边AB上的一点,过点D作AB的垂线交AC于点E,过点C作∠ECP=∠AED,CP交DE的延长线于点P,连接PO交☉O于点F.(1)求证:PC是☉O的切线;(2)若PC=3,PF=1,求AB的长.★9.如图,△ABC是边长为4的等边三角形,点O在边AB上,☉O过点B且分别与边AB,BC相交于点D,E,EF⊥AC,垂足为F.(1)求证:直线EF是☉O的切线;(2)当直线DF与☉O相切时,求☉O的半径.知能演练·提升1.B2.B设圆弧形门所在圆的圆心为O,取BD的中点F,连接AC.连接OF,交AC于点E.∵BD是☉O的切线,∴OF⊥BD.∵四边形ABDC是矩形,∴AC∥BD,∴OE⊥AC,EF=AB.设圆O的半径为R m,在Rt△AOE中,AE=AC2=BD2=0.75,OE=R-AB=R-0.25.∵AE2+OE2=OA2,∴0.752+(R-0.25)2=R2,解得R=1.25.1.25×2=2.5(m).故选B.3.24.115°连接OC,则OC⊥PC.∵∠P=40°,∴∠COP=50°,∴∠OBC=65°,∴∠D=180°-∠OBC=180°-65°=115°.5.(6√2+16)设量角器的半径为x cm,则由题图②知,△GCH为等腰直角三角形,且GH=GC=x cm,CH=(3+x)cm,根据勾股定理,得x=3(√2+1),从而CD=(3(√2+1)+5)cm,AB=2CD=(6√2+16)cm.6.3 cm或5 cm7.证明∵BC平分∠ABD,∴∠OBC=∠DBC.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.∴∠OCB=∠DBC.∴OC∥BD.∵BD⊥CD,∴OC⊥CD.∵OC是☉O的半径,∴CD为☉O的切线.8.(1)证明如图,连接OC.∵Rt△ABC内接于☉O,∴圆心O是斜边AB的中点.∵OA=OC,∴∠A=∠OCA.∵PD⊥AB,∴∠A+∠AED=90°.又∠ECP=∠AED,∴∠A+∠ECP=90°,∴∠OCA+∠ECP=90°,即∠OCP=90°.∴OC⊥PC,∴PC是☉O的切线.(2)解设☉O的半径为r,由(1)得OC⊥PC,在Rt△OCP中,根据勾股定理,得OC2+PC2=OP2, 即r2+32=(r+1)2,解得r=4.故直径AB的长为8.9.(1)证明连接OE,则OB=OE.∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠C=60°.∴△OBE是等边三角形.∴∠OEB=∠C=60°.∴OE∥AC.∵EF⊥AC,∴∠EFC=90°.∴∠OEF=∠EFC=90°.∴EF是☉O的切线.(2)解∵DF是☉O的切线,∴∠ADF=90°.设☉O的半径为r,则BE=r,EC=4-r,AD=4-2r.在Rt△ADF中,∵∠A=60°,∴AF=2AD=8-4r.∴FC=4-(8-4r)=4r-4.在Rt△CEF中,∵∠C=60°,∴EC=2FC,∴4-r=2(4r-4)..解得r=43∴☉O的半径是4.3。

人教版九年级数学上册同步练习：24.2.2 第2课时切线的判定与性质【精品】

第2课时切线的判定与性质1．过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．2．以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．3．下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线D．过圆直径外端点的直线4．OA平分∠BOC，P是OA上任意一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相切，那么⊙P与OB的位置位置是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切5．△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，以B为圆心，5为半径的圆与直线AC的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不能确定6．如图，AB是半径⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，且AC=CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OA=2，求AC的长．7．如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．8．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，过点B 作BE ∥CD ，交AC•的延长线于点E ，连结BC ．（1）求证：BE 为⊙O 的切线；（2）如果CD=6，tan ∠BCD=12，求⊙O 的直径．9．在直角坐标系中，⊙M 的圆心坐标为M （a ，0），半径为2，如果⊙M 与y 轴相离，那么a 的取值范围是______．10．菱形的对角线相交于O ，以O 为圆心，以点O 到菱形一边的距离为半径的⊙O•与菱形其它三边的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定11．平面直角坐标系中，点A （3，4），以点A 为圆心，5为半径的圆与直线y=－x 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能 12．如图，已知：△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，sin=12，∠D=30°．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若AC=6，求AD 的长．13．已知：如图，A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B•点，OC=BC ，AC=12OB ．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD 的长．14．如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．15．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结OG并延长与BE相交于点F，延长AF•与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是⊙O的切线；（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为BD和FG的长度．答案:1．1，2，不存在2．直角三角形3．B 4．B 5．A 6．（1）略（2）7．（1）略（2）928．（1）略（2）1529．a>2或a<－210．C 11．C 12．（1）略（2）13．（1）略（2 14．提示：连结OA，证OA⊥AP15．（1）略（2）略（3）FG=3。

人教版初中数学九年级上册24.2.2 第2课时切线的判定与性质

其它三边的位置关系是（）
A．相交
B．相离
C．相切 D．无法确定
11．平面直角坐标系中，点 A（3，4），以点 A 为圆心，5 为半径的圆与直线 y=－x 的位置
关系是（）
A．相离
B．相切 C．相交 D．以上都有可能
1
12．如图，已知：△ABC 内接于⊙O，点 D 在 OC 的延长线上，sin= ，∠D=30°．
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∠EAC=∠CAP，求证：PA 是⊙O 的切线．
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15．如图，A 是以 BC 为直径的⊙O 上一点，AD⊥BC 于点 D，过点 B 作⊙O 的切线，与 CA 的延长线相交于点 E，G 是 AD 的中点，连结 OG 并延长与 BE 相交于点 F，延长 AF与 CB 的延长线相交于点 P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA 是⊙O 的切线；
14．提示：连结 OA，证 OA⊥AP
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15．（1）略（2）略（3）BD=2 2 ，FG=3
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相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维
可以让他们更理性地看待人生
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（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若 OA=2，求 AC 的长．
7．如图，AB 是半圆 O 的直径，AD 为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC 是半圆 O 的切线；
（2）若 OC∥AD，OC 交 BD 于 E，BD=6，CE=4，求 AD 的长．
8．如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 M，过点 B 作 BE∥CD，交 AC的延长线于点 E，
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2020年人教版九年级数学上册24.2.2《切线的判定和性质》课后练习学生版

2022年人教版数学九上《切线的判定与性质》同步练习(附答案)

第2课时切线的判定与性质1．过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．2．以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，那么此三角形是_______．3．以下直线是圆的切线的是〔〕A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线4．OA平分∠BOC，P是OA上任意一点〔O除外〕，假设以P为圆心的⊙P与OC相切，那么⊙P与OB的位置位置是〔〕A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切5．△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，以B为圆心，5为半径的圆与直线AC的位置关系是〔〕A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定6．如图，AB是半径⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，且AC=CD．〔1〕求证：CD是⊙O的切线；〔2〕假设OA=2，求AC的长．7．如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．〔1〕求证：BC是半圆O的切线；〔2〕假设OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线于点E，连结BC．〔1〕求证：BE为⊙O的切线；〔2〕如果CD=6，tan∠BCD=12，求⊙O的直径．9．在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为M〔a，0〕，半径为2，如果⊙M与y轴相离，那么a 的取值范围是______．10．菱形的对角线相交于O，以O为圆心，以点O到菱形一边的距离为半径的⊙O•与菱形其它三边的位置关系是〔〕A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定11．平面直角坐标系中，点A〔3，4〕，以点A为圆心，5为半径的圆与直线y=－x的位置关系是〔〕A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能12．如图，：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sin=12，∠D=30°．〔1〕求证：AD是⊙O的切线；〔2〕假设AC=6，求AD的长．13．：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B•点，OC=BC，AC=12 OB．〔1〕求证：AB是⊙O的切线；〔2〕假设∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．14．如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，假设∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．15．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结OG并延长与BE相交于点F，延长AF•与CB 的延长线相交于点P．〔1〕求证：BF=EF；〔2〕求证：PA是⊙O的切线；〔3〕假设FG=BF，且⊙O的半径长为32，求BD和FG的长度．答案:1．1，2，不存在 2．直角三角形 3．B 4．B 5．A 6．〔1〕略〔2〕37．〔1〕略〔2〕928．〔1〕略〔2〕1529．a>2或a<－210．C 11．C 12．〔1〕略〔2〕3 13．〔1〕略〔26214．提示：连结OA，证OA⊥AP15．〔1〕略〔2〕略〔3〕2，FG=3《正多边形与圆》同步练习一、填空题，各角的多边形叫正多边形.对称图形.数的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.和，这两个圆是 .5.边数相同的两个正n边形的周长之比是∶，那么它们的面积比是 .二、选择题1.以下说法中正确的选项是( )A.各边相等的圆外切多边形是正多边形；B.任何正n边形都既是中心对称图形又是轴对称图形；360 n，都与原来的正多边形重合；D.任何正n边形都相似.°，这个正多边形是( )3.把正五边形绕着它的中心旋转，下面给出的四个角度，得到的正五边形能与原来重合的是( )°°°°三、解答题将正三角形ABC各边三等分，设分点为D、E、F、G、H、I，求证：DEFGHI是正六边形.四、1.如图7-41，正六边形ABCDEF的对角线BF，与对角线AC，AE交于G、H，求证：BG＝GH＝HF.图7-412.正方形ABCD的边长为1，截去四个角后成正八边形，求这正八边形的面积.参考答案一、1.相等；相等 4.外接圆；内切圆；同心圆∶2三、提示用正多边形定义证四、1.提示：作正六边形ABCDEF的外接圆O，那么＝＝＝＝，∴∠BAG＝∠ABG＝∠HAF＝∠HFA，∴AG＝BG，HF＝AH，又∠AGH＝∠AHG＝∠GAH，∴AG＝AH＝GH，∴BG＝GH＝HF.2-1。

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