05年北京大学数分答案
2005年北京卷高考理科数学试题
2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷 1至2页，第II 卷3至9页，共150分.考试时间120分钟.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设全集U R =，集合{|1}M x x =>，2{|1}P x x =>，则下列关系中正确的是A.M P =B.P ⫋MC.M ⫋PD.U M P =∅ ð 2．“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件3.若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥ ，则向量a 与b 的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°4.从原点向圆2212270x y y +-+=作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为A.πB.2πC.4πD.6π 5.对任意的锐角,αβ，下列不等关系中正确的是A.sin()sin sin αβαβ+>+B.sin()cos cos αβαβ+>+C.cos()sin sin αβαβ+<+D.cos()cos cos αβαβ+<+6.在正四面体P ABC -中，D E F 、、分别是AB BC CA 、、的中点，下面四个结论中不成立．．．的是 A.//BC PDF 平面 B.DF PAE ⊥平面 C.PDF ABC ⊥平面平面 D.PAE ABC ⊥平面平面7.北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为A.124414128C C CB.124414128C A AC.12441412833C C C A D.12443141283C C C A 8.函数()cos f x x=A.在[0,),(,]22πππ上递增，在33[,),(,2]22ππππ上递减 B.在3[0,),[,)22πππ上递增，在3(,],(,2]22ππππ上递减 C.在3(,],(,2]22ππππ上递增，在3[0,),[,)22πππ上递减 D.在33[,),(,2]22ππππ上递增，在[0,),(,]22πππ上递减 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9.若12z a i =+，234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ． 10.已知tan 22α=，则tan α的值为 ，tan()4πα+的值为 .11.6(x -的展开式中的常数项是 （用数字作答） 12.过原点作曲线xy e =的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ． 13.对于函数()f x 定义域中任意的1212,()x x x x ≠，有如下结论： ①1212()()()f x x f x f x +=⋅；②1212()()()f x x f x f x ⋅=+；③1212()()0f x f x x x ->-；④1212()()()22x x f x f x f ++<. 当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是 .14.已知n 次多项式1011()n n n n n P x a x a xa x a --=++++ . 如果在一种算法中，计算0(2,3,4,...,)k x k n =的值需要1k -乘法，计算30()P x 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算0()n P x 的值共需要 次运算． 下面给出一种减少运算次数的算法：0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+(0,1,2,...,1)k n =-．利用该算法，计算30()P x 的值共需要6次运算，计算0()n P x 的值共需要 次运算．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题共13分）已知函数32()39f x x x x a =-+++， ⑴求()f x 的单调递减区间；⑵若()f x 在区间[2,2]-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．16．（本小题共14分）如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，2AB AD ==，DC =1AA AD DC ⊥，AC BD ⊥，垂足为E .⑴求证：1BD AC ⊥；⑵求二面角11A BD C --的大小； ⑶求异面直线AD 与1BC 所成角的大小．17.（本小题共13分）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率32. ⑴记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E ξ； ⑵求乙至多击中目标2次的概率； ⑶求甲恰好比乙多击中目标2次的概率． 18.（本小题共14分）如图，直线1:(0)l y kx k =>与直线2:l y kx =-之间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半部分记为1W ，右半部分记为2W ．⑴分别用不等式组表示1W 和2W ；⑵若区域W 中的动点(,)P x y 到1l ，2l 的距离之积等于2d ，求点P 的轨迹C 的方程；⑶设不过原点O 的直线l 与⑵中的曲线C 相交于12,M M 两点，且与1l ，2l 分别交于34,M M 两点.求证12OM M ∆的重心与34OM M ∆的重心重合．19.（本小题共12分）设数列{}n a 的首项114a a =≠，且11214nn n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为偶数为奇数，记2114n n b a -=-，1,2,3,...n =.⑴求23,a a ；⑵判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；⑶求123lim()n n b b b b →∞++++ ．20.（本小题共14分）设()f x 是定义在[0,1]上的函数，若存在(0,1)x *∈，使得()f x 在[0,]x *上单调递增，在[,1]x *上单调递减，则称()f x 为[0,1]上的单峰函数，x *为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0,1]上的单峰函数()f x ，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．⑴证明：对任意的1212,(0,1),x x x x ∈<，若12()()f x f x ≥，则2(0,)x 为含峰区间；若12()()f x f x ≤，则1(,1)x 为含峰区间；⑵对给定的(00.5)r r <<，证明：存在12,(0,1)x x ∈，满足212x x r -≥，使得由⑴所确定的含峰区间的长度不大于0.5r +；⑶选取1212,(0,1),x x x x ∈<，由⑴可确定含峰区间为2(0,)x 或1(,1)x ，在所得的含峰区间内选取3x ，由3x 与1x 或3x 与2x 类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为2(0,)x 的情况下，试确定1x ，2x ，3x 的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1） C （2）B （3）C （4）B （5）D （6）C （7）A （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）38 （10）－34；－71（11）15 （12）(1, e )；e （13）②③ （14）21n (n ＋3)；2n三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（I ） f ’(x )＝－3x 2＋6x ＋9．令f ‘(x )<0，解得x <－1或x >3， 所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II ）因为f (－2)＝8＋12－18＋a =2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以f (2)>f (－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x )>0，所以f (x )在[－1, 2]上单调递增，又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．（16）（共14分）（I ）在直四棱柱ABCD －AB 1C 1D 1中，∵AA 1⊥底面ABCD ．∴ AC 是A 1C 在平面ABCD 上的射影．∵BD ⊥AC ．∴ BD ⊥A 1C ； （II ）连结A 1E ，C 1E ，A 1 C 1．与（I ）同理可证BD ⊥A 1E ，BD ⊥C 1E ，∴ ∠A 1EC 1为二面角A 1－BD －C 1的平面角． ∵ AD ⊥DC ，∴ ∠A 1D 1C 1=∠ADC ＝90°，又A 1D 1=AD ＝2，D 1C 1= DC ＝23，AA 1=3且 AC ⊥BD ， ∴ A 1C 1＝4，AE ＝1，EC ＝3，∴ A 1E ＝2，C 1E ＝23， 在△A 1EC 1中，A 1C 12＝A 1E 2＋C 1E 2， ∴ ∠A 1EC 1＝90°， 即二面角A 1－BD －C 1的大小为90°． （III ）过B 作 BF //AD 交 AC 于 F ，连结FC 1，则∠C 1BF 就是AD 与BC 1所成的角． ∵ AB ＝AD ＝2， BD ⊥AC ，AE ＝1， ∴BF =2，EF ＝1，FC ＝2，BC ＝DC ，∴ FC 1=7，BC 1在△BFC 1 中，1cos C BF ∠==∴ ∠C 1BF =即异面直线AD 与BC 1所成角的大小为arccos5．（17）（共13分）解：（I ）P (ξ＝0)＝03311()28C =，P (ξ＝1)＝13313()28C =，P (ξ＝2)＝23313()28C =，P (ξ＝3)＝33311()28C =，ξ的概率分布如下表：E ξ＝13310123 1.58888⋅+⋅+⋅+⋅=, （或E ξ=3·21=1.5）； （II ）乙至多击中目标2次的概率为1－3332()3C =1927； （III ）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B 1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2， B 1，B 2为互斥事件．1231121()()()8278924P A P B P B =+=⋅+⋅=所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为124.（18）（共14分）解：（I ）W 1={(x , y )| k x <y <－k x , x <0}，W 2={(x , y )| －k x <y <k x , x >0}， （II ）直线l 1：k x －y ＝0，直线l 2：k x ＋y ＝0，由题意得2d =, 即22222||1k x y d k -=+， 由P (x , y )∈W ，知k 2x 2－y 2>0，所以 222221k x y d k -=+，即22222(1)0k x y k d --+=, 所以动点P 的轨迹C 的方程为22222(1)0k x y k d --+=；（III ）当直线l 与x 轴垂直时，可设直线l 的方程为x ＝a （a ≠0）．由于直线l ，曲线C 关于x 轴对称，且l 1与l 2关于x 轴对称，于是M 1M 2，M 3M 4的中点坐标都为（a ，0），所以△OM 1M 2，△OM 3M 4的重心坐标都为（32a ，0），即它们的重心重合， 当直线l 1与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =mx +n （n ≠0）．由22222(1)0k x y k d y mx n ⎧--+=⎨=+⎩，得2222222()20k m x mnx n k d d -----=由直线l 与曲线C 有两个不同交点，可知k 2－m 2≠0且△=2222222(2)4()()mn k m n k d d +-⨯++>0 设M 1，M 2的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)， 则12222mnx x k m+=-, 1212()2y y m x x n +=++, 设M 3，M 4的坐标分别为(x 3, y 3)，(x 4, y 4)， 由及y kxy kx y mx n y mx n⎧==-⎧⎨⎨=+=+⎩⎩得34,n nx x k m k m -==-+ 从而3412222mnx x x x k m+==+-， 所以y 3+y 4=m (x 3+x 4)+2n ＝m (x 1+x 2)+2n ＝y 1+y 2, 于是△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心也重合． （19）（共12分） 解：（I ）a 2＝a 1+41=a +41，a 3=21a 2=21a +81； （II ）∵ a 4=a 3+41=21a +83, 所以a 5=21a 4=41a +316,所以b 1=a 1－41=a －41, b 2=a 3－41=21(a －41), b 3=a 5－41=41(a －41),猜想：{b n }是公比为21的等比数列·证明如下：因为b n +1＝a 2n +1－41=21a 2n －41=21(a 2n －1－41)=21b n , (n ∈N *) 所以{b n }是首项为a －41, 公比为21的等比数列·（III ）11121(1)12lim()lim 2()41122n n n n b b b b b a →∞→∞-+++===--- . （20）（共14分）（I ）证明：设x *为f (x ) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f (x )在[0, x *]上单调递增，在[x *, 1]上单调递减．当f (x 1)≥f (x 2)时，假设x *∉(0, x 2)，则x 1<x 2<x *，从而f (x *)≥f (x 2)>f (x 1)， 这与f (x 1)≥f (x 2)矛盾，所以x *∈(0, x 2)，即(0, x 2)是含峰区间.当f (x 1)≤f (x 2)时，假设x *∉( x 2, 1)，则x *<≤x 1<x 2，从而f (x *)≥f (x 1)>f (x 2)， 这与f (x 1)≤f (x 2)矛盾，所以x *∈(x 1, 1)，即(x 1, 1)是含峰区间.（II ）证明：由（I ）的结论可知：当f (x 1)≥f (x 2)时，含峰区间的长度为l 1＝x 2；当f (x 1)≤f (x 2)时，含峰区间的长度为l 2=1－x 1；对于上述两种情况，由题意得210.510.5x r x r +⎧⎨-+⎩≤≤ ① 由①得 1＋x 2－x 1≤1+2r ，即x 1－x 1≤2r.又因为x 2－x 1≥2r ，所以x 2－x 1=2r, ②将②代入①得x 1≤0.5－r, x 2≥0.5－r ， ③由①和③解得 x 1＝0.5－r ， x 2＝0.5＋r ．所以这时含峰区间的长度l 1＝l 1＝0.5＋r ，即存在x 1，x 2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r ．（III ）解：对先选择的x 1；x 2，x 1<x 2，由（II ）可知x 1＋x 2＝l ， ④在第一次确定的含峰区间为(0, x 2)的情况下，x 3的取值应满足x 3＋x 1＝x 2， ⑤ 由④与⑤可得2131112x x x x =-⎧⎨=-⎩, 当x 1>x 3时，含峰区间的长度为x 1．由条件x 1－x 3≥0.02，得x 1－(1－2x 1)≥0.02，从而x 1≥0.34． 因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x 1＝0.34，x 2＝0.66，x 3=0.32．。
2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(16计数原理、二项式定理)
2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（16计数原理、二项式定理）一、选择题：1. (2005北京文)五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（A ）1444C C 种 （B ）1444C A 种 （C ）44C 种 （D ）44A 种 【答案】B【详解】分两个步骤进行。
第一步：先考虑安排甲工程队承建的项目，有C 14种方法；第二步：其余的4个队任意安排，有44A 种方法。
故，不同的承建方案共有1444C A 种。
【名师指津】排列组合中的分步计数原理与分类计数原理做为解决此类问题的基础.2．(2005北京理)北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 （ ）A ．484121214C C CB ．484121214A A CC ．33484121214A C C C D ．33484121214A C C C【答案】A【详解】本题可以先从14人中选出12人即1214C ,然后从这12人中再选出4人做为早班即412C ,最后再从剩余的8人选出4人安排为中班即48C ,剩下的4个安排为晚班,以上为分步事件应用乘法原理可得不同的排法为：124414128C C C .【名师指津】 排列组合中的分步计数原理与分类计数原理做为解决此类问题的基础.3．(2005福建文、理)从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ） A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种 解：分三种情况：情况一,不选甲、乙两个去游览:则有44P 种选择方案,情况二:甲、乙中有一人去游览：有11332343C C C P 种选择方案;情况三：甲、乙两人都去游览,有22132433C C C P 种选择方案,综上不同的选择方案共有44P +11332343C C C P +22132433C C C P =240,选(B)4．(2005湖北文)把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ） A ．168 B ．96 C ．72 D ．144 解：本题主要关键是抓连续编号的2张电影票的情况,可分四种情况：情况一：连续的编号的电影票为1,2;3,4;5,6,这时分法种数为222432C P P情况二：连续的编号的电影票为1,2；4,5,这时分法种数为222422C P P 情况三：连续的编号的电影票为2,3;4,5;这时分法种数为222422C P P 情况四：连续的编号的电影票为2,3;5,6,这时分法种数为222422C P P综上, 把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张,且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是222432C P P +3222422C P P =144(种)5．(2005湖南文)设直线的方程是0=+By Ax ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A 、B 的值，则所得不同直线的条数是 （ ） A ．20 B ．19 C ．18D ．16[评析]:本题考查直线方程和排列组合知识交汇问题. 【思路点拨】本题涉及直线的位置关系与排列组合知识.【正确解答】[解法一]:从1,2,3,4,5中每次取两个不同的数的排列有25A 种其中取1,2和2,4或2,1和4,2表示相同直线.所以所得不同直线条数为:。
2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全( 数系的扩充与复数的引入)
2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全（数系的扩充与复数的引入）一、选择题：1、(2005春招北京文、理)2-i 的共轭复数是（ D ）A ．i +2B ．i -2C ．i +-2D ．i --22．(2005福建理)复数iz -=11的共轭复数是（ ）A ．i 2121+B ．i 2121-C ．i -1D ．i +1解：111,122i i z z i-+-==∴=-选(B)3. (2005广东)若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则22b a += （ D ）A ．0B ．2C ．25 D ．5解: ∵ i b i i a -=-)2(，∴i b ai -=-2，⎩⎨⎧==21b a 即 ，522=+b a ，故选D ．4．(2005湖北理)=++-ii i 1)21)(1(（ ）A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +2解：(1)(12)(2)(12)212i i i i i i -+-+==-+,选(C)5．(2005湖南理)复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是 （ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．i[评述[：本题考查复数，复数的意义及其运算。
【思路点拨】本题涉及利用复数的性质进行复数的简单计算.【正确解答】234110z i i i i i i =+++=--+=,选B.【解后反思】对于复数的简单计算,应紧扣复数的定义,在复数的较复杂运算中,要把复数运算和三角函数结合在一起,可以适当化简计算过程.6．(2005江西理)设复数：2121),(2,1z z R x i x z i z 若∈+=+=为实数，则x = （ ） A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 【思路点拨】本题考察复数的乘法运算,可直接计算得到答案.【正确解答】12(1)(2)(2)(2)z z i x i x x i =++=-++为实数，故20x +=，即2x =-.选A. 【解后反思】复数有两个部分：实部和虚部.而且复数的几种代数运算,其基本算法也是尽可能将其化成复数的代数形式.7. (2005全国Ⅰ理)复数=--i 21i 23（ ）（A ）i（B ）i -（C ）i 22-（D ）i 22+-【解析】∵i i21i i)21(i21i2i21i 23=--=-+=--，故选A ．【点拨】对于复数运算应先观察其特点再计算，会简化运算．8. (2005全国Ⅱ理)设a 、b 、c 、d ∈R ，若dic bia ++为实数，则 （A ）bc+ad ≠0 （B ）bc －ad ≠0 （C ）bc －ad ＝0 （D ）bc+ad=0 【思路点拨】本题考查复数定义和复数除法运算法则. 【正确解答】22()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c di c di c di c d ++-++-==++-+，由dic bia ++为实数， 所以bc-ad=0.选C【解后反思】理解复数除法计算和乘法本质是分母实数化，有助于提高运算速度.9. (2005山东理)2211(1)(1)i ii i -++=+-（ ） （A ）i (B) i - (C) 1 (D) 1-[答案] D【思路点拨】本题考查了复数的概念和运算能力，可直接计算得到结果.【正确解答】2211111(1)(1)22i i i ii i i i-+-++=+=-+--，选D 【解后反思】熟练掌握复数的代数形式的四则运算及i 的性质.本题可把1i -化为cos()sin()44i ππ⎤-+-⎥⎦，1sin )44i i ππ+=+，用复数三角形式的乘法和乘方法则求得结果.10. (2005天津理)若复数312a ii++（,a R i ∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 （A ）-2 （B ）4 （C ）－6 （D ）6【思路点拨】本题考查复数概念及代数运算，只要分子分母同乘以分母的共轭复数并化为代数形式，再根据纯虚数的概念得解. 【正确解答】解法一：设312a iki i+=+，则()3122a i ki i k ki +=+=-+，得：3k =，26a k =-=- 解法二：非零向量1z ，2z 满足12zz 是纯虚数的意思就是说，这两个非零向量互相垂直。
2005年高考.北京卷.理科数学试题精析详解
【名师指津】
对二倍角余弦公式及两个变式的的正用逆用应熟练,对处理绝对值问题的基本思路是用 分类
讨论的思想去掉绝对值然后再研究问题,正切函数的单调区间.
第Ⅱ卷（共 110 分）
注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.
第 4页 （共 19页）
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上.
【答案】15 【详解】
. （用数字作答）
对于 Tr1
C6r
x
6r
(1)(x
1 2
)r
C6r
(1)4
x
(6
3 2
r
)
当r
4 时第
5
项为常数项,即
T5 C64 (1)4 15 .
【名师指津】
二项式定理第 r 1 项的通项公式 Tr1 Cn4a nrbr 的运用在往年高考中经常遇到.
12．过原点作曲线 y e x 的切线，则切点的坐标为
9．若 z1
a 2i, z2
3 4i,且
z1 z2
为纯虚数，则实数 a 的值为
.
【答案】 8 3
【详解】 z1 a 2i (a 2i)(3 4i) (3a 8) (4a 6)i 为纯虚数
z2 3 4i (3 4i)(3 4i)
25
3a 8 0 且 4a 6 0 a 8.
2005 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数 学（理工农医类）
YCY 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分
钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第 I 卷（选择题 共 40 分）
2004-2005 学年第二学期大学数学分析试题及答案
一：填空（20 分）
1、函数 f (x) = e x 的带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式为
。
2、设 f(x)为区间 I 上的可导函数，则 f 为 I 上的凸函数的充要条件为 f (x)
f (x1) + f (x1)(x2 − x1)
n+1
,
n
=
(4
1,2,
分)
n
所以当 x (0,2) 时,
f (x) = x = 4 (−1)n+1 sin nx = 4 sin x − 1 sin 2x + 1 sin 3x + (6 分)
n
2 2 2 2 3 2
5、因 an
=
n(n
1 + 1)(n
+
2)
=
1 2
1
n(n
+
1)
−
(n
由罗尔定理存在 (,1) (0,1) 使得 F ( ) = 0 ，即 f ( ) = − f ( ) （4 分）
23
n
，当 x = −1时
二：判断（16 分）
1、实轴上的任一有界点集 S 至少有一个聚点。（ ）
2、设 H = { ( 1 , 1 ) n+2 n
n = 1, 2, } ，则 H 能覆盖区间 （0，1）。（ ）
3、黎曼函数
f
(x)
=
1 , q
x = p , p, q互素, q p q
在 区 间 [0 ， 1] 上 可 积 ， 且
连续及连续函数的局部保号性,存在 x0 的某领域 (x0 − , x0 + ) (当 x0 = a 或
2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全(函数的性质及其应用)
况(1)分母不能为零(2)开偶次根的因式要大于或等于零，注意偶次根号下的因式是可以等于零（3）
对数函数的真数要大于零,底数要大于零且不等于 1(4)指数函数的底也要大于零且不等于 1,如果碰
到多种情况,应求它们的交集.此外用特殊值法代入也是解决关于复杂的定义域的选择题是一种比较
好的方法.
11．(2005 湖南文)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为 L1=5.06x－0.15 x
（3）若存在 x0 R ，使得对任意 x R ，有 f (x) f (x0 ) ，则 f (x0 ) 是函数 f (x) 的最大值. 这些命题中，真命题的个数是
（A）0 个.
（B）1 个.
（C）2 个.
（D）3 个.
[答] ( )
4. (2005 北京文)为了得到函数 y 2x3 1 的图象，只需把函数 y 2x 上所有点
【思路点拨】本题涉及是函数的定义域问题即函数存在的条件问题.
【正确解答】解法 1：由题意知，1 2x 0 ，则 x 0 .选 A 解法 2：用特值法令 x 0 ,得 A 、B、D 再令 x 1 ,去掉 B、D ，可以轻易得到答案. 选 A.
【解后反思】函数的定义域的问题是高考数学的一个热点,关于函数的定义域的常规问题有如下几种情
【解后反思】根据函数图形来解客观题,快速而且准确,这就要求对函数的图形要相当了解.
15.(2005 全国Ⅰ理)设 b 0 ，二次函数 y ax 2 bx a 2 1 的图像为下列之一
y
y
y
y
1
1
O
x
1 O 1 x
O
x
O
x
则 a 的值为（ ）
（A）1
2005数学分析解答
2005数学分析解答D解：112022000111011ln()|ln(1)ln [(1)ln(1)(1)ln ]|2ln 2y yDdxdy dxdy x y dy y x y x y dy ydyy y y y y y ==+++=+-=++-+-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5、计算第二类曲线积分：22C ydx xdyI x y--=+⎰，22:21C x y +=方向为逆时针。
解：22220022222tan 2222cos ,[0,2)2sin cos cos 222113cos 22cos 2213(2)(1)12arctan 421(2)(1)2311421C x x y ydx xdy I d x y x x x x d x dx x x x x ππθθθπθθθθθθθθ+∞+∞=-∞-∞=⎧⎪∈⎨=⎪⎩---=−−−→=+++-+-++−−−−−→=--++++=-⎰⎰⎰换元万能公式代换226426212dx d x ππ+∞+∞-∞-∞+=-+++⎰6、设a>0,b>0,证明：111b ba ab b ++⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭。
证明：1111()1111(1)111()'()1[ln(1)]0()()()b bxb b bbxa a ab f x b b x a a b f b b b a a b f b b b a b a b a b f x Taylor x x x a b f x ++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭---⎛⎫=++-> ⎪+-⎝⎭，构造函数展开可以证明所以递增，从而得证一、 设f(x)为[a,b]上的有界可测函数，且2[,]()0,a b f x dx =⎰证明：f(x)在[a,b]上几乎处处为0。
证明：反证法，假设A={x|f(x)≠0}，那么mA>0。
2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(15概率、随机变量及其分布)
2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（15概率、随机变量及其分布）一、选择题：1. (2005广东)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子 朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2=Y X 的概率为 （ C ）A ．61B ．365 C ．121 D ．21解：满足1log 2=Y X 的X 、Y 有(1, 2)，(2, 4)，(3, 6)这3种情况，而总的可能数有36种，所以121363==P ，故选C ．2．(2005湖北理)以平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p 为 （ ）A ．385367B ．385376C ．385192D ．38518解：以平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形共有2856C =个, 从中随机取出两个三角形共有256C =28×55种取法,其中两个三角形共面的为2412126C =⨯,故不共面的两个三角形共有(28×55-12×6)种取法,∴．以平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p 为43673674385385⨯=⨯,选(A) 3．(2005江西理)将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ）A ．561B ．701 C ．3361 D ．4201 【思路点拨】本题主要考查平均分组问题及概率问题.【正确解答】将1,22-------9平均分成三组的数目为33396333280C C C A =,又每组的三个数成等差数列,种数为了4,所以答案为B【解后反思】这是一道概率题，属于等可能事件，在求的过程中，先求出不加条件限制的所有可能性a ，然后再根据条件，求出满足题目要求的可能种数b ，最后要求的概率就是b a.4(2005山东文、理)10张奖卷中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是 （A ）310 （B ）112 （C ）12 （D ）1112【思路点拨】本题是考查概率的基础知识、概率的基本运算和应用能力，将“至少”问题转化为对立事件可简化为计算.【正确解答】10张奖卷中抽取5张可能的情况有510C 种， 5人中没有人中奖的情况有57C 中，先求没有1人中奖的概率，57510112C P C ==，至少有1人中奖的概率是5751011112C P C =-=，选D【解后反思】概率与统计这部分内容要求不高，关键是掌握概念公式并能在具体问题中正确应用.5. (2005天津文、理)某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为 （A ）81125 （B ）54125 （C ）36125 （D ）27125【思路点拨】本题是一道独立重复试验的概率题.“至少”问题可直接求或用其对立条件进行求解. 【正确解答】223810.60.4125P C =⨯⨯=，选A 解法2：三次射击行为互不影响。
北京大学2005年研究生入学考试——高等代数与解析几何_试题与答案2
北京大学 2005 数学专业研究生 高等代数与解析几何。
2x y z 0 1． 在直角坐标系中，求直线l :到平面: 3x By z 0 的正交投影轨迹的方程。
x y 2z1其中 B 是常数 解：可以验证点12 1 2 5,0,l , ,0,，从而 l555x 1 3k把 l 写成参数方程：y 2 5k ，任取其上一点 P : ( 1 3k,2 5k, k) ，设该点到上的投影为zk点 P ' : ( x, y, z)PP 'x 1 3k z kx 3z 1 03 1 P3x By z整理即知， l 到x 3z 1上的正交投影轨迹满足方程Byz 03x由于11 ，上述方程表示一条直线，而 2*3 B 1 0 和 3B 2 0 不同时成立，因此 l 到3 1上的正交投影轨迹是一条直线x 3z 1 0从而 l 到上的正交投影轨迹的方程就是3x By z 02． 在直角坐标系中对于参数 的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：x 2 y 2 2 xy0 .对于中心型曲线，写出对称中心的坐标； 对于线心型曲线，写出对称直线的方程。
解：1 , 1 x *x记 T2 2 ，容易验证 TT 'E ，因此直角坐标变换T 是一个正交变换1 , 1 y *y2 2在这个变换下，曲线方程变为 (1)x * 2(1 ) y * 21) 1 时， 1 0,1 0,0 ，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0)2)1 时，曲线方程为y * 21 ，是一对平行直线，是线心型曲线，对称直线为 y *0 ，即yx 23) 1 0时， 10,1 0,0 ，曲线为椭圆，是中心型曲线，对称点为 (0,0)4) 0 时，曲线方程为x * 2y * 20 ，是一个点，是中心型曲线，对称点为(0,0)5) 01时， 1 0,1 0, 0 ，曲线为虚椭圆，是中心型曲线，对称点为(0,0) 6)1 时，曲线方程为 x * 21 ，是一对虚平行直线，是线心型曲线，对称直线为 x *0 ，即 y x27)1时， 1 0,1 0,0 ，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0)3n级矩阵 A 的 (i , j )元为 a i b j．设数域 K 上的（ 1）.求 A ;(2). 当 n2 时， a 1 a 2 , b 1 b 2 .求齐次线性方程组 AX解：(1)若 n1， | A | a 1 b 1若 na 1b 1 a 1 b 2 (a 2 a 1 )(b 2 b 1 )2，|A|b 1 a 2 b 2a 2a 1b 1 a 1 b 2 a 1 b 3a 2b 1a 2b 2a 2b 3若 n2，|A|a n 1b 1 an 1b 2a nb 1a nb 2 a n b 3a 1b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 R nRn 1 a 2 b 1a 2b 2a 2b 3R n 1Rn 20 的解空间的维数和一个基。
2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全(集合)
2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全（集合）一、选择题：1．(2005北京文、理)设全集U =R ，集合M ={x |x >1}，P ={x |x 2>1}，则下列关系中正确的是A ．M=PB ．P MC ．M P （D ）M P R=【答案】C【详解】{|1P x x =>或1}x <-{|1}M x x =>易得M P【名师指津】集合与集合之间关系的题目经常借助图象来观察.2．(2005福建文)已知集合∈≤-=x x x P ,1|1|||R|，Q P N x x Q 则},|{∈=等于（）A ．PB ．QC ．{1，2}D ．{0，1，2}解：∵P=[0,2],{|},Q x x N P Q =∈∴ ={0,1,2},选(D)3.(2005广东)若集合}03|{},2|||{2=-=≤=x x x N x x M ，则M ∩N =（B ）A ．{3}B ．{0}C ．{0，2}D ．{0，3}解:∵由2||≤x ，得22≤≤-x ，由032=-x x ，得30==x x 或，∴M ∩N }0{=，故选B ．4．(2005湖北文、理)设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是（）A ．9B ．8C ．7D ．6解：集合P 中和集合Q 中各选一个元素可组成的组合数为11339C C ⋅=其对应的和有一个重复：0+6=1+5,故P+Q 中的元素有8个,选(B)5．(2005湖南文)设全集U={－2，－1，0，1，2}，A={－2，－1，0}，B={0，1，2}，则（C U A）∩B=（）A．{0}B．{－2，－1}C．{1，2}D．{0，1，2}[评述]:本题考查集合有关概念，补集，交集等知识点。
【思路点拨】本题涉及集合的简单运算.【正确解答】由题意得：{}{}2,1)(,2,1=⋂=B CuA CuA 则,故选C.【解后反思】这是一道考查集合的简单题目,可用画出它的韦恩图,用数形结合的方法解答.6.(2005江苏)设集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则()A B C ⋂⋃=（A ）{1,2,3}（B ）{1,2,4}（C ）{2,3,4}（D ）{1,2,3,4}答案：D[评述]：本题考查交集、并集等相关知识。
教育最新2005年高考理科数学试题及答案(北京)
2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷 1至2页，第II 卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题共40分） 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
一、本大题共8小题．每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）设全集U =R ，集合M ={x | x >1，P ={x | x 2>1}，则下列关系中正确的是 （A ）M ＝P （B ）P ÜM （C ）M ÜP （ D ）U M P =∅ð（2）“m =21”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的 （A ）充分必要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 （3）若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 （A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°（4）从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 （A ）π （B ）2π （C ）4π （D ）6π （5）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是 （A ）sin(α+β)>sin α+sin β （B ）sin(α+β)>cos α+cos β （C ）cos(α+β)<sinα＋sinβ （D ）cos(α+β)<cosα＋cosβ（6）在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是 （A ）BC //平面PDF （B ）DF ⊥平面P A E （C ）平面PDF ⊥平面ABC （D ）平面P AE ⊥平面 ABC（7）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（A ）124414128C C C （B ）124414128C A A（C ）12441412833C C C A （D ）12443141283C C C A （8）函数f (x（A ）在[0,),(,]22πππ上递增，在33[,),(,2]22ππππ上递减 （B ）在3[0,),[,)22πππ上递增，在3(,],(,2]22ππππ上递减 （C ）在3(,],(,2]22ππππ上递增，在3[0,),[,)22πππ上递减 （D ）在33[,),(,2]22ππππ上递增，在[0,),(,]22πππ上递减二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分。
2005—数一真题、标准答案及解析
2005年考研数学一真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.（2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为. ____________.（3）设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{31=n ρ，则)3,2,1(n u∂∂=.________.（4）设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.（5）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B ..（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1Λ中任取一个数，记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 (A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ ]（9）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222yu x u ∂∂=∂∂.(C) 222yuy x u ∂∂=∂∂∂. (D)222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ ]（10）设有三元方程1ln =+-xze y z xy ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ ]（11）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ ]（12）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -.[ ]（13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ ]（14）设)2(,,,21≥n X X X n Λ为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则(A) )1,0(~N X n (B) ).(~22n nS χ(C) )1(~)1(--n t SXn (D) ).1,1(~)1(2221--∑=n F X X n n i i [ ] 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分） 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22 （16）（本题满分12分）求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数f(x).（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f （19）（本题满分12分）设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++Ly x xydydx y 4222)(ϕ的值恒为同一常数.（I ）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++⎰Cyx xydydx y ϕ；（II ）求函数)(y ϕ的表达式. （20）（本题满分9分）已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.（I ） 求a 的值；（II ） 求正交变换Qy x =，把),,(321x x x f 化成标准形； （III ） 求方程),,(321x x x f =0的解. （21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解..（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为.,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；（II ）Y X Z -=2的概率密度).(z f Z （23）（本题满分9分）设)2(,,,21>n X X X n Λ为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i Λ=-=求：（I ） i Y 的方差n i DY i ,,2,1,Λ=； （II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov2005年考研数学一真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 .4121-=x y【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为a=212lim )(lim22=+=∞→∞→x x x x x f x x ， []41)12(2lim)(lim -=+-=-=∞→∞→x x ax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为.4121-=x y （2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为.91ln 31x x x y -=. 【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ， 再由初始条件确定任意常数即可.【详解】 原方程等价为x y xy ln 2=+'， 于是通解为 ⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x xC dx ex ey dxx dxx =2191ln 31x C x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=（3）设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{31=n ρ，则)3,2,1(n u∂∂=33. 【分析】 函数u(x,y,z)沿单位向量γβαcos ,cos ,{cos =n ρ}的方向导数为：γβαcos cos cos zu y u x u n u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 因此，本题直接用上述公式即可.【详解】 因为3x x u =∂∂，6y y u =∂∂，9zz u =∂∂，于是所求方向导数为)3,2,1(nu ∂∂=.33313131313131=⋅+⋅+⋅ （4）设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz 3)221(2R -π. 【分析】本题∑是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰Ωdxdydz 3=.)221(2sin 3320402R d d d R⎰⎰⎰-=πππθϕϕρρ （5）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B 2 .【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可. 【详解】 由题设，有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 于是有 .221941321111=⨯=⋅=A B（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1Λ中任取一个数，记为Y , 则}2{=Y P =4813. 【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】 }2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P +}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P=.4813)4131210(41=+++⨯ 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ] 【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】 当1<x 时，11lim )(3=+=∞→n nn xx f ；当1=x 时，111lim )(=+=∞→n n x f ；当1>x 时，.)11(lim )(3133x xx x f nnn =+=∞→即.1,11,1,,1,)(33>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有(B) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ A ] 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为⎰+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则⎰xdt t f 0)(为偶函数，从而⎰+=xC dt t f x F 0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=221x , 排除(D); 故应选(A). （9）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222yu x u ∂∂=∂∂.(C) 222yuy x u ∂∂=∂∂∂. (D)222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ B ]【分析】 先分别求出22x u ∂∂、22yu∂∂、y x u ∂∂∂2，再比较答案即可.【详解】 因为)()()()(y x y x y x y x xu--++-'++'=∂∂ψψϕϕ，)()()()(y x y x y x y x yu-+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ， 于是 )()()()(22y x y x y x y x x u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ，)()()()(2y x y x y x y x yx u-'++'+-''-+''=∂∂∂ψψϕϕ， )()()()(22y x y x y x y x yu-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ， 可见有2222yu x u ∂∂=∂∂，应选(B). （10）设有三元方程1ln =+-xze y z xy ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程 (E) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(F) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (G) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(H)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ D ]【分析】 本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=1ln -+-xze y z xy , 分别求出三个偏导数y x z F F F ,,，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应的隐函数.【详解】 令F(x,y,z)=1ln -+-xzey z xy , 则z e y F xzx +='， yz x F y -='，x e y F xzz +-='ln ， 且 2)1,1,0(='x F ，1)1,1,0(-='y F ，0)1,1,0(='z F . 由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 故应选(D).（11）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ B ]【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令 0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k ， 0)(2221121=++αλαλk k k . 由于21,αα线性无关，于是有 ⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k当02≠λ时，显然有0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A 线性无关，则必然有02≠λ(,否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法二： 由于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ， 可见1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(B).（12）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则(B) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B .(C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [C ]【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】 由题设，存在初等矩阵12E （交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得 B A E =12，于是 12*11212*12***12*)(E A E E A EA A EB -=⋅===-，即*12*B E A -=,可见应选(C).（13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则(B) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ B ]【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b 的取值.【详解】 由题设，知 a+b=0.5又事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，于是有}1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P ， 即 a=))(4.0(b a a ++, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B).（14）设)2(,,,21≥n X X X n Λ为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则(B) )1,0(~N X n (B) ).(~22n nS χ(C) )1(~)1(--n t SXn (D) ).1,1(~)1(2221--∑=n F X X n n i i [ D ]【分析】 利用正态总体抽样分布的性质和2χ分布、t 分布及F 分布的定义进行讨论即可. 【详解】 由正态总体抽样分布的性质知，)1,0(~10N X n nX =-，可排除(A); 又)1(~0-=-n t SX n nS X ，可排除(C); 而)1(~)1(1)1(2222--=-n S n S n χ，不能断定(B)是正确选项.因为 ∑=-n i in X X222221)1(~),1(~χχ，且∑=-ni i n X X 222221)1(~)1(~χχ与相互独立，于是).1,1(~)1(1122212221--=-∑∑==n F XX n n XX ni ini i故应选(D).三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分） 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22 【分析】 首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.【详解】 令 }0,0,10),{(221≥≥<+≤=y x y x y x D ，}0,0,21),{(222≥≥≤+≤=y x y x y x D .则⎰⎰++Ddxdy y xxy ]1[22=⎰⎰⎰⎰+122D D xydxdy xydxdydr r d dr r d ⎰⎰⎰⎰+=202131320cos sin 2cos sin ππθθθθθθ=.874381=+ （16）（本题满分12分） 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数f(x).【分析】 先求收敛半径，进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到.【详解】 因为11)12()12()12)(1(1)12)(1(lim=+--⨯+++++∞→n n n n n n n n n ，所以当21x <时，原级数绝对收敛，当21x >时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（－1,1）记 121(1)(),(1,1)2(21)n nn S x x x n n -∞=-=∈--∑，则 1211(1)(),(1,1)21n n n S x x x n -∞-=-'=∈--∑， 122211()(1),(1,1)1n n n S x x x x ∞--=''=-=∈-+∑. 由于 (0)0,(0)0,S S '== 所以 201()()arctan ,1xxS x S t dt dt x t '''===+⎰⎰2001()()arctan arctan ln(1).2x x S x S t dt tdt x x x '===-+⎰⎰又21221(1),(1,1),1n nn x xx x ∞-=-=∈-+∑ 从而 22()2()1x f x S x x =++2222arctan ln(1),(1,1).1x x x x x x=-++∈-+ （17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值. 【详解】 由题设图形知，f(0)=0, 2)0(='f ; f(3)=2, .0)3(,2)3(=''-='f f 由分部积分，知⎰⎰⎰+''-''+=''+='''+330302232)12)(()()()()()()(dx x x f x f x x x f d x x dx x f x x=dx x f x f x x f d x ⎰⎰'+'+-='+-3330)(2)()12()()12(=.20)]0()3([216=-+f f（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】 （I ） 令x x f x F +-=1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .（II ） 在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f于是 .1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f （19）（本题满分12分）设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++Ly x xydydx y 4222)(ϕ的值恒为同一常数.（I ）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++⎰Cyx xydydx y ϕ；（II ）求函数)(y ϕ的表达式.【分析】 证明（I ）的关键是如何将封闭曲线C 与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C 进行分解讨论；而（II ）中求)(y ϕ的表达式，显然应用积分与路径无关即可.【详解】 （I ）如图，将C 分解为：21l l C +=，另作一条曲线l=++⎰Cy x xydydx y 4222)(ϕ-++⎰+314222)(l l y x xydydx y ϕ022)(3242=++⎰+l l y x xydydx y ϕ.（II ） 设2424()2,22y xyP Q x yx yϕ==++，,P Q 在单连通区域0x >内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分24()22Ly dx xydyx y ϕ++⎰在该区域内与路径无关，故当0x >时，总有Q Px y∂∂=∂∂. 24252422422(2)4242,(2)(2)Q y x y x xy x y y x x y x y ∂+--+==∂++g ① 243243242242()(2)4()2()()4().(2)(2)P y x y y y x y y y y y y x y x y ϕϕϕϕϕ'''∂+-+-==∂++ ② 比较①、②两式的右端，得435()2,()4()2. y y y y y y y ϕϕϕ'=-⎧⎨'-=⎩ 由③得2()y y c ϕ=-+，将()y ϕ代入④得 535242,y cy y -= 所以0c =，从而2().y y ϕ=-（20）（本题满分9分）已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.（I ） 求a 的值；（II ） 求正交变换Qy x =，把),,(321x x x f 化成标准形； （III ） 求方程),,(321x x x f =0的解.【分析】 （I ）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a 的值；（II ）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换； （III ）利用第二步的结果，通过标准形求解即可.③ ④【详解】 （I ） 二次型对应矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++-=200011011a a a a A ， 由二次型的秩为2，知 020011011=-++-=aa a a A ，得a=0. （II ） 这里⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011011A ， 可求出其特征值为0,2321===λλλ. 解 0)2(=-x A E ，得特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,01121αα，解 0)0(=-x A E ，得特征向量为：.0113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α由于21,αα已经正交，直接将21,αα，3α单位化，得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01121,100,01121321ηηη令[]321ααα=Q ，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy ，可化原二次型为标准形：),,(321x x x f =.222221y y + （III ） 由),,(321x x x f ==+222122y y 0，得k y y y ===321,0,0（k 为任意常数）.从而所求解为：x=Qy=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0003321c c k k ηηηη，其中c 为任意常数. （21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相当于告之B 的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩.【详解】 由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，且.3)()(≤+B r A r（1）若k 9≠, 则r(B)=2, 于是r(A)1≤, 显然r(A)1≥, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：2121,,63321k k k k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而.2)(1≤≤A r1） 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：11,321k k x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=为任意常数.2） 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：0321=++cx bx ax ,不妨设0≠a ,则其通解为2121,,1001k k a c k a b k x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=为任意常数.（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 .,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ； （II ）Y X Z -=2的概率密度).(z f Z【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度.【详解】 （I ） 关于X 的边缘概率密度)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(=.,10,0,20其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰x dy x=.,10,0,2其他<<⎩⎨⎧x x关于Y 的边缘概率密度)(y f Y =⎰+∞∞-dx y x f ),(=.,20,0,12其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰y dx y=.,20,0,21其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-y y （II ） 令}2{}{)(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤=， 1） 当0<z 时，0}2{)(=≤-=z Y X P z F Z ；2） 当20<≤z 时，}2{)(z Y X P z F Z ≤-= =241z z -; 3) 当2≥z 时，.1}2{)(=≤-=z Y X P z F Z即分布函数为： .2,20,0,1,41,0)(2≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z z z z F Z故所求的概率密度为：.,20,0,211)(其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z f Z （23）（本题满分9分）设)2(,,,21>n X X X n Λ为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i Λ=-=求：（I ） i Y 的方差n i DY i ,,2,1,Λ=； （II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov【分析】 先将i Y 表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求1Y 与n Y 的协方差),(1n Y Y Cov ，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质.【详解】 由题设，知)2(,,,21>n X X X n Λ相互独立，且),,2,1(1,0n i DX EX i i Λ===，.0=X E（I ）∑≠--=-=ni j j i i i X n X n D X X D DY ]1)11[()(=∑≠+-nij ji DXnDX n 221)11(=.1)1(1)1(222n n n nn n -=-⋅+- （II ） )])([(),(111n n n EY Y EY Y E Y Y Cov --= =)])([()(11X X X X E Y Y E n n --==)(211X X X X X X X E n n +--=211)(2)(X E X X E X X E n +-=22121)(][20X E X D X X X E n nj j +++-∑==.112nn n -=+-。
2005年高考北京卷(理科数学)
2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（北京卷）一、本大题共8小题．每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设全集U R =，集合{1}M x x =>，2{1}P x x =>，则下列关系中正确的是 A.M P = B.P ÜM C.M ÜP D.U M P =∅ð2.“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件 3.若||1a =，||2b =，c a b =+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 A.30 B.60 C.120 D.150 4.从原点向圆2212270x y x +-+=作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为A.πB.2πC.4πD.6π 5.对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是A.sin()sin sin αβαβ+>+B.sin()cos cos αβαβ+>+C.cos()sin sin αβαβ+<+D.cos()cos cos αβαβ+<+ 6.在正四面体P ABC -，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是 A.BC //平面PDF B.DF ⊥平面PAE C.平面PDF ⊥平面ABC D.平面PAE ⊥平面ABC7.北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为A.124414128C C C B.124414128C A A C.12441412833C C C A D.12443141283C C C A8.函数()f x =A.在[0,)2π，(,]2ππ上递增，在3[,)2ππ，3(,2]2ππ上递减B.在[0,)2π，3[,)2ππ上递增，在(,]2ππ，3(,2]2ππ上递减C.在(,]2ππ，3(,2]2ππ上递增，在[0,)2π，3[,)2ππ上递减D.在3[,)2ππ,3(,2]2ππ上递增，在[0,)2π，(,]2ππ上递减二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.若12z a i =+，234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ． 10.已知tan 22α=，则tan α= ，tan()4πα+= .11.6(x 的展开式中的常数项是 .（用数字作答） 12.过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ． 13.对于函数()f x 定义域中任意的12,x x （12x x ≠），有如下结论： ①1212()()()f x x f x f x +=⋅；②1212()()()f x x f x f x ⋅=+；③1212()()0f x f x x x ->-；④1212()()()22x x f x f x f ++<. 当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是 . 14.已知n 次多项式1011()n n n n n P x a x a x a x a --=++++，如果在一种算法中，计算0k x （0,1,2,3,4,,k n =）的值需要1k -次乘法，计算30()P x 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算0()n P x 的值共需要 次运算． 下面给出一种减少运算次数的算法：0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+, （0,1,2,,1k n =-）．利用该算法，计算30()P x 的值共需要6次运算，计算0()n P x 的值共需要 次运算．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题共13分）已知函数32()39f x x x x a =-+++. （Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若()f x 在区间[2,2]-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 16.（本小题共14分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，DC =1AA =AD DC ⊥，AC BD ⊥，垂足为E ，（Ⅰ）求证：11BD A C ⊥； （Ⅱ）求二面角11A BD C --的大小； （Ⅲ）求异面直线AD 与1BC 所成角的大小．17.（本小题共13分）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率32， （Ⅰ）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E ξ； （Ⅱ）求乙至多击中目标2次的概率； （Ⅲ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率． 18.（本小题共14分）如图，直线1l ：y kx =（0k >）与直线2l ：y kx =-之间的阴影区域（不含边界）记为w ，其左半部分记为1w ，右半部分记为2w ． （Ⅰ）分别用不等式组表示1w 和2w ；（Ⅱ）若区域w 中的动点(,)P x y 到1l ，2l 的距离之积等于2d ，求点P 的轨迹C 的方程；A B CD A 1 B 1C 1D 1E（Ⅲ）设不过原点O 的直线l 与（Ⅱ）中的曲线C 相交于1M ，2M 两点，且与1l ，2l 分别交于3M ，4M 两点．求证12OM M ∆的重心与34OM M ∆的重心重合．19.（本小题共12分）设数列{}n a 的首项114a a =≠，且11214nn n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为偶数为奇数，记2114n n b a -=-， 1,2,3,n =.（Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论； （Ⅲ）求123lim()n n b b b b →∞++++．20.（本小题共14分）设()f x 是定义在[0,1]上的函数，若存在(0,1)x *∈，使得()f x 在[0,]x *上单调递增，在[,1]x *上单调递减，则称()f x 为[0,1]上的单峰函数，x *为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0,1]上的单峰函数()f x ，下面研究缩短其含峰区间长度的方法． （Ⅰ）证明：对任意的12,(0,1)x x ∈，12x x <，若12()()f x f x ≥，则2(0,)x 为含峰区间；若12()()f x f x ≤，则1(,1)x 为含峰区间；（Ⅱ）对给定的r （00.5r <<），证明：存在12,(0,1)x x ∈，满足212x x r -≥，使得由（Ⅰ）所确定的含峰区间的长度不大于0.5r +；（Ⅲ）选取12,(0,1)x x ∈，12x x <，由（Ⅰ）可确定含峰区间为2(0,)x 或1(,1)x，在所得的含峰区间内选取3x ，由3x 与1x 或3x 与2x 类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为2(0,)x 的情况下，试确定1x ，2x ，3x 的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1） C （2）B （3）C （4）B （5）D （6）C （7）A （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）38 （10）－34；－71（11）15 （12）(1, e)；e（13）②③ （14）21n(n ＋3)；2n三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（I ） f ’(x)＝－3x 2＋6x ＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3， 所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II ）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a ，f(2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ， 所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f(x)=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．（16）（共14分）（I）在直四棱柱ABCD－AB1C1D1中，∵AA1⊥底面ABCD．∴AC是A1C在平面ABCD上的射影．∵BD⊥AC．∴ BD⊥A1C；（II）连结A1E，C1E，A1C1．与（I）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，∴∠A1EC1为二面角A1－BD－C1的平面角．∵ AD⊥DC，∴∠A1D1C1=∠ADC＝90°，又A1D1=AD＝2，D1C1= DC＝23，AA1=3且 AC⊥BD，∴ A1C1＝4，AE＝1，EC＝3，∴ A1E＝2，C1E＝23，在△A1EC1中，A1C12＝A1E2＋C1E2，∴∠A1EC1＝90°，即二面角A1－BD－C1的大小为90°．（III）过B作 BF//AD交 AC于 F，连结FC1，则∠C1BF就是AD与BC1所成的角．∵ AB＝AD＝2， BD⊥AC，AE＝1，∴BF=2，EF＝1，FC＝2，BC＝DC，∴ FC1=7，BC1在△BF C1 中，1cos5C BF∠==,∴∠C1BF=即异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos5．（17）（共13分）解：（I ）P(ξ＝0)＝03311()28C =，P(ξ＝1)＝13313()28C =，P(ξ＝2)＝23313()28C =， P(ξ＝3)＝33311()28C =，ξ的概率分布如下表：E ξ＝13310123 1.58888⋅+⋅+⋅+⋅=, （或E ξ=3·21=1.5）；（II ）乙至多击中目标2次的概率为1－3332()3C =1927； （III ）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B 1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2，B 1，B 2为互斥事件．1231121()()()8278924P A P B P B =+=⋅+⋅=所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为124. （18）（共14分）解：（I ）W 1={(x, y)| kx<y<－kx, x<0}，W 2={(x, y)| －kx<y<kx, x>0}， （II ）直线l 1：kx －y ＝0，直线l 2：kx ＋y ＝0，由题意得2d =, 即22222||1k x y d k -=+， 由P(x, y)∈W ，知k 2x 2－y 2>0，所以 222221k x y d k -=+，即22222(1)0k x y k d --+=, 所以动点P 的轨迹C 的方程为22222(1)0k x y k d --+=；（III ）当直线l 与x 轴垂直时，可设直线l 的方程为x ＝a （a ≠0）．由于直线l ，曲线C 关于x 轴对称，且l 1与l 2关于x 轴对称，于是M 1M 2，M 3M 4的中点坐标都为（a ，0），所以△OM 1M 2，△OM 3M 4的重心坐标都为（32a ，0），即它们的重心重合，当直线l 1与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y=mx+n （n ≠0）．由22222(1)0k x y k d y mx n ⎧--+=⎨=+⎩，得2222222()20k m x mnx n k d d -----=由直线l 与曲线C 有两个不同交点，可知k 2－m 2≠0且△=2222222(2)4()()mn k m n k d d +-⨯++>0 设M 1，M 2的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，则12222mnx x k m +=-, 1212()2y y m x x n +=++,设M 3，M 4的坐标分别为(x 3, y 3)，(x 4, y 4)，由及y kx y kx y mx n y mx n ⎧==-⎧⎨⎨=+=+⎩⎩得34,n n x x k m k m -==-+ 从而3412222mnx x x x k m+==+-， 所以y 3+y 4=m(x 3+x 4)+2n ＝m(x 1+x 2)+2n ＝y 1+y 2, 于是△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心也重合．（19）（共12分）解：（I ）a 2＝a 1+41=a+41，a 3=21a 2=21a+81；（II ）∵ a 4=a 3+41=21a+83, 所以a 5=21a 4=41a+316,所以b 1=a 1－41=a －41, b 2=a 3－41=21(a －41), b 3=a 5－41=41(a －41),猜想：{b n }是公比为21的等比数列·证明如下：因为b n+1＝a 2n+1－41=21a 2n －41=21(a 2n －1－41)=21b n , (n ∈N*) 所以{b n }是首项为a －41, 公比为21的等比数列·（III ）11121(1)12lim()lim2()1141122n n n n b b b b b a →∞→∞-+++===---. （20）（共14分）（I ）证明：设x*为f(x) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*, 1]上单调递减．当f(x 1)≥f(x 2)时，假设x*∉(0, x 2)，则x 1<x 2<x*，从而f(x*)≥f(x 2)>f(x 1)， 这与f(x 1)≥f(x 2)矛盾，所以x*∈(0, x 2)，即(0, x 2)是含峰区间. 当f(x 1)≤f(x 2)时，假设x*∉( x 2, 1)，则x*<≤x 1<x 2，从而f(x*)≥f(x 1)>f(x 2)，这与f(x 1)≤f(x 2)矛盾，所以x*∈(x 1, 1)，即(x 1, 1)是含峰区间. （II ）证明：由（I ）的结论可知：当f(x 1)≥f(x 2)时，含峰区间的长度为l 1＝x 2； 当f(x 1)≤f(x 2)时，含峰区间的长度为l 2=1－x 1；对于上述两种情况，由题意得210.510.5x r x r +⎧⎨-+⎩≤≤ ①由①得 1＋x 2－x 1≤1+2r ，即x 1－x 1≤2r. 又因为x 2－x 1≥2r ，所以x 2－x 1=2r, ② 将②代入①得x 1≤0.5－r, x 2≥0.5－r ， ③ 由①和③解得 x 1＝0.5－r ， x 2＝0.5＋r ．所以这时含峰区间的长度l 1＝l 1＝0.5＋r ，即存在x 1，x 2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r ．（III ）解：对先选择的x 1；x 2，x 1<x 2，由（II ）可知 x 1＋x 2＝l ， ④在第一次确定的含峰区间为(0, x 2)的情况下，x 3的取值应满足 x 3＋x 1＝x 2， ⑤由④与⑤可得2131112x x x x =-⎧⎨=-⎩,当x 1>x 3时，含峰区间的长度为x 1．由条件x 1－x 3≥0.02，得x 1－(1－2x 1)≥0.02，从而x 1≥0.34． 因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x 1＝0.34，x 2＝0.66，x 3=0.32．。
2005年北京市高考数学试卷(文科)
2005年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设全集U R =，集合{|}M x x l =>，2{|}P x x l =>，则下列关系中正确的是()A ．M P =B ．P M ⊂C ．M P ⊂D ．UM P =∅2．（5分）为了得到函数321x y -=-的图象，只需把函数2x y =上所有点( ) A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 3．（5分）“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒5．（5分）从原点向圆2212270x y y +-+=作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为( ) A ．πB ．2πC ．4πD ．6π6．（5分）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是( ) A ．sin()sin sin αβαβ+>+ B ．sin()cos cos αβαβ+>+ C ．cos()sin sin αβαβ+<+D ．cos()cos cos αβαβ+<+7．（5分）在正四面体P ABC -中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．//BC 平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC8．（5分）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有( )A ．1444C C 种 B ．1444C A 种 C ．44C 种 D ．44A 种二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）抛物线24y x =的准线方程是 ，焦点坐标是 ． 10．（5分）61(2)2x x-的展开式的常数项是 （用数字作答） 11．（5分）函数1()12f x x x+-的定义域为 ． 12．（5分）在ABC ∆中，3AC =，45A ∠=︒，75C ∠=︒，则BC 的长度是 ． 13．（5分）设函数()2x f x =，对于任意的1x ，212()x x x ≠，有下列命题 ①1212()()()f x x f x f x +=；②1212()()()f x x f x f x =+；③1212()()0f x f x x x ->-；④1212()()()22x x f x f x f ++<．其中正确的命题序号是 ． 14．（5分）已知n 次多项式1011()n n n n n P x a x a x a x a --=++⋯++．如果在一种算法中，计算0(2kx k =，3，4，⋯，)n 的值需要1k -次乘法，计算30()P x 的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法），那么计算0()n P x 的值共需要 次运算． 下面给出一种减少运算次数的算法：000()P x a =．11()()(0n n k P x xP x a k ++=+=，l ，2，⋯，1)n -．利用该算法，计算30()P x 的值共需要6次运算，计算0()n P x 的值共需要 次运算．三、解答题（共6小题，15题12分，16、19、20题每题14分，17、18题每题13分，满分80分）15．（12分）已知tan22α=，求（1）tan()4πα+的值（2）6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值．16．（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =，点D 为AB 的中点．（Ⅰ）求证1AC BC ⊥； （Ⅱ）求证1//AC 平面1CDB ；（Ⅲ）求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值．17．（13分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，113n n a S +=，1n =，2，3，⋯，求（Ⅰ）2a ，3a ，4a 的值及数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）2462n a a a a +++⋯+的值．18．（13分）甲、乙俩人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23． （Ⅰ）记甲恰好击中目标2次的概率； （Ⅱ）求乙至少击中目标2次的概率； （Ⅲ）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率； 19．（14分）已知函数32()39f x x x x a =-+++． （Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若()f x 在区间[2-，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．20．（14分）如图，直线1:(0)l y kx k =>与直线2:l y kx =-之间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半部分记为1W ，右半部分记为2W ． （Ⅰ）分别用不等式组表示1W 和2W ．（Ⅱ）若区域W 中的动点(,)P x y 到1l ，2l 的距离之积等于2d ，求点P 的轨迹C 的方程； （Ⅲ）设不过原点O 的直线l 与（Ⅱ）中的曲线C 相交于1M ，2M 两点，且与1l ，2l 分别交于3M ，4M 两点．求证△12OM M 的重心与△34OM M 的重心重合．2005年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设全集U R =，集合{|}M x x l =>，2{|}P x x l =>，则下列关系中正确的是()A ．M P =B ．P M ⊂C ．M P ⊂D ．UM P =∅【解答】解：2{|}{|1P x x l x x =>=<-或}x l >，故M P ⊂ 故选：C ．2．（5分）为了得到函数321x y -=-的图象，只需把函数2x y =上所有点( ) A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度【解答】解：函数图象的平移问题：在x 上的变化符合“左加右减”，而在y 上的变化符合“上加下减”．把函数2x y =的图象向右平移3个单位长度得到函数32x y -=的图象，再将所得图象再向下平移1个单位长度，得到函数321x y -=-的图象 故选：A ． 3．（5分）“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：当12m =时，直线(2)310m x my +++=的斜率是53-，直线(2)(2)30m x m y -++-=的斜率是35，∴满足121k k =-，∴ “12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的充分条件，而当(2)(2)3(2)0m m m m +-++=得：12m =或2m =-． ∴ “12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”充分而不必要条件． 故选：B ．4．（5分）若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【解答】解：若||1,||2,a b c a b ===+， 设向量a 与b 的夹角为θ c a ⊥，∴()0a b a +=，则2||||||cos 0a a b θ+=∴01cos 1202θθ=-∴=故选：C ．5．（5分）从原点向圆2212270x y y +-+=作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为( ) A ．πB ．2πC ．4πD ．6π【解答】解：圆2212270x y y +-+= 即22(6)9x y +-=， 设两切线的夹角为2θ， 则有31sin 62θ==，30θ∴=︒，260θ∴=︒， ∴劣弧对的圆心角是120︒， ∴劣弧长为120232360ππ⨯⨯=， 故选：B ．6．（5分）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是( ) A ．sin()sin sin αβαβ+>+ B ．sin()cos cos αβαβ+>+ C ．cos()sin sin αβαβ+<+D ．cos()cos cos αβαβ+<+【解答】解：对于AB 中的α，β可以分别令为30︒，60︒则知道A ，B 均不成立 对于C 中的α，β可以令他们都等于15︒，则知道C 不成立 cos()cos cos sin sin cos 1cos 1cos cos αβαβαβαβαβ+=-<⨯+⨯=+故选：D ．7．（5分）在正四面体P ABC -中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．//BC 平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC【解答】解：由//DF BC 可得//BC 平面PDF ，故A 正确．若PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，则O 在AE 上，则DF PO ⊥，又DF AE ⊥ 故DF ⊥平面PAE ，故B 正确．由DF ⊥平面PAE 可得，平面PAE ⊥平面ABC ，故D 正确． 故选：C ．8．（5分）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有( )A ．1444C C 种 B ．1444C A 种 C ．44C 种 D ．44A 种【解答】解：根据题意，甲工程队不能承建1号子项目，则有4种方法， 其他4个工程队分别对应4个子项目，有44A 种情况，根据乘法原理，分析可得有1444C A 种情况； 故选：B ．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）抛物线24y x =的准线方程是 1x =- ，焦点坐标是 ． 【解答】解：根据抛物线的性质可知抛物线24y x =，2p =， 则准线方程为12px =-=-， 焦点坐标为(1,0) 故答案为1x =-，(1,0) 10．（5分）61(2)2x x-的展开式的常数项是 20- （用数字作答） 【解答】解：662621661(1)(2)()(1)22r rr r r r r rr T C x C xx---+=-=-， 令620r -=，得3r =故展开式的常数项为336(1)20C -=- 故答案为20-11．（5分）函数1()2f x x-的定义域为 [1-，2)(2U ，)+∞ ． 【解答】解：根据题意：1020x x +⎧⎨-≠⎩解得：1x -且2x ≠∴定义域是：[1-，2)(2⋃，)+∞故答案为：[1-，2)(2⋃，)+∞12．（5分）在ABC ∆中，AC =，45A ∠=︒，75C ∠=︒，则BC【解答】解：180457560B ∠=︒-︒-︒=︒由正弦定理可知sin sin AC B BC A =sin sin ACBC A B∴==13．（5分）设函数()2x f x =，对于任意的1x ，212()x x x ≠，有下列命题 ①1212()()()f x x f x f x +=；②1212()()()f x x f x f x =+；③1212()()0f x f x x x ->-；④1212()()()22x x f x f x f ++<．其中正确的命题序号是 ①③④ ． 【解答】解：1212222x x x x +=，所以对于①成立，1212222x x x x +≠，所以对于②不成立，函数()2x f x =，在R 上是单调递增函数， 若12x x >则12()()f x f x >，则1212()()0f x f x x x ->-，若12x x <则12()()f x f x <，则1212()()0f x f x x x ->-，故③正确1212()()()22x x f x f x f ++<说明函数是凹函数，而函数()2x f x =是凹函数，故④正确 故答案为：①③④14．（5分）已知n 次多项式1011()n n n n n P x a x a x a x a --=++⋯++．如果在一种算法中，计算0(2kx k =，3，4，⋯，)n 的值需要1k -次乘法，计算30()P x 的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法），那么计算0()n P x 的值共需要1(3)2n n + 次运算． 下面给出一种减少运算次数的算法：000()P x a =．11()()(0n n k P x xP x a k ++=+=，l ，2，⋯，1)n -．利用该算法，计算30()P x 的值共需要6次运算，计算0()n P x 的值共需要 次运算．【解答】解：在利用常规算法计算多项式1011()n n n n n P x a x a x a x a --=++⋯++的值时， 算0n a x 项需要n 乘法，则在计算时共需要乘法：(1)(1)(2)212n n n n n ++-+-+⋯++=次 需要加法：n 次，则计算0()n P x 的值共需要1(3)2n n +次运算．在使用秦九韶算法计算多项式1011()n n n n n P x a x a x a x a --=++⋯++的值时， 共需要乘法：n 次需要加法：n 次，则计算0()n P x 的值共需要2n 算． 故答案为：1(3)2n n +，2n三、解答题（共6小题，15题12分，16、19、20题每题14分，17、18题每题13分，满分80分）15．（12分）已知tan22α=，求（1）tan()4πα+的值（2）6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值．【解答】解：()tan22I α=，22tan2tan 1tan 2ααα∴=-2214⨯=- 43=-tan tan4tan()41tan tan 4παπαπα+∴+=- tan 11tan αα+=-413413-+=+17=-（Ⅱ）由(4)tan 3I α=-∴6sin cos 3sin 2cos αααα+-6tan 13tan 2αα+==-46()1343()23-+--46()17734663()23-+==-- 16．（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =，点D 为AB 的中点．（Ⅰ）求证1AC BC ⊥； （Ⅱ）求证1//AC 平面1CDB ；（Ⅲ）求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）直三棱柱111ABC A B C -，底面三边长3AC =，4BC =，5AB =， AC BC ∴⊥，且1BC 在平面ABC 内的射影为BC ，1AC BC ∴⊥；（Ⅱ）设1CB 与1C B 的交点为E ，连接DE ，D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点，1//DE AC ∴，DE ⊂平面1CDB ，1AC ⊂平面1CDB ，1//AC ∴平面1CDB ；（Ⅲ）1//DE AC ，CED ∴∠为1AC 与1B C 所成的角， 在CED ∆中，11522ED AC ==，1522CD AB ==，11222CE CB == 822cos 52222CED ∴∠==∴异面直线1AC 与1B C 22．解法二：直三棱锥111ABC A B C -底面三边长3AC =，4BC =，5AB =，AC ，BC ，1CC 两两垂直． 如图建立坐标系，则(0C ，0，0)，(3A ，0，0)，1(0C ，0，4)，(0B ，4，0)，1(0B ，4，4)，3(2D ，2，0)（Ⅰ）1(3AC =-，0，0)，1(0BC =，4，4)，∴110AC BC =， ∴11AC BC ⊥．（Ⅱ）设1CB 与1C B 的交点为E ，则(0E ，2，2) 3(2DE =-，0，2)，1(3AC =-，0，4)，∴112DE AC =，∴1//DE AC DE ⊂平面1CDB ，1AC ⊂/平面1CDB ，1//AC ∴平面1CDB ．（Ⅲ）1(3AC =-，0，4)，1(0CB =，4，4)，1cos AC ∴<，11111225||||AC CB CB AC CB >==， ∴异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为225．17．（13分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，113n n a S +=，1n =，2，3，⋯，求（Ⅰ）2a ，3a ，4a 的值及数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）2462n a a a a +++⋯+的值．【解答】解：()I 由11a =，113n n a S +=，1n =，2，3，⋯，得211111333a S a ===，3212114()339a S a a ==+=，431231116()3327a S a a a ==++=，（3分）由1111()(2)33n n n n n a a S S a n +--=-=，得14(2)3n n a a n +=，（6分）又213a =，所以214()(2)33n n a n -=，（8分）∴数列{}n a 的通项公式为21114()233n n n a n -=⎧⎪=⎨⎪⎩；（9分）()II 由()I 可知2a ，4a ，⋯，2n a 是首项为13，公比为24()3项数为n 的等比数列，（11分） 222462241()1343[()1]43731()3n n n a a a a -∴+++⋯+==--（13分） 18．（13分）甲、乙俩人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23． （Ⅰ）记甲恰好击中目标2次的概率； （Ⅱ）求乙至少击中目标2次的概率； （Ⅲ）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率；【解答】解：()I 甲射击三次，每次击中目标的概率是定值，可以看作是独立重复试验∴甲恰好击中目标的2次的概率为23313()28C =()II 乙射击三次，每次击中目标的概率是定值，可以看作是独立重复试验乙至少击中目标两次包含击中两次和击中三次∴乙至少击中目标2次的概率为22333321220()()()33327C C +=； ()III 设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A ，乙恰击中目标2次且甲恰击中目标0次为事件1B ， 乙恰击中目标3次且甲恰击中目标1次为事件2B ，则12A B B =+，1B ，2B 为互斥事件．P （A ）2203331312333321121111()()()()()()332321896P B P B C C C C =+=+=+=．∴乙恰好比甲多击中目标2次的概率为16．19．（14分）已知函数32()39f x x x x a =-+++． （Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若()f x 在区间[2-，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 【解答】解：2()()369I f x x x '=-++． 令()0f x '<，解得1x <-或3x >，所以函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，(3,)+∞．()II 因为(2)812182f a a -=+-+=+，f （2）8121822a a =-+++=+，所以f （2）(2)f >-．因为在(1,3)-上()0f x '>，所以()f x 在[1-，2]上单调递增， 又由于()f x 在[2-，1]-上单调递减，因此f （2）和(1)f -分别是()f x 在区间[2-，2]上的最大值和最小值，于是有2220a +=，解得2a =-．故32()392f x x x x =-++-，因此(1)13927f -=+--=-， 即函数()f x 在区间[2-，2]上的最小值为7-．20．（14分）如图，直线1:(0)l y kx k =>与直线2:l y kx =-之间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半部分记为1W ，右半部分记为2W ． （Ⅰ）分别用不等式组表示1W 和2W ．（Ⅱ）若区域W 中的动点(,)P x y 到1l ，2l 的距离之积等于2d ，求点P 的轨迹C 的方程； （Ⅲ）设不过原点O 的直线l 与（Ⅱ）中的曲线C 相交于1M ，2M 两点，且与1l ，2l 分别交于3M ，4M 两点．求证△12OM M 的重心与△34OM M 的重心重合．【解答】解：()I 根据图象可知阴影区域左半部分，在y kx =-的下方，在y kx =的上边， 故y 的范围可知kx y kx <<-，且0x <，阴影区域右半部分，在y kx =的下边，y kx =-的上方，0x >1{(,)|W x y kx y kx ∴=<<-，0}x <，2{(,)|W x y kx y kx =-<<，0}x >，()II 直线1:0l kx y -=，直线2:0l kx y +=，222|||11kx y d k k +=++，即22222||1k x y d k -=+， 由(,)P x y W ∈，知2220k x y ->，所以222221k x y d k -=+，即22222(1)0k x y k d --+=， 所以动点P 的轨迹C 的方程为22222(1)0k x y k d --+=； （Ⅲ）当直线l 与x 轴垂直时，可设直线l 的方程为(0)x a a =≠． 由于直线l ，曲线C 关于x 轴对称，且1l 与2l 关于x 轴对称， 于是12M M ，34M M 的中点坐标都为(,0)a ，所以△12OM M ，△34OM M 的重心坐标都为2(3a ，0)，即它们的重心重合，当直线1l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为(0)y mx n n =+≠． 由22222(1)0k x y k d y mx n⎧--+=⎨=+⎩，得2222222()20k m x mnx n k d d -----= 由直线l 与曲线C 有两个不同交点，可知220k m -≠且 △2222222(2)4()()0mn k m n k d d =+-⨯++> 设1M ，2M 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ， 则12222mnx x k m +=-，1212()2y y m x x n +=++，设3M ，4M 的坐标分别为3(x ，3)y ，4(x ，4)y ， 由y kx y mx n =⎧⎨=+⎩得3n x k m =-，4n x k m -=+从而3412222mnx x x x k m +==+-，所以34341212()2()2y y m x x n m x x n y y +=++=++=+， 于是△12OM M 的重心与△34OM M 的重心也重合．。
北京大学2005数学分析试题及解答
f (x)
=
sin2
x
−
sin x x2
1
−
sin x x2
,
lim sup f (x) = 1, lim inf f (x) = 0.
x→+∞
x→+∞
2. (1) 因为 f ′(x) 在 (a, b) 上有界, 可设 |f ′(x)| ⩽ L. ∀ x, y ∈ (a, b),
2
22
(2k)!
2
(2k + 1)!
k=0
k=0
= 1 − cos 2 ∑ ∞ (−1)k22k x4k + sin 2 ∑ ∞ (−1)k22k+1 x4k+2.
22
(2k)!
2
(2k + 1)!
k=0
k=0
(2)
0, cos 2 (−1)k22k
f
(n)(0)
=
− sin
(2) 设 f (x) 在开区间 (a, b) (−∞ < a < b < +∞) 上可微且一致连续, 试问 f ′(x) 在 (a, b) 上是否一定有 界. (若肯定回答, 请证明; 若否定回答, 举例说明)
3. 设 f (x) = sin2 (x2 + 1) ,
(1) 求 f (x) 的麦克劳林展开式. (2) 求 f (n)(0), n = 1, 2, 3, · · ·.
4. 试作出定义在 R2 中的一个函数 f (x, y), 使得它在原点处同时满足以下三个条件:
(1) f (x, y) 的两个偏导数都存在;
(2) 任何方向极限都存在;
(3) 在原点处不连续. ∫
2005北京大学数学分析答案
2005北京大学数学分析答案北京大学2005 数学专业研究生 数学分析 1. 设xxx x x x f sin sin 1sin )(22--=，试求)(sup lim x f x +∞→和)(inflim x f x +∞→.解: 22sin 1()sin sin (0,1].sin x x f x x x x x-=∈-首先我们注意到.在的时候是单调增的222222sin 1sin .sin sin ,sin 11x x x x x x x x xx x x x -≤≤---并且在充分大的时候显然有所以易知在当然此上极限可以令2,2x k k ππ=+→+∞这么一个子列得到. 2222sin sin ().lim 0,lim inf 0,limsin sin x x x x x xf x x x x x→+∞→+∞→+∞==--对于的下极限我们注意到而所以有此下极限当然可以令(21),.x k k π=+→+∞这么个子列得到2. (1)设)(x f 在开区间),(b a 可微，且)(x f '在),(b a 有界。
证明)(x f 在),(b a 一致连续.证明:()(,).()(,).f x x a b M f x a b '∈设在时上界为因为在开区间上可微12,(,),x x a b ∀∈对于由,Lagrange 中值定理存在12121212(,),()()()x x f x f x f x x M x x ξξ'∈-=-≤-使得. 这显然就是12,,.()(,).Lipschitz x x f x a b 条件所以由任意性易证明在上一致收敛(2) 设)(x f 在开区间),(b a )(+∞<<<-∞b a 可微且一致有1121122212(1)2(1)2(1)sin 22!(21)!2!p p pt t ppt kp t p ---++∞=---==-∑。
2005数一标准答案及解析
∂n 3 (1,2,3) 3 3 3 3 3 3
（4）设 Ω 是由锥面 z = x 2 + y 2 与半球面 z = R 2 − x 2 − y 2 围成的空间区域， Σ 是 Ω 的整个边界
∫∫ 的外侧，则 xdydzቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ+ ydzdx + zdxdy = 2π (1 − 2 )R3 .
Σ
2
【分析】本题 Σ 是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐
∂x ∂u = ϕ′(x + y) − ϕ′(x − y) +ψ (x + y) +ψ (x − y) ， ∂y
于是
∂ 2u = ϕ ′′(x + y) + ϕ ′′(x − y) +ψ ′(x + y) −ψ ′(x − y) ，
∂x 2
∂ 2u = ϕ ′′(x + y) − ϕ ′′(x − y) +ψ ′(x + y) +ψ ′(x − y) ， ∂x∂y
内该方程
(E) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z=z(x,y). (F) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y,z)和 z=z(x,y). (G) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x,z)和 z=z(x,y). (H) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y,z)和 y=y(x,z).
方法二： 由于
1 [α1, A(α1 + α 2 )] = [α1, λ1α1 + λ2α 2 ] = [α1,α 2 ]0
λ1 λ2
，
1 可见α1 ， A(α1 + α 2 ) 线性无关的充要条件是 0
2005年全国各地高考数学分类解析三角函数和向量及答案
2005年全国各地高考数学分类解析（三角函数和向量）及答案 1．（2005年高考北京卷理5文6）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（D ）（A ）sin(α+β)>sin α+sin β （B ）sin(α+β)>cos α+cos β （C ）cos(α+β)<sin α＋sin β （D ）cos(α+β)<cos α＋cos β 2．（2005年高考北京卷文12）在△ABC 中，AC =3，∠A =45°，∠C =75°，则BC3．（2005年高考北京卷理8）函数f (x )=cos x（ A ）（A ）在[0,),(,]22πππ上递增，在33[,),(,2]22ππππ上递减（B ）在3[0,),[,)22πππ上递增，在3(,],(,2]22ππππ上递减（C ）在3(,],(,2]22ππππ上递增，在3[0,),[,)22πππ上递减（D ）在33[,),(,2]22ππππ上递增，在[0,),(,]22πππ上递减4．（2005年高考北京卷理3文4）若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为（ C ）（A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150° 5．（2005年高考北京卷理10）已知tan2α=2，则tan α的值为 － 34，tan ()4πα+的值为 －71.6．（2005年全国高考试卷一 理6文6） 当20π<<x 时，函数x x x x f 2s i ns i n82c o s 1)(2++=的最小值为（ D ）A ．2B ．32C ．4D ．347．（2005年全国高考试卷一 理10文10）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断：①1cot tan =⋅B A ②2sin sin 0≤+<B A ③1cos sin 22=+B A ④C B A 222sin cos cos =+ 其中正确的是（ B ） A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③8．（2005年全国高考试卷一文11）点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是△ABC 的（ D ） A ．三个内角的角平分线的交点 B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点9．（2005年全国高考试卷一 理15）△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m= 1 .10．（2005年全国高考试卷二.理1文1）函数()|sin cos |f x x x =+的最小正周期是（C ） (A)4p (B) 2p(C) p (D) 2p 11．（2005年全国高考试卷二.理4文4）已知函数tan y x w =在(,)22p p-内是减函数，则（B ）(A) 01w <…(B) 10w -<…(C) 1w …(D) 1w -…12．（2005年全国高考试卷二 理8文9）已知点A ，(0,0)B ，C ．设BAC ∠的一平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC CE l =，其中l等于（C ）(A) 2 (B) 12(C) 3- (D) 13-13．（2005年全国高考试卷二 理10文11）点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量(4,3)=-v (即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为||v 个单位)．设开始时点P 的坐标为(10,10)-，则5秒后点P 的坐标为（ C ）(A) (2,4)- (B) (30,25)- (C) (10,5)- (D) (5,10)-14．（2005年全国高考试卷二 理7） 锐角三角形的内角A 、B 满足tanA －A2sin 1=tanB ，则有 （ ）A ．sin2A －cosB=0B ．sin2A+cosB=0C ．sin2A －sinB=0D ．sin2A+sinB=015．（2005年全国高考试卷二 理14） 设α为第四象限的角，若ααα2tan ,513sin 3sin 则== 34-16．（2005年全国高考试卷三（四川理） 理1文1）已知α为第三象限的角，则2α所在的象限是( D ) A 第一或第二象限 B 第二或第三象限 C 第一或第三象限 D 第二或第四象限 17．（2005年全国高考试卷三（四川理）理7文7）设02x π≤，且sin cos x x =-，则（ C ） A 0x π≤≤ B744x ππ≤≤C 544x ππ≤≤ D 322x ππ≤≤18．（2005年全国高考试卷三（四川理）理8文8） 22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅=+ ( B )A tan αB tan 2αC 1 D1219．（2005年全国高考试卷三（四川理）(必修+选修II) 理14）已知向量()12OA k =，，()45OB =，，()10OC k =-，，且A 、B 、C 三点共线，则k =23-20．（2005年全国高考试卷三（四川理）(必修+选修II) 理16）已知在ABC ∆中，09034ACB BC AC ∠===，，，P 是AB 上的点，则点P 到AC BC 、的距离乘积的最大值是 21．（2005年高考湖南卷.文2） tan600°的值是（D ）A ．33-B ．33C ．3-D ．322．（2005年高考湖南卷.文9）P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ D ） A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心23．（2005年高考上海卷.文5）函数 y=cos2x+sinxcosx 的最小正周期T= π ．24．（2005年高考上海卷.文6） 若cos α=71,α∈(0.2π),则cos(α+3π)=-1411． 25．（2005年高考上海卷.理10文11）函数f(x)=sinx+2x sin ,x ∈[0,2π]的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是 1<k<3 ． 26．（2005年高考上海卷.文10）在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB=5，BC ＝7，则 AC ＝ 3 ． 27．（2005年高考天津卷.理8）要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（ C ）(A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度(B)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度(D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度 28．（2005年高考辽宁卷.理8）若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范围是 （B ）A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．[3，+∞)D ．（3，+∞）29．（2005年高考天津卷.理16）ω是正实数，设)](cos[)(|{θωθω+==x x f S 是奇函数}，若对每个实数a ，)1,(+⋂a a S ω的元素不超过2个，且有a 使)1,(+⋂a a S ω含2个元素，则ω的取值范围是 ]2,(ππ30．（2005年高考湖北卷.理6）在x y x y x y y x 2c o s ,,l o g ,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是（ B ） A ．0 B ．1C ．2D ．331．（2005年高考湖北卷.理7文10）若∈<<=+απαααα则),20(tan cos sin （ C ）A ．)6,0(πB ．)4,6(ππC ．)3,4(ππD ．)2,3(ππ32．（2005年高考湖北卷.理9）若x x x sin 32,20与则π<<的大小关系.............................................. （ D ） A ．x x sin 32> B ．x x sin 32< C ．x x sin 32= D ．与x 的取值有关 33．（2005年高考湖北卷.理13文3）已知向量||).,5(),2,2(k +=-=若不超过5，则k 的取值范围是 [－6，2] .34．（2005年高考湖北卷.文15）函数1cos |sin |-=x x y 的最小正周期与最大值的和为 212-π . 35．（2005年高考重庆卷.理4）已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D为线段BC 的中点，则向量与DA 的夹角为（ C ）A ．54arccos 2-πB ．54arccosC ．)54arccos(- D ．－)54ar c c o s (- 36．（2005年高考重庆卷.理6文6）已知α、β均为锐角，若q p q p 是则,2:),sin(sin :πβαβαα<++<的（B ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件37．（2005年高考重庆卷.理13文13）已知α、β均为锐角，且αβαβαtan ),sin()cos(则-=+= 1 . 38．（2005年高考湖北卷.文2）=+-)12sin12)(cos12sin12(cos ππππ（ D ）A ．23-B ．21-C ．21 D ．23 39．（2005年高考湖北卷.文4）设向量a =（－1，2），b=（2，－1），则（a ·b ）（a +b ）等于（ B ） A ．（1，1） B ．（－4，－4） C ．－4 D ．（－2，－2） 40．（2005年高考福建卷.文4）函数x y 2cos =在下列哪个区间上是减函数（C ）A ．]4,4[ππ-B ．]43,4[ππC ．]2,0[πD ．],2[ππ41．（2005年高考福建卷.文14）在△ABC 中，∠A=90°，k k 则),3,2(),1,(==的值是 23- .42．（2005年高考福建卷.理3）在△ABC 中，∠C=90°，),3,2(),1,(==AC k AB 则k 的值是 （ A ）A ．5B ．－5C ．23D ．23-43．（2005年高考福建卷.理6）函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则（ C ） A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==.44．（2005年高考江苏卷5）△ABC 中，,3,3A BC π==则△ABC 的周长为（D ）（A）)33B π++ （B）)36B π++（C ）6sin()33B π++ （D ）6sin()36B π++45．（2005年高考江苏卷10）若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+=（A ） （A ）79- （B ）13- （C ）13 （D ）7946．（2005年高考广东卷12)已知向量===x b a x b a 则且,//),6,(),3,2( 447．（2005年高考广东卷13）已知5)1cos (+ϑx 的展开式中x 2的系数与4)45(+x 的展开式中x 3的系数相等，则=ϑcos 22±48．（2005年高考浙江卷.文1) 函数y ＝sin(2x ＋6π)的最小正周期是( B )(A)2π(B) π (C) 2π (D)4π 49．（2005年高考浙江卷.文8）已知向量a ＝(x －5，3)，b ＝(2，x )，且a ⊥b ，则由x 的值构成的集合是( C )(A) {2，3} (B) {－1，6} (C) {2} (D) {6}50．（2005年高考江西卷.理5文5）设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为（ B ）A ．周期函数，最小正周期为3π B ．周期函数，最小正周期为32πC ．周期函数，数小正周期为π2D ．非周期函数 51．（2005年高考江西卷.理6文6）已知向量与则若,25)(,5||),4,2(),2,1(=⋅+=--=（ C ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 52．（2005年高考江西卷.理11）在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则△OAB 的面积达到最大值时，=θ （ D ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π53．（2005年高考江西卷.文2）已知==ααcos ,32tan则 （B ） （ ）A ．54B ．－54C ．154 D ．－5354．（2005年高考江西卷.文8）在△ABC 中，设命题,sin sin sin :AcC b B a p ==命题q:△ABC 是等边三角形，那么命题p 是命题q 的（C ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 55．（2005年高考江西卷.文11）在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θ（D ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π56．（2005年高考北京卷文15） 已知tan 2α=2，求 （I ）tan()4πα+的值； （II ）6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值．解：（I ）∵ tan2α=2, ∴ 22tan2242tan 1431tan 2ααα⨯===---; 所以tan tan tan 14tan()41tan 1tan tan 4παπααπαα+++==-- =41134713-+=-+；（II ）由(I), tan α=－34, 所以6s i n c o s 3s i n 2c o sαααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()173463()23-+=--.57．（2005年全国高考试卷一 文17） 设函数)(),0)(2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图象的一条对称轴是直线8π=x ，（1）求ϕ；（2）求函数)(x f y =的单调增区间；（3）画出函数)(x f y =在区间[0，π]上的图象. 答案：（1）34π-；（2）5[,],88k k k Z ππππ++∈58．（2005年全国高考试卷一 理17）设函数)(),0)(2sin()(x f y x f =<<-+=ϕπϕπ图象的一条对称轴是直线.8π=x（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）证明直线025=+-c y x 与函数)(x f y =的图象不相切. 答案：（1）34π-；（2）5[,],88k k k Z ππππ++∈ 59．（2005年全国高考试卷二 文17）已知a 为第二象限的角，3sin 5a =，b 为第一象限的角，5cos 13b =．求tan(2)a b -的值． 60．（2005年全国高考试卷三（四川理）(必修+选修II) 理19）ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，已知a b c 、、成等比数列，且3cos 4B =（Ⅰ）求cot cot A C +的值（Ⅱ）设32BA BC ⋅=，求a c +的值。