2019高考数学二轮复习专题对点练154-1~4-2组合练(1)

专题对点练15 4.1~4.2组合练
(限时90分钟,满分100分)
一、选择题(共9小题,满分45分)
1.设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=()
A.5
B.7
C.9
D.11
2.《九章算术》是我国第一部数学专著,下有源自其中的一个问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问金箠重几何?”其意思为:今有金杖(粗细均匀变化)长5尺,截得本端1尺,重4斤,截得末端1尺,重2斤,则金杖重()
A.18斤
B.15斤
C.13斤
D.20斤
3.已知等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=()
A.n(n+1)
B.n(n-1)
C.D.
4.公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n.若a4是a3与a7的等比中项,S8=16,则S10等于()
A.18
B.24
C.30
D.60
5.等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()
A.B.-
C.D.-
6.(2018广东深圳耀华模拟)在数列{a n}中,a1=1,a n+1=2a n-2n,则a17=()
A.-15×216
B.15×217
C.-16×216
D.16×217
7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m=()
A.3
B.4
C.5
D.6
8.在等比数列{a n}中,各项均为正数,S n是其前n项和,且满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4=()
A.9
B.15
C.18
D.30
9.在递减等差数列{a n}中,a1a3=-4.若a1=13,则数列的前n项和的最大值为()
A.B.
C.D.
二、填空题(共3小题,满分15分)
10.已知等比数列{a n},a2a4=a5,a4=8,则{a n}的前4项和S4=.
11.设等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=4,则a8的值为.
12.(2018湖北重点高中协作体模拟)定义“等积数列”,在一个数列中,如果每一项与它的后一项的积都
为同一个常数,那么这个数列叫做等积数列,这个常数叫做该数列的公积.已知数列{a n}是等积数列且a1=2,公积为10,则这个数列前21项和S21的值为.
三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分)
13.已知数列{a n}的前n项和为S n,且对任意正整数n,都有3a n=2S n+3成立.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)设b n=log3a n,求数列{b n}的前n项和T n.
14.已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足S n+n=2a n(n∈N*).
(1)证明:数列{a n+1}为等比数列,并求数列{a n}的通项公式;
(2)若b n=(2n+1)a n+2n+1,数列{b n}的前n项和为T n,求满足不等式>2 010的n的最小值.
15.已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a1=1,2S n=(n+1)a n.在数列{b n}中,b n=.
(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;
(2)求数列的前n项和T n.
专题对点练15答案
1.A解析由a1+a3+a5=3,得3a3=3,解得a3=1.故S5==5a3=5.
2.B解析由题意可知,在等差数列{a n}中,a1=4,a5=2,
则S5==15,故金杖重15斤.
3.A解析∵a2,a4,a8成等比数列,∴=a2·a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2.
∴S n=na1+d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选A.
4.C解析设等差数列{a n}的公差为d≠0.由题意,得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),即2a1+3d=0.①
∵S8=16,∴8a1+×d=16,②
联立①②解得a1=-,d=1.则S10=10××1=30.
5.C解析设数列{a n}的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q≠1.
∵当q≠1时,S3==a1·q+10a1,∴=q+10,整理得q2=9.
∵a5=a1·q4=9,即81a1=9,∴a1=.
6.A解析由题意可得,即=-,据此可得,数列是首项为,公差为-的等差数列,故+(17-1)×=-,
∴a17=-15×216.故选A.
7.C解析∵S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,∴a m=S m-S m-1=0-(-2)=2,a m+1=S m+1-S m=3-0=3.∴d=a m+1-a m=3-2=1.
∵S m=ma1+×1=0,
∴a1=-.又=a1+m×1=3,∴-+m=3.
∴m=5.故选C.
8.D解析设等比数列{a n}的公比为q>0,∵2S3=8a1+3a2,
∴2(a1+a2+a3)=8a1+3a2,
即2a1q2=6a1+a1q,即2q2-q-6=0,解得q=2.
又a4=16,可得a1×23=16,解得a1=2.
则S4==30.
9.D解析设公差为d,则d<0.由题意,得13(13+2d)=(13+d)2-4,解得d=-2或d=2(舍去),∴a n=a1+(n-1)d=15-2n.
当a n=15-2n≥0时,即n≤7.5;当a n+1=13-2n≤0时,即n≥6.5.
∴当n≤7时,a n>0.
∴
=,
∴数列的前n项和为+…+,
∴当n=6时,数列的前n项和最大,最大值为,故选D.
10.15解析设等比数列{a n}的公比为q,
∵a2a4=a1q·a4=a1·a5=a5,∴a1=1.
又a4=8,∴q3=8,∴q=2.故S4==15.
11.2解析∵等比数列{a n}的前n项和为S n,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=4,
∴
解得a1q=8,q3=-,
∴a8=a1q7=(a1q)(q3)2=8×=2.
12.72解析由数列{a n}是等积数列,且a1=2,公积为10,根据等积数列的定义,得a2=5,a3=2,由此可以知道数列{a n}的所有奇数项为2,所有偶数项为5.
故这个数列前21项和S21=7×10+2=72.
13.解 (1)在3a n=2S n+3中,令n=1,得a1=3.
当n≥2时,3a n=2S n+3,①
3a n-1=2S n-1+3,②
①-②得a n=3a n-1,
∴数列{a n}是以3为首项,3为公比的等比数列,∴a n=3n.
(2)由(1)得b n=log3a n=n,
数列{b n}的前n项和T n=1+2+3+…+n=.
14.(1)证明当n=1时,2a1=a1+1,∴a1=1.
∵2a n=S n+n,n∈N*,∴2a n-1=S n-1+n-1,n≥2,
两式相减,得a n=2a n-1+1,n≥2,即a n+1=2(a n-1+1),n≥2,
∴数列{a n+1}为以2为首项,2为公比的等比数列,
∴a n+1=2n,∴a n=2n-1,n∈N*.
(2)解b n=(2n+1)a n+2n+1=(2n+1)·2n,
∴T n=3×2+5×22+…+(2n+1)·2n,
∴2T n=3×22+5×23+…+(2n+1)·2n+1,
两式相减可得-T n=3×2+2×22+2×23+…+2·2n-(2n+1)·2n+1,
∴T n=(2n-1)·2n+1+2,∴>2 010 可化为2n+1>2 010.
∵210=1 024,211=2 048,∴满足不等式>2 010的n的最小值为10.
15.解 (1)当n≥2时,由2S n=(n+1)a n,得2S n-1=na n-1,
两式相减得2a n=(n+1)a n-na n-1,整理得.
由a n=·…··…··1=n(n≥2).
又当n=1时,a1=1,∴a n=n(n∈N*).
由b n==2n+1,∴{b n}的通项公式为b n=2n+1.
(2)由(1)得.
∴T n=+…+=1-+…+=1-.
故数列的前n项和T n=.。