专题方程组学生版

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二元一次方程组50题学生版

二元一次方程组计算50题二元一次方程组计算50题1．解方程组：．2．解方程组：．3．解方程组：．4．解方程组：．5．解方程组：．6．解方程组：．7．解方程组：8．解方程组：．9．解方程组：．10．解方程组：．11．解方程组：．12．解方程组：．13．解方程组：．14．解方程组：．15．解方程组：．二元一次方程组计算50题16．解方程组：．17．解方程组：．18．解方程组：19．解方程组：．20．解方程组：．21．解方程组：22．解方程组：．23．解方程组：．24．解方程组：．25．解方程组：．26．解方程组：．27．解方程组：．28．解方程组：．29．解方程组：．30．解方程组：31．解方程组：．32．解方程组：．二元一次方程组计算50题33．解方程组：．34．解方程组：35．解方程组：．36．解方程组：．37．解方程组：．38．解方程组：．39．解方程组：．40．解方程组：．41．解方程组：．42．解方程组：．43．解方程组：．44．解方程组：．45．解方程组：．46.解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=+--3y x 22y x 31214y x 3y x 2）（）（）（47.解方程组：⎪⎪⎪⎨⎧=---=+--11y 3x 042y 31x二元一次方程组计算50题48．解方程组：．49．解方程组：．50．解方程组：4yx 610y 2x 32y x ++=-=+。

专题12 三元一次方程组及其解法-重难点题型(举一反三)(学生版)

专题三元一次方程组及其解法-重难点题型【知识点1 三元一次方程组及解法】1．三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的的定义进行判断．2．解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题．3．当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组．【题型1 三元一次方程组的解】【例1】（2021春•零陵区期末）若二元一次方程组{2x +y =33x −y =2的解同时也是方程2x ﹣my ＝﹣1的解，那么m 的值为（）A ．﹣2B ．﹣1C ．3D ．4【变式1-1】（2021春•梁平区期末）三元一次方程组{2x =3y =6z x +2y +z =16的解是（） A ．{x =1y =3z =5B ．{x =6y =3z =2C ．{x =6y =4z =2D ．{x =4y =5z =6【变式1-2】（2021•坪山区模拟）若二元一次方程3x ﹣y ﹣7＝0，2x +3y ﹣1＝0和2x +y ﹣m ＝0有公共解，则m 的取值为（）A ．﹣2B ．﹣1C ．3D ．4【变式1-3】（2021春•高新区期末）如果方程组{x =4ax +by =5的解与方程组{y =3bx +ay =2的解相同，则a +b ＝．【题型2 用消元法解三元一次方程组】【例2】（2021春•宝山区期末）解方程组：{x −y +z =04x +2y +z =325x +5y +z =60．【变式2-1】解方程组：{3x +4y +z =14x +5y +2z =172x +2y −z =3．【变式2-2】解方程组：{x +2y +z =82x −y −z =−33x +y −2z =−1．【变式2-3】（2020•浙江自主招生）解方程组{x(y +z)=2.5，(y −1)(z +x +1)=9.5，(z +1)(x +y −1)=11.【题型3 用换元法解三元一次方程组】【例3】（2021春•南陵县期末）已知：a 3=b 5=c 7，且3a +2b ﹣4c ＝9，则a +b +c 的值等于．【变式3-1】（2020•晋江市模拟）已知方程组{x +y −5z =0x −y +z =0，则x ：y ：z ＝．【变式3-2】（2020秋•静安区月考）已知x+y 2=z+y 3=x+z 4，那么代数式x−2y+z 2x−y+z = ．【变式3-3】解方程组：{x 2=y 3=z 4①2x +y +z =22②方程组中的①式实际包含三个等式：x 2=y 3，x 2=z 4，y 3=z 4，只需任取其中两个（另一个通过这两个代换即可得），便可以与②式联立成三元一次方程组，如{3x =2y4y =3z 2x +y +z =22，然后用一般方法求解．对原方程组也可以用换元的方法来求解．令x 2=y 3=z 4=k ，则有x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ③，把③代入②，得4k +3k +4k ＝22，解得k ＝2，所以x ＝4，y ＝6，z ＝8，所以原方程组的解为{x =4y =6z =8．借鉴上述“换元法”，解方程组{x+12=y+23=z+342x +3y −z =13．【题型4 构建三元一次方程组解题】【例4】（2020秋•邛崃市期末）当x ＝﹣2时，代数式ax 2+bx +c 的值是5；当x ＝﹣1时，代数式ax 2+bx +c 的值是0；当x ＝1时，代数式ax 2+bx +c 的值是﹣4；则当x ＝2时，代数式ax 2+bx +c 的值是．【变式4-1】（2021春•和平区期末）在等式y ＝ax 2+bx +c 中，当x ＝﹣1时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝3；当x ＝5时，y ＝60，则a ＝，b ＝，c ＝．【变式4-2】（2021春•海口期末）在等式y ＝ax 2+bx +c 中，当x ＝﹣1时，y ＝0；当x ＝5时，y ＝60；当x ＝0时，y ＝﹣5．求a 2+2ab +c 2的值．【变式4-3】（2021春•崇川区校级月考）已知y ＝ax 2+bx +c ，当x ＝1时，y ＝8；当x ＝0时，y ＝2；当x ＝﹣2时，y ＝4．（1）求a ，b ，c 的值；（2）当x ＝﹣3时，求y 的值．【题型5 运用整体思想求值】【例5】（2021•苏州一模）阅读材料：善于思考的小明在解方程组{4x +10y =6①8x +22y =10②时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：解：将方程②8x +20y +2y ＝10，变形为2（4x +10y ）+2y ＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y ＝10，则y ＝﹣1；把y ＝﹣1代入①得，x ＝4，所以方程组的解为：{x =4y =−1请你解决以下问题：（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组{2x −3y =7①6x −5y =11②（2）已知x 、y 、z ，满足{3x −2z +12y =47①2x +z +8y =36②试求z 的值．【变式5-1】（2021春•金坛区期末）若2x +y +z ＝10，3x +y +z ＝12，则x +y +z ＝．【变式5-2】阅读以下材料：若x +3y +5z ＝5，x +4y +7z ＝7，求x +y +z 的值．解：x +y +z ＝3（x +3y +5z ）﹣2（x +4y +7z ）＝3×5﹣2×7＝1．答：x +y +z 的值的为1．根据以上材料提供的方法解决如下问题：若2x +5y +4z ＝6，3x +y ﹣7z ＝﹣4，求x +y ﹣z 的值．【变式5-3】（2020春•鼓楼区期中）解二元一次方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样，我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组．下面，我们就来解一个三元一次方程组：解方程组{x +y +z =2，①2x +3y −z =8，②3x −2y +z =3，③小曹同学的部分解答过程如下：解： + ，得3x +4y ＝10，④+ ，得5x +y ＝11，⑤与联立，得方程组{3x +4y =10，④5x +y =11，⑤（1）请补全小曹同学的解答过程：（2）若m 、n 、p 、q 满足方程组{m +n +p +q =42(m +n)+3p −q =163(m +n)−2p +q =6，则m +n ﹣2p +q ＝．【知识点2 三元一次方程组的应用】1．列方程组解决问题的一般步骤：（1）审题；（2）设元；（3）列方程组；（4）解方程组；（5）检验并作答. 2．列方程组时需要注意以下几方面（1）单位必须统一，例如时间单位.（2）解方程组后一定要把解代回实际问题中检验，不合题意的要舍去.【题型6 三元一次方程组的应用】【例6】汽车在平路上每小时行30千米，上坡时每小时行28千米，下坡时每小时行35千米，现在行驶142千米的路程用去4小时30分钟，回来使用4小时42分钟，问这段路中平路有多少千米？去时上、下坡各有多少千米？【变式6-1】某单位职工在植树节时去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株数是甲、丙两组的和的14，甲组植树的株数恰是乙组与丙组的和，问每组各植树多少株？【变式6-2】如图中的□、△、○分别代表一个数字，且满足以下三个等式：□+□+△+○＝17□+△+△+○＝14□+△+○+○＝13，则□、△、○分别代表什么数字？并说明理由．【变式6-3】（2020春•乐清市期末）为了推动我市消费市场快速回暖，加快消费水平复苏和振兴，市人民政府决定，举办“春暖瓯越•温享生活”消费券多次投放活动，每期消费券共可减68元，共5张，其中A型1张，B型2张，C型2张，如下表：A型B型C型满168元减38元满50元减10元满20元减5元在此次活动中，小明父母领到多期消费券．（1）若小明妈妈用三种不同类型的消费券共减了199元，已知她用了3张A型消费券，5张B型的消费券，则用了7张C型的消费券．（2）若小明父母使用消费券共减了230元．①若他们用12张三种不同类型的消费券消费，已知C型比A型的消费券多1张，请求出他们用这三种不同类型的消费券各多少张？②若他们共领到6期消费券（部分未使用），用A，B，C型中的两种不同类型的消费券消费，直接写出他们使用哪两种消费券各多少张。

专题24 二元一次方程组有整数解(学生版)

专题24 二元一次方程组有整数解【最基础最核心】1．关于,x y的二元一次方程组2420x myx y+=⎧⎨-=⎩有正整数解,则满足条件的整数m的值有（）个A．1B．2C．3D．42．若关于x，y的方程组271ax yx y+=⎧⎨-=⎩有非负整数解，则满足条件的所有整数a值的和为（）A．﹣12B．7C．8D．133．已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组210320mx yx y+=⎧⎨-=⎩有整数解，则2m的值为（）A．4B．1C．49D．4或494．已知m为整数，二元一次方程组436626x yx my-=⎧⎨+=⎩有整数解，则m的值为（）A．4 或﹣4或﹣5B．4 或﹣4或﹣13C．4 或﹣5或﹣13D．4 或﹣4或﹣5或﹣135．若关于x，y的方程组322x yx y a+=⎧⎨-=-⎩的解是正整数，则整数a的值是_____．6．关于x，y的二元一次方程组5323x yx y a+=⎧⎨+=⎩的解是正整数，试确定整数a的值为_________________.7．若关于x，y的方程组362x yx my+=⎧⎨+=-⎩①②有整数解（即x，y均为整数），则满足条件的所有负整数m的值为_____．8．已知关于x，y的方程组322(1)tx yx t y t+=⎧⎨+-=⎩，当正整数t=_____时，方程组有整数解．【能力提升】9．a取何值时(a为整数），方程组2420x ayx y+=⎧⎨-=⎩的解是正整数，并求这个方程组的解．10．方程组1327x yx y+=-⎧-=⎨⎩的解满足210(x ky k-=是常数)，()1求k的值．()2直接写出关于x，y的方程()1213k x y-+=的正整数解11．k 为正整数，已知关于x ，y 的二元一次方程组 210{320kx y x y +=-=有整数解，求2k +x +y 的平方根．【乘风破浪拓展冲刺】12．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到对应点C ，D ，连接AC ，BD ．（1）求出点C ，D 的坐标；（2）设y 轴上一点P （0，m ），m 为整数，使关于x ，y 的二元一次方程组mx 2y 23x 2y 0+=-⎧⎨-=⎩有正整数解，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若Q 点在线段CD 上，横坐标为n ，△PBQ 的面积S △PBQ 的值不小于0.6且不大于4，求n 的取值范围．13．阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2312x y +=有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由2312x y +=，得：1222433x y x -==-（x 、y 为正整数）．要使243y x =-为正整数，则23x 为正整数，可知：x 为3的倍数，从而3x =，代入2423y x =-=．所以2312x y +=的正整数解为32x y =⎧⎨=⎩．问题：（1）请你直接写出方程328x y +=的正整数解___________．（2）若63x -为自然数，则求出满足条件的正整数x 的值．（3）关于x ，y 的二元一次方程组29210x y x ky +=⎧⎨+=⎩的解是正整数，求整数k 的值．天仰2020创作文档3。

五年级奥数专题列方程解应用题(学生版)

列方程解应用题学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位有些数量关系比较复杂的应用题,用算术方法求解比较困难。

此时,如果能恰当地假设一个未知量为x（或其它字母）,并能用两种方式表示同一个量,其中至少有一种方式含有未知数x,那么就得到一个含有未知数x的等式,即方程。

利用列方程求解应用题,数量关系清晰、解法简洁,应当熟练掌握。

方程作为一种数学工具对于解题有相当大的帮助,并且在代数学中乃至整个数学中有重要的意义。

列方程与方程组解应用题关键注意以下几点：1、设未知数的主要技巧和手段：把与其他数量关系紧密的关键量设为“x”.2、用代数法来表示各个量：利用“x”表示出所有未知量或变量.3、找准等量关系,构建方程：明显的等量关系与隐含的等量关系的寻找知识梳理1、列一元一次方程解应用题方程是代数学最基本的模型,而一元一次方程是方程中最简单的种类.解一元一次方程的步骤：（1）、去分母（2）、去括号（3）、移项（4）、合并同类项（5）、系数化12、二元一次方程组列方程组解应用题的主要步骤与列方程解应用题基本没有区别,由于可以多设未知数,所以通过列方程组解应用题可以有更多的选择,但解方程组的过程更需要一些技巧方法,其中最关键的步骤是消元,“消元”顾名思义减少方程组中未知数的个数,解方程组的消元方法主要有①代入消元法.②加减消元法.加减消元法：将方程组中的某个未知数的系数调整为相等,将方程组中方程的相减达到消元目的.代入消元法：利用方程组中的某条方程得到某项未知数的代数表达式,然后将它代入方程组中的其他方程达到消元目的.消元后,把方程转化成一元一次方程求解。

3、重点难点解析重点：列方程及方程组解应用题的主要步骤：（1）仔细审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量,这个量最好能和题目中的其他量有着紧密的数量关系.（2）设这个量为x,用含x的代数式来表示题目中的其他量.（3）找到题目中的等量关系,建立方程.（4）解方程.（5）通过求到的关键量求得题目答案.难点：（1）恰当的假设未知数（2）从已知条件中寻找等量关系,列出方程或方程组并求解。

不定方程、方程组(学生版)

知识纵横不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组),•其特点是解往往有无穷多个,不能惟一确定.对于不定方程(组),我们往往限定只求整数解,甚至只求正整数解,•加上条件限制后,解就可确定.二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些复杂的不定方程(组)•常常转化为二元一次不定方程问题加以解决,与之相关的性质有:设a 、b 、c 、d 为整数,则不定方程ax+by=c 有如下两个重要命题: (1)若(a,b)=d,且d c,则不定方程ax+by=c 没有整数解;(2)若x 0,y 0是方程ax+by=c 且(a,b)=1的一组整数解(称特解),则00x x bt y y at =+⎧⎨=-⎩(t 为整数)是方程的全部整数解(称通解).解不定方程(组),没有现成的模式、固定的方法可循，•需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、分离整系数、因数分解、配方利用非负数性质、穷举、乘法公式、不等式分析等。

例题求解【例１】正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6,则m 的最大值为________.(2000年新加坡数学竞赛题)【例2】如图,在高速公路上从3千米处开始,每隔4千米设一个速度限制标志,而且从千米处开始,每隔9千米设一个测速照相机标志,则刚好在19•千米处同时设置这两种标志.问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( ).A.32千米B.37千米C.55千米D.90千米(2003年河南省竞赛题)【例3】(1)求方程15x+52y=6的所有整数解.(2)求方程x+y=x2-xy+y2的整数解. (莫斯科数学奥林匹克试题)(3)求方程11156x y z++=正整数解. (“希望杯”邀请赛试题)【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子,如果每次2粒,3粒,4粒或6粒地取出,最终盒内都剩一粒棋子;如果每次11粒地取出,那么正好取完,求盒子里共有多少粒棋子? (2002年重庆市竞赛题)【例5】中国百鸡问题:鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何? (出自中国数学家张丘建的著作《算经》)【例6】甲组同学每人有28个核桃,乙组同学每人有30个核桃,•丙组同学每人有31个核桃,三组的核桃总数是365个,问三个小组共有多少名同学?(2001年海峡两岸友谊赛试题)学力训练一、基础夯实1.已知x,y,z满足x+y=5及z2=xy+y-9,则x+2y+3z=_______.(2002年山东省竞赛题)2.已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0(xyz≠0),那么22222223657x y zx y z++++的值为________.3.用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张,每种邮票至少买一张,共有______种不同的买法.4.购买5种数学用品A1、A2、A3、A4、A5的件数和用钱总数列成下列:则5种数学用品各买一件共需_______元. (北京市竞赛题)5.希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个,其总价值为330元,•这三种球的价格分别是足球每个60元,篮球每个30元,排球每个10个,•那么其中排球有________个. (2003年温州市中考题)6.方程(x+1)2+(y-2)2=1的整数解有( ).A.1组B.2组C.4组D.无数组7.三元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有( ).A.20001999个B.19992000个C.2001000个D.2001999个 (第11届“希望杯”邀请赛试题)8.以下是一个六位数乘上一个一位数的竖式,a、b、c、d、e、f各代表一个数(不一定相同),则a+b+c+d+e+f=( ).abcdef× 4efabcdA.27B.24C.30D.无法确定 (“五羊杯”邀请赛试题)9.求下列方程的整数解: (1)11x+5y=7; (2)4x+y=3xy.10.在车站开始检票时,有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站.•检票开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站,设旅客按固定的速度增加,•检票口检票的速度也是固定的,若开放一个检票口,则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;•如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕,以便后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口? (2001年广州市中考题)11.下面是同学们玩过的“锤子、剪子、•布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”。

五年级奥数专题方程解法综合(学生版)

学科培优数学“方程解法综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲是小学数学的一个拔高,学会解方程并学以致用是本讲的主要目的,小学阶段孩子接触过最简单的一元一次方程,在这里从一元一次方程拓展到方程组和不定方程等.知识梳理一、解一元一次方程组的一般步骤(1)去括号；(2)移项；(3)未知数系数化为1,即求解。

二、解二元一次方程组的一般方法(1)代入消元法；(2)加减消元法。

三、解不定方程的一般步骤(1)用一个未知数把另一个未知数表示出来；(2)欧拉分离表示式,并求解。

注意：1. 掌握移项2. 学会使用加减消元法解方程组3. 巧妙使用欧拉分离简化求不定方程解的过程4. 方程在浓度、经济等应用题上的应用5. 不定方程在数论和周期上的应用213148y y --=-例题精讲【试题来源】【题目】12(3)7x x +-=+【试题来源】【题目】【试题来源】【题目】102.002.003.01.06.03.0-+=-x x【试题来源】【题目】【试题来源】【题目】22240(40)56555x x x x ++--⨯+=73y =100100255060x x ---=+321275x +=-32x y =⎧⎨=⎩92203410u v u v +=⎧⎨+=⎩【题目】1375x x +=+【试题来源】【题目】【试题来源】【题目】51x y x y +=⎧⎨-=⎩【试题来源】【题目】【试题来源】【题目】⎩⎨⎧=+=-172305y x y x⎩⎨⎧=+=-82573y x y x 【题目】【试题来源】【题目】2(150)5(350)0.10.060.085800x y x y -=+⎧⎨+=⨯⎩【试题来源】【题目】3434192241x y x y ⎧+=⎪--⎪⎨⎪-=⎪--⎩【试题来源】【题目】3472395978x z x y z x y z -=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩【试题来源】【题目】272829x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1531003100x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩【试题来源】【题目】4092=+y x （其中x,y 均为正整数）【试题来源】【题目】7489x y +=,（其中x 、y 均为正整数）【试题来源】【题目】180012008001600015a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩ （其中a 、b 、c 均为正整数）【试题来源】【题目】(其中x 、y 、z 均为正整数)习题演练【试题来源】【题目】132(23)5(2)x x --=--【试题来源】【题目】321432=++x x【试题来源】【题目】⎩⎨⎧=+=--1734033y x y x【试题来源】【题目】9(1)614x xy -+=+,（其中x 、y 均为正整数）【试题来源】【题目】12527x y z y z u z u v u v x v x y -+=⎧⎪-+=⎪⎪-+=⎨⎪-+=⎪-+=⎪⎩。

专题06二元一次方程组(测试)(学生版)-2023年中考一轮复习讲练测(浙江专用)

2023年中考数学总复习一轮讲练测（浙江专用）专题06二元一次方程组（测试）班级：________ 姓名：__________ 得分：_________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．本试卷所选题目为浙江地区中考真题、模拟试题、阶段性测试题.一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022•上城区一模）二元一次方程4x ﹣y ＝2的解可以是（）A ．{x =−2y =10B ．{x =−1y =2C ．{x =1y =2D ．{x =2y =−62．（2021•西湖区校级三模）解方程组{3x −2y =13x +y =3加减消元法消元后，正确的方程为（） A ．6x ﹣y ＝4 B ．3y ＝2 C ．﹣3y ＝2 D ．﹣y ＝23．（2020•温州三模）已知方程组{3a +b =53a +5b =13，则a +b 的值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．（2022春•温州期末）用加减消元法解二元一次方程组{3x −2y =7①x −y =2②时，下列方法中可以消元的是（） A ．①+② B ．①﹣② C ．①+②×2 D ．②×3﹣①5．（2022春•龙湾区期中）用代入消元法解方程组{n =m −12m +n =3，代入消元正确的是（） A ．2m ﹣m +1＝3 B ．2m +m +1＝3 C ．2m +m ﹣1＝3 D ．2m ﹣m ﹣1＝36．（2022春•西湖区校级期中）在解关于x ，y 的方程组{ax −2by =8①2x =by +2②时，小明由于将方程①的“﹣”，看成了“+”，因而得到的解为{x =2y =1，则原方程组的解为（） A ．{a =2b =2 B ．{x =2y =2 C ．{x =−2y =−3 D ．{x =2y =17．（2022春•嘉兴期中）解关于x ，y 的方程组{(a +2)x +(3b +2)y =3①(5b −1)x −(4a −b)y =7②可以用①×3﹣②，消去未知数x ，也可以用①+②×4消去未知数y ，则a ，b 的值分别为（）A ．1，﹣2B ．﹣1，﹣2C ．1，2D ．﹣1，28．（2022春•青田县校级月考）用加减法解方程组{x +3y =52x −y =4时，要使方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形．以下四种变形中正确的是（）①{2x +6y =52x −y =4②{2x +6y =102x −y =4③{x +3y =56x −3y =4④{x +3y =56x −3y =12A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④9．（2022春•杭州期中）已知关于x ，y 的方程组{x +2y =k 2x +3y =3k −1，以下结论其中不成立是（） A ．不论k 取什么实数，x +3y 的值始终不变B ．存在实数k ，使得x +y ＝0C ．当y ﹣x ＝﹣1时，k ＝1D ．当k ＝0，方程组的解也是方程x ﹣2y ＝﹣3的解10．（2022•宁波模拟）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两．问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x 两，一枚白银的重量为y 两，则可列方程组为（）A ．{9x =11y 9x −y =11y −x +13B ．{9x =11y 9x −y =11y −x −13C ．{9x =11y 8x +y =10y +x +13D ．{9x =11y 8x +y =10y +x −13 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022•黄岩区一模）方程组{x +y =12x +y =5的解是． 12．（2022•诸暨市二模）已知{x =1y =−3是方程4x ﹣ay ＝7的一个解，那么a 的值是． 13．（2022•镇海区校级二模）有甲、乙、丙三件商品，购买甲商品3件、乙商品2件、丙商品1件共需215元；购买甲商品1件、乙商品2件、丙商品3件共需185元．那么购买甲、乙、丙商品各1件时共需元．14．（2022•松阳县一模）已知关于x ，y 的二元一次方程组{x +y =a +b −6x −y =a −b +6（a ，b 为实数）．（1）若x ＝2a ﹣1，则a 的值是；（2）若x ，y 同时满足ax +by +4＝0，2x +5y ﹣ay ＝0，则a +b 的值是．15．（2022•舟山二模）如图，用图1中的a 张长方形和b 张正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，若a +b 的值在285和315之间（不含285与315），且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a 的值可能是．16．（2022•定海区校级模拟）已知关于x ，y 的二元一次方程组{a 1x +b 1y =c 1a 2x +b 2y =c 2的解是{x =2y =3，则关于x ，y 的二元一次方程组{a 1(x +y)+b 1(x −y)=2c 1a 2(x +y)+b 2(x −y)=2c 2的解为．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022•宁波模拟）解方程组：（1）{y =2x −35x −y =3；（2）{x 2+y 3=16x 3−y 4=5． 18．（2022春•青田县校级月考）已知关于x 、y 的方程组{mx −12ny =2mx +ny =5的解为{x =3y =2，求m 、n 的值． 19．（2022春•义乌市月考）当k 为何值时，方程组{3m −2n =2k 2m +7n =k −18的解m ，n 的值互为相反数？ 20．（2022春•义乌市校级月考）若方程组{3x +2y =2k 5x +4y =k +3的解x 、y 的和为﹣5，求k 的值，并解此方程组． 21．（2017•江东区模拟）某工厂接到一批服装加工业务，若由甲车间独做，可比规定时间提前8天完成，甲车间在制作完这批服装的60%后因另有任务，立即将剩余服装全部交给乙车间，结果刚好按规定时间完成，已知甲、乙两个车间每天分别制作200和120件服装，求该工厂所接的这批服装件数和规定时间．22．（2022春•长兴县期中）“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．2021年十一月初，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，当月售出了“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为32000元．十二月售出了“冰墩墩”300个和“雪容融”200个，销售总额为52000元．（1）求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；（2）已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为90元/个和60元/个．为回馈新老客户，旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若一月份销售出这两款毛绒玩具的数量与十二月一样，求该旗舰店当月销售的利润．23．（2022春•上城区校级期中）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈，建兰中学欲购置规格分别为200mL和500mL的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要80元，购买1瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要110元．（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．（2）该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10mL的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费2500元，则这批消毒液可使用多少天？（3）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将8.4L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为200mL和500mL的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗10mL，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．。

第20章专题04 数形结合之一次函数与二元一次方程组(学生

编者小k 君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。

思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。

专题04 数形结合之一次函数与二元一次方程组（学生版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．如图所示，一次函数3y kx =-（k 是常数，0k ≠）与一次函数y x b =-+（b 是常数）的图象相交于点()2,1A ，下列判断错误的是（）A ．关于x 的方程3kx x b -=-+的解是2x =B ．关于x 的不等式3x b kx -+>-的解集是2x >C ．当0x <时，函数3y kx =-的值比函数y x b =-+的值小D ．关于x ，y 的方程组3kx y x y b -=⎧⎨+=⎩的解是21x y =⎧⎨=⎩2．对于实数a ，b ，我们定义符号max {a ，b }的意义为：当a ≥b 时，max {a ，b }＝a ；当a ＜b 时，max {a ，b }＝b ；如：max {4，﹣2}＝4，max {3，3}＝3，若关于x 的函数为y ＝max （2x ﹣1，﹣x +2}，则该函数的最小值是（）A ．2B ．1C ．0D ．﹣13．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴和y 轴上，2OB OA =，AOB ∠的角平分线与OA 的垂直平分线交于点C ，与AB 交于点D ，反比例函数k y x=的图象过点C ，当ACD △面积为1时，k 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．若直线y x m =-+与直线24y x =+的交点在第一象限，则m 的取值范围是（）．A ．4m ≥B ．1m ≥-C ．4m >D ．1m >-5．已知两直线()0y kx k k =+≠与36y x =-相交于第四象限，则k 的取值范围是（）A ．60k -<<B ．30k -<<C ．3k <-D ．6k <-6．如图，在平面直角坐标系中，点()()()()1,5,4,1,,,3,4A B C m m D m m ---+，当四边形 ABCD 的周长最小时，则 m 的值为（）．A B ．32 C ．2 D ．37．如图，等腰Rt△ABC 中，BC ＝AC 为斜边向右做等腰Rt△ACD ，点E 是线段CD 的中点，连接 AE ．作线段CE 关于直线AC 的对称线段CF ，连接BF ，并延长BF 交线段AE 于点G ，则线段BG 长为（）A ．B ．C ．D ．8．已知直线l 1：y ＝kx+b 与直线l 2：y ＝﹣12x+m 都经过C （﹣65，85），直线l 1交y 轴于点B （0，4），交x 轴于点A ，直线l 2交y 轴于点D ，P 为y 轴上任意一点，连接PA 、PC ，有以下说法：△方程组12y kx b y x m =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩的解为6585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；△△BCD 为直角三角形；△S △ABD ＝6；△当PA+PC 的值最小时，点P 的坐标为（0，1）．其中正确的说法是（）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△9．在平面直角坐标系中，将函数3y x =的图象向上平移m 个单位长度，使其与36y x =-+的交点在位于第二象限，则m 的取值范围为（）A ．6m C ．2m <D ．2m >10．已知函数222y kx k =++（k 为常数，0k >）的图象经过点(),a b ，且实数a ，b ，k 满足等式：()2224212a k b b bk +++=+，则一次函数()2220y kx k k =++>与y 轴的交点坐标为（）A ．()0,2B．()1 C．(0,6- D ．()0,4二、填空题 11．如图，根据函数图象回答问题：方程组3y kx y ax b=+⎧⎨=+⎩的解为_________．12．如图，点A 是一次函数21y x =+图象上的动点，作AC △x 轴与C ，交一次函数4y x =-+的图象于B ．设点A的横坐标为m，当m=____________时，AB=1．13．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，点B（m，0）是x轴上的一个动点，过点B作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，若5ACDS=，则m的值为____________．14．若函数y＝2x+b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为4，那么b＝_______．15．如图，已知一次函数y＝－53x＋6的图像与x轴，y轴分别相交于点A、B，与一次函数y＝13x的图像相交于点C，若点Q在直线AB上，且△OCQ的面积等于12，则点Q的坐标为__________________．16．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y=x+4上的一个动点，若△EAB=△ABO，则点E的坐标为_____________．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝﹣x ﹣2与x 轴，y 轴分别交于点D ，C ．点G ，H 是线段CD 上的两个动点，且△GOH ＝45°，过点G 作GA△x 轴于A ，过点H 作HB△y 轴于B ，延长AG ，BH 交于点E ，则过点E 的反比例函数y ＝k x的解析式为_____．18．已知直线11y k x b =+与直线22y k x b =+的交点坐标为()2,3-，则直线11y k x b =-与直线22y k x b =-的交点坐标为____________．19．对于实数a ，b ，我们定义符号max{a ，b}的意义为：当a≥b 时，max{a ，b}＝a ；当a ＜b 时，max{a ，b]＝b ；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x 的函数为y ＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是_____．20．若直线112y x =-与直线31y kx k =++交于点(,)P m n ，且函数31y kx k =++的值随x 值的增大而减小，则m 的取值范围是______．三、解答题21．如图1，直线AB 的解析式为6y kx =+，D 点坐标为()8,0，O 点关于直线AB 的对称点C 点在直线AD 上．（1）求直线AD 、AB 的解析式；（2）如图2，若OC 交AB 于点E ，在线段AD 上是否存在一点F ，使ABC ∆与AEF ∆的面积相等，若存在求出F 点坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图3，过点D 的直线:l y mx b =+.当它与直线AB 夹角等于45︒时，求出相应m 的值．22．定义：图象与x 轴有两个交点的函数y ＝24(),24()x x m x x m -+≥⎧⎨+<⎩．叫做关于m 的对称函数，它与x 轴负半轴交点记为A ，与x 轴正半轴交点记为B ，（1）关于l 的对称函数y ＝24(1),24(1)x x x x -+≥⎧⎨+<⎩．与直线x ＝1交于点C ，如图． △直接写出点的坐标：A （，0）；B （，0）；C （1，）；△P 为关于l 的对称函数图象上一点（点P 不与点C 重合），当=ABC ABP S S 时，求点P 的坐标；（2）当直线y ＝x 与关于m 的对称函数有两个交点时，求m 的取值范围．23．如图1，直线11:32l y x =-+与坐标轴分别交于点A 、B ，与直线2:l y x =交于点C ．（1）求A 、C 两点的坐标；（2）如图2，若有一条垂直于x 轴的直线l 以每秒1个单位的速度从点A 出发沿射线AO 方向作匀速滑动，分别交直线1l 、2l 及x 轴于点M 、N 和Q ．设运动时间为()s t ，连接CQ ．△当2OA MN =时，求t 的值．△若四边形CMEN 为平行四边形，试求出E 点的坐标；（3）试探究在坐标平面内是否存在点P ，使得以O 、Q 、C 、P 为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直．接写出．．．t 的值；若不存在，请说明理由．24．在平面直角坐标系中，点A 坐标为(0,)n ，点B 坐标为(,0)m -，点C 坐标为(,0)m ，且m 、n 满足方程组32120m n m n +=⎧⎨-=⎩．（1）如图1，直接写出点A 和点B 的坐标；（2）如图2，在线段AB 上有一点D （点D 不与A 、B 重合），过点D 作AB 的垂线，分别交y 轴和线段AC 于点E 和点F ，连接DO ，若2AFD AOD ∠=∠，求BDO ∠的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，延长DF 交x 轴于点G ，若EO CG =，连接BF 交AO 于点K ，求点K 的坐标．25．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点．△ABO 的顶点A 在y 轴的正半轴上，且OA =16，顶点B 在x 轴正半轴上，且B （12，0），BE 是△ABO 的角平分线，且AB =20．（1）直接写出E 点坐标；（2）点D 是射线BO 上的一个动点（点D 不与点B 、点O 重合），连接DE ，设D 点的横坐标为t ，△BDE 的面积为S ，求S 与t 的关系式，并直接写出t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，如图3，当点D 在线段OB 上，连接AD ，AD 、BE 相交于点F ，过点F 作FM △AD 交AB 于点M ，FN △BE 交AB 于点N ，当S =20时，求线段MN 的长度．26．定义：如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为平面图形的一条面积等分线．（1）如图1，已知ABC ，请用尺规作出ABC 的一条面积等分线．（2）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在x 轴的正半轴上、OC 在y 轴的正半轴上，6,4OA OC ==．△请判断直线4833y x =-是否为矩形OABC 的面积等分线，并说明理由； △若矩形OABC 的面积等分线与坐标轴所围成的三角形面积为4，请直接写出此面积等分线的函数表达式．（3）如图3，在ABC 中，点A 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()4,3，点C 的坐标为()2,0，点D 的坐标()0,2-，求过点D 的一条ABC 的面积等分线的解析式．（4）在ABC 中点A 的坐标为()1,0-，点B 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()0,1，直线()0y ax b a =+>是ABC 的一条面积等分线，请直接写出b 的取值范围．27．平面直角坐标系中，直线11:32l y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线2:2l y kx k =+与x 轴交于点C ，与直线1l 交于点P ．（1）当1k =时，求点P 的坐标；（2）如图1，点D 为PA 的中点，过点D 作DE x ⊥轴于E ，交直线2l 于点F ，若2DF DE =，求k 的值；（3）如图2，点P 在第二象限内，PM x ⊥轴于M ，以PM 为边向左作正方形PMNQ ，NQ 的延长线交直线1l 于点R ，若PR PC =，求点P 的坐标．28．已知：在平面直角坐标系中，直线4x =与直线(1)2y m x m =+-交于点A ．（1）请证明：无论m 为何值，直线(1)2y m x m =+-，总经过点()2,2．（2）当12m =-时，求点A 的坐标．（3）函数1(04)y x x=<≤的图像与直线4x =、直线(1)2y m x m =+-围成的封闭区域（不含边界）为W ，横纵坐标都为整数的点叫做整点．△当12m =-时，画出函数图像，并直接写出区域W 内整点的个数． △当区域W 内恰好有三个整点时，直接写出m 的取值范围．29．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣0.5x ＋2与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B ，与直线y ＝x 交于点C 、P （m ，0）为x 轴上一动点（P 不与原点重合），过P 作x 轴垂线与直线y ＝x 和y ＝﹣0.5x ＋2分别交于点M 和点N ，过N 作x 轴的平行线交直线y ＝x 于D ．（1）求C 点坐标；（2）求当MN ＝OB 时，m 的值；并直接写出此时四边形COPN 的面积＝；（3）直接写出当DN ＝2NP 时，m 的值＝；（4）过D 作y 轴平行线交直线AB 于点E ，P 点在运动过程中，MN DE的值＝．x+3，与x轴、y轴30．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣12分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．（1）求出点A、点B的坐标；（2）求△COB的面积；（3）在y轴上是否存在一点P，使得△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．。

专题7 二元一次方程组及其解法-重难点题型(举一反三)(学生版)

专题2.1 二元一次方程组及其解法-重难点题型【知识点1 二元一次方程（组）的概念】1、二元一次方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

【题型1 二元一次方程（组）的概念】【例1】（2021春•常德期末）若方程（n ﹣1）x |n |﹣3y m ﹣2025＝5是关于x ，y 的二元一次方程，则n m ＝．【变式1-1】（2021春•平凉期末）方程组{y −(a −1)x =5y |a|+(b −5)xy =3是关于x ，y 的二元一次方程组，则a b 的值是．【变式1-2】（2017春•长宁县月考）已知方程组{3x −(m −3)y |m−2|−2=1(m +1)x =−2是二元一次方程组，求m 的值．【变式1-3】（2021春•自贡期末）已知关于x 、y 的方程（k 2﹣4）x 2+（k +2）x +（k ﹣6）y ＝k +8，试问：①当k 为何值时此方程为一元一次方程？②当k 为何值时此方程为二元一次方程？【知识点2 二元一次方程（组）的解】3、二元一次方程的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

4、二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

5、二元一次方程组的解法（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法【题型2 二元一次方程（组）的解】【例2】（2021春•开福区月考）已知关于x ，y 的二元一次方程组{mx +2y =103x −2y =0的解中x ，y 均为整数，且m 为正整数，则m 2﹣1的值为（）A ．3或48B ．3C ．4或49D ．48【变式2-1】（2021春•嵊州市期末）关于x ，y 的二元一次方程组{x +y =9k x −y =5k的解也是二元一次方程2x +y ＝16的解，则k 的值为．【变式2-2】（2021春•遂宁期末）关于x ，y 的二元一次方程2x +3y ＝12的非负整数解有组．【变式2-3】（2020春•永定区期中）若{x =2y =1是二元一次方程ax ﹣by ＝5和ax +2by ＝8的公共解，求b ﹣2a 的值．【题型3 构建二元一次方程组】【例3】（2021春•江津区期末）如果|x ﹣y ﹣3|+（x +3y +1）2＝0，那么x ，y 的值为（）A ．{x =1y =2B ．{x =2y =−1C ．{x =−1y =−2D ．{x =−2y =−1 【变式3-1】（2020•奉贤区三模）如果单项式x 4y m ﹣n 与2019x m +n y 2是同类项，那么m +n 的算术平方根是．【变式3-2】（2021春•海陵区期末）已知a 、b 都是有理数，观察表中的运算，则m ＝．a 、b 的运算a +b a ﹣b （a +2b ）3 运算的结果 5 9 m【变式3-3】（2021春•三门峡期末）对于有理数x ，y ，定义一种新运算：x ⊕y ＝ax +by ﹣5，其中a ，b 为常数．已知1⊕2＝9，（﹣3）⊕3＝﹣2，则2a ﹣b ＝．【题型4 整体换元求值】【例4】（2021春•绥棱县期末）已知x ，y 满足方程组{2x +5y =m −145x +2y =−m，则11x +11y 的值为（） A ．﹣22 B ．22 C ．11m D ．14【变式4-1】（2021•安徽二模）若x 2﹣y 2＝2021，且x ﹣y ＝1．则x ＝．【变式4-2】（2021春•自贡期末）阅读以下材料：解方程组{x −y −1=0①4(x −y)−y =5②．解：由①得x ﹣y ＝1③，将③代入②得4×1﹣y ＝5，解得y ＝﹣1；把y ＝﹣1代入①解得{x =0y =−1，这种方法称为“整体代入法”．请你用这种方法解方程组{2x −y −2=0①6x−3y+45+2y =12②．【变式4-3】（2021春•福州期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组{2x +5y =3①4x +11y =5②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x +10y +y ＝5即2（2x +5y ）+y ＝5③，把方程①代入③得：2×3+y ＝5，∴y ＝﹣1，把y ＝﹣1代入①得x ＝4，∴方程组的解为{x =4y =−1．请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组{3x −2y =5①9x −4y =19②；（2）已知x ，y 满足方程组{3x 2−2xy +12y 2=47①2x 2+xy +8y 2=36②，求x 2+4y 2与xy 的值；（3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解．【题型5 由方程组的错解问题求参数的值】【例5】（2020春•定州市校级期末）解方程组{ax +by =2cx −7y =8时，一学生把c 看错而得{x =−2y =2，正确的解是{x =3y =−2，那么a 、b 、c 的值是（）A ．不能确定B ．a ＝4，b ＝5，c ＝﹣2C ．a ，b 不能确定，c ＝﹣2D ．a ＝4，b ＝7，c ＝2【变式5-1】（2020春•牡丹江期中）甲乙两人解方程组{ax +5y =15，①4x −by =−2，②，由于甲看错了方程①中的a ，而得到方程组的解为{x =−3y =−1，乙看错了方程②中的b ，而得到的解为{x =5y =4，则a +b ＝．【变式5-2】（2021春•青川县期末）解关于x ，y 的方程组{ax +by =93x −cy =−2时，甲正确地解出{x =2y =4，乙因为把c 抄错了，误解为{x =4y =−1，求a ，b ，c 的值．【变式5-3】（2020春•邗江区期末）小明和小红同解同一个方程组时，小红不慎将一滴墨水滴在了题目上使得方程组的系数看不清了，显示如下{▲x +■y =2(1)▲x −7y =8(2)，同桌的小明说：“我正确的求出这个方程组的解为{x =3y =−2”，而小红说：“我求出的解是{x =−2y =2，于是小红检查后发现，这是她看错了方程组中第二个方程中x 的系数所致”，请你根据他们的对话，把原方程组还原出来．【题型6 根据方程组解的个数求参数】【例6】（2021春•江夏区期末）如果关于x ，y 的方程组{x +y =3x −2y =a −2的解是正数，那a 的取值范围是（） A ．﹣4＜a ＜5 B ．a ＞5 C ．a ＜﹣4 D ．无解【变式6-1】（2020秋•锦江区校级期中）若方程组{ax −y =14x +by =2有无数组解，则a +b ＝（） A ．2 B ．3 C ．﹣1 D ．0【变式6-2】（2021春•仓山区期中）关于x ，y 的方程（m ﹣1）x +4y ＝2和3x +（n +3）y ＝1，下列说法正确的有．（写出所有正确的序号）①当m ＝1，n ＝﹣3时，由这两个方程组成的二元一次方程组无解；②当m ＝1且n ≠﹣3时，由这两个方程组成的二元一次方程组有解；③当m ＝7，n ＝﹣1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有无数个解；④当m ＝7且n ≠﹣1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有且只有一个解．【变式6-3】（2021春•汉寿县期中）阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2x +3y ＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由2x +3y ＝12，得：y =12−2x 3=4−23x （x 、y 为正整数）．要使y ＝4−23x 为正整数，则23x 为正整数，可知：x 为3的倍数，从而x ＝3，代入y ＝4−23x ＝2．所以2x +3y ＝12的正整数解为{x =3y =2．问题：（1）请你直接写出方程3x +2y ＝8的正整数解 {x =2y =1．（2）若6x−3为自然数，则满足条件的正整数x 的值有A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个（3）关于x ，y 的二元一次方程组{x +2y =92x +ky =10的解是正整数，求整数k 的值．。

三元一次方程组计算练习90道(学生版)

三元一次方程组专项练习90题（学生版）1．．2．．3．4．．5.6．．7．8．．9．．10．．11．．12．．13．．14．．15．．16．．17．．18．．19．．20．．21．．22．．23．．24．已知方程组的解能使等式4x﹣6y=10成立，求m的值．25．当a 为何值时，方程组的解x、y的值互为相反数．26．27．．28．29．已知方程组的解x、y的和为12，求n的值．30．已知方程组的解满足3x﹣4y=14，求a的值．31．（1）（2）．32．．33．．34．．35．．36．．37.．38．在y=ax2+bx+c中，当x=0时，y=﹣7；x=1时，y=﹣9；x=﹣1时，y=﹣3，求a、b、c的值．39．．40．41．42．．43．．44．．45．46．．47．；48．．49．．50．51．．52．．53．．54．．55．．56．若，求x，y，z的值．57．对于等式y=ax2+bx+c，有三对x，y 的值；；能使等式两边值相等，试求a，b，c的值．58．59．已知关于x，y 的方程组的解也是方程4x﹣y=﹣9的解，求k的值．60．方程组的解也是方程4x﹣3y+k=0的解，求k的值．61．已知等式y=ax2+bx+c，且当x=1时y=2；当x=﹣1时y=﹣2；当x=2时y=3，你能求出a，b，c的值吗？62．当x=1，x=2，x=4时，代数式ax+bx+c的值分别是﹣4，3，35，求a，b，c的值．63．已知关于x，y 的方程组的解满足3x+15y=16+2k，求k．64．在等式y=ax2+bx+c中，当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60．求a、b、c的值．65．（1）（2）．66．（1）；（2）．67.（1）；（2）．68．k 取何值时，方程组的解满足5x﹣3y=0？69．．70．71．72．．73．．74．若三元一次方程组的解使ax+2y﹣z=0，求a的值．75．已知：，求x，y，z的值．76．已知代数式ax2+bx+c，当x=1时，其值为﹣4；当x=7时，其值为8；当x=5时，其值为0，求a、b、c的值．77．（1）（2）．78．若方程组的解满足x+y=0，试求m的值．79．（1）；（2）．80．（1）（2）（3）（4）．81．在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=0；当x=2时，y=4；当x=3时，y=10．当x=4时y的值是多少？82．已知x、y同时满足下列三个等式：①5x+2y=a，②3x﹣2y=7a，③4x+y=a+1．求a的值．83．a为何值时，方程组的解x、y的值互为相反数，求出a的值，并求出方程组的解．84．在代数式at2+bt+c中，当t=1，2，3时，代数式的值分别是0，3，28，求当t=﹣1时，求这个代数式的值．85．86．已知（a﹣2b﹣4）2+（2b+c）2+|a﹣4b+c|=0，求3a+b﹣c的值．87．已知：x+2y﹣z=9，2x﹣y+8z=18，求x+y+z的值．89．已知正实数a、b、c 满足方程组，求a+b+c的值90．解方程组．。

专题七：直线、圆与方程、轨迹方程-学生版2

专题七：直线与方程、圆与方程、轨迹方程2.24-2.25一、直线与方程【知识点一：倾斜角与斜率】（1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。

②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00 ③倾斜角α的范围000180α≤< （2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在.记作tan k α=0(90)α≠⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k ==⑵当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在.②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=-③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （3）求斜率的一般方法：①已知直线上两点，根据斜率公式212121()y y k x x x x -=≠-求斜率；②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率；（4）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。

【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；（由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。

如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直.）【知识点三：直线的方程】（1）直线方程的几种形式问题：过两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线是否一定可用两点式方程表示？【不一定】 (1)若1212x x y y =≠且，直线垂直于x 轴,方程为1x x =； (2)若1212x x y y ≠=且，直线垂直于y 轴,方程为12y y =； (3)若1212x x y y ≠≠且，直线方程可用两点式表示直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式；利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：方程的条件限制为0,0a b ≠≠，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度.截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。

第八章二元一次方程组专题复习(学生版)

第八章二元一次方程组专题复习（学生版）一．知识网络结构二．知识要点剖析知识点一:二元一次方程（组）有关概念1.（1）二元一次方程:含有_____未知数，且未知项的次数为___，这样的方程叫二元一次方程。

（2）二元一次方程的解：能使二元一次方程________的一对未知数的值叫做二元一次方程的解，通常用________的形式表示，任何一个二元一次方程都有________解。

2．（1）二元一次方程组：由_____或________且方程组中仅含有_______的未知数一次方程组成。

（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的_______，叫做二元一次方程组的解。

3．三元一次方程组：由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。

知识点二.二元一次方程（组）的基本解法：（1）_______消元法（2）_______消元法 1.解二元一次方程组的思路：二元一次方程组____________一元一次方程。

2.解二元一次方程组的一般步骤：当方程组中有一个未知数的系数为1（或一1）或方程组中有1个方程的常数项为0时，选用_______消元法；当同一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用______消元法较简单。

知识点三.列一次方程组解应用题列二元一次方程组解应用题的一般步骤：概括为“______________________________”五步.三.考点典型例析考点1.等式变形1.如果2x-7y=8，那么用含y 的代数式表示x 正确的是（） A.y=72-8x B.y=782+x C.x=278y + D.x=278y- 2.由方程组可得出x 与y 的关系是（）A.2x+y=4B.2x ﹣y=4C.2x+y=﹣4D.2x ﹣y=﹣4考点2.二元一次方程（组）的概念1．下列选项中，是二元一次方程的是( )A ．xy ＋4x ＝7B ．π＋x ＝6C ．x －y ＝1D ．7x ＋3＝5y ＋7z2．下列方程组：①⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x ＋y ＝2；②⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，y ＝1；③⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x ＋3z ＝－2；④⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. 其中是二元一次方程组的有____________．(填序号即可)3．若一个二元一次方程组的解为，则这个方程组可以是（只要求写出一个）4.若x|2m －3|＋(m －2)y ＝6是关于x ，y 的二元一次方程，则m 的值是( ) A ．1B ．任何数C ．2D ．1或25.已知关于x ，y 的方程x 2m ﹣n ﹣2＋4ym ＋n ＋1＝6是二元一次方程，则m ，n 的值为_______.6.下列说法正确的是（） A.是方程的一个解 B.是二元一次方程组C.方程可化为D.当a 、b 是已知数时，方程的解是考点3.二元一次方程(组)的解1.写出方程x ＋2y ＝5的正整数解___________．2.若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＝5，y －x ＝1有正整数解，则正整数a 为( )A ．1，2B ．2，5C ．1，5D ．1，2，53.如果⎩⎨⎧==13-y x 是方程ax+（a ﹣2）y=0的一组解，则a 的值（）A. 1B. 2C. ﹣1D. ﹣2 4.不解方程组，观察下列方程组无解的一组是（）二元一次方程二元一次方程组的概念二元一次方程组的解法二元一次方程组的应用三元一次方程组____消元法____消元法解一元一次方程组A.⎩⎨⎧-=+=+2212y x y x B.⎩⎨⎧-=+=-42412y x y x C.⎩⎨⎧=+=+224336y x y x D.⎩⎨⎧-=+-=-22412y x y x5.以方程组的解为坐标的点（x ，y ）在第_____象限．6.已知是方程组的解，则间的关系是（）.A.B.C.D.7.小亮解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则两个数●与★的值为（）A ．B ．C ．D ．8.若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，2x －ay ＝5的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b ，y ＝1，则a b 的值为______． 9.已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为( )A ．4B ．2C ．D ． ±210.若二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+ay x ay x 93的解是二元一次方程2x ﹣3y+12=0的一个解，则a 的值是（）A.43 B.-74 C.47 D.-34 11.若方程组与有相同的解，则a= ，b= .12.已知方程组的解满足x+y=2，则k 的算术平方根为（）A ．4B ．﹣2C ．﹣4D ．213.若方程组的解是则方程组的解为 .14.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝2，cx －7y ＝8时，一学生把c 看错而得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，而正确的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2，那么a ，b ，c 的值是( )A ．不能确定B ．a ＝4，b ＝5，c ＝－2C ．a ，b 不能确定，c ＝－2D ．a ＝4，b ＝7，c ＝2 考点4.解二元一次方程组 1.解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝5，①3x －2y ＝－1；② (2)⎩⎨⎧=+=+2.54.22.35.12y x y x(3)⎩⎨⎧3（x ＋y ）－4（x －y ）＝6，x ＋y 2－x －y 6＝1. (4)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，3x －z ＝7，x －y ＋3z ＝02.用代入法解方程组有以下步骤：①：由（1），得y ＝（3）；②：由（3）代入（1），得7x ﹣2×＝3；③：整理得3＝3；④：∴x 可取一切有理数，原方程组有无数个解以上解法，造成错误的一步是（）A ．① B ．② C ．③ D ．④ 3.有加减法解方程3210415x y x y -=⎧⎨-=⎩①②时，最简捷的方法是（）A ．①×4﹣②×3，消去xB ．①×4+②×3，消去xC ．②×2+①，消去yD ．②×2﹣①，消去y 4.已知，则.5.若与的和是单项式，则( ).A. B.C. D.6.已知代数式x 2+bx+c ，当x=1时，它的值是2；当x=-1时，它的值是8；则b= ，c= 。

方程与代数3-方程与不等式-学生版

考点34：分式方程、无理方程的概念
【样题】
杨浦3：下列关于x的方程一定有实数解的是（）
（Ａ）；（Ｂ）；
（Ｃ）；（Ｄ）；
考点35：分式方程、无理方程的解法
奉贤9：方程的根是；
浦东9：方程的解是；
浦东10：如果关于x的方程的一个根为3，那么a=；
静安12：如果 ,那么；
静安20：解方程：；
静安9：如果关于的方程有两个实数根，那么的取值范围是；
黄浦10：如果关于x的一元二次方程有两个相同的实数根，那么k的值是_____；
闵行9：已知关于x的一元二次方程有两个实数根，那么m的取值范围
是；
松江10：已知关于x的方程有两个相等的实数根，那么m=____；
考点32：整式方程的概念
（1）知道整式方程的概念；（2）了解整式方程的“元数”和“次数”的意义.
中考二模复习代数复习3——方程与不等式
知识精要
一、一次方程（组）
1、只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程。
2、含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
3、解一次方程组的一般方法有加减消元法和代入消元法。
二、一元一次不等式（组）
1、用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。
卢湾9：方程的解是；
卢湾20：解方程：；
黄浦11：方程的解是_______________；
闵行3：用换元法解分式方程，如果设，那么原方程化为关于y的整式方程是
（A）；（B）；（C）；（D） .；
闵行10：方程的解是；
长宁20：解方程: ；
松江3：用换元法解分式方程，如果设y＝，那么原方程可化为关于y的整式方程是

专题06 二元一次方程组实际应用的五种考法(学生版)-2023年初中数学7年级下册同步压轴题

专题06 二元一次方程组实际应用的五种考法类型一、利润问题例．某商场用相同的价格分两次购进A型和B型两种型号的电脑，前两次购进情况如下表．(1)求该商场购进A型和B型电脑的单价各为多少元？(2)已知商场A型电脑的标价为每台4000元，B型电脑的标价为每台6000元，两种电脑销售一半后，为了促销，剩余的A型电脑打九折，B型电脑打八折全部销售完，问两种电脑商场获利多少元？【变式训练1】某商场第1次用39万元购进A，B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如表(总利润=单价利润×销售量)：(1)该商场第1次购进A，B两种商品各多少件？(2)商场第2次以原进价购进A，B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原售价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5.4万元，则B种商品是按几折销售的？、两种品牌篮球共80个，已知购买A品牌篮球的总价比购买B品牌【变式训练2】某商场从厂家购进了A B篮球总价的2倍还多200元，A品牌篮球每个进价100元，B品牌篮球每个进价80元．(1)求购进A B、两种品牌篮球各多少个？(2)在销售过程中，A品牌篮球每个售价150元，售出30个后出现滞销；商场决定打折出售剩余的A品牌篮球，B品牌篮球每个按进价加价20%销售，很快全部售出，两种品牌篮球全部售出后共获利2080元，求A品牌篮球打几折出售？【变式训练3】平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50%；乙种商品每件进价50元，售价80元．(1)甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品所赚利润______元；(2)若该商场进货时同时购进甲、乙两种商品共62件，恰好总进价为2600元，求购进甲、乙商品各多少件？如果这些商品全部出售，商场共获利多少元？(3)在“五一”期间，该商场只对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在商场购买乙种商品多少件？【变式训练4】饮品店的老板为了吸引顾客，推出两种新产品，冰淇淋红茶和热可可，以下是这两种新饮品在一周内的销售情况：老板将这两种新饮品每天销售的总成本记录如下：(1)根据以上信息，将上面的表格补充完整；(2)在试推广阶段，老板将冰淇淋红茶和热可可的售价均定为20元，平均每天卖出160杯冰淇淋红茶和200杯热可可．随着天气越来越炎热，人们对饮品的需求量逐渐增多，老板对饮品的价格进行了调整．如果将a，销售量仍会上涨25%，如果将热可可的售价下降10%，销售量依然会下降10%．经冰淇淋红茶的售价上涨%过计算，这样调整价格后的总利润比原来平均每天的总利润多了440元，求a的值．类型二、方案问题例．某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？(2)如果工厂招聘()010n n <<名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？【变式训练1】一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案?(3)在(2)的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．【变式训练2】某企业有A ，B 两条加工相同原材料的生产线，在一天内，A 生产线共加工a 吨原材料，加工时间为()41a +小时；在一天内，B 生产线共加工b 吨原材料，加工时间为()23b +小时． (1)当1a b ==时，两条生产线的加工时间分别时多少小时？(2)第一天，该企业把5吨原材料分配到A ．B 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的的吨数是多少？(3)第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A 生产线分配了m 吨原材料，给B 生产线分配了n 吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m 和n 有怎样的数量关系？若此时m 与n 的和为6吨，则m 和n 的值分别为多少吨？【变式训练3】一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A 型零件和3个B 型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A 型零件或者3个B 型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套．(1)工厂每天应安排多少名工人生产A 型零件?每天能生产多少套产品?(2)现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A 型零件的加工，且每人每天只能加工4个A 型零件．①设每天安排x 名熟练工人和m 名新工人生产A 型零件，求x 的值(用含m 的代数式表示) ②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务?【变式训练4】今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用2辆A 型车和1辆B 型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨，某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．(1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案；(3)若A型车每辆需租金每次100元，B型车租金每次120元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．类型三、几何图形问题例．如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为212m的矩形劳动基地ABCD，边AD的长不超过墙的长度，在BC边上开设宽为1m的门EF(门不需要消耗篱笆)．设AB的长为x(m)，BC的长为y(m)．(1)若围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长为10m，求AB和BC的长度．(2)若AB和BC的长都是整数(单位：m)，且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案．【变式训练1】现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形(图中阴影部分)区域种植鲜花．(1)如图1，大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，求小长方形的相邻两边长．(2)如图2，设大长方形的相邻两边长分别为a和b，小长方形的相邻两边长分别为x和y．①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的1，求x和y满足的关系式(不含a，b)．2【变式训练2】某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，(单位：cm)(1)列出方程(组)，求出图甲中a与b的值______．(2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．①两种裁法共产生A型板材______张，B型板材______张(用m、n的代数式表示)；②当3040≤≤时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是______个．(在m横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程)【变式训练3】某工厂将一批纸板按甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒．．．．. 设x块纸板按甲方式进行加工，y块纸板按乙方式进行加工.(1)补全表格.(2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的A，B板块恰好用完．．．．，能做多少个礼盒？(3)若现有B板块4块，纸板a块，要使礼盒制作完毕后的A，B板块恰好用完．．．．，则a的最小值为___________. (请直接写出答案)【变式训练4】(1)如图1，已知A、B两个边长不相等的正方形纸片并排放置，若m=7，n=3，试求A、B两个正方形纸片的面积之和．(2)如图1，用m、n表示A、B两个正方形纸片的面积之和为．(请直接写出答案)(3)如图2，若A、B两个正方形纸片的面积之和为5，且图2中阴影部分的面积为2，试求m、n的值．(4)现将正方形纸片A、B并排放置后构造新的正方形得图3，将正方形纸片B放在正方形纸片A的内部得图4，若图3和图4中阴影部分的面积分别为12和1，则A、B两个正方形纸片的面积之和为．类型四、行程问题例．如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍，现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品制作过程中有损耗)卖到B地，两次运输(第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂B→地)共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/(千米⋅吨)，铁路运费为1元/(千米⋅吨)．(1)求该食品厂到A地，B地的距离分别是多少千米？(2)求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？(3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？(利润=总售价-总成本-总运费)【变式训练1】小华从家里出发到学校去上学，前15路段小华步行，其余路段小华骑自行车．已知小华步行的平均速度为60m/min，骑自行车的平均速度为200m/min，小华从家里到学校一共用了22min．(1)小红同学提出问题：小华家里离学校有多少m？前15路段小华步行所用时间是多少min？请你就小红同学提出的问题直接设出未知数列方程组进行解答．(2)请你再根据题目的信息，就小华走的“路程”或“时间”，提出一个能用二元一次方程组解答但与第(1)问不完全相同的问题，并设出未知数、列出方程组．【变式训练2】货车从A地出发将一批防疫物资运往B地．A、B两地相距164千米，货车匀速行驶一段路程后，出现了故障，司机师傅立刻抢修，排除了故障后，继续运送物资赶往B地．已知货车离开A地行驶的路程y(km)与离开A的时间x(h)之间的函数关系如图所示．(1)填表：(分别写出①、②、③处的数据)(2)填空：①货车行驶km时出现的故障；②修车所用的时间为h；③货车如果没出现故障，一直匀速行驶，会比实际早到多长时间？【变式训练3】马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米．如下是关于某市今年全程马拉松比赛的部分信息．①在起点，沿途每隔5千米处及终点提供水，运动饮料，水果等补给，最后两个补给站之间为2千米；②在起点，终点和沿途等距离设置若干个固定医疗站若每个补给站安排1个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排2个值班员，则需要64个值班员；若每个补给站安排2个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排3个值班员，则需要99个值班员．(1)本次马拉松比赛共设置______个补给站；(2)沿途中，每两个固定医疗站之间距离是多少？(3)沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点多少千米？【变式训练4】“滴滴打车”深受大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/千米计算，耗时费按q元/分钟计算，小明、小亮两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如表：(1)求p，q的值；(2)“滴滴”推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费．某天，小丽两次使用“滴滴打车”共花费52元，总里程20千米，已知两次“滴滴打车”行驶的平均速度为40千米/小时，求小丽第一次“滴滴打车”的里程数？类型五、工程问题例．目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？(2)如果工厂抽调n (0＜n ＜5)名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？【变式训练1】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？(可用(1)、(2)问的条件及结论)【变式训练2】杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？(2)若公司原有熟练工m 人，现招聘n 名新工人(6)m n >>，使得最后能刚好一个月(30天)完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求m 的值．【变式训练3】青山化工厂与A 、B 两地有公路、铁路相连这家工厂从A 地购买一批每吨1000元的原料经铁路120km 和公路10km 运回工厂，制成每吨8000元的产品经铁路110km 和公路20km 销售到B 地，已知铁路的运价为1.2元/(吨·千米)，公路的运价为1.5元/(吨·千米)，且这两次运输共支出铁路运124800元，公路运费19500元．(1)设原料重x吨，产品重y吨，根据题中数量关系填写下表(表格内填化简的结果)．根据上表列方程组求原料和产品的重量．(2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？【变式训练4】一家商店进行门店升级需要装修，装修期间暂停营业，若请甲乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？(2)已知甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？(3)装修完毕第二天即可正常营业，且每天仍可盈利200元(即装修前后每天盈利不变)，你认为商店应如何安排施工更有利？说说你的理由．(可用(1)(2)问的条件及结论)。

《二元二次方程组》培优学生版附答案

《二元二次方程组》培优学生版附答案二元二次方程组培优学生版附答案一、基础知识回顾1. 二元二次方程组的一般形式二元二次方程组的一般形式为：$$\begin{cases}ax^2+bx+c=0\\dx^2+ex+f=0\end{cases}$$其中，$a,b,c,d,e,f$ 都是已知实数且 $a,b,d,e$ 不全为零，$x,y$ 是未知实数。

2. 解二元二次方程组解二元二次方程组的一般步骤为：（1）将一个方程的$x$ 用另一个方程表示，代入另一个方程，得到一个只含 $y$ 的一元二次方程。

（2）解出 $y$。

（3）将求得的 $y$ 带入步骤（1）中任一方程，解出 $x$。

二、例题详解例题1解二元二次方程组：$$\begin{cases}x^2+y^2=4\\3x^2-2y^2=2\end{cases}$$解：（1）将第一个方程中 $x^2$ 用第二个方程表示，有$$\begin{aligned}3x^2 &= 2y^2+2 \\y^2 &= \frac{3}{2}x^2-1\end{aligned}$$（2）将上式代入第一个方程，有$$\begin{aligned}x^2+\frac{3}{2}x^2-1 &= 4 \\x^2 &= \frac{2}{5}\end{aligned}$$代入$y^2=\frac{3}{2}x^2-1$，得到$y=\pm\frac{2}{\sqrt{5}}$。

因此，原方程组的解为$$\left(\frac{\sqrt{10}}{5},\frac{2}{\sqrt{5}}\right), \left(-\frac{\sqrt{10}}{5}, -\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$$例题2解二元二次方程组：$$\begin{cases}x^2+2y^2=9\\3x^2-4y^2=4\end{cases}$$解：（1）将第一个方程中 $x^2$ 用第二个方程表示，有$$ \begin{aligned}3x^2 &= 4y^2+4 \\x^2 &= \frac{4}{3}y^2+\frac{4}{3}\end{aligned}$$（2）将上式代入第一个方程，有$$\begin{aligned}\frac{4}{3}y^2+\frac{16}{3}+2y^2 &= 9 \\y^2 &= \frac{1}{2}\end{aligned}$$代入 $x^2=\frac{4}{3}y^2+\frac{4}{3}$，得到$x=\pm\frac{5}{\sqrt{6}}$。

专题04 方程(组)及其应用(8大考点)(学生版)

第二部分方程（组）与不等式（组）专题04方程（组）及其应用（8大考点）核心考点核心考点一等式的基本性质核心考点二一元一次方程的解法及其应用核心考点三二元一次方程组的解法及其应用核心考点四分式方程的解法及其应用核心考点五一元二次方程及其解法核心考点六一元二次方程根的判别式核心考点七一元二次方程根与系数的关系核心考点八一元二次方程的实际应用新题速递核心考点一等式的基本性质（2022·青海·中考真题）下列说法中，正确的是（）A ．若ac bc =，则a b =B ．若22a b =，则a b =C ．若a bc c=，则a b =D ．若163x -=，则2x =（2021·安徽·中考真题）设a ，b ，c 为互不相等的实数，且4155b ac =+，则下列结论正确的是（）A ．a b c>>B ．c b a>>C ．4()a b b c -=-D ．5()a c ab -=-（2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：设任意一个实数为x ，令x m =，等式两边都乘以x ，得2x mx =．①等式两边都减2m ，得222x m mx m -=-．②等式两边分别分解因式，得()()()x m x m m x m +-=-．③等式两边都除以x m -，得x m m +=．④等式两边都减m ，得x ＝0.⑤所以任意一个实数都等于0.以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______．知识点、等式的基本性质（注意:等式的基本性质是解方程的依据）基本性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),所得结果仍是等式.基本性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为零的数),所得结果仍是等式.性质3：如果a b =，那么b a =（对称性）性质4：如果a b =，b c =，那么a c =（传递性）【变式1】（2022·安徽·合肥市五十中学西校三模）已知实数a ，b ，c 满足2a c b +=，112a c b+=．则下列结论正确的是（）A ．若0a b >>，则0c b >>B ．若1ac =，则1b =±C ．a ，b ，c 不可能同时相等D ．若2a =，则28b c=【变式2】（2022·安徽芜湖·二模）已知三个实数a ，b ，c 满足0,,22+--+++≠==a b c a b ca b c a c ，则下列结论不成立的是（）A ．0b =B ．0c =C ．a b=D ．a b≠-【变式3】（2022·贵州黔西·二模）已知23x y =，则x y y+=______.【变式4】（2021·江苏·正衡中学一模）设实数a 、b 、c 满足3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c a c c a b++++++++=_______．【变式5】（2022·江西·石城县教育局教研室二模）已知0a b c ++=，且0b c c a a ba b c---++=，求证：2222220bc b c ca c a ab a bb c c a a b +-+-+-++=．核心考点二一元一次方程的解法及其应用（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程12123x x +--=的步骤如下：解：方程两边同乘6，得()()31122x x +-=-①去括号，得33122x x +-=-②移项，得32231x x -=--+③合并同类项，得4x =-④以上解题步骤中，开始出错的一步是（）A ．①B ．②C ．③D ．④（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）某商品的进价为每件10元，若按标价打八折售出后，每件可获利2元，则该商品的标价为每件______元．（2022·江苏镇江·中考真题）某地交警在一个路口对某个时段来往的车辆的车速进行监测，统计数据如下表：车速（km/h ）404142434445频数6815a32其中车速为40、43（单位：km/h ）的车辆数分别占监测的车辆总数的12%、32%．(1)求出表格中a 的值；(2)如果一辆汽车行驶的车速不超过40km/h 的10%，就认定这辆车是安全行驶．若一年内在该时段通过此路口的车辆有20000辆，试估计其中安全行驶的车辆数．知识点一、一元一次方程及其解法1、一元一次方程:只含有1个未知数(元)，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。

方程组学生版

1每日一讲，贵在坚持学生版）二元一次方程组1、下列方程中2x ﹣3y=1，x +y 2=5，﹣=2，x ﹣y=z ，不是二元一次方程的有（A ．1B ．2C ．3D ．42、已知方程组和有相同的解，求（2a +3b ）2015的值．3、观察下列方程组，解答问题：①；②；③；…（1）在以上3个方程组的解中，你发现x 与y 有什么数量关系？（不必说理）（2）请你构造第④个方程组，使其满足上述方程组的结构特征，并验证（1）中的结论．4、先阅读下列知识，然后回答后面的问题：（1）二元一次方程组的解的情况有以下三种：当==时，方程组有解．当=≠时，方程组有解．当≠时，方程组有解．（2）判断二元一次方程组．．判断二元一次方程组判断二元一次方程组的解的情况：的解的情况：的解的情况：．（3）小明在解下面的二元一次方程组时，碰到了一个非常“严重”的问题，发现“10=8”，他知道这是不可能的，但是又找不到错误的原因，请你解释一下：解方程组：．解：由①得y=5﹣2x ，代入②得4x +2（5﹣2x ）=8，得10=8．请指出出现这种错误的原因．2解二元一次方程组1、已知方程组与方程组的解相同．求（2a +b ）2004的值．，可以用①×2+②，消去未知数x ；也可以用①+②×52、解关于x ，y 方程组消去未知数y ．求m ，n 的值．3、已知方程组的解是，老师让同学们解方程组，小聪先觉得这道题好象条件不够，后将方程组中的两个方程两边同除以5，整理得，运用换元思想，得，所以方程组的解为．现给出方程组的解是，请你写出方程组的解．4、下图是按一定规律排列的方程组集合和它解的集合的对应关系图，若方程组集合中的方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、…方程组n ．（1）将方程组1的解填入图中；（2）请依据方程组和它的解变化的规律，将方程组n 和它的解直接填入集合图中；（3）若方程组的解是，求m 的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律？三元一次方程组1、已知（a﹣2b﹣4）2+（2b+c）2+|a﹣4b+c|=0，求3a+b﹣c的值．2、已知关于x，y 的二元一次方程组的解x与y的值互为相反数，试求m的值．3、已知：，求z﹣y的值．4、已知，xyz≠0，求的值．3二元一次方程的应用1、为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把5m长的彩绳截成2m或1m的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法（）A．1B．2C．3D．42、某协会组织会员旅游，如果单独租用45座客车若干辆，则刚好坐满；如果单独租用60座客车，则可少租2辆，并且剩余15个座位．（1）求参加旅游的人数；（2）若采用混租两种客车，使每辆车都不空位，有几种租车方案．3、某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元．（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？（2）①学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2447元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么帐肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的帐算错了．②陈老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价为小于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为元．4。

九年级寒假班第2讲：方程与不等式(组)-学生版

一、等式及其性质1、如果a b =，那么a c b c ±=±．2、如果a b =，那么ac bc =；如果a b =（0c ≠），那么a bc c=．二、方程及相关概念1、未知数：用字母x 、y …等表示所要求的未知的数量，这些字母称为未知数．2、方程：含有未知数的等式叫做方程．3、元：在方程中，所含的未知数又称为元．4、列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程．5、项：在方程中，被“+”、“-”号隔开的每一部分（包括这部分前面的“+”、“-”号在内）称为一项；如在方程 2.50x +=和2052y -=中，x 、2.5、25、2y-都是方程中的一项．6、系数：在一项中，数字或者表示已知数的字母因数叫做未知数的系数；如x 的系数为1，2y -的系数为12-．方程与不等式（组）知识结构模块一：整式方程知识精讲7、次数：在一项中，所含有的未知数的指数和称为这一项的次数；如x 、2y-的次数都是1．8、常数项：不含未知数的项称为常数项；如2.5，25． 9、方程的解：如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解．三、一元一次方程1、一元一次方程的概念：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程．2、解方程：求方程的解的过程叫做解方程．3、解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化成ax b =（0a ≠）的形式；（5）两边同除以未知数的系数，得到方程的解bx a=． 4、含有字母系数的一元一次方程的解法：（1）含有字母系数的一元一次方程：在方程0ax b +=（0a ≠）中，x 是未知数，a 、b 是用字母表示的已知数，对x 来说，字母a 是x 的系数，叫做字母系数，字母b 是常数，我们称它为含有字母系数的一元一次方程．（2）解法：ax b =（a 、b ）．当0≠a 方程的解是a bx =；当0a =，0b =方程的解为任意数；当0a =，0b ≠时，无解．四、二元一次方程1、二元一次方程：含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程．2、二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．3、二元一次方程的解集：二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解的全体叫做这个二元一次方程的解集．五、二元一次方程组1、二元一次方程组：如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的次数都是一次，那么这样的方程叫做二元一次方程组．2、二元一次方程组的解：在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解．3、代入消元法：通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．4、加减消元法：通过两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做加减消元法．六、三元一次方程组1、三元一次方程组：如果方程组中含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做三元一次方程组．2、解三元一次方程组的思想：七、一元二次方程1、式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的方程叫做一元二次方程．2、二次方程的一般形式是20ax bx c ++=（0a ≠）．其中2ax 叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项；a 叫做二次项的系数，b 叫做一次项的系数．3、二次方程的常用解法（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法．4、一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的根的判别式为24b ac ∆=-．（1）240b ac ->⇔一元二次方程20ax bxc ++=（0a ≠）有两个不相等实数根，即1,2x =．（2）240b ac -=⇔一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）有两个相等实数根，即122bx x a ==-．（3）240b ac -<⇔一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）无实数根．八、二元二次方程（组）1、二元二次方程：方程中仅含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．2、二元二次方程组：仅含有两个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整式方程组成的方程组叫做二元二次方程组．3、二元二次方程组的解法：代入消元法、加减消元法．【例1】（2014学年·奉贤区二模·第2题）二元一次方程23x y+=的解的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．无数个【难度】★【答案】【解析】【例2】（2015学年·闸北区二模·第4题）方程组327413x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是（）A．13xy=-⎧⎨=⎩B．31xy=⎧⎨=-⎩C．31xy=-⎧⎨=-⎩D．13xy=-⎧⎨=-⎩【难度】★【答案】【解析】【例3】（2015学年·虹口区二模·第10题）试写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是12xy=-⎧⎨=⎩，你写的这个方程是_____________（写出一个符合条件的即可）．【难度】★【答案】【解析】【例4】（2015学年·黄浦区二模·第12题）如果关于x的方程240x x k++=有一个解是1x=-，那么k =______．【难度】★【答案】【解析】例题解析【例5】（2014学年·普陀区二模·第10题）一元二次方程290x+=根的判别式的值是__________．【难度】★【答案】【解析】【例6】（2015学年·金山区二模·第3题）如果关于x的方程210mx mx++=有两个相等的实数根，那么m等于（）A．4或0 B．14C．4 D．4±【难度】★【答案】【解析】【例7】（2015学年·松江区二模·第10题）关于x的一元二次方程220x x m-+=有两个实数根，则m的取值范围是_______________．【难度】★【答案】【解析】【例8】（2015学年·闸北区二模·第3题）下列方程中，没有实数根的方程是（）A．2210x x+-=B．2210x x++=C．220x x-+=D．220x x--=【难度】★【答案】【解析】【例9】（2015学年·闸北区二模·第14题）某企业2013年的年利润为100万元，2014年和2015年连续增长，且这两年的增长率相同，据统计2015年的年利润为125万元．若设这个相同的增长率为x ，那么可列出的方程是_____________________．【难度】★★ 【答案】【解析】【例10】（2015学年·徐汇区二模·第20题）解方程组：221444x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩．【难度】★★ 【答案】【解析】【例11】（2015学年·松江区二模·第20题）解方程组：22212320x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩．【难度】★★ 【答案】【解析】【例12】（2015学年·普陀区二模·第20题）解方程组：22225320x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩．【难度】★★ 【答案】【解析】【例13】（2015学年·静安区二模·第22题）某区园林部门计划在一块绿地内种植甲、乙两种树木共6600棵，其中甲种树木数量比乙种树木数量的2倍少600棵．（1）问：甲、乙两种树木各有几棵？（2）如果园林部门安排26人同时种植这两种树木，每人每天能种植甲种树木60棵或乙种树木40棵，应分别安排多少人种植甲种树木和乙种树木，才能确保同时完成各自的任务？【难度】★★【答案】【解析】【例14】（2014学年·松江区二模·第21题）某品牌电动车经销商一月份销售该品牌电动车100辆，二月份的销售量比一月份增加10%，二月份每辆电动车的售价比一月份每辆电动车的售价低80元，二月份的销售总额比一月份销售总额多12200元，问一月份每辆电动车的售价是多少？【难度】★★【答案】【解析】模块二：分式方程与无理方程知识精讲一、分式方程1、分式方程：分母中含有未知数的方程叫分式方程．2、分式方程的解法：通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解．3、增根：分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根．4、解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．6、易错知识辨析：（1）去分母时，不要漏乘没有分母的项；（2）解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母，使最简公分母为0的值是原分式方程的增根，应舍去，也可直接代入原方程验根．（3）如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值．7、分式方程组：由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组．二、无理方程1、无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．2、无理方程的解法：通过平方把无理方程转化为整式方程，再求解．3、解无理方程的一般步骤：（1）方程两边平方，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验：直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．【例15】（2015学年·松江区二模·第14题）用换元法解分式方程13101x xx x --+=-时，如果设1x y x-=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是___________．【难度】★ 【答案】【解析】【例16】（2014学年·闵行区二模·第3题）下列方程中，有实数根的方程是（） A ．430x +=B1-C ．22111x x x =--Dx =-【难度】★ 【答案】【解析】【例17】（2014学年·金山区二模·第12题）方程12111xx x-=--的解是________．【难度】★ 【答案】【解析】【例18】（1）（2015学年·徐汇区二模·第9题）30=的解是__________．（2）（2015学年·金山区二模·第9题）x =的根是__________．【难度】★ 【答案】【解析】例题解析【例19】（2015学年·徐汇区二模·第12题）建筑公司修建一条400米长的道路，开工后每天比原计划多修10米，结果提前2天完成了任务，如果设建筑公司实际每天修x 米，那么可得方程是____________________．【难度】★★ 【答案】【解析】【例20】（2014学年·闵行区二模·第16题）某校几位九年级同学准备学业考试结束后结伴去周庄旅游，预计共需费用1200元，后来又有2位同学参加进来，但总的费用不变，每人可少分担30元．试求共有几位同学准备去周庄旅游？如果设共有x 位同学准备去周庄旅游，那么根据题意可列出方程为____________________．【难度】★★ 【答案】【解析】【例21】（2015学年·奉贤区二模·第20题）解方程：22116224x x x x +-=-+-．【难度】★★ 【答案】【解析】【例22】（2014学年·杨浦区二模·第20题）解方程：5x =．【难度】★★ 【答案】【解析】【例23】（2015学年·虹口区二模·第22题）社区敬老院需要600个环保包装盒，原计划由初三（1）班全体同学制作完成．但在实际制作时，有10名同学因为参加学校跳绳比赛而没有参加制作．这样，该班实际参加制作的同学人均制作的数量比原计划多5个，那么这个班级共有多少名同学？【难度】★★【答案】【解析】【例24】（2015学年·普陀区二模·第22题）自2004年5月1日起施行的《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为．为确保行车安全，某一段全程为200千米的高速公路限速120千米/时（即任意一时刻的车速都不能超过120千米/时）．以下是王师傅和李师傅全程行驶完这段高速公路时的对话片断．王：“你的车速太快了，平均每小时比我快20千米，比我少用30分钟就行驶完了全程．”李：“虽然我的车速快，但是最快速度比我的平均速度只快15%，并没有超速违法啊．”李师傅超速违法吗？为什么？【难度】★★【答案】【解析】一、不等式 1、不等式的概念：用不等号“>”、“<”、“≤”或“≥”表示的关系式，叫做不等式． 2、不等式的性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或用一个含字母的式子，不等号的方向不变．即：如果a > b ，那么a + m > b + m ；如果a 0，如果a > b ，那么am > bm （或a b m m >）；如果a b ，那么am < bm （或a b m m <）；如果a bm （或a bm m >）．二、一元一次不等式只含有一个未知数，且未知数的次数是一次且系数不为零的不等式，称为一元一次不等式．解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化成ax b >（或ax b <等）的形式（其中0a ≠）；（5）两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集．三、一元一次不等式组1、一元一次不等式组：有几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．2、不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集．3、解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组．4、解一元一次不等式组的一般步骤：（1）求出不等式组中各个不等式的解集；（2）在数轴上表示各个不等式的解集；（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集．模块三：一元一次不等式（组）知识精讲【例25】（1）（2015学年·徐汇区二模·第1题）不等式组1114x x ->⎧⎨+≤⎩的解集是（）A ．2x ⎧⎨-<⎩的解集是____________．【难度】★ 【答案】【解析】【例26】（2015学年·虹口区二模·第3题）不等式240x +≤的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D 【难度】★ 【答案】【解析】【例27】（2015学年·静安区二模·第2题）如果a b >，那么下列不等式中一定成立的是（）A ．22a b >B ．11a b ->-C ．11a b +>-D ．11a b +>-【难度】★ 【答案】【解析】例题解析0 2- 2-【例28】（2015学年·崇明县二模·第2题）下列说法不一定成立的是（）A．若a b>，则a c b c+>+B．若a c b c+>+，则a b>C．若a b>，则22ac bc>D．若22ac bc>，则a b>【难度】★【答案】【解析】【例29】（2014学年·崇明县二模·第3题）从下列不等式中选择一个与12x+≥组成不等式组，如果要使该不等式组的解集为1x≥，那么可以选择的不等式可以是（）A．1x>-B．2x>C．1x<-D．2x<【难度】★【答案】【解析】【例30】（2015学年·杨浦区二模·第20题）解不等式组：()2131552x xxx->-⎧⎪⎨-<+⎪⎩，并写出它的所有非负整数解．【难度】★★【答案】【解析】【习题1】（2014学年·杨浦区二模·第1题）如果2x=是方程112x a+=-的根，那么a的值是（）A．0 B．2 C．2-D．6-【难度】★【答案】【解析】【习题2】（2015学年·松江区二模·第11题）不等式组12240xx⎧-≤⎪⎨⎪->⎩的解集为________．【难度】★【答案】【解析】【习题3】（2015学年·浦东新区二模·第2题）已知一元二次方程2320x x++=，下列判断正确的是（）A．该方程无实数解B．该方程有两个相等的实数解C．该方程有两个不相等的实数解D．该方程解的情况不确定【难度】★【答案】【解析】【习题4】（2015学年·杨浦区二模·第9题）如果关于x的方程210mx mx-+=有两个相等的实数根，那么实数m的值是______．【难度】★【答案】【解析】随堂检测【习题5】（2015学年·杨浦区二模·第2题）下列关于x 的方程一定有实数解的是（）A ．2x m =B ．2x m =C ．11m x =+Dm = 【难度】★ 【答案】【解析】【习题6】（2015学年·静安区二模·第9题）1x =-的根是______．【难度】★ 【答案】【解析】【习题7】（2014学年·浦东新区二模·第10题）已知分式方程221231x x x x ++=+，如果设21x y x+=，那么原方程可化为关于y 的整式方程是__________________．【难度】★ 【答案】【解析】【习题8】（2014学年·徐汇区二模·第13题）某商店运进120台空调准备销售，由于开展了促销活动，每天比原计划多售出4台，结果提前5天完成销售任务，则原计划每天销售多少台？若原计划每天销售x 台．则可得方程________________________．【难度】★ 【答案】【解析】【习题9】（2014学年·浦东新区二模·第20题）解不等式组：52362162x x x x +≥-⎧⎪-⎨>-⎪⎩，并写出它的非负整数解．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题10】（2015学年·闸北区二模·第20题）解方程：253111x x x -+=-+．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题11】（2015学年·闵行区二模·第20题）解方程：222421242x x x x x x -+=+--．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题12】（2015学年·黄浦区二模·第20题）80x -=．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题13】（2014学年·徐汇区二模·第20题）解方程组：2222699440x xy yx y x y⎧++=⎪⎨--+=⎪⎩．【难度】★★【答案】【解析】【习题14】（2014学年·浦东区二模·第22题）小张利用休息日进行登山锻炼，从山脚到山顶的路程为12千米．他上午8时从山脚出发，到达山顶后停留了半小时，再原路返回，下午3时30分回到山脚．假设他上山与下山时都是匀速行走，且下山比上山时的速度每小时快1千米，求小张上山时的速度．【难度】★★【答案】【解析】【作业1】（2015学年·闸北区二模·第9题）不等式组1226xx+>⎧⎨<⎩的解集是__________．【难度】★【答案】【解析】【作业2】（2014学年·闸北区二模·第3题）下列方程中，有实数根的是（）A2=-B．210x+=C．111x=+D．210x x++=【难度】★【答案】【解析】课后作业【作业3】（2015学年·静安区二模·第11题）如果关于x的一元二次方程2610-+-=x x m 有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是____________．【难度】★【答案】【解析】【作业4】（2015学年·闵行区二模·第11题）已知关于x的方程20--=没有实数根，x x m那么m的取值范围是_____________．【难度】★【答案】【解析】【作业5】（2015学年·黄浦区二模·第10题）1x+的根是________．【难度】★【答案】【解析】【作业6】（2014学年·闸北区二模·第11题）方程0x的解是_________．【难度】★【答案】【解析】【作业7】（2015学年·松江区二模·第17题）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是__________________________．【难度】★【答案】【解析】【作业8】（2014学年·松江区二模·第12题）用换元法解方程221201x x x x -++=-时，可设21x y x -=，则原方程可化为关于y 的整式方程为__________________．【难度】★ 【答案】【解析】【作业9】（2014学年·静安区、青浦区二模·第20题）求不等式组()7143261213x x x x -<+⎧⎪⎨⎛⎫+≥+⎪⎪⎝⎭⎩的整数解．【难度】★★ 【答案】【解析】【作业10】（2015学年·浦东新区二模·第20题）解方程：228224x x x x x ++=+--．【难度】★★ 【答案】【解析】【作业11】（2015学年·金山区二模·第20题）解方程组：222320x y x xy y -=⎧⎨+-=⎩．【难度】★★ 【答案】【解析】【作业12】解方程：3x =．【难度】★★【答案】【解析】【作业13】（2014学年·静安区、青浦区二模·第22题）甲乙两人各加工30个零件，甲比乙少用1小时完成任务；乙改进操作方法，使生产效率提高了一倍，结果乙完成30个零件的时间比甲完成24个零件所用的时间少1小时．问甲乙两人原来每小时各加工多少个零件？【难度】★★【答案】【解析】。

第17讲二元一次方程组及其解法(学生版)

第17讲二元一次方程组及其解法(学生版)【例1】已知下列方程2x m －1＋3y n ＋3＝5是二元一次方程，则m ＋n ＝ . 【变式题组】01．请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，并说明理由.⑴2x ＋5y ＝16 (2)2x ＋y ＋z ＝3 (3)x1＋y ＝21 (4)x 2＋2x ＋1＝0 (5)2x ＋10xy ＝5 02．若方程2x a ＋1＋3＝y 2b－5是二元一次方程，则a ＝ ,b ＝ .03．在下列四个方程组①⎩⎨⎧=-=+94210342y x y x ，②⎩⎨⎧==+297124xy y x ，③⎪⎩⎪⎨⎧=+=-432021y x y x ，④⎩⎨⎧=-=+045587y x y x 中，是二元一次方程组的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【例2】（十堰中考）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-52723y x y x 的解是（）A ． ⎩⎨⎧==23y x B ．⎩⎨⎧==21y x C ． ⎩⎨⎧==24y x D ． ⎩⎨⎧==13y x 【变式题组】01．（杭州）若x =1，y =2是方程ax －y ＝3的解，则a 的值是（）A ．5B ．－5C ．2D ．102．（盐城）若二元一次方程的一个解为⎩⎨⎧-==12y x ，则此方程可以是（只要求写一个）03.（义乌）已知：∠A 、∠B 互余，∠A 比∠B 大30°，设∠A 、∠B 的度数分别为x °,y °,下列方程组中符合题意的是（）A ． ⎩⎨⎧-==+30180y x y x B ．⎩⎨⎧+==+30180y x y x C ． ⎩⎨⎧+==+3090y x y x D ． ⎩⎨⎧-==+3090y x y x 04．（连云港）若⎩⎨⎧==12y x ，是二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2523by ax by ax ，的解，则a ＋2b 的值为 .【例3】解方程组⎩⎨⎧=+=+17537y x y x【变式题组】01.解方程组：（南京）⑴⎩⎨⎧=+=-5242y x y x （海淀）⑵⎩⎨⎧=+-=-16214y x y x①②（花都）⑶⎩⎨⎧=+=-5242y x y x （朝阳）⑷⎩⎨⎧=+=-232553y x y x2．方程组⎩⎨⎧=-+=525y x y x 的解满足x ＋y ＋a ＝0,则a 的值为（）A ．5B ．－5C ．3D ．－3 【例4】解方程组⎩⎨⎧=-=+115332y x y x .【变式题组】 01．(广州)以⎩⎨⎧-==11y x 为解的二元一次方程组是（）A ．⎩⎨⎧=-=+10y x y x B ．⎩⎨⎧-=-=+10y x y x C ．⎩⎨⎧=-=+2y x y x D ．⎩⎨⎧-=-=+20y x y x02．解下列方程组：（日照）⑴⎩⎨⎧=-=-138332y x y x （宿迁）⑵⎩⎨⎧=+-=-1223532y x y x03．（临汾）已知方程组⎩⎨⎧=+=-24by ax by ax 的解为⎩⎨⎧==12y x ，则2a －3b 的值为（）A ．4B ．6C ．－6D ．－404．已知⎩⎨⎧=+=+6252y x y x ，那么x －y 的值为，x ＋y 的值为 .【例5】已知二元一次方程组⎩⎨⎧+=-+=+243412223k y x k y x 的解满足x ＋y ＝6,求k 的值.【变式题组】01．已知⑴⎩⎨⎧-=-=+2513n ny x ny mx 与⑵⎩⎨⎧=+=-82463y x y x 有相同的解，则m ＝ ,n ＝ .02．方程组⎩⎨⎧=-+=525y x y x 的解满足方程x ＋y －a ＝0, 那么a 的值为（）A ．5B ．－5C ．3D ．－303．已知方程组⎩⎨⎧+=+=+33223k y x ky x 的解x 与y 的和为8，求k 的值.【例6】解方程组⎩⎨⎧=--+=-++12)(5)3(316)(3)3(4y x y x y x y x①②①② ①②①②【变式题组】 01．解下列方程组：⑴⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-++2)(5)(4632y x y x y x y x ⑵（湖北十堰）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+5791034yxyx02．（淄博）若方程组⎩⎨⎧=+=-9.30531332b a b a 的解是⎩⎨⎧==2.13.8b a ，则方程组⎩⎨⎧=--+=--+9.30)1(5)2(313)1(3)2(4y x y x 的解是（） A ． ⎩⎨⎧==2.23.6y x B ．⎩⎨⎧==2.13.8y x C ． ⎩⎨⎧==2.23.10y x D ． ⎩⎨⎧==2.03.10y x 【例7】已知：方程组⎩⎨⎧-=+-=+2242016y cx by ax 的解应为⎩⎨⎧-==108y x ，小明解此题时把c 抄错了，因此得到的解是⎩⎨⎧-==1312y x ，则a 2＋b 2＋c 2的值为 .【变式题组】 01．方程组⎩⎨⎧=-=+472dy cx y ax 时，一学生把a 看错后得到⎩⎨⎧==15y x ，而正确的解是⎩⎨⎧-==13y x ，则a 、c 、d 的值是（）A ．不能确定B ．a ＝3, c ＝1, d ＝1C ． c 、d 不能确定D ． a ＝3, c ＝2, d ＝－2 02．甲、乙良人同解方程组⎩⎨⎧-=-=+232y Cx By Ax ，甲正确解得⎩⎨⎧-==11y x ，乙因抄错C ，解得⎩⎨⎧-==62y x ，求A 、B 、C 的值.演练巩固反馈提高01．已知方程2x －3y ＝5,则用含x 的式子表示y 是，用含y 的式子表示x 是 . 02．(邯郸)已知⎩⎨⎧-==11y x 是方程组⎩⎨⎧=-=+241by x by ax 的解，则a ＋b ＝ .03．若(x －y )2＋|5x －7y －2|＝0, 则x ＝ , y ＝ .04．已知⎩⎨⎧==12y x 是二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+147by x by ax 的解，则a －b 的值为 .05．若x 3m －n ＋y 2n －m ＝－3是二元一次方程，则m ＝ ,n ＝ .06.关于x 的方程（m 2－4）x 2＋(m ＋2)x ＋(m ＋1)y ＝m ＋5, 当m ＝时，它是一元一次方程，当m ＝时，它是二元一次方程. 07．（苏州）方程组⎩⎨⎧=-=+574973y x y x 的解是（）A ． ⎩⎨⎧=-=12y x B ．⎪⎩⎪⎨⎧=-=732y x C ． ⎪⎩⎪⎨⎧-==732y x D ． ⎪⎩⎪⎨⎧==732y x 08．（杭州）已知⎩⎨⎧-==11y x 是方程2x －ay ＝3的一个解，那么a 的值是（）A ．1B ．3C ．－3D ．－109．（苏州）方程组⎩⎨⎧=-=+521y x y x 的解是（）A ． ⎩⎨⎧=-=21y x B ．⎩⎨⎧=-=32y x C ． ⎩⎨⎧==12y x D ． ⎩⎨⎧-==12y x 10．（山东）若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ky x 95的解也是二元一次方程3x ＋3y ＝6的解，则k 的值为（） A ．－43 B ． 43 C ．34 D ．－ 3411．（怀柔）已知方程组⎩⎨⎧=-=+42by ax by ax 的解为⎩⎨⎧==23y x ，求b a ba 22-+的值为多少？12.解方程组：⑴（滨州）⎩⎨⎧-=+=-22622y x y x ⑵（青岛）⎩⎨⎧=-=+41943y x y x⑶⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=--+5)32(5)3(186)3(7)32(6y x x y13．已知方程组⎩⎨⎧=--=+1653652y x y x 和方程组⎩⎨⎧-=+-=-84ay bx by ax 的解相同，求代数式3a ＋7b 的值.14．已知方程组⎩⎨⎧+=+=+33223k y x ky x 的解x 与y 的和为8，求k 的值.15．（希望杯试题）m 为正整数，已知二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+023102y x y mx 有整数解，求m 2的值.。

小学解方程组练习题

小学解方程组练习题解方程组是初中数学的一项重要内容，也是小学数学的基础之一。

通过解方程组，可以帮助学生培养逻辑思维、问题解决和抽象推理的能力。

下面是一些小学解方程组的练习题，帮助学生巩固和提升解方程组的能力。

练习题一：已知方程组：2x + y = 7x - y = -1请解方程组并给出解的具体数值。

解析：为了解方程组，我们可以采用消元法或代入法。

首先，我们可以利用第二个方程转换得到x的值：x = y - 1。

然后，我们将得到的x的值带入到第一个方程中：2(y-1) + y = 7。

进一步计算：2y - 2 + y = 7，化简后得到：3y - 2 = 7。

继续化简得到：3y = 9，所以y = 3。

再带入x = y - 1，得到x = 2。

所以，方程组的解为x = 2，y = 3。

练习题二：已知方程组：3x - 2y = 84x + y = 10请解方程组并给出解的具体数值。

解析：同样，我们可以采用消元法或代入法来解方程组。

首先，我们可以利用第一个方程转换得到y的值：y = 3x - 4。

然后，我们将得到的y的值带入到第二个方程中：4x + (3x - 4) = 10。

进一步计算：7x - 4 = 10，化简后得到：7x = 14。

继续化简得到：x = 2。

再带入y = 3x - 4，得到y = 3(2) - 4。

计算后得到y = 2。

所以，方程组的解为x = 2，y = 2。

练习题三：已知方程组：x + y = 62x - y = 3请解方程组并给出解的具体数值。

解析：同样，我们可以采用消元法或代入法来解方程组。

首先，我们可以利用第一个方程转换得到y的值：y = 6 - x。

然后，我们将得到的y的值带入到第二个方程中：2x - (6 - x) = 3。

进一步计算：2x - 6 + x = 3，化简后得到：3x - 6 = 3。

继续化简得到：3x = 9，所以x = 3。

再带入y = 6 - x，得到y = 6 - 3。