2013高考数学分类汇总考点30 合情推理与演绎推理

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2013年高考真题分类汇编：考点30 合情推理与演绎推理 Word版含解析

考点30 合情推理与演绎推理一、选择题1. （2013·广东高考理科·Ｔ8）设整数4n ≥，集合{1,2,3,,}X n =.令集合S =｛(,,)x y z |,,x y z X ∈，且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰有一个成立｝，若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在S 中，则下列选项正确的是（）A.(,,),(,,)y z w S x y w S ∈∉B.(,,),(,,)y z w S x y w S ∈∈C.(,,),(,,)y z w S x y w S ∉∈D.(,,),(,,)y z w S x y w S ∉∉【解题指南】本题在集合背景下利用新定义考查推力论证能力，应理解好元素在集合S 中的含义.【解析】选B. (,,)x y z S ∈即,,x y z X ∈，且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰有一个成立，则,,x y z 是X 中两两互不相同的三个数（不妨设x y z <<），同理，(,,)z w x S ∈意味着,,z w x 也两两互不相同（由于x z <，w x z <<或x z w <<有且只有一个成立），对于(,,)y z w 由于y z <，且w x z w y z <<⇒<<或x z w y z w <<⇒<<，所以(,,)y z w S ∈.同理，对于(,,)x y w 由于x y <，x z w x y w <<⇒<<或w x z w x y <<⇒<<，所以(,,)x y w S ∈.二、填空题2.（2013·山东高考文科·Ｔ16）与（2013·山东高考理科·Ｔ16）相同定义“正对数”：0,01ln ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，现有四个命题： ①若0,0a b >>，则ln ()ln b a b a ++=②若0,0a b >>，则ln ()ln ln ab a b +++=+③若0,0a b >>，则ln ()ln ln aa b b+++≥- ④若0,0a b >>，则ln ()ln ln ln 2a b a b ++++≤++ 其中的真命题有：（写出所有真命题的编号）【解题指南】本题为新定义问题，要注意新定义的函数的特点，根据新定义解决问题.【解析】①当1,0a b >>时，1b a >，ln ()ln ln ,ln ln b b a a b a b a b a ++===，所以ln ()ln b a b a ++=成立.当01,0a b <<>时，01b a <<，此时ln ()0,ln 0b a b a ++==，即ln ()ln b a b a ++=成立.综上ln ()ln b a b a ++=恒成立. ②当1,a e b e==时，ln ()ln10,ln ln 1,ln 0ab a e b +++=====，所以ln ()ln ln ab a b +++=+不成立.对于③,当a ≥b>0时,a b≥1,此时ln ()ln()0,a ab b+=≥, 当a ≥b ≥1时,ln +a-ln +b=lna-lnb=ln()a b , 此时命题成立;当a>1>b>0时,ln +a-ln +b=lna,此时ab>a>1,故命题成立;同理可验证当1>a ≥b>0时, ln ()a b +≥ln +a-ln +b 成立;当a b <1时,同理可验证是正确的,故③正确;对于④,可分a ≤1,b ≤1与两者中仅有一个小于等于1、两者都大于1三类讨论,依据定义判断出④是正确的.【答案】①③④3. （2013·陕西高考理科·Ｔ14）观察下列等式:211= ，22123-=-，2221263+-=，2222124310-+-=-，…照此规律, 第n 个等式可为 .【解题指南】通过观察发现:“=”号右侧数的绝对值为首项为1,公差为1的等差数列的前n 项和,从而根据等差数列求和公式求解.【解析】12=1,12-22=-(1+2),12-22+32=1+2+3,12-22+32-42=-(1+2+3+4),…,12-22+32-42+…+(-1)n+1n 2=(-1)n+1(1+2+…+n) =n 1n(n 1)1)2（-++ 【答案】222n 1n(n 1)1231)2n-12--（-1）n （-++++= 4. （2013·陕西高考文科·Ｔ13）观察下列等式:23(11)21(21)(22)213(31)(32)(33)2135+=⨯++=⨯⨯+++=⨯⨯⨯…照此规律, 第n 个等式可为 .【解题指南】根据已经给出的部分规律推知整体的规律，然后根据这些规律和相关的数学知识进行推理或计算，从而找到问题的答案.【解析】考察规律的观察、概况能力，注意项数，开始值和结束值. 第n 个等式可为: n (n 1)(n 2)(n 3)(n n)2135(2n 1)++++=⋅⋅⋅⋅⋅- 【答案】n (n 1)(n 2)(n 3)(n n)2135(2n 1)++++=⨯⨯⨯⨯⨯-。

2013届高考数学一轮复习讲义：13[1].3-合情推理与演绎推理

数列，即 cn＝34·23n－1.
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故 1－a2n＝34·23n－1⇒a2n＝1－34·23n－1.
又 a1＝12>0，anan＋1<0，
故 an＝(－1)n－1
1－34·23n－1.
bn＝an2＋1－a2n ＝1－34·23n－1－34·23n－1 ＝14·23n－1. (2)证明用反证法证明．
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又 a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) ∴对于任意正整数 n，都有 Sn＋1＝4an(结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)
探究提高
演绎推理的一般模式为三段论，应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．
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已
知
数
列
{an}
满
足
：
a1＝
1 2
，311＋－aann＋1＝
21＋an 1－an＋1
，
anan＋
1<0
(n≥1)；数列{bn}满足：bn＝a2n＋1－a2n (n≥1)．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列． (1)解由题意可知，1－a2n＋1＝23(1－a2n)．令 cn＝1－a2n，则 cn＋1＝23cn. 又 c1＝1－a21＝34，则数列{cn}是首项为 c1＝34，公比为23的等比
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在 Rt△ABC 中，AB⊥AC，AD⊥BC 于 D，求证：A1D2＝A1B2 ＋A1C2，那么在四面体 A—BCD 中，类比上述结论，你能得
到怎样的猜想？并说明理由．

【精编】高考数学推理与证明：合情推理与演绎推理

合情推理与演绎推理【考点梳理】1．合情推理2．演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．【考点突破】考点一、归纳推理【例1】(1)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )A ．2 018B ．2 019C ．2 020D ．2 021(2)观察下列等式：1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)；1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)；1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)；……可以推测，1＋5＋15＋…＋124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝_______________________. (3)分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n 行黑圈的个数为a n ，则a 2 018＝________.[答案] (1) D (2) 1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) (3) 32 017－12[解析] (1)根据题干图所示的规则排列，设最上层的一个数为a ，则第二层的三个数为a ＋7，a ＋8，a ＋9，第三层的五个数为a ＋14，a ＋15，a ＋16，a ＋17，a ＋18，这九个数之和为a ＋3a ＋24＋5a ＋80＝9a ＋104.由9a ＋104＝2 021，得a ＝213，是自然数，故选D.(2)根据式子中的规律可知，等式右侧为15×4×3×2×1·n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)＝1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)．(3)根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1，0)，第2行记为(2，1)，第3行记为(5，4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标”为(14，13)，同理可得第5行的“坐标”为(41，40)，第6行的“坐标”为(122，121)，….各行黑圈数乘2，分别是0，2，8，26，80，…，即1－1，3－1，9－1，27－1，81－1，…，所以可以归纳出第n 行的黑圈数a n ＝3n －1－12(n ∈N *)，所以a 2 018＝32 017－12.【类题通法】破解归纳推理的思维步骤【对点训练】1．数列12，13，23，14，24，34，…，1m ＋1，2m ＋1，…，mm ＋1，…的第20项是( )A ．58 B ．34 C ．57 D ．67[答案] C [解析] 数列m m ＋1在数列中是第1＋2＋3＋…＋m ＝m m ＋2项，当m ＝5时，即56是数列中第15项，则第20项是57，故选C.2．观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. [答案] 43n (n ＋1)[解析] 通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)．3．下面图形由小正方形组成，请观察图(1)至图(4)的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是__________.[答案]n n ＋2(n ∈N *)[解析] 由题图知第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n .所以总个数为n n ＋2(n ∈N *)．考点二、类比推理【例2】(1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论我们可以得到的一个真命题为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则____________________成等比数列．(2) 祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)如图所示，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于________．[答案] (1) T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12 (2) 43πb 2a [解析] (1)利用类比推理把等差数列中的差换成商即可．(2)椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V ＝2(V 圆柱－V 圆锥)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π×b 2×a －13π×b 2×a ＝43πb 2a .【类题通法】1．进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键．2．类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比(和与积、乘与乘方，差与除，除与开方)．数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．【对点训练】1．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，那么对于双曲线，则有如下命题：若P (x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________．[答案]x 0x a 2－y 0y b 2＝1 [解析] 类比椭圆的切点弦方程可得双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的切点弦方程为x 0x a 2－y 0yb2＝1.2．若等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，则一定有S 2n －1＝(2n －1)a n 成立．若等比数列{b n }的前n 项之积为T n ，类比等差数列的性质，则有( )A．T2n－1＝(2n－1)＋b n B．T2n－1＝(2n－1)b nC．T2n－1＝(2n－1)b n D．T2n－1＝b2n－1n[答案] D[解析] 在等差数列{a n}中，a1＋a2n－1＝2a n，a2＋a2n－2＝2a n，…，故有S2n－1＝(2n－1)a n，在等比数列{b n}中，b1b2n－1＝b2n，b2·b2n－2＝b2n，…，故有T2n－1＝b1b2…b2n－1＝b2n－1n.考点三、演绎推理【例3】来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是( )A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英[答案] A[解析] 分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C选项，故选A.【类题通法】演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.【对点训练】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.[答案] 1和3[解析] 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”.。

(广东专用)2013高考数学总复习第六章第五节合情推理与演绎推理文课件人教版

∴f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.,
本例中若设f(x)＝
1 2x＋
2
，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋
f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
【解】 f(0)＋f(1)＝20＋1 2＋2＋1 2
＝1＋1
2＋2＋1
＝ 2
2－1＋2－2
第五节合情推理与演绎推理
1．合情推理
归纳推理
类比推理
由某类事物的部分对象具有由两类对象具
某些特征，推出该类事物的有某些类似特征和其中一定义全部对象都具有这些特征类对象的已知特征，推
的推理，或者由个别事实概出另一类对象也具有这些特
括出一般结论的推理
征的推理
由部分到整体、特点由个别到一般的推理
2＝ 22，
同理可得f(－1)＋f(2)＝
22，f(－2)＋f(3)＝
2 2.
这三个特殊的式子中，自变量之和均等于1，归纳猜想得：
当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝
2 2.
证明：设x1＋x2＝1，
则f(x1)＋f(x2)＝2x1＋1 2＋21－x11＋ 2 ＝2x1＋1 2＋22x1＋1 2末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4.
又∵2 011＝502×4＋3，
∴72011与73的末两位相同，故选B.
【答案】 B
创新点拨：(1)归纳推理与函数的周期性结合在一起考查． (2)先用归纳推理得到结论，再根据得到的结论解答问题．应对措施：(1)根据题目特点知，应先找出规律才能求解，可尝试先从简单情形入手进行归纳猜想． (2)已知道前几个幂的结果，继续算出指数连续的幂的结果，直至找到规律．

高中数学选修2-2-合情推理与演绎推理

合情推理与演绎推理知识集结知识元合情推理知识讲解1．合情推理的含义与作用【知识点的认识】1．定义：（1）推理：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理．（2）合情推理：前提为真时结论可能为真的推理叫做合情推理．2．合情推理包括：（1）归纳推理（2）类比推理．3．合情推理和演绎推理的区别：推理推理形式推理结论合情推理归纳推理部分→整体，个别→一般结论不一定正确，有待进一步证明类比推理特殊→特殊演绎推理一般→特殊在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．【命题方向】一般以选择题、填空题的形式出现，主要考查基础概念问题，注意与演绎推理的区分，以及掌握归纳和类比推理的特点及运用．例1：下列说法中正确的是（）A．合情推理就是正确的推理B．合情推理就是归纳推理C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程分析：合情推理的结论不一定正确可判定选项A，合情推理包含归纳推理与类比推理可判定选项B，归纳推理是从特殊到一般的推理过程可判定选项C，类比推理是从特殊到特殊的推理过程可判定选项D．解答：合情推理的结论不一定正确，有待证明，而演绎推理的结论是一定正确的，故选项A不正确；合情推理包含归纳推理与类比推理，故选项B不正确；所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理，是从特殊到一般的推理过程，故选项C不正确；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，是从特殊到特殊的推理过程．故选项D正确．故选D．点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．例2：下面几种推理是合情推理的是（）（1）由圆的性质类比出球的有关性质；（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；（4）三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n﹣2）•180°．A．（1）（2）B．（1）（3）C．（1）（2）（4）D．（2）（4）分析：本题考查的是合情推理、演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，类比推理的是看是否符合类比推理的定义．解答：（1）为类比推理，在推理过程由圆的性质类比出球的有关性质．（2）为归纳推理，关键是看他直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°推出所有三角形的内角和都是180°，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程．（3）不是合情推理，是由个别到全体的推理过程．（4）为归纳推理故选C．点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．例题精讲合情推理例1.甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是___。

高中数学知识点精讲精析合情推理与演绎推理

2.1 合情推理与演绎推理1、合情推理是根据已有的事实和正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。

它具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用。

归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理。

2、演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。

它是一般到特殊的推理。

3、三段论：①大前提：已知的一般原理(M 是P)；②小前提：所研究的特殊情况(S 是M)；③结论：根据一般原理，对特殊情况作出判断(S 是P)。

只要前提与推理形式正确，结论必定正确。

1．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。

小王发现由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。

小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。

他写出不是质数的一个数是（）A ．1643B ．1679C ．1681D ．1697答案：C 。

解析：观察可知：),1(2,,6,4,21342312-=-=-=-=--n a a a a a a a a n n累加可得： 2)1(2)222)(1()1(2421n n n n n a a n -=-+-=-+++=- ， ∴,41222+-=n n a n 验证可知1681符合此式，且41×41=1681。

2．下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a 的性质|a |2=a 2类比得到复数z 的性质|z |2=z 2；③方程),,(02R c b a c bx ax ∈=++有两个不同实数根的条件是042>-ac b 可以类比得到：方程),,(02C c b a c bz az ∈=++有两个不同复数根的条件是042>-ac b ； ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.其中类比错误的是 ( )A.①③B. ②④C. ①④D. ②③答案：D 。

高考数学一轮复习知识点与练习合情推理和演绎推理

1．合情推理(1)归纳推理①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理：一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．()(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．()(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N*)．()(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( )1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝________.2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是________．①使用了归纳推理；②使用了类比推理； ③使用了“三段论”，但推理形式错误； ④使用了“三段论”，但小前提错误．3．(2014·福建)已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2，②b ＝2，③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c ＝________.4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．5．(教材改编)在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则b 1b 2b 3b 4…b n ＝________________.题型一归纳推理命题点1 与数字有关的等式的推理例1 (2015·陕西)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16，…，据此规律，第n 个等式可为_______________．命题点2 与不等式有关的推理例2 已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________.命题点3 与数列有关的推理例3 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________.命题点4 与图形变化有关的推理例4 某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．(1)n 级分形图中共有________条线段； (2)n 级分形图中所有线段长度之和为________．思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．(1)观察下图，可推断出“x ”处应该填的数字是________．(2)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为________．题型二类比推理例5 已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________.思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c ＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________．题型三演绎推理例6 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为________．①大前提错误；②小前提错误；③推理形式错误；④非以上错误．10．高考中的合情推理问题典例(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：①b2 014是数列{a n}的第________项；②b2k－1＝________.(用k表示)(2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)对任意x1，x2∈S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是________．①A＝N*，B＝N；②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0<x≤10}；③A＝{x|0<x<1}，B＝R；④A＝Z，B＝Q.温馨提醒(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．[方法与技巧]1．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行． [失误与防范]1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明． 2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．A 组专项基础训练 (时间：40分钟)1．下列推理是归纳推理的是________．①A ，B 为定点，动点P 满足P A ＋PB ＝2a >AB ，则P 点的轨迹为椭圆； ②由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式； ③由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πab ；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．2．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理________． ①结论正确； ②大前提不正确； ③小前提不正确； ④全不正确．3．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为f (n )＝__________.4．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中正确结论的个数是________．5．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n )也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为__________． ①d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nn②d n ＝c 1·c 2·…·c nn③d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c nnn④d n ＝n c 1·c 2·…·c n6．观察下列不等式： 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74，…… 照此规律，第五个不等式为________________________．7．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0y b 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________________．8．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论：______________________.9．设f (x )＝13x＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．B 组专项能力提升 (时间：30分钟)11．已知①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．根据“三段论”推理出一个结论．则这个结论是________．(填序号)12．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P —ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.13．如图(1)若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比1122OM N OM N S S ∆∆＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.如图(2)，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为__________________．14．已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律．15．已知函数f (x )＝－aa x ＋a (a >0，且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．。

高考数学(简单版)-1合情推理、演绎、直接间接证明-简单难度-讲义 (2)

合情推理、演绎、直接间接证明知识讲解一、合情推理与演绎推理1.推理概念：根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫结论．2.合情推理概念：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情理．合情推理分类：1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．3.演绎推理概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．三段论包括：1）大前提---已知的一般原理；2）小前提---所研究的特殊情况；3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．4.演绎法：概念：如果一般的命题是已经证明了的，或者是未经证明而作为真理用的，那么以这个一般命题推出的每一个特殊命题也就是正确的．象这样由一般到特殊的推理方法，通常称为演绎推理或者演绎法一般模式：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．二、直接证明与间接证明1.综合法概念：综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法．2.分析法概念：分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法．3.反证法概念：假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法．证明的一般步骤：1）假设命题的结论不成立；2）根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止；3）断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立三．常见结论结论：关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：多面体多边形；面边；体积面积；二面角平面角；面积线段长；典型例题一．选择题（共24小题）1．（2018•乌鲁木齐一模）甲、乙、丙、丁四人关于买彩票的中奖情况有下列对话：甲说：“如果我中奖了，那么乙也中奖了．”乙说：“如果我中奖了，那么丙也中奖了．”丙说：“如果我中奖了，那么丁也中奖了．”结果三人都没有说错，但是只有两人中奖，那么这两人是（）A．甲、乙B．乙、丙C．丙、丁D．甲、丁2．（2018•柳州一模）“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的（）A．壬子年B．辛子年C．辛丑年D．庚丑年3．（2018•四川模拟）中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年．算筹记数的方法是：个位、百位、万位……的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位……的数按横式的数码摆出．如7738可用算筹表示为．1﹣9这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则的运算结果可用算筹表示为（）A．B．C．D．4．（2018•凯里市校级四模）如图是2017年1﹣11月汽油、柴油介个走势图（单位：元/吨），据此下列说法错误的是（）A．从1月到11月，三种油里面柴油的价格波动最大B．从7月份开始，汽油、柴油的价格都在上涨，而且柴油价格涨速最快C．92#汽油与95#汽油价格成正相关D．2月份以后，汽油、柴油的价格同时上涨或同时下跌5．（2018•湖南模拟）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为（）年A．丙酉B．戊申C．己申D．己酉6．（2018•昆明一模）“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．下图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（）A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值7．（2018•抚顺一模）学校选派甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表学校参加市级“演讲”和“诗词”比赛，下面是他们的一段对话．甲说：“乙参加‘演讲’比赛”；乙说：“丙参加‘诗词’比赛”；丙说“丁参加‘演讲’比赛”；丁说：“戊参加‘诗词’比赛”；戊说：“丁参加‘诗词’比赛”．已知这5个人中有2人参加“演讲”比赛，有3人参加“诗词”比赛，其中有2人说的不正确，且参加“演讲”的2人中只有1人说的不正确．根据以上信息，可以确定参加“演讲”比赛的学生是（）A．甲和乙B．乙和丙C．丁和戊D．甲和丁8．（2018•长春四模）为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A、B对该疾病均没有预防效果9．（2018•淄博一模）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（x0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确10．（2018•秦州区校级三模）下面是一段演绎推理：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；所以直线b∥直线a，在这个推理中（）A．大前提正确，结论错误B．小前提与结论都是错误的C．大、小前提正确，只有结论错误D．大前提错误，结论错误11．（2018•泸州模拟）甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了12．（2018•邕宁区校级模拟）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁13．（2018春•烟台期中）分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．（2018春•桃城区校级期中）下列表述：①综合法是由因到果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句与（）A．2个B．3个C．4个D．5个15．（2018春•济宁期中）若P=+，Q=+（a≥0），则P，Q 的大小关系是（）A．P＞Q B．P=QC．P＜Q D．由a的取值确定16．（2017春•钦州期末）（文）下列说法中正确的是（）A．合情推理就是类比推理B．归纳推理是从一般到特殊的推理C．合情推理就是归纳推理D．类比推理是从特殊到特殊的推理17．（2016春•邹平县校级期中）若a＞b＞c，则使恒成立的最大的正整数k为（）A．2 B．3C．4 D．518．（2009春•温州期末）设函数f（x）=，类比课本推导等差数列的前n 项和公式的推导方法计算f（﹣5）+f（﹣4）+f（﹣3））+…+f（0））+f（1））+…+f（5）+f（6）的值为（）A．B．C．3D．19．（2015秋•雁塔区校级期末）要证明+＜2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）A．综合法B．分析法C．反证法D．归纳法20．（2016春•枣阳市校级期中）设x，y，z＞0，则三个数+，+，+（）A．都大于2 B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于221．（2016春•曲阜市校级月考）下列说法不正确的是（）A．综合法是由因导果的顺推证法B．分析法是执果索因的逆推证法C．分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的充分条件D．综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用22．（2014•奎文区校级模拟）证明命题：“f（x）=e x+在（0，+∞）上是增函数”，现给出的证法如下：因为f（x）=e x+，所以f′（x）=e x﹣，因为x＞0，所以e x＞1，0＜＜1，所以e x﹣＞0，即f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，使用的证明方法是（）A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是23．（2014•海淀区校级模拟）分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．等价条件24．要证明+＜2+所选择的方法有以下几种，其中合理的是（）A．综合法B．分析法C．类比法D．归纳法二．填空题（共3小题）25．（2014秋•襄阳期末）分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的.（填序号）①充分条件；②必要条件；③充要条件．26．（2010•江苏模拟）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1﹣2a n=2n，则a n=. 27．如图所示，直线m∥n，AB⊥m，∠ABC=130°，那么∠α为．三．解答题（共7小题）28．证明：x∈[0，+∞），e x+x3﹣2x2≥（e﹣1）x．29．已知数列{a n}满足：a1=，且a n=（n≥2，n∈N*）．证明：{1﹣}为一个等比数列，求数列{a n}的通项公式．30．用分析法和综合法分别证明下题：如图，在△ABC中，AB=AC，BE⊥AC，CF⊥AB，BE与CF相交于M，求证：MB=MC．31．已知f（x）=，证明f（x）+f（1﹣x）=．32．在△ABC中，AB=BC，∠B=90°，M为BC的中点，BN⊥AM，且交AC于点N，用解析法证明：∠CMN=∠BMA．33．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D的中点为E，BD的中点为F，证明：CD1∥EF．34．求证：关于x的方程sin（cosx）=x在区间（0，）内有唯一的实数解．。

高考数学总复习考点知识专题讲解33---合情推理与演绎推理

归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与数字有关的等式的推理，观察数字的变化特点，找出等式左、右两侧的规律及符号即可求解． (2)与不等式有关的推理，观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．
(3)与数列有关的推理，通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．
n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an
的表达式是( C )
A．an＝3n－2 C．an＝n2
B．an＝4n－3 D．an＝3n－1
[解析] 由a1＝1，an＝an－1＋2n－1，得a2＝4，a3＝9， a4＝16.猜得an＝n2.故选C.
4．演绎推理“因为对数函数y＝logax(a>0且a≠1)是增
角度2：式子的归纳
【例1－2】已知f(x)＝exx，f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝
[f1(x)]′，…，fn＋1(x)＝[fn(x)]′，n∈N*，经计算：f1(x)＝
1－ex x，f2(x)＝x－ex 2，f3(x)＝3－ex x，…，照此规律，则fn(x)＝－1nx－n
________e_x___________.
___2_____.
[解析]
由题意，可令1＋
1 1＋1＋1…＝x，易知 Nhomakorabea>0，则1
＋1x＝x，即x2－x－1＝0，可得x＝1＋2 5，故1＋1＋11＋1…＝
1＋ 5 2.
考点三演绎推理
【例3】数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1 ＝n＋n 2Sn(n∈N*)．证明：
(1)数列Snn是等比数列； (2)Sn＋1＝4an.
1．合情推理
2.演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．

高三数学考点-合情推理与演绎推理

12．2合情推理与演绎推理1．两种基本的推理推理一般包括____________和____________两类．2．合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由__________到整体、由__________到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由________到________的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行__________、__________，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．3．演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由__________到__________的推理．(2)“__________”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．“三段论”可以表示为：大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.自查自纠1．合情推理演绎推理2．(1)部分个别(2)特殊特殊(3)归纳类比3．(1)一般特殊(2)三段论下列说法正确的是()A．归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理B．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适C．“所有9的倍数都是3的倍数，某数m是9的倍数，则m一定是3的倍数”，这是三段论推理D．在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确解：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，故A错；平面中的三角形与空间中的三棱锥作为类比对象较为合适，故B错；在演绎推理中，不仅要符合演绎推理的形式，还要大前提正确，推理过程正确，结论才正确，故D 错；只有C 正确．故选C .由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是( )A ．归纳推理B ．类比推理C ．演绎推理D ．以上都不是解：类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．所以，由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”推出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理．故选B . 对大于或等于2的自然数m 的3次方幂有如下分解方式： 23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，…根据上述分解规律，若m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是73，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11解：m 3的分解中，最小的数依次为3，7，13，…，m (m －1)＋1，…，由m 2－m ＋1＝73得m ＝9.故选B . (2016·重庆一诊)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为____________．解：因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.故填55.现有一个关于平面图形的命题：同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为__________．解：由类比推理易得两个正方体重叠部分的体积为a 38.故填a 38.类型一归纳推理(1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，n ∈N *，猜想这个数列的通项公式是什么？说明理由．解：在{a n }中，a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，…，所以猜想{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1.证明如下：因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，所以1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，12为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋12(n －1)＝12n ＋12，所以通项公式a n ＝2n ＋1.(2)对于实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，观察下列等式： [1]＋[2]＋[3]＝3，[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10， [9]＋[10]＋[11]＋…＋[15]＝21， ……按照此规律第n 个等式的等号右边的结果为________．解：第n 个等式第1个数为n 2，第n ＋1个等式第1个数为（n ＋1）2，故第n 个等式有(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1个数，所以第n 个等式右边为(2n ＋1)n ＝2n 2＋n .故填2n 2＋n.【点拨】本题考查归纳推理，通过对某些个体的观察、分析和比较，发现它们的相同性质或变化规律，再从中推出一个明确表达的一般性命题．(1)根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的一个通项公式． (Ⅰ)a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1；(Ⅱ)a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n.解：(Ⅰ)由已知有a 1＝3＝22－1， a 2＝2a 1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a 3＝2a 2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1.由此猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N *.(Ⅱ)由已知有a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a.由此猜想a n ＝（n －1）－（n －2）an －（n －1）a ，n ∈N *.(2)(2015·山东)观察下列各式：C 01＝40； C 03＋C 13＝41； C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝____________．解：观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝4n －1.故填4n －1. 类型二类比推理在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是__________．解：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.故填S 21＋S 22＋S 23＝S 24.【点拨】本题考查的是平面到空间的推广类比，并且在推导空间的结论时用到了平面的结论．一般地，平面中的一些元素与空间中的一些元素可类比如下：平面点线圆三角形角面积周长 … 空间线面球三棱锥二面角体积表面积…“解方程⎝⎛⎭⎫35x＋⎝⎛⎭⎫45x＝1”有如下思路：设f (x )＝⎝⎛⎭⎫35x＋⎝⎛⎭⎫45x，则f (x )在R 上单调递减，且f (2)＝1，故原方程有唯一解x ＝2.类比上述思路，不等式x 6－(x ＋2)＞(x ＋2)3－x 2的解集是________．解：不等式化为x 6＋x 2＞(x ＋2)3＋(x ＋2)，设g (x )＝x 3＋x ，则g (x )在R 上单调递增，所以不等式即g (x 2)＞g (x ＋2)，所以x 2＞x ＋2，解得x ＞2或x ＜－1.故填{x|x ＞2或x ＜－1}．类型三演绎推理指出下面推理中的错误：(1)自然数是整数…………………………大前提－5是整数………………………………小前提所以，－5是自然数………………………结论 (2)指数函数y ＝a x 是增函数………………大前提y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是指数函数………………………小前提所以，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是增函数……………………结论 (3)三角函数是周期函数…………………大前提 y ＝sin x (0<x <π)是三角函数………………小前提所以，y ＝sin x (0<x <π)是周期函数…………结论解：(1)推理形式错误，自然数是整数为大前提，小前提应是判断某数为自然数，而不是某数为整数． (2)大前提错误，因为当0<a <1时，指数函数y ＝a x 是减函数．(3)推理形式错误，大前提中的“三角函数”和小前提中的“三角函数”概念不同．【点拨】演绎推理是一种必然性推理，只有前提和推理形式都是正确的，结论才一定是正确的，否则，不能保证结论的可靠性．(2015·保定期末)有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f (x )，如果f ′(x 0)＝0，那么x ＝x 0是函数f (x )的极值点．因为f (x )＝x 3在x ＝0处的导数值f ′(0)＝0，所以x ＝0是函数f (x )＝x 3的极值点．以上推理中( )A ．大前提错误B ．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确解：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，大前提错误，故选A.类型四推理的应用(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是____________．解：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以甲、乙的卡片中必有一张写有1和3，而丙的卡片又不可能写有2和3(和不是5)，则丙的卡片上写的只能是1和2.从而知乙卡片上写有2和3(与丙相同数字不是1)，则甲卡片上写有1和3.故填1和3.【点拨】推理在实际生活中的应用是近年高考的一个热点问题，对已知条件进行有效的组合一般可直接得到结果，对复杂情形，可能需要先假设，再判断．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩解：依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，故选D.1．归纳推理的前提是一些特殊的情况，所以归纳推理要在观察、经验、实验的基础上进行；归纳推理是依据特殊现象推断出一般现象，因此所得结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的．归纳推理的一般过程：(1)通过观察个别情况，发现相同的性质；(2)推出一个明确表述的一般性结论．2．在数学中，类比是发现概念、方法、定理、公式的重要手段，并且应用广泛，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限等之间有不少结论都是先用类比的方法提出猜想，然后再加以证明的．进行类比推理，重要的是要找准合适的类比对象，如三棱锥、球、体积的类比对象一般分别为三角形、圆、面积；同时还要注意不仅可进行形式的类比，还可进行方法的类比．类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)，但结论不一定正确，有待进一步证明．1．(2015·武汉华师一附中)下列推理是归纳推理的是()A．由于f(x)＝x cos x满足：f(－x)＝－f(x)对任意x∈R都成立，推断f(x)＝x cos x为奇函数B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜出数列{a n}的前n项和的表达式C．由圆x2＋y2＝1的面积S＝πr2，推断：椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的面积S＝πabD．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质解：归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些性质，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，只有B是归纳推理，故选B.2．(2016·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确解：因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．故选C.3．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；④“若x∈R，则|x|<1⇒－1<x<1”类比推出“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1”．其中类比结论正确．．．．的个数有()A．1 B．2 C．3 D．4解：①在复数集C中，若两个复数满足a－b＝0，则它们的实部和虚部均相等，则a，b相等，故①正确；②在有理数集Q中，若a＋b2＝c＋d2，则(a－c)＋2(b－d)＝0，解得a＝c，b＝d，故②正确；③若a，b∈C，当a＝1＋i，b＝i时，a－b＝1>0，但a，b是两个虚数，不能比较大小，故③错误；④|z|<1表示复数模小于1，不能推出－1<z<1，故④错误．故选B.4．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝() A．28 B．76 C．123 D．199解：归纳推理：因为1＋3＝4，3＋4＝7，4＋7＝11，7＋11＝18，11＋18＝29，18＋29＝47，29＋47＝76，所以a10＋b10＝47＋76＝123，故选C.5．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是()A．10日和12日B．2日和7日C．4日和5日D．6日和11日解：这12天的日期之和，S12＝122(1＋12)＝78，甲、乙、丙各自的值班日期之和是26，对于甲，剩余2天日期之和是22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日值班；对于乙，剩余2天日期之和是9，故乙可能在2日，7日，或者是4日，5日值班，因此丙必定值班的日期是6日和11日．故选D.6．(2016·西安联考)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个“整数对”是( ) A ．(7，5) B ．(5，7) C ．(2，10) D ．(10，1)解：依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n ＋1，且每组共有n 个整数时，这样的前n 组一共有n （n ＋1）2个整数，注意到10（10＋1）2＜60＜11（11＋1）2，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各数对依次为(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，…，因此第60个整数对是(5，7)．故选B .7．观察等式：sin30°＋sin90°cos30°＋cos90°＝3，sin15°＋sin75°cos15°＋cos75°＝1，sin20°＋sin40°cos20°＋cos40°＝33.照此规律，对于一般的角α，β，有等式____________．解：根据等式的特点，分别用α，β代替两个角，并且发现tan 30°＋90°2＝3，tan 15°＋75°2＝1，tan20°＋40°2＝33，故对于一般的角α，β的等式为sin α＋sin βcos α＋cos β＝tan α＋β2. 故填sin α＋sin βcos α＋cos β＝tan α＋β2.8．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接受方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文a ＋2b ，2b ＋c ，2c ＋3d ，4d ，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16.当接受方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为________．解：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝14，2b ＋c ＝9，2c ＋3d ＝23，4d ＝28，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝4，c ＝1，d ＝7，故解密得到的明文为6，4，1，7.故填6，4，1，7.9．通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假．sin 215°＋sin 275°＋sin 2135°＝32；sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32；sin 245°＋sin 2105°＋sin 2165°＝32；sin 260°＋sin 2120°＋sin 2180°＝32.解：猜想：sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32.证明如下：左边＝(sin αcos60°－cos αsin60°)2＋sin 2α＋(sin αcos60°＋cos αsin60°)2＝32(sin 2α＋cos 2α)＝32＝右边．10．先解答(1)，再根据结构类比解答(2)．(1)已知a ，b 为实数，且|a |<1，|b |<1，求证：ab ＋1>a ＋b ；(2)已知a ，b ，c 均为实数，且|a |<1，|b |<1，|c |<1，求证：abc ＋2>a ＋b ＋c . 证明：(1)ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0. (2)因为|a |<1，|b |<1，|c |<1，所以|ab |<1，据(1)得(ab )·c ＋1>ab ＋c ，所以abc ＋2＝[(ab )·c ＋1]＋1>(ab ＋c )＋1 ＝(ab ＋1)＋c >a ＋b ＋c .11．已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，kPN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M 、N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知双曲线上，所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a2x 2－b 2. 则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长，分别交对边于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABCS △ABC＝1. 请运用类比思想，对于空间中的四面体A-BCD ，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．解：在四面体A-BCD 中，任取一点O ，连接AO ，DO ，BO ，CO 并延长，分别交四个面于E ，F ，G ，H 点．则OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OHCH ＝1. 证明：在四面体O-BCD 与A-BCD 中，设点O 到平面BCD 的距离为h 1，点A 到平面BCD 的距离为h ，则OE AE ＝h 1h ＝13S △BCD·h 113S △BCD·h ＝V O _x001F_-BCD V A _x001F_-BCD. 同理有OF DF ＝V O _x001F_-ABC V D -_x001F_ABC ，OG BG ＝V O _x001F_-ACD V B _x001F_-ACD ，OH CH ＝V O _x001F_ABDV C _x001F_-ABD ，所以OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH＝V O _x001F_-BCD ＋V O _x001F_-ABC ＋V O _x001F_-ACD ＋V O _x001F_-ABD V A _x001F_-BCD ＝V A _x001F_-BCD V A -_x001F_BCD＝1.。

高中数学合情推理与演绎推理

合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．
演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．
归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是高考的热点，归纳、类比推理大多数出现在填空题中，为中、低档题．演绎推理大多数出现在解答题中，为中、高档题目．在知识的交汇点处命题，背景新颖的创新问题，常考常新，值得重视．
34.
新课标 ·文科数学（安徽专用）
自主
(2)归纳三角恒等式sin2α＋cos2(30°－α)－sin
落实 ·
cos(30°－α)＝34.
固
基
证明如下：
础
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
高
α考体验
· 明考情
＝
1－cos 2
2α ＋
1＋cos（620°－2α）－sin
【思路点拨】
从特殊②计算结果为
3 4
，观察每个三角
函数式中三角函数名称与角的变化规律，归纳出一般性结
论；然后利根用据演(1绎)的推计理算进结行果证，将明该．同学的发现推
广为三角恒等式，并证明你的结论．
【尝试解答】 (1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝
01
归纳推理和类比推理的共同特点和区别是什么？
02
【提示】共同点：两种推理的结论都有待于证明．
03
不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．
二．演绎推理所获得的结论一定可靠吗？
【提示】演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理．演绎推理的前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论．

2013届高考数学考点回归总复习《第三十五讲合情推理与演绎推理》课件

又∵m+n=r+s,∴am•an=as•ar.
答案:在等比数列{an}中,若m+n=r+s,则
am•an=ar•as(m,n,r,s∈N+)
5.(2010·山东)观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=( A.f(x) B.-f(x) )
[分析]根据已知条件和递推关系,先求出数列的前几项,然
后总结归纳其中的规律,写出其通项公式.
2a1 2 [解]a n 中, a1 1, a2 , 2 a1 3 2a3 2a2 1 2 2 a3 , a4 ,… 2 a2 2 4 2 a3 5 2 猜想a n 的通项公式为an . n 1
式是正确的,那么结论必定是真实的,但错误的前提可能导
致错误的结论.
[探究2]已知函数
f ( x)
a>0,b>0,x∈(0,+∞),确定f(x)的单调区间,并证明在每个单调区间上的增减性. [分析]利用演绎推理证明.
a bx x
,其中
[证明]设0 x1 x 2 , 则 a a f ( x1 ) f ( x2 ) bx1 bx2 x1 x2 a ( x2 x1 ) b . x1 x2 a a a 当0 x1 x 2 ≤ 时, 则x2 x1 0, 0 x1 x2 , b, b b x1 x2
解析:由亍“9的倍数是3的倍数”为真,若“某数是9的倍数”
也为真,则“某数为3的倍数”为真.即大前提不小前提都正确,则结论必然正确,故选D.

高考数学考点专题：推理与证明：合情推理与演绎推理

(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理
称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提 —— 已知的一般原理；
②小前提 —— 所研究的特殊情况；
③结论 —— 根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
【教材改编】
1． (选修 1－2 P28 内文改编 )数列 1,3,7,15,31，…，的一个通项公式是 ( )
A ．an＝2n－1
B．an＝ 3n－2
C．an＝2n－ 1
D． an＝2n－1＋ 1
[ 答案 ] C
[ 解析 ] 1＝ 21－1,3＝22－1,7＝23－ 1,15＝24－ 1,31＝25－ 1，
∴可猜想数列的一个通项公式是 an＝ 2n－1，故选 C.
2．(选修 1－2 P30 练习 T2 改编 )观察三角数阵，记第 n 行的第 m 个数为 a(n， m)，则下列关系正确的是 ( )
2 9． (选修 1－2 P35B 组 T1 改编 )已知数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，a1＝－3，且 Sn ＋S1n＋ 2＝ an(n≥2)，猜想 n＝________.
四棱锥
5
5
8
猜想一般结论 F＋V－E＝________.
[ 答案 ] 2
[ 解析 ] 从表中可猜想 F＋V－E＝2.
a11＋a12＋…＋ a20
7． (选修 1－ 2 P35A 组 T6 改编 )已知等差数列 { an} 中，有
10
＝
a1＋ a2＋…＋ a30
30
，则在等比数列 { bn} 中，会有类似的结论：

高考数学命题热点名师解密专题：演绎推与合情推(理

种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方法． (2)从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为综合法．推证过程如下： P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q (3)从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的充分条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．推论过程如下： Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件． P—表示条件，Q—表示要证的结论． 2．间接证明——反证法 (1)假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法． (2)反证法的特点：先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，所得矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．推论过程如下： Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件． P—表示条件，Q—表示要证的结论． 2．间接证明——反证法 (1)假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做_________． (2)反证法的特点：先假设原命题__________成立，再在正确的推理下得出矛盾，所得矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等． 2.关于反证法使用反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式、事实矛盾等. 反证法的步骤：(1)反设；(2)推出矛盾；(3)下结论. 矛盾的主要类型：(1)与假设矛盾；(2)与数学公式、法则、公理、定理、定义或已被证明了的结论矛盾； (3)与公认的简单事实矛盾；(4)自相矛盾. 1.数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法.它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法

高考数学真题分类解析总复习资料考点30 合情推理与演绎推理

温馨提示：此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word 文档返回原板块.考点30 合情推理与演绎推理一、选择题1.（2012·江西高考理科·Ｔ6）观察下列各式：2233441,3,4,7a b a b a b a b +=+=+=+=，5511a b +=，…，则1010a b +＝（）(A)28 (B)76 (C)123 (D)199【解题指南】由前几项发现规律，归纳猜想结果.【解析】选C. 利用归纳法，1a b +=，223a b +=，3343+1a b +==，44437a b +=+=，557+411a b +==，6611718a b +=+=，77181129a b +=+=，88291847a b +=+=，99472976a b +=+=，10107647123a b +=+=，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和.2.（2012·江西高考文科·Ｔ5）观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x,y ）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x,y ）的个数为8， |x|+|y|=3的不同整数解（x,y ）的个数为12，…，则|x|+|y|=20的不同整数解（x ，y ）的个数为（）(A)76 (B)80 (C)86 (D)92【解题指南】观察并发现规律，归纳出整数解个数.【解析】选 B . 由已知条件得，()x y n n N ++=∈的整数解(),x y 个数为4n ，故20x y +=的不同整数解(),x y 的个数为80.二、填空题3.（2012·陕西高考文科·Ｔ12）与（2012·陕西高考理科·Ｔ11）相同观察下列不等式213122+<，222111712344+++<，……照此规律，第五个不等式为 .【解题指南】观察不等式两边式子的特点，总结指数、项数、分子、分母之间的数量关系.【解析】左边的式子的通项是222111123(1)n +++++，右边的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为2222211111111234566+++++<.【答案】2222211111111234566+++++< 关闭Word 文档返回原板块。

2013届高考数学理一轮复习课件5.38合情推理与演绎推理

(ⅱ)由(1)知 n(1＋x)n－1＝C1n＋2C2nx＋3C3nx2＋… ＋(n－1)·Cnn－1xn－2＋nCnnxn－1，
两边对 x 求导，得 n≥3 时有：
n(n
－
1)(1
＋
x)n
－
2
＝
2C
2 n
＋
3·2C
3 n
x
＋
…
＋
n(n
－
1)Cnnxn－2
在上式中令 x＝－1，得
0＝2C2n＋3·2C3n(－1)＋…＋n(n－1)Cnn(－1)n－2，
n(1＋x)n－1＝C1n＋2C2nx＋3C3nx2＋…(n－1)Cnn－1
xn－2＋nCnnxn－1，
n
移项得 n[(1＋x)n－1－1]＝ kCknxk－1.(*)
k＝2
(2)(ⅰ)在(*)式中，令 x＝－1，
n
n
整理得－1)k－1kCkn＝0，即－1)kkCkn＝0
k＝1
k＝1
(2)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 (简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
2．演绎推理 (1)定义：演绎推理是根据已有的事实的正确
的结论 (包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．
a2＋b2 2.
把上面的三个结论类比到空间，写出相类似的
结论．
【解析】(1)设三个两面互相垂直的侧面的面积
分别为 S1，S2，S3，底面积为 S，则 S21＋S22＋S23＝ S2；
(2)设三个两面互相垂直的侧面与底面所成角
分别为 α、β、γ，则 cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1；

高中数学章推理与证明合情推理和演绎推理合情推理一归纳合情推理二类比数学.doc

5．1.1& 5.1.2合情推理(一)——归纳合情推理(二)——类比[读教材·填要点]1．合情推理的含义及方法“合乎情理”的推理，最常见的有归纳和类比．(1)归纳由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫作归纳．(2)类比根据两个不同的对象在某方面的相似之处，推测出这两个对象在其它方面也有可能有相似之处的推理方法，叫作类比．2．合情推理的过程[小问题·大思维]1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．你认为下列说法正确的有哪些？①由合情推理得出的结论一定是正确的；②合情推理必须有前提有结论；③合情推理不能猜想；④合情推理得出的结论不能判断正误．提示：由合情推理的定义及推理过程可知，合情推理必须有前提有结论，但结论不一定正确，故只有②正确．数列中的归纳推理已知数列{a n }的每一项均为正数，a 1＝1，a 2n ＋1＝a 2n ＋1(n＝1,2,3，…)，试归纳出数列{a n }的一个通项公式．[自主解答] 当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝a 21＋1＝2；当n ＝3时，a 3＝a 22＋1＝ 3.由此猜想{a n }的一个通项公式为a n ＝n (n ∈N ＋)．若将“a 2n ＋1＝a 2n ＋1”改换为“a n ＋1＝3a n3＋2a n”，试猜想{a n }的一个通项公式．解：当n ＝1时，a 1＝1，由a n ＋1＝3a n3＋2a n(n ∈N ＋)，得a 2＝35，a 3＝3a 23＋2a 2＝37，a 4＝3a 33＋2a 3＝13＝39.由此猜想{a n }的一个通项公式为a n ＝32n ＋1(n ∈N ＋)．归纳推理的一般步骤归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23，且S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．解：当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－43，所以S 2＝－34；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54，所以S 3＝－45；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65，所以S 4＝－56.猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2，n ∈N ＋.几何中的归纳推理如图，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，同时将圆分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分．那么：(1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？(2)猜想：圆内两两相交的n (n ≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？[自主解答] 将圆内两两相交的n 条线段，彼此最多分割成的线段为f (n )条，将圆最多分割为g (n )部分．(1)f (1)＝1＝12，g (1)＝2＝12＋1＋22；f (2)＝4＝22，g (2)＝4＝22＋2＋22；f (3)＝9＝32，g (3)＝7＝32＋3＋22；f (4)＝16＝42，g (4)＝11＝42＋4＋22；所以n ＝5时，f (5)＝25，g (5)＝16＝52＋5＋22.(2)根据题意猜测：圆内两两相交的n (n ≥2)条线段，彼此最多分割为f (n )＝n 2条线段，将圆最多分割为g (n )＝n 2＋n ＋22部分．解决图形中归纳推理的方法解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手： (1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系． (2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．2．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36解析：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.答案：B类比推理(1)若数列{a n}(n∈N*)是等差数列，则有数列{b n}：b n＝a1＋a2＋a3＋…＋a nn(n∈N*)也是等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{c n}(n∈N*)是等比数列，且c n>0，则有数列{d n}：d n＝________(n∈N*)也是等比数列．(2)如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C ＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．[自主解答] (1)由等差数列与等比数列在运算上的相似性猜想：d n＝nc1·c2·c3·…·c n.答案：nc1·c2·c3·…·c n(2)如图所示，在四面体PABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ. 1．类比推理的一般步骤类比推理的思维过程大致是：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．该过程包括两个步骤：(1)找出两类对象之间的相似性或一致性；(2)用一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题(猜想)．2．解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何，相关类比点如下：3的比为AC BC ＝AEBE .把这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中(如图)，DEC 平分二面角A CD B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是__________________．解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AEEB ＝S △ACDS △BCD. 答案：AE EB ＝S △ACDS △BCD类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．[巧思] 考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以可以选取有3个面两两垂直的四面体，作为直角三角形的类比对象．[妙解] 如图(1)，(2)所示，与Rt △ABC 相对应的是四面体P DEF ；与Rt △ABC 的两条边构成的1个直角相对应的是四面体P DEF 的3个面在一个顶点构成的3个直二面角；与Rt △ABC 的直角边边长a ，b 相对应的是四面体P DEF 中的△DEF ，△FPD 和△DPE 的面积S 1，S 2和S 3；与Rt △ABC 的斜边c 相对应的是四面体P DEF 中的△PEF 的面积S .我们知道，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2. 于是，类比直角三角形的勾股定理，在四面体P DEF 中，我们猜想：S 2＝S 21＋S 22＋S 23成立．1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 等于( )A.2n ＋12B.2nn ＋1C.22n －1D.22n －1解析：∵S n ＝n 2·a n (n ≥2)，a 1＝1， ∴S 2＝4·a 2＝a 1＋a 2⇒a 2＝13＝23×2；S 3＝9a 3＝a 1＋a 2＋a 3⇒a 3＝a 1＋a 28＝16＝24×3；S 4＝16a 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4⇒a 4＝a 1＋a 2＋a 315＝25×4. ∴猜想a n ＝2nn ＋1.答案：B2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. B ．△ C.D ．○解析：观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．答案：A3．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析：观察可知，偶函数f (x )的导函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )．答案：D4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：由平面和空间的知识，可知很多比值在平面中成平方关系，在空间中成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.答案：1∶85．观察下列等式： 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝612－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________．解析：观察规律可知，第n 个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋12.答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋126．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在立体几何中，给出四面体性质的猜想．解：如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝a 2＋b 2c 2＝1.把结论类比到四面体P ABC 中，我们猜想，在三棱锥P ABC 中，若三个侧面PAB ，PBC ，PCA 两两互相垂直，且与底面所成的二面角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.一、选择题1．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是( )A．a k＋a k＋1＋…＋a2kB．a k－1＋a k＋…＋a2k－1C．a k－1＋a k＋…＋a2kD．a k－1＋a k＋…＋a2k－2解析：利用归纳推理可知，第k项中第一个数为a k－1，且第k 项中有k项，且次数连续，故第k项为a k－1＋a k＋…＋a2k－2.答案：D2．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是( )A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交．B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直．C．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行．D．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．解析：推广到空间以后，对于A，还有可能异面，对于C，还有可能异面，对于D，还有可能异面．答案：B3．对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和为”( )A ．定值B ．变数C ．有时为定值、有时为变数D ．与正四面体无关的常数解析：设正四面体S ABC 的棱长为a ，正四面体内任意一点O 到各面的距离分别为h 1，h 2，h 3，h 4，由体积关系得V S ABC ＝13·34a 2·(h 1＋h 2＋h 3＋h 4)＝13·34a 2·63a ，∴h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝63a (此为正四面体的高)．答案：A4．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色应该是( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大解析：由图知：三白二黑周而复始相继排列，因36÷5＝7余1，所以第36颗应与第1颗珠子的颜色相同，即为白色．答案：A二、填空题5．已知a 1＝3，a 2＝6且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33＝________. 解析：a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，a 8＝6，…，故{a n }是以6个项为周期循环出现，a 33＝a 3＝3. 答案：36．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，______，________，T 16T 12成等比数列．解析：等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 87．可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线的方程分别是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与x 2＋y 2＝a 2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为______________．解析：由于椭圆与圆截y 轴所得线段之比为ba，即k ＝b a ，∴椭圆面积S ＝πa 2·b a＝πab .答案：πab 8．已知f (x )＝x1＋x，x ≥0，若 f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2 018(x )的表达式为________．解析：由f 1(x )＝x 1＋x ⇒f 2(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ＝x1＋x1＋x1＋x＝x1＋2x；又可得f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x1＋2x1＋x 1＋2x ＝x1＋3x ，故可猜想f 2 018(x )＝x1＋2 018x.答案：f 2 018(x )＝x1＋2 018x三、解答题9．已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似特征的性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知的双曲线上，所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理，y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．10．已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋ma n，m 为常数．(1)当m ＝1,2,3,4时，分别求数列的通项公式a n ； (2)当m ∈N ＋时，猜想数列的通项公式．解：(1)当m ＝1时，由a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n.∴1a n ＋1＝1a n＋1.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，1为公差的等差数列．求得a n ＝1n.当m ＝2时，由a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋2a n ，求得a n ＝12n －1；当m ＝3时，由a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋3a n ，求得a n ＝13n －2；当m ＝4时，由a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋4a n ，求得a n ＝14n －3.(2)由上述归纳猜想得当m ∈N ＋时，由a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋ma n 得a n ＝1mn －m －1.。

2013年高考数学成功方案系列课件第六章第五节合情推理与演绎推理

(n－2)· 180°.
A．①② C．①②④
B．①③ D．②④
解析：①是类比推理，②④是归纳推理，
③是非合情推理．
答案：C
2．观察以下等式：13＝1,13＋23＝9,13＋23＋33＝36,13＋ 23＋33＋43＝100,13＋23＋33＋43＋53＝225.由此可以推测 13＋23＋33＋…＋n3＝ nn＋1 A. 2 n2n－1 C. 4 B．(2n－1)2 n2n＋12 D. 4 ( )
1 1 (1)证明：函数y＝f(x)的图像关于点(2，－2)对称； (2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3) 的值．
[自主解答]
(1)证明：函数f(x)的定义域为R，任取一点(x，
1 1 y)，它关于点(2，－2)对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．由已知得y＝－ a ， ax＋ a
则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.
[悟一法] 演绎推理还可以定义为结论在普遍性上不大于前提的推理，或结论在确定性上同前提一样的推理．应用演绎推理的过程中一定要注意大小前提都正确，此前提下得到的结论才正确．
[通一类] n＋2 3．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝ n Sn(n∈ N＋)，证明：
“∠A＝∠B”．
答案：两条直线平行，同时和第三条直线相交，内错角相等 ∠A和∠B是内错角 ∠A＝∠B
5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它
们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四
面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积的比为_____．解析：由平面几何与空间几何的类比推理可知，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积的比为 1∶8. 答案：1∶8

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考点30 合情推理与演绎推理
一、选择题
1. （2013·广东高考理科·Ｔ8）设整数4n ≥，集合{1,2,3,,}X n =.令集合S =｛(,,)x y z |,,x y z X ∈，且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰有一个成立｝，若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在S 中，则下列选项正确的是（）
A.(,,),(,,)y z w S x y w S ∈∉
B.(,,),(,,)y z w S x y w S ∈∈
C.(,,),(,,)y z w S x y w S ∉∈
D.(,,),(,,)y z w S x y w S ∉∉
【解题指南】本题在集合背景下利用新定义考查推力论证能力，应理解好元素在集合S 中的含义.
【解析】选B. (,,)x y z S ∈即,,x y z X ∈，且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰有一个成立，则,,x y z 是X 中两两互不相同的三个数（不妨设x y z <<），同理，(,,)z w x S ∈意味着,,z w x 也两两互不相同（由于x z <，w x z <<或x z w <<有且只有一个成立），对于(,,)y z w 由于y z <，且w x z w y z <<⇒<<或x z w y z w <<⇒<<，所以(,,)y z w S ∈.同理，对于(,,)x y w 由于x y <，x z w x y w <<⇒<<或w x z w x y <<⇒<<，所以(,,)x y w S ∈.
二、填空题
2.（2013·山东高考文科·Ｔ16）与（2013·山东高考理科·Ｔ16）相同
定义“正对数”：0,01ln ln ,1x x x x +
<<⎧=⎨≥⎩，现有四个命题： ①若0,0a b >>，则ln ()ln b a b a ++=
②若0,0a b >>，则ln ()ln ln ab a b +++=+
③若0,0a b >>，则ln ()ln ln a a b b
+++≥-
④若0,0a b >>，则ln ()ln ln ln 2a b a b ++++≤++
其中的真命题有：（写出所有真命题的编号）
【解题指南】本题为新定义问题，要注意新定义的函数的特点，根据新定义解决问题.
【解析】①当1,0a b >>时，1b a >，ln ()ln ln ,ln ln b b a a b a b a b a ++===，所以ln ()ln b a b a ++=成立.当01,0a b <<>时，01b a <<，此时ln ()0,ln 0b a b a ++==，即ln ()ln b a b a ++=成立.综上ln ()ln b a b a ++=恒成立. ②当1,a e b e ==时，ln ()ln10,ln ln 1,ln 0ab a e b +++=====，所以ln ()ln ln ab a b +++=+不成立.
对于③,当a ≥b>0时,a b ≥1,此时ln ()ln()0,a
a b
b
+=≥, 当a ≥b ≥1时,ln +a-ln +b=lna-lnb=ln()a b , 此时命题成立;当a>1>b>0时,ln +a-ln +b=lna,此时a b >a>1,故命题成立;同理可验证当1>a ≥b>0时, ln ()a b +≥ln +a-ln +b 成立;当a b <1时,同理可验证是正确的,故③正确;
对于④,可分a ≤1,b ≤1与两者中仅有一个小于等于1、两者都大于1三类讨论,依据定义判断出④是正确的.
【答案】①③④
3. （2013·陕西高考理科·Ｔ14）观察下列等式:
211= ，
22123-=-，
2221263+-=，
2222124310-+-=-，
…
照此规律, 第n 个等式可为 .
【解题指南】通过观察发现:“=”号右侧数的绝对值为首项为1,公差为1的等差数列的前n 项和,从而根据等差数列求和公式求解.
【解析】12=1,
12-22=-(1+2),
12-22+32=1+2+3,
12-22+32-42=-(1+2+3+4),
…,
12-22+32-42+…+(-1)n+1n 2
=(-1)n+1(1+2+…+n) =n 1n(n 1)1)2
（-++ 【答案】222n 1n(n 1)1231)2n-12--（-1）n （-++++= 4. （2013·陕西高考文科·Ｔ13）观察下列等式:
23(11)21
(21)(22)213
(31)(32)(33)2135+=⨯++=⨯⨯+++=⨯⨯⨯
…
照此规律, 第n 个等式可为 .
【解题指南】根据已经给出的部分规律推知整体的规律，然后根据这些规律和相关的数学知识进行推理或计算，从而找到问题的答案.
【解析】考察规律的观察、概况能力，注意项数，开始值和结束值. 第n 个等式可为: n (n 1)(n 2)(n 3)
(n n)2135(2n 1)++++=⋅⋅⋅⋅⋅- 【答案】n (n 1)(n 2)(n 3)(n n)2135(2n 1)++++=⨯⨯⨯⨯
⨯-。