第二十二讲 以代数为主的综合题

第二十二讲 以代数为主的综合题

一、课标下复习指南

初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．

二、例题分析

例1 关于x 的一元二次方程x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m －2＝0． (1)求证：不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程的两个实数根x 1，x 2满足|x 1－x 2｜＝1

2

1-++

m m ，求m 的值． 解 (1)解法一：⊗＝[－(2m ＋1)]2－4(m 2＋m －2)＝4m 2＋4m ＋1－4m 2－4m ＋8＝9＞0． ∴不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根． 解法二：由原方程可得 x 1＝m ＋2，x 2＝m －1．

∴不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)由(1)得｜x 1－x 2｜＝3． 又∵⋅-++=∴-++

=-1

2

13,121||21m m m m x x 解得m ＝4．经检验，m ＝4符合题意．

∴m 的值为4．

说明 此题利用一元二次方程根的判别式判断其根的情况，这是根的判别式应用的最基本的问题，在此基础上可与方程、函数知识结合，综合地解决代数问题．

例2 已知二次函数y ＝(a ＋c )x 2＋2bx －(c －a )，其中a ，b ，c 是△ABC 的三边，且a ≥b ，a ≥c ，a ＋c ＝2b ． (1)若这个二次函数的图象经过原点，试证：△ABC 是等边三角形；

(2)若△ABC 是直角三角形，求证：这个二次函数的图象除顶点以外都在x 轴上方．

分析 (1)从结论看，要证△ABC 是等边三角形，需证a ＝b ＝c ；从条件看，由函数图象通过原点，可知(0，0)满足该函数的解析式，将之代入变形，寻找a ＝b ＝c 的关系．

(2)从结论看，要证二次函数的图像除顶点外都在x 轴上方，那么解析式配方后y ＝a (x ＋m )2＋n ，其中n ＝0；从条件看，利用△ABC 是直角三角形，a ＋c ＝2b ，可将a ，b ，c 均用a 表示，通过配方观察结论．

证明 (1)由y ＝(a ＋c )x 2＋2bx －(c －a )的图象过原点，得a ＝c ． 又∵a ＋c ＝2b ，∴a ＝b ＝c ． 即△ABC 是等边三角形．

(2)由△ABC 是直角三角形，及a ≥b ，a ≥c ， 得a 2＝b 2＋c 2．

解法一：∵a ＋b ＝2b ，

.5

3,54a c a b ==

∴ .0)2

1

(58

5

25

85

822≥+=

+

+

=

∴x a a ax ax y ∴从图象看，二次函数的图象除顶点外都在x 轴上方．

解法二：⊗＝(2b )2＋4(a －c )(c －a )＝4(b 2＋c 2－a 2)＝0．

∴二次函数的图象与x 轴只有一个公共点，顶点在x 轴上． ∵a ＞0，c ＞0，∴a ＋c ＞0．

∴二次函数的图象开口向上．

∴二次函数的图象除顶点外都在x 轴上方．

例3 关于x 的方程(a －c )(x ＋1)(x －1)＝2(b x ＋c )有两个相等实根，其中a ，b ，c 为 △ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，若a 2＋2ac －4b 2＋c 2＝0，求sin B 和tan A 的值．

分析 从题目结构看是把方程的知识、三角形边角关系“串联”起来，知识衔接关系清楚，属组合型综合题． 解 把方程(a －c )(x ＋1)(x －1)＝2(bx ＋c )整理得(a －c )x 2－2bx －a －c ＝0，因为方程有两个相等实根，所以a －c ≠0，且⊗＝0，

即4b 2＋4(a －c )(a ＋c )＝0． ∴b 2＋a 2－c 2＝0．

∴△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°． 由a 2＋2ac －4b 2＋c 2＝0可得 (a ＋c ＋2b )(a ＋c －2b )＝0．

∵a ＋c ＋2b ＞0， ∴a ＋c －2b ＝0．

由⎩⎨⎧=-+=+c b c a c a b 2,2

2

2

可得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==.

54,5

3c b c a ∴Rt △ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶4∶5．

⋅====

∴4

3

tan ,54sin b a A c b B 例4 (2009天津)已知函数y 1＝x ，y 2＝x 2＋bx ＋c ，α，β为方程y 1－y 2＝0的两个根，点M (t ，T )在函数y 2的图象

上．

(1)若31=

α，2

1

=β，求函数y 2的解析式； (2)在(1)的条件下，若函数y 1与y 2的图象的两个交点为A ，B ，当△ABM 的面积为

3

121

时，求t 的值； (3)若0＜α＜β＜1，当0＜t ＜1时，试确定T ，α，β 三者之间的大小关系，并说明理由． 分析 第(1)问由y 1－y 2＝0得x 2＋(b －1)x ＋c ＝0均两根为α，β，利用根的定义代入得到b ，c 的方程组可求出b ，c 值；第(2)问分别求出A ，B 两点坐标，利用直线y ＝x 与x 轴夹角为45°得到关于t 的方程；第(3)问利用求差法比较T ，α，β 的大小，注意对t 的范围进行分类讨论来的确定相应T ，α，β 的大小关系．

解 (1)∵y 1＝x ，y 2＝x 2＋bx ＋c ，y 1－y 2＝0， ∴x 2＋(b －1)x ＋c ＝0．

将21

,31==

βα分别代入x 2＋(b －1)x ＋c ＝0，得,03

1)1()31(2=+⨯-+c b .0)2

1

()1()21(2=+⨯-+c b 解得⋅==

6

1

,61c b ∴函数y 2的解析式为⋅++

=6

1

612

2x x y (2)由已知，y 1与y 2的图象的两个交点的坐标分别为)3

1,31(),2

1

,21(．得62

=

AB ，

设ABM 中AB 边上的高为h ，