对一道2015年考研数学题的解析

显 然
ａ ｒ
厂（ ＝ｘ＋ａｌ ｎ （ １ ＋ｘ ） ＋ｂ ｘｓ ｉ ｎｘ ， ｇ（ ｘ ）一ｆ ｏ ｅ 。 在 ⑧ ０时为等价无 穷小，求 常数 ａ ， ｂ ， 尼的取值．
。 ｇ （． ｘ ）
—
０ ‘
一
【 解法一 】 （ 教育部考试中心参考答案）
当 ⑧ ０时 。把 函 数
＿ ＿
．
３
６尼
等价无 穷小加减替换 法则 Ｌ ３ Ｊ ：
【 误解】当Ｘ⑧ ０时， 有ｌ ｎ （ １ ＋ ） ～ 且ｓ ｎ ～ ｉ ． 则
直接使用等价无 穷小代换 可知
若 ａ一 ， ｂ口６ ， 且１ ｉ ｍ 鱼 ：ｃ ， 若ｃ ？ １ ， 则
ａ ６ ｒ ｉ － Ｊ ７ ａ ＋６ ； 若Ｃ １ ， 则ａ ｉ ／ｂ 口ａ ｂ．
（ ） ＝ｘ＋ａｌ ｎ （ １ ＋ ） ＋ｂ ｘｓ ｉ ｎｘ展开到三 阶的麦克 劳林
公 式 ，得
无 穷小方法进行相 关题 目的解题 ，而是 多个知识点糅合在 一 （ ） 一 ｘ ＋ ａ （ ｘ 一 等＋ 等＋ ０ （ ｘ ３ ） ） ＋ 一 詈＋ ０ （ ） ） 起．一旦对等价无 穷小的性质认识 不清，就容 易出现 问题 ．而
— —
穷小量。 记作厂 ） ～ｇ ） （ ⑩ ｘ ｏ ） ．
当 ⑧ ０时，常用 的等价无 穷小有 ｓ ｉ ｎ ～Ｘ；
ａｒ ｃ ｔ ａｎｘ ～ ；ｔ ａｎｘ ～ ；
２
＝ ＿ 旦． ＿一 ＋ ２ｂ ＣＯｓ 一 ６ ｓ ｛ Ｔ １
ｌ ｉ ａ ± ： ｒ
课程教 育研 究
教 学方 法
对 一道 ２ ０ １ ５年考研 数 学题 的解析
蒲 洋
（ 西华师 范大学数 学与信 息学院 四川 南充 ６ ３ ７ ０ ０ ２ ）
【 摘 要 】由一道 ２ ０ １ ５年 关于等价 无穷小的考研数 学题 的引入 ，分别使 用 了麦克劳林公 式和洛必达法则两种 方法 ，并分 析 了在使 用等价无 穷小替换 时常见的误 区。 【 关键词 】 等价无 穷小 一题 多解 ２ ０ １ ５ 年考研 试题 【 中图分 类号 】 Ｇ ６ ２ ４ ． ５ ６ 【 文献标识码 】 Ａ 【 文章 编号 】 ２ ０ ９ ５ — ３ ０ ８ ９（ ２ ０ １ ５ ） １ １ — ０ ０ １ ６ ２ — ０ ２
若 ｌ ｉ ｍ
次利 用洛必达法则 ，有
１＋ 口
— —
＋ ６ ｓ ｉ ｎ ＋
立 广 — 一
ｃｏｓ
一 １’
一１ ， 则称ｆ与ｇ是当 ⑧Ｘ ｏ 时的 等价无
ｘ ＠ ｇ ｘ）
注意到 上式分母趋 于零 ，因而分子 必趋 于零 ，即有
１ ＋口＝０ ，从 而 ａ＝．１． 再次利用洛必达法则 ，有
针 对 以上 相 关 问题 做 详 细 分 析 与 说 明 。 等价无穷小的基本概念 及性 质
一
由于 当 ⑩ ０时 ，
ｉ
（ ）ｇ（ ） 是等价无 穷小，则有
，
１
１
口
一
ｏ
ｌ 一 兰＋ ６一Ｏ
耋 一 ａ 一 后
一
解得 ， 一 １ ， ｂ一 一 。 一一三 ．
在 高等数 学的学 习过程 当 中，等价无 穷小是 求解极 限的 常用 方法之 一。如果能够合理 应用等价无 穷小的相关方 法， 能够在很 大程 度上 实现对极 限计算 的简化 。特 别是在 高等数 学考研试题 当中，如何在遇到 这部 分题型 的过程 当中，合理 应用等价 无穷小方法进行作答 ，这一 问题备 受考生、 以及教 师的特别 关注与重视 。本文试 以 ２ ０ １ ５年 的一道考研题 为例
２ ３
、
定义 １ Ｌ Ｉ Ｊ 设 ，在某 。 （ １ 上有定义。若
【 解法二 】 由等价无穷小的定义可知１ ｉ Ｉ ｎ
回 ０ 【
一１ ．第一
￣ ｍ ｏ ｆ （ Ｘ ） 一 ０， 则 称／ 。 为当 ⑧ ｘ ｏ 时 的 无穷 ４ － 量 。
定义２ … 设当ｘ⑧ Ｘ ｏ 时，ｆ与ｇ均为无穷小量。
：
一１ ‘
１ 一Ｃ Ｏ Ｓ ～
；ａ ｒ ｅ ｓ ｉ ｎｘ～ ；ｌ ｎ （ １ ＋ 、一 等．
同样上 式分母趋 于零 ，因此要 求分子趋 于零 ，则有
一
等价 无穷小乘除替换 法则 ： 若 口 ，ｂ ｂ ， 则有 ｌ ｉ ｍ口 ｂ＝ｔ ｉ ｍ ．
一
在２ ０ １ ５年考研数 学试题 中，已经不仅仅是直接应用等价
（ １＋ ａ） ＋（ 。 ａ
ｚ
＋ ｂ ） ｘ ＋ （ 詈 ） ＋ 。 （ ）
本 文针对这道有 关等价无 穷小的数 学题 目的解答过程 中所涉
ａ＋２ｂ ： ０ ， 故 ６＝ 一 ．
２
第三 次利 用洛 必达 法则，有
２ ａ
一
wenku.baidu.com
、
ｃ。 ｓ
一 １
若 ］ ， ｂ口６ ， ＿ Ｋｌ ｉ ｍ ｂ 存 在， 则有
２ ｂ ｓｉ ｎ ｘ ｑ －ｂ ｓｉ ｎ ＋
ｌ ｉ ｍ鱼 ：ｌ ｉ ｍ ．
ａ
此 时可 见 极 限为 ２ ａ ｆ １，即 七 ：
ｌ ｉ ｍ丛 ： ｌ ｉ ｍ ． ｘ ＋ ａ ｌ ｎ （ １ ＋ ｘ ） ＋ ｂ ｘ ｓ ｉ ｎ ｘ ： ｌ ｉ ｍ． Ｘ ＋ － ａ ． ｘ ＋ ｂ ｘ ２
ｘ ｏ ｇ
・
ｘ ０
ｌ ｉ
｛ 。 ｃ ３
ｘ ０
ｋ ｘ ｊ
二、２ ０ １ ５年考研数学一 的真题与解析 １ ５ ． （ 本题 满分 １ Ｏ分 ）设 函数
这与题 目中是等价无 穷小的定 义矛盾 ，从 而无解。 【 分析 】 在 应用等价无 穷小代换 时， 许 多同学都犯这样的错 误．实际上，由于这个极 限式含有加 减 因子，所以只有在 满足
等 价 无 穷 小加 减 替 换 法 则 的 情 况 下 才 能代 换 ．并 不 是 如 乘 除 法则一样无条件 的替换，因此 出现 了问题 ， 导致解题 方向有偏 差 ，最 终 无 法得 到 正 确 答 案 ． 三 、结 语