第5-3讲 阿贝尔群与循环群
有限生成阿贝尔群的结构定理
有限生成阿贝尔群的结构定理有限生成阿贝尔群的结构定理，是群论中的一个重要定理，它描述了有限生成的阿贝尔群的结构。
本文将详细介绍该定理的内容和证明过程。
在群论中，阿贝尔群是指满足交换律的群。
有限生成阿贝尔群是指可以由有限个元素生成的阿贝尔群。
有限生成阿贝尔群的结构定理告诉我们，任意一个有限生成的阿贝尔群都可以分解为一些循环群的直积。
具体来说，设G是一个有限生成的阿贝尔群，可以写为G = <a1, a2, ..., an>，其中a1, a2, ..., an是G中的元素。
根据有限生成群的定义，G中的每个元素都可以由这n个元素通过群运算得到。
根据结构定理，我们可以将G分解为一些循环群的直积。
循环群是指由一个元素生成的群。
设H1, H2, ..., Hm是G的一些循环子群，它们分别由元素b1, b2, ..., bm生成。
那么根据结构定理，我们有G = H1 × H2 × ... × Hm。
接下来，我们需要证明这个分解是唯一的。
换句话说，我们需要证明如果G = H1 × H2 × ... × Hm = K1 × K2 × ... × Kn，则m = n，并且存在一个置换σ将H1, H2, ..., Hm重新排列，使得Hi = Ki对于所有的i。
为了证明这个定理，我们首先需要了解循环群的性质。
循环群的性质告诉我们，循环群中的元素的阶数是相等的。
所以，如果Hi和Kj是循环群，且Hi = Kj，则它们的阶数必须相等。
假设Hi的阶数为mi，Kj的阶数为nj。
接下来，我们考虑循环群的生成元。
根据循环群的定义，如果Hi由元素bi生成，Kj由元素cj生成，则对于任意的i和j，存在一个整数ki和kj，使得bi^ki = cj^kj。
这意味着bi和cj的阶数也必须相等。
我们可以得出结论：如果G = H1 × H2 × ... × Hm = K1 × K2 × ... × Kn，则m = n，并且存在一个置换σ将H1, H2, ..., Hm重新排列，使得Hi = Ki对于所有的i。
5-5 阿贝尔群
例题1 设S={a,b,c,d}，在S上定义一个双射函 数 f: f(a)=b,f(b)=c,f(c)=d,f(d)=a, 对于任一xS，构造复合函数 f2(x)=f o f(x)=f(f(x)) f3(x)=f o f2(x)=f(f2(x)) f4(x)=f o f3(x)=f(f3(x)) 如果用f0表示S上的恒等映射，即f0(x)=x xS 很明显地有f4(x)=f0(x)，记f1=f，构造集合 F={f0 ,f1 ,f2, f3 } ，那么<F，o>是一个阿贝尔群。
任取x，y∈G，则x*y∈G
因为x*y=（x*y）-1=y-1*x-1=y*x
所以<G，*>是一个阿贝尔群。
此题的推论：若群中每个元素的逆元 都是它自己，则该群必是可交换群。
例题2 设G为所有n阶非奇（满秩）矩阵的集合， 矩阵乘法运算ο 作为定义在集合G上的二元运 算，则<G, ο >是一个不可交换群。 解 任意两个n阶非奇矩阵相乘后，仍是一个 非奇矩阵，所以运算ο 是封闭的。 矩阵乘法运算ο 是可结合的。 N阶单位阵E是G中的幺元。 任意一个非奇矩阵A存在唯一的逆阵A-1，使 A-1οA=AοA-1=E。 但矩阵乘法运算ο 是不可交换的，因此<G, ο > 是一个不可交换群。
3、定义5-5.3 设<G,>为群，aG，如果an= e, 且n为满足此式的最小正整数,则称 a 的阶(order) 为n，如果上述n不存在时,则称a有无限阶. 4、定理 5-5.3 设<G,>为循环群，aG是该群 的生成元，如果G的阶数是n ，即| G |= n ，则 an = e,且 G={a, a2, a3,..., an-2, an-1, an=e} 其中， e是群<G,>的幺元。 n是使an=e的最小 正整数。
5.5 阿贝尔群与循环群
习题讲评
P197.证<HK, >是子群的充要条件是HK=KH 若HK=KH,
证:充分性:
h kHK, k’ h’KH有hk=k’h’成立。
i)h1k1, h2 k2HK h1 k1 h2 k2=h1 h2’k1’ k2HK(∵<H, >,<K, >是群) ii)hkHK,则k-1h-1是h k的逆元。 又∵k-1h-1=(h-1) ’(k-1) ’ HK <HK, >是一个子群。 必要性: 若<HK, >是一个子群 k hKH，则k-1 h-1KHk h=(h-1 k-1)-1HKKHHK xHK,x-1HK x-1=hk x=(x-1)-1=(h k)-1=k-1 h-1KH HKKH， KH=HK。
定义5-6.2:<Sn,>的任何子群称为集合S上的一个置
换群。<Sn,>称为S上的对称群。 例: S上对称群Sn={p0,p1,p2,p3,p4,p5}的置换群：
以p1为生成元的置换群为<{p1,p0},>，
以p2为生成元的置换群为<{p2,p0},>，
以p3为生成元的置换群为<{p3,p0},>,
123 123 123 = 321 213 231
右复合
123 123 123 = 321 213 312
证:(1)封闭性p1,p2Sn，须证p1p2Sn， 当c,d被p1置换为e,f时,必有ef。
<Sn,>是一个群
∵若a,bS且ab则当a,b被p2置换为c,d时,必有cd。 p1p2将S中任二个不同元素映射到S中的二个不同元素， p1p2Sn(有限集A上的单射必为满射)。 (2)运算满足结合律 p1，p2，p3Sn,xS有p3(x)=y ，p2(y)=z, p1(z)=u, 则(p1p2)p3(x)=u,p1(p2p3)(x)=p1(z)=u
离散数学第五章
现在学习的是第17页，共72页
§2运算及其性质
《定理》：若θl和θr分别是Z中对于*的左零元和右零
元，则θl = θr =θ，且θ Z是唯一的.
证明：方法同幺元。 例：
（1）在实数集合R中，对×而言,，θL = θr =0 （2）在(E)中，对而言，θ = ；
e2,则有e1* e2= e2= e1,这和假设相矛盾。
∴若存在幺元的话一定是唯一的。 例：
（1）在实数集合R中,对+而言, e+=0；对×而言, e*=1 ； （2）在(E)中,对而言, e =E（全集合）；对而言, e =（空集）；
（3）{命题逻辑}中，对∨而言，e ∨ =F（永假式）； 对∧而言， e ∧ =T（永真式）。
上的封闭运算。
现在学习的是第8页，共72页
§2运算及其性质
《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,yS 有xy=y x,则称运算在S上是可交换的（或者 说在S上满足交换律）。
例：在整合集合 I 上定义运算 ：
对任何 a ,b I,ab a b (a b )
其中的 +， 分别表示数的加法和乘法。
（a ★b）★c= b ★c= c 而a★（b★c）=a★ c= c， ∴（a★b）★c= a★（b★c） ∴★是满足结合律的
现在学习的是第10页，共72页
§2运算及其性质
《定义》:设和是集合S上的二个二元运算, 对任一x,y,z S有 x （y z）=（x y） （x z）；
（y z） x=（y x） （z x）,则称运算对是可分 配的（或称对满足分配律）。
特殊群(循环群)
阿贝尔群、循环群、置换群：各种不同的群。
•什么是阿贝尔群•若群<G, •>的运算•适合交换律，则称<G, •>为阿贝尔群（Abelian Group）或交换群。
•在一个阿贝尔群<G, •>中，一个乘积可以任意颠倒因子的次序而求其值。
•在阿贝尔群中，易见有如下指数律成立•(a•b)m=a m•b m，m为任意整数知识回顾•生成子群设G为群, a G,即a的所有的幂构成的集合, 为G的子群, 称为由a生成的子群.循环群的定义定义8.10设G是群，若存在a∈G使得G={a k| k∈Z}则称G是循环群，记作G=<a>，称a 为G 的生成元.循环群的分类：n 阶循环群和无限循环群.设G=<a>是循环群，若a是n 阶元，则G = { a0=e, a1, a2, … , a n-1 }那么|G| = n，称G 为n 阶循环群.若a 是无限阶元，则G = { a0=e, a±1, a±2, … }称G 为无限循环群.实例：<Z,+>为无限循环群;<Zn,⊕>为n阶循环群循环群的生成元定理8.13设G=<a>是循环群.(1) 若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和a-1.(2) 若G是n 阶循环群，则G含有φ(n)个生成元. 对于任何小于n且与n互质的数r∈{0,1,…,n-1}, a r是G的生成元.φ(n)称为欧拉函数，例如n=12，小于或等于12且与12互素的正整数有4个：1, 5, 7, 11，所以φ(12)=4.例10(1) 设G={e, a, … , a11}是12阶循环群，则φ(12)=4.小于12且与12互素的数是1, 5, 7, 11, 由定理8.13可知a, a5, a7和a11是G的生成元.(2) 设G=<Z9,⊕>是模9的整数加群，则φ(9)=6.小于9且与9互素的数是1, 2, 4, 5, 7, 8. 根据定理8.13，G的生成元是1, 2, 4, 5, 7和8.(3) 设G=3Z={3z | z∈Z}, G上的运算是普通加法. 那么G只有两个生成元：3和-3.循环群的子群定理8.14设G=<a>是循环群.(1) G的子群仍是循环群.(2) 若G=<a>是无限循环群，则G的子群除{e}以外都是无限循环群.(3) 若G=<a>是n阶循环群，则对n的每个正因子d，G恰好含有一个d 阶子群.例11(1) G=<Z,+>是无限循环群，其生成元为1和 1.对于自然数m∈N，1的m次幂是m，m生成的子群是mZ，m∈N. 即<0> = {0} = 0Z<m> = {mz | z∈Z}= mZ，m>0(2) G=Z12是12阶循环群. 12正因子是1,2,3,4,6和12，G 的子群:1阶子群<12>=<0>={0}2阶子群<6>={0,6}3阶子群<4>={0,4,8}4阶子群<3>={0,3,6,9}6阶子群<2>={0,2,4,6,8,10}12阶子群<1>=Z12•适合交换律的群称为阿贝尔群，阿贝尔群适合指数律。
离散数学5_3
>>>>
定理5-5、2 任何一个循环群必定是阿贝尔群。 证明 设<G,*>是一个循环群，它的生成元是a, 那么，对于任意的x,y∈G,必有r,s∈I，使得 x=ar 和 y=as 而且 x*y=ar*as=ar+s=as+r=as*ar=y*x 因此， <G, *>是个阿贝尔群。 有限阶循环群：生成元是有限阶元时生成的有限 阶循环群。 如: <{0,1,2,3,4,5},+6>,该循环群的生成元为1 （其中，0为幺元，16=0）
(b) 由于R是G中的一个等价关系，所以必定将G 划分成k个不同的等价类[a1]R,[a2]R,…，[ak]R, 又因 H中任意两个不同的元素h1,h2,a∈G, 有a*h1≠a*h2,所以 |[ai]|=|aiH|=|H|=m,i=1,2,…，k.
aiH = | aiH | =mk 因此 n=|G|= i 1 i 1
而 且 k=mq+r ， 其 中 ， q 是 某 个 整 数 ， 0≤r<m。这就有 ak=amq+r=(am)q*ar=ar 这就导致G中每一个元素都可表示成 ar(0≤r<m) ，这样， G中最多有 m 个不同的元素， 与 |G|=n 相矛盾。所以 am=e(m<n) 是不可能的。 进一步证明a,a2,a3,…，an-1,an都不相同。用 反证法。 假 设 ai=aj, 其 中 1≤i<j≤n, 就 有 aj-i=e, 而 且 1≤j-i<n, 这已经由上面证明是不可能的。所以， a,a2,a3,…，an-1,an都不相同，因此 G={a,a2,a3,…，an-1,an=e}
定义：设<G，▫>是 S的一个置换群，称
三、阿贝尔群和循环群、陪集与拉格朗日定理、同态同构
k
k
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又因为，H中任意两个不同的元素h1，h2，必有 a* h1≠a* h2(a∈G) ，所以|aiH|=|H|=m，i=1,2,…,k。 因此 n=|G|=
k
aiH
=
i1
k
i 1
a i H =mk
推论1
推论2
任何质数阶的群不可能有非平凡子群。 设<G,*>是n阶有限群，那末对于任意的a∈G，a的 阶必是n的因子且必有an=e，这里e是群<G,*>中的 幺元。如果n为质数，则<G,*>必是循环群。 证明见书Ｐ210
b*b*b=e
定理2 任何一个循环群必定是阿贝尔群。
证明 设<G，*>是一个循环群，生成元为a， 那么对于任意的x,y∈G，
必有r,s∈I，使得x=ar 和 y=as
且 x * y= ar * as= ar+s = as+r = as * ar =y * x 因此<G,*>是一个阿贝尔群。
有限阿贝尔群基本定理
有限阿贝尔群基本定理
，也称为正则分解定理，是一个数学定理，描述了任何有限阿贝尔群都可以唯
一地表示为几个循环群直积的形式。
这个定理是数学中非常重要的基本结论之一，可以用于许多领域，如数论、代数、几何等。
的正式陈述如下：
任何有限阿贝尔群都可以表示为若干个循环群的直积，即存在唯一的正整数
$m$ 和 $p_1,p_2,\cdots, p_m$，其中 $p_i$ 是不同的质数，使得该群同构于
$Z_{p_1^{a_1}} \times Z_{p_2^{a_2}} \times \cdots \times Z_{p_m^{a_m}}$，其中
$a_i$ 是正整数。
这个定理告诉我们，任何有限阿贝尔群都可以表示为若干个循环群的直积形式。
而且这个表示方式还是唯一的，即每个循环群的指数也是唯一确定的。
的证明需要用到数学中的许多基本概念和技巧，如质因数分解、循环群、同构等。
证明涉及到的主要思路是归纳证明和数学归纳法。
是代数学中的重要研究课题之一，在数学的许多领域有着广泛的应用和意义。
5-4阿贝尔群和循环群
定义5-9.4：设<A ,+, · > 是一个代数系统，如果满足： 1．<A,+>是阿贝尔群。
2．<A-{} , · >是阿贝尔群。
3．运算 ·对于运算 + 是可分配的。 则称<A ,+, · >是域。 例如，<Q ,+, · >，<R ,+, · >，<I ,+, · >，
定理5-9.：域一定是整环。
则称<A ,+, · >是整环。
例5 Z5= { 0, 1, 2, 3, 4 }, , 分别为模 5 加法与乘法
0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 2 3 1 2 3 2 3 4 3 4 0 4 0 1 0 1 2
4 4 0 1 2 3
0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
定理5-4.7设<G,*>是一个群，B是G的非空子集，如果B是一 个有限集，那么，只要运算*在B上封闭，<B,*>必定是<G,*> 的子群。 证明：设b是B的任一个元素。若*在B上封闭，则元素 b2=b*b,b3=b2*b,…都在B中。由于B是有限集，所以必存在 正整数i和j,不妨假设i<j,使得 bi = b j 即 bi = bi * bj-i.
因此，<S,Δ>是<G,Δ>的子群。
例题4：设<H,*>和<K,*>都是群<G,*>的子群， 试证明<H∩K，*>也是<G,*>的子群。 证明：设任意的a,b∈H∩K, 因为<H,*>和<K,*>都是子群， 所以b-1∈H∩K, 由于*在H和K中的封闭性， 所以a*b-1∈H∩K, 由定理5-4.8即得<H∩K,*>是<G,*>的子 群。
阿贝尔ppt
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人书友圈7.三端同步
1820年，阿贝尔的父亲去世，照顾全家七 口的重担突然交到他的肩上。
1821年阿贝尔透过霍姆彪的补助，仍可进 入奥斯陆的克里斯蒂安尼亚大学（University of Christinania），即奥斯陆大学（Universitetet i Oslo）就读，于1822年获大学预颁学位，并由 霍姆彪的资助下继续学业。在学校里，他几乎 全是自学，同时花大量时间作研究。
阿贝尔
——数本112班 李春花
尼耳期.亨利克.阿贝尔 （Niels Henrik Abel，1802—1829）
十九世纪挪威出现的最伟大数学家。他 出生于挪威的一个农村，很早就显示了数 学方面的才华。
1815年，他进入了奥斯陆的一所天主教 学校读书
1821年进入奥斯陆大学（Universitetet i Oslo）就读，于1822年获大学预颁学位
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阿贝尔群代数结构的运算规则
阿贝尔群代数结构的运算规则在之前的几篇文章中，我们介绍了阿贝尔群以及其运算规则，在这篇文章中，我们将会把其全部内容以文字的形式呈现出来。
那么在今天我们就来学习一下这个运算规则吧。
什么是阿贝尔群呢？阿贝尔群是存在于自然数与最小值之间的一种特殊群组。
一、定义它是一个由3个基本的几何元素组成的特殊群组，也叫阿伯群。
它不仅对集合具有相似的性质，而且也与其他数组存在很大差异。
例如，如果一个阿贝尔群中有 N个自然数，那么它会是一个由 N个阿贝尔群组成的最小群群组，即 R. E. N. J. Rich. R. E. J. R. K. E. K. K.E. J. Kaiser. K. K. K. Kaiser. K. K. K. K. K. K. K. Q. K. K. K. K. K. J. K. K. J. K. k. K. K. K. K. K. K. Kaiser. K. K. Kaiser. K. K: S; G; T; L; L, P; Q。
对任意一个阿贝尔群来说，它都是一个唯一的阿贝尔群。
二、阿贝尔群的运算规则由阿贝尔群的定义可知如果一个实数满足 n* n+1这个条件，那么这个群组就是 n* n+1这个条件下的阿贝尔群，那么定义为那么这个群的本质，就是一种完全不同于阿贝尔群意义上的多项式集合。
三、代数结构的一些常见性质在阿贝尔定义域中,formula_1有以下性质：如果formula_2是一个群，那么就有如下性质：所有函数都是一个阿贝尔函数，而任何满足函数条件的阿贝尔函数都不是这个阿贝尔函数。
由于函数不等于元素，所以该阿贝尔函数不存在任何形式上的素数。
关于这句话，在前面的推文中有过介绍；为了理解这些性质，我们需要在这里做一个简要说明。
四、在阿贝尔群中，我们可以得到许多等价的结论。
其中最常见的等价形式就是将阿贝尔群中的一项与其对齐的结论等价，这可以帮助我们建立起一套数学理论。
首先，我们可以得到两个命题：“A=(A+ B)/B”和“A=(A+ B)/B”。
数学中的群论与抽象代数知识点
数学中的群论与抽象代数知识点引言：数学是一门广阔而深奥的学科，其中群论与抽象代数作为数学的重要分支，对于理解和研究其他数学领域具有重要的作用。
本文将介绍群论与抽象代数的基本概念、性质以及其在数学中的应用。
一、群论与抽象代数的基本概念1. 群的定义群是一个集合，具有二元运算和满足一定条件的性质。
群的定义包括封闭性、结合律、单位元、逆元等关键概念。
2. 子群子群是一个群的子集，并且保持了群的运算和性质。
子群具有封闭性、单位元、逆元等性质。
3. 循环群循环群是由一个元素生成的群，这个元素称为生成元。
循环群具有特殊的结构和性质。
4. 交换群交换群，又称为阿贝尔群，其群运算满足交换律。
交换群在数学和物理领域的应用非常广泛。
二、群的基本性质与定理1. 基本性质群具有封闭性、结合律、单位元和逆元的性质。
这些性质使得群成为一个有序的代数结构。
2. 拓展性质群的运算满足取消律、唯一性和可乘性等性质，这些性质进一步扩展了群的应用范围。
3. 拉格朗日定理拉格朗日定理是群论中的重要定理，它确定了子群与群的阶之间的关系，并具有广泛的应用。
4. 加法群与乘法群加法群是指群的二元运算为加法，乘法群是指群的二元运算为乘法。
加法群和乘法群在不同的数学分支中有不同的应用。
三、抽象代数的应用领域1. 数论数论是研究整数性质和整数运算的数学分支，群论与抽象代数在数论中有着广泛的应用，如素数分布、同余关系等。
2. 几何学几何学研究空间中的形状、结构和变换，抽象代数可以用来描述和研究几何中的对称性、平移、旋转等。
3. 计算机科学计算机科学中的密码学、编码理论等领域，都离不开群论和抽象代数的基础概念和方法。
结论：群论与抽象代数作为数学的重要分支，对于理解和研究其他数学领域具有重要的作用。
本文介绍了群论与抽象代数的基本概念、性质及在数学中的应用。
深入学习和理解群论与抽象代数的知识，能够帮助我们更好地理解和应用数学。
随着数学研究的不断深入，群论与抽象代数的作用与意义还将继续扩展和发展。
群置换循环
p1
p2
1 a1
2 ... a2 ...
n a1 an ba1
a2 ba2
... an
...
ban
1 2 ... n
ba1
ba2
...
ban
.
可以证明，[1,n]上所有的置换按上述乘法构成一个 群，即满足
1. 封闭 e 1
2 ... 2 ...
n n,
❖ 设G是群，H是G的子集，若H在G原有的运算之 下也是一个群，则称为G的一个子群。
2. 置换群
置换群是最重要的有限群，所有的有限群都可以用 它表示。 置换：[1,n]到自身的1-1变换：[1,n][1,n]，
p：i ai , (ai aj, i j)
于是，a1a2…an是[1,n] 的一个全排列。称此置换为n 阶置换，它可如下表示：
例 二维欧式空间中的刚体旋转变换集合{Ta}构成群，
其中
Ta:x y1 1 csoisnaa
sinax cosay
❖ 前两例群元素的个数是有限的，称为有限群；
后一例群元素的个数是无限的，称为无限群。
❖ 有限群G的元素个数叫做群的阶,记做|G|。
❖ 若群G的任意二元素a,b恒满足ab=ba，则称G为 交换群，或Abel群。
1 2 3 44 3 2 1 =4 3 2 14 2 1 3
1 2 3 4
4
2
1
3.
显然有
p1p2p2p1.
于是我们定义乘法如下：
1 2 ... n
p1
a1
a2
...
an
,
p2 1 b 12 b2 ......b n n b a a 1 1
a2 ba2
阿贝尔定理——精选推荐
阿贝尔定理
阿贝尔深⼊研究了椭圆积分的问题.
1637年，费马去图书馆看书，违反规定，在图书上乱写，写出了费马⼤定理。
356年后的1993年，费马⼤定理被美国数学家安德鲁.怀尔斯解决，他使⽤的核⼼⽅法就是椭圆积分。
假如⽣活在19世纪的阿贝尔没有死去，费马⼤定理可能轮不到20世纪的⼈解决。
阿贝尔得了肺结核⽆钱医治死去。
数学上，⾼斯排名第⼀，⽜顿第⼆。
但阿尔巴的天分应在⾼斯之上，后者可能感觉到了威胁，所以打算不资助他。
后者看了前者的论⽂只是说：我看不懂，可能没有什么价值。
阿贝尔定理：
已知：上⾯的级数在x=0这⼀点⼀定是收敛的，因为在x=0这⼀点有确定的数值a0.
阿贝尔：假如还能找到⼀个异于x=0的点，使得级数的值存在，即使得级数收敛，那么，在（-|x0|,|x0|）区间，级数必定处处绝对收敛。
假如能找到⼀个异于x=0的点x1，带⼊级数后，级数是发散的，那么级数在(-∞,|x1|)及(|x1|,+∞)区间上发散。
注：
1.当收敛区间扩⼤和发散区间也叩打的时候，它们⼀定会相遇在某⼀点x2，在这⼀点处，(-R,+R)区间级数处处绝对收敛，这个区间外发散。
2.在x2那⼀点处，级数是收敛还是发散呢？阿贝尔没有说。
达朗贝尔，柯西在这⼀点都不讲话的。
只有⼀个办法：把-R和+R那两个点带⼊到级数⾥⾯再作判断（讨论），很⿇烦的。
有限生成阿贝尔群的结构定理
有限生成阿贝尔群的结构定理有限生成阿贝尔群的结构定理是群论中的一个重要定理，它给出了有限生成阿贝尔群的一般形式。
在本文中，我们将介绍这一定理的内容，并对其证明进行简要说明。
我们需要了解什么是阿贝尔群。
一个群被称为阿贝尔群，如果其满足交换律。
也就是说，对于群中的任意两个元素a和b，ab=ba。
阿贝尔群在数学中有着广泛的应用，特别是在代数学和几何学中。
定理的内容是：任意一个有限生成的阿贝尔群G，都可以表示为有限个循环群的直积。
换句话说，G是一些循环群C1，C2，...，Cn 的直积，其中每个Ci都是形如Z/miZ的循环群。
接下来，我们来看一下这个定理的证明思路。
首先，我们知道有限生成的阿贝尔群G可以通过一些元素a1，a2，...，an生成，也就是说，G是由这些元素生成的。
那么我们可以考虑将G中的元素表示为这些生成元的次幂的乘积。
假设G中的一个元素g可以表示为g=a1^k1 * a2^k2 * ... * an^kn，其中ki是整数。
我们可以发现，对于G中的任意两个元素g1和g2，它们的表示形式为g1=a1^k1 * a2^k2 * ... * an^kn，g2=a1^m1 * a2^m2 * ... * an^mn。
那么我们可以将g1和g2相乘，得到g1 * g2=a1^(k1+m1) * a2^(k2+m2) * ... * an^(kn+mn)。
由于G是阿贝尔群，所以g1 * g2=g2 * g1，即a1^(k1+m1) *a2^(k2+m2) * ... * an^(kn+mn)=a1^(m1+k1) * a2^(m2+k2) * ... * an^(mn+kn)。
根据指数运算的唯一性，我们可以得出ki+mi=mi+ki，即ki=mi。
也就是说，对于G中的任意两个元素g1和g2，它们的表示形式中，生成元ai的指数是相同的。
根据上述推理，我们可以将G中的元素表示为a1^k * a2^k * ... * an^k，其中k是一个整数。
12阶群的分类
12阶群的分类12阶群是群论中的一个重要概念，它是指具有12个元素的群。
在群论中，群是一种代数结构，它由一组元素以及定义在这组元素上的二元运算组成。
群的性质和结构对于数学研究和应用有着深远的影响。
在群论中，对群的分类是一项重要的研究内容。
根据群的不同性质和结构，群可以被划分为不同的类型。
对于12阶群的分类，我们可以从不同的角度进行讨论。
我们可以根据12阶群的交换性质将其分为交换群和非交换群。
交换群也被称为阿贝尔群，它的群运算满足交换律，即对于群中的任意两个元素a和b，ab=ba。
非交换群则不满足交换律。
对于12阶群来说，存在两种不同的非交换群，分别是循环群和二面体群。
循环群是由一个生成元生成的群，它的群运算可以简单地表示为不断重复进行的乘法运算。
对于12阶群来说，存在两种不同的循环群，分别是循环群C12和循环群C6×C2。
循环群C12的生成元可以表示为a，满足a^12=e（单位元），其中e表示群的单位元。
循环群C6×C2由两个生成元a和b生成，满足a^6=e，b^2=e，并且ab=ba。
二面体群是由一组旋转和翻转操作生成的群，它的群运算可以表示为旋转和翻转操作的复合。
对于12阶群来说，存在两种不同的二面体群，分别是D12和D6×C2。
二面体群D12由一个生成元a和一个翻转元素b生成，满足a^6=e，b^2=e，并且ab=ba。
二面体群D6×C2由两个生成元a和b以及一个翻转元素c生成，满足a^6=e，b^2=e，c^2=e，并且abc=ba。
除了根据交换性质进行分类，我们还可以根据12阶群的子群结构进行分类。
根据拉格朗日定理，一个群的子群的阶数必须能够整除群的阶数。
对于12阶群来说，它的阶数有6个因子，分别是1、2、3、4、6和12。
因此，12阶群存在不同阶数的子群。
根据子群的阶数和性质，可以将12阶群分为不同的类型，如循环群、凯莱群等。
除了以上的分类方法，根据12阶群的其他性质和结构，还可以进行更加细致的分类。
阿贝尔曲线定理
阿贝尔曲线定理1. 引言阿贝尔曲线定理是数学中的一个重要定理，它与代数几何和代数拓扑密切相关。
该定理由挪威数学家尤恩·彼得·阿贝尔于1823年提出，被认为是代数几何的基石之一。
在本文中，我们将介绍阿贝尔曲线定理的定义、基本概念以及相关的应用。
我们将深入探讨该定理在代数几何领域的重要性，并且通过具体示例来解释其应用。
2. 阿贝尔曲线定理的定义在了解阿贝尔曲线定理之前，我们首先需要了解一些基本概念。
2.1 代数簇代数簇是指由多个方程组成的零点集合。
换句话说，它是一个多项式方程的解集。
例如，二次方程x2+y2=1表示单位圆，是一个代数簇。
2.2 整除关系整除关系是指对于两个整数a和b，如果存在整数c使得a=bc，则称a能被b整除。
记作b∣a。
2.3 阿贝尔群阿贝尔群是指一个满足交换律、结合律、存在单位元和逆元的群。
换句话说，阿贝尔群是一个可加的数学结构。
2.4 阿贝尔曲线阿贝尔曲线是指一个代数簇，其上的点构成了一个阿贝尔群。
换句话说，阿贝尔曲线是一个具有特定代数结构的曲线。
有了这些基本概念，我们现在可以来定义阿贝尔曲线定理了。
定理：如果C是一个非奇异的代数簇，并且它是一个阿贝尔曲线，则它上面的点构成了一个有限生成的交换群。
这个定理告诉我们，任何非奇异的阿贝尔曲线上的点都可以用有限个基本元素生成。
换句话说，我们可以通过有限步骤将任何点表示为一组基本元素之间的运算。
3. 阿贝尔曲线定理的应用阿贝尔曲线定理在代数几何和代数拓扑中具有广泛的应用。
下面我们将介绍一些常见的应用场景。
3.1 椭圆曲线密码学椭圆曲线密码学是一种基于阿贝尔曲线定理的密码学方法。
它利用了阿贝尔曲线上的点构成的群结构，从而实现了高效且安全的加密和解密操作。
椭圆曲线密码学在现代密码学中得到了广泛应用，例如在数字签名、公钥加密和身份认证等领域。
其安全性基于阿贝尔曲线上离散对数难题的困难性，因此被认为是一种非常可靠的加密方法。
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1m = 1 + 1 + ... + 1 m>0 0 m = 1 = 0 (定义零次幂) m=0 1−|m| = (1−1 )|m| = (−1) + (−1) + ... + (−1) m < 0
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2、循环群(2)
练习 设G={α,β,γ,δ},定义G上的运算*如下表,说明 G={α },定义 上的运算*如下表, 定义G <G,*>是循环群 是循环群。 <G,*>是循环群。 解: (1)由运算表可知运算封闭 由运算表可知运算封闭； (1)由运算表可知运算封闭； (2)可验证运算 是可结合的； 可验证运算* (2)可验证运算*是可结合的； (3)α是幺元 (3)α是幺元； (4)β 的逆元分别是β (4)β,γ,δ的逆元分别是β,δ,γ。 所以，<G,*>是群 所以，<G,*>是群 β不是生成元： 不是生成元： 都是生成元： γ,δ都是生成元： β 1 = β， β 2 = α ， γ1=γ，γ2=β，γ3=β*γ=δ，γ4=δ*γ=α； β3=α*β=β， δ1=δ，δ2=β，δ3=β*δ=γ，δ4=γ*δ=α。 β4=β*β=β2=α。
因此很容易得出1 阶群的运算表，不论其元素是什么， 因此很容易得出1 、2 、3 、4 阶群的运算表，不论其元素是什么， 只要它们构成群，其群表的形式是固定不变的。由群表可知， 只要它们构成群，其群表的形式是固定不变的。由群表可知， 1 、 2、3、4阶群都是交换群
2
1、阿贝尔群（2）
四阶群<{1，2，3，4},*>的群表有四种形式：
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2、循环群(1)
定义2 如果群<G,*>有元素a，使得G中任意元素都可表 示成a的幂，则称该群为循环群。a叫生成元。 例2 说明<I,+>是循环群 说明<I,+>是循环群。 <I,+>是循环群 解：<I,+>是群。幺元是0。任意a∈I,其逆元为-a。 <I,+>是群 其逆元为<I,+>是群。幺元是0 任意a I,其逆元为 生成元是1 对任意k 生成元是1，对任意k∈I
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2、循环群(3)
定理2 循环群是阿贝尔群。 证明： 设<G,*>是循环群，生成元是a。 <G,*>是循环群 生成元是a 是循环群， 对任意x,y∈G,可令x=a r,s为整数 为整数。 对任意x,y∈G,可令x=ar, y=as。r,s为整数。那么 x,y 可令 x*y=ar*as=ar+s=as+r=as*ar=y*x 这就证明了循环群<G,*>是阿贝尔群。 这就证明了循环群<G,*>是阿贝尔群。 <G,*>是阿贝尔群
第5-3讲 阿贝尔群与循环群
1. 阿贝尔群 2. 循环群
1
1、阿贝尔群（1）
定义1 如果群<G,*>中的二元运算*是可交换的,则称该群 为阿贝尔群，也叫交换群。 例1 证明1、2、3、4阶群都是交换群。 证明1 阶群都是交换群。 解：群<G,*>的运算表中的每行（列）都是G中元素的一个置换。 <G,*>的运算表中的每行 的运算表中的每行（ 都是G中元素的一个置换。
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2、循环群(4)
定理3 设a是n阶有限循环群<G,*>的生成元，则an=e，且 G={a,a2,a3,…,an-1,an=e} 其中，e是幺元，n是使an=e的最小正整数。 证明：（用反证法）假定am=e ,m是正整数，且m<n。 （ 反证法）假定a ,m是正整数 是正整数， m<n。 按所设， 中任一元素皆可表示成a k=mg+r,其中 其中g 按所设，G中任一元素皆可表示成ak,令k=mg+r,其中g是 整数， m。 整数，0 ≤ r < m。于是 ak=amg+r=(am)g*ar=ar 这说明G中任一元素皆可表示成a 从而G中至多只有m 这说明G中任一元素皆可表示成ar,从而G中至多只有m个 不同的元素， 矛盾。 不同的元素，与|G|=n(>m) 矛盾。 剩下的问题是要证明a,a2,a3,…,an-1,an是不同的元素。 剩下的问题是要证明 假设ai=aj,1≤i<j≤n，那么e= i*a-i=aj*a-i=aj-i,1≤j-i<n。 那么e= e=a ≤i<j≤ ≤ i<n。 按假设， 按假设，n是使an=e的最小正整数，所以ai=aj不可能。
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1、阿贝尔群（3）
定理1 群<G,*>是阿贝尔群的充分必要条件是: 对任意a,b∈G，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。 证：充分性。对任意a,b∈G，如果 充分性。对任意a,b∈ 充分性 a,b (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 那么， 那么，a-1*(a*b)*(a*b)*b-1=a-1*(a*a)*(b*b)*b-1 由结合性， 由结合性，可得 (a-1*a)*(b*a)*(b*b-1)=(a-1*a)*(a*b)*(b*b-1) 化简得 b*a=a*b 这说明*运算是可交换的。 这说明*运算是可交换的。 必要性。若群<G,*>是交换群，则对任意a,b <G,*>是交换群 a,b∈ 必要性。若群<G,*>是交换群，则对任意a,b∈G，有 (a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)