求f(x)的解析式专项练习
函数解析式的求解方法例题
函数解析式的求解方法1.配凑法例1.已知f （x ＋x 1）＝2x ＋21x ，求()f x 的解析式例2.已知3311()f x x x x +=+，求()f x例3.已知f(x+1)=x-3, 求()f x2.换元法（整体思想）已知形如[()]y f x ϕ=的函数求解()f x 的解析式：令()x t ϕ=，反解()x t φ=，代入[()]y f x ϕ=，即可求解出。
例4.已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f例5.22)1(2++=+x x x f 求)3()(),3(+x f x f f 及3.构造方程组法若式子中，同时含有()f x 与()f x -，或者同时含有()f x 与1()f x ，那么将式子中的x 用x -替换，或是x 用1x替换，得到另一个方程，通过求解方程组求解()f x例6.设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f例7.设)(x f 满足关系式x xf x f 3)1(2)(=+求函数的解析式4.特殊值法当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例8.已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f例9.已知函数)(x f 对于一切实数 x,y 都有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立，且0)1(=f1.求)0(f 的值2.求)(x f 的解析式5.待定系数法（知道函数类型）例10已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。
例11 已知f(x)是二次函数，且442)1()1(2+-=-++x x x f x f ，求)(x f。
(完整版)函数解析式的练习题兼答案
函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；1．已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]=x+2，则f（x）=（）A．x+1 B．2x﹣1 C．﹣x+1 D．x+1或﹣x﹣1【解答】解：f（x）是一次函数，设f（x）=kx+b，f[f（x）]=x+2，可得：k（kx+b）+b=x+2．即k2x+kb+b=x+2，k2=1，kb+b=2．解得k=1，b=1．则f（x）=x+1．故选：A．(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；9．若函数f（x）满足f（3x+2）=9x+8，则f（x）是（）A．f（x）=9x+8 B．f（x）=3x+2C．f（x）=﹣3﹣4 D．f（x）=3x+2或f（x）=﹣3x﹣4【解答】解：令t=3x+2，则x=，所以f（t）=9×+8=3t+2．所以f（x）=3x+2．故选B．(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；18．已知f（）=，则（）A．f（x）=x2+1（x≠0）B．f（x）=x2+1（x≠1）C．f（x）=x2﹣1（x≠1）D．f（x）=x2﹣1（x≠0）【解答】解：由，得f（x）=x2﹣1，又∵≠1，∴f（x）=x2﹣1的x≠1．故选：C．19．已知f（2x+1）=x2﹣2x﹣5，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=4x2﹣6 B．f（x）=C．f（x）=D．f（x）=x2﹣2x﹣5【解答】解：方法一：用“凑配法”求解析式，过程如下：；∴．方法二：用“换元法”求解析式，过程如下：令t=2x+1，所以，x=（t﹣1），∴f（t）=（t﹣1）2﹣2×（t﹣1）﹣5=t2﹣t﹣，∴f（x）=x2﹣x﹣，故选：B．(4)消去法：已知f(x)与f 或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).21．若f（x）对任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）=2x+1，则f（2）=（）A．﹣ B．2 C．D．3【解答】解：∵f（x）对任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）=2x+1，∴用﹣x代替式中的x可得f（﹣x）﹣2f（x）=﹣2x+1，联立可解得f（x）=x﹣1，∴f（2）=×2﹣1=故选：C函数解析式的求解及常用方法练习题一．选择题（共25小题）2．若幂函数f（x）的图象过点（2，8），则f（3）的值为（）A．6 B．9 C．16 D．273．已知指数函数图象过点，则f（﹣2）的值为（）A．B．4 C．D．24．已知f（x）是一次函数，且一次项系数为正数，若f[f（x）]=4x+8，则f（x）=（）A． B．﹣2x﹣8 C．2x﹣8 D．或﹣2x﹣85．已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1），若f（1）=2，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=4x B．f（x）=2x C． D．6．已知函数，则f（0）等于（）A．﹣3 B．C．D．37．设函数f（x）=，若存在唯一的x，满足f（f（x））=8a2+2a，则正实数a的最小值是（）A．B．C．D．28．已知f（x﹣1）=x2，则f（x）的表达式为（）A．f（x）=x2+2x+1 B．f（x）=x2﹣2x+1C．f（x）=x2+2x﹣1 D．f（x）=x2﹣2x﹣110．已知f（x）是奇函数，当x＞0时，当x＜0时f（x）=（）A．B．C．D．11．已知f（x）=lg（x﹣1），则f（x+3）=（）A．lg（x+1）B．lg（x+2）C．lg（x+3）D．lg（x+4）12．已知函数f（x）满足f（2x）=x，则f（3）=（）A．0 B．1 C．log23 D．313．已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是（）A．3x﹣1 B．3x+1 C．3x+2 D．3x+414．如果，则当x≠0且x≠1时，f（x）=（）A．B．C．D．15．已知，则函数f（x）=（）A．x2﹣2（x≠0）B．x2﹣2（x≥2）C．x2﹣2（|x|≥2）D．x2﹣216．已知f（x﹣1）=x2+6x，则f（x）的表达式是（）A．x2+4x﹣5 B．x2+8x+7 C．x2+2x﹣3 D．x2+6x﹣1017．若函数f（x）满足+1，则函数f（x）的表达式是（）A．x2B．x2+1 C．x2﹣2 D．x2﹣120．若f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x﹣1），则g（x）的表达式为（）A．g（x）=2x+1 B．g（x）=2x﹣1 C．g（x）=2x﹣3 D．g（x）=2x+7 22．已知f（x）+3f（﹣x）=2x+1，则f（x）的解析式是（）A．f（x）=x+ B．f（x）=﹣2x+C．f（x）=﹣x+D．f（x）=﹣x+ 23．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．324．若函数f（x）满足：f（x）﹣4f（）=x，则|f（x）|的最小值为（）A．B．C．D．25．若f（x）满足关系式f（x）+2f（）=3x，则f（2）的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣D．二．解答题（共5小题）26．函数f（x）=m+log a x（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2）和（1，﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）令g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．27．已知f（x）=2x，g（x）是一次函数，并且点（2，2）在函数f[g（x）]的图象上，点（2，5）在函数g[f（x）]的图象上，求g（x）的解析式．28．已知f（x）=，f[g（x）]=4﹣x，（1）求g（x）的解析式；（2）求g（5）的值．29．已知函数f（x）=x2+mx+n（m，n∈R），f（0）=f（1），且方程x=f（x）有两个相等的实数根．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的值域．30．已知定义在R上的函数g（x）=f（x）﹣x3，且g（x）为奇函数（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若x＞0时，f（x）=2x，求当x＜0时，函数g（x）的解析式．函数解析式的求解及常用方法练习题参考答案与试题解析一．选择题（共25小题）2．【解答】解：幂函数f（x）的图象过点（2，8），可得8=2a，解得a=3，幂函数的解析式为：f（x）=x3，可得f（3）=27．故选：D．3．【解答】解：指数函数设为y=a x，图象过点，可得：=a，函数的解析式为：y=2﹣x，则f（﹣2）=22=4．故选：B．4．【解答】解：设f（x）=ax+b，a＞0∴f（f（x））=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=4x+8，∴，∴，∴f（x）=2x+．故选：A．5．【解答】解：∵f（x）=a x（a＞0，a≠1），f（1）=2，∴f（1）=a1=2，即a=2，∴函数f（x）的解析式是f（x）=2x，故选：B．6．【解答】解：令g（x）=1﹣2x=0则x=则f（0）===3 故选D7．【解答】解：由f（f（x））=8a2+2a可化为2x=8a2+2a或log2x=8a2+2a；则由0＜2x＜1；log2x∈R知，8a2+2a≤0或8a2+2a≥1；又∵a＞0；故解8a2+2a≥1得，a≥；故正实数a的最小值是；故选B．8．【解答】解：∵函数f（x﹣1）=x2∴f（x）=f[（x+1）﹣1]=（x+1）2=x2+2x+1 故选A．10．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）=﹣（1﹣x），又f（x）是奇函数，所以f（x）=﹣f（﹣x）=（1﹣x）．故选D．11．【解答】解：f（x）=lg（x﹣1），则f（x+3）=lg（x+2），故选：B．12．【解答】解：函数f（x）满足f（2x）=x，则f（3）=f（）=log23．故选：C．13．【解答】∵f（x+1）=3x+2=3（x+1）﹣1 ∴f（x）=3x﹣1故答案是：A 14．【解答】解：令，则x=∵∴f（t）=，化简得：f（t）=即f（x）=故选B15．【解答】解：=，∴f（x）=x2﹣2（|x|≥2）．故选：C．16．【解答】解：∵f（x﹣1）=x2+6x，设x﹣1=t，则x=t+1，∴f（t）=（t+1）2+6（t+1）=t2+8t+7，把t与x互换可得：f（x）=x2+8x+7．故选：B．17．【解答】解：函数f（x）满足+1=．函数f（x）的表达式是：f（x）=x2﹣1．（x≥2）．故选：D．20．【解答】解：用x﹣1代换函数f（x）=2x+3中的x，则有f（x﹣1）=2x+1，∴g（x+2）=2x+1=2（x+2）﹣3，∴g（x）=2x﹣3，故选：C．22．【解答】解：∵f（x）+3f（﹣x）=2x+1…①，用﹣x代替x，得：f（﹣x）+3f（x）=﹣2x+1…②；①﹣3×②得：﹣8f（x）=8x﹣2，∴f（x）=﹣x+，故选：C．23．【解答】解：由f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成﹣x，得f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣x3+x2+1，根据f（x）=f（﹣x），g（﹣x）=﹣g（x），得f（x）+g（x）=﹣x3+x2+1，再令x=1，计算得，f（1）+g（1）=1．故选：C．24．【解答】解：∵f（x）﹣4f（）=x，①∴f（）﹣4f（x）=，②联立①②解得：f（x）=﹣（），∴|f（x）|=（），当且仅当|x|=2时取等号，故选B．25．【解答】解：∵f（x）满足关系式f（x）+2f（）=3x，∴，①﹣②×2得﹣3f（2）=3，∴f（2）=﹣1，故选：B．二．解答题（共5小题）26．【解答】解：（Ⅰ）由得，解得m=﹣1，a=2，故函数解析式为f（x）=﹣1+log2x，（Ⅱ）g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1）=2（﹣1+log2x）﹣[﹣1+log2（x﹣1）]=，其中x＞1，因为当且仅当即x=2时，“=”成立，而函数y=log2x﹣1在（0，+∞）上单调递增，则，故当x=2时，函数g（x）取得最小值1．27．【解答】解：设g（x）=ax+b，a≠0；则：f[g（x）]=2ax+b，g[f（x）]=a•2x+b；∴根据已知条件有：；∴解得a=2，b=﹣3；∴g（x）=2x﹣3．28．【解答】解：（1）∵已知f（x）=，f[g（x）]=4﹣x，∴，且g（x）≠﹣3．解得g（x）=（x≠﹣1）．（2）由（1）可知：=．29．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x2+mx+n，且f（0）=f（1），∴n=1+m+n．…（1分）∴m=﹣1．…（2分）∴f（x）=x2﹣x+n．…（3分）∵方程x=f（x）有两个相等的实数根，∴方程x=x2﹣x+n有两个相等的实数根．即方程x2﹣2x+n=0有两个相等的实数根．…（4分）∴（﹣2）2﹣4n=0．…（5分）∴n=1．…（6分）∴f（x）=x2﹣x+1．…（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ），知f（x）=x2﹣x+1．此函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线．…（8分）∴当时，f（x）有最小值．…（9分）而，f（0）=1，f（3）=32﹣3+1=7．…（11分）∴当x∈[0，3]时，函数f（x）的值域是．…（12分）30．【解答】解：（1）∵定义在R上的函数g（x）=f（x）﹣x3，且g（x）为奇函数，∴f（x）=g（x）+x3，故f（﹣x）=g（﹣x）+（﹣x）3=﹣g（x）﹣x3=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数；（2）∵x＞0时，f（x）=2x，∴g（x）=2x﹣x3，当x＜0时，﹣x＞0，故g（﹣x）=2﹣x﹣（﹣x）3，由奇函数可得g（x）=﹣g（﹣x）=﹣2﹣x﹣x3．。
高一数学函数求解析式专项训练(含答案)
函数求解析式专项训练一、单选题（共8题；共16分）1.（2020高一上·开鲁期中）若，则的解析式为（）A. B. C. D.2.（2020高三上·哈尔滨月考）若，则的解析式为（）A. B. C. D.3.（2020高一上·定远月考）已知，则的解析式为（）A. B. C. D.4.（2020高一上·定远月考）已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为（）A. f(x)＝x2－2x－1B. f(x)＝x2－2x＋1C. f(x)＝x2＋2x－1D. f(x)＝x2＋2x＋15.（2020高一上·泸县月考）已知函数，则的解析式是（）A. B. C. D.6.（2020高一上·黄陵期中）已知，则的解析式为（）A. B.C. D.7.（2020高二下·沈阳期末）已知，则的解析式为（）A. B. C. D.8.（2020高一上·泉州期中）已知二次函数，，且，那么这个函数的解析式是（）．A. B. C. D.二、填空题（共7题；共7分）9.（2020高一上·湖南期中）已知，则的解析式为________.10.（2020高一上·赣县月考）已知, 则的解析式为________.11.（2020高一上·长治期中）已知则的解析式为________．12.（2020高一上·大名期中）已知函数，则函数的解析式为________.13.（2020高一上·江阴月考）已知，则的解析式为________.14.（2020高二上·六安开学考）若函数满足，则的解析式为________.15.（2020高一上·天津期中）设函数，，则的解析式是________.三、解答题（共6题；共75分）16.（2020高一上·广州期中）求下列函数的解析式.（1）已知一次函数满足，求；（2）已知，求.17.（2020高三上·新疆月考）根据条件，求函数解析式.（1）；（2）；（3）；（4）已知是一元二次函数，且满足；.18.（2020高一上·南阳月考）根据下列条件，求的解析式.（1），其中为一次函数；（2）.19.（2019高一上·长春月考）求函数解析式（1）已知是一次函数，且满足求．（2）已知满足，求．20.（2019高一上·辽源期中）根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式；（2）已知是一次函数，且满足，求的解析式；（3）已知满足，求的解析式.21.（2019高一上·昌吉月考）求下列函数的解析式：（1）已知f(x)是二次函数，且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)；（2）已知3f(x)＋2f(－x)＝x＋3，求f(x)．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】f（1）＝x+ ，设t，t≥1，则x＝（t﹣1）2，∴f（t）＝（t﹣1）2+ ﹣1＝t2﹣t，t≥1，∴函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣x（x≥1）．故答案为：C.【分析】令，利用换元法即可求得解析式，注意换元的等价性即可.2.【答案】D【解析】【解答】设，则，则，所以函数的解析式为.故答案为：D.【分析】设，则，解得，即可求得函数的解析式.3.【答案】B【解析】【解答】由，令，则，则，即，故答案为：B。
高一数学函数经典题目及答案
1函数解析式的特殊求法例1 已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式例2 若x x x f 21(+=+）,求f(x)例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式例5 已知f(x)满足x xf x f 3)1()(2=+，求)(x f2函数值域的特殊求法例1. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
例2. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。
例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域例4. 求函数1e 1e y x x +-=的值域。
例1下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f2若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点(A))1,4(-(B))4,1(-- (C))1,4(-- (D))4,1(-例3已知函数)(x f 对任意的a b R ∈、满足：()()()6,f a b f a f b +=+-0,()6a f a ><当时；(2)12f -=。
（1）求：(2)f 的值；（2）求证：()f x 是R 上的减函数；（3）若(2)(2)3f k f k -<-，求实数k 的取值范围。
例4已知{(,)|,,A x y x n y an b n ===+∈Z }，2{(,)|,315,B x y x m y m m ===+∈Z }，22{(,)|C x y x y =+≤14}，问是否存在实数,a b ，使得(1)A B ≠∅，(2)(,)a b C ∈同时成立.证明题1.已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121[()()]2f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）.答案1解：设f(x)=kx+b 则 k(kx+b)+b=4x -1 则⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+=3121)1(42b k b k k 或 ⎩⎨⎧=-=12b k ∴312)(-=x x f 或12)(+-=x x f 2换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
函数解析式的求法例题
函数解析式的求法练习一、换元法1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.2．若x xx f -=1)1(,求)(x f .3．若x x x f 2)1(+=+,求)(x f .4.若x-23(，求)2(f．)2=f-xx5.知f(x-1)= 2x-4x，解方程f(x+1)=06.已知f(x+1 )= 2x+1 ，求f(x)解析式。
二、待定系数法7.已知)(x f 是一次函数，且64)]([+=x x f f ，求)(x f ．8.已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 求f(x)的解析式。
9．设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ,且图象在y 轴上截距为1,在x 轴上截得的线段长为22,求)(x f 的表达式.三、配凑法10.若221)1(x x x x f +=-，求()f x ．11.若x x x f 2)1(+=+,求)(x f .四、解方程组法12．已知()3()26,f x f x x --=+求()f x ．13. 若,)(2)1(x x f xf =+求)(x f ．14.设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式x xf x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式.五．特殊值代入法15.对于一切实数y x ,有x y x x f y x f )12()()(+--=-都成立，且.1)0(=f求).(x f16.设函数F(x)=f(x)+g(x) 其中f(x)是x 的正比例函数，g(x)是2x 的反比例函数，又F(2)= F(3)=19,求F(x) 的解析式。
17.设)(x f 是定义在*N 上的函数,若1)1(=f ,且对任意的x,y 都有：xy y x f y f x f -+=+)()()(, 求)(x f . ()1(21)(2+=x x f )18.设)(x f 是定义在*N 上的函数,且2)1(=f ,21)()1(+=+x f x f ，求)(x f 的解析式.。
函数解析式求法专练(含答案)
(待定系数法) 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f1.已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 求f(x)的解析式。
2. 已知二次函数满足2(31)965,();f x x x f x +=-+求3. 已知 ()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .(配凑法) 例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 4.已知 x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f(换元法)例3 已知 x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f5.已知 ()211x f x x =++,求()f x .6.已知(1f +＝2x )(x f 的解析式．(构造法) 例4 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f 7. 设)(x f 为偶函数，)(xg 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 8.已知２)(x f ＋)1(x f ＝x ，求)(x f 的解析式． (赋值法)例5 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 例6 已知f(x-1)= 2x -4x ，解方程f(x+1)=01．设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ）A ．21x +B ．21x -C ．23x -D ．27x +2．已知2211()11x xf x x--=++，则()f x 的解析式为（ ） A ．21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．21x x +- 3．若函数x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = .例1解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 1.解：设f(x)=ax+b (a ≠0) 由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a (x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17 ∴f(x)=2x+72. 解：设2()(0)f x ax bx c a =++≠则2(31)(31)(31)f x a x b x c +=++++29(63)ax a b x a b c =+++++又有2(31)965f x x x +=-+所以29916364()4858a a a b b f x x x a b c c ==⎧⎧⎪⎪+=-⇔=-=-+⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩所以 3.解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 例2解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x4.由f(x +1)=x+2x =2)1(+x -1 ∴f(x)=2x -1 (x ≥1)例3解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x5.解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x-=-6.解：令1t +=，则x ＝2(1)(1)4t t -≥ ∴ 22(1)1()(1)222t t t t f t t ---=+=≥ 从而2()(1)2x x f x x -=≥ 例4解 x xf x f =-)1(2)( ① 显然,0≠x 将x 换成x1，得： xx f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：xx x f 323)(--= 7. 解 )(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，)()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴又11)()(-=+x x g x f ① ， 用x -替换x 得：11)()(+-=-+-x x g x f 即11)()(+-=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组，得11)(2-=x x f ， xx x g -=21)(8.解：已知２)(x f ＋)1(x f ＝x ① 将①中变量x 换成x1，得 ２)1(x f ＋)(x f ＝x 1 ② 联立①、②可得方程，消去)1(xf 得 )(x f ＝xx 3132-． 例5解 对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f 再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f 例6解1：f(x-1)==2)1(-x -2(x-1)-3 ∴ f(x)= 2x -2x-3f(x+1)= 2)1(+x -2(x+1)-3=2x -4 ∴ 2x -4=0 x=±2解2：f(x-1)= 2x - 4x ∴f(x+1)=f[（x+2)-1]= 2)2(+x - 4(x+2)= 2x - 4 ∴2x - 4=0， x=±2 解3：令x-1= t+1 则x=t+2 ∴f(t+1)= 2)2(+t -4(t+2)= 2t - 4∴ f(x+1)= 2x - 4 ∴2x - 4=0 ∴ x= ±21. B ∵(2)232(2)1,g x x x +=+=+-∴()21g x x =-；2. C 令22211()1121,,()1111()1t x t t t t x f t x t t t----+====+++++则。
求f(x)的解析式专项练习
求()f x 的解析式（专项练习）练习一1. 已知1()2f x x =+（1）求(3)f -2(3f 的值；（2）若52a ≥，求()f a ，(1)f a -；2. 已知2()21f x x x =+-，求(21)f x +；3. 已知(1)(1)f x f x +=-，则可以求得（1）()()f x f =或者()()f x f =；（2）(5)()f x f -=或者(5)()f x f -=；4. 设f (x )=2x +3，g (x +2)=f (x -1)，则g (x )= （） ；练习二1. （1）已知211()()f x x x x -=-，求()f x ；（2）已知211((f x x x x +=-，求()f x ；（3）已知2211()f x x x x +=+，求()f x ；2. （1）已知(1)32f x x +=-，求()f x ；（2）已知21(11xf x x +=-，求()f x ；（3）已知1(1)1xf x x +=-，求()f x ；（4）已知11(11x x f x x -+=+-，求()f x 及1()1xf x +-；练习三1. （1）已知2(1)41f x x x +=++，求()f x ；（2）已知1)f x =+(1)f x +；（3）已知2(1)22f x x x +=++，求()f x 及(3)f x +；2. （1）已知(31)43f x x +=+，求()f x ；（2）已知2(1)1f x x +=+，求()f x ；（3）已知2211()f x x x x+=+(0)x ＞，求()f x ； （4）已知341()1x x f x x x++=+(0)x ＞，求()f x ； 练习四1. （1）已知2(1)4f x x x -=-，解方程(1)0f x +=；（2）已知2(1)1f x x +=+，求()f x ；（3）已知2()231f x x x =-+，(1)()g x f x -=，求()g x 及((2))f g ；2. （1）已知()f x 是一次函数，且[()]43f f x x =+，求()f x ；（2）已知反比例函数()f x 满足(3)6f =-，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；练习五1. （1）已知()f x 是一次函数，且{[()]}87f f f x x =+，求()f x ；（2）已知()()af x f x bx +-=，其中1a ≠±，求()f x ；（3）已知1()2()32f x f x x -=+，求()f x ；2. 已知定义在R 上的函数()f x ，对任意实数x 、y 满足2()()2f x y f x xy y y -=-+-， 且(0)1f =，求()f x .高考真题摘选：高考真题改编：求()f x 的解析式，如果()f x 的解析式不存在要说明理由。
必修一函数解析式的求法
必修一函数解析式的求法必修一函数解析式的求法一、换元法题目1：已知$f(3x+1)=4x+3$，求$f(x)$的解析式。
解：设$u=3x+1$，则$x=\dfrac{u-1}{3}$，代入已知条件得：f(u)=4\cdot\dfrac{u-1}{3}+3=\dfrac{4}{3}u-1$$所以$f(x)=\dfrac{4}{3}x-1$。
练1：若$f(x)=\dfrac{x}{1-x}$，求$f(x)$。
解：设$u=1-x$，则$x=1-u$，代入已知条件得：f(u)=\dfrac{1-u}{u}$$所以$f(x)=\dfrac{1-x}{1-x}=1$（$x\neq1$）。
二、配变量法题目2：已知$f(x-\dfrac{1}{x})=x^2+\dfrac{1}{x^2}$，求$f(x)$的解析式。
解：设$u=x-\dfrac{1}{x}$，则$x=\dfrac{u+\sqrt{u^2+4}}{2}$，代入已知条件得：f(u)=\left(\dfrac{u+\sqrt{u^2+4}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{2} {u+\sqrt{u^2+4}}\right)^2$$所以$f(x)=\left(\dfrac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{2}{x+ \sqrt{x^2+4}}\right)^2$。
练2：若$f(x+1)=x+2x$，求$f(x)$。
解：设$u=x+1$，则$x=u-1$，代入已知条件得：f(u-1)=u+2(u-1)=3u-2$$所以$f(x+1)=3(x+1)-2=3x+1$，即$f(x)=3x-2$。
三、待定系数法题目3：设$f(x)$是一元二次函数，$g(x)=2x\cdot f(x)$，且$g(x+1)-g(x)=2x+1\cdot x^2$，求$f(x)$和$g(x)$。
解：设$f(x)=ax^2+bx+c$，则$g(x)=2ax^3+2bx^2+2cx$，代入已知条件得：2a(x+1)^3+2b(x+1)^2+2c(x+1)-2ax^3-2bx^2-2cx=2x+x^2$$整理得：begin{cases}a=\dfrac{1}{2}\\b=-\dfrac{1}{2}\\c=0\end{cases}$$所以$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x$，$g(x)=x^3-x^2$。
函数的解析式练习题
函数的解析式练习题一．选择题（共15小题）1．已知函数f（2x﹣1）=4x+3，且f（t）=6，则t=（）A．B．C．D．2．已知，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=x2﹣1 B．f（x）=x2+1C．f（x）=x2﹣1（x≥0）D．f（x）=x2+1（x≥0）3．已知f（x﹣1）=x2+4x﹣5，则f（x）的表达式是（）A．x2+6x B．x2+8x+7 C．x2+2x﹣3 D．x2+6x﹣104．如果f（）=，则当x≠0时，f（x）等于（）A．B．C．D．﹣15．已知函数f（x）=3x+4，则f（x+1）﹣f（x﹣1）等于（）A．6 B．4 C．3 D．26．下列函数中，不满足f（3x）=3f（x）的是（）A．f（x）=|x| B．f（x）=﹣x C．f（x）=x﹣|x| D．f（x）=x+3 7．设f（x）=2x+3，g（x）=f（x﹣2），则g（x）等于（）A．2x+1 B．2x﹣1 C．2x﹣3 D．2x+78．设，则等于（）A．f（x）B．﹣f（x）C．D．9．已知f（）=，则f（x）的解析式可取为（）A．B．﹣C．D．﹣10．已知f（x）是一次函数，且f（﹣2）=﹣1，f（0）+f（2）=10，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=3x+5 B．f（x）=3x+2 C．f（x）=2x+3 D．f（x）=2x ﹣311．已知f（）=x2﹣1，则f（）=（）A．﹣B．﹣C．8 D．﹣812．已知，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=1+x D．f（x）=（x≠0）13．已知函数f（x）满足f（）+f（﹣x）=2x（x≠0），则f（﹣2）=（）A．B．C．D．14．已知f（）=2x+3，f（m）=6，则m等于（）A．B．C．D．15．若函数f（x）满足关系式f（x）+2f（）=4x﹣，则f（）=（）A．﹣B．﹣2 C．3 D．二．填空题（共12小题）16．若f（2x）=3x2+1，则函数f（x）的解析式是．17．函数f （x ）=，g （x ）=，则f （x）g （x ）= ．18．已知f（2x+1）=3x﹣4，f（a）=4，则a= ．19．已知函数f（x）是二次函数且f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=x﹣1，则函数f（x）= ．20．若函数，，则f（x）+g（x）= ．21．已知f（x）=x2﹣1，则f（2x）= ．22．已知y=f（x）是一次函数，且有f[f（x）]=16x﹣15，则f（x）的解析式为．23．已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是．24．已知f（x﹣1）=2x2﹣8x+11，则函数f（x）的解析式为．25．已知函数满足2f（x）﹣f（﹣x）=3x，则f（x）的解析式为．26．已知，则函数f（x）的解析式为．27．已知函数f（x）满足f（+1）=x+3，则f（3）= ．三．解答题（共3小题）28．（1）已知f（x）满足2f（x）+f（）=3x，求f（x）．（2）已知二次函数f（x）满足f（1+x）+f（2+x）=2x2+4x+3，求f（x）的解析式．29．已知函数f（x）=．（1）求f（x）的定义域．（2）若f（a）=2，求a的值；（3）求证：f（）=﹣f（x）30．已知函数f（x）满足f（2x﹣1）=4x，求f（﹣1）值和f（x﹣1）解析式．2018年09月11日郁金香的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【分析】由换元法求出函数f（x）的解析式，令函数值为6，解出t值即可．【解答】解：令2x﹣1=u，则x=，由f（2x﹣1）=4x+3，可得f（u）=4×+3=2u+5，则f（t）=2t+5=6，解得t=，故选：A．【点评】本题考查函数解析式的求法，属于基础题．2．【分析】根据已知中f（）=x+1，令t=，则x=t2，进而利用换元法，可得答案．【解答】解：令t=，则t≥0，则=t，x=t2，则由f（）=x+1可得f（t）=t2+1，故函数f（x）的解析式为：f（x）=x2+1，（x≥0），故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法﹣﹣换元法，解答时一定要注意中间元的范围，对函数定义域的影响．3．【分析】令x﹣1=t，得x=t+1，将已知表达式写成关于t的表达式，再将t换回x即可得到f（x）的表达式．【解答】解：令x﹣1=t，得x=t+1∵f（x﹣1）=x2+4x﹣5，∴f（t）=（t+1）2+4（t+1）﹣5=t2+6t，由此可得f（x）=x2+6x故选：A．【点评】本题给出函数f（x﹣1）的表达式，求f（x）的表达式．考查了函数的定义和解析式的求法等知识，属于基础题．4．【分析】由题意利用配凑法即可得到函数的解析式．【解答】解：函数的解析式：，∴．故选：B．【点评】本题考查函数解析式的求解，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．5．【分析】直接利用解析式计算即可．【解答】解：f（x+1）=3（x+1）+4=3x+7，f（x﹣1）=3（x﹣1）+4=3x+1，∴f（x+1）﹣f（x﹣1）=6．故选：A．【点评】本题考查了函数解析式的意义，属于基础题．6．【分析】逐一检验各个选项中的函数是否满足f（3x）=3f（x），从而得出结论．【解答】解：对于A，∵f（3x）=|3x|，3f（x）=3|x|，满足f（3x）=3f（x）；对于B，f（3x）=﹣3x，3f（x）=3（﹣x）=﹣3x，满足f（3x）=3f（x）；对于C，f（3x）=3x﹣|3x|，3f（x）=3（x﹣|x|），满足f（3x）=3f（x）；对于D，f（3x）=3x+3，3f（x）=3（x+3）=3x+9，显然不满足f（3x）=3f（x），故选：D．【点评】本题主要考查求函数的解析式，属于基础题．7．【分析】先由f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x）求得g（x+2）再利用换元法将x+2=t求得g（t），再令x=t即得g（x）．【解答】解：根据题意：f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），∴g（x+2）=2x+3，令x+2=t，则x=t﹣2∴g（t）=2t﹣1令x=t∴g（x）=2x﹣1故选：B．【点评】本题主要考查求函数的解析式，这里用到了换元法，常用方法还有配方法，待定系数法，方程法等等．8．【分析】根据已知中，求出的解析式，可得答案．【解答】解：∵，∴===﹣f（x），故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求解方法﹣﹣代入法，难度不大，属于基础题．9．【分析】利用换元法，设，则x=，代入从而化简可得．【解答】解：已知f（）=，设，则x=，那么：f（）=转化为g（t）==，∴f（x）的解析式可取为f（x）=，故选：C．【点评】本题考查了函数解析式的求法，利用了换元法，属于基础题．10．【分析】设出函数的解析式，待定系数法求解即可．【解答】解：设f（x）=ax+b，由f（﹣2）=﹣1，f（0）+f（2）=10，得，解得：a=2，b=3，故f（x）=2x+3，故选：C．【点评】本题考查了求一次函数的解析式问题，考查代入求值，是一道基础题．11．【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可．【解答】解：f（）=x2﹣1，则f（）=f（）==．故选：B．【点评】本题考查函数的值的求法，函数的解析式的应用，考查计算能力．12．【分析】令（t≠0），得x=，代入原函数即可求得f（x）的解析式．【解答】解：令（t≠0），得x=，∴原函数化为f（t）=，（t≠0）．∴f（x）的解析式为f（x）=（x≠0）．故选：D．【点评】本题考查利用换元法求函数解析式，关键是注意函数定义域，是中档题．13．【分析】根据题意，将x=2和x=﹣代入f（）+f（﹣x）=2x可得f（）+f（﹣2）=4①，f （﹣2）﹣2f（）=﹣1②，联立两式解可得f（﹣2）的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（）+f（﹣x）=2x（x≠0），令x=2可得：f（）+f（﹣2）=4，①令x=﹣可得：f（﹣2）﹣2f（）=﹣1，②联立①②解可得：f（﹣2）=，故选：C．【点评】本题考查函数的值的计算，注意利用特殊值法分析，关键是分析与（﹣x）的关系，确定x 的特殊值．14．【分析】设x﹣1=t，求出f（t）=4t+7，进而得到f（m）=4m+7，由此能够求出m【解答】解：设x﹣1=t，则x=2t+2，∴f（t）=4t+7，∴f（m）=4m+7=6，解得m=﹣．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细求解，注意公式的灵活运用；运用了换元的思想．15．【分析】由函数f（x）满足关系式f（x）+2f（）=4x﹣，分别令x=2和x=，利用加减消元法，可得答案【解答】解：∵f（x）+2f（）=4x﹣，∴f（2）+2f（）=4×=7，…①；f（）+2f（2）==﹣2，…②；①×2﹣②得：3f（）=16，故f（）=，故选：D．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数求值，难度中档．二．填空题（共12小题）16．【分析】直接利用配凑法求解函数的解析式即可．【解答】解：f（2x）=3x2+1=，可得．故答案为：．【点评】本题考查函数的解析式的求法，转化思想的应用，考查计算能力．17．【分析】根据f（x），g（x）的解析式，化简约分即可．【解答】解：f （x ）=，g （x ）=，∴f （x）⋅g （x ）=•=2（x﹣1），故答案为：2（x﹣1）．，（x≠﹣3，x≠0）．【点评】本题考查了求函数的解析式问题，注意定义域的取值．18．【分析】由题意可得函数的解析式为f（x）=x﹣，可得关于a的方程，解方程可得．【解答】解：∵f（2x+1）=3x﹣4，∴f（2x+1）=3x﹣4=（2x+1）﹣，∴f（x）=x﹣，∵f（a）=4，∴a﹣=4，解得a=故答案为：【点评】本题考查函数解析式的求解，属基础题．19．【分析】设f（x）=ax2+bx+c，a≠0，且f（0）=c=2，从而f（x）=ax2+bx+2，a≠0，进而f（x+1）﹣f（x）=2ax+a+b=x﹣1，由此能求出函数f（x）．【解答】解：∵函数f（x）是二次函数且f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=x﹣1，∴设f（x）=ax2+bx+c，a≠0，且f（0）=c=2，∴f（x）=ax2+bx+2，a≠0，f（x+1）﹣f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+2﹣（ax2+bx+2）=2ax+a+b=x﹣1，∴，解得a=，b=﹣，∴f（x）=．故答案为：．【点评】本题考查查函数的表达式的求法，考查二次函数等基础知识，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的性质的合理运用．20．【分析】根据f（x），g（x）的解析式求出f（x）+g（x）的解析式即可．【解答】解：函数，，则f（x）+g（x）=+x﹣=x，x≥0，故答案为：x，x≥0．【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查x的范围，是一道基础题．21．【分析】直接将f（x）=x2﹣1中x替换成2x即可．【解答】解：由题意：f（x）=x2﹣1则f（2x）=（2x）2﹣1=4x2﹣1故答案为：4x2﹣1．【点评】本题考查了函数带值计算问题，比较基本，属于基础题．22．【分析】由题意设f（x）=ax+b，代入f（f（x））=16x﹣15，化简后列出方程组，解出a，b的值即可．【解答】解：由题意设f（x）=ax+b，∴f（f（x））=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=16x﹣15，则，解得或，∴f（x）=4x﹣3或f（x）=﹣4x+5，故答案为：f（x）=4x﹣3或f（x）=﹣4x+5．【点评】本题考查了求函数的解析式方法：待定系数法，以及方程思想，属于基础题．23．【分析】利用换元法即可得出．【解答】解：令x+1=t，则x=t﹣1，∴f（t）=3（t﹣1）+2=3t﹣1，∴f（x）=3x﹣1．故答案为f（x）=3x﹣1．【点评】熟练掌握换元法是解题的关键．24．【分析】设x﹣1=t，则x=t+1，由此能求出函数f（x）的解析式．【解答】解：f（x﹣1）=2x2﹣8x+11，设x﹣1=t，则x=t+1，∴f（t）=2（t+1）2﹣8（t+1）+11=2t2﹣4t+5，∴f（x）=2x2﹣4x+5．故答案为：f（x）=2x2﹣4x+5．【点评】本题考查函数的解析式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意换元法的合理运用．25．【分析】构造方程组，然后求出函数的解析式即可．【解答】解：根据题意2f（x）﹣f（﹣x）=3x，①用﹣x代替x可得2f（﹣x）﹣f（x）=﹣3x，②①②消去f（﹣x）可得：3f（x）=3x，∴f（x）=x，故答案为：f（x）=x．【点评】本题考查函数解析式的应用问题，解题时应值域x的任意性，方程组的思想的应用．26．【分析】换元法：令+1=t，可得=t﹣1，代入已知化简可得f（t），进而可得f（x）【解答】解：令+1=t，t≥1，可得=t﹣1，代入已知解析式可得f（t）=（t﹣1）2+2（t﹣1），化简可得f（t）=t2﹣1，t≥1故可得所求函数的解析式为：f（x）=x2﹣1，（x≥1）故答案为：f（x）=x2﹣1，（x≥1）【点评】本题考查函数解析式的求解方法，换元是解决问题的关键，属基础题．27．【分析】由已知中函数的解析式，令x=4，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）满足f（+1）=x+3，令x=4，则f（3）=7，故答案为：7【点评】本题考查的知识点是函数求值，难度不大，属于基础题．三．解答题（共3小题）28．【分析】（1）构造方程组法，可得f（x）的解析式．（2）已知f（x）是二次函数，利用待定系数法求解即可【解答】解：（1）∵2f（x）+f（）=3x，…①把①中的x换成，得2f（）+f（x）=，…②①×2﹣②得3f（x）=6x﹣，∴f（x）=2x﹣（x≠0）．（2）设f（x）=ax2+bx+c，∴f（1+x）+f（2+x）=a（1+x）2+b（1+x）+c+a（2+x）2+b（2+x）+c=2ax2+（6a+2b）x+5a++3b+2c=2x2+4x+3，∴，解得：，∴f（x）=x2﹣x；【点评】本题考查了利用构造方程组法，待定系数法求解函数解析式的问题，比较基础29．【分析】（1）根据分母不是0，求出函数的定义域即可；（2）令2=，解出即可；（3）令x=，带入f（x）的解析式，整理即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=，故1﹣x2≠0，解得：x≠±1，故函数的定义域是{x|x≠±1}；（2）若f（a）=2=，即1+a2=2﹣2a2，解得：a=±；（3）f（）===﹣f（x）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查函数求值问题，考查等式的证明，是一道基础题．30．【分析】由已知的f（2x﹣1）=4x，令2x﹣1=t换元，求得f（t），则函数f（x）的解析式可求，则f（﹣1）值和f（x﹣1）解析式可求．【解答】解：由f（2x﹣1）=4x，令2x﹣1=t，得，∴f（t）=4×=2t+2．故f（x）=2x+2．则f（﹣1）=2×（﹣1）+2=0；f（x﹣1）=2（x﹣1）+2=2x．【点评】本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了换元法求函数解析式，是基础题．。
函数的解析式练习题
函数的解析式练习题一．选择题（共15小题）1．已知函数f（2x﹣1）=4x+3，且f（t）=6，则t=（）A． B．C．D．2．已知，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=x2﹣1 B．f（x）=x2+1C．f（x）=x2﹣1（x≥0）D．f（x）=x2+1（x≥0）3．已知f（x﹣1）=x2+4x﹣5，则f（x）的表达式是（）《A．x2+6x B．x2+8x+7 C．x2+2x﹣3 D．x2+6x﹣104．如果f（）=，则当x≠0时，f（x）等于（）A． B． C． D．﹣15．已知函数f（x）=3x+4，则f（x+1）﹣f（x﹣1）等于（）A．6 B．4 C．3 D．26．下列函数中，不满足f（3x）=3f（x）的是（）A．f（x）=|x| B．f（x）=﹣x C．f（x）=x﹣|x| D．f（x）=x+3 7．设f（x）=2x+3，g（x）=f（x﹣2），则g（x）等于（）！A．2x+1 B．2x﹣1 C．2x﹣3 D．2x+78．设，则等于（）A．f（x）B．﹣f（x） C． D．9．已知f（）=，则f（x）的解析式可取为（）A． B．﹣C．D．﹣10．已知f（x）是一次函数，且f（﹣2）=﹣1，f（0）+f（2）=10，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=3x+5 B．f（x）=3x+2 C．f（x）=2x+3 D．f（x）=2x﹣3 11．已知f（）=x2﹣1，则f（）=（）【A．﹣ B．﹣C．8 D．﹣812．已知，则f（x）的解析式为（）A．f（x）= B．f（x）= C．f（x）=1+x D．f（x）=（x≠0）13．已知函数f（x）满足f（）+f（﹣x）=2x（x≠0），则f（﹣2）=（）A． B．C． D．14．已知f（）=2x+3，f（m）=6，则m等于（）A． B．C． D．15．若函数f（x）满足关系式f（x）+2f（）=4x﹣，则f（）=（）·A．﹣ B．﹣2 C．3 D．二．填空题（共12小题）16．若f（2x）=3x2+1，则函数f（x）的解析式是．17．函数 f （ x ）=，g （ x ）=，则 f （ x）g （ x ）= ．18．已知f（2x+1）=3x﹣4，f（a）=4，则a= ．19．已知函数f（x）是二次函数且f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=x﹣1，则函数f（x）= ．20．若函数，，则f（x）+g（x）= ．21．已知f（x）=x2﹣1，则f（2x）= ．\22．已知y=f（x）是一次函数，且有f[f（x）]=16x﹣15，则f（x）的解析式为．23．已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是．24．已知f（x﹣1）=2x2﹣8x+11，则函数f（x）的解析式为．25．已知函数满足2f（x）﹣f（﹣x）=3x，则f（x）的解析式为．26．已知，则函数f（x）的解析式为．27．已知函数f（x）满足f（+1）=x+3，则f（3）= ．三．解答题（共3小题）28．（1）已知f（x）满足2f（x）+f（）=3x，求f（x）．&（2）已知二次函数f（x）满足f（1+x）+f（2+x）=2x2+4x+3，求f（x）的解析式．29．已知函数f（x）=．（1）求f（x）的定义域．（2）若f（a）=2，求a的值；（3）求证：f（）=﹣f（x）30．已知函数f（x）满足f（2x﹣1）=4x，求f（﹣1）值和f（x﹣1）解析式．$2018年09月11日郁金香的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【分析】由换元法求出函数f（x）的解析式，令函数值为6，解出t值即可．【解答】解：令2x﹣1=u，则x=，由f（2x﹣1）=4x+3，?可得f（u）=4×+3=2u+5，则f（t）=2t+5=6，解得t=，故选：A．【点评】本题考查函数解析式的求法，属于基础题．2．【分析】根据已知中f（）=x+1，令t=，则x=t2，进而利用换元法，可得答案．—【解答】解：令t=，则t≥0，则=t，x=t2，则由f（）=x+1可得f（t）=t2+1，故函数f（x）的解析式为：f（x）=x2+1，（x≥0），故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法﹣﹣换元法，解答时一定要注意中间元的范围，对函数定义域的影响．%3．【分析】令x﹣1=t，得x=t+1，将已知表达式写成关于t的表达式，再将t换回x即可得到f（x）的表达式．【解答】解：令x﹣1=t，得x=t+1∵f（x﹣1）=x2+4x﹣5，∴f（t）=（t+1）2+4（t+1）﹣5=t2+6t，由此可得f（x）=x2+6x故选：A．【点评】本题给出函数f（x﹣1）的表达式，求f（x）的表达式．考查了函数的定义和解析式的求法等知识，属于基础题．/4．【分析】由题意利用配凑法即可得到函数的解析式．【解答】解：函数的解析式：，∴．故选：B．【点评】本题考查函数解析式的求解，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．5．！【分析】直接利用解析式计算即可．【解答】解：f（x+1）=3（x+1）+4=3x+7，f（x﹣1）=3（x﹣1）+4=3x+1，∴f（x+1）﹣f（x﹣1）=6．故选：A．【点评】本题考查了函数解析式的意义，属于基础题．6．【分析】逐一检验各个选项中的函数是否满足f（3x）=3f（x），从而得出结论．—【解答】解：对于A，∵f（3x）=|3x|，3f（x）=3|x|，满足f（3x）=3f（x）；对于B，f（3x）=﹣3x，3f（x）=3（﹣x）=﹣3x，满足 f（3x）=3f（x）；对于C，f（3x）=3x﹣|3x|，3f（x）=3（x﹣|x|），满足f（3x）=3f（x）；对于D，f（3x）=3x+3，3f（x）=3（x+3）=3x+9，显然不满足f（3x）=3f（x），故选：D．【点评】本题主要考查求函数的解析式，属于基础题．7．《【分析】先由f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x）求得g（x+2）再利用换元法将x+2=t求得g（t），再令x=t即得g（x）．【解答】解：根据题意：f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），∴g（x+2）=2x+3，令x+2=t，则x=t﹣2∴g（t）=2t﹣1令x=t∴g（x）=2x﹣1故选：B．}【点评】本题主要考查求函数的解析式，这里用到了换元法，常用方法还有配方法，待定系数法，方程法等等．8．【分析】根据已知中，求出的解析式，可得答案．【解答】解：∵，∴===﹣f（x），故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求解方法﹣﹣代入法，难度不大，属于基础题．.9．【分析】利用换元法，设，则x=，代入从而化简可得．【解答】解：已知f（）=，设，则x=，那么：f（）=转化为g（t）==，∴f（x）的解析式可取为f（x）=，故选：C．$【点评】本题考查了函数解析式的求法，利用了换元法，属于基础题．10．【分析】设出函数的解析式，待定系数法求解即可．【解答】解：设f（x）=ax+b，由f（﹣2）=﹣1，f（0）+f（2）=10，得，解得：a=2，b=3，故f（x）=2x+3，—故选：C．【点评】本题考查了求一次函数的解析式问题，考查代入求值，是一道基础题．11．【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可．【解答】解：f（）=x2﹣1，则f（）=f（）==．故选：B．【点评】本题考查函数的值的求法，函数的解析式的应用，考查计算能力．$12．【分析】令（t≠0），得x=，代入原函数即可求得f（x）的解析式．【解答】解：令（t≠0），得x=，∴原函数化为f（t）=，（t≠0）．∴f（x）的解析式为f（x）=（x≠0）．故选：D．~【点评】本题考查利用换元法求函数解析式，关键是注意函数定义域，是中档题．13．【分析】根据题意，将x=2和x=﹣代入f（）+f（﹣x）=2x可得f（）+f（﹣2）=4①，f（﹣2）﹣2f（）=﹣1②，联立两式解可得f（﹣2）的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（）+f（﹣x）=2x（x≠0），令x=2可得：f（）+f（﹣2）=4，①令x=﹣可得：f（﹣2）﹣2f（）=﹣1，②联立①②解可得：f（﹣2）=，）故选：C．【点评】本题考查函数的值的计算，注意利用特殊值法分析，关键是分析与（﹣x）的关系，确定x 的特殊值．14．【分析】设x﹣1=t，求出f（t）=4t+7，进而得到f（m）=4m+7，由此能够求出m【解答】解：设x﹣1=t，则x=2t+2，∴f（t）=4t+7，∴f（m）=4m+7=6，解得m=﹣．》故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细求解，注意公式的灵活运用；运用了换元的思想．15．【分析】由函数f（x）满足关系式f（x）+2f（）=4x﹣，分别令x=2和x=，利用加减消元法，可得答案【解答】解：∵f（x）+2f（）=4x﹣，∴f（2）+2f（）=4×=7，…①；f（）+2f（2）==﹣2，…②；|①×2﹣②得：3f（）=16，故f（）=，故选：D．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数求值，难度中档．二．填空题（共12小题）16．【分析】直接利用配凑法求解函数的解析式即可．)【解答】解：f（2x）=3x2+1=，可得．故答案为：．【点评】本题考查函数的解析式的求法，转化思想的应用，考查计算能力．17．【分析】根据f（x），g（x）的解析式，化简约分即可．【解答】解：f （ x ）=，g （ x ）=，*∴f （ x）⋅g （ x ）=•=2（x﹣1），故答案为：2（x﹣1）．，（x≠﹣3，x≠0）．【点评】本题考查了求函数的解析式问题，注意定义域的取值．18．【分析】由题意可得函数的解析式为f（x）=x﹣，可得关于a的方程，解方程可得．【解答】解：∵f（2x+1）=3x﹣4，∴f（2x+1）=3x﹣4=（2x+1）﹣，]∴f（x）=x﹣，∵f（a）=4，∴a﹣=4，解得a=故答案为：【点评】本题考查函数解析式的求解，属基础题．19．【分析】设f（x）=ax2+bx+c，a≠0，且f（0）=c=2，从而f（x）=ax2+bx+2，a≠0，进而f（x+1）﹣f（x）=2ax+a+b=x﹣1，由此能求出函数f（x）．,【解答】解：∵函数f（x）是二次函数且f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=x﹣1，∴设f（x）=ax2+bx+c，a≠0，且f（0）=c=2，∴f（x）=ax2+bx+2，a≠0，f（x+1）﹣f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+2﹣（ax2+bx+2）=2ax+a+b=x﹣1，∴，解得a=，b=﹣，∴f（x）=．故答案为：．【点评】本题考查查函数的表达式的求法，考查二次函数等基础知识，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的性质的合理运用．]20．【分析】根据f（x），g（x）的解析式求出f（x）+g（x）的解析式即可．【解答】解：函数，，则f（x）+g（x）=+x﹣=x，x≥0，故答案为：x，x≥0．【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查x的范围，是一道基础题．$21．【分析】直接将f（x）=x2﹣1中x替换成2x即可．【解答】解：由题意：f（x）=x2﹣1则f（2x）=（2x）2﹣1=4x2﹣1故答案为：4x2﹣1．【点评】本题考查了函数带值计算问题，比较基本，属于基础题．!【分析】由题意设f（x）=ax+b，代入f（f（x））=16x﹣15，化简后列出方程组，解出a，b的值即可．【解答】解：由题意设f（x）=ax+b，∴f（f（x））=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=16x﹣15，则，解得或，∴f（x）=4x﹣3或f（x）=﹣4x+5，故答案为：f（x）=4x﹣3或f（x）=﹣4x+5．【点评】本题考查了求函数的解析式方法：待定系数法，以及方程思想，属于基础题．@23．【分析】利用换元法即可得出．【解答】解：令x+1=t，则x=t﹣1，∴f（t）=3（t﹣1）+2=3t﹣1，∴f（x）=3x﹣1．故答案为f（x）=3x﹣1．【点评】熟练掌握换元法是解题的关键．"24．【分析】设x﹣1=t，则x=t+1，由此能求出函数f（x）的解析式．【解答】解：f（x﹣1）=2x2﹣8x+11，设x﹣1=t，则x=t+1，∴f（t）=2（t+1）2﹣8（t+1）+11=2t2﹣4t+5，∴f（x）=2x2﹣4x+5．故答案为：f（x）=2x2﹣4x+5．【点评】本题考查函数的解析式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意换元法的合理运用．{【分析】构造方程组，然后求出函数的解析式即可．【解答】解：根据题意2f（x）﹣f（﹣x）=3x，①用﹣x代替x可得2f（﹣x）﹣f（x）=﹣3x，②①②消去f（﹣x）可得：3f（x）=3x，∴f（x）=x，故答案为：f（x）=x．￥【点评】本题考查函数解析式的应用问题，解题时应值域x的任意性，方程组的思想的应用．26．【分析】换元法：令+1=t，可得=t﹣1，代入已知化简可得f（t），进而可得f（x）【解答】解：令+1=t，t≥1，可得=t﹣1，代入已知解析式可得f（t）=（t﹣1）2+2（t﹣1），化简可得f（t）=t2﹣1，t≥1故可得所求函数的解析式为：f（x）=x2﹣1，（x≥1）-故答案为：f（x）=x2﹣1，（x≥1）【点评】本题考查函数解析式的求解方法，换元是解决问题的关键，属基础题．27．【分析】由已知中函数的解析式，令x=4，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）满足f（+1）=x+3，令x=4，则f（3）=7，故答案为：7（【点评】本题考查的知识点是函数求值，难度不大，属于基础题．三．解答题（共3小题）28．【分析】（1）构造方程组法，可得f（x）的解析式．（2）已知f（x）是二次函数，利用待定系数法求解即可【解答】解：（1）∵2f（x）+f（）=3x，…①把①中的x换成，得2f（）+f（x）=，…②①×2﹣②得3f（x）=6x﹣，∴f（x）=2x﹣（x≠0）．（2）设f（x）=ax2+bx+c，∴f（1+x）+f（2+x）=a（1+x）2+b（1+x）+c+a（2+x）2+b（2+x）+c=2ax2+（6a+2b）x+5a++3b+2c=2x2+4x+3，∴，解得：，∴f（x）=x2﹣x；【点评】本题考查了利用构造方程组法，待定系数法求解函数解析式的问题，比较基础29．【分析】（1）根据分母不是0，求出函数的定义域即可；（2）令2=，解出即可；（3）令x=，带入f（x）的解析式，整理即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=，故1﹣x2≠0，解得：x≠±1，故函数的定义域是{x|x≠±1}；（2）若f（a）=2=，即1+a2=2﹣2a2，解得：a=±；（3）f（）===﹣f（x）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查函数求值问题，考查等式的证明，是一道基础题．30．【分析】由已知的f（2x﹣1）=4x，令2x﹣1=t换元，求得f（t），则函数f（x）的解析式可求，则f （﹣1）值和f（x﹣1）解析式可求．【解答】解：由f（2x﹣1）=4x，令2x﹣1=t，得，∴f（t）=4×=2t+2．故f（x）=2x+2．则f（﹣1）=2×（﹣1）+2=0；f（x﹣1）=2（x﹣1）+2=2x．【点评】本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了换元法求函数解析式，是基础题．。
三角函数解析式求法专项训练
三角函数解析式求法专项训练一、单选题1．已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向左平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（）A ．()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()π2sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x C ．()g x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()g x 图象的对称中心为()π,0Z 2π1k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭2．已知函数()()cos 04f x x b πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3,12π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，若将()y f x =的图像向右平移()0m m >个单位长度后图像关于y 轴对称，则实数m 的最小值为（）A ．10πB ．310πC ．710πD ．1110π二、多选题3．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>，ππ22ϕ-<<）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的值域为⎡⎣B ．()f x 的最小正周期为πC ．π6ϕ=D ．将函数f （x ）的图象向左平移π6个单位，得到函数()2g x x =的图象三、填空题4．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有___________（填序号）.①()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②方程()()30,2f x g x x π⎫⎛⎫+=∈ ⎪⎪⎝⎭⎭所有根的和为712π；③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于724x π=对称.四、双空题5．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭与函数()y g x =的部分图像如图所示，且函数()f x 的图像可由函数()y g x =的图像向右平移4π个单位长度得到，则ϕ=____________，()0g =____________.五、解答题6．函数()()sin f x A x =+ωϕ（0,0A ω>>，0πϕ<<）在一个周期内的图象如图所示.(1)求()f x 的解析式；(2)将()f x 的图象向右平移2π3个单位长度后得到函数()g x 的图象，设()()()h x f x g x =-，证明：()h x 为偶函数.7．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0,0,π)A ωϕ>><的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式；(2)先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12倍，再向右平移π12个单位后得到()g x 的图象，求函数()y g x =的对称轴.8．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,0,||2A ωϕ>><）的图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若将函数()y f x =的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x 的图象，当ππ,26α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，3()5g α=，求sin α的值．9．已知函数()()sin 0,0,2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =图象上所有的点向右平移4π个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象.当130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0g x a -=恰有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围.10．已知函数())f x x =ω+ϕ，0,22ππωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线56x π=对称，若实数12x x ，满足()()12f x f x -=时，12||x x -的最小值为2π．(1)求()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间．11．已知函数()()cos 2(0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=++>><<的最小值为1，最小正周期为π，且()f x 的图象关于直线π3x =对称．(1)求()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位长度，得到函数()y g x =，求函数()y g x =的单调递减区间．12．某同学将“五点法”画函数()()πsin (0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx π35π6sin()A x ωϕ+055－0(1)请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；(2)将()y f x =图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到()g y x =图象，求()y g x ＝的图象离原点O 最近的对称中心.13．已知函数()π2sin 216f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()0ω>.(1)若()()12()f x f x f x ≤≤，12min π2x x -=，求()f x 的对称中心；(2)已知05ω<<，函数()f x 图象向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，π3x =是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[],m n （,R m n ∈且m n <）上恰好有10个零点，求n m-的最小值.14．已知函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><，其图像一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差4π，将函数()f x 向左平移6π个单位得到的图像关于y 轴对称且()00f >．(1)求函数()f x 的解析式：(2)若110,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，方程()()()2230f x a f x a +-+-=存在4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．15．已知函数()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)若()()()12f x f x f x ≤≤，12min 2x x π-=，求()f x 的对称中心；(2)已知05ω<<，函数()f x 图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，3x π=是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[],m n （m ，n R ∈且m n <）上恰好有10个零点，求n m-的最小值；参考答案：1．C【分析】确定2A =，根据周期得到2π2πω==，代入点计算π3ϕ=-，得到()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，A 错误，通过平移法则得到()26π2sin g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，B 错误，确定πππ2,622x ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦，C 正确，对称中心为()ππ,0Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，D 错误，得到答案.【详解】由函数图象可知，2A =，设()f x 的最小正周期为T ，则37π3π46124πT =+=，故πT =，所以2π2πω==，7π212f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以7π2sin 2212ϕ⎡⎤⎛⎫⨯-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()7π2πZ 62πk k ϕ-+=+∈，所以()5π2πZ 3k k ϕ=+∈，又π2ϕ<，所以π3ϕ=-，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对选项A ：()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，错误；对选项B ：()3π2sin 22sin 246ππg x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 错误；对选项C ：当ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2622x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，由于sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，故()g x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，正确；对选项D ：令()π2πZ 6x k k +=∈，所以()ππZ 122k x k =-+∈，即()g x 图象的对称中心为()ππ,0Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，错误.故选：C.2．B【分析】根据周期范围得出ω范围，根据对称中心得出b 的值，并结合ω范围得出ω的值，即可得出()f x 的解析式，根据函数图像平移后的解析式变化得出()f x m -，即可根据图像关于y 轴对称，得出()524m k k ππ--=∈Z ，再根据m 的范围得出实数m 的最小值.【详解】2T πω= ，0ω>，且23T ππ<<，223πππω<∴<，即23ω<<，()y f x = 的图像关于点3,12π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，1b ∴=，且3cos 024ππω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()3242k k πππωπ-=+∈Z ，解得()1223k k ω=+∈Z ，23ω<< ，∴取3k =，52ω=，()5cos 124f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∴，将()y f x =的图像向右平移()0m m >个单位长度后得到()55cos 1224x m f x m π-=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的图像，()f x m - 的图像关于y 轴对称，()524m k k ππ--=∴∈Z ，解得()2105k m k ππ=--∈Z ，0m > ，m ∴的最小值，令1k =-，得min 2310510m πππ=-+=，故选：B.3．AB【分析】对A 、B 、C ：根据函数图象求,,A ωϕ，即可分析判断；对D ：根据图象变换结合诱导公式求解析式，即可得结果.【详解】对A ：由图可知：A =()()x f x ωϕ=+，∵()[]sin 1,1x ωϕ+∈-，则()()f x x ωϕ⎡=+∈⎣，故()f x 的值域为⎡⎣，A 正确；对B ：由图可得：7πππ41234T =-=，则πT =，B 正确；对C ：∵2π=πT ω=，且0ω>，可得2ω=，∴()()2f x x ϕ=+，由图可得：()f x 的图象过点7π,12⎛ ⎝，7π212ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，则7πsin 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且ππ22ϕ-<<，可得2π7π5π363ϕ<+<，可得7π3π62ϕ+=，则π3ϕ=，C 错误；对D ：可得：()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数f （x ）的图象向左平移π6个单位，得到()ππππππ222663626g x f x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，D 错误；故选：AB.4．①③【分析】根据图象分别确定,A T ，结合五点作图法可最终求得()f x 解析式；利用三角函数平移变换可知①正确；利用三角恒等变换知识化简方程为sin 2122x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合x 范围求得方程的根，可得②错误；利用诱导公式化简可得()712f x g x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，知③正确.【详解】由图象可知：2A =，111212T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，2ω∴=；又2sin 0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由五点法可知：06πϕ-+=，解得：6πϕ=；()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；对于①，()2sin 22sin 24463g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，①正确；对于②，()()2sin 22sin 22sin 2cos 2cos 2sin6366f x g x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫+=++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 2cos2cos 2sin33x x ππ+-)(1sin 21cos 22212x x x π⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭sin 2122x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；302x π<<，352121212x πππ∴-<-<，524x π∴=或38π或2924π或118π，∴所有根的和为196π，②错误；对于③，7742sin 22sin 22sin2126633f x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2sin 22sin 233x x g x ππ⎛⎫⎛⎫--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()y f x ∴=与()y g x =图象关于724x π=对称，③正确.故答案为：①③【点睛】思路点睛：本题考查三角函数性质的综合应用问题，涉及到已知图象求解析式、整体法求解方程的根、图象对称性问题；已知图象求解解析式的基本思路是通过五点作图法的方式，将图象与正弦函数图象进行对应，从而确定参数的取值.5．6π2【分析】结合函数图象可得012512πωϕπωϕπ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解方程组即可求出,ωϕ的值，结合平移求出()g x 的解析式，进而求出()0g .【详解】由题意可知将函数()g x 图像上的点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭向右平移4π个单位长度，可得()f x 的图像与x 轴负半轴的第一个交点，坐标为,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为()f x 的图像与x 轴正半轴的第一个交点为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，所以012512πωϕπωϕπ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得26ωπϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，()sin 2cos 2466πππg x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故()0g =.故答案为：6π；2.6．(1)()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）由图得到2,πA T ==，求得2ω=，代入点π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭，求得()ππ2π62k k ϕ-+=+∈Z ，结合题意得到23ϕπ=，即可求得函数的解析式；（2）由三角函数的图象变换求得()2π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎝⎭，根据偶函数的定义证明即可.【详解】（1）由最值得2A =，由相邻两条对称轴距离得5πππ212122T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则2ππT ω==，即2ω=，此时()()2sin 2f x x ϕ=+，代入点π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭得：πsin 16ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则()ππ2π62k k ϕ-+=+∈Z ，即()2π2π3k k ϕ=+∈Z ，又因为0πϕ<<，所以230,k πϕ==，故()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）由题意得()2π2π2π2sin 22sin 2333g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()2π2π2sin 22sin 233h x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()2π2π2π2π2sin 22sin 22sin 22sin 23333h x x x x x h x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+---=--++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()h x 为偶函数.7．(1)()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)π2k x =，k ∈Z .【分析】（1）由图象可求出2A =，πT =，2ω=.然后根据五点法，结合ϕ的范围，即可求出ϕ的值；（2）由题意可推得()cos2g x x =-.由2π,x k k =∈Z ，即可得出函数()y g x =的对称轴.【详解】（1）由图象可知，2A =，35ππ3π41234T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以πT =，2π2πω==.又点5π,212⎛⎫⎪⎝⎭为函数图象最高点，所以有5ππ22π,122k k ϕ⨯+=+∈Z ，所以，π2π,3k k ϕ=-+∈Z .又π<ϕ，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12，可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再向右平移π12个单位，得到ππsin 2123y x ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πsin 2cos22x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭的图象，所以()cos2g x x =-.由2π,x k k =∈Z ，可得π,2k x k =∈Z .所以，函数()y g x =的对称轴为π,2k x k =∈Z .8．(1)()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据图象依次求得,,A ωϕ的值，从而求得()f x 的解析式.（2）先根据图象变换的知识求得()g x ，然后结合三角恒等变换、同角三角函数的基本关系式的知识求得sin α.【详解】（1）由图可知7πππ2π1,,π,241234T A T ωω==-====，则()()sin 2f x x ϕ=+，7π7πsin 1126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ2π7π5π,22363ϕϕ-<<<+<，所以7π3ππ,623ϕϕ+==，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由（1）得()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()πsin 3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,26α⎡⎤∈-⎢⎣⎦，()π3sin 35g αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，ππππ4,,cos 36235αα⎡⎤⎛⎫+∈-+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以ππsin sin 33αα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin3333αα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3143525210-=⨯-⨯.9．(1)()2sin 233f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)[]2,3a ∈【分析】（1）由函数图像求出A 、B ，再根据周期求出ω，最后根据函数过点,512π⎛⎫⎪⎝⎭，求出ϕ，即可得到函数解析式；（2）根据三角函数的变换规则求出()g x 的解析式，再根据x 的取值范围求出6x π-的取值范围，结合正弦函数的图象，即可求出参数m 的取值范围.【详解】（1）由图示得：51A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得51512,322A B -+====，又函数()f x 的周期T 有：71212122T πππ=-=，所以T π=，所以22T πω==，所以()()2sin 23f x x ϕ=++.又因为()f x 过点,512π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以52sin 2312πϕ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭，即sin 16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,62k k ππϕπ+=+∈Z ，解得2,3k k πϕπ=+∈Z ，又2πϕ<，所以3πϕ=，所以()2sin 233f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（2）()y f x =图象上所有的点向右平移4π个单位长度，得到2sin 232sin 23436y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()2sin 36g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,266x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令,266t x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则2sin 32sin 36x t π⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，令()2sin 3h t t =+，则()h t 在,62t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,22t ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递减，在3,22t ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦上单调递增，且2sin 32,66h ππ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 35,22h ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭332sin31,22h ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()22sin233h ππ=+=所以[]2,3a ∈时，当130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0g x a -=恰有三个不相等的实数根.10．(1)π())6f x x =-(2)ππ,π,2k k k 轾-Î犏犏臌Z【分析】（1）由()()12f x f x -=时，12||x x -的最小值为2π得周期，求得ω，由整体法得对称轴，列方程求得ϕ；（2）先平移得()y g x =的解析式，再由整体法求单调递减区间.【详解】（1）由()()12f x f x -=时，12||x x -的最小值为2π得πT =，∴2π2T ω==.∵()f x 的图象关于直线56x π=对称，∴5ππ2π,62φk k ´+=+ÎZ ，又22ππϕ-<<，∴π6ϕ=-.∴π())6f x x =-；（2）πππ()222662g x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由[]22ππ,2π,x k k k Î-ÎZ 得ππ,π,2x k k k 轾Î-Î犏犏臌Z ，∴()g x 的单调递减区间为ππ,π,2k k k 轾-Î犏犏臌Z .11．(1)()πcos 223f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)ππππZ 44k k ,k 轾-++Î犏犏臌，【分析】（1）根据最值可求1A =，根据周期可求2ω=，根据对称可得π3ϕ=，即可求解解析式，（2）根据平移和诱导公式得()sin 22g x x =-+，进而根据整体法即可求解单调区间.【详解】（1）有题意可知21A -+=,所以1A =，又2ππ2ωω=⇒=，此时()()cos 22f x x ϕ=++，由()f x 的图象关于直线π3x =对称可知π2φπ,Z 3k k ´+=Î，所以2πφπ,Z 3k k =-Î，由于0πϕ<<，故取1k =，则π3ϕ=，故()πcos 223f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位长度，得到函数()ππ=cos 22=sin 22122y g x f x x x ⎛⎫⎛⎫==+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令ππ2π22π,Z 22k x k k -+≤≤+∈,解得ππππ,Z 44k x k k -+≤≤+∈，故()y g x =的单调递减区间为ππππZ 44k k ,k 轾-++Î犏犏臌，12．(1)表格见解析，()5sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2),0.12π⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）由“五点法”作图补充完整数表，再根据表中数据写出解析式；（2）利用平移变换，得到()5sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再令2,6x k k Z ππ+=∈求解；【详解】（1）解：数据补充完整如下表：x ωϕ+02ππ32π2πx12π3π712π56π1312πsin()A x ωϕ+050－50函数f （x ）的解析式为；()5sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）将()y f x =图象上所有点向左平移6π个单位长度，得到()5sin 25sin 2.666y g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由2,6x k k Z ππ+=∈，可解得：,,212k x k Z ππ=-∈当0k =时，可得：12x π=-.从而可得离原点O 最近的对称中心为：,0.12π⎛⎫- ⎪⎝⎭13．(1)ππ,1(Z)122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭；(2)139π.【分析】（1）由题意利用正弦函数的性质可求出()f x 的最小正周期为π，从而可求出ω，则可求得()f x 解析式，然后可求出其对称中心；（2）先利用三角函数图象变换规律求出()ππ2sin 2163g x x ωω⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，再根据3x π=是()g x 的一个零点和05ω<<可求出ω，从而可求出()g x 的解析式，则可求出()g x 的最小正周期，再利用正弦函数的零点和周期性可求得结果.【详解】（1）因为()()12()f x f x f x ≤≤，12min π2x x -=，所以()f x 的最小正周期为π，因为()π2sin 216f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()0ω>的最小正周期为2π2ω，所以22ππω=，得1ω=，所以()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由2,Z 6x k k ππ+=∈，得ππ,Z 122k x k =-+∈，所以()f x 的对称中心为ππ,1(Z)122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭；（2）由函数()f x 图象向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，可得()2sin 2(12sin 216663g x x x ππππωωω⎡⎤⎛⎫=-++=+-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，因为π3x =是()g x 的一个零点，所以ππππ2sin 2103363g ω⎛⎫⎛⎫=⋅+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ1sin 362ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以ππ7π2π,Z 366k k ω+=+∈，或ππ11π2π,Z 366k k ω+=+∈，解得36,Z k k ω=+∈或56,Z k k ω=+∈，因为05ω<<，所以3ω=，所以()5π2sin 616g x x ⎛⎫=-+ ⎝⎭，所以()g x 的最小正周期为263ππ=，令()52sin 6106g x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，则51sin 662x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得115ππ62π,Z 66x k k -=-+∈，或115π5π62π,Z 66x k k -=-+∈，所以11ππ,Z 39k x k =+∈，或11π,Z 3k x k =∈，因为函数()g x 在[],m n （,R m n ∈且m n <）上恰好有10个零点，且要使n m -最小，必须使,m n 恰好为()g x 的零点，前两个零点相距π9，所以n m -的最小值为ππ13π4399⨯+=.14．(1)()2sin(2)6f x x π=+；(2)13a <£或45a <<.【分析】（1）根据给定函数的性质，求出ω，再由平移后的图象特征求出ϕ并判断作答.（2）由给定方程可得()1f x =或()3f x a =-，根据()3f x a =-根的情况结合图形求解作答.(1)因函数()f x 图像一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差4π，则()f x 的周期2T ππω==，解得2ω=，有()2sin(2)f x x ϕ=+，依题意()2sin(2)63f x x ππϕ+=++的图像关于y 轴对称，则有,Z 32k k ππϕπ+=+∈，即,Z 6k k πϕπ=+∈，而ϕπ<，即有56π=-ϕ或6πϕ=，当56π=-ϕ时，5(0)2sin()06f π=-<，不符合要求，当6πϕ=时，(0)2sin 06f π=>，所以函数()f x 的解析式是()2sin(26f x x π=+.(2)由（1）知，()2sin(2)6f x x π=+，当11[0,]12x π∈时，(2[,2]66x πππ+∈，()[2,2]f x ∈-，由()()()2230f x a f x a +-+-=得：[()1][()(3)]0f x f x a ---=，即()1f x =或()3f x a =-，由()1f x =，即1sin(2)62x π+=，而11[0,12x π∈，解得0x =或3x π=，即()1f x =在11[0,]12π上有两个根，方程()()()2230f x a f x a +-+-=在11[0,]12π上存在4个不相等的实数根，当且仅当()3f x a =-且31a -≠在11[0,]12π上有两个不等实根，在同一坐标系内作出函数()y f x =在11[0,12x π∈上的图象和直线3y a =-，如图，方程()3(4)f x a a =-≠在11[0,]12π上有两个不等实根，当且仅当函数()y f x =在11[0,]12x π∈上的图象和直线3(4)y a a =-≠有两个公共点，观察图象知：230a -<-≤或132a <-<，解得13a <£或45a <<，所以实数a 的取值范围是13a <£或45a <<.【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.15．(1)(),1122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 或(),1122k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z(2)139π【分析】（1）分析已知可得周期，然后可得ω，然后由正弦函数对称性可得；（2）由平移变换和零点可得()g x 解析式，考察()g x 的零点可得n m -的最小值.（1）∵()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为22T πω=，又∵()()()12f x f x f x ≤≤，12min 2x x π-=，∴()f x 的最小正周期是π，故22T ππω==，解得1ω=±，当1ω=时，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由()()26122k x k k x k ππππ+=∈⇒=-+∈Z Z ，()f x 的对称中心为(),1122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；当1ω=-时，()2sin 216f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，由()()26122k x k k x k ππππ-+=∈⇒=-∈Z Z ，()f x 的对称中心为(),1122k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ；综上所述，()f x 的对称中心为(),1122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 或(),1122k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z .（2）∵函数()f x 图象向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，∴()2sin 2163g x x ππω⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.又∵3x π=是()g x 的一个零点，22sin 103363g ππππω⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1sin 362ππω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴72366k πππωπ+=+或112366k πππωπ+=+，k ∈Z ，解得()36k k ω=+∈Z 或()56k k ω=+∈Z ，由05ω<<可得3ω=∴()52sin 616g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最小正周期3T π=.令()0g x =，则51sin 662x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭即156266x k πππ-=-+或2556266x k πππ-=-+，k ∈Z ，解得139k x ππ=+或23k x π=，12,k k ∈Z ；若函数()g x 在[],m n （,m n m n ∈<R 且）上恰好有10个零点，故46T n m T <-<要使n m -最小，须m ､n 恰好为()g x 的零点，故()min 134399n m πππ-=⨯+=.。
函数解析式的练习题兼答案(最新整理)
函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；1．已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]=x+2，则f（x）=（ ）A．x+1B．2x﹣1C．﹣x+1D．x+1或﹣x﹣1【解答】解：f（x）是一次函数，设f（x）=kx+b，f[f（x）]=x+2，可得：k（kx+b）+b=x+2．即k2x+kb+b=x+2，k2=1，kb+b=2．解得k=1，b=1．则f（x）=x+1．故选：A．(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；9．若函数f（x）满足f（3x+2）=9x+8，则f（x）是（ ）A．f（x）=9x+8B．f（x）=3x+2C．f（x）=﹣3﹣4D．f（x）=3x+2或f（x）=﹣3x﹣4 【解答】解：令t=3x+2，则x=，所以f（t）=9×+8=3t+2．所以f（x）=3x+2．故选B．(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；18．已知f（）=，则（ ）A．f（x）=x2+1（x≠0）B．f（x）=x2+1（x≠1）C．f（x）=x2﹣1（x≠1）D．f（x）=x2﹣1（x≠0）【解答】解：由，得f（x）=x2﹣1，又∵≠1，∴f（x）=x2﹣1的x≠1．故选：C．19．已知f（2x+1）=x2﹣2x﹣5，则f（x）的解析式为（ ）A．f（x）=4x2﹣6B．f（x）=C．f（x）=D．f（x）=x2﹣2x﹣5【解答】解：方法一：用“凑配法”求解析式，过程如下：；∴．方法二：用“换元法”求解析式，过程如下：令t=2x+1，所以，x=（t﹣1），∴f（t）=（t﹣1）2﹣2×（t﹣1）﹣5=t2﹣t﹣，∴f（x）=x2﹣x﹣，故选：B．(4)消去法：已知f(x)与f 或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).21．若f（x）对任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）=2x+1，则f（2）=（ ）A．﹣B．2C．D．3 【解答】解：∵f（x）对任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）=2x+1，∴用﹣x代替式中的x可得f（﹣x）﹣2f（x）=﹣2x+1，联立可解得f（x）=x﹣1，∴f（2）=×2﹣1=故选：C函数解析式的求解及常用方法练习题一．选择题（共25小题）2．若幂函数f（x）的图象过点（2，8），则f（3）的值为（ ）A．6B．9C．16D．27 3．已知指数函数图象过点，则f（﹣2）的值为（ ）A．B．4C．D．24．已知f（x）是一次函数，且一次项系数为正数，若f[f（x）]=4x+8，则f（x）=（ ）A．B．﹣2x﹣8C．2x﹣8D．或﹣2x﹣85．已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1），若f（1）=2，则函数f（x）的解析式为（ ）A．f（x）=4x B．f（x）=2x C．D． 6．已知函数，则f（0）等于（ ）A．﹣3B．C．D．3 7．设函数f（x）=，若存在唯一的x，满足f（f（x））=8a2+2a，则正实数a的最小值是（ ）A．B．C．D．2 8．已知f（x﹣1）=x2，则f（x）的表达式为（ ）A．f（x）=x2+2x+1B．f（x）=x2﹣2x+1C．f（x）=x2+2x﹣1D．f（x）=x2﹣2x﹣110．已知f（x）是奇函数，当x＞0时，当x＜0时f（x）=（ ）A．B．C．D．11．已知f（x）=lg（x﹣1），则f（x+3）=（ ）A．lg（x+1）B．lg（x+2）C．lg（x+3）D．lg（x+4） 12．已知函数f（x）满足f（2x）=x，则f（3）=（ ）A．0B．1C．log23D．3 13．已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是（ ）A．3x﹣1B．3x+1C．3x+2D．3x+4 14．如果，则当x≠0且x≠1时，f（x）=（ ）A．B．C．D． 15．已知，则函数f（x）=（ ）A．x2﹣2（x≠0）B．x2﹣2（x≥2）C．x2﹣2（|x|≥2）D．x2﹣2 16．已知f（x﹣1）=x2+6x，则f（x）的表达式是（ ）A．x2+4x﹣5B．x2+8x+7C．x2+2x﹣3D．x2+6x﹣1017．若函数f（x）满足+1，则函数f（x）的表达式是（ ）A．x2B．x2+1C．x2﹣2D．x2﹣1 20．若f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x﹣1），则g（x）的表达式为（ ）A．g（x）=2x+1B．g（x）=2x﹣1C．g（x）=2x﹣3D．g（x）=2x+7 22．已知f（x）+3f（﹣x）=2x+1，则f（x）的解析式是（ ）A．f（x）=x+B．f（x）=﹣2x+C．f（x）=﹣x+D．f（x）=﹣x+ 23．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（ ）A．﹣3B．﹣1C．1D．324．若函数f（x）满足：f（x）﹣4f（）=x，则|f（x）|的最小值为（ ）A．B．C．D．25．若f（x）满足关系式f（x）+2f（）=3x，则f（2）的值为（ ）A．1B．﹣1C．﹣D． 二．解答题（共5小题）26．函数f（x）=m+log a x（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2）和（1，﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）令g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．27．已知f（x）=2x，g（x）是一次函数，并且点（2，2）在函数f[g（x）]的图象上，点（2，5）在函数g[f（x）]的图象上，求g（x）的解析式．28．已知f（x）=，f[g（x）]=4﹣x，（1）求g（x）的解析式；（2）求g（5）的值．29．已知函数f（x）=x2+mx+n（m，n∈R），f（0）=f（1），且方程x=f（x）有两个相等的实数根．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的值域．30．已知定义在R上的函数g（x）=f（x）﹣x3，且g（x）为奇函数（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若x＞0时，f（x）=2x，求当x＜0时，函数g（x）的解析式．函数解析式的求解及常用方法练习题参考答案与试题解析一．选择题（共25小题）2．【解答】解：幂函数f（x）的图象过点（2，8），可得8=2a，解得a=3，幂函数的解析式为：f（x）=x3，可得f（3）=27．故选：D．3．【解答】解：指数函数设为y=a x，图象过点，可得：=a，函数的解析式为：y=2﹣x，则f（﹣2）=22=4．故选：B．4．【解答】解：设f（x）=ax+b，a＞0∴f（f（x））=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=4x+8，∴，∴，∴f（x）=2x+．故选：A．5．【解答】解：∵f（x）=a x（a＞0，a≠1），f（1）=2，∴f（1）=a1=2，即a=2，∴函数f（x）的解析式是f（x）=2x，故选：B．6．【解答】解：令g（x）=1﹣2x=0则x=则f（0）===3 故选D7．【解答】解：由f（f（x））=8a2+2a可化为2x=8a2+2a或log2x=8a2+2a；则由0＜2x＜1；log2x∈R知，8a2+2a≤0或8a2+2a≥1；又∵a＞0；故解8a2+2a≥1得，a≥；故正实数a的最小值是；故选B．8．【解答】解：∵函数f（x﹣1）=x2∴f（x）=f[（x+1）﹣1]=（x+1）2=x2+2x+1 故选A．10．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）=﹣（1﹣x），又f（x）是奇函数，所以f（x）=﹣f（﹣x）=（1﹣x）．故选D．11．【解答】解：f（x）=lg（x﹣1），则f（x+3）=lg（x+2），故选：B．12．【解答】解：函数f（x）满足f（2x）=x，则f（3）=f（）=log23．故选：C． 13．【解答】∵f（x+1）=3x+2=3（x+1）﹣1 ∴f（x）=3x﹣1故答案是：A14．【解答】解：令，则x=∵∴f（t）=，化简得：f（t）=即f（x）=故选B 15．【解答】解：=，∴f（x）=x2﹣2（|x|≥2）．故选：C．16．【解答】解：∵f（x﹣1）=x2+6x，设x﹣1=t，则x=t+1，∴f（t）=（t+1）2+6（t+1）=t2+8t+7，把t与x互换可得：f（x）=x2+8x+7．故选：B．17．【解答】解：函数f（x）满足+1=．函数f（x）的表达式是：f（x）=x2﹣1．（x≥2）．故选：D．20．【解答】解：用x﹣1代换函数f（x）=2x+3中的x，则有f（x﹣1）=2x+1，∴g（x+2）=2x+1=2（x+2）﹣3，∴g（x）=2x﹣3，故选：C．22．【解答】解：∵f（x）+3f（﹣x）=2x+1…①，用﹣x代替x，得：f（﹣x）+3f（x）=﹣2x+1…②；①﹣3×②得：﹣8f（x）=8x﹣2，∴f（x）=﹣x+，故选：C．23．【解答】解：由f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成﹣x，得f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣x3+x2+1，根据f（x）=f（﹣x），g（﹣x）=﹣g（x），得f（x）+g（x）=﹣x3+x2+1，再令x=1，计算得，f（1）+g（1）=1．故选：C．24．【解答】解：∵f（x）﹣4f（）=x，①∴f（）﹣4f（x）=，②联立①②解得：f（x）=﹣（），∴|f（x）|=（），当且仅当|x|=2时取等号，故选B．25．【解答】解：∵f（x）满足关系式f（x）+2f（）=3x，∴，①﹣②×2得﹣3f（2）=3，∴f（2）=﹣1，故选：B．二．解答题（共5小题）26．【解答】解：（Ⅰ）由得，解得m=﹣1，a=2，故函数解析式为f（x）=﹣1+log2x，（Ⅱ）g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1）=2（﹣1+log2x）﹣[﹣1+log2（x﹣1）]=，其中x＞1，因为当且仅当即x=2时，“=”成立，而函数y=log2x﹣1在（0，+∞）上单调递增，则，故当x=2时，函数g（x）取得最小值1．27．【解答】解：设g（x）=ax+b，a≠0；则：f[g（x）]=2ax+b，g[f（x）]=a•2x+b；∴根据已知条件有：；∴解得a=2，b=﹣3；∴g（x）=2x﹣3．28．【解答】解：（1）∵已知f（x）=，f[g（x）]=4﹣x，∴，且g（x）≠﹣3．解得g（x）=（x≠﹣1）．（2）由（1）可知：=．29．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x2+mx+n，且f（0）=f（1），∴n=1+m+n．…（1分）∴m=﹣1．…（2分）∴f（x）=x2﹣x+n．…（3分）∵方程x=f（x）有两个相等的实数根，∴方程x=x2﹣x+n有两个相等的实数根．即方程x2﹣2x+n=0有两个相等的实数根．…（4分）∴（﹣2）2﹣4n=0．…（5分）∴n=1．…（6分）∴f（x）=x2﹣x+1．…（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ），知f（x）=x2﹣x+1．此函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线．…（8分）∴当时，f（x）有最小值．…（9分）而，f（0）=1，f（3）=32﹣3+1=7．…（11分）∴当x∈[0，3]时，函数f（x）的值域是．…（12分） 30．【解答】解：（1）∵定义在R上的函数g（x）=f（x）﹣x3，且g（x）为奇函数，∴f（x）=g（x）+x3，故f（﹣x）=g（﹣x）+（﹣x）3=﹣g（x）﹣x3=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数；（2）∵x＞0时，f（x）=2x，∴g（x）=2x﹣x3，当x＜0时，﹣x＞0，故g（﹣x）=2﹣x﹣（﹣x）3，由奇函数可得g（x）=﹣g（﹣x）=﹣2﹣x﹣x3．。
函数解析式练习题
函数解析式练习题一、选择题1. 已知函数\( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。
A. 6B. 2C. 4D. 02. 若函数\( g(x) = x^3 + 2x^2 - 5x \)在\( x = 1 \)处的导数为5，求\( g(1) \)的值。
A. 1B. 3C. 5D. 73. 函数\( h(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上是增函数还是减函数？A. 增函数B. 减函数C. 先增后减D. 先减后增二、填空题4. 函数\( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)的导数为\( f'(x) \)，若\( a = 2 \)，\( b = -3 \)，\( c = 4 \)，\( d = -1 \)，则\( f'(x) \)为______。
5. 若函数\( y = \sqrt{x + 1} \)的定义域为\( D \)，则\( D \)为______。
6. 函数\( y = \log_2 x \)的值域为\( R \)，则\( R \)为______。
三、解答题7. 已知函数\( y = x^2 - 4x + 4 \)，求该函数的顶点坐标。
8. 求函数\( y = 2^x \)的反函数，并证明其正确性。
9. 某工厂生产一种产品，其成本函数为\( C(x) = 100 + 30x \)，销售价格为\( P(x) = 150 - 5x \)，其中\( x \)为生产数量。
求该工厂的盈利函数，并找出盈利最大时的生产数量。
四、证明题10. 证明函数\( f(x) = x^3 \)在\( x = 0 \)处的切线方程为\( y = 0 \)。
11. 证明函数\( g(x) = \sin x \)在其定义域内是周期函数，并求出最小正周期。
五、应用题12. 某公司计划在一个月内销售产品，其销售量与价格之间的关系由函数\( S(p) = -2p^2 + 200p \)给出，其中\( p \)为每件产品的价格（单位：元）。
函数解析式(附答案)
3.解函数方程求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程
4.定理（柯西函数方程的解）
若f(x)是单调（或连续）函数且满足f(x＋y)=f(x)＋f(y) (x,y∈R)、则f(x)=xf(1)
∴f(x)=ex㏑f(1)=f(1)x
令f(1)=a，则f(x)=ax(a＞0)
类似的，利用柯西函数方程的解，在连续或单调的条件下可得：
（1）若f(xy)=f(x)＋f(y) (x＞0,y＞0),则f(x)=㏒ax
（2）若f(xy)=f(x)f(y) (x＞0,y＞0),则f(x)=x2
f((x-1)/x)+f(1/(1-x))=1+(x-1)/x②
用(x-1)/x取代②中的所有x得
f(1/(1-x))+f(x)=1+1/(1-x)③
①+③-②得f(x)=(x^2-x^3+1)/[2x(1-x)]
简单的函数方程（一）
函数方程的概念：
1.函数方程的定义含有未知函数的等式叫做函数方程。如f(x＋1)=x、f(－x)=f(x)、f(－x)=－f(x)、f(x＋2)=f(x)等。其中f(x)是未知函数
故f(x)= x2＋x＋
(2)已知f( ＋1)=x＋2 ，那麽f(x)=____________。
略解：f( ＋1)=( ＋1)2－1，故f(x)=x2－1 (x≥1)
(3)已知f(x＋ )=x2＋ ，那麽f(x)=_______________。
略解：f(x＋ )=(x＋ )2－2，故f(x)=x2－2 (|x|≥2)
对a1具体给出一个这样的非常数的函数fxxfff?fx?其中n是正整数x叫做函数fx的n次迭代函数迭代是一种特殊的函数复合形式在现代数学中占有很重要的地位尤其是近年来在国内外数学竞赛屡次出现成为热点问题之一以引起广在数学爱好者x的表达式穿上或脱去n1个函数符号得出f程序化穿脱穿脱函数符号是一种有序的过程由内至外一层层穿上f或从外至内一层层脱去f往往是一种程序化的模式例19已知fx实验法穿脱许多情况下求解穿脱问题并非只是一种程序化的操作还需要用敏锐的思维和眼光去发现穿脱过程所蕴含的规律性实验是发现的源泉是发现规律的金钥匙
函数解析式求法填空题30题
函数解析式求法填空题训练30题（整体代入法，换元法，方程组法难题28,29）1．已知f（x﹣1）=x2﹣3x，则函数f（x）的解析式f（x）=．2．已知函数f（x﹣1）=x2﹣2x+2，则f（x）=．3．已知函数f（2x﹣1）=4x2，则f（3）=．4．若f（2x）=4x2+1，则f（x）的解析式为．5．已知f（x+1）=x2﹣2x，则f（x）=．6．已知f（x+1）=x2﹣3x+2，则f（x）=．7．函数f（x）满足f（x+2）=x2+3，则f（x）=．8．已知f（1﹣2x）=x2﹣1，f（3）=．9．函数f（2x﹣3）=x+1，x∈（1，2]，则f（1﹣x）=．10．已知f（x+1）=2x﹣1，且f（m）=5，则m=．11．已知f（2x+1）=x2+x，则f（x）=．12．设f（2x+1）=3x+2，且f（a）=2，则a=．13．已知f（x+1）=2x+3，则f（3）=．14．若，则f（x）=．15．已知f（=x+2，则f（x）=．16．已知，则f（x）=．17．已知，则f（x）=．18．设，那么=．19．若函数f（x）满足，则f（x）=．20．已知，则f（x+1）的表达式为．21．已知：f（x﹣）=x2+，则f（x）=．22．若，则f（x）=．23．若，则f（x）=．24．已知f（x）=x2+1，g（x）=2x+1，则f[g（x）]=．25．已知，则f（x）=．26．已知f（x）+2f（）=3x，求f（x）的解析式．27．已知函数f（x）满足2f（x）+3f（﹣x）=x2+x，则f（x）=．28．已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x+4，则f（x）= 29．（2013•铁岭模拟）若f（x﹣1）+2f（1﹣x）=2x，则f（x）=．30．已知，则f（x）=．函数解析式求法填空题训练30题参考答案与试题解析（整体代入法，换元法，方程组法难题28,29）注意定义域限定22，×x=（））9．函数f（2x﹣3）=x+1，x∈（1，2]，则f（1﹣x）=3﹣，x∈[0，2）．x===（，11．已知f（2x+1）=x2+x，则f（x）=．，代入可得=，故，，∴解答：解：设x+1=t，则x=t（=x+2222．已知，则，所以==．已知，则t=18．设，那么=﹣2．解：∵，∴==）满足，则）满足，令20．已知，则f（x+1）的表达式为（x+1）2+2．解：∵=）21．已知：f（x﹣）=x2+，则f（x）=x2+2．解：∵22．若，则f（x）=，（x≠﹣1）．解：∵，∴t=，∵．即函数解析式为：，，23．若，则f（x）=(x≠0) ．t=，=，即=，故答案为25．已知，则f（x）=x2+2x+2．解：因为=26．已知f（x）+2f（）=3x，求f（x）的解析式．（×，）×．故答案为：27．已知函数f（x）满足2f（x）+3f（﹣x）=x2+x，则f（x）=．得：=∴∴29．（2013•铁岭模拟）若f（x﹣1）+2f（1﹣x）=2x，则f（x）=﹣2x+．，解得：=，故答案为：30．已知，则f（x）=．解：∵∴，+1 =故答案为：。
求函数解析式习题 (含答案)
一、选择题1、已知f （x x +-11）＝2211x x +-，则f （x ）的解析式可取为（ ）A. 21x x +B. －212x x +C. 212x x+D. －21x x + 2、若f （sin x ）＝2－cos2x ，则f （cos x ）等于（ ）A. 2－sin2xB. 2＋sin2xC. 2－cos2xD. 2＋cos2x 3、已知(10)x f x =，则(5)f =（ ）A. 510B. 105 C. lg10 D. lg 5*4、北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底将更新现有总车辆数的（参考数据：1. 14＝1. 46，1. 15＝1. 61） （ ） A. 10% B. 16.4% C. 16.8% D. 20%**5、函数y ＝2211x x +-的值域是（ ）A. ［－1，1］B. ]1,1(-C. [－1，1)D. （－1，1）6、已知函数f （x ）＝2x ,则f （1－x ）的图像为 （ ）7、已知2211()1f x x x x -=++，则()f x ＝8、已知2(3)21f x x =-，则()f x ＝ 9、(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+， 0()(0)1,lim 1x g x f x→==. 10、从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水填满，摇匀后再倒出1升，再用水填满，这样持续进行，如果倒k 次（k ≥1）后共倒出纯酒精x 升，倒第k ＋1次后共倒出纯酒精f （x ）升，则函数f （x ）的表达式为 。
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求()f x 的解析式（专项练习）
练习一
1. 已知1
()2f x x =+
（1）求(3)f -2
(3f 的值；
（2）若5
2a ≥，求()f a ，(1)f a -；
2. 已知2()21f x x x =+-，求(21)f x +；
3. 已知(1)(1)f x f x +=-，则可以求得
（1）()()f x f =或者()()f x f =；
（2）(5)()f x f -=或者(5)()f x f -=；
4. 设f (x )=2x +3，g (x +2)=f (x -1)，则g (x )= （） ；
练习二
1. （1）已知2
11()()f x x x x -=-，求()f x ；
（2）已知211
((f x x x x +=-，求()f x ；
（3）已知2211
()f x x x x +=+，求()f x ；
2. （1）已知(1)32f x x +=-，求()f x ；
（2）已知21(11x
f x x +=-，求()f x ；
（3）已知1
(1)1x
f x x +=-，求()f x ；
（4）已知11(11x x f x x -+
=+-，求()f x 及1()1x
f x +-；
练习三
1. （1）已知2(1)41f x x x +=++，求()f x ；
（2）已知1)f x =+(1)f x +；
（3）已知2(1)22f x x x +=++，求()f x 及(3)f x +；
2. （1）已知(31)43f x x +=+，求()f x ；
（2）已知2(1)1f x x +=+，求()f x ；
（3）已知221
1()f x x x x
+=+(0)x ＞，求()f x ； （4）已知3
41()1x x f x x x
++=+(0)x ＞，求()f x ； 练习四
1. （1）已知2(1)4f x x x -=-，解方程(1)0f x +=；
（2）已知2(1)1f x x +=+，求()f x ；
（3）已知2()231f x x x =-+，(1)()g x f x -=，求()g x 及((2))f g ；
2. （1）已知()f x 是一次函数，且[()]43f f x x =+，求()f x ；
（2）已知反比例函数()f x 满足(3)6f =-，求()f x ；
（3）已知()f x 是一次函数，且3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；
练习五
1. （1）已知()f x 是一次函数，且{[()]}87f f f x x =+，求()f x ；
（2）已知()()af x f x bx +-=，其中1a ≠±，求()f x ；
（3）已知1()2()32f x f x x -=+，求()f x ；
2. 已知定义在R 上的函数()f x ，对任意实数x 、y 满足2()()2f x y f x xy y y -=-+-， 且(0)1f =，求()f x .
高考真题摘选：
高考真题改编：求()f x 的解析式，如果()f x 的解析式不存在要说明理由。
A. 对任意x ∈R 都有(sin 2)sin f x x =，求()f x 的解析式；
B. 对任意x ∈R 都有2(sin 2)f x x x =+，求()f x 的解析式；
C. 对任意x ∈R 都有2(1)|1|f x x +=+，求()f x 的解析式；
D. 对任意x ∈R 都有2(2)|1|f x x x +=+，求()f x 的解析式；
真题来源（2015年浙江理科第7题）存在函数()f x 满足，对任意x ∈R 都有（）
A. (sin 2)sin f x x =
B. 2(sin 2)f x x x =+
C. 2(1)|1|f x x +=+
D. 2(2)|1|f x x x +=+
解法之一求()f x 的解析式
A. 很明显不能通过常规的换元和配凑法来求，先分析sin 2x 与sin x 之间的关系，得到方程组22sin 22sin cos sin cos 1x x x
x x =⎧⎨+=⎩ ，令sin 2x t =，则有222sin cos sin cos 1t x x
x x =⎧⎨+=
⎩ ，把题目中等式右边的
sin x 用字母t 表示出来，就可以顺利求得()f x 的解析式；所以我们需要通过这个方程组消去cos x ，很明显，这样解出来的sin x 不是唯一的，即()f x 的解析式不是唯一的，所以这样的函数()f x 不存在；
B. 令sin 2x t =，如何把等式右边的2x x +用字母t 表示出来？其实我们根本不需要把它表示出来，我们只需要看这样表达出来的式子是不是唯一的；很显然，它不唯一，因为在式子sin 2x t =中，字母t 的一个取值对应着无数个x 的值，也必然可以求出无数个2x x +的值；
C. 令21x t +=
，得x =
，∴()|1f t =+
或()|1f t =，违背了映射的定义；
D. 令22x x t +=
，得|1|x +=
()f t
，即()f x =合映射的定义；。