2019高考数学文一轮分层演练：第3章导数及其应用 第1讲

一、选择题

1．已知函数f (x )＝1

x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3

π2

B ．－1π2

C ．－3π

D ．－1π

解析：选C.因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3

π. 2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0 D ．(e －1)x －y －1＝0

解析：选C.由于y ′＝e －1

x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线

方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.

3．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6 D ．8

解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7.所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7.所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14.又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.

4．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )

A ．－1

B ．0

C ．2

D ．4

解析：选B.由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－1

3.又因为

g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭

⎫－1

3＝0. 5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.2

2

D. 3

解析：选B.因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1

x

＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切

线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝

2

2

＝ 2. 6．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋7

2(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，

且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )

A ．－1

B ．－3

C ．－4

D ．－2

解析：选D.因为f ′(x )＝1

x ，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，所以切线l 的

方程为y ＝x －1.

g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，

则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋7

2，m ＜0，于是解得m ＝－2. 二、填空题

7．曲线y ＝ln x 在与x 轴交点处的切线方程为________．

解析：因为曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1，0)，且函数y ＝ln x 的导函数为y ′＝1

x ，所以

曲线y ＝ln x 在点(1，0)处的切线的斜率为k ＝1

1＝1.即过点(1，0)，且斜率为1的直线的方程

为y －0＝1(x －1)，整理得x －y －1＝0.

答案：x －y －1＝0

8．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(2 018)＝________．

解析：令e x ＝t ，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ＋t ，故f (x )＝ln x ＋x .求导得f ′(x )＝1

x ＋1，故f ′(2

018)＝12 018＋1＝2 019

2 018

.

答案：2 0192 018

9．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．

解析：因为f ′(x )＝a －1

x ，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －

1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1.

答案：1 10．(2018·云南第一次统考)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________．

解析：由题意，得f ′(x )＝a ln x ＋a ，所以f ′(1)＝a ，因为函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，所以a ＝2，又f (1)＝b ，则2×1－b ＝0，所以b ＝2，故a ＋b ＝4.

答案：4 三、解答题

11．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．

(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．