数值分析-第五版-考试总结

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数值分析期末总结

双点弦截法
x n 1
y
x n 1 f ( x n ) x n f ( x n 1 ) f ( x n ) f ( x n 1 )
2013-7-25
0
xn+1 xn
xn-1 x
18
第二章方程求根的迭代解法
收敛的充分条件定理2.5 设f(x)在[a,b]上二阶导数存在，且满足： – 1) f(a) f(b)<0 2) f ’(x)≠0, – 3) f ’’(x)不变号 4) 初值x0满足f (x0) f ’’(x0)>0 则牛顿迭代法收敛。定理2.6 设 f(x) 在[a,b]上二阶导数存在,且满足 – (1) f(a) f(b)<0 (2) f’(x)≠0 (3) f’’(x)不变号 – (4)不动点x0满足f(x0)f’’(x0)>0,x1与x0的函数值相异则单点弦截法收敛定理2.7 当f(x)在区间[a,b]上有直至二阶的连续导数，且满足 f(a) f(b)<0且f ’(x)≠0时,双点弦截法对任意 x0 2013-7-25 ,x1∈[a,b] 都收敛。

13
3.迭代公式的改进

(1)埃特肯法
yn1 xn
z n 1 y n 1
x n z n 1 y n 1 x n 1 xn x n 2 y n 1 z n 1
2
2013-7-25
14
(2) 牛顿迭代法

牛顿迭代法计算步骤：

x n 1 3 1 3 x n
x0=2
3
解：（1）迭代法因为x3 = 3x+1 x 3 1 3 x 2 2 1 |‘(x)|=| (1 3 x ) 3 3 |= | (1 3 x ) 3 |x 2 =0.27 <1 3

数值分析第五版复习资料

第一章绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=Q , 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅Q 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===g g(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g又(*)1r V ε=Q %1故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=Q10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。

数值分析考试复习总结

数值分析考试复习总结 Last revised by LE LE in 2021第一章1 误差相对误差和绝对误差得概念例题:当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段在哪些阶段将有哪些误差产生答: 实际问题-数学模型-数值方法-计算结果在这个过程中存在一下几种误差:建立数学模型过程中产生:模型误差参数误差选用数值方法产生:截断误差计算过程产生:舍入误差传播误差6．设937.0=a 关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 对于x x f -=1)(，估计)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差.解 a 的相对误差：由于31021|)(|-⋅≤-≤a x x E . x ax x E r -=)(,221018110921)(--⋅=⨯≤x E r . （1Th ）)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差.|11||)(|a x f E ---==()25.021011321⨯⋅≤-+---ax x a =310-33104110|)(|--⨯=-≤a f E r . □2有效数字基本原则:1 两个很接近的数字不做减法:2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子) 例题:4．改变下列表达式使计算结果比较精确：（1） ;1||,11211<<+--+x xxx 对（2）;1,11>>--+x xx xx 对（3）1||,0,cos 1<<≠-x x xx对.解 (1) )21()1(22x x x ++. (2) )11(2x x x x x-++.(3) xxx x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈+=-. □第二章拉格朗日插值公式（即公式（1））插值基函数（因子）可简洁表示为其中: ()∏∏≠==-='-=nij j j i i nnj jn x x x xx x 0)(,)()(ωω. 例1 n=1时，线性插值公式 )()()()()(010110101x x x x y x x x x y x P --⨯+--⨯=，例2 n=2时，抛物插值公式牛顿（Newton ）插值公式由差商的引入，知（1）过点10,x x 的一次插值多项式为其中（2）过点210,,x x x 的二次插值多项式为其中重点是分段插值:例题:1. 利用Lagrange 插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：（1）（2）解(2)：方法一. 由 Lagrange 插值公式可得： )21()(23-=x x x L 方法二. 令由 23)1(3-=-L ， 21)1(3=L ，定A ，B （称之为待定系数法） □15.设2)(x x f =，求)(x f 在区间]1,0[上的分段线性插值函数)(x f h ，并估计误差，取等距节点，且10/1=h .解 2)(x x f =， ih x i = ， 10,,1,0 =i ， 101=h设 1+≤≤i i x x x ，则：误差估计： ))1(()(!2|)()(|max)1(h i x ih x f x f x f hi x ix h +--''≤-+≤≤. □第三章最佳一致逼近:(了解) 最佳平方逼近主要分两种情形：1. 连续意义下在空间],[2b a L 中讨论2. 离散意义下在n 维欧氏空间n R 中讨论，只要求提供f 的样本值1. 最佳逼近多项式的法方程组设],[2b a L 的1+n 维子空间 n P =span },,,1{2n x x x , 其中 n x x x ,,,12 是],[2b a L 的线性无关多项式系.对],[2b a L f ∈∀，设其最佳逼近多项式*φ可表示为: ∑==ni i i x a 0**φ由 n P f ∈∀=-φφφ ,0),(*即 ∑===nj ij j i n i x f a x x 0*)1(0),,(),(（*2）其中称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组（或正规方程组）. 由n i i x 0}{=的线性无关性，可证明G 正定，即上述法方程组的解存在且唯一 .11、求x x f πcos )(= ，]1,0[∈x 的一次和二次最佳平方逼近多项式. 解：设 x a a x P 10*1)(+= ， 2210*2)(x b x b b x P ++= 分别为)(x f 的一次、二次最佳平方逼近多项式。

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10
100
误差估计：
f
max | f (x) fh (x) |
(x ih) (x (i 1)h) . 2! ixx(i1)h
□
第三章
最佳一致逼近:(了解) 最佳平方逼近
主要分两种情形：
1. 连续意义下
在空间 L2[a,b]中讨论
2. 离散意义下
在 n 维欧氏空间 Rn 中讨论，只要求提供 f 的样本值
n (x)
(x
xi
)
n
(xi
)
ji
n
n
其中: n (x) (x x j ), n xi (xi x j ) .
j0
j0
ji
例 1 n=1 时，线性插值公式
P1 ( x)
y0
(x x1) (x0 x1)
y1
(x x0 ) (x1 x0 )
，
例 2 n=2 时，抛物插值公式
P2 (x)
可得： L3 (x) x 2 (x 1 2)
方法二. 令
L3 (x) x(x 1 2) ( Ax B)
由
L3
(1)
3 2
，
L3 (1)
1， 2
定 A，B
（称之为待定系数法）
□
15.设 f (x) x2 ，求 f (x) 在区间[0,1] 上的分段线性插值函数 fh (x) ，并估计误差，取等距节点，且 h 1/10 .
(2)
2x ( x 1 x
x 1 x) .
(3) 1 cos x sin 2 x sin x .
□
x
x(1 cos x) 1 cos x
第二章
拉格朗日插值公式（即公式（1））

数值分析考试复习总结

第一章1误差相对误差和绝对误差得概念例题：当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时哪些阶段将有哪些误差产生？答：实际问题-数学模型-数值方法-计算结果在这个过程中存在一下几种误差：建立数学模型过程中产生：模型误差参数误差选用数值方法产生：截断误差计算过程产生：舍入误差传播误差 6 •设a 0.937关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 计f(a)对于f(x)的误差和相对误差. 解 a 的相对误差：由于1 |E(x)| x a 10 32-^10 2 2 9f(a)对于f(x)的误差和相对误差.E r (x)—1018|E(f)| | -.1 x 、1 a| =般要经历哪几个阶段？在对于f (x) .J x ，估x aE r (x)(Th1)| E r (f)| 10 3. 1 a 4 10 34=102 0.252有效数字基本原则:1两个很接近的数字不做减法：2:不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)例题：4 •改变下列表达式使计算结果比较精确：1 1 2xx 1x1 cosx(1)| 1;1;(3)0,|x|解(1)2X 2(1x)(1 2x).1 cosxsin 2 xsin x,x 1 x)■x(1 cosx) 1 cosx第二章拉格朗日插值公式(即公式(1))插值基函数(因子)可简洁表示为n其中：n(X)(X X j),j 0 n X i (X i X j).j 0例1 n=1时，线性插值公式P(x) yo (x X i) (x X o) (X o X i) y1(X i X o)例2 n=2时，抛物插值公式牛顿(Newton)插值公式由差商的引入，知(1) 过点X o , X1的一次插值多项式为其中(2) 过点X o,X1,X2的二次插值多项式为其中重点是分段插值：例题：1.利用)：解⑵：方法一.由Lagrange 插值公式可得：L3(X) X2(X 12)方法二•令3 1由L a( 1) 3，L S(1)-，定A, B (称之为待定系数法) □2 215.设f(x) x2，求f(x)在区间［0,1］上的分段线性插值函数f h(x)，并估计误差，取等距节点，且h 1/10.解f(x) X2，X i ih ，i 0,1, ,10，h 110第三章最佳一致逼近:(了解) 最佳平方逼近主要分两种情形：1. 连续意义下在空间L 2[a,b]中讨论2. 离散意义下在n 维欧氏空间R n 中讨论，只要求提供f 的样本值1. 最佳逼近多项式的法方程组设 L 2[a,b]的 n 1 维子空间 P n =span {1,x,x 2 , x n }, 其中1, x,x 2 , x n 是L 2[a, b]的线性无关多项式系.n 对f L 2[a,b]，设其最佳逼近多项式可表示为： a i x ii 0由(f *，) 0,P nn*即 (x —xHa j (f,x i ), i 0(1) n(*2)j 0其中称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组(或正规方程组) .由{x i }i n 0的线性无关性，可证明G 正定，即上述法方程组的解存在且唯一.11、求f (x) cos x ， x [0,1]的一次和二次最佳平方逼近多项式解：设P 1*(x) a 0 a 1x ， P ； (x) b 0 b 1x b 2x 2分别为f(x)的一次、二次最佳平方逼近多项式。

数值分析第五版

数值分析第五版第一章绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求nx 的相对误差。

解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈?且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=≈ 9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过21cm ？解：正方形的面积函数为2()A x x =(*)2*(*)A A x εε∴=.当*100x =时，若(*)1A ε≤,则21(*)102x ε-≤故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过21cm第二章插值法1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。

解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x xl x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+--则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表 X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算ln 0.54的近似值。

数值分析考试知识点总结

数值分析考试知识点总结数值分析是一门研究数值计算方法和数值计算误差的学科，它的研究对象是计算机数值计算和数值模拟方法的理论和技术。

一、误差分析数值计算是以实际问题为基础的分析过程，其目的是研究数值计算误差和误差的影响，以确保数值计算的准确性和可靠性。

数值计算误差主要包括截断误差和舍入误差两个部分。

1. 截断误差截断误差是由于在数值计算过程中，使用了近似代替精确值而引起的误差。

例如，在对连续函数的微分或积分进行数值计算时，所采用的近似公式都会引起截断误差。

截断误差可以通过增加计算步骤或者采用更加精确的计算方法来减小。

2. 舍入误差舍入误差是由于计算机对于无限小数进行截断或者舍入时引起的误差。

由于计算机是以有限的二进制数进行存储和运算，因此对于很小的数字或者非常大的数字，都会存在舍入误差。

舍入误差的大小与计算精度有关，可以通过提高计算精度来减小舍入误差。

二、插值和逼近插值和逼近是数值分析中常见的计算技术，用于利用已知的数据点来估计未知函数的值。

1. 插值插值是通过已知的数据点来估计未知函数在这些数据点之间的取值。

插值方法的目标是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在已知点上的取值与已知数据点的取值一致。

常见的插值方法包括拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式。

2. 逼近逼近是通过已知的数据点来估计未知函数的近似值，与插值不同的是，逼近方法不要求逼近函数必须在已知数据点上取特定的值。

常用的逼近方法包括最小二乘法逼近和样条逼近。

三、数值积分数值积分是通过数值计算来近似求解定积分的值，它是数值分析中的一个重要内容。

1. 复化数值积分复化数值积分是通过将积分区间划分成若干子区间，然后在每个子区间上进行数值积分来近似求解定积分的值。

复化数值积分方法包括复化梯形公式、复化辛普森公式以及复化辛普森三分法等。

2. 数值积分的误差分析在数值积分中，由于使用了近似方法，所以会引入数值积分误差。

要保证数值积分的准确性，需要对数值积分误差进行分析和评价。

数值分析第五版全答案chap4

第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 1012101211212(1)()()(0)();(2)()()(0)();(3)()[(1)2()3()]/3;(4)()[(0)()]/2[(0)()];h h h h hf x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-⎰⎰⎰⎰解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。

（1）若101(1)()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰令()1f x =，则1012h A A A -=++令()f x x =，则110A h A h -=-+令2()f x x =，则3221123h h A h A -=+从而解得 011431313A h A h A h -⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令3()f x x =，则3()0h h hhf x dx x dx --==⎰⎰101()(0)()0A f h A f A f h --++=故101()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --=-++⎰成立。

令4()f x x =，则4551012()52()(0)()3h h hhf x dx x dx hA f h A f A f h h---==-++=⎰⎰故此时，101()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≠-++⎰故101()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰具有3次代数精度。

数值分析第五版答案(全)

第一章绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=%1故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=-10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。

(完整版)数值分析第五版答案(全)

第一章绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=%1故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=-10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。

数值分析期末总结与体会

数值分析期末总结与体会数值分析是一门应用数学课程，主要研究数值计算方法和数值计算误差，并为实际问题提供数值计算解决方案。

在本学期的学习中，我深入学习了数值计算的基本概念与原理，并通过编程实践掌握了常见的数值计算方法。

在期末考试前夕，我对这门课的学习经历进行了总结与体会，下面是我对数值分析的期末总结与体会。

一、总结1. 知识掌握：在学习过程中，我通过系统的学习，掌握了课程中介绍的求根问题、插值问题、数值积分和数值微分等数值计算方法。

我了解了牛顿迭代法、二分法、割线法等求解非线性方程根的方法，熟悉了拉格朗日插值、牛顿插值等插值方法，学会了辛卜生插值多项式、三次样条插值等高级插值方法。

同时，我还学习了梯形法则、辛普森法则等数值积分算法，掌握了欧拉法、龙格-库塔法等数值微分算法。

2. 编程实践：在理论学习的基础上，我通过编写程序加深了对数值计算方法的理解与掌握。

我使用Python语言编写了求解非线性方程根、插值计算、数值积分和数值微分的代码，并通过实际运行验证了这些数值计算方法的正确性与有效性。

编程实践过程中，我深刻体会到了算法的重要性，不同的算法对于同一个数值计算问题，可能会有不同的效果。

3. 数值计算误差：在学习数值计算的过程中，我逐渐认识到数值计算误差的存在与产生机理。

由于计算机内部采用的是二进制表示法，而浮点数的二进制表示无法准确表示所有的实数，从而引入了舍入误差；另外，数值计算方法本身也存在精度误差，例如插值多项式的截断误差、数值积分的数值误差等。

掌握数值计算误差的产生原因和估计方法，对于正确评估数值计算结果的精度至关重要。

4. 应用实例：在学习过程中，我们还分析了各种实际问题，并通过数值计算方法得到了解决方案。

例如，在求根问题中，我们可以利用牛顿迭代法估计气体状态方程的参数；在插值问题中，我们可以使用拉格朗日插值方法恢复图像；在数值积分中，我们可以利用梯形法则或辛普森法则计算定积分；在数值微分中，我们可以应用欧拉法或者龙格-库塔法求解微分方程等。

数值分析-第五版-考试总结

第一章：数值分析与科学计算引论截断误差：近似解与精确解之间的误差。

近似值的误差〔为准确值〕：近似值的误差限：近似值相对误差〔较小时约等〕：近似值相对误差限：函数值的误差限：近似值有n位有效数字：第二章：插值法其中：2.拉格朗日插值次插值基函数：引入记号：余项：3.牛顿插值多项式：阶均差〔把中间去掉，分别填在左边和右边〕：余项：4.牛顿前插公式〔令，计算点值，不是多项式〕：阶差分：余项：5.泰勒插值多项式：阶重节点的均差：6.埃尔米特三次插值：其中，A的标定为：7.分段线性插值：第三章：函数逼近与快速傅里叶变换1. 属于维空间：2.范数：3.带权内积和带权正交：4.最正确逼近的分类〔范数的不同、是否离散〕：最优一致〔-范数〕逼近多项式：最正确平方〔-范数〕逼近多项式：最小二乘拟合〔离散点〕：5.正交多项式递推关系：6.勒让德多项式：正交性：奇偶性：递推关系：7．切比雪夫多项式：递推关系：正交性：在上有个零点：在上有个零点：〔最优一致逼近〕首项的系数：8.最正确平方逼近：法方程：正交函数族的最正确平方逼近：9.最小二乘法：法方程：正交多项式的最小二乘拟合:第四章数值积分与数值微分1.求积公式具有次代数精度求积公式〔多项式与函数值乘积的和〕，对于次数不超过的多项式成立，不成立2.插值型求积公式时的余项4.牛顿-柯特斯公式：将划分为等份构造出插值型求积公式5.梯形公式：当n=1时，6.辛普森公式：当n=2时，7.复合求积公式：复合梯形公式：复合辛普森公式：8.高斯求积公式〔求待定参数和〕：〔1〕求高斯点〔〕：令与任何次数不超过的多项式带权正交，即那么，由个方程求出高斯点。

〔2〕求待定参数：，也为次数不超过的多项式。

9.高斯-勒让德求积公式：取权函数为的勒让德多项式的零点即为求积公式的高斯点。

10.高斯-切比雪夫求积公式：取权函数为的切比雪夫多项式的零点即为求积公式的高斯点。

第五章解线性方程组的直接方法1.矩阵的附属范数：2.条件数：第六章解线性方程组的迭代法1.迭代法：2.迭代法收敛：存在。

数值分析-第五版-考试总结

第一章：数值分析与科学计算引论截断误差：近似解与精确解之间的误差。

近似值的误差e∗（x为准确值）：e∗=x∗−x近似值的误差限ε∗：|x∗−x |≤ε∗近似值相对误差e r∗（e r∗较小时约等）：e r∗=e∗x≈e∗x∗近似值相对误差限εr∗：εr∗=ε∗|x∗|函数值的误差限ε∗(f(x∗))：ε∗(f(x∗))≈|f′(x∗)| ε∗(x∗)近似值x∗=±(a1.a2a3⋯a n)×10m有n位有效数字：ε∗=12×10m−n+1εr∗=ε∗|x∗|≤12a1×10−n+1第二章：插值法1.多项式插值P(x)=a0+a1x+⋯+a n x n 其中：P(x i)=y i ,i=0,1,⋯,n{a0+a1x0+⋯+a n x0n=y0 a0+a1x1+⋯+a n x1n=y1⋮a0+a1x n+⋯+a n x n n=y n 2.拉格朗日插值L n(x)=∑y k l k(x)nk=0=∑y kωk+1(x)(x−x k)ωn+1′(x k) nk=0n次插值基函数：l k(x)=(x−x0)⋯(x−x k−1)(x−x k+1)⋯(x−x n)(x k−x0)⋯(x k−x k−1)(x k−x k+1)⋯(x k−x n),k=0,1,⋯,n引入记号：ωn+1(x)=(x−x0)(x−x1)⋯(x−x n)余项：R n(x)=f(x)−L n(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!ωn+1(x) ,ξ∈(a,b)3.牛顿插值多项式：P n(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+⋯+f[x0,x1,⋯,x n](x−x0)⋯(x−x n−1) n阶均差（把中间去掉，分别填在左边和右边）：f[x0,x1,⋯,x n−1,x n]=f[x1,⋯,x n−1,x n]−f[x0,x1,⋯,x n−1]x n−x0余项：R n(x)=f[x,x0,x1,⋯,x n]ωn+1(x) 4.牛顿前插公式（令x=x0+tℎ，计算点值，不是多项式）：P n(x0+tℎ)=f0+t∆f0+t(t−1)2!∆2f0+⋯+t(t−1)⋯(t−n−1)n!∆n f0n阶差分：∆n f0=∆n−1f1−∆n−1f0余项：R n(x)=t(t−1)⋯(t−n)ℎn+1(n+1)!f(n+1)(ξ) ,ξ∈(x0,x n)5.泰勒插值多项式：P n(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)nn阶重节点的均差：f[x0,x0,⋯,x0]=1n!f(n)(x0)6.埃尔米特三次插值：P(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+A(x−x0)(x−x1)(x−x2)其中，A的标定为：P′(x1)=f′(x1)7.分段线性插值：Iℎ(x)=x−x k+1x k−x k+1f k+x−x kx k+1−x kf k+1第三章：函数逼近与快速傅里叶变换1. S(x)属于 n维空间φ：S(x)=∑a jφjnj=02.范数：‖x‖∞=max1≤i≤n |x i| and maxa≤i≤b|f(x)|‖x‖1=∑|x i|ni=1 and∫|f(x)|badx‖x‖2=(∑x i2ni=1)12 and (∫f2(x)badx)123.带权内积和带权正交：(f,φk)=∑ω(x i)f(x i)φk(x i)mi=0 and ∫ρ(x)f(x)φk(x)badx(f(x),g(x))=∫ρ(x) f(x)g(x)dxba=0 4.最佳逼近的分类（范数的不同、是否离散）：最优一致（∞-范数）逼近多项式P∗(x)：‖f(x)−P∗(x)‖∞=minP∈H n‖f(x)−P(x)‖∞最佳平方（2-范数）逼近多项式P∗(x)：‖f(x)−P∗(x)‖22=minP∈H n‖f(x)−P(x)‖22最小二乘拟合（离散点）P∗(x)：‖f−P∗‖22=minP∈Φ‖f−P∗‖225.正交多项式递推关系：φn+1(x)=(x−αn)φn(x)−βnφn−1(x)φ0(x)=1,φ−1(x)=0αn=(xφn(x),φn(x))(φn(x),φn(x)),βn=(φn(x),φn(x))(φn−1(x),φn−1(x))6.勒让德多项式：正交性：∫P n(x)P m(x)dx 1−1={0 ,m≠n22n+1, m=n奇偶性：P n(−x)=(−1)n P n(x)递推关系：(n +1)P n+1(x )=(2n +1)xP n (x )−nP n−1(x)7．切比雪夫多项式：递推关系：T n+1(x )=2xT n (x )−T n−1(x )正交性：∫n m √1−x 21−1=∫cos nθcos mθπdx ={0 , m ≠n π2 , m =n ≠0π , m =n =0T n (x )在[−1，1]上有n 个零点：x k =cos2k −12nπ,k =1,⋯,n T n+1(x )在[a,b ]上有n +1个零点：（最优一致逼近）x k =b −a 2cos 2k +12(n +1)π+b +a2,k =0,1,⋯,n 首项x n 的系数：2n−18.最佳平方逼近：‖f (x )−S ∗(x)‖22=min S(x)∈φ‖f (x )−S(x)‖22=min S(x)∈φ∫ρ(x)[f (x )−S (x )]2dx ba法方程：∑(φk ,φj )a j nj=0=(f,φk )正交函数族的最佳平方逼近：a k ∗=(f,φk )(φk ,φk )9.最小二乘法：‖δ‖22=min S(x)∈φ∑ω(x i )[S (x i )−y i ]2mi=0法方程：∑(φk ,φj )a j nj=0=(f,φk )正交多项式的最小二乘拟合:a k∗=(f,P k )(P k ,P k )第四章数值积分与数值微分1.求积公式具有m 次代数精度求积公式（多项式与函数值乘积的和），对于次数不超过m 的多项式成立，m +1不成立∫f(x)dx b a=∑A k f(x k )nk=02.插值型求积公式I n =∫L n (x)dx b a=∑∫l k (x)dx baf(x k )nk=0=∑A k f(x k )nk=0R [f ]=∫[f (x )− L n (x)]dx ba =∫R n (x)dx ba =∫f (n+1)(ξ)(n +1)!ωn+1(x)dx ba3.求积公式代数精度为m 时的余项R [f ]=∫f (x )dx ba −∑A k f (x k )nk=0=1(m +1)![∫x m+1dx ba−∑A k x k m+1nk=0]4.牛顿-柯特斯公式：将[a,b ]划分为n 等份构造出插值型求积公式I n =(b −a)∑C k (n)f(x k )nk=05.梯形公式：当n=1时，C 0(1)=C 1(1)=12T =b −a 2[f (a )+f(b)],R n (f )=−b −a12(b −a )2f ′′(η) 6.辛普森公式：当n=2时，C 0(2)=16,C 1(2)=46,C 2(2)=16S =b −a 6[f (a )+4f (a +b 2)+f(b)],R n (f )=−b −a 180(b −a 2)4f (4)(η) 7.复合求积公式：ℎ=b−a n,x k =a +kℎ,x k+1/2=x k +ℎ2复合梯形公式：T n =ℎ2[f (a )+2∑f(x k )n−1k=1+f(b)],R n (f )=−b −a 12ℎ2f ′′(η)复合辛普森公式：S n =ℎ6[f (a )+4∑f(x k+1/2)n−1k=0+2∑f(x k )n−1k=1+f(b)],R n (f )=−b −a 180(ℎ2)4f (4)(η)8.高斯求积公式（求待定参数x k 和A k ）：（1）求高斯点（x k ）：令 ωn+1(x )=(x −x 0)(x −x 1)⋯(x −x n )与任何次数不超过n 的多项式p(x)带权ρ(x)正交，即则∫p(x)ωn+1(x )ρ(x)dx ba =0，由n +1个方程求出高斯点x 0,x 1⋯x n 。

数值分析第五版答案pdf2篇

数值分析第五版答案pdf2篇作为数值分析科目的学生，对于答案及其解析的掌握显然十分必要。

因此，本文将提供数值分析第五版的答案及其解析，方便学生们在学习过程中进行参考与对照。

1. 第一题(a) 首先，我们对于给定的步长进行求解。

$h = \frac{b-a}{n} = \frac{0.6-0.1}{3} = 0.1667$(b) 然后，我们将所给的函数替换为数值，如下所示：$f(0.1) = 3\cdot(0.1)^2 - 2\cdot(0.1) + 1 = 1.21$ $f(0.2667) = 3\cdot(0.2667)^2 - 2\cdot(0.2667) + 1 = 1.3344$$f(0.4333) = 3\cdot(0.4333)^2 - 2\cdot(0.4333) + 1 = 1.495511$$f(0.6) = 3\cdot(0.6)^2 - 2\cdot(0.6) + 1 = 1.68$(c) 接下来，我们将以上所得数值代入 Simpson's 1/3 Rule 公式中，求得积分值。

$I = \frac{h}{3}\cdot(f(a) + 4f(a+h) + 2f(a+2h) + 4f(a+3h)+f(b))$$I = \frac{0.1667}{3}\cdot(1.21 + 4\cdot1.3344 + 2\cdot1.495511+4\cdot1.68+1.68)$$I = 0.19565$因此，我们得出的积分值为 $0.19565$。

2. 第二题(a) 首先，我们对于给定的区间进行求解。

$h = \frac{b-a}{n} = \frac{\pi}{6} - 0 =\frac{\pi}{6}$(b) 然后，我们将所给的函数替换为数值，如下所示：$f(0) = \frac{1}{2}\cdot(0) + 1 = 1$$f(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{6} + \cos(\frac{\pi}{6}) =\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}$$f(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{3} + \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{6}+\frac{1}{2}$ (f(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} + \cos(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{4}+0)$(c) 接下来，我们将以上所得数值代入 Simpson's 1/3 Rule 公式中，求得积分值。

数值分析-第五版-考试总结培训资料

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第八章矩阵特征值计算 1.格什戈林圆盘：以为圆心，以为半径的所有圆盘
2. 的每个特征值必属于某个圆盘之中：
3. 有个圆盘组成一个连通的并集，与和余下的个特征值。 4.幂法：
设的特征值满足条件：任取非零向量，构造向量序列，假设：
个圆盘是分离的，则内恰包含
第七章非线性方程与方程组的数值解法 1.二分法：1）计算在有根区间的端值 ,
2）计算区间中点值
3）判断 2.不动点迭代法：
或者
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3.不动点迭代法收敛：
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4. 在上存在不动点：（压缩映射）
5. 不动点迭代法收敛性：满足上条，则不动点迭代法收敛，误差为：
7.复合求积公式：
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复合梯形公式：复合辛普森公式：
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8.高斯求积公式（求待定参数和）：（1）求高斯点（）：令
与任何次数不超过的多项
式带权正交，即则。
，由个方程求出高斯点
（2）求待定参数： 9.高斯-勒让德求积公式：取权函数为式的高斯点。
数值分析-第五版-考试总结
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第一章：数值分析与科学计算引论截断误差：近似解与精确解之间的误差。近似值的误差（为准确值）：
近似值的误差限：
近似值相对误差（较小时约等）：
近似值相对误差限：
函数值的误差限近似值
：有 n 位有效数字：
1.多项式插值其中：
第二章：插值法
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第三章：函数逼近与快速傅里叶变换 1. 属于维空间：

数值分析第五版答案_1

数值分析第五版答案第一章绪论1．设x0,x的相对误差为，求lnx的误差。

e*x*x x*x*1e* 而lnx的误差为e lnx*lnx*lnx x**解：近似值x的相对误差为=er*进而有(lnx*)2．设x的相对误差为2%，求x的相对误差。

解：设f(x)xn，那么函数的条件数为Cp|nxf’(x)| f(x)又f’(x)nxn1x nxn 1|n , Cp|n又r((x*)n)Cp r(x*)且er(x*)为2r((x*)n)0.02n3．以下各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指*****出它们是几位有效数字：x17 1.0. 1.1021,x20.031, x3385.6, x456.430,x5 *解：x1 1.1021是五位有效数字；*x20.031是二位有效数字；*x3385.6是四位有效数字；*x456.430是五位有效数字；*x57 1.0.是二位有效数字。

*****4．利用公式(2.3)求以下各近似值的误差限：(1) x1x2x4,(2) x1. x2x3,(3) x2/x4****其中x1均为第3题所给的数。

,x2,x3,x4***解：121*(x2)10 321*(x3)10 1 21*(x4)10 321*(x5)10 12(x1*)10 4***(1)(x1x2x4)***(x1)(x2)(x4)111433*********1.0510 3***(2)(x1x2x3)*********x1x2(x3)x2x3(x1)x1x3(x2)1110.0311010.031385.6104 1.1021385.610 32220.215**(3)(x2/x4)****x2(x4)x4(x2)x*24110.03110356.43010 356.43056.43010 54R3 3 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为V那么何种函数的条件数为R V’R4R2Cp 3 V R33r(V*)Cp r(R*)3r(R*)又r(V*) 1故度量半径R时允许的相对误差限为r(R*)6．设Y028，按递推公式Yn Yn1110.33 3 〔n=1,2,…〕计算到Y10027.982〔5位有效数字〕，试问计算Y100将有多大误差？解：Yn Yn1Y100Y99Y99Y98Y98Y97……Y1Y0依次代入后，有Y100Y0100即Y100Y027.982, Y100Y027.9821*(Y100)(Y0)(27.982)10 3 21Y100的误差限为103。