2019届高考数学(文)二轮复习提优导学案(江苏专用)：第1部分 专题6 数列 第1讲 等差数列、等比数列

第1讲等差数列、等比数列

【课前热身】

第1讲等差数列、等比数列

(本讲对应学生用书第52~54页)

1.(必修5 P39例3改编)在等差数列{a n}中，如果点(n，a n)在直线y=2x-1上，那么公差d= . 【答案】2

【解析】由题意知a n=2n-1，所以公差为2.

2.(必修5 P48习题7改编)在等差数列{a n}中，已知S5=5，那么a3= .

【答案】1

【解析】由于S5=5a3=5，所以a3=1.

3.(必修5 P54习题11改编)已知实数k和5k-2的等比中项是2k，那么k= .

【答案】2

【解析】由题意知k(5k-2)=(2k)2，即k2-2k=0，所以k=2或k=0(舍去).

4.(必修5 P54习题9改编)在等比数列{a n}中，a1>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，则a3+a5= . 【答案】5

【解析】a2a4+2a3a5+a4a6=

2

3

a

+2a3a5+

2

5

a

=(a3+a5)2=25，因为a1>0，所以a3>0，a5>0，所以a3+a5=5.

5.(必修5 P62习题13改编)对于任意实数x，若有a n=x n，则数列{a n}的前n项和S n= .

【答案】

00

1

(1-)

01 1-

n

x

n x

x x

x x

x

⎧

⎪=

⎪⎪

=

⎨

⎪

⎪≠≠⎪⎩

，，

，，

，且

【解析】当x=0时，S n=0；当x=1时，S n=n；当x≠0，且x≠1时，S n=

(1-) 1-

n

x x

x.

【课堂导学】

等差、等比数列的基本量运算

例1(2019·北京卷)已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4-a3=2.

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等?

【分析】(1)利用等差数列的通项公式，将a1，a2，a3，a4的关系式转化成a1和d的方程组，解方程得到a1和d的值，求出等差数列的通项公式；(2)先利用第一问的结论得到b2和b3的值，再利用等比数列的通项公式，将b2和b3转化为b1和q，解出b1和q的值，得到b6的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n的值，即项数.

【解答】(1)设等差数列{a n}的公差为d.

因为a4-a3=2，所以d=2.

又因为a1+a2=10，

所以2a1+d=10，故a1=4，

所以a n=4+2(n-1)=2n+2.

(2)设等比数列{b n}的公比为q.

因为b 2=a 3=8，b 3=a 7=16， 所以q=2，b 1=4， 所以b 6=4×26-1=128. 由128=2n+2，得n=63.

所以b 6与数列{a n }的第63项相等.

【点评】(1)本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生分析问题、解决问题的能力.本题求等差数列和等比数列的基本量的关系，利用通项公式求解.

(2)本题需要掌握的知识点是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，即等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d ，等比数列的通项公式：a n =a 1q n-1.

变式 (2019·合肥模拟)设等差数列{a n }的公差为d ，d>0，数列{b n }是公比为q 的等比数列，

且b 1=a 1>0.

(1)若a 3=b 3，a 7=b 5，探究使得a n =b m 成立时n 与m 的关系； (2)若a 2=b 2，求证：当n>2时，a n

【解答】记a 1=b 1=a ，则a n =a+(n-1)d ，b m =aq m-1，

(1)由已知得2426a d aq a d aq ⎧+=⎨+=⎩，

，消去d 得2a=3aq 2-aq 4，

又因为a ≠0，所以q 4-3q 2+2=0，所以q 2=1或q 2=2， 若q 2=1，则d=0，舍去；

若q 2=2，则d=2a

，

因此当a n =b m 时，a+(n-1)2a =aq m-1，即1+-1

2n =q m-1，

所以n=12

2

m +-1(m 是正奇数)时，a n =b m .

(2)因为d>0，a>0，所以q=21b b =21a a =a d

a +=1+d

a >1，

当

n>2

时

，

a n -

b n =a+(n-1)d-aq n-1=a (1-q n-1)+(n-1)d=a (1-q )(1+q+q 2+…+q n-2)+(n-1)d

所以当n>2时，a n

等差、等比数列的判断与证明

例2(2019·武汉调研)已知数列{a n}，对于任意n≥2，在a n-1与a n之间插入n个数，构成的新数列{b n}成等差数列，并记在a n-1与a n之间插入的这n个数的均值为C n-1.

(1)若a n=

23-8

2

n n

+

，求C1，C2，C3.

(2)在(1)的条件下是否存在常数λ，使得{C n+1-λC n}是等差数列?如果存在，求出满足条件的λ；如果不存在，请说明理由.

【解答】(1)由题意得a1=-2，a2=1，a3=5，a4=10，

所以在a1与a2之间插入-1，0，C1=-1 2.

在a2与a3之间插入2，3，4，C2=3.

在a3与a4之间插入6，7，8，9，C3=15 2.

(2)在a n-1与a n之间插入n个数构成等差数列，d=

-1

-

1

n n

a a

n+=1，

所以C n-1=

-1

()

2

n n

n a a

n

+

=

-1

2

n n

a a

+

=

22-9

2

n n

+

.

假设存在λ使得{C n+1-λC n}是等差数列. 所以(C n+1-λC n)-(C n-λC n-1)

=C n+1-C n-λ(C n-C n-1)

=25

2

n+

-λ·

23

2

n+

=(1-λ)n+5

2-

3

2λ=常数，所以λ=1.

即λ=1时，{C n+1-λC n}是等差数列.