拉普拉斯公式--任意弯曲液面附加压强
弯曲液面的附加压力
2
R'
gh
1g
当 1 g
2
h
R '1g
1.曲率半径 R'与毛细管半径R的关系：
R´ R
cos
如果曲面为球面
R'=R, cos 1
2. ps 2R´ (l g)gh
2
R´
gh
ps
2cosgh
R
1.曲率半径 R'与毛细管半径R的关系：
RTln
pr p0
2M R'
p p0
2 M RTR '
Kelvin公式也可以表示为两种不同曲率半径的
液滴或蒸汽泡的蒸汽压之比
RTlnp2 p1
2MR12'
R11'
对凸面，R' 取正值，R' 越小，液滴的蒸汽压越高；
对凹面， R' 取负值， R' 越小，小蒸汽泡中的 蒸汽压越低。
z
使曲面扩大到A'B'C'D'(蓝色面)，
则x与y各增加dx和dy 。
Young-Laplace 公式
移动后曲面面积增量为： d A s (x d x )(y d y ) x y
D'
x dx C'
o'
x d y y d x(d y d x 0 )
增加这额外表面所需功为
A'
pg
2
r
ppg
pl
2
r
③肥皂泡
p p i p o ( p g ,i p l) ( p l p g ,o )
④毛细管连通的大小不等的
§2-2弯曲液面的附加压力
2 × 72.8 × 10 = 5 1.103 × 10
−3
=1.44×10 m
−6
第二章 液体的表面现象
§2-2 弯曲液面的附加压力
−3
例2.4： 见图2-9，在内半径r=0.3mm的细玻璃管中注 水，一部分水在管的下端形成一凸液面，其半径 R=3mm，管中凹液面的曲率半径与毛细管的内半径相 同，求管中所悬水柱的长度h。设水的表面张力系数 α=73×10N/m
第二章 液体的表面现象
§2-2 弯曲液面的附加压力
1、液面是平面
f A
p0
f'
B p B
因所受表面张力f的方 向与液面平行，所以，作 用在周线上的表面张力的 合力为0。
因此，表面层内外两侧无限靠近的A、B两 点的压强相等，设液面上大气压强P0 ，表 面层的液体压强PB，则
第二章 液体的表面现象
§2-2 弯曲液面的附加压力
p1
dE = α ⋅ ds
= α ⋅ 8πRdR
dE = dW
2α ps = R
-------
R
拉普拉斯公式
图2—7 球形液面的附加压强 图2—7 球形液面的附加压强
第二章 液体的表面现象 拉普拉斯公式表明，附加压强 正比，与球半径 R成反比
§2-2 弯曲液面的附加压力
ps 与比表面能成 α
注意：拉普拉斯公式虽然是从整个球面导 出的，但对部分球面的情况也是适应的。
§2-2 弯曲液面的附加压力
例 温度为20℃时，一滴水珠内部的压强为外部压强的两 倍，求水珠的半径。设大气压强P0=1.013×105Pa，20℃ 时水的表面张力系数α=72.8×10-3N/m
解：水珠内外压强差
2α 2α 2α = = R= P内 − P0 2 P0 − P0 P0
用拉普拉斯公式测液体表面张力系数
- 12co s Η-8h 0Α= Θg H (5)1 实验原理l 2+ 4h 2d 0 当 l µ h 0 , co s Η≈ 1 时Α= Θg H d ƒ2式中 Θ为液体密度, g 为重力加速度.如图 1 所示, (a ) 间距为 d 的两玻璃平板(6) 垂直插入水中, 由于液体表面张力的存在, 两 板 间水面上升高度为 H , 且毛细液面呈一曲 以上是以水为例导出的公式, 也适用于其他液体. 当已知液体的 Θ, Η, 只要测出 H , l , 面, 图 1 (b ) (c ) 是其侧视图, 图 1 是其正视 图. 设水的表面张力系数为 Α, 水与玻璃的接触 h 0 及 d 值, 即可由 (5) 式或 (6) 式求出液体 角为 Η, 根据拉普拉斯公式, 任意弯曲液面内外表面张力系数 Α.2 实验装置与测量方法 211 实验装置装置如图 2 所示, 带有深度尺的卡尺垂直固定在支架上. 它是用有机玻璃板通过螺钉将游标尺压紧在支架横梁上, 而主尺可以上下移 动. 在主尺下端贴上一弯成直角的 L 形铝片, 图 1的压强差 (附加压强) 〔1〕为宽度稍大于玻璃片的宽度 l , 铝片平端与主尺 P = Α(1 +1 ) (1)下端平齐, 见图 3 (a ) , (b ) 的正视图和侧视图.R 1 R 2R 1、R 2 分别是毛细液面相互垂直的两正截口的(b ) 曲率半径, 由图 1 可见d ƒ2 < R 1 = 0 (2) co s Η(c ) 由图 1 可见, 毛细液面两端下弯, 几何知其平均曲率半径为由平面 l 2 + 4h 0 2R 2 => 0 (3)8h 0当毛细液面稳定到高度 H 时, 根据流体静力学 原理, R 1 , R 2 以绝对值代入公式 (1) 时, 有11(4)P = Α-= Θg H R 1R 2图 2间距为 d 的玻璃板是将薄膜片夹 在 两 玻厚度, 根据要求的 d 值, 剪下适当大小、 数片 21214 测量中应注意的几点1) 实验前认真清洁玻璃板, 实验中保持玻璃板、 杯子内侧、 水的清洁.2) 毛细液面上升速度与玻璃板内侧的清洁程度有关, 为了较快使液面达到稳定高度, 也 可以抬高杯子, 再放下, 使液面由上至下降到 一稳定高度. 毛细液面是否达到稳定的高度是 测量的关键.膜片夹在两玻璃板之间的一端, 用夹具夹好, 再 放在读数显微镜下检查一下玻璃板同一水平线 上两侧间距是否相等 (见图 2 上 A , A ′两点处 的间距). 若相差较多, 要旋一下夹具上的螺钉, 直到符合要求. 然后, 如图 2 所示, 将玻璃板 用细绳挂在支架上, 使其处于铅垂状态.装有待测液体的玻璃杯置于可调高度的平 台上, 使玻璃板的下端浸入液体中.本装置是为测水的表面张力系数设计的, 也适用于液体与玻璃接触角为锐角的液体. 212 测量方法21211 确定水面位置3 测量举例实验用的玻璃板光洁度较好, 无明显砂眼 和划痕. 尺寸为 70mm ×35mm ×215mm , 两玻 璃板间夹以数小片 厚 约 011mm 的 投 影 薄 膜, 以 3 种间距, 对 24℃的自来水进行了测量. 已 卡 尺置于杯内, 将主尺向上提升 2c m 左 右, 下面露出深度尺 (探针). 调平台, 使探针 尖与水面平齐. 方法是: 观察探针尖及水面所 成的像, 当针尖与针尖像刚刚相接时, 针尖正 处于水面处. 此时, 深度尺端也就是卡尺的零 位.21212 测毛细液面高度 H 及 h 0当毛细液面升到一稳定高度时, 将主尺上 知数据: 水和非常清洁的玻璃的接触角 Η= 0°,Η= 8°〔2〕. 本实验取 Η= 4°, 玻璃很不清洁时, 水 的密 度 Θ= 1000k g ·m - 3, 重 力 加 速 度 g =918m ·s - 2. 由公式 (2) , (3) , (5) 计算 R 1 , R 2 ,Α, 数据与结果见表 1. 表提, 使主尺下端 L 形铝片水平底面与毛细液面(a ) 相切, 见图 3 与 (b ). 读出卡尺上的读数, 即为毛细液面高度 H , 再移动主尺测出 H ′, 则 有 h 0 = H - H ′.4 结束语图 321213 用读数显微镜测玻璃板间距 d测量表明, 两玻璃板间的空气间隙上下略 目前, 测液体表面张力系数有拉脱法、 毛 细管法、 液滴法等等, 各有其长处与短处. 用 两垂直玻璃板测液体的表面张力系数, 在理论 上也早已有之, 但理论模型与实际物理现象之 间还是有一定距离的, 再加上一些具体的实际 问题, 使这种方法未能像上述几种方法被广泛有不同, 楔角约 1°～ 2°. 为了测毛细液面处的 d 值, 可用特种铅笔在毛细液面处的玻璃板上作 一标记. 然后取下挂在横梁上的带有夹具的玻 璃板, 用毛巾吸干水分, 置于读数显微镜下测恒流源作为温度传感系统中一个主要组成部件在自动控制中已得到广泛应用. 在实验室中利用恒流源来测导体电阻的温度系数, 使物理实验与新技术紧密结合, 对提高学生对实验的兴趣, 为后续课程学习打下基础, 能够起到积极的促进作用. 下面简要介绍实验的原理及方法.R x 两端的电压值.文献〔2〕中指出在温度不太高时, 金属电阻与温度存在如下线性关系R t = R 0 (1 + Αt)若在(1) 式两边同乘以恒流I,端电压与温度之间的关系为(1)得到R x 两U t = U 0 (1 +Αt)(2)以温度t 为横坐标, 以相应的电压U t 为纵坐标作图, 得到一条直线. 由图可得直线在纵轴的截距U 0 和斜率m , 于是得电阻温度系数Α= m ƒU0具体测量方法如下: 将待测导体电阻(铜棒) 浸在一装有温度计的油池中, 然后加热油池使温度升高至100℃. 在升温过程中观察数字电压表上电压数值的变化, 在降温过程中每下降5℃记录一次电压数据, 测量点应不少于10 个.1 测量原理及方法恒流源的种类较多,图1 所示是我们参考文献〔1〕制作的可以产生3mA电流的恒流源.测量电路如图2 所示, 将待测电阻R x 串接在恒流源电路中, 从数字电压表上可以直接读出2 测量数据及结果分析图1 恒流源电路图图2 测量电路原理图利用恒流源测铜电阻的温度系数, 在降温过程中记录的其中一组数据见表1. (下转19 页)采用.本文中的理论公式和实验装置使这一测量手段成为可能. 本实验的优点在于: 实验现象直观、明了, 有助于加深对液体表面性质的了解和对拉普拉斯公式中各物理量的理解; 在测量方法上, 它具有毛细管法的优点, 但它又优于毛细管法, 它的间距可调, 便于清洗. 与拉脱法相比, 可免去由于测量方法不当, 液膜重力、浮力等对测量结果的影响; 测量装置简单,仪器都是一般实验室常备的, 也是本实验的一个优点.5 参考文献1 李椿等. 热学. 人民教育出版社, 1979. 3252 杨伟民等. 热学. 上海科学技术文献出版社, 1986.139 (1998206212 收稿)。
弯曲液面的附加压力拉普拉斯方程
以图示凹液面为例, 液面上升至平衡时, 有
p = 2γ / r1 = ρ gh
式中液面曲率半径 r1 与毛细管半径 r 及接 触角 θ 间的关系为：
r1 r
θ
θ
h
cosθ = r / r1
2 γ cos θ h= rρ g
γ : 液体表面张力; ρ: 液体密度;
g : 重力加速度.
毛细管上升
2
微小液滴的饱和蒸气压—开尔文公式
纯液体的饱和蒸气压与温度和液体压力有关. 微小液滴的 蒸气压因附加压力的作用而比普通体积时高. 已从相平衡条件推出纯液体蒸气压受外压影响的关系式:
p2 (g ) Vm (l ){ p2 (l ) p1 (l )} ln = p1 (g ) RT (Vm = M / ρ )
用 p 和 pr 分别表示平面液体和微小液滴的蒸气压, 结合 拉普拉斯方程, 得 小液滴 3
而水气泡内水蒸气的压力仅能达到 pr = 94.34 kPa(凹液 面). 可见小气泡在正常沸点下不能生成, 而凹液面上的附加 压力是造成液体过热的主要原因. 在液体中加入少量素烧瓷片或毛细管等物质可大大降低 过热的程度. 5
亚稳状态及新相的生成
(3) 过冷液体: 按相平衡条件应当凝固而未凝固的液体. 原因 是微小晶粒具有高表面吉布斯函数(高的饱和蒸气压)而不能 在正常凝固温度下生成. p
p
c3 c2 c1
T0
T
7
分散度对溶解度的影响
亚稳状态及新相的生成
亚稳状态: 热力学不完全稳定的状态. 按照相平衡条件应当相 变的物质, 由于初始新相体积极小, 具有很大的比表面积和表 面吉布斯函数而难以形成, 系统仍以原相存在, 处于亚稳状态.
(1) 过饱和蒸气: 按相平衡条件应当凝 p 结而未凝结的蒸气. 原因是蒸气不能 变成化学势更高的微小液滴.
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程（Laplace's equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。
拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之间的关系的公式。
基本概述一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。
通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。
若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。
在数理方程中拉普拉斯方程为：，其中∇²为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。
三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ：其中∇²称为拉普拉斯算子。
拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即：则该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。
偏微分算子（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。
方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。
任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。
这种非常有用的性质称为叠加原理。
可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。
二维方程两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。
人物介绍拉普拉斯，1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，曾任巴黎军事学院数学教授。
渗透检测培训问答题
渗透检测培训问答题无损检测资源网整理1.试写出各种弯曲液面的附加压强计算式答:任意形状的弯曲液面下的附加压强,可由拉普拉斯公式表示如下:P任=α[(1/R1)+(1/R2)],式中P任-任意形状弯曲液面的附加压强,α-液体的表面张力系数,R1,R2-任意曲面的主曲率半径.规则的球面液面下的附加压强计算式可用下式表示:P球=2α/R,式中P球-规则球面的附加压强,α-液体的表面张力系数,R-规则的球面的曲率半径.柱状液面下的附加压强计算式可用下式表示:P柱=α/R,式中P柱-柱面的附加压强,α-液体的表面张力系数,R-柱面的曲率半径.2.简述辐射强度,光通量,发光强度和照度的定义答:辐射源在单位时间内向给定方向所发射的光能量称为辐射通量.能引起眼睛视觉强度的辐射通量称为光通量.光源沿给定方向在单位立体角内发射的光通量称为发光强度.被照物体表面单位面积上所接受的光通量称为照度.3.写出辐射强度,光通量,发光强度和照度的单位答:辐射通量的单位:瓦特(W),光通量的单位:流明(Lm),实验室测定对0.550μm的波长的光,1W相应于683Lm,发光强度的单位:坎德拉(cd),540x1012Hz的单色光在给定方向上的发光强度为1cd,照度的单位:勒克斯(lx),1勒克斯=1流明/米24.什么是着色强度?什么是荧光强度?影响因素有哪些?答:缺陷内被吸附出来一定数量的渗透液,在显像后能显示色泽(或色相)的能力称着色强度(荧光强度).影响因素主要有两个:一是着色染料或荧光染料的种类色别,一是染料在渗透液中的溶解度.染料色别越鲜明,发光强度越大,染料在渗透液中的溶解度越大,则该渗透液的着色强度(荧光强度)越大.5.什么是过剩自由能?它的物理意义是什么?答:单位面积表面分子的自由能与单位面积内部分子的自由能之差值称为表面过剩自由能,其物理意义是增加(或减少)单位表面面积液体时,自由能的增值(或减值)6.什么是表面活性,表面活性剂?试通过表面活性剂分子结构简述其特性.答:凡能使溶剂的表面张力降低的性质称为表面活性,加入量很少就能大大降低溶剂表面张力并进而产生润湿,乳化和加溶等一系列作用的物质称为表面活性剂.表面活性剂一般都由非极性的亲油疏水的碳氢链部分和极性的亲水疏油的基团共同构成,而这两部分分处两端,使得表面活性剂是一种两亲分子,具有又亲水又亲油的两亲性质,这种两亲分子能吸附在油水界面上,降低油水界面的界面张力,吸附在水溶液表面上,降低水溶液的表面张力,从而起到润湿,乳化和加溶等作用.7.液体表面张力产生的原因是什么?答:液体分子之间存在着相互吸引力,在液体内部,对每个分子来说,它所受四周分子的引力作用是一样的,而处于表层液体的分子向外受气体分子的吸引,向内受液体分子的吸引,由于气体分子的浓度小于液体分子的浓度,液体表面层分子所受向内吸引力大于向外吸引力,合作用表现为受向内的拉力,这就形成了液体的表面张力.8.什么是乳化剂和乳化现象?简述乳化机理.答:由于表面活性剂的作用,使本来不能混合到一起的两种液体能够混到一起的现象称为乳化现象,具有乳化作用的表面活性剂称为乳化剂.乳化机理:加入表面活性剂后,由于表面活性剂的两亲性质,使之易于在油水界面上吸附并富集,降低了界面张力,改变了界面状态,从而使本来不能混合在一起的"油"和"水"两种液体能够混合到一起,其中一相液体离散为许多微粒分散于另一相液体中,成为乳状液.9.什么是表面张力,表面张力系数?表面张力系数的物理意义是什么?为什么说分子压强是表面张力产生的原因? 答:存在于液体表面试液体表面收缩的力称为表面张力.液面边界单位长度所具有的表面张力称为表面张力系数.表面张力系数的物理意义是将液面扩大(或缩小)单位面积,表面张力所作的功.因为分子压强的本质就是内部分子对表面层分子的吸引力,当液体表面积越小,受到此种吸引力的分子数目越少,体系能量越低越稳定,所以液体表面有自由收缩并使其表面积减少的趋势,并因此而产生了表面张力,所以说分子压强是表面张力产生的原因.10.渗透检测方法的基本原理是什么？答：渗透检测主要探查开口性缺陷，利用因为液体表面张力而产生的毛细管现象来实现对缺陷的渗透，从而达到显示缺陷形状和位置及大小的目的。
物理化学 弯曲液面附加压力
1 1 •一般式： p ( ' ' ) R1 R2
•特殊式（对球面）：
2 p r
总结
1
附加压力与曲面半径成 反比，与液面张力成正 比
2
定义的Δp为凹面一侧的 压力减去图面一侧的压 力，故曲率半径r总是 正值，Δp亦总为正值。
№
毛细现象
液面被压入管内，直至上升的液 柱所产生的静压力gh 与附加压力p 在量值上相等，方可达到力的平衡， 即：
弯曲液面附加压力
小组成员：xxxxx
№
1、弯曲液面的附加压力
•一般情况下液体表面是水平的，而液滴、水中的
气泡表面则是弯曲的。
•液面可以是凸的，也可以是凹的。
弯曲表面上的附加压力
1.在平面上
p0
f
A B
对一小面积AB，沿AB的
四周每点的两边都存在表面 张力，大小相等，方向相反， 所以没有附加压力 设向下的大气压力为po， 向上的反作用力也为po ，附 加压力ps等于零。
2 p gh R
R cos ' R
由左图的几何关系可知：
由此可知： 2 cos h R g
自由液滴或气泡通常为何都呈球形 ？
1、假若液滴具有不规则的形状，则在表面上的不
同部位曲面弯曲方向及其曲率不同，所具的附加压力
的方向和大小也不同，这种不平衡的力，必将迫使液
滴呈现球形。 2、相同体积的物质，球形的表面积最小，则表 面总的Gibbs自由能最低，所以变成球状就最稳定。
1
2
凸面上受的总液体与平面不同，它受到一种
附加的压力，附加压力的方向都指 向曲面的圆心(曲率半径的方向)。
大于平面上的压力
3
laplace 气压定律
laplace 气压定律
Laplace气压定律是由法国物理学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）提出的，在流体力学中很重要。
根据这个定律，在一个静止的液体或气体中，对于曲线、曲面或界面上的每一个微小点，其内外两侧的压力差等于曲线、曲面或界面上所受作用力的法向分量除以单位面积。
数学表示为：ΔP = T/R，其中ΔP表示压力差，T表示作用力的法向分量，R表示曲线、曲面或界面的曲率半径。
这个定律在涉及到表面张力、泡沫、液滴、液体柱和其他与界面有关的现象中非常重要。
它也被应用于各种工程领域，如建筑、航空航天和海洋工程等。
拉普拉斯公式证明
拉普拉斯公式证明拉普拉斯公式在物理学和数学中都有着重要的地位，要证明它可得费一番功夫。
咱先来说说拉普拉斯公式到底是啥。
它描述的是一个关于曲面和曲面内外部压力差的关系。
简单点说，就是在一些特定的条件下，能通过这个公式算出相关的物理量。
想象一下，有一个气球，我们给它充气。
当气球被充起来的时候，它的表面就形成了一个曲面。
气球内部的气体对气球表面产生压力，而外部的大气压又对气球表面有另一种压力。
这时候拉普拉斯公式就能派上用场啦，能帮我们算出气球表面的张力啥的。
要证明拉普拉斯公式，咱们得从一些基础的概念和定理入手。
首先得了解啥是曲面的曲率，这就好比是说要知道一个弯路有多弯。
然后呢，还得搞清楚压力是咋分布的。
比如说，咱拿一个圆柱形的水桶来举例。
水桶的侧面就是一个曲面，当我们往水桶里加水的时候，水对桶壁的压力在不同的位置是不一样的。
靠近底部的地方压力大，越往上压力越小。
这其实就和拉普拉斯公式有点关系。
接下来咱们正经开始证明。
假设我们有一个很小很小的曲面元素，就像一块很小很小的补丁贴在曲面上。
然后通过一系列复杂的数学推导和物理分析，利用微积分的知识，把这个小曲面元素的各种物理量都表示出来。
这中间的过程可复杂啦，各种数学符号满天飞，什么积分、导数都得用上。
不过别担心，咱们一步步来。
在证明的过程中，得特别注意各种物理量的方向和正负号。
稍微不注意，整个证明就可能出错。
就像我之前给学生讲这个证明的时候，有个学生总是把压力的方向搞反，结果怎么也算不对。
我就一点点给他指出来，让他重新思考，最后他终于搞明白了，那种恍然大悟的表情，真让人欣慰。
经过一系列的推导和计算，最终就能得出拉普拉斯公式啦。
这个公式在很多实际问题中都非常有用，比如研究血管中的血压、肥皂泡的稳定性等等。
总之，拉普拉斯公式的证明虽然有点难，但只要咱们耐心细致，一步步来，还是能够搞清楚的。
它就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多物理世界的秘密之门。
希望大家在学习的过程中，也能像探索未知的勇士一样，不怕困难，勇往直前！。
2 弯曲液面的附加压力
o
R1
C
ydz dy = ' A R2 若 R '1 = R '2 = R '
x'
B
z
' R2
2γ ps = ' R
这两个都称为 Young-Laplace 公式
注意： 注意： 1) r 的符号： 的符号： 凸液面， ＞ ， 固相)内部 凸液面，r＞0，ps＞0， r 指向液相 固相 内部 ， 指向液相(固相 凹液面， 凹液面，r ＜0，ps＜0， r 指向气相 ， ， 平液面， 平液面，r→∞,ps→0， ， 2）气泡的附加压强： ）气泡的附加压强： 气 肥皂泡两个l-g界面 界面， 肥皂泡两个 界面，r1≈r2 气 ps=ps,1+ ps,2= 4γ/r ps,1 r1 r2 p
3. 在凹面上 由于液面是凹面，沿AB 的周界上的表面张力不能抵 消，作用于边界的力有一指
向凹面中心的合力
所有的点产生的合力 为 ps ，称为附加压力 凹面上受的总压力为：
p总 = p0 − ps
弯曲液面下的附加压强
p0 p0 A B A A B p = p0 ps p = p0 + ps B A p = p0 - ps B p0 ps
p0
ps = p0 − p0 = 0
弯曲表面上的附加压力
2. 在凸面上 由于液面是弯曲的，则 沿AB的周界上的表面张力不 是水平的，作用于边界的力
f
A
p0
B
f
ps
将有一指向液体内部的合力
所有的点产生的合力 为 ps ，称为附加压力 凸面上受的总压力为：
p0 + ps
p总 = p0 + ps
弯曲表面上的附加压力
界面现象--第2节：弯曲液面的附加压力及其后果
人工增雨作业的原理是什么？如果是晴天，进行人工降雨作 业，能达到目的吗？
在寒冬季节，晚上温度很低的时候，干净的玻璃上结窗花少， 而脏的玻璃上结窗花就多。为什么？
20
2gcos gh r
grh
grh grh cos 1 g 2 cos 2
790kg.m 3 9.8 0.235 103 2.56 102 r 2 2 23.3 10 3 N .m 1 23.3mN .m 1
9
毛细现象－毛细管下降现象
在过冷液体中投入小 晶体作为新相的种子, 能 使液体迅速凝固.
气相区
Tf Tf
• 过冷液体的产生
T
18
亚稳状态及新相的生成
(4) 过饱和溶液: 在一定温度下, 浓度超过饱和浓度, 而仍 未析出晶体的溶液. 原因是微小晶粒具有高表面吉布斯函数 (高的饱和蒸气压)而不能在正常饱和浓度下析出. 与微小液滴一样, 微小晶体 p 的饱和蒸气压大于普通晶体. 蒸 气压与溶解度有密切的关系, 微 小晶粒具有比普通晶体更大的溶解 度. 晶体的颗粒愈小, 溶解度愈大. 可知, 当溶液浓度达到普通晶 体的饱和浓度时, 相对于微小晶粒 还未饱和, 微小晶粒就不能从中析 出.
纯液体的饱和蒸气压与温度和液体压力有关. 微小液滴 的蒸气压因附加压力的作用而比普通体积时高. 已从相平衡条件推出纯液体蒸气压受外压影响的关系式: p2 ( g ) Vm ( l ){ p2 ( l ) p1 ( l )} ln ( Vm M/) p1 ( g ) RT
用 p 和 pr 分别表示平面液 体和微小液滴的蒸气压, 结合拉 普拉斯方程, 得：
雨伞能够防雨的原因？ 答：（1）憎水涂层； （2）雨水在雨伞织物的缝隙中形成凹液 面的水膜，有一个向上的表面张力，可以 抵挡雨水透过雨伞的织物。 溶液在滴定管中形成凹液面。 请同学们讨论，生活里还有那些毛细管 上升现象？
二、弯曲液面下的附加压强 气体栓塞
二、弯曲液面下的附加压强气体栓塞PPPS∆fd 二、弯曲液面下的附加压强 气体栓塞自然界中的静止的液面，有平面、凹面和凸面。
有许多情况下液面是弯曲的，如前面说的水滴、肥皂泡，还有固体与液体的接触面等，弯曲液面内外存在一压强差，称为附加压强。
1、附加压强（1）定义：弯曲液面内外存在一压强差, 用Ps 表示（2）附加压强的产生——分别从平面、凸面和凹面三个方面来说明附加压强的产生。
1）平液面 在液体表面上取一小面积△S ,由于液面水平，表面张力沿水平方向， △S 平衡时，其边界表面张力相互抵消,不产生垂直与液面的压力，△S 上下压强相等：P=P 0, P s=02)液面弯曲①凸液面时，如图仍在液体表面上取一小面积△S ,△S 周界上表面张力沿切线方向，合力指向液面内，△S 好象紧压在液体上，使液体受一附加压强Ps ，由力平衡条件，液面下液体的压强：P=P0+Ps,如果我们规定附加压强与外部压强相同为正，相反为负。
则此时，Ps 为正②凹液面时，如图△S 周界上表面张力的合力指向外部，△S 如好象被拉出，液面内部压强小于外部压强，液面下压强：P=P0-Ps ，Ps 为负总之：附加压强的产生原因是由于表面张力存在。
附加压强使弯曲液面内外压强不等，与液面曲率中心同侧的压强恒大于另一侧，附加压强方向恒指向曲率中心 (3)附加压强的计算如图，取球形液面的一部分，曲率半径为R ，面积为dS ，其周界是半径为r 的圆周。
在周界上取一线元dl ，作用在dl 上的表面张力d f =αdl .(1)由图可见，将df 分解为半径r 垂直和平行的两个分力由圆对称性，在圆周界上的其他线元上，作用着同样大小的表面张力，这些力的水平分力相互抵消，垂直分力方向相同，合力为：2r02f df sin dl sin 2rr 2r sin ,f R Rπ⊥⊥⊥=⎰=⎰αϕ=αϕ⋅ππϕ==α由图可见则. (2)由式(2)可求得液面下液体所受的附加压强Rr R r r f p sαπαππ22222===⊥(3-5)可见，球形液面下液体的附加压强与液体的表面张力系数α成正比，与液面的曲率半径P 成反比。
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程拉普拉斯方程（Laplace's equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。
拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之间的关系的公式。
一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。
通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。
若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。
在数理方程中拉普拉斯方程为：，其中∇²为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。
三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ：其中∇²称为拉普拉斯算子。
拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即：则该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。
偏微分算子（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。
方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。
任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。
这种非常有用的性质称为叠加原理。
可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程，又称为谐波方程和势方程，是一种偏微分方程。
之所以命名，是因为它是法国数学家拉普拉斯（Laplace）首次提出的。
解决拉普拉斯方程是电磁学，天文学和流体力学领域经常遇到的重要数学问题类型，因为该方程以势函数的形式描述了诸如电场，引力场和流场之类的物理对象（一般为集体称为“保守领域”或“潜在领域”）属性。
拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。
一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。
通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。
若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：▽p=γ（1/R1+1/R2）式中γ是液体表面张力。
该公式成为拉普拉斯方程。
拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。
任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。
这种非常有用的性质称为叠加原理。
可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。
西安交通大学医用物理学第六章第二节 弯曲液面的附加压强
Jiaotong University
REN Ren
3／26／2015
§1 液体表面的张力
•液面张力：液面各个部分之间存在与液面相切使液面 收缩的力，叫表面张力。
•表面张力系数：表面张力的大小与分界面长度比值。
•F= L。
•液体的表面能：液体表面所有势能的总和。 F=2 L ,
A= F X =2 L X = S
液滴
Pa = 2α/R 气泡
Pa = －2α/R
液膜
Pa = 4α/R 说明球形膜内压强大于膜外4α/R
圆柱形液面
其中一个R = ∞ ∴ Pa = α/R
附加压强应用 大小泡相互连通后，大泡变大，小泡变小
人的呼吸过程在肺泡中进行, 肺中有许许多多大小不等的 肺泡相互连通，但不会出现上述情况,为什么?
•外力做功全部转化为液体的表面能的增量。 E = S
§2 弯曲液面的附加压强
液面是平面时表面张力在液面内，各方向的合力为0
液面是弯曲面时表面张力的方向沿弯曲液面的切线方向, 表
面张力的合力不为0，结果使液面内外产生压强差，称此为
附加压强Pa，方向总是指向曲率中心。
液面是平面 液面是凸面PA ＞PB
R2
dy dx
y x
dW = dE
Pa
( dx
x
dy ) y
/
dR
∵ 曲面 S 很小 △abc1 ∽△a´b´c1
有 (x+dx)/ x = (R1+dR)/R1 dx / x = dR/R1
同理，由 △bcc2 ∽△b´c´c2 得 dy / y = dR/R2
Pa
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程拉普拉斯方程(Laplace equation)拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。
一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。
通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。
若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差?P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为:在数理方程中，拉普拉斯方程为:?u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中?为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。
三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量 x 、 y 、 z 二阶可微的实函数φ :上面的方程常常简写作:或其中div表示矢量场的散度(结果是一个标量场)，grad表示标量场的梯度(结果是一个矢量场)，或者简写作:其中Δ称为拉普拉斯算子 .拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数 f ( x , y , z )，即:则该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。
偏微分算子或Δ(可以在任意维空间中定义这样的算子)称为拉普拉斯算子，英文是 Laplace operator 或简称作 Laplacian 。
拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域 D 内定义的函数φ，使得在 D 的边界上等于某给定的函数。
为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍:固定区域边界上的温度(是边界上各点位置坐标的函数)，直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。
拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域 D 边界处的温度函数φ本身，而是φ沿 D 的边界法向的导数。
弯曲表面上的附加压力和蒸气压
§12.2 弯曲表面上的附加压力和蒸气压1、弯曲表面上的附加压力附加压力：弯曲液面内外的压力差。
产生原因：表面张力的存在是附加压力产生的根本原因。
1. 在平面上2. 在凸面上3. 在凹面上 注：附加压力方向是指向弯曲液面曲率半径的中心。
2、Laplace 方程例如，在毛细管内充满液体，管端有半径为R’ 的球状液滴与之平衡。
外压为 p 0 ，附加压力为 p s ，液滴所受总压为： 对活塞稍加压力，将毛细管内液体压出少许，使液滴体积增加d V ，相应地其表面积增加d A ，克服附加压力p s 所做的功等于可逆增加表面积的Gibbs 自由能。
将 代入上式得： Laplace 方程 3、毛细管现象定义：由于附加压力而引起的液面与管外液面有高度差的现象称为毛细管现象。
把毛细管插入水中，管中的水柱表面会呈凹形曲面，致使水柱上升到一定高度。
当插入汞中时，管内汞面呈凸形，管内汞面下降。
毛细管内液柱上升（或下降）的高度可近似用如下的方法计算而： g l ρρ>>所以曲率半径 R ' 与毛细管半径R 的关系： 所以gR Cos h l ρθγ2= 4、弯曲表面上的蒸气压——Kelvin 公式s 000p p p =-=0sp p p =+总0sp p p =-总0sp p p =+总s s d d p V A γ='2' d 4d V R Rπ=''s d 8d A R R π=s '2p R γ=s '2p p gh Rγρ∆===∆l g ρρρ∆=-'l 2h R g γρ=cos R R θ=´vap 10G ∆=0'022m s 0s '2d ()p R p M G V p A A A R γγγγρ+∆=+-≈+⎰vap 3s G A γ∆=-0r 4r 0lnln p p G RT RT p p ∆==-所以： ——Kelvin 公式 注：① 适用于凸面，曲率半径越小则饱和蒸汽压越大； ②对于凹面ργR M p p RT 2ln 10=曲率半径越小则饱和蒸汽压越小； 2340G G G ∆+∆+∆=r '02ln p M RT p R γρ=r '02ln p M RT p R γρ=。
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可以证明，曲面将产生一方向向下的附加压强
p附 = σ(1/R1 + 1/R2 )
• 这一公式称为拉普拉斯公式，
• 人们常用它来确定任意弯曲液面下的附加压强。
• 对于球形液面，公式中的R1 = R2 ，则
•
p = 2σ/R
• 对于柱形液面， R2 趋向无穷大,
•
p附 =σ/R1
•
因为附加压强是指向主曲率中心的，为了便于区
分，把液体的表面呈凸面的曲率半径定为正，呈凹面
的曲率径定为负。
例如，若在两块水平放置的清洁的玻璃板间放上一滴 水以后，将这两玻璃板进行挤压，使两玻璃板间有一 层很薄的水，
设这层水的厚度为 d =10-4 m,显然这层水与空气的接 触面为曲率半径R 的凹曲面。
• 由于水平截面在曲面上截得的是一大圆，而大圆半径
很小。
• 请问:若在两板间放的不是水而是水银，则两板间液 体的自由表面是凸面，
• 所产生的附加压强是怎样的? • 其方向沿板面法线向外。是正的。 • 这时若有人想把水银从两板的间隙中挤出会怎么样？ • 则越往下挤越费力。
— (二)拉普拉斯公式 任意弯曲液面附加压強
有不少液面并不呈球形。为了计算由任意弯曲液面的 表面张力所产生的附加压强，考虑如图所示的一任意 的微小曲面。
在曲面上任取一点O，过O 作互
相垂直正截面 P1 、 P2 。截面 与弯液面相交截得圆弧A1B1 ， A2B2 ，其曲率中心分别为 C1 和 C2 ，曲率半径分别为 R1 和 R2 。
比d 大得多，故可设 R1 =-d /2，
•而R2→∞，又σ= 0.073 N·m-1，
•利用拉普拉斯公式，可知曲面对液体所产生的附加
压强为
p 1.4103 N m1
d/2
• 附加压强是负的，这表明液体内部的压强要比外面
的大气压强低1.4×103 N·m-2。
• 附加压强要使两玻璃板相互挤得更为紧密，使d 变得