线性代数第一单元测试题

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线性代数单元测试卷(含答案)

线性代数单元测试卷(含答案)一、选择题(每题2分，共20分)1. 在线性代数中，什么是矩阵的秩？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵的非零行数D. 矩阵的最大线性无关行数正确答案：D2. 下列哪个不是矩阵的运算？A. 矩阵的加法B. 矩阵的减法C. 矩阵的除法D. 矩阵的乘法正确答案：C3. 矩阵的转置满足下列哪个性质？A. (A^T)^T = AB. (AB)^T = B^T * A^TC. (A + B)^T = A^T + B^TD. (AB)^T = A^T + B^T正确答案：B4. 什么是向量的线性组合？A. 向量相加B. 向量相减C. 向量乘以常数后相加D. 向量与常数相乘正确答案：C5. 下列哪组向量线性无关？A. (1, 0)B. (0, 1)C. (1, 1)D. (1, -1)正确答案：C二、填空题(每题3分，共30分)1. 给定矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求A的逆矩阵。

正确答案：[[-2, 1], [1.5, -0.5]]2. 给定矩阵B = [[2, 4], [1, 3]]，求B的特征值。

正确答案：[5, 0]3. 给定向量v = (1, 2, 3)，求v的范数。

正确答案：sqrt(14)4. 给定矩阵C = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，求C的秩。

正确答案：25. 给定矩阵D = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]]，求D的转置矩阵。

正确答案：[[1, 3, 5], [2, 4, 6]]三、解答题(每题10分，共40分)1. 什么是线性相关和线性无关？线性相关表示向量之间存在线性组合的系数不全为零的情况，即存在非零向量组合得到零向量。

线性无关表示向量之间不存在这样的关系，即只有全为零的线性组合才能得到零向量。

2. 什么是矩阵的行列式？矩阵的行列式是一个标量，它是一个方阵中各个元素按照一定规律相乘再求和的结果。

行列式可以用来判断方阵的逆是否存在，以及计算方阵的特征值等。

线性代数第一章习题参考答案

解：4234231142342311)1342(4432231144322311)1324()1()1(a a a a a a a a a a a a a a a a =--=-ττ4.计算abcdef abcdef abcdef abcdef efcf bfde cd bdae ac ab r r r r c c c r f r d r a c ec c c b 420020111111111111111111111)1(12133213213211,1,11,1,1-=--=--=---=-----++5．求解下列方程10132301311113230121111112121)1(12322+-++-++=+-++-+=+-+-+++x x x x x x x x x x x x c c r r 1132104201)3(113210111)3(21+-+--++=+-+-++=-x x x x x x x x x r r 3,3,30)3)(3(11421)3(3212-==-==-+=+---++=x x x x x x x x x 得二列展开cx b x a x b c a c a b x c x b x a c b a x c b a x c b a x ====------=32133332222,,0))()()()()((1111)2(得四阶范得蒙行列式6.证明322)(11122)1(b a b b a a b ab a -=+右左证明三行展开先后=-=-=-----=----=+=+--323322222)(11)()()()1(100211122)1(:2132b a b a b a ba ba b a b b a a b b a b a b b ab ab a b b a ab ab ac c c c1432222222222222222222222222(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369(3))(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369c c c ca a a a a a a ab b b b b b b b cc c c cc c cd d d d d d d d --++++++++++++==++++++++++++二三列成比例))()()()()()((1111)4(44442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a dcbad c b a D +++------==44444333332222211111)(x d c b a xdcbax d c b a x d c b a x f 五阶范得蒙行列式解考虑函数=（5）))()()()()()(())()()()()()(()()())()()()()()()()()((454545453453d c d b c b d a c a b a d c b a A M D d c d b c b d a c a b a d c b a A ，A x x f ，Ｍx x f D a b b c a b c d b d a d d x c x b x a x ------+++-==------+++-=----------=于是的系数是中而对应的余子式中是（5）n n a a a a a xx x x 12101000000000100001----解：nn n n n n n n n n nn x a x a a x a x a a a a a a a xx x x D +++=-++--+--=---=+++-++++-10)1()1(1211110121)1()1()1()1()1(1000000000100001按最后一行展开7、设n 阶行列式)det(ij a D =把D 的上下翻转、或逆时针旋转090、或依副对角线翻转、依次得111131111211111,,a a a a D a a a a D a a a a D n n nn n nn n nnnn=== 证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(证明：将D 上下翻转，相当于将对D 的行进行)1(21-n n 相邻对换得1D ，故D D n nn 2)1(1)1(--=将D 逆时针旋转090相当于将T D 上下翻转，故D n n D n n D T 2)1(2)1(2-=-=D 依副对角线翻转相当于将D 逆时针旋转090变为2D ，然后再2D 左右翻转变为3D ，故D D D D n n n n n n =--=-=---2)1(2)1(22)1(3)1()1()1(8、计算下列行列式（k D 为k 阶行列式）（1）aa D n 11=，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；解：)1()1(0100)1(1122211111-=-+=-+==--++-+a a a a a aa a a D n n n n n n n n n n 列展开按行展开按（2）x a a a x a a a x D n=解：xaa x a a a n x x a aa x a a a x D nc c c n111])1([21-+==+++12)]()1([0001])1([1--≥--+=---+=n r r k a x a n x ax a x a a a n x k(3)111111)()1()1()()1()1(11111n a n a a a n a n a a a n a n a a a D n n n n n nnm n -+---+---+--=----+解：11111(1)(1)22111111(1)(1)()(1)(1)()111111111111()()()((1)(1)()(1)(1)()n nnn n n n n n n n n n n j i n n n n mnnna a a n a n a a a n a n D a a a n a n a a a n a n j i a a a n a n a a a n a n ----++++≥>≥------+---+-=--+---+-=-=--=--+---+-∏上下翻11)n j i i j +≥>≥-∏（4）n n nnn d c d c b a b a D11112=（未写出的均为0）解：)1(2)1(211112)(02232--↔↔-===n n n n n n n nnn r r c c nnnnn D c b d a D d c b a d c d c b a b a D mn得递推公式)1(22)(--=n n n n n n D c b d a D ，而11112c b d a D -=递归得∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)det(),||n ij ij D a a i j ==-解111,2,,1120121111110121111210311111230123010001200(1)(1)211201231i i j r r n i n c c n n n n D n n n n n n n n n n n n +-=-+-------==-------------==---------解:11211*222,3,,1111111(6)1111111111101111000111100:01111i n nr r n i n nna a D a a a a a D D a a -=+++=++-+-===+-解111211121,2,,12111(1)1110001(1)0000i inc c na n i ni ina a a a a a a a a a ++==++++==+∑9．设3351110232152113-----=D ，D 的),(j i 元的代数余子式为ij A ，求44333231223A A A A +-+解：24335122313215211322344333231=-----=+-+A A A A。

线代一至四章自测题兼答案

《线性代数》单元自测题第一章行列式专业班级姓名学号一、填空题：1．设12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带有正号的项，则i = ，j = . 2．在四阶行列式中同时含有元素13a 和31a 的项为__ ___. 3．各行元素之和为零的n 阶行列式的值等于 .4．已知2333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=+++133312321131131211232221333a a a a a a a a a a a a . 5．设)4,3,2,1(2=i A i 是行列式6932987342322212a w a za y a x中元素2i a 的代数余子式，则=+++423222126397A A A A __ ___. 二、选择题：1．已知,42124011123313)(x x x x x x f --=则)(x f 中4x 的系数为( )（A ）1- ；（B ）1 ；（C ）2- ；（D ）2 ．2．222111c b a c b a=( ) （A ）b c a b c a 222++；（B ）))()((b c a c a b ---；（C ）)(222a c c b b a ++-；（D ）)1)(1)(1(---c b a ．3．已知0014321≠=-k c b a ，则063152421-+-+c b a =( )（A ） 0 ；（B ）k ；（C ）k - ；（D ）k 2．4．已知01211421=--λλ，则λ=( ) （A ）3-=λ；（B ）2-=λ；（C ）3-=λ或2；（D ）3-=λ或2-．三、计算题：1．计算63123112115234231----=D ．2．设4321630211118751=D ，求44434241A A A A +++的值．3．计算4443332225432543254325432=D ．4．计算abb a b a b a D n 000000000000 =．5．计算2111121111211112----=λλλλ n D ．6．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++0)12(02)12(02)1(3213213221x k kx kx x x k x x x k x 有非零解，求k 的值．《线性代数》单元自测题第二章矩阵专业班级姓名学号一、填空题：1．设A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=341122121221，则)(A R = ．2．设A 是3阶可逆方阵，且m A =，则1--mA = ．3．设A 为33⨯矩阵，2-=A ，把A 按列分块为),,(321A A A A =，其中)3,2,1(=j A j 为A 的第j 列，则=-1213,3,2A A A A ．4．设A 为3阶方阵，且3=A ,*A 为A 的伴随矩阵，则=-13A ；=*A ；=--1*73A A ．5．设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4000003000002000001100041A ,由分块矩阵的方法得=-1A ．二、选择题：1．设A 、B 为n 阶方阵，则下列命题中正确的是（）（A ） 0=AB 0=⇒A 或0=B ；（B ） TT T A B AB =)(；（C ） B A B A +=+；（D ） 22))((B A B A B A -=-+． 2．设A 为54⨯矩阵，则A 的秩最大为( )（A ）2 ；（B ）3 ；（C ）4 ；（D ）5．3．设C B A ,,是n 阶矩阵，且E ABC =，则必有（）（A ）E CBA =；（B ）E BCA =；（C ）E BAC =；（D ）E ACB =．4．当=A （）时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=333231232221331332123111333a a a a a a a a a a a a ．（A ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-103010001；（B ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100010301；（C ） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010300；（D ） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-130010001． 5．设B A ,均为n 阶方阵，且O E B A =-)(,则（）（A ）O A =或E B =；（B ） BA A =；（C ）0=A 或1=B ；（D ）两矩阵A 与E B -均不可逆．三、计算题：1．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221011332A ，求1-A ．2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=032211123A ，且X A AX 2+=，求X ．3．已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4553251101413223211a A 的秩为3，求a 的值．4．设Λ=-AP P 1，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1141P ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2001-=Λ，（1）求nA ；（2）设()322+-=x x x f ，求()A f ．四、证明题：1、设A 为n 阶方阵，且有0522=--E A A ，证明E A +可逆，并求其逆．2．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵，证明AB 为反对称矩阵的充分必要条件是BA AB =．《线性代数》单元自测题第三章向量组的线性相关性专业班级姓名学号一、填空题：1．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6402α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2101β，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=9741γ，且向量ξ满足βαγβξ-=-+22，则ξ= ． 2．已知向量组T)1,1,2,1(1-=α，T T t )0,,0,2(,)2,5,4,0(32==αα的秩为2，则=t ． 3．若T)1,1,1(1=α，T)2,3,1(2=α，T b a ),0,(3=α线性相关，则b a ,应满足关系式．二、单选题：1．下列向量组中，线性无关的是（）（A ）T )4321(，T )5201(-，T )8642(；（B ）T )001(-，T )012(，T )423(-；（C ）T)111(-，T )202(-，T )313(-；（D ）T )001(，T )010(，T )100(，T )101(．2．下列向量组中，线性相关的是（）（A ）T b a)1(，T c b a )222(+；)0(≠c （B ）T )0001(；（C ）T )0001(，T )1000(，T )0010(；（D ）T )001(，T )010(，T )000(．3、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t 01,121,011γβα线性无关，则（）（A ）1-=t ；（B ）1-≠t ；（C ）1=t ；（D ）1≠t ．4. 设m ααα,,21 ，均为n 维向量，那么下列结论正确的是（）（A ）若为常数），m m m k k k k k k ,,(0212211=+++ααα，则m ααα,,21 ，线性相关；（B ）若对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有02211≠+++m m k k k ααα ，则m ααα,,21 ，线性无关；（C ）若m ααα,,21 ，线性相关，则对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有02211=+++m m k k k ααα ；（D ）若有一组全为零的数m k k k ,,,21 ，使得02211=+++m m k k k ααα ，则m ααα,,21 ，线性无关.5、设A 是n 阶方阵，且A 的行列式0=A ，则A 中（）（A ）必有一列元素全为零；（B ）必有两列元素对应成比例；(C ）必有一列向量是其余列向量的线性组合；（D ）任一列向量是其余列向量的线性组合.三、计算下列各题：1．判断向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02111α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=36122α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21013α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=09244α的线性相关性．2．求向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40121α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21012α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=63033α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21114α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=40125α的秩和一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示出来．3、设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0611,231,2211321αααx x ，若此向量组的秩为2，求x 的值。

《线性代数》单元测试(一)题目带答案

4 1 2 ⎪⎪ ⎝ ⎭⎪ 《线性代数》单元测试试题（一）姓名学号专业班级一、填空题（共 10 题，每空 3 分，共 30 分）。

-a 11 a 12 3a 13 a 11 a 12 a 131. 已知三阶行列式 -a 21 a 22 3a 23 =9 ，则 a 21 a 22 a 23 =.-a 31a a a 32 3a 33 a 12 2a 11 a 31 0 a 32 a 332. 若二阶行列式 11 a 12= 1 ，则 a a 22 2a 21 0 =.21 220 6 10 0 13. 三阶行列式 D = 0 2 0 ，则 D = .5 0 01 4. 三阶行列式 D =2 4 2 13 0 中元素a 21 的代数余子式 A 21 = .5 3⎛ 1 5. 矩阵 A = 1 ⎝ 1 1⎫⎪ 2 3⎪ 的秩是 .3 ⎭6. 设二阶矩阵 A = ⎛ 1 3 ⎫是可逆矩阵，则一定有k ≠ .2 k ⎪ ⎝ ⎭ 7. 二阶矩阵 A = ⎛ 23 ⎫ 的逆矩阵A -1= . ⎝ ⎭ ⎛ 1 2 0 ⎫8. 已知 A = 1 3 0 ⎪ ，则 A -1 =.0 0 1 ⎪9. 设 A , B 均为三阶可逆矩阵，且 A = 4, B = 1，则 2A -1B T = .10.如果 X 1 , X 2 都是方程 A n ⨯n X = O 的解，且 X 1 ≠ X 2 ，则 A n ⨯n = .2⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 二、选择题（共 10 题，每题 3 分，共 30 分）。

1. 若 a 11 a 12 = a ，则 ka 12 a 11 = .(A) a 21 k 2aa 22 (B) ka 22 - k 2a a 21 (C) ka(D)- ka1 2 32. 位于行列式D = 1 1 1 第一行第二列元素的代数余子式为.2 1 3(A) -1(B) 1(C) 3(D) -33. 设 A ， B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 .(A ) ( AB )T = A T B T (B) (A + B )T = A T + B T (C) (AB )-1 = A -1B -1(D) (A + B )-1 = A -1 + B -14. 设A ,B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列各式不正确的是 .(A) ( A T )-1 = ( A -1 )T(B) (2A )-1 = 2A -1(C) ( AB )-1 = B -1 A -1(D) AB ≠ 05. 设 A ， B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列等式不成立的是.(A) A -1B -1= A -1 B-1(B) A T B T= A B(C) [( A B )T ]-1 = [B T ]-1[ A T ]-1 (D) AB ≠ 06. 设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB = AC ，则必有 .(A) A = 0(B ) B ≠ C 时 A = 0 (C ) A ≠ 0 时 B = C(D ) A ≠ 0 时 B = C7. 设 A 为三阶矩阵，且 A = 3 ， A * 是 A 的伴随矩阵，则 A * 为.(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 27 8. 下列矩阵中不是初等矩阵的是.(A) ⎛ 1 0 3 ⎫ 0 1 0 ⎪(B) ⎛ 1 0 0 ⎫0 1 1 ⎪(C) ⎛ 1 0 0 ⎫0 2 0 ⎪(D) ⎛ 1 0 0 ⎫0 1 0 ⎪0 0 1 ⎪ 0 0 1 ⎪ 1 0 1 ⎪ 0 0 -2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎭9. 已知 A 为3⨯ 4 矩阵，且 R ( A ) = 3 ，则 .(A) A 的所有二阶子式都为 0 (B) A 的所有三阶子式都为 0 (C) A 的所有二阶子式都不为 0(D) A 有三阶子式不为 010. 设 A 为m ⨯ n 矩阵， C 为n 阶可逆矩阵， AC = B ，则 .(A) (C) R ( A ) = R (B ) R ( A ) < R (B )(B) (D) R ( A ) > R (B )R ( A ) 与 R (B ) 的关系依矩阵C 而定⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ 5 三、计算题（共 4 题，每题 10 分，共 40 分）。

线性代数单元测试题

线性代数单元测试题(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数第一单元测试题一. 单项选择题1. 方程0881441221111132=--x x x 的根为（）.（A ）1，2，3; （B ）1，2，-2; （C ）0，1，2; （D ）1，-1，2.2. 已知3阶行列式ij a ,ij ij a b =,,3,2,1,=j i 则行列式=ij b （）. （A ）ij a ; （B ）0; (C)ij a 的绝对值; （D ）ij a - .3. 已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++0030z y z y x z y x λλλ仅有零解，则（）.（A ）0≠λ且1≠λ; （B ）0=λ或1=λ; （C ）0=λ; （D ）1=λ.4.已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++c z y x b z y x az y x 有唯一解,且1=x ,那么=--111111c b a （）.（A ）0; （B ）1; （C ）-4; （D ）4.5.n 阶行列式ij a D =，则展开式中项11342312n n n a a a a a - 的符号为( ). （A ）- （B ）+ （C ）n )1(- （D ）1)1(--n 二. 填空题1. 排列5的逆序数为 .2. 已知2413201x x 的代数余子式012=A ，则代数余子式=21A .3. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i .4. =567890120114001030020001000 .5. 设xx x x xD 111123111212-=，则D 的展开式中3x 的系数为 .三. 判断题（正确打V ，错误打×）1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为n .( )2. 若n 阶行列式ij a 每行元素之和均为零，则ij a 等于零.( )3. 若V 为范德蒙行列式,ij A 是代数余子式，则V A nj i ij =∑=1,.( )4. 若n 阶行列式ij a 满足ij ij A a =,n j i ,2,1.=,则0>ij a .( )5. 若n 阶行列式ij a 的展开式中每一项都不为零,则0≠ij a .( )四. 已知4521011130112101--=D ，计算44434241A A A A +++.五. 计算行列式600300301395200199204100103六. 计算行列式1111111111111111--+---+---x x x x七. 计算行列式cc b b aa------1111111线性代数第二单元测试题一．单项选择题1．若A 为n 阶可逆矩阵，则下列结论不正确的是（）．（A ）11)()(--=kkA A ；（B ）Tk kTA A )()(=；（C ）kkA A )()(**=；（D ）**=kA kA )(． 2．B A ,均为三阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）．（A ）111)(---=B AAB ；（B ）A A =-；（C ）B A B A B A +-=-22；（D ）A A 22=． 3．设()353=⨯A R ，那么53⨯A 必满足（）．（A ）三阶子式全为零；（B ）至少有一个四阶子式不为零；（C ）二阶子式全为零；（D ）至少有一个二阶子式不为零．4．⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n n n n b a b a b a b a b a b a ba b a b a A 212122122111，02121≠n n b b b a a a ，秩=A （）．（A ）0；（B ）1 ；（C ）2；（D ）n ．5．设B A ,为n 阶矩阵，**,B A 是伴随矩阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B O O A C ，则=*C （）．（A ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B B OO A A ；（B ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛**A A O O B B ；（C ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B A OO A B ；（D ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**A B O O B A ．二．填空题1．若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110P ，那么=20042003AP P ． 2．B A ,为三阶矩阵，1-=A ，2=B ，则()='-212B A ．3．已知53)(2+-=x x x f ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b a A 00，则=)(A f ．4．若C B A ,,均为n 阶矩阵，且E CA BC AB ===，则=++222C B A ．5．α是三维列向量，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----='111111111αα，则='αα ．三．判断题（正确打V ，错误打×）1．*A A =的充分必要条件是1-=A A A ．（） 2．3223⨯⨯B A 不可逆．（）3．如果E AB =，则1-=A B ．（）4．B A ,为n 阶非零矩阵，若,O AB =则0==B A ．（）5．()ij a A =为n 阶可逆矩阵，若A 的每行元素之和全为a ，则1-A 的每行元素之和全为1-a ．（）四．用初等变换法求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1513112251A 的逆矩阵．线性代数第三单元测试题一．单项选择题1. 设A 为)2(≥n 阶方阵，且1)(-=n A R ，21,αα是0=Ax 的两个不同的解向量，k 为任意常数，则0=Ax 的通解为 ( ).（A ）1αk ；（B ）2αk ；（C ）)(21αα-k ；（D ）)(21αα+k . 2. 当( )时，齐次线性方程组0=⨯x A n m 一定有非零解. （A ）n m ≠；（B ）n m =；（C ）n m >；（D ）n m <.3. 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵记为A ，若存在三阶方阵O B ≠，使得O AB =，则 ( ) .（A ）1=λ且0=B ；（B ）1≠λ且0≠B ；（C ）1≠λ且0=B ；（D ）1=λ且0≠B .4. 设A 为)2(≥n 阶奇异方阵，A 中有一元素ij a 的代数余子式0≠ij A ，则方程组0=Ax 的基础解系所含向量个数为 ( ) .（A ）i ；（B ） 1；（C ）j ；（D ）n .5. 设321,,ααα是b Ax =的三个解向量，3)(=A R ，T )4,3,2,1(1=α， T )3,2,1,0(32=+αα，k 为任意常数，则b Ax =的通解为 ( ) .（A ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11114321k （B ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32104321k （C ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54324321k （D ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛65434321k二．填空题1. 设四阶方阵1(α=A 2α 3α )4α且4321ααααβ-+-=，则方程组β=Ax 的一个解向量为 .2. 方程110021=+++x x x 的通解为 .3. 设方程组b x A n n =⨯+)1(有解，则其增广矩阵的行列式b A = .4. 若⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=+-=+414343232121a x x a x x a x x a x x 有解，则常数4321,,,a a a a 应满足条件 .5. 已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+03121232121321x x x a a 无解，则=a .三. 判断题（正确打V ，错误打×）1. 若54321,,,,ααααα都是b Ax =的解，则543218634ααααα-+-+是0=Ax 的一个解.( )2. 方程组0=⨯x A n m 基础解系的个数等于)(n m A R n ⨯-. ( )3. 若方程组0=Ax 有非零解，则方程组b Ax =必有无穷多解.( )4. 0=Ax 与0=Ax A T 为同解方程组. ( )5. 方程组b Ax =有无穷多个解的充分必要条件是b Ax =有两个不同的解. ( )四. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=++000543321521x x x x x x x x x 的一个基础解系.线性代数第四单元测试题一. 选择题1.设向量组（1）:321,,ααα与向量组（2）:21,ββ等价，则( ). （A ）向量组（1）线性相关; （B ）向量组（2）线性无关; （C ）向量组（1）线性无关; （D ）向量组（2）线性相关.2. 设n 维向量组m ααα,,,21 线性无关，则( ). （A ）向量组中增加一个向量后仍线性无关; （B ）向量组中去掉一个向量后仍线性无关;（C ）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关; （D ）向量组中每个向量任意增加一个分量后仍线性无关. 3. 设三阶行列式0==ij a D ，则( ).（A ）D 中至少有一行向量是其余行向量的线性组合; （B ）D 中每一行向量都是其余行向量的线性组合; （C ）D 中至少有两行向量线性相关; （D ）D 中每一行向量都线性相关.4. 设A ：4321,,,αααα是一组n 维向量，且321,,ααα线性相关，则( ). (A)A 的秩等于4; (B) A 的秩等于n ; (C) A 的秩等于1; (D) A 的秩小于等于3.5. 设β不能由非零向量s ααα,,,21 线性表示，则( ).(A)s ααα,,,21 线性相关; (B)βααα,,,,21s 线性相关; (C)β与某个i α线性相关; (D)β与任一i α都线性无关. 二. 填空题1. 设n 维向量321,,ααα线性相关，则向量组133221,,αααααα---的秩=r .2. 向量组γβα,,线性相关的充分必要条件为 .3. 设21,αα线性无关，而321,,ααα线性相关，则向量组3213,2,ααα 的极大无关组为 .4. 已知)8,,6,2(),4,2,3,1(21k ==αα,线性相关,则=k .5. 已知向量组γβα,,线性相关，而向量组,,γβδ线性无关，则向量组γβα,,的秩为 .三. 判断题（正确打V ，错误打×）1. 如果向量组γβα,,只有一个极大无关组，则γβα,,一定线性无关. ( )2. 设βα,线性相关，0≠γ，则γα+与γβ+也线性相关.( )3. 如果02≠+-γβα,则γβα,,线性无关.( )4. 向量组的秩就是它的极大线性无关组的个数.( )5. 如果向量组),(),,(21d c b a ==αα线性无关，那么向量组),(),,(21d b c a ==ββ一定线性无关. ( )四.已知321ααα,,是3R 的一组基,证明 ,21αα+,32αα+13αα+线性无关.线性代数第五单元测试题一．单项选择题1. 若n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，则矩阵12)21(-A 有一特征值为( ).(A) 22a ； (B)22a - ； (C)22-a ； (D)22--a .2. 若λ为四阶矩阵A 的特征多项式的三重根，则A 对应于λ的特征向量最多有( )个线性无关.(A) 3个； (B) 1个； (C) 2个； (D) 4个.3. 设α是矩阵A 对应于其特征值λ的特征向量，则矩阵AP P 1- 对应于λ的特征向量为( ).(A)α1-P ； (B)αP ； (C)αT P ； (D)α .4. 若A 为n 阶实对称矩阵,且二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 正定，则下列结论不正确的是( ) .(A) A 的特征值全为正；(B) A 的一切顺序主子式全为正；(C) A 的主对角线上的元素全为正；(D)对一切n 维列向量x ，Ax x T 全为正.5. 设B A ,为n 阶矩阵，那么( ).(A) 若B A ,合同，则B A ,相似；(B) 若B A ,相似，则B A ,等价；(C) 若B A ,等价，则B A ,合同；(D) 若B A ,相似，则B A ,合同.二. 填空题1. 若A 为正定矩阵，且E A A T =，则=A .2. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 00110002的伴随矩阵*A 有一特征值为2-，则=x3. 若二阶矩阵A 的特征值为1-和1，则2004A = .4. n 阶方阵A 的特征值均非负，且E A =2，则其特征值必为 .5. 二次型432143212),,,(x ax x x x x x x f -=的秩为2，则=a .三. 判断题（正确打V ，错误打×）1．若112⨯⨯⨯=n n n n x x A ，则2是n n A ⨯的一个特征值. ( )2．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( )3．二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为标准型.( )4. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( )5．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则 Ax x T 不是二次型. ( )四. 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=735946524A 的特征值与特征向量.线性代数第六单元测试题一、填空题(每小题4分，共24分)．1.,定义了线性运算的集合称为________.()2.n T T V 线性变换的象空间的_______.T 称为线性变换的秩3.已知三维向量空间的一组基为()()()123,,.1,1,01,0,10,1,1T T T ααα===则向量()42,0,0Tα=在这组基下的坐标为_____. 124.,T αα线性变换在基下的矩阵为 11122122,a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,T αα则在基下的矩阵是______. 5.,U V 线性空间同构是指_____.36.R 已知的线性变换 ()(),,2,,2T a b c a b c b c a b c =+-++- ,TV 则的维数为______基为______.二、解答题(每小题8分，共16分)．1.,R +全体正实数的集合加法和数乘定义为(1),,,,;k a b ab k a a a b R k R +⊕==∀∈∈(2),,,,;k a b a b k a a a b R k R +⊕=+=∀∈∈??R R +问是否构成上的线性空间为什么232.??R ⨯的下列子集是否构成子空间为什么110(1),,;0b W b c d R c d ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭ 20(2)0,,,.00a b W a b c a b c R c ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=++=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭[]33232 (7),,,1,23x x x x x x P x x x +++++三、分证明是的一个基并求多项式在这个基下的坐标.2201 (7)23R A ⨯⎛⎫= ⎪-⎝⎭四、分求的元素在基123401101111 ,,,.11110110G G G G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标五、下列变换是否线性变换为什么(每小题5分，共10分)．()()31.,,,,2,;R T a b c a b c a =+在中()2.,,,.n n n n M N R T X MX XN X R ⨯⨯=-∀∈设是中取定矩阵4 (10)R 六、分在中取两个基()()()()12341,0,0,00,1,0,00,0,1,00,0,0,1,T T T T e e e e ⎧=⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪⎩ ()()()()12342,1,1,10,3,1,05,3,2,16,6,1,3TT T T αααα⎧=-⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪⎩ 1．求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；2．求向量()1234,,,x x x x 在后一个基下的坐标；3．求在两个基下有相同坐标的向量．4 (6)R 七、分已知的线性变换()(),,,3,334,0,0T a b c d a b c d a b c d =+----+求T 的值域与核的维数和基．[]22 (7)1,,P x T x x 八、分已知的线性变换在基下的矩阵为324202423A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求T 的特征值与特征向量．33 (6).SR ⨯九、分求三阶实对称矩阵构成的线性空间的基与维数(7)十、分函数集合 (){}23210210,,x V a x a x a e a a a R α==++∈ 对于函数的线性运算构成3维线性空间，在3V 中取一个基2123,,,x x x a x e a xe a e ===求微分运算D 在这个基下的矩阵．。

线性代数第一章课后习题答案

习题1.11、写出下列随机试验的样本空间.（1）生产产品直到有4件正品为正，记录生产产品的总件数.（2）在单位园中任取一点记录其坐标.（3）同时掷三颗骰子，记录出现的点数之和. 解：（1）}8,7,6,5,4{ =Ω（2）}1).{(22<+=Ωy x y x（3）}18,,10,9,8,7,6,5,4,3{ =Ω2、同时掷两颗骰子，x、y分别表示第一、二两颗骰子出现的点数，设事件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，B表示“点数之差为零”，C表示“点数之积不超过20”，用样本的集合表示事件AB-，BC，CB .解：)}6.6(),5.5(),4.4(),3.3(),2.2(),1.1{(=-A B{(=2.2(),1.1BC3.3(),)}4.4(),2.2(),1.13.3(),{(CB4.4(),=5.5(),6.6(),)}6.5(),5.6(),6.4(),4.6(),3、设某人向靶子射击3次，用i A表示“第i次射击击中靶子”（3,2,1=i），试用语言描述下列事件.（1）21A A （2）321)(A A A （3）2121A A A A解：（1）第1，2次都没有中靶（2）第三次中靶且第1，2中至少有一次中靶（3）第二次中靶4．设某人向一把子射击三次，用i A 表示“第i 次射击击中靶子”（i =1，2，3），使用符号及其运算的形式表示以下事件：（1）“至少有一次击中靶子”可表示为；（2）“恰有一次击中靶子”可表示为；（3）“至少有两次击中靶子”可表示为；（4）“三次全部击中靶子”可表示为；（5）“三次均未击中靶子”可表示为；（6）“只在最后一次击中靶子”可表示为 .解：（1）321A A A ; (2) 321321321A A A A A A A A A ;(3)323121A A A A A A ; (4) 321A A A ; (5) 321A A A (6) 321A A A5.证明下列各题（1）B A B A =- （2）)()()(A B AB B A B A --=证明：（1）右边=AB A B A -=-Ω）（={A ∈ωω且}B A B -=∉ω=左边（2）右边=）（A B AB B A ()() ={}B A B A =∈∈ωωω或习题1.21.设A 、B 、C 三事件，41)()()(===C P B P A P , 0)(,81)()(===AB P BC P AC P ，求A 、B 、C 至少有一个发生的概率.解：0)(0)(=∴=ABC P AB P).(C B A P )()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P +---++= =21812413=⨯-⨯2.已知5.0)(=A p ，2.0)(=B A P ， 4.0)(=B P ，求（1）)(AB P ，(2))(B A P -， (3))(B A P ， (4))(B A P .解：（1）1.0)()(,==∴=∴⊂A P AB P AAB B A（2）5.0)()(,==∴=∴⊂B P B A P BB A B A3.设)(A P =0.2 )(B A P =0.6 A .B 互斥，求)(B P .解：B A , 互斥，)()()(B P A P B A P +=故4.02.06.0)()()(=-=-=A P B A P B P4.设A 、B 是两事件且)(A P =0.4,8.0)(=B P（1）在什么条件下)(AB P 取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下)(AB P 取到最小值，最小值是多少？解：由加法公式)()()()(B A P B P A P AB P -+==)(2.1B A P -（1）由于当B A ⊂时B B A = ，)(B A P 达到最小，即8.0)()(==B P B A P ，则此时)(AB P 取到最大值，最大值为0.4（2）当)(B A P 达到最大，即1)()(=Ω=P B A P ，则此时)(AB P 取到最小值，最小值为0.25.设,1615)(,81)()()(,41)()()(=======C B A P AC P BC P AB P C P B P A P 求).(C B A P 解：)(1)(ABC P ABC P -=,16116151)(1=-=-=C B A P ).(C B A P )()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P +---++= =167161813413=+⨯-⨯ 习题1.31.从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复）求取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率.解：设事件A ={3张中至少有2张花色相同} 则A ={3张中花色各不相同}602.01)(1)(35211311311334≈-=-=C C C C C A P A P 2.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率.解法一随机试验是从50只铆钉随机地取3个，共有350C 种取法，而发生“某一个部件强度太弱”这一事件只有33C 这一种取法，其概率为19600135033=C C ，而10个部件发生“强度太弱”这一事件是等可能的，故所求的概率为196011960010101===∑=i i p p 解法二样本空间的样本点的总数为350C ，而发生“一个部件强度太弱”这一事件必须将3只强度太弱的铆钉同时取来，并都装在一个部件上，共有33110C C 种情况，故发生“一个部件强度太弱”的概率为1960135033110==C C C p 3.从1至9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，求取出的3个数之积能被10整除的概率.解法一设A 表示“取出的3个数之积能被10整除”，1A 表示“取出的3个数中含有数字5”， 2A 表示“取出的3个数中含有数字偶数”， 214.0786.019495981)(()(1)(1)(1)()(3332121212121=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+--=-=-==A A P A P A P A A P A A P A A P A P ）解法二设”次取得数字为“第5k A k ，3,2,1=k k B k 次取得偶数”，为“第。

线性代数练习册第一章部分答案(本)

AAT AA A2 E
1 .AAT E; 3 . A2 E 2. AT A
AAT E A1 AT ; A2 E A1 A AT A1 A
或或
AAT E AAAT AE AT A
AAT E, A2 E A( AT A) 0, A可逆 A1 A( AT A) A1 0 AT A
2 −3 1 r2 − 2 r1 0 0 1 3 0 2r2 0 −1 −3 r − 2r 0 4 1
2 0 0
−3 1 10
2 −3 1 r1 + 3r2 0 1 0 1 3 0 r1 0 0 0 0 2 −4 −4 −2 −2 3 5 3 4 3 1 0 −1 −4 3 −4 1 −2 0 −2 −1
而 B11 所以，
(1)11 0 1 0 1 0 ， 11 211 0 2 0 2 0
11
1 4 1 0 1 1 4 A11 PB11 P 1 11 1 1 0 2 3 1 1 4 213 1 1 213 1 4 1 1 213 3 1 211 1 1 3 1 211 4 211 2731 2732 683 684
1 0 0
0 5 1 3 0 0
1 （2）B = 3 2 3 解：
−1 −3 −2 −3
3 5 3 4 −1 −3 −2 −3
1 B= 3 2 3 r2 − 3r1 r3 − 2r1 r4 − 3r1
1 0 0 0
3 −1 3 − 4 −8 0 −4 8 0 −3 6 −6 0 −5 10 −10 3 1 0 0 0 1 0 0 −4 −2 0 0 2 −2 0 0 3 2 0 0 −3 2 0 0

MOOC慕课线性代数单元测试及考试答案

1单选(4分)得分/总分∙A.∙B.∙C.4.00/4.00∙D.正确答案：C你选对了2单选(4分)得分/总分∙A.∙B.∙C.∙D.4.00/4.00正确答案：D你选对了3单选(4分)得分/总分∙A.∙B.∙C.∙D.4.00/4.00正确答案：D你选对了4单选(4分)得分/总分∙A.4.00/4.00∙B.∙C.∙D.正确答案：A你选对了5单选(4分)得分/总分∙A.4.00/4.00∙B.∙C.∙D.正确答案：A你选对了6判断(4分)得分/总分∙A.4.00/4.00∙B.正确答案：A你选对了7判断(4分)得分/总分∙A.4.00/4.00∙B.正确答案：A你选对了8判断(4分)得分/总分A.B.4.00/4.00正确答案：得分/A.B.4.00/4.00正确答案：单选(4分)A.∙B.∙C.∙D.4.00/4.00正确答案：D你选对了2单选(4分)得分/总分∙A.∙B.∙C.D.4.00/4.00正确答案：D你选对了3单选(4分)得分/总分∙A.∙B.∙C.∙D.4.00/4.00正确答案：D你选对了4单选(4分)得分/总分∙A.∙B.4.00/4.00∙C.∙D.正确答案：B你选对了5单选(4分)得分/总分∙A.∙B.4.00/4.00∙C.∙D.正确答案：B你选对了6判断(4分)得分/总分∙A.4.00/4.00∙B.正确答案：A你选对了7判断(4分)得分/总分∙A.∙B.4.00/4.00正确答案：B你选对了8判断(4分)得分/总分A.4.00/4.00B.正确答案：得分/A.4.00/4.00B.正确答案：填空单选(4分)得分/总分∙A.∙B.0.00/4.00∙C.∙D.正确答案：A你错选为B 2单选(4分)得分/总分∙A.4.00/4.00∙B.∙C.∙D.正确答案：A你选对了3单选(4分)得分/总分∙A.4.00/4.00∙B.∙C.∙D.正确答案：A你选对了4单选(4分)得分/总分∙A.∙B.4.00/4.00∙C.∙D.正确答案：B你选对了5单选(4分)得分/总分∙A.∙B.∙C.∙D.4.00/4.00正确答案：D你选对了6单选(4分)得分/总分∙A.∙B.∙C.∙D.4.00/4.00正确答案：D你选对了7判断(4分)得分/总分∙A.∙B.4.00/4.00正确答案：B你选对了8判断(4分)得分/总分∙A.∙B.0.00/4.00正确答案：A你错选为B 9判断(4分)得分/总分∙A.0.00/4.00∙B.正确答案：B你错选为AA.4.00/4.00B.正确答案：填空(4分)A.B.1C.2D.-14.00/4.00单选(4分)得分/总分∙A.∙B.4.00/4.00∙C.∙D.正确答案：B你选对了3单选(4分)得分/总分∙A.∙B.4.00/4.00∙C.∙D.正确答案：B你选对了4单选(4分)得分/总分∙A.∙B.∙C.4.00/4.00∙D.正确答案：C你选对了5单选(4分)得分/总分∙A.∙B.4.00/4.00∙C.∙D.正确答案：B你选对了6单选(4分)得分/总分∙A.∙B.∙C.4.00/4.00∙D.正确答案：C你选对了7判断(4分)得分/总分∙A.∙B.4.00/4.00正确答案：B你选对了8判断(4分)得分/总分∙A.∙B.4.00/4.00正确答案：B你选对了9判断(4分)得分/总分∙A.∙B.A.B.4.00/4.00正确答案：填空(4分)得分/总分得分/ A.4.00/4.00 B.C.D.得分/总分∙A.∙B.∙C.4.00/4.00∙D.正确答案：C你选对了3单选(4分)得分/总分∙A.∙B.4.00/4.00∙C.∙D.正确答案：B你选对了4单选(4分)得分/总分∙A.∙B.∙C.∙D.4.00/4.00正确答案：D你选对了5单选(4分)得分/总分∙A.∙B.∙C.4.00/4.00∙D.正确答案：C你选对了6单选(4分)得分/总分∙A.4.00/4.00∙B.∙C.∙D.正确答案：A你选对了7判断(4分)得分/总分∙A.4.00/4.00∙B.正确答案：A你选对了8判断(4分)得分/总分∙A.∙B.4.00/4.00正确答案：B你选对了9判断(4分)得分/总分∙A.4.00/4.00∙B.正确答案：A你选对了10判断(4分)得分/总分∙A.4.00/4.00∙B.正确答案：A你选对了11得分/总分填空(4分)填空(4分)填空(4分)得分/总分单选(4分)得分/ A.4.00/4.00∙B.∙C.∙D.正确答案：A你选对了2单选(4分)得分/总分∙A.∙B.4.00/4.00∙C.∙D.正确答案：B你选对了3单选(4分)得分/总分∙A.∙B.∙C.∙D.4.00/4.00正确答案：D你选对了4单选(4分)得分/总分∙A.4.00/4.00∙B.∙C.∙D.正确答案：A你选对了5单选(4分)得分/总分∙A.∙B.∙C.4.00/4.00∙D.正确答案：C你选对了6单选(4分)得分/总分∙A.∙B.∙C.4.00/4.00∙D.正确答案：C你选对了7判断(4分)得分/总分∙A.∙B.正确答案：A你选对了8判断(4分)得分/总分∙A.4.00/4.00∙B.正确答案：A你选对了9判断(4分)得分/总分∙A.4.00/4.00∙B.正确答案：A你选对了10判断(4分)得分/总分∙A.∙B.得分/总分∙A.1∙B.34.00/4.00∙C.2∙D.-2正确答案：B你选对了2单选(4分)得分/总分∙A.∙B.∙C.4.00/4.00D.正确答案：C你选对了3单选(4分)得分/总分∙A.-44.00/4.00∙B.-1∙C.-2∙D.2正确答案：A你选对了4单选(4分)得分/总分∙A.∙B.C.4.00/4.00∙D.正确答案：C你选对了5单选(4分)得分/总分∙A.4.00/4.00∙B.∙C.∙D.正确答案：A你选对了6单选(4分)得分/总分∙∙B.∙C.∙D.4.00/4.00正确答案：D你选对了7单选(4分)得分/总分∙A.4.00/4.00∙B.∙C.∙正确答案：A你选对了8单选(4分)得分/总分∙A.4.00/4.00∙B.∙C.∙D.正确答案：A你选对了9单选(4分)得分/总分。

线性代数第一章测试题

线性代数第一章测试题1. 向量空间的定义：- 简述向量空间的定义，并给出一个例子。

2. 向量的线性组合：- 解释什么是向量的线性组合，并给出一个具体的例子。

3. 基和维数：- 描述什么是基（Basis）和维数（Dimension），并解释它们之间的关系。

4. 线性相关与线性无关：- 给出线性相关和线性无关的定义，并用一组向量来说明它们。

5. 向量空间的子空间：- 解释什么是向量空间的子空间，并给出一个例子。

6. 线性变换：- 定义线性变换，并给出一个线性变换的例子。

7. 矩阵的秩：- 描述矩阵的秩是什么，并解释如何计算一个矩阵的秩。

8. 行列式：- 解释行列式的概念，并给出计算2x2和3x3矩阵行列式的方法。

9. 逆矩阵：- 定义什么是逆矩阵，并说明一个矩阵何时有逆矩阵。

10. 特征值和特征向量：- 描述特征值和特征向量的概念，并给出一个计算矩阵特征值和特征向量的例子。

11. 线性方程组的解：- 解释线性方程组的解集，并讨论其解的性质。

12. 矩阵的运算：- 给出矩阵加法、乘法和转置的定义，并给出相应的例子。

13. 正交性和正交基：- 解释正交性和正交基的概念，并给出一个正交基的例子。

14. 投影矩阵：- 定义投影矩阵，并说明如何使用它来投影向量。

15. 线性变换的几何解释：- 描述线性变换在几何上的解释，并给出一个具体的例子。

16. 矩阵的分解：- 简述矩阵分解的概念，并给出LU分解和QR分解的例子。

17. 范数：- 解释向量范数的概念，并给出1-范数、2-范数和无穷范数的定义。

18. 线性映射的矩阵表示：- 描述如何将一个线性映射表示为矩阵。

19. 线性代数在实际问题中的应用：- 给出一个实际问题，并展示如何使用线性代数的概念来解决它。

20. 附加题：- 给出一个矩阵，并要求学生找到它的逆矩阵，如果存在的话。

如果不存在，解释为什么。

线代第一章测试题及答案

线代第一章测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项不是线性代数的研究对象？A. 向量空间B. 线性方程组C. 矩阵D. 微分方程答案：D2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行（或列）的最大数目D. 矩阵的元素个数答案：C3. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 奇异矩阵D. 任意矩阵答案：B4. 向量空间的基是指：A. 空间中的任意一组向量B. 空间中的一组线性无关的向量C. 空间中的一组线性相关的向量D. 空间中的一组正交向量答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的元素个数称为矩阵的______。

答案：阶数2. 如果一个矩阵的行向量组线性无关，则该矩阵是______矩阵。

答案：满秩3. 向量空间中，一组向量如果满足线性组合的系数全为零，则称这组向量是______的。

答案：线性无关4. 一个n阶方阵的行列式等于______。

答案：0三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述什么是线性方程组的解。

答案：线性方程组的解是指满足方程组中所有方程的未知数的取值。

2. 请解释什么是矩阵的转置。

答案：矩阵的转置是指将矩阵的行向量变成列向量，列向量变成行向量，即交换矩阵的行和列。

四、计算题（每题15分，共40分）1. 计算矩阵A的行列式，其中A = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]。

答案：\[ \text{det}(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 \]2. 已知矩阵B = \[\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2\end{bmatrix}\]，求B的逆矩阵。

答案：\[ B^{-1} = \frac{1}{(2)(2) - (1)(4)} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -0.5 \\-2 & 1 \end{bmatrix} \]。

线性代数第一章习题解答

习题 1.11．计算下列二阶行列式．（1）5324；（2）ααααcos sin sin cos ．解（1）146205324=−=；（2）ααααcos sin sin cos αα22sin cos −=．2．计算下列三阶行列式．（1）501721332−−；（2）00000d c b a ；（3）222111c b a c b a ；（4）cb a b a ac b a b a a c b a ++++++232．解（1）原式62072)5(1)3(12317)3(301)5(22−=××−−××−−××−××−+××+−××=（2）原式00000000000=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=d c b a c a d b ；（3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc −−−=−−−++=；（4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +−++++++++=3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++−+++−．3．用行列式解下列方程组．（1）⎩⎨⎧=+=+35324y x y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++82683321321321x x x x x x x x x ；（3）⎩⎨⎧=−=+0231322121x x x x ；（4）⎪⎩⎪⎨⎧=−+=+=−−031231232132321x x x x x x x x ．解（1）75341−==D ，253421−==D ，333212−==D 所以721==D D x ，732==D D y ．（2）2121111113−==D ，21281161181−==D ，41811611832−==D ，68216118133−==D ；所以111==D D x ，222==D Dx ，333==DD x ．（3）132332−=−=D ，220311−=−=D ，303122−==D 所以1321==D D x ，1332==D D y ．（4）8113230121−=−−−=D ，81102311211−=−−−=D ，81032101112=−−=D ；20131301213=−=D 所以111==D D x ，122−==D Dx ，333==DD x ．4．已知xx x x x x f 21112)(−−−=，求)(x f 的展开式．解xxx x x x f 21112)(−−−=22)(11)(1)(111)(2)()(2⋅⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−−⋅⋅+−⋅⋅−+⋅−⋅=x x x x x x x x x x xx x 23223+−−=5．设b a ,为实数，问b a ,为何值时，行列式010100=−−−a b b a ．解01010022=−−=−−−b a a b b a 0,022==⇒−=⇒b a b a ．习题 1.21．求下列各排列的逆序数．（1）1527364；（2）624513；（3）435689712；（4）)2(42)12(31n n L L −．解（1）逆序数为14；62421527364it ↓↓↓↓↓↓↓ （2）逆序数为5；311624513it ↓↓↓↓↓↓ （3）逆序数为19；554310010435689712it ↓↓↓↓↓↓↓↓↓（4）逆序数为2)1(−n n ：2122210000421231↓↓−−−↓↓↓↓↓−n n n n t n i L L L L2．在由9,8,7,6,5,4,3,2,1组成的下述排列中，确定j i ,的值，使得（1）9467215j i 为奇排列；（2）4153972j i 为偶排列．解（1）j i ,为分别3和8；若8,3==j i ，则93411)946378215(=+++=τ，为奇排列；若3,8==j i ，则1234311)946873215(=++++=τ，为偶排列；（2）j i ,为分别6和8；若8,6==j i ，则205135231)397261584(=++++++=τ，为偶排列；若6,8==j i ，则215335131)397281564(=++++++=τ，为奇排列；3．在五阶行列式)det(ij a =D 展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？（1）5145342213a a a a a ；（2）2544133251a a a a a ；（3）2344153251a a a a a ；（4）4512345321a a a a a ．解（1）因5)32451(=τ，所以前面带“-”号；（2）因7)53142(=τ，所以前面带“-”号；（3）因10)12543()53142(=+ττ，所以前面带“+”号；（4)因7)13425()25314(=+ττ，所以前面带“-”号．4．下列乘积中，那些可以构成相应阶数的行列式的项?为什么？（1）12432134a a a a ；（2）14342312a a a a ；（3）5514233241a a a a a ；（4）5512233241a a a a a ．解（1）可以，由于该项的四个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（2）不可以，由于14342312a a a a 中的1434a a 都位于第四列，所以不是四阶行列式的项；（3）可以，由于该项的五个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（4）不可以，由于5512233241a a a a a 中没有位于第四列的元素。

《线性代数》第1章习题详解

一、习题1参考答案1. 求下列排列的逆序数,并说明它们的奇偶性.（1）41253；（2）3712456；（3）57681234；（4）796815432 解（1）()4125330014τ=+++= 偶排列（2）()37124562500007τ=+++++= 奇排列（3）()576812344544000017τ=+++++++= 奇排列（4）()7968154326755032129τ=+++++++= 奇排列 2. 确定i 和j 的值,使得9级排列.(1)1274569i j 成偶排列; (2)3972154i j 成奇排列. 解 (1) 8,3i j == (2) 8,6i j == 3.计算下列行列式.（1） 412－3－（2） 2211a a a a ++-1 （3） cos sin sin cos x xx x -（5）2322a a bab （6） 1log log 3b aab （7） 000xy x z y z--- 解（1）131523125=⨯-⨯=- （2）4(3)2(1)4212=-⨯--⨯=-－3－（3）()22322211(1)11a a a a a a a a a a =-++-=--++-1 （4）22cos sin cos sin 1sin cos x x x x x x -=+= （5）233232220a a a b a b bab =-=（6）1log 3log log 2log 3b b aa ab a b=-=(7) 0000000xyxz xyz xyz y z -=+----=--4. 当x 取何值时3140010xx x≠ ？解因为314010xx x2242(2)x x x x =-=-所以当0x ≠且2x ≠时，恒有3140010xx x ≠5. 下列各项，哪些是五阶行列式ij a 中的一项；若是，确定该项的符号.1225324154(1);a a a a a 3112435224(2);a a a a a 4221351254(3)a a a a a解 (1)不是 (2)不是 (3)不是6. 已知行列式11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a ，写出同时含21a 和21a 的那些项，并确定它们的正负号.解 12213443a a a a (2143)2τ= 符号为正； 14213243a a a a (2134)1τ= 符号为负. 7. 用行列式定义计算下列行列式.(1) 11121314152122232425313241425152000000a a a a a a a a a a a a a a a a (2)020200002200(3) 01000200001000n n-解（1）行列式的一般项为12345()1122334455(1)j j j j j j j j j j a a a a a τ-若345,,j j j 中有两个取1,2列，则必有一个取自3,4,5列中之一的零元素，故该行列式的值为零，即原式0=（2）行列式中只有一项(3241)13223441(1)16a a a a τ-=不为零，所以原式16= （3）行列式的展开项中只有(2,3,4)11223341,1(1)(1)!n n n n n a a a a a n τ---=- 一项不为零，所以原式1(1)!n n -=-8. 用行列式性质计算下列行列式.(1) 111314895（2）1234234134124123（3）41241202105200117⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（4）2141312112325062⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5）ab ac aebd cd debf cf ef---（6）a b aa a bb a aa b a解 (1) 111314895321331r rr r--111021013--232r r-111005013--23r r↔111013005---5=(2)12342341341241232341c c c c+++10234103411041210123123413411014121123=121314r rr rr r-+-+-+123401131002220111------34222r rr r-+123401131000440004---160=(3)4124120210520011712r r↔12024124105200117-2131410r rr r--120207240152200117-----24r r↔120201170152200724----3242157r rr r++1202011700178500945342r r-12020117001500945=--(4) 2141312112325062-13r r↔1232312121415062--213141325r rr rr r---12320775032301098----------232r r -12320131032301098-3242310r r r r --123201310076002118----0=(5) abac ae bdcd de bfcfef---每列都提取公因式bc eadf bc e b c e ---每列都提取公因式111111111adfbce --- 1213r r r r ++11102020abcdef -23r r ↔11120002abcdef --4abcdef = (6）0000a b a a a b b a a a b a 4321r r r r +++2222000a b a b a b a ba a bb a a a b a ++++()11110200aa b a b b a a a ba =+121314ar r br r ar r -+-+-+()1111002000a b aa b a b b a b b a a --+----- 3232r r r r +-()11110020000a b aa b b b b b --+---=()2111100201100101a b a b a b --+--- 3424r r r ar ++()211110002200110101b a b a b -+---24c c ↔()211110101200110002b a b b a-+---()()2422224b a b b a b a b =+-=-9. 证明下列等式.(1) 111222222222111333333333a b c bc a c ab a bc a b c b c a c a b a b c =-+(2)11122122111211121112111221222122212221220000a a a a a a b b c c b b a a b b c c b b = (3) ax byay bzaz bxay bzaz bx ax by az bxax by ay bz +++++++++=33()xy z a b y z x zxy+(4) 222244441111a b c da b c d a b c d ()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()c d a b c d ⋅-+++ 证明（1）左式123123123321213132a b c b c a c a b a b c a b c a b c =++--- 133321233212332()()()a b c b c b a c a c c a b a b =---+-=222222111333333b c a c a b a b c b c a c a b -+=右式（2）1112212211121112212221220000a a a a c c b b c c b b 按第一行展开222111121112121111122221222121220000a a a c b b a c b b c b b c b b - 111211121122122121222122b b b b a a a a b b b b =-1112111221222122a ab b a a b b =(3) ax byay bzaz bxay bzaz bx ax by az bxax by ay bz +++++++++ 按第一列分开x ay bzaz bxa y az bx ax by z ax by ay bz ++++++ y ay bzaz bxb z az bx ax by x ax by ay bz +++++++2(0)xay bz z ay az bx x z ax by y +++++分别再分(0)yz az bxb z x ax by x y ay bz++++33x y z y z x a y z x b z x y zxy x yz +分别再分332(1)x y z x y za yz x b yz x z xy zxy=+-=右边 (4) 222244441111a b c d a b c d a b c d 213141c c c c c c --- 222222244444441000a b a c a d aa b a c a d a a b a c a d a --------- 按第一列展开222222222222222()()()b ac ad ab ac ad a b b a c c a d d a --------- 每列都提取公因式222111()()()()()()b ac ad a b a c a d a b b a c c a d d a ---++++++ 1213c c c c -+-+()()()b ac ad a ---222221()()()()()b ac bd bb b ac c a b b ad d a b b a +--++-++-+ 按第一列展开()()()()()b ac ad a c b d b -----222211()()()()c bc b a c bd bd b a d b ++++++++()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()c d a b c d -+++10.设行列式30453221--,求含有元素2的代数余子式的和. 解含有元素2的代数余子式是12222313A A A A +++()()()()345453343050111121212222--=-+-+-+---11161026=---=- 11. 设行列式3040222207005322=--D ,求第四行各元素余子式之和的值是多少? 解解法一：第四行各元素余子式之和的值为41424344M M M M +++040340300304222222222222700000070070=+++---780314(7)(1)(2)28=-⨯++⨯+-⨯-⨯-=-解法二：第四行各元素余子式之和的值为4142434441424344M M M M A A A A +++=-+-+3040222207001111=---按第3行展开32340(7)(1)222111+----232r r +340704111--按第2行展开34282811-=---12.已知 1012110311101254-=-D ,试求: (1) 12223242A A A A -+- (2) 41424344A A A A +++ 解 (1)方法一：虽然可以先计算处每个代数余子式,然后再求和,但是这很烦琐.利用引理知道，第一列每个元素乘以第二列的代数余子式的和等于零。

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线性代数第一章行列式试题及答案

线性代数第一章行列式试题及答案如何复习线形代数线性代数这门课的特点主要有两个:一就是试题的计算量偏大,无论就是行列式、矩阵、线性方程组的求解,还就是特征值、特征向量与二次型的讨论都涉及到大量的数值运算,稍有不慎,即会出错;二就是前后内容紧密相连,纵横交织,既相对独立又密不可分,形成了一个完整、独特的知识体系、在掌握好基本概念、基本原理与基本方法的前提下,下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题、一、加强计算能力训练,切实提高计算的准确性二、扩展公式结论蕴涵,努力探索灵活解题途径三、注重前后知识联系,努力培养综合思维能力线性代数不仅概念多,公式结论多,而且前后知识联系紧密,环环相扣,几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查四、加强综合题型训练,全面系统地掌握好知识计算能力的提高不就是一朝一夕的事,除了要不断归纳总结一些重要公式与结论并加以巧妙、适当的应用外,还要靠平时的积累,要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯,只要持之以恒、坚持练习,计算准确性的提高并不就是一件困难的事、而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习,第一章行列式一、概念复习1、形式与意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:a11 a12 (1)a21 a22 (2)………、a n1 a n2… a nn如果行列式的列向量组为α1, α2, …,αn,则此行列式可表示为|α1, α2, … ,αn|、意义:就是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值、请注意行列式与矩阵在形式上与意义上的区别、当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同、)每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|、行列式这一讲的的核心问题就是值的计算,以及判断一个行列式的值就是否为0、2、定义(完全展开式)一般地,一个n阶行列式a11 a12 (1)a21 a22 (2)………a n1 a n2… a nn的值就是许多项的代数与,每一项都就是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为:nnjjjaaaΛ2121,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…jn构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值就是n!项的代数与。

(精选)线性代数行列式第一章练习题答案

《线性代数》(工)单元练习题一、填空题1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A|=5，则|A*|=__125____，|2A|=__80___，|1-A |= 1/52、若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 03、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 .4、当a 为 1 or 2 时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解.5、设=-+----=31211142,410132213A A A D 则 .0二、单项选择题1．设）（则=---===333231312322212113121111333231232221131211324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ；（B)―12 ；（C ）12 ；（D ）12．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx有非零解，则k = （ A ）（A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-23．设A=792513802-，则代数余子式 =12A ( B )(A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11-4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4，则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式1、111a b c b c a c a b +++ ( 0 ) 2、. 1212301112042411D --=----（-10）3、1111111111111111x x y y+-+- (x 2y 2) 4、 3321322132113211111b a a a a b a a a a b a a a a +++(b 1b 2b 3)5、3222232222322223ΛM M M M M ΛΛΛ=n D （2n+1）三、已知n 阶行列式12312001030100n nD n=LLLM M M O M L，求第一行各元素的代数余子式之和. 解：A 11+A 12+…+A 1n 11111200111(1)!103023100n nn==----⋅LLL LM M M O M L（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。

线性代数第一章习题答案

习题 1-11．计算下列二阶行列式：（1）xx 11；（2）ααααsin cos cos sin -．解（1）()11112-=-=x x xx ．（2）1)cos (sin sin cos cos sin 22=--=-αααααα．2．计算下列三阶行列式：（1）121223112--；（2）00000d c b a ；（3）222111c b a c ba；（4）cb a b a ac b a b a a cb a ++++++232．解（1）原式5)2(2213)1(12112)1()2(31122=-⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯-+-⨯⨯+⨯⨯=．（2）原式00000000000=⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=dc b a c ad b ．（3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc ---=---++=．（4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +-++++++++=3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++-+++-．3．证明下列等式：=333231232221131211a a a a a a a a a 3332232211a a a aa 3331232112a a a a a -3231222113a a a a a +．证明 333231232221131211a a a a a a a a a 322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=)()()(312232211331233321123223332211a a a a a a a a a a a a a a a -+---=3332232211a a a a a =3331232112a a a a a -3231222113a a a a a +．4．用行列式解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=+=+643534y x y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=++-=+-1236132321321321x x x x x x x x x ．解（1）74334==D ，246351==D ，963542==D ，所以 721==D D x ，792==D D y ．（2）23213111132-=--=D ，232111161311-=----=D ， 462131611122-=---=D ，691136111323-=---=D ；所以 111==D D x ，222==D Dx ，333==DD x ．习题 1-21．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）4321；（2）2314；（3）1243；（4）3142；（5）)2(42)12(31n n -；（6）2)22()2()12(31 --n n n ．解（1）是标准排列，其逆序数为0；（2）逆序有（4 1），（4 3），（4 2），（3 2），所以逆序数为4．（3）逆序有（3 2），（3 1），（4 2），（4 1）,（2 1），所以逆序数为5．（4）逆序有（2 1），（4 1），（4 3），所以逆序数为3．（5）逆序有（3 2） 1个（5 2），（5 4） 2个（7 2），（7 4），（7 6） 3个 …………………（)12(-n 2），（)12(-n 4），（)12(-n 6），…，（)12(-n )22(-n ） )1(-n 个所以逆序数为 2)1(21-=+++n n n ．（6）逆序有（3 2） 1个（5 2），（5 4） 2个 …………………（)12(-n 2），（)12(-n 4），（)12(-n 6），…，（)12(-n )22(-n ） )1(-n 个（4 2） 1个（6 2），（6 4） 2个 …………………（)2(n 2），（)2(n 4），（)2(n 6），…，（)2(n )22(-n ） )1(-n 个所以逆序数为 )1(12)1()1(21-=+++-+-+++n n n n ．2．写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项．解由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p a a a a τ-，其中τ为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++，所以44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.3．在5阶行列式)det(ij a =D 展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？（1）5145342213a a a a a ；（2）2544133251a a a a a ；（3）2344153251a a a a a ；（4）4512345321a a a a a ．解（1）因5)32451(=τ，所以前面带“-”号．（2）因7)53142(=τ，所以前面带“-”号．（3）因10)12543()53142(=+ττ，所以前面带“+”号．（4) 因7)13425()25314(=+ττ，所以前面带“-”号．4．若n 阶行列式)det(ij a =D 中元素ij a ),,2,1,(n j i =均为整数，则D 必为整数．这一结论对吗？为什么？解这一结论正确，因整数经乘法运算后仍为整数，而D 为元素的乘法的代数和，因此结果仍为整数．5．证明：若n 阶行列式中有n n -2个以上的元素为零，则该行列式值为零．证明因n 阶行列式中有2n 个元素，而有n n -2个以上元素为零，故不为零的元素的个数小于n ．从而，在行列式展开式中的n 个元素的乘积项中至少有一个元素为零，所以乘积为零，代数和也为零，故该行列式的值为零．6．用行列式定义计算下列行列式：（1）0001100000100100；（2）0100111010100111；（3）nn 0000000010020001000-；（4）011,22111,111n n n n a a a a a a --．解（1）在展开式43214321)1(p p p p a a a a∑-τ中，不为0的项取自于113=a ，122=a ，134=a ，141=a ，而4)3241(=τ，所以行列式值为11111)1(4=⨯⨯⨯-．（2）在展开式43214321)1(p p p p a a a a∑-τ中，取14344==a a p ，则33p a 取为⎪⎩⎪⎨⎧====1134332333a a a a p p ，则⎪⎩⎪⎨⎧====1122224222a a a a p p ，11p a 取为111=a ，除此之外的项均为0．即行列式 4334221143322411)1()1(a a a a a a a a D ττ-+-=，而 2)1423(=τ，1)1243(=τ，所以 0)1()1(2=-+-=D ．（3）在展开式n np p p a a a2121)1(∑-τ中，不为0的项取为11,1=-n a ，22,2=-n a ，…，11,1-=-n a n ，n a nn =，而 2)1)(2()1)2)(1((--=--n n n n n τ，所以 !)1(2)1)(2(n D n n ---=．（4）在展开式n np p p a a a 2121)1(∑-τ中，不为0的项取n a 11,2-n a …1n a nn a ．而2)1()1)2)(1((-=--n n n n n τ，所以 11,212)1()1(n n n n n a a a D ---=．习题 1-31．设0333231232221131211≠==a a a a a a a a a a D ，据此计算下列行列式：（1）131211232221333231a a a a a a a a a ；（2）333231232221131211a ka a a ka a a ka a ；（3）333231131211232221444333222a a a a a a a a a ；（4）323233312222232112121311253225322532a a a a a a a a a a a a ------．解（1）a a a a a a a a a a r r a a a a a a a a a -=-↔33323123222113121131131211232221333231；（2）ka a a a a a a a a a k k k r a ka a a ka a a ka a =≠÷3332312322211312112333231232221131211)0(，当0=k 时，结论仍成立．（3）33323123222113121121333231131211232221444222333444333222a a a a a a a a a r r a a a a a a a a a -↔ a a a a a a a a a a r r r 24)24(423333231232221131211321-=-÷÷÷．（4）3233312223211213113232323331222223211212131123223223225253225322532a a a a a a a a a c c a a a a a a a a a a a a ---------- a a a a a a a a a a c c a a a a a a a a a c c c 121212)2(3233323123222113121132323331222321121311321=↔-÷÷÷． 2．用行列式性质计算下列行列式：（1）111210321；（2）333222111321321321a a a a a a a a a +++++++++；（3）efcfbfde cd bdaeac ab ---；（4）yxyx x y x y yx y x+++；（5）28947104546333412------；（6）2605232112131412-．解（1）0111210000111210321321=--r r r ．（2）02112112113213213213211213333222111=+++--+++++++++a a a cc c c a a a a a a a a a ．（3）0202001321c e ec b adf rr r r e c be c b ec b adf ef cfbfde cd bdae ac ab-++---=---abcdef ec ecbadf r r 420002032=--↔．（4）yxyx x y x y x y x y y x c c c yxyx x y x y y x y x222222321++++++++++xy yy x y x y y x r r r r ---++--00)(21223 2)22()()22(y y x x y x y x +--+=)(2))((23322y x y x xy y x +-=--+=．（5）由于行列式中的第一列和第三列元素对应成比例，所以028947104546333412=------．（6）000002321121314122605232112131412214=----r r r ．3．把下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值：（1）3351110243152113------；（2）107825513315271391-------．解：（1）2113110243153351335111024315211341-------↔------r r 11101605510019182403351325141312---------+r r r r r r 111016019182401120335155323------↔÷r r r 2000320011203351533200760011203351581243432423-----↔+------+r r r r r r r r 402)2(215=⨯-⨯⨯⨯-=．（2）78130210017251307139121078255133152713*********------++---------r r r r r r r31224000210017251307139117324-=-----++r r r ．4．用行列式性质证明下列等式：（1）yxzx zyz y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bzay bxaz bz ay by ax )(33+=+++++++++；（2）333222111333332222211111c b a c b a c b a c c b kb a c c b kb a c c b kb a =++++++；（3）0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a ．证明（1）bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开列按第左边1bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ bzay y zby ax x y bxaz z xab bz ay x zby ax z ybxaz y xa +++++++22分开列分别再按第bzay y xby ax x z bxaz z y b bz ay x xby ax z zbx az y y ab ++++++++2 z y z y x yx z xab y y z x x y zz xb a z x z y zy xy xb a y xzx z yzy xa 22233+++分开列分别再按第 zy xy x z x z yb y y x x x zzz yab z x xy z zxy yab y xxx z zzy y b a 3222++++ zy x y x zx z yb y x zx z yzy x a 330000+++++= =-+=y x z x zy zy xb y xzx z yzy x a 323)1(右边．（2）左边=-+++-3331221112133331222111132c b a c b a c b a kc c c b kb a c b kb a c b kb a c c 右边．（3）左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 062126212621262123222221312=++++--d d c cb b a ac c c c ．5．计算下列n 阶行列式：（1）)1(3210321102113011321--------------n nn n n n n n；（2）1121122112111211111-----+++n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a；（3）a b b b b a b b bb a b bb b a ；（4）11111000000000112211-----n n a a a a a a ；（5）xa a a a a a a x a a a a a a a x a a a a a a a xa a a a a a a a n n n nn n n n n n n n -+-+-+-+-------113211232113221132111321．解（1）)1(3210321102113011321--------------n nn n n n n n!0000210002)1(23002)1(262021321,,3,21n nn n nn n n nn n i r r i =----=+．（2）1121122112111211111-----+++n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a∏-=--==-11121121100000001,,3,2n i i n n i b b b b a a a ni r r．（3）a b b b b a b b b b a b bb b a ab b bn a b b a b b n a ba b n a bb b b n ac c n i i)1()1(0)1()1(21-+--+-+-++∑= ni r r i ,,21 =-ba b a b a b b b b n a ----+00000)1()(])1([1b a b n a n --+=-．（4）11111000000000112211-----n n a a a a a a nn a a a n i c c n i i 13210000000000001,,2,11211-----=+-+∏-=--=111)1(n i i n a n ．（5）x a a a a a a a xa a a a a a a x a a a a a a a xa a a a a a a a n n n nn n n n n n n n -+-+-+-+-------113211232113221132111321xa xa x a x a a a a a a n i r r n n n n i ----=----12211321100000000000,,3,2)())((1211x a x a x a a n ---=- ．6．解下列方程：（1）0913251323221321122=--x x ；（2）0)1(11111)2(111112111111111111=------xn x n x x．解（1）因22341222400051320010*******2513232213211x x r r r r x x ------1221)4)(1(22x x --=0)4)(1(322=--=x x 所以解为 1±=x ，2±=x ．（2）因左边n i r r i ,,3,21 =-xn x n x x ------)2(00000)3(000001000000111110])2[()1(=----=x n x x ，所以解为 2,,2,1,0-=n x ．习题 1-41．求行列式342102321-=D 中元素3和4的余子式和代数余子式．解 3的余子式8420213==M ，3的代数余子式8)1(133113=-=+M A ． 4的余子式5123132-==M ，4的代数余子式5)1(322332=-=+M A ． 2．已知210004321333231232221131211==a a a a a a a a a D ，求333231232221131211a a a a a a a a a ．解：因为21)1(1000432133323123222113121111333231232221131211=-⋅==+a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ，所以 21333231232221131211=a a a a a a a a a ．3．已知四阶行列式D 的第3行元素依次为1,1,2,2-，它们的余子式依次为4,3,2,5，求行列式D ．解将行列式D 按第三行元素降阶展开，有3434333332323131A a A a A a A a D +++=4)1()1(3)1(12)1(25)1(243332313⋅-⋅-+⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅=++++13=4．设四阶行列式的第二行元素依次为0,1,,2x ，其余子式分别为y ,2,6,2-，第三行的各元素的代数余子式分别为5,1,6,3，求此行列式．解因03424332332223121=+++A a A a A a A a ，即05011632=⨯+⨯++⨯x ，所以 67-=x ．从而 2424232322222121A a A a A a A a D +++=y x ⋅-⋅+-⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅=++++42322212)1(0)2()1(16)1(2)1(2 97262-=--=+-=x ．5．按第三行展开并计算下列行列式：（1）5021011321014321---；（2）00000000052514241323125242322211514131211a a a a a a a a a a a a a a a a ．解：（1）原式501211431)1()1(502210432)1(33213--⋅-+--⋅=++ 021101321)1(0521201421)1()1(4333++-⋅+--⋅-+24181218-=-+-=．（2）原式=0000)1(000000)1(514125242321151413112323524225242322151413121331a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++-⋅+-⋅ 353433000A A A ⋅+⋅+⋅+00025242315141341232524231514134231a a a a a a a a a a a a a a a a += 0=．6．证明下列各等式：（1）322)(11122b a b b a ab ab a -=+；（2）444422221111d c b a d c b a dc b a ))()()()()()((d c b a d c d b c b d a c a b a +++------=；（3）n n n n n n na x a x a x a x a a a a xx x ++++=+-------1111221100000100001．证明（1）左边122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((ab a a b a b +--==-=3)(b a 右边．（2）方法一左边44444442222222001ad a c a b a a d a c a b a a d a c a b a---------=)()()(4,3,22222222222222221a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b i c c i ---------=-)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c a b a d a c a b ++++++---=))()((1312a d a c a b c c c c -----)()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ ))()()()((b d b c a d a c a b -----=)()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-．方法二记D d c b a d c b a d c b a =444422221111，构造矩阵444443333322222111111x d c b a x d c b ax d c b a xd c b aD =，则1D 是范德蒙德行列式，其结果为))()()()()()()()()((1d x c x b x a x c d b d a d b c a c a b D ----------=，其中3x 的系数为))()()()()()((d c b a c d b d a d b c a c a b +++-------．由行列式的降阶展开法则知，55445335225151A x A x A x xA A D +-+-=，其中3x 的系数D A =-45，所以有))()()()()()((d c b a c d b d a d b c a c a b D +++------=，即444422221111d c b a d c b a dc b a ))()()()()()((d c b a d c d b c b d a c a b a +++------=．（3）用数学归纳法证明当2=n 时，2121221a x a x a x a x D ++=+-=，命题成立．假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D列展开按第则1n D1110010001)1(11----+=+-x x a xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1所以，对于n 阶行列式命题成立.7．计算下列各行列式：（1）3214214314321111；（2）ab c d e ed c b a 010000010000010；（3）328814412211111x x x--；（4）nn a a a a a 0100000000000010001321-．解（1）原式12312112112341213121200014,3,21------=------=-i c c i12304012112------r r 1613114=----=．（2）依次按第二行、第三行、第四行降阶展开，有abc d e edc ba 0100000100001022e a a e e a -==．（3）由范德蒙德行列式的结果知，328814412211111x x x--)4)(1(12)12)(22)(12)(2)(2)(1(2--=-----+--=x x x x x ．（4）依次按第1,,3,2-n 行降阶展开，有nn a a a a a 000100000000000010001321 -)1(1111321132-==--n n n n a a a a a a a a a a ．8．计算下列各行列式（k D 为k 阶行列式）：(1)xyy x x y x y x n 0000000000000000=D ；(2)n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=1111321321321321D ；(3))det(ij n a =D ，其中||j i a ij -=；(4)nn a a a +++=11111111121D ，其中021≠n a a a ；(5)1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a n n n n n n n ------=---+D ；（提示：利用范德蒙德行列式的结果．）(6)nnnnn d c d c b a b a11112=D ，其中未写出的元素都是０．解（1）按第１列降阶展开，有yxy y x yy xyx x y x x D n n0000000000)1(00000000001+-+=n n n y x 1)1(+-+=．（2）nn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=1111D 3213213213211001010100111,23211---+=-ni a a a a ni r r∑=+ni ic c 211010*********n ni ia a a a ∑=+∑=+=ni i a 11．（3）ji a ij -=0432140123310122210113210)det(--------==n n n n n n n n a D ij n1,,2,11-=-+n i r r i i 0432111111111111111111111 --------------n n n nn i c c i ,3,21=+152423210222102210002100001---------------n n n n n212)1()1(----=n n n ．（4）nn n nn ni na a a a a a a n i c c D +----=--11001001001,,2,1121Xa a a r a a r n n i i i n n 010010010012111--=∑+（其中∑-=++=111n i in n a aa X ）)11()11(12111121∑∑=-=-+=++=ni in n i i n n n a a a a a a a a a a ．（5）对第1+n 行，依次与上面相邻的行交换，直至交换到第１行，共需交换n 次．再把新的第1+n 行，依次与上面相邻的行交换，直至交换到第２行，共需交换1-n 次．依次类推，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nn nn n n n n n n a a a n a a a n a a a D )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-⋅-⋅-=---=1121)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i ．（6）nnnnn d c d c b a b a D11112=n n n n n nd d c d c b a b a a 0011111111----展开按第一行)1(1111111112nn n n n nn c d c d c b a b a b ----+-+2222---n n n n n n D c b D d a 展开都按最后一行，由此得递推公式222)--=n n n n n n D c b d a D ，所以 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(，而 111111112c b d a d c b a D -==，所以 ∏=-=ni i i iin c b da D 12)(．习题 1-51．用克拉默法则解下列方程组：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+067452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x ；（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-++-=--+-=---=+++4326324231324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ；（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=+++-=+-+=+++25320112324254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ．解（1）276741212060311512=-----=D ， 8167402125603915181=------=D ，10867012150609115822-=-----=D ， 2760412520693118123-=---=D 2707415120903185124=-----=D ，由克拉默法则知，方程组的解为311==D D x ，422-==D D x ，133-==D D x ，144==D Dx ．（2）1531321113221133211-=------=D ， 15313241136211432111=---------=D ，15313411162214332112=--------=D ， 014211632241331113=-------=D ，15343216132411312114-=------=D ；由克拉默法则知，方程组的解为111-==D D x ，122-==D D x ，033==D D x ，144==D Dx ．（3）14251321121341211111=----=D ，142513211210412211151=------=D 284512211203412111512=-----=D ， 426523211013422115113=----=D ， 14221320213212151114-=-----=D ，由克拉默法则知，方程组的解为111==D D x ，222==D D x ，333==D D x ，144-==DDx ． 2．设曲线332210x a x a x a a y +++=通过四点),4,2(),3,1(),3,3()3,4(-，求系数3210,,,a a a a ．解由于曲线过四点，所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=+++=+++=+++36416432793484233210321032103210a a a a a a a a a a a a a a a a而126416412793184211111==D ，3664164327933842411131=-=D ，1864163127931844111312-=-=D ， 246434127331842113113=-=D ，6316413931442131114-=-=D ，所以310==D D a ，2321-==D D a ，232==D D a ，2143-==D D a ． 3．证明：对任意实数k ，线性方程组⎩⎨⎧=-+-=+-0)1(20)1(2121x k x kx x k 只有零解．证明因系数行列式012)1(12122≠+=+-=---=k k k k k k D ，所以线性方程组只有零解．4．问λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=++-0)4(20)6(2022)5(3121321x x x x x x x λλλ有非零解？解系数行列式)210(4)4)(6)(5(402062225λλλλλλλ-----=---=D )8)(2)(5()82410)(5(2---=-+--=λλλλλλ，当0=D 时，即8,2,5===λλλ时，齐次线性方程组有非零解．5．问μλ,取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解系数行列式μλμμμλ-==12111113D ，当0=D 时，即10==λμ或时，齐次线性方程组有非零解．,l β能由,m α线)m α 等于 12,,)m l R αβββ,,,。

线性代数考试题库及答案(一)

线性代数考试题库及答案(一)1.下面是线性代数考试题库及答案的第一部分专项同步练第一章行列式的格式正确版本：一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。

3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有(D) (n-1)。

项。

4.1/1 = (D) 2.5.1/(-1) = (B) -1.6.在函数f(x) = (2x-1)/(2-x^3)中x^3项的系数是(A) 0.7.若D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |1 a32 a33|，则D1 =2a11a33 - 4a13a31 - 2a12a32.8.若 |a11 a12| |a21 a22| = a，则 |a12 a11| |ka22 ka21| = (-k^2)a。

9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3，第3行元的余子式依次为-2.5.1.x，则x = 3.10.若D = |4 3 1 5| |-1 3 4 1| |2 -1 6 3| |-2 1 3 4|，则D中第一行元的代数余子式的和为(B) -2.11.若D = |-1 5| |3 -2|，则D = (A) -1.12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 + kx2 + x3 = 0，kx1 + x2 + x3 = 0，x2 + x3 = 0有非零解。

(B) -2.二、填空题1.2n阶排列24…(2n)13…(2n-1)的逆序数是n(2n-1)。

2.在六阶行列式中项a32a41a25a13a56a64的符号为-。

改写后的文章：线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。

线性代数知到章节答案智慧树2023年北方民族大学

线性代数知到章节测试答案智慧树2023年最新北方民族大学绪论单元测试1.对于非齐次线性方程组没有零解。

参考答案:对2.行列式的某一行各元素保持不变，该行各元素乘以一个数K加到另外一列各元素上去，行列式的值保持不变。

参考答案:错3.四阶行列式的展开式中含有因子的项，共有（）个.参考答案:6第一章测试1.化工原理中的“三传”是指（）。

动量传递、热量传递、质量传递2.下列单元操作中属于动量传递的有（）。

参考答案:流体输送3.下列单元操作中属于质量传递的有（）。

参考答案:液体精馏4.下列单元操作中属于热量传递的有（）。

参考答案:加热冷却5.l kgf/cm2=（）mmHg=（） N/m2。

正确的是（）参考答案:0.753;980006.在 26 ℃和1大气压下 ,CO2 在空气中的分子扩散系数 D 等于4.1000000000000005px2/s, 将此数据换算成m2/h 单位, 正确的答案为( )。

0.05904 m2/h7.己知通用气体常数 R=82.06atmNaN3/mol·K, 将此数据换算成用kJ/kmol.K所表示的量 , 应为( )。

参考答案:8.3148.单位时间内过程的变化率称为（）。

参考答案:过程速率正确答案是：9.一个过程在一定条件下能否进行，以及进行到什么程度，只有通过（）来判断。

参考答案:平衡关系10.常见的单位制有（）。

参考答案:其余都是第二章测试1.对称矩阵一定是方阵。

参考答案:对2.单位矩阵也是初等阵。

参考答案:对3.任何方阵都可以写成有限个初等矩阵的乘积。

参考答案:错4.任何初等矩阵都可逆。

参考答案:对5.对角矩阵等于其主对角线元素的乘积。

参考答案:对6.当时，可以推出或.参考答案:错7.设，均为n阶矩阵，且，则和（）参考答案:都等于零8.设，均为n阶对称矩阵，仍为对称矩阵的充分必要条件是（）参考答案:9.任何矩阵都有对应的伴随矩阵。

参考答案:错10.矩阵和其逆矩阵的行列式的值互为倒数。

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a b 0 b a
且b
0 0
时,
1 0 1
10. 排列 i1i2 in 1in可经 in in 1 i2 i1 .
次对换后变为排列
二、计算下列行列式(每小题9分，共18分)．
1 3 1. D5 2 1 2
1 2 1 1 3 2 2 3 1
3 2 0 1
1 2 1 0
求第一行各元素的代数余子式之和
A11 A12 A1n .
测试题答案
一、 1. 1 a;
n
4. a2a3 b2b3 a1a4 b1b4 ; 5. 0; 7. 2;
2 2
2. 0;
3. 1998!;
2 2 2
6. ; 9. 0,0;
nn 1 10. . 2
1 1 0
x z 2. Dn z z
y x z z
y y x
y y y
z x
三、解答题(9分)．问 , 取何值, 齐次方程组
x1 x2 x3 0 x1 x2 x3 0 x 2 x x 0 1 2 3
8. a b c d
;
二、 1. 170;
2.
n n y xz z x y
三、 0或 0.
yz n 1 五、 n! 1 . j2 j
.
d a , a c
a b d
6. 在五阶行列式中a12a53a41a24a35的符号为
2x 1
1 2
1 x 中x 3的系数是 x
7. 在函数f x x x
a 8. 四阶行列式 b c d
b a d c
c d a b
d c b a
9. 若a , b为实数, 则当a
a1 0 0 b4
0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1
0 a2 b3 0 0 b2 a3 0 b1 0 0 a4
D
1997 0 0 0
4. 四阶行列式源自a b c c 5. 设四阶行列式D4 d 则A14 A24 A34 A44 b d b c

n 2 x2 n x2

n x3

n xn
i
n 2 n 2 x3 xn
x1 x2 xn
1 j i n
x
x j , n 2
五、(9分) 设 n 行列式
1 2 3 n 1 2 0 0 Dn 1 0 3 0 1 0 0 n
第一章
测试题
一、填空题(每小题4分，共40分)
1. 若Dn aij a , 则D aij
2. 设x1 , x2 , x3是方程x px q 0的三个根, 则行
3
x1 列式 x3 x2
x2 x1 x3
x3 x2 x1
3. 行列式
0 0 0 1998 0
0 0 0 0
有非零解？
四、证明(每小题8分，共24分)．
a2 1. b2 c2 d2 0;
a 12 2 b 1 c 12 2 d 1
a 22 2 b 2 c 22 2 d 2
a 32 2 b 3 c 32 2 d 3
2 cos 1 2. Dn
1 2 cos 1 1 1 1 2 cos 1 1 2 cos
sinn 1 ; sin
3. 用数学归纳法证明
1 x1 Dn
2 x1
1 x2
2 x2
1 x3
2 x3

1 xn
2 xn

n 2 x1 n x1