第五章 整数规划练习题答案教程文件
运筹学:整数规划习题与答案
一、单选题
1、下列说法正确的是()。
A.分枝定界法在处理整数规划问题时,借用线性规划单纯形法的基本思想,在求相应的线性模型解的同时,逐步加入对各变量的整数要求限制,从而把原整数规划问题通过分枝迭代求出最优解
B.用割平面法求解整数规划问题,构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解
C.用分枝定界法求解一个极大化的整数规划时,当得到多于一个可行解时,通常可任取其中一个作为下界,再进行比较剪枝
D.整数规划问题最优值优于其相应的线性规划问题的最优值
正确答案:A
2、整数规划的最优解中,决策变量满足()。
A.决策变量不是整数
B.没有要求
C.决策变量至少有一个是整数
D.决策变量必须都是整数
正确答案:D
3、下列()可以求解指派问题。
A.梯度法
B.牛顿法
C.单纯形法
D.匈牙利法
4、整数规划中,通过增加线性约束条件将原规划可行域进行切割,切割后的可行域的整数解正好是原规划的最优解的方法是()。
A.隐枚举法
B.0-1规划法
C.分支定界法
D.割平面法
正确答案:D
5、标准指派问题(m人,m件事)的规划模型中,有()个决策变量。
A.都不对
B. m*m
C. m
D.2m
正确答案:B
二、判断题
1、匈牙利法可以直接求解极大化的指派问题。()
正确答案:×
2、整数规划的可行解集合是离散型集合。()
正确答案:√
3、用分支定界法求一个极大化的整数规划时,任何一个可行解的目标函数值是该问题的目标函数值的下界。()
4、用分支定界法求一个极大化的整数规划时,当得到多于一个可行解时,通常可以任取一个作为下界值,在进行比较和剪枝。()正确答案:×
运筹学第五章整数规划
选择第四个方程(具有最大分数部分):
1 3 7 x5 x4 x6 4 4 4
分解为:
3 1 1 x5 x6 1 x4 x6 4 4 4
浙江理工大学 经济管理学院
管理运筹学
wxj
Page:27
在松弛问题2中加入约束:
3 1 1 x4 x6 0 4 4 4
2
D( ,2)
33 14
1
S2
1
管理运筹学
S12
X 2 3
wxj
S11无可行解
浙江理工大学 经济管理学院
1
Page:14
S
x1 1
C: x1=1,x2=7/3 Z=10/3
A: x1=3/2,x2=10/3 Z=29/6
z
29 6 z4 41 z 9 z4
x1 2
S2
61 z 14 z4
X
2 5
4
3 10 A( , ) 2 3
3
2
解S得:
S
1
X 1
管理运筹学
3 10 A : x1 , x2 2 3 29 z 6
2
3
wxj
1
浙江理工大学 经济管理学院
Page:11
对S分枝:
X
构造约束:
x1 2
2 5
4
运筹学 第四版 第五章 整数规划
(2)
我们将式(2)称为(1)的松弛问题.解(2)得到最优解:
x1* 4.8, x2* 0, Z * 96.
(3)
但它不满足(1)的整数要求.因此它不是(1)的最优解,若把 解(3)“舍零取整”,如取X1=(5,0)T,但它不是式(1)的可行解. 因为它不满足 (1) 中的约束条件。
若取X2=(4,0)T,X2是 (1) 的可行解, 但它却不是(1) 的最优解, 因 为当X2=(4,0)T 时,Z2 = 80, 但当X3 = (4,1)T 时,Z3 = 90 > Z2。
ai0 j Ni0 j fi0 j bi0 j Ni0 fi0
其中Ni0 j ai0 j , 其中Ni0 bi0 j ,
0 fi0 j 1( j K ) 0 fi0 1
5.7式 5.8式
将(5.7)和(5.8)式代入(5.6)式,移项以后得:
xi0 Ni0 j xj Ni0 fi0 fi0 j xj
例1 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物,每箱的体积、重量、 可获利润以及托运所受限制见下表.问每集装箱中两种货物 各装多少箱,可使所获利润最大?
货物/箱 甲 乙
托运限制/集 装箱
体积/米3 5 4
24
重量/百斤 2 5
13
利润/百元 20 10
解 设 x1,分x2 别为甲、乙两种货物的托运箱数.则这是一个 纯整数规划问题 .其数学模型为:
5-第五章-整数规划
例:用分枝定界法求解整数规划问题:
max z 40x1 90x2
9x1 7x2 56 7x1 20x2 70
线性规划问题(0)
x1 0, x2 0
x1, x2 ,都是整数
最优解:(4.809,1.817 ) z =355.9
6
将一个问题分解为两个问题
7
8
例:用分枝定界法求解整数规划问题
3 ≥ 10/3≥4 加入条件。
加入条件: x2≤3, x2≥4 有下式:
min Z x1 5x2
min Z x1 5x2
x1 x2 2
x1 x2 2
5x1 6x2 30
5x1 6x2 30
(IP3)
x1 x1
4 2
(IP4)
x1 x1
4 2
x2
3
x2
4
x1, x2 0且 为 整 数
21
5.2 割平面法
割平面法是R.E.Gomory于1958年提出的一种 方法。
它既可以求解纯整数规划,又可以求解混 合整数规划 。
思路与分支定界法类似,通过求解一系列线 性规划问题最终得到原问题的整数解。
新增加的约束叫割平面或切割方程。
பைடு நூலகம்22
例:用割平面法求解整数规划问题
max z 40x1 90x2
j
27
第五章整数规划
Fb - Fa Xj 0
-Fa Xj -Fb
可以证明此条件满足上述两个基本性质。可以作
为增加的约束条件。
二、解纯整数规划的割平面法 第五章
割平面法求解步骤: 1. 求解原问题的松驰问题; 2. 若最优解全为整数,则达到最优;否则转3; 3. 从最优单纯形表中选择具有最大小数部分的非整
分量所在行构造割平面约束条件; 4. 将新约束条件加入原问题最优单纯形表,求解; 5. 返2。
yij ( i=1,2,3, j=1…4)由 i仓库向 j商店运货量
3
34
min Z bi xi
Cij yij
i1
i1 j1
y11 + y21 = d1 y12 + y22 + y32 = d2 y23+ y33 = d3 y14 + y24 + y34 = d4 s.t. x1 + x2 + x3= 2 y11 + y12 + y14 a1x1 y21 + y22 + y23 + y24a2x2 y32 + y33 + y34 a3x3 xi 为0-1, yij 0
一、数学模型及解的特点 第五章
松弛问题的解:甲 4.8 调整 :
乙0
1 ) “ 凑整” 甲 5 乙 0
2 ) “ 舍尾” 甲 4 乙 0
第5章 整数线性规划-习题附1
参考答案
地点 商品 电器 服装 食品 家具 计算机 1 300 340 270 330 200 2 120 70 260 220 160 3 60 0 40 420 150 4 20 160 120 240 420 5 0 0 0 0 0
0 0.3 1.2 1.3 0.3 1.4 0 0 0.1 1.4 0.2 1.0 1.1 0 1.2 1.4 0.15 1.3 1.2 0 0.1 0 0.4 1.1 0 1 0 = 0 0 0 0 0 0 1 0
X
*
0 0 0 0 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
A1
A2 A3 A4 A5
最大化指派问题,应先转化为标准形式
1.3 0 1.0 0 1.0 0.8 1.2 0 1.05 0.9 0 1.3 0 0 0.6 0 1.0 1.3 0 1.2 0 0.2 1.4 0 1.1
其中,最大元素m = 1.4, 令矩阵 B为:
B = (bij ) n×n = (m cij ) n×n
0 4 0 3 2 2 0 0 1 X * = 0 0 0
5 0 7 3 1 6 0 1 0 0 0 0
运筹学 第五章 整数规划
而 2x1+3x2 8-M 自然成立,从而是多余的;
当y=1, 2x1+3x2 8 成立,
而 x1+ x2 2+M 自然成立,从而是多余的。
18
多中选一的约束
例如:模型希望在下列n个约束中,只能 有一个约束有效, fi(x) 0 i=1,2,….n. 引入 n个0-1变量yi , i=1,2,…n,则上式可改 写为: fi(x) M(1-yi)
3
例:一登山队员做登山准备,他需 要携带的物品有:食品,氧气, 冰镐,绳索,帐篷,照相机和通 讯设备,每种物品的重要性系数 和重量如下,假定登山队员可携 带最大重量为25公斤。问:如何 装备?
4
序号
1
2
3
4
5
6
7
物品 食品 氧气 冰镐 绳索 帐篷 相机 设备 重量 重要 系数 5 20 5 15 2 18 6 14 12 8 2 4 4 10
37
定界:把满足整数条件各分枝的最优 目标函数值作为上(下)界,用它来判 断分枝是保留还是剪枝。
38
定界:把满足整数条件各分枝的最优 目标函数值作为上(下)界,用它来判 断分枝是保留还是剪枝。 剪枝:把那些子问题的最优值与界值 比较,凡不优或不能更优的分枝全剪掉, 直到每个分枝都查清为止。
分析:设x1为甲货物托运箱数,x2为乙货物托运箱数。 则 max z = 20x1 + 10x2 5x1 + 4x2 ≤ 24 ① 2x1 + 5x2 ≤ 13 ② x1,x2 ≥ 0 x1,x2取整数
整数规划习题
第五章 整数规划习题
5.1 考虑下列数学模型
)()(m in 2211x f x f z += 且满足约束条件
(1)或101≥x ,或102≥x ; (2)下列各不等式至少有一个成立:
⎪⎩⎪
⎨⎧≥+≥+≥+15
215152212121x x x x x x
(3)021=-x x 或5或10 (4)01≥x ,02≥x 其中
)(11x f =⎩⎨
⎧=>+0,0
0,520111x x x 如如 =)(2
2x f ⎩⎨
⎧=>+0,00,612222x x x 如如
将此问题归结为混合整数规划的模型。
解:2211612510m in x y x y z +++=
⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎧•••=≥≥=+++++-+-=-≤++-≥+-≥+-≥+•--≥•-≥•≤•≤),,=(或,)()()(;)(11.110;00)4(1
11105503215215152)1(1010102111
1098711109872165462152142132312211i y x x y y y y y y y y y y x x y y y M y x x M y x x M y x x M y x M y x M y x M y x i
5.2 试将下述非线性的0-1规划问题转换成线性的0-1规划问题
3
3
3221max x x x x z -+=
⎩⎨
⎧==≤++-)
,(或3,2,110332321j x x x x j
解:令=y ⎩⎨⎧==否则,当,01132x x
故有y x x =32,又21x ,3
第五章整数规划习题
第五章 整数规划习题
5.1 考虑下列数学模型
)()(min 2211x f x f z += 且满足约束条件
(1)或101≥x ,或102≥x ; (2)下列各不等式至少有一个成立:
⎪⎩⎪
⎨⎧≥+≥+≥+15
215152212121x x x x x x
(3)021=-x x 或5或10 (4)01≥x ,02≥x 其中
)(11x f =⎩⎨
⎧=>+0,0
0,520111x x x 如如 =)(2
2x f ⎩⎨
⎧=>+0,00,612222x x x 如如
将此问题归结为混合整数规划的模型。
解:2211612510min x y x y z +++=
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎧∙∙∙=≥≥=+++++-+-=-≤++-≥+-≥+-≥+∙--≥∙-≥∙≤∙≤)
,,=(或,)()()(;)(11.110;00)4(1
11105503215215152)1(1010102111
1098711109872165462152142132312211i y x x y y y y y y y y y y x x y y y M y x x M y x x M y x x M y x M y x M y x M y x i
5.2 试将下述非线性的0-1规划问题转换成线性的0-1规划问题
3
3
3221max x x x x z -+=
⎩⎨
⎧==≤++-)
,(或3,2,110332321j x x x x j
解:令=y ⎩⎨⎧==否则,当,01132x x
故有y x x =32,又21x ,3
第五章整数规划
5.1
若暂且不考虑x 若暂且不考虑x1,x2的整数限制,则规划就变成线性规划: 的整数限制,则规划就变成线性规划: 5.2
第五章 整数规划
我们称规划(5.2)为规划(5.1)的伴随规划。 5.2) 我们称规划(5.2)为规划(5.1)的伴随规划。解(5.2) 得到最优解: 得到最优解: x1=4.8 x2=0 max Z=96 它不满足规划(5.1)的整数要求。 它不满足规划(5.1)的整数要求。通过伴随规划最优解 舍零取整”的办法,一般得不到原整数规划的最优解。 的“舍零取整”的办法,一般得不到原整数规划的最优解。 若伴随规划(5.2)的可行域K是有界的, 若伴随规划(5.2)的可行域K是有界的,则整数规划 5.1)的可行域K 应是K中有限个整数点的集合。 (5.1)的可行域K0应是K中有限个整数点的集合。 如果整数规划的规模比较小的话, 如果整数规划的规模比较小的话,可以用穷举法求出最优 但是如果规模很大,使用穷举法根本无法完成。因此, 解。但是如果规模很大,使用穷举法根本无法完成。因此, 研究求解整数规划的一般方法是有实际意义的。 研究求解整数规划的一般方法是有实际意义的。常用的整 数规划算法有:割平面法、分支界定法、等等。 数规划算法有:割平面法、分支界定法、等等。
m z = 20x1 + 10x2 ax 5x1 + 4x2 ≤ 24 s.t. 2x1 + 5x2 ≤ 13 x , x ≥ 0, x , x 为整数 1 2 1 2 m z = 20x1 + 10x2 ax 5x1 + 4x2 ≤ 24 s.t.2x1 + 5x2 ≤ 13 x , x ≥ 0 1 2
第5章课后习题参考答案
第5章 课后习题答案一、程序阅读题1、B 2、C 3、D 4、B 5、A二、程序填空题1、 C A 2、D C 3、B A D 4、A C B 5、A C三、编程题1、从键盘输入任意20个整型数,统计其中的负数个数并求所有正数的平均值。#includemain(){int i,a,num1=0,num2=0,sum=0;float ave;printf("请输入5个整形数:");for(i=1;i<=5;i++){ scanf("%d",&a);if(a<0) num1++;if(a>0) {sum=sum+a;num2++;}}ave=sum/num2;printf("负数个数num1=%d,正数的平均值ave=%.2f\n",num1,ave);}2、sum=2+5+8+11+14+…,输入正整数n,求sum的前n项和。#includevoid main(){int i,n,sum=0; printf("请输入正整形数n:");scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++){ sum=sum+3*i-1;} printf("sum的前%d项和是%d\n",n,sum);}3、输入一个正整数n,再输入n个数,输出n个数中的最大数。#includevoid main(){int i,n;float num,max=0;printf("请输入正整形数n:");scanf("%d",&n);printf("请输入%d个数:",n);for(i=1;i<=n;i++){ scanf("%f",&num);if(num>max) max=num;} printf("%d个数中的最大值是%.2f\n",n,max);}4、在屏幕上按每行10个的格式输出100-200间的全部素数。#includevoid main(){int i,j,num=0;for(i=100;i<=200;i++){for(j=2;jif(i%j==0) break;if(j>=i) { if(num%10==0) printf("\n");printf("%d ",i);num++;}}}5、统计从键盘输入的一行字符中字符#和字母a出现的次数。#includevoid main(){char ch;int num1=0,num2=0;printf("请输入一行字符:\n");while((ch=getchar())!='\n'){if(ch=='#') num1++;if(ch=='a') num2++;}printf("一行字符中字母#和a出现的次数分别是%d,%d\n ",num1,num2);}6、从键盘输入一个正整数,统计该数的位数,如输入1234,输出4,输入0,输出1#includevoid main(){int n,m,num=0;printf("请输入一个正整数n:");scanf("%d",&n);m=n;do{n=n/10;num++;} while(n!=0);printf("正整数%d的位数是%d\n ",m,num);}7、2000年中国、印度和美国的人口分别为12.6亿、10亿和2.75亿,计算当人口以每年1%的增长率增长时,从2000年算起分别经过多少年这些国家的人口增长到15亿?#include#includevoid main(){double china=12.6,india=10,america=2.75;int n=0;while(china<=15){n++;china=china*pow(1.01,n); }printf("从2000年算起中国经过%d年人口增长到15亿\n",n);n=0;while(india<=15){n++;india=india*pow(1.01,n); }printf("从2000年算起印度经过%d年人口增长到15亿\n",n);n=0;while(america<=15){n++;america=america*pow(1.01,n); }printf("从2000年算起
运筹学第五章 整数规划
每项任务只能由 一个人来完成
0 0 ( x ij ) 1 0
1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
标准形式指派问题的数学模型
1 若指派第i 人做第j 事 (i, j=1, …, n) 令 xij= 0 若不指派第i 人做第j 事
数学模型: min z
5.4 指派问题—标准形式
指派问题的标准形式为:今分配n个人去完 成n项任务,每个人只能完成一项任务,每项 任务只能由一个人来完成,第i个人来完成第j 项任务的费用或时间为 cij ,问如何安排才能使 总费用或总时间最小?
例5.9 有四个工人,要分别指派他们完成四项不同的工作, 每人做各项工作所消耗的时间(我们称之为消耗系数矩阵、 效率矩阵或系数矩阵)如表5-6所示,问应如何分配任务, 才能使总的消耗时间最少?
A 甲 15 B 17 C 21 D 24
乙
丙 丁
19
26 19
23
17 21
22
16 23
18
19 17
解:令 xij=
1 若指派第i 人做第j 事 (i, j=1, …, n) 0 若不指派第i 人做第j 事
每个人只能完 成一项任务
满足约束条件的可行解 也可写成矩阵形式,称 为解矩阵。如例5.9的一 个可行解矩阵是:
定理5.1:如果对系数矩阵C
运筹学5整数规划
运筹学5 整数规划
* 用匈牙利法求解:最优解:即甲安排做第二项工作、乙做第三项、丙做第四项、丁做第三项。总分为:Z=92+95+90+80=357 * 本章介绍了整数规划的数学模型的特征及其应用; 1.整数规划的最优解是先求相应的线性规划的最优解然后取整得到. 2.部分变量要求是整数的规划问题称为纯整数规划. 3.求最大值问题的目标函数值是各分枝函数值的上界. 4.求最小值问题的目标函数值是各分枝函数值的下界. 5.变量取0或1的规划是整数规划. 求解方法有:解一般整数规划用分枝定界法、割平面法;解0-1规划用隐枚举法;解指派问题用匈牙利法。试一试,下例结论是否正确: * 6.整数规划的可行解集合是离散型集合. 7.将指派(分配)问题的效率矩阵每行分别加上一个数后最优解不变. 8.匈牙利法求解指派问题的条件是效率矩阵的元素非负. 9.匈牙利法可直接求解极大化的指派问题. 10.高莫雷(R..E.Gomory)约束是将可行域中一部分非整数解切割掉. 11.指派问题也是一个特殊的运输问题. 12.指派问题也可用运输问题求其最优解. 13.在用隐枚举求解具有n 个变量的0-1规划时需枚举2的n次幂个可能. The End of Chapter 5 下一章:图与网络 Exit 进入练习第*页 * 整数规划 Integer Programming 可分性假设?divisibility assumption 可加性假设 ?additivity assumption 比例性假设?proportionality assumption 0-1变量 binary variable BIP 0-1整数规划纯整数规划 pure Integer Programming 混合整数规划 mixed Integer Programming LP放宽 LP relaxation 分枝定界法 brabch and bound
运筹与优化-第5章答案
第五章 整数规划
5.1
(1)在原线性规划问题约束条件中添加松弛变量43,x x ,化为标准型,可得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥=++=+++=为整数
2143214
2132121,0,,,5
.1645.143223max x x x x x x x x x x x x x x z
不考虑整数条件,用单纯形法求解,计算结果如下表所示。
因而最优解为.2
31
252273,)0,0,25,
27(*=⨯+⨯=z T 当凑整为T
X )0,0,3,4('
=时,显然为非可行解;同样,当凑整为T
X )0,0,2,4("
=或
T X )0,0,3,3("=也不是可行解。当凑整为T X )0,0,2,3("'=为可行解,相应的z=13.
用分枝定界法求解该整数规划问题。 记231=z ,因为0,021==x x 为可行解,故有2
310*
≤≤z 分解为两个子问题:
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+≤++=0
305.1645.1432)(23max 2121
2112
1x x x x x x B x x z 得最优解3
44
,)0,35,0,617,3(1=z T 。
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≤+≤++=0
45.1645
.1432)(3max 212
12122
1x x x x x x B x x z 得最优解13,)0,0,5,21,4(2=z T
。
综合知3
440*
≤≤z 并再分解1B 为两枝3B 和4B :
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤++=2
0305.1645.1432)(23max 212
1
2132
1x x x x x x B x x z 得最优解.13,)0,0,2
第五章 整数规划(运筹学教程)
0 x3 1/7 -2/7 -3/7 -1/7 -5/7
0 x4 0 0 1 0 0
0 x5 2/7 3/7 22/7 -2/7 -3/7 x6 0 0 0 1 0
3
-1
0
0
0
CB
3 -1 0 0
XB
x1 x2 x3 x5
b
1 5/4 5/2 7/4
x1
1 0 0 0 0
x2
0 1 0 0 0
x3
• • 1. 2. 3. 4. 1、投资场所的选定-相互排斥的计划 例4 某公司拟在市东、西、南三区建立门市 部,拟议中有7个位置(点)Ai(i=1,2,…,7)可 供选择。要求 在东区, A1, A2, A3三个点中至多选两个; 在西区, A4, A5两个点中至少选一个; 在南区, A6, A7两个点中至少选一个。 如选用Ai,设备投资估计为bi元,每年可获利 润估计为ci元,但投资总额不能超过B元,问 可选择哪几个点可使年利润最大?
分枝
• B1
• • • • • • • • • • • Max z=20x1+10x2 5x1+4x2≤24 2x1+5x2 ≤13 x1 ≤ 4 x1,x2≥0 B2 Max z=20x1+10x2 5x1+4x2≤24 2x1+5x2 ≤13 x1 ≥ 5 x1,x2≥0LP x2
运筹学 第五章 整数规划 2013-01-24
首先,不考虑变量的整数约束,求解松弛问题线性规 划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是整数解,则 这个解就是整数规划的最优解。 如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是整数, 把线性规划的可行域切割成两部分,分别求解两个线性 规划的最优解。 如果这两个线性规划的最优解还不是整数解,分别把 每一个可行域再进行分割。这个过程,叫做“分支”。 分支过程得到的整数解中,目标函数值最优的一个叫 做整数规划目标函数值的“界”。分支过程中非整数的 线性规划的最优解,如果目标函数值劣于或等于这个 “界”,就停止继续分支。这个过程,叫做“定界”。
5/6 -1/6 -2/3 1/3 -1/6 -1/6
CB
1
例(接上):
cj 1 1 0 0 0
XB
X1
b
5/3
x1
1
x2
0
x3
x4
x5
0
4 4 x 5 (x 3 x 4 2x 5 ) 5 5
cj 1 b 1 x1 1 0 0 0 4 2 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 x4 -1 1 1 0 -1 1 1 0 0 x5 1 0 x6 0 x2 x3
-4/5 0 -6/5 0 -1/5 0 0 0 5/4 -1
1 1 0
X1 x3 δj
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第五章整数规划练习
题答案
第五章 整数规划练习题答案
一. 判断下列说法是否正确
1. 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时,任何一个可行整数解的目标函数值是
该问题目标函数值的下界。( )
2. 用割平面法求解整数规划时,构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。( )
3. 用割平面法求解纯整数规划时,要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。( )
4. 指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似,故也可以用表上作业法求解。( ) 二. 设有五项工作要分派给五个工人,每人的作业产值如下表所示,为了使总产值最大,问
应如何分配这五项工作,并求得最大产值。
答案:
设原矩阵为A ,因求极大问题,令B=[M-a ij ],其中M=Max {a ij }=10,则:
16425105
3140
42
13251042510424003B 1
3752102
6410
154062415151
3045
020305
7470574704646111-⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=→→- ⎪
⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
---
m 4n 5l m 4
4
21342132432431541545235234
6
4
64
6
4
6=<===⎛
⎫⎛⎫ ⎪ ⎪∅∅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→−−−−→∅∅ ⎪ ⎪∅∅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∅∅⎝
⎭
⎝
⎭
031023
4003115406020303535⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
31234311546233
5
3
5∅
⎛⎫ ⎪∅ ⎪ ⎪→ ⎪∅ ⎪ ⎪⎝
⎭ m=5=n ,得最优解。解矩阵*0001000100X 0000101
00010000⎛⎫
⎪
⎪ ⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
。
即,甲→D ,乙→C ,丙→E ,丁→B ,戊→A ,最大产值=10+8+9+8+8=43。 三. 对整数规划
12
121212
MaxZ 8x 5x 2x 3x 12
x x 6x ,x 0,=++≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩整数 解得其松弛问题最优表如下:
答案:
(1) 产生高莫雷约束:
根据Max {f i },应选取x 1所在行为源行:134133
x x x 3884
+
+=,即,134133x 0x 0x 3884⎛⎫⎛⎫
++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
产生高莫雷约束为:34313
x x 0488
--≤。
(2) 将高莫雷约束加入松弛变量x 5,写入原表最后一行形成下表并用对偶单纯形法求解:
b j