第五章 整数规划练习题答案教程文件
运筹学第五章整数规划
分解 ai0 , j和 bi0 成最大整数与正分数之和：
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管理运筹学
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Page:21
xi0 ai0 , j x j bi0 xi0 ( Ni0 , j f i0 , j )x j Ni0 f i0 xi0 Ni0 , j x j Ni0 f i0 f i0 , j x j
S1
x2 2
B: x1=2,x2=23/9 Z=41/9
x2 3
D: S12 x1=33/14,x2=2 Z=61/14
S11
无可行解
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Page:15
对S12分枝：
构造约束：
x1 3
X
2 5
4
和
x1 2
3
3 10 A( , ) 2 3
形成分枝问题S121 和S122，得解E和F
形成松弛问题2
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Page:24
CB XB 3 x1 -1 0 0 x2 x4 x6
3 -1 0 0 x1 x2 x3 x4 1 0 1/7 0 0 0 0 0 1 -2/7 0
0 x5 2/7 3/7
0 x6 0 0 0 1 0
b 13/7 9/7 31/7 -6/7
首先不考虑变量的整数约束，求解相应的线性规划问题：
z0
Max z = CX AX = b X0
D
C
下界
O Ir
Max z = CX AX = b xr Ir X0 Max z = CX AX = b xr Ir+1 X0
整数规划习题
第五章 整数规划习题5.1 考虑下列数学模型)()(m in 2211x f x f z += 且满足约束条件（1）或101≥x ，或102≥x ； （2）下列各不等式至少有一个成立：⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+≥+15215152212121x x x x x x（3）021=-x x 或5或10 （4）01≥x ，02≥x 其中)(11x f =⎩⎨⎧=>+0,00,520111x x x 如如 =)(22x f ⎩⎨⎧=>+0,00,612222x x x 如如将此问题归结为混合整数规划的模型。
解：2211612510m in x y x y z +++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧•••=≥≥=+++++-+-=-≤++-≥+-≥+-≥+•--≥•-≥•≤•≤），，＝（或，）（）（）（；）（11.110;00)4(111105503215215152)1(10101021111098711109872165462152142132312211i y x x y y y y y y y y y y x x y y y M y x x M y x x M y x x M y x M y x M y x M y x i5.2 试将下述非线性的0-1规划问题转换成线性的0-1规划问题333221max x x x x z -+=⎩⎨⎧==≤++-），（或3,2,110332321j x x x x j解：令=y ⎩⎨⎧==否则，当,01132x x故有y x x =32，又21x ，31x 分别与1x ，3x 等价，因此题中模型可转换为31m ax x y x z -+=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+≤+≤≤≤++-变量均为10,,,13323213232321y x x x y x x x y x y x x x5.3 某科学实验卫星拟从下列仪器装置中选若干件装上。
有关数据资料见表5-1要求：（1）装入卫星的仪器装置总体积不超过V ，总质量不超过W ；（2）A 1与A 3中最多安装一件；（3）A 2与A 4中至少安装一件；（4）A 5同A 6或者都安上，或者都不安。
16993-运筹学-习题答案选03_整数规划
运筹学教程（胡运权主编，清华第4版）部分习题答案（第五章）5.1设长度为a j的毛坯截取x j根，则min z = L - ∑j=1,2,...,n a j x js.t. ∑j=1,2,...,n a j x j≤ Lx j ≥ 0, integer, j = 1, 2, …, n即max z’ = ∑j=1,2,...,n a j x js.t. ∑j=1,2,...,n a j x j≤ Lx j ≥ 0, integer, j = 1, 2, …, n5.2设x j = 1, 当第j队员上场；x j = 0, 当第j队员不上场，则max z = 1.92x1 + 1.90x2 + 1.88x3 + 1.86x4 + 1.85x5 + 1.83x6 + 1.80x7 + 1.78x8s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8= 5x1 + x2 = 1x6 + x7 + x8 ≥ 1x6 ≤ 2 – (x1 + x4)x2 + x8 ≤ 1x j ={0 or 1}, j = 1, 2, …, 85.3max z = ∑i=1,2,...,m c i x is.t. ∑i=1,2,...,m a i x i≤ a∑i=1,2,...,m b i x i≤ bx i = 0 or 1, i = 1, 2, …, m5.4(1) x* = (3, 1); z* = 7(2) x* = (0, 9); z* = 95.5(1) 无可行解(2) x* = (1, 0, 0); z* = 25.6设x j = 1, 当消防站j不关闭；x j = 0, 当消防站j关闭min w = x1 + x2 + x3 + x4s.t. x1 + x2≥ 1 （区域1有消防站负责）x1 + x2≥ 1 （区域2有消防站负责）x1 ≥ 1 （区域3有消防站负责）x1 + x3≥ 1 （区域4有消防站负责）x3≥ 1 （区域5有消防站负责）x1 + x3 + x4≥ 1 （区域6有消防站负责）x1 + x4≥ 1 （区域7有消防站负责）x1 + x2 + x4≥ 1 （区域8有消防站负责）x2 + x4≥ 1 （区域9有消防站负责）x4≥ 1 （区域10有消防站负责）x3 + x4≥ 1 （区域11有消防站负责）x1, x2, x3, x4 = 0 或1最优解：x* = (1, 0, 1, 1); z* = 35.7设y i = 0，当条件i被选；y i = 1，当条件i不选∑j=1,2,…n a ij x j ≥ b i - My i, ( i = 1, 2, …, p)∑i=1,2,...,p y i = p - q5.11(1) 令x = 0x0 +1x1 + 4x2 + 6x3; x j = 0 or 1; x0 + x1 + x2 +x3 = 1(2) 令x = 0x0 +1x1 + 4x2 + 6x3; x j = 0 or 1; x0 + x1 + x2 +x3 = 1。
运筹学 第五章 整数规划
M是足够大的整数，y 是0-1变量
14
f(x)-5 0
f(x) 0
(1)
(2)
-f(x)+5 M（1-y)
f(x) My
(3)
(4)
当y=1时,(1)(3)无差别,(4)式显然成立;
当y=0时,(2)(4)无差别,(3)式显然成立。
以上方法可以处理绝对值形式的约束
f(x) a (a>0)
31
5.1 分枝定界法 （Branch and Bound Method)
原问题的松驰问题： 任何整数规划（IP），凡放弃某些约束 条件（如整数要求）后，所得到的问题 （P） 都称为（IP）的松驰问题。 最通常的松驰问题是放弃变量的整数性 要求后，（P）为线性规划问题。
32
去掉整数约束,用单纯形法 IP LP
23
解法概述
当人们开始接触整数规划问题时，常会有 如下两种初始想法： 因为可行方案数目有限，因此经过穷举 法一一比较后，总能求出最好方案，例如， 背包问题充其量有2n种方式，实际上这种 方法是不可行。
设想计算机每秒能比较1000000个方式，那 么比较完260种方式，大约需要360世纪。
24
先放弃变量的整数性要求，解一个 线性规划问题，然后用“四舍五入” 法取整数解，这种方法，只有在变量 的取值很大时，才有成功的可能性， 而当变量的取值较小时，特别是0-1规 划时，往往不能成功。
Yes xI* = xl*
xl*
判别是否整数解
No 去掉非整数域 多个LP ……
33
分枝定界法步骤
一般求解对应的松驰问题，可能会出现 下面几种情况：
若所得的最优解的各分量恰好是整数， 则这个解也是原整数规划的最优解，计 算结束。
第五章整数规划习题
第五章 整数规划习题5.1 考虑下列数学模型)()(min 2211x f x f z += 且满足约束条件（1）或101≥x ，或102≥x ； （2）下列各不等式至少有一个成立：⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+≥+15215152212121x x x x x x（3）021=-x x 或5或10 （4）01≥x ，02≥x 其中)(11x f =⎩⎨⎧=>+0,00,520111x x x 如如 =)(22x f ⎩⎨⎧=>+0,00,612222x x x 如如将此问题归结为混合整数规划的模型。
解：2211612510min x y x y z +++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∙∙∙=≥≥=+++++-+-=-≤++-≥+-≥+-≥+∙--≥∙-≥∙≤∙≤），，＝（或，）（）（）（；）（11.110;00)4(111105503215215152)1(10101021111098711109872165462152142132312211i y x x y y y y y y y y y y x x y y y M y x x M y x x M y x x M y x M y x M y x M y x i5.2 试将下述非线性的0-1规划问题转换成线性的0-1规划问题333221max x x x x z -+=⎩⎨⎧==≤++-），（或3,2,110332321j x x x x j解：令=y ⎩⎨⎧==否则，当,01132x x故有y x x =32，又21x ，31x 分别与1x ，3x 等价，因此题中模型可转换为31max x y x z -+=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+≤+≤≤≤++-变量均为10,,,13323213232321y x x x y x x x y x y x x x5.3 某科学实验卫星拟从下列仪器装置中选若干件装上。
有关数据资料见表5-1要求：（1）装入卫星的仪器装置总体积不超过V ，总质量不超过W ；（2）A 1与A 3中最多安装一件；（3）A 2与A 4中至少安装一件；（4）A 5同A 6或者都安上，或者都不安。
二三版兼用《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案(第五章)ppt
xi
,
yi
0, 且都是整数，i
1,2,, n
第五章习题解答
5.4 篮球队需要选择5名队员组成出场阵容参加比 赛。8名队员的身高及擅长位置见表5-10。
表5-10
队员
12345678
身高(m) 1.92 1.90 1.88 1.86 1.85 1.83 1.80 1.78
擅长位置 中锋 中锋 前锋 前锋 前锋 后卫 后卫 后卫
max Z xi i 1
n
di xi D,
i1
xi是整数
xi ai
i 1,2,, n
第五章习题解答
5.2 要在长度为l的一根圆钢上截取不同长度的零 件毛坯，毛坯长度有n种，分别为aj，(j=1，2，…,n)。 问每种毛坯应当各截取多少根，才能使圆钢残料最少， 试建立本问题的数学模型。
第五章习题解答
表5-11-12-13
产品A
成本
产品B
成本
产品C
成本
产量（件）（元/件） 产量（件） （元/件） 产量（件） （元/件）
0~40
10
0~50
6
0~100
5
41~100
9
51~100
4
100以上
4
101~150
8
100以上
3
150以上
7
解：设x1,x2,x3分别表示三个产品的产量。 Y11,y12,y13,y14对应产品A的4个成本的0-1变量； Y21,y22,y23对应产品B的3个成本的0-1变量； Y31,y32对应产品B的3个成本的0-1变量；
解：设xi表示各种毛坯的数量, i 1,2,, n。
运筹与优化-第5章答案
第五章 整数规划5.1(1)在原线性规划问题约束条件中添加松弛变量43,x x ，化为标准型，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=+++=为整数21432142132121,0,,,5.1645.143223max x x x x x x x x x x x x x x z不考虑整数条件，用单纯形法求解，计算结果如下表所示。
因而最优解为.231252273,)0,0,25,27(*=⨯+⨯=z T 当凑整为TX )0,0,3,4('=时，显然为非可行解；同样，当凑整为TX )0,0,2,4("=或T X )0,0,3,3("=也不是可行解。
当凑整为T X )0,0,2,3("'=为可行解，相应的z=13.用分枝定界法求解该整数规划问题。
记231=z ，因为0,021==x x 为可行解，故有2310*≤≤z 分解为两个子问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+≤++=0305.1645.1432)(23max 212121121x x x x x x B x x z 得最优解344,)0,35,0,617,3(1=z T 。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤++=045.1645.1432)(3max 212121221x x x x x x B x x z 得最优解13,)0,0,5,21,4(2=z T。
综合知3440*≤≤z 并再分解1B 为两枝3B 和4B ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤++=20305.1645.1432)(23max 212121321x x x x x x B x x z 得最优解.13,)0,0,25,25,2,3(3=z T⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+≤++=3305.1645.1432)(23max 212121421x x x x x x B x x z 得最优解.457,)0,0,41,25,0,3,411(4=z T3B 已是整数解，可取.133==z z 对2B 一枝而言，继续分解已无意义，可舍去。
运筹学 第三版 清华大学出版社 第5章整数规划
依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整数规 依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整数规 全整数规划、混合整数规划、 整数规划。 划、全整数规划、混合整数规划、0－1整数规划。
8
纯整数规划：所有决策变量要求取非负整数（ 纯整数规划：所有决策变量要求取非负整数（这时引 进的松弛变量和剩余变量可以不要求取整数）。 进的松弛变量和剩余变量可以不要求取整数）。
举例说明。 举例说明。
10
例：设整数规划问题如下
max z = x 1 + x 2 14 x 1 + 9 x 2 ≤ 51 − 6 x1 + 3 x 2 ≤ 1 x , x ≥ 0 且为整数 1 2
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问 首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问 伴随问题）。 题或伴随问题）。 max z = x + x
x2 3
⑴ ⑵ (3/2,10/3)
3
x1
按整数规划约束条件， 按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题的可 行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集是一个有限集， 行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集是一个有限集， 如图所示。 如图所示。
12
因此， 因此，可将集合内 的整数点一一找出， 的整数点一一找出， 其最大目标函数的值 为最优解， 为最优解，此法为完 全枚举法。 全枚举法。 如上例：其中（ ， 如上例：其中（2， 2）（ ，1）点为最大 ）（3， ） ）（ z 。 值， =4。
3
个地点建厂， 例2、（建厂问题）某公司计划在 个地点建厂，可供选择的 、 建厂问题）某公司计划在m个地点建厂 地点有A1,A2…Am ，他们的生产能力分别是a1,a2,…am（假设 地点有 他们的生产能力分别是 生产同一产品）。第 个工厂的建设费用为f 生产同一产品）。第i个工厂的建设费用为 i (i=1.2…m),又有 ）。 又有 n个地点 1,B2, … Bn 需要销售这种产品，其销量分别为 个地点B 需要销售这种产品， 个地点 b1.b2…bn 。从工厂运往销地的单位运费为 ij。试决定应在哪 从工厂运往销地的单位运费为C 些地方建厂，即满足各地需要， 些地方建厂，即满足各地需要，又使总建设费用和总运输费 用最省？ 用最省？单
运筹学第五章课后习题答案
运筹学第五章课后习题答案运筹学第五章课后习题答案运筹学是一门研究如何进行有效决策和优化问题的学科。
在运筹学的学习过程中，课后习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以帮助我们巩固所学的知识，并且加深对运筹学理论的理解。
本文将给出运筹学第五章的课后习题答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 线性规划问题是运筹学中最基本的问题之一。
以下是一道线性规划问题的习题：Maximize 2x + 3ySubject to:x + y ≤ 102x + y ≤ 15x, y ≥ 0解答：首先，我们需要将目标函数和约束条件转化为标准形式。
将目标函数改写为最小化形式，即 Minimize -2x - 3y。
然后，我们引入松弛变量，将不等式约束转化为等式约束，得到以下形式的线性规划问题：Minimize -2x - 3ySubject to:x + y + s1 = 102x + y + s2 = 15x, y, s1, s2 ≥ 0接下来，我们可以使用单纯形法或者图解法来求解这个线性规划问题。
通过计算或者画图，我们可以得到最优解为 x = 5, y = 5，目标函数的最大值为 25。
2. 整数规划是线性规划的一种扩展形式，其中变量的取值限制为整数。
以下是一道整数规划问题的习题：Maximize 3x + 2ySubject to:x + y ≤ 5x, y ≥ 0x, y 是整数解答：这是一个整数规划问题，我们需要找到满足约束条件的整数解，并求解出目标函数的最大值。
通过穷举法，我们可以得到以下整数解：当 x = 2, y = 3 时，目标函数的值为 13；当 x = 3, y = 2 时，目标函数的值为 12；当 x = 4, y = 1 时，目标函数的值为 11；当 x = 5, y = 0 时，目标函数的值为 10。
综上所述，目标函数的最大值为 13，对应的整数解为 x = 2, y = 3。
3. 0-1整数规划是整数规划的一种特殊形式，其中变量的取值限制为0或1。
运筹学 第五章 整数规划 2013-01-24
整数规划的数学模型实例
整数规划解的特点
• 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体 积、重量和可获得的利润及托运所受限制如表， 问两种货物各托运多少箱，使得利润最大？ • 设甲乙两种货物各托运X1,X2箱
货物 甲
体积 5
重量 2
利润 20
乙 托运 限制
4 24
5 13
10
Max z=20x1+10x2 5x1+4x2≤24 2x1+5x2≤13 x1,x2≥0且为整数
B(5, 3)
012345678
4 3 2 1
A(2.6, 3.8)
B(5, 3)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
线性规划的最优解A(x1, x2)=(2.6, 3.8)不是整数解，目标 函数值为z=17.8。整数规划的最优解B(x1, x2)=(5,3)目标函数值 为z=17。线性规划最优解A(2.6, 3.8)四舍五入得到的解为(3,4)， 不是可行解；舍去尾数取整的解为(2,3)，目标函数值z=14。 因此整数规划的最优解一般不能由线性规划的最优解通过 简单的取整得到。
5/6 -1/6 -2/3 1/3 -1/6 -1/6
CB
1
例（接上）：
cj 1 1 0 0 0
XB
X1
b
5/3
x1
1
x2
0
x3
x4
x5
0
4 4 x 5 (x 3 x 4 2x 5 ) 5 5
cj 1 b 1 x1 1 0 0 0 4 2 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 x4 -1 1 1 0 -1 1 1 0 0 x5 1 0 x6 0 x2 x3
第五章整数规划练习题
第五章整数规划练习题
一. 判断下列说法是否正确
1.用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任何一个可行整数解的目标函数值是该问题目标函数值的下界。
( )
2.用割平面法求解整数规划时，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。
( )
3.用割平面法求解纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。
( )
4.指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似，故也可以用表上作业法求解。
( )
二. 设有五项工作要分派给五个工人，每人的作业产值如下表所示，为了使总产值最大，问
应如何分配这五项工作，并求得最大产值。
三. 对整数规划
12
121212MaxZ 8x 5x 2x 3x 12
x x 6
x ,x 0,=++≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩整数
解得其松弛问题最优表如下：。
运筹学习题答案(第五章)
擅长位 中 中 前 前 置 锋 锋 锋 锋 出场阵容应满足以下条件：
前 锋
后 卫
后 卫
后 卫
(1) 只能有一名中锋上场； (2) 至少有—名后卫； (3) 如1号和4号均—上场，则6号不出场；
第五章习题解答
(4) 2号和8号至少有一个不出场。 问应当选择哪5名队员上场，才能使 出场队员平均身高最高，试建立数学模型。
解：设 x i 1表示第 i 个队员出场， max Z 1 i 1, 2 , , n 。
5
8
xi
i 1
8 xi 5 i 1 x1 x 2 1 x 6 x 7 x 8 1 x x 1 x x x 2 8 1 4 6 2 x i 是 0 1变量
第五章习题解答
解：设 x i 1表示第 i 项任务被选中， max Z 7 x 1 17 x 2 11 x 3 9 x 4 21 x 5 3 x 1 8 x 2 5 x 3 4 x 4 10 x 5 20 x x2 x3 x4 x5 3 1 x1 x 2 x x 1 4 3 x i 是 0 - 1变量 , i 1, 2 , 3 , 4 , 5 i 1, 2 , , 5。
j 1 n
i 1, 2 , , p
p
yi q
i 1
第五章习题解答
5.13 解下列系数矩阵的最小化问题：
(1) 10 7 5 13
3 7 3 6 5 5
整数规划练习题答案
第五章整数规划练习题答案(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第五章 整数规划练习题答案一. 判断下列说法是否正确1. 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任何一个可行整数解的目标函数值是该问题目标函数值的下界。
()2. 用割平面法求解整数规划时，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。
()3. 用割平面法求解纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。
()4. 指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似，故也可以用表上作业法求解。
() 二. 设有五项工作要分派给五个工人，每人的作业产值如下表所示，为了使总产值最大，问应如何分配这五项工作，并求得最大产值。
工作 工人A B C D E 甲 94 6 85 乙 8 5 9 106 丙 97 3 58 丁 4 8 69 5 戊105363答案：设原矩阵为A ，因求极大问题，令B=[M-a ij ]，其中M=Max {a ij }=10，则：1642510531404213251042510424003B 13752102641015406241515130450203057470574704646111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭---m 4n 5l m 44213421324324315415452352346464646=<===⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪∅∅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→−−−−→∅∅ ⎪⎪∅∅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∅∅⎝⎭⎝⎭0310234003115406020303535⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭31234311546233535∅⎛⎫ ⎪∅ ⎪ ⎪→ ⎪∅ ⎪ ⎪⎝⎭ m=5=n ，得最优解。
解矩阵*0001000100X 000010100010000⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭。
整数规划习题解答PPT演示课件
（增加了人工变量x4）
1
练习
（2）不增加人工变量，通过对约束方程组进行行变换得到 初始可行基
max z x2 2 x3
x1 2 x2 x3
s.t
.
x2 x2
3 x3 x3
2
x4
1
x5 2
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0
以x1 , x4 , x5为基变量，B ( p1 , p4 , p5 ) E为初始可行基， 运用单纯性法求解，得到的最终单纯性表为
11
1
- 2 x4 2 x5 x6 2
加入上面的最终单纯性表，得
4
练习
cj
0 1 -2 0 0 0
CB XB b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0 x1 13/2 1 0 0 -1/2 5/2 0
1 x2 5/2 0 1 0 -1/2 3/2 0
-2 x3 1/2 0 0 1 -1/2 1/2 0
练习
将其标准化： （1）采用M法
max z x2 2 x3 Mx4
x1 2 x2 x3 x42源自s.t .x2 x2
3 x3 x3
x5
1
x6 2
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0
以x4 , x5 , x6为基变量，B ( p4 , p5 , p6 ) E为初始可行基， 运用单纯性法求解
0 x6 -1/2 0 0 0 -1/2 -1/2 1
-z
-3/2 0 0 0 -1/2 -1/2 0
5
练习
由对偶单纯性法可得
cj
0 1 -2 0 0 0
CB XB
第5讲 整数规划
第五章 整数规划第四节 0－1型整数规划例题：求解0－1整数规划1231231231223123m ax Z=3x -2x +5x x +2x -x 2x +4x +x 4s.t.x +x 34x + x 6x ,x ,x =01≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎪⎩或 解法：穷举法（枚举法）、隐枚举法。
（＝8） 解题要点：对于求max ，变量摆放顺序按其在目标函数中值由小到大排列； 对于求min ，则相反。
练习：123451234512345i m axZ=2x -x +5x -3x +4x 3x -2x +7x -5x +4x 6s.t.x -x +2x -4x +2x 0x =01(i=1,2,,5)≤⎧⎪≤⎨⎪⎩或 ...，（＝6） 1234123412341241234m in Z=3x +7x -x +x 2x -x +x -x 1x -x +6x +4x 8s.t.5x +3x +x 5x x ,x ,x =01≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪⎩，或，（＝3）第五节 指派问题例题：某商业公司计划开为5家新商店。
为了尽早建成营业，商业公司决定由5家建筑公司分别承建。
已知建筑公司A i （i ＝1，2，…，5）对新商店B j （j ＝1，2，…，5）的建造费用的报价（万元）为c ij （i ，j ＝1，2，…，5），见下表。
商业公司应当对5家建筑公司怎样分配建造任务，才能使总的建造费用最少？12345A 4871512A 79171410C =A 691287A 6714610A 6912106⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，答案：34万元 解题要点：在每行每列都减去该行和列的最小数，使得每行、每列都有0； 找√方法：无圈行→0列→圈行； 画线方法：无√行、有√列。
练习：求最小化指派问题。
12797989666C 71712149151466104107109⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭＝，答案：32 791012131216171516141511121516⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，＝48，3821038729764275842359106910⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，＝21 上述解法叫匈牙利解法，1955年由库恩提出，此解法用到了匈牙利数学家康尼格的关于矩阵中独立零元素的定理。
运筹学习题答案(第五章)
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第五章习题解答
5.5 一个旅行者要在其背包里装一些最有用的旅 行物品。背包容积为a，携带物品总重量最多为b。现 有物品m件，第i件物品体积为 ai ，重量为bi(i＝ 1， 2，…，m)。为了比较物品的有用程度，假设第j件物 品的价值为ci(i＝1，2，…，m)。若每件物品只能整件 携带，每件物品都能放人背包中，并且不考虑物品放 人背包后相互的间隙。问旅行者应当携带哪几件物品， 才能使携带物品的总价值最大，要求建立本问题的数 学模型。
page 8 26 May 2012
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第五章习题解答
解：设 x i 1表示携带第 max Z i 件物品， i 1, 2 , , m 。
c
i 1
m
i
xi
m ai xi a i 1 m bi x i b i 1 x i 是 0 1变量 i 1, 2 , m
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第五章习题解答
5.4 篮球队需要选择5名队员组成出场阵容参加 比赛。8名队员的身高及擅长位置见表5-10。
表5-10 队员 身高(m) 擅长位置 1 1.92 2 1.90 3 1.88 4 1.86 5 1.85 6 1.83 7 1.80 8 1.78
(2) min Z 5 x 1 x 2 3 x1 x 2 9 x1 x 2 5 st . x1 8 x 2 8 x , x 0 , 且为整数 1 2
第五章 整数规划h
3 3 1 x 即： 1 − x 3 = − ( x 3 + x 4 ) 4 4 4
− 即： 3 x 3 − x 4 ≤ − 3
3 3 1 − ( x3 + x 4 ) ≤ 0 4 4 4
CB
1 1 0
Cj XB x1 x2 xs x1 x2 x3
1
1
0
0
0
b
3/4 7/4 -3
x1
1 0 0 0
z = 61 / 14 z=0
x1≥3
LP6
x1
x1=1 x1=2
3.64
x1=2 x2=2 z=4
x1=3 x2=1 z=4
z* = 4
第三节 割平面法 例5.6考虑纯整数规划问题
max z = x1 + x2 2 x1 + x2 ≤ 6 4 x1 + 5 x2 ≤ 20 x ≥ 0, x ≥ 0 且为整数 2 1
2x1max z = 3 x1 + 2 x2 2 x1 + x2 ≤ 9 2 x + 3 x ≤ 14 1 2 x2 ≤ 2 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 x(1)=（3.5，2）T z(1)=14.5
（P2） max z = 3 x1 + 2 x2 2 x1 + x2 ≤ 9 2 x + 3x ≤ 14 1 2 x2 ≥ 3 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 x(2)=（2.5，3）T z(2)=13.5 2x1+x2=9
A1 A2 A3 A4 需求量
解 引入0-1变量
1 若建工厂A3 y= 0 若建工厂A 4
min z = ∑∑ cij xij + [1200 y + 1500(1 − y )]
06-整数规划问题
B21
B22
第10页
2014-5-4
其最优解分别为： B21：x1 = 5.44，x2 = 1，Z21 = 308<Z（剪枝） B22：无可行解（剪枝） 至此所有子问题均已剪枝，知 x =(4，2) ，z* =340。
* T
（5.44,1）
B21的可行域
第11页
B0
x1=4.81 x2=1.82 z0=356 x1 5
原问题A： 整数规划 对应的 线性规划
Max z
n
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c j x j
j 1
n
a ij x j bi
j 1
( i 1, m ) ( j 1, , n) ( j 1, , n)
xj 0 xj Z
n
Max z c j x j
j 1
A的松弛问题B0：
第18页
2014-5-4
② 多者择一 有m个互相排斥的约束条件：
a ij x j
j 1
n
bi ( i =1，…，m)
0 引入m个0-1变量yi ， yi 1
则约束条件：
(i 1,, m) （1-yi）
a x
i 1 ij
n
j
bi yi M (i 1,, m)
？
?
30 若（Bj）的最优值Zj ≤ Z，再分解只能使目标值减小。
第 9页
2014-5-4
回到B2，由于z2 > Z ，不排除B2的可行域中有比 (4，2)T更好的整数解，故要继续分枝。 在B2中,x1 = 5，x2 = 1.57，令x2 1，x2 2,分别加 入到B2中，得到子问题B21和B22
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第五章整数规划练习
题答案
第五章 整数规划练习题答案
一. 判断下列说法是否正确
1. 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任何一个可行整数解的目标函数值是
该问题目标函数值的下界。
( )
2. 用割平面法求解整数规划时，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。
( )
3. 用割平面法求解纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。
( )
4. 指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似，故也可以用表上作业法求解。
( ) 二. 设有五项工作要分派给五个工人，每人的作业产值如下表所示，为了使总产值最大，问
应如何分配这五项工作，并求得最大产值。
答案：
设原矩阵为A ，因求极大问题，令B=[M-a ij ]，其中M=Max {a ij }=10，则：
16425105
3140
42
13251042510424003B 1
3752102
6410
154062415151
3045
020305
7470574704646111-⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=→→- ⎪
⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
---
m 4n 5l m 4
4
21342132432431541545235234
6
4
64
6
4
6=<===⎛
⎫⎛⎫ ⎪ ⎪∅∅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→−−−−→∅∅ ⎪ ⎪∅∅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∅∅⎝
⎭
⎝
⎭
031023
4003115406020303535⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
31234311546233
5
3
5∅
⎛⎫ ⎪∅ ⎪ ⎪→ ⎪∅ ⎪ ⎪⎝
⎭ m=5=n ，得最优解。
解矩阵*0001000100X 0000101
00010000⎛⎫
⎪
⎪ ⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭。
即，甲→D ，乙→C ，丙→E ，丁→B ，戊→A ，最大产值=10+8+9+8+8=43。
三. 对整数规划
12
121212
MaxZ 8x 5x 2x 3x 12
x x 6x ,x 0,=++≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩整数 解得其松弛问题最优表如下：
答案：
(1) 产生高莫雷约束：
根据Max {f i }，应选取x 1所在行为源行：134133
x x x 3884
+
+=，即，134133x 0x 0x 3884⎛⎫⎛⎫
++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
产生高莫雷约束为：34313
x x 0488
--≤。
(2) 将高莫雷约束加入松弛变量x 5，写入原表最后一行形成下表并用对偶单纯形法求解：
b j。