利用不等式求函数最值常见错误剖析

2
2 , 且 co s2 x = 2
2 + 2
+ 2 18.
2
co t2x
2 ( 同向不等式相加 ). 所以最小 值是 - 1 + 6 2. 分析 1 y = 16 的 充要 条件 是 2 = sin2 x
4tan2 x = 18, 当 cot 2x =
4t an 2x , 即 cot2 x = 2 时 , y = 18, 所以最小值是 由以上各例可以看出 , 在利用不等式求 函数的最值时 , 找出等号成立的条件, 是解题 的必要步骤, 也是检验解答是否有误的一种 方法 , 在平时教学中要给予足够的重视 , 使学 生养成良好的解题习惯, 以避免不必要的解 题失误 .
( 如数列的特殊项、 图形的特殊位置、 轨迹的
临界点等等) , 更要注意特殊情况对解题的影 响 . 通过经常性的训练培养学生思维的慎密 性, 提高他们的解题能力. 2 忽视自设条件的影响而造成错解 2) 3 , 被圆 2 2 . x + y = 25 截得的线段长是 8, 求 l 的方程 例 2 直线 l 过点 A ( - 3, 错解 设 l 的方程是 y + 3 = k ( x + 3) , 2 8 52 - ( ) 2 2
a + b
2 2 2 2
+
4
y
) ]2 =
1 , 即 xy ≥ 16, 所以 x + y ≥ 2 4
xy ≥ 2
16= 8, 因此 x + y 的最小值是 8.
xy , 与 2 xy ≥ 2
分析 上述解法中 , 连续进行两次不等 式变形, x + y ≥ 2 1 16, 第一个等号成立的条件是 x = y , 而第二个等 1 , 即 x = 2, y = 8, 2 显然两个不等式中的等号不能同时成立, 所 号成立的条件是 以解法是错误的 . 1 4 解 由 x , y ∈ R + , + = 1, 得 y = x y 4x 4x - 4+ 4 4 = = 4+ 且 x > 1, 于是 x x- 1 x- 1 x- 1 - 1> 0, x + y = x + 4+ 4 = x - 1+ 4 x- 1 x- 1 + 5 ≥2
x - 8x + 17 的最小值.
2 2
= kz 2 , k < 0 时取 “= ” ; ( 3) �z 1+ z 2�≥ ��z 1 ��z 2��, 当且仅当 z 1= kz 2, k < 0 时取 “= ” ; (4) �z 1 - z 2 �≥�z 1�- �z 2 �当且仅当 z 1 = kz 2, k > 0 时取 “= ” . (4- x ) 2+ 1, 设 z 1 = x + 2i, z 2 = ( 4- x ) + i, y = �z 1�+ �z 2�≥ �z 1+ z 2 �= �4+ 3 i�= 5 ( 等号成立的充要条件 是 z 1 = kz 2, k > 0) , 设 z 1 = kz 2 , 即 x + 2i= k ( 4 解 y =
x = 8, 显然与 k < 0 相矛盾 , 事实上 , 当 k = 2, x = 8 时 , z 1= 8+ 2i, z 2= 4+ i, 这时 �z 1�+
�z 2 �= 3
17. 而 �z 1 - z 2 �=
17, 可以看出
等号确实不成立 . 类似这样的错误学生时常出现, 对于复 数模的性质: �z 1 �- �z 2� ≤ �z 1 ±z 2 �≤�z 1� + �z 2 �(z 1 , z 2 ≠0) , 一定要强调等号成立的条 件, 可分成下面四个子式说明之 . ( 1) �z 1 �+ �z 2�≥�z 1 + z 2 �, 当且仅当 z 1 = kz 2 , k > 0 时取 “= ” ; ( 2) �z 1 � + �z 2 � ≥�z 1- z 2 �, 当且仅当 z 1 1 又由 ∃ = ( 2a ) 2- 4b < 0, 有 a 2 < b , ∴ b 2 < b, ∴b> 0. ∴复数 z = a + b i 所对应的点的轨迹 是 抛物线 ( 除去点 ( 0, 0) ).
x
错 解 2a + 1 = 2a + 1+ 1 = a + 1, 2 2b + 1= + 1, 两式相加得 2a + 1+ + 2= 3 即最大值是 3. ( 2b+ 1)
1 ≤ ①
2b+ 1+ 1 1≤ = b 2 ② 2b + 1 ≤ ( a + b)
1
x
4
y
≤[
1 2
分析 同向不等式相加 , 所得不等式中 等号成立的充要条件是原各不等式中的等号 要同时成立 . ①式中等号成立的条件是 2a + 1= 1, 即 a = 0, ②式中等号成立的条件是 2b + 1= 1, 即 b = 0, 这和已知条件 a + b = 1 矛 盾, 所以解法是错误的 . 解 利 用不 等式 a + b ≥ ( a + b ) 2 ( a = b 2 2 时等号成立 ) 即 a + b ≤ 2 + 2 2b+ 1 ≤2
3 2 3 3 3 a 时函数 y 有最大值 9 a . 2 同向不等式迭加 , 忽视等号成立的条件 例 3 已 知 a ≥ 0, b ≥ 0, a + b = 1, 求 2a + 1+ 2b+ 1 的最大值 .
( 2a + 1 )
题目中的约束条件在平面上所对应的图 形是一平面区域, 凭借图形的直观优势 , 利用 数形结合思想, 不难得出最大值是 10, 最小 值是 5. 3 不等式放缩时, 等号成立的条件不一致 例 5 已知 x , y ∈R + , 且 1 + 4 = 1, 求 x y x + y 的最小值. 错解 由 x , y ∈ R + , 得 0< ( 1
2≤a + b ≤4,
( x - 1) 4
4
x- 1
+ 5= 9, 当且仅当 x
1≤a - b ≤2, ①+ ②得 3≤ 2a ≤ b, 即 b≤ 4a ≤ 12, (- 1) ×① + ②得- 3≤- 2b ≤0,
① ② ③ ④
x- 1
, 即 x = 3 时, 上式取等号, 这时 y
= 6, 所以当 x = 3, y = 6 时 , x + y 有最小值 9. 2 8 + 的最小值 . sin 2 x co s2 x 2 8 错解 1 y = 2 + 2 ≥ 例 6 求 y =
[ ( x - 4) + i ] �= �4+ i�= 17. 分析 运用复数模的性质时, 忽视了等 号成立的条件 . 上式中的等号成立的充要条 件是 z 1= kz 2 ( k < 0) , 设 z 1= kz 2, 则 x + 2 i= k ( x - 4) + k i, 由复数相等的定义得 k = 2> 0,
x + 4+
2
x + 4 +
2
(x - 4) 2+ 1, 设 z 1= x + 2i, z 2= ( x - 4 ) + i, 则 y = �z 1�+ �z 2 �≥�z 1- z 2 � = � (x + 2i) 错解 y =
x + 4+
- x ) + k i, 得 k = 2> 0, x = 8 , 分别代入 �z 1� 3 + �z 2�, �z 1 + z 2 �中 , 得 �z 1 �+ �z 2 �= �z 1+ z 2� = 5, 所以函数的最小值是 5. 例 2 求函数 y = x ( a 2 - x 2 ) ( 0< x < a ) 的最大值. 错解 由 0< x < a , 知 a + x > 0, 2 ( a 1 ( 2 2 x ) > 0, 于是 , y = x ( a - x ) = x a + x ) ( 2a 2 1 x + ( a + x ) + ( 2a - 2x ) 3 1 - 2x ) ≤ 2 [ ] = 2 3 3 1 3 a , 所以函数 y 的最大值是 a . 2 分析 运用 平均值不等 式求函数 最值 时, 要注意 “一正, 二定, 三相等” , 上述解法中 忽视了等号成 立的条件. 事实上, 三 个正数 x , a + x , 2a - 2x 不可能全相等 , 所以解法是 错误的 . 解 由 0< x < a , 知 0< x 2< a 2, a 2- x 2> 0, 于是, y 2 = x 2 ( a 2 - x 2 ) 2 = 1 2 1 (a2 - x 2 ) ≤ 2 2x 2 ( a 2 - x 2)
A 且同时与 a , b 平行的平面有多少个.
答成 “ m ≥0 ( 由
(m + 2) 2- 4≥ 0
m + 2&g因仅着眼于一般情况, 忽视特殊情 况而造成错解的现象相当普遍 . 因此 , 在教学中 , 在学生的作业指导中要 有意识地提醒学生 注意特殊情况是 否存在
8 1 , 且 �s in 2 x �= 1, 即�tan x �= ,且 cos2x 2 �s in 2x �= 1, 这是不可能成立的. 分析 2 y = - 1+ 6 2 的充要条件是