中南大学2015高等数学下期末题及答案
2015秋高等数学期末样题4套
样题3
1．在处可导，是在处连续的（ ）条件.
（A）必要非充分；（B）充分非必要； （C）充分必要； （D）无
关条件.
2．函数，则是的（ ）
（A）连续点； （B）可去间断点； （C） 跳跃间断点； （D）无穷
间断点。
练习：函数，则是的（ ）
（A）连续点； B）可去间断点； （C） 跳跃间断点； （D）无穷
的图形,例如
1．设曲线和所围成的平面图形为D，求： （1）平面图形D的面积； （2）平面图形D绕x轴旋转一周生成的旋转体体积. 解：
2．在曲线段上求一点，使得由曲线在点的切线与直线所围成的三角形 的面积最大. 解： 四、证明题
掌握微分中值定理证明问题，例如
已知函数在上连续,在内可微（可导）,且求证：在内至少存在一点, 使得。
区间及拐点．
（3）函数图形的斜近线； （4）函数在的曲率． 7．(1)求摆线的一拱的弧长；
（2）求这一拱曲线与轴所围图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积。 8．求解微分方程。 9．有一平底容器，其内侧壁是由曲线绕轴旋转一周生成的旋转曲面， 容器的底面圆的半径为，根据设计要求，当以的速率向容器内注入液体 时，液面的面积将以的速率均匀扩大。 10．求点与其在平面上投影的距离（即点到平面的距离）。
7.设连续，且，求，。 解：
中南大学高等数学答案
中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案
高等数学(专科)
一、填空题： 1.函数1
1
42-+
-=
x x y 的定义域是。 解：),2[]2,(∞+--∞ 。
2.假设函数52)1(2
-+=+x x x f ，那么=)(x f 。
解：62
-x
3.sin lim
x x x
x
→∞-= 。
答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim
=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x
x
x x x x x x x x x
4.22
lim 2
22=--++→x x b
ax x x ，那么=a _____,=b _____。 由所给极限存在知，024=++b a ，得42--=a b ，
又由234
12lim 2lim 22
22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.∞=---→)
1)((lim
0x a x b
e x x ，那么=a _____,=b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a
b
e x a x x x ，∴0,1a b =≠ 6.函数⎪⎩⎪⎨⎧
≥+<=0
1
01sin
)(x x x x
x x f 的连续点是x =。
解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01
sin
lim 00
==+=+-→→f x x
x x x
所以函数)(x f 在0=x 处是连续的，
中南大学高等数学下期末题及答案
--
○○
○○
………… 评卷密封线………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按分处理…………评卷密封
线…………
一、填空题（每小题分，总计分）
、点(3,1,1)A -到平面:2340x y z π-+-=的距离为
（ ）
、曲面4222
2
-+=y x z 在点()1,1,0-处的法线方程为
（ ）
、设Ω是由曲面2
2
z x y =+及平面1z =围成的闭区域，则
(),,d d d f x y z x y z Ω
⎰⎰⎰
化为顺序为z y x →→的三次积分为（ ）
、设∑是xoz 面的一个闭区域xz D , 则曲面积分(),,d f x y z S ∑
⎰⎰可化为二重积分
为（ ）
、微分方程2
1
2y x y
'=-满足初始条件()10y =的解为（ ）
--
=1绕z 轴旋转而成的曲面为（ ）
152=z ； （）15
42
22=+-z y x ； 152=z ； （）()15
42
2=+-z y x D 内具有二阶偏导数222222,,,
f f f f
x y x y y x
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂，则（ ） 2f
y x
∂∂∂； （）则(,)f x y 在区域D 内必连续； D 内必可微； () 以上都不对 D 由2y x =及2y x =-所围成，则化为二次积分后的结果为I = ； （）⎰⎰-+21
2
2y y
xydx dy ；
⎰⎰
-+41
2
x
x xydy dx （）⎰⎰-+21
2
2y y
xydy dx
2=介于点(0,2)到点(2,0)的一段，则
=⎰
( )
（）; ; （）2. ()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 则（
中南大学考试试卷
，
违
者
方程 f (u) 4 f (u) u 的特征方程为 r2 4 0 ，得特征根 r1,2 2
考 试
所以，其对应齐次方程的通解为 f (u) C1e2u C2e2u ，
成 绩 按
设非齐方程的特解为 y* Au B ，代入原方程，得 A 1 , B 0
0
分
4
处
得非齐方程的一个特解为 y* u ，
卷
密 解法一：(与练习册 P84 第二大题类似)
封
线
… V
dv
rdrd
6r2
dz
2
d
2 (6 r2 r)rdr 32 .
… …
Dxy
r
0
0
3
… 解法二：
密
封
线 内 不
V V1 V2
2
dz dxdy
0 Dz1
6
dz dxdy
2 Dz2
2 z2dz
0
6
(6
二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填 在括号中，每小题 3 分，总计 15 分）
1、双曲线
x2 4
z2 5
1 绕 z 轴旋转而成的曲面为（
A
）
y 0
（A） x2 y 2 z 2 1；
4
5
（B） x2 y 2 z 2 1；
中南大学高等数学答案
中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案
高等数学(专科)
一、填空题: 1、函数1
1
42-+
-=
x x y 的定义域就是 。 解:),2[]2,(∞+--∞ 。
2、若函数52)1(2
-+=+x x x f ,则=)(x f 。 解:62
-x 3、sin lim
x x x
x
→∞-= 。
答案:1 正确解法:101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim
=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x
x
x x x x x x x x x
4、已知22
lim 2
22=--++→x x b
ax x x ,则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知,024=++b a ,得42--=a b ,
又由234
12lim 2lim 22
22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5、已知∞=---→)
1)((lim
0x a x b
e x x ,则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a
b
e x a x x x ,∴0,1a b =≠ 6、函数⎪⎩⎪⎨⎧
≥+<=0
1
01sin
)(x x x x
x x f 的间断点就是x = 。
解:由)(x f 就是分段函数,0=x 就是)(x f 的分段点,考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01
sin
lim 00
==+=+-→→f x x
x x x
所以函数)(x f 在0=x 处就是间断的,
中南大学高等数学复习题及答案
中南大学复习题及参考答案
《高等数学》
一、填空题
1．函数1
1
42-+
-=
x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞Y 。
2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ．
解. 62
-x 3．________________sin lim =-∞→x
x
x x
答案：1
正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim
=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x
x
x x x x x x x x x
4.已知22
lim 222=--++→x x b
ax x x ，则=a _____, =b _____。
由所给极限存在知, 024=++b a , 得4
2--=a b , 又由
23
412lim 2lim 2222=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→)
1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。
∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x Θ, 即01)1)((lim
0=-=---→b a
b
e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数⎪⎩⎪⎨⎧
≥+<=0
1
01sin
)(x x x x
x x f 的间断点是x = 。
解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01
sin
lim 00
==+=+-→→f x x
x x x
2015高数作业下答案 (1)
第一次 I 一阶微分方程 1.
()1(2)1
y
C x e +-=;2.
21ln 2x e y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
；
3.
1()1x
x
y x e C e
=
+++；4.
2y x =；5.
2(1)y x C
+=；6.
2
2
2x y y e
-
=；7.
1cos()sin()2x y x y x
π
-+=
+；8.
3121x
Ce x y
=--；9.
()y x y C e =-；
II 可降阶的高阶方程 1.
3
31y x x =++; 2. 12C x
y C e
=；3.
11y x
=
-。 第二次
1．（1）2
560λ
λ-+=；"'560y y y -+= ；
（2）2
440λλ-+=；"'440y y y -+=；（3）"'
230y y y -+= ；
2．（1）3121
3
x x y C e C e x -=++-；（2）
12(cos2sin 2)52x y e C x C x x -=++-；（3）2x
y xe x =-++；（4）
121(cos2sin2)cos24
x x y e C x C x xe x =+-；
3．（1）2()x
y e Ax B *=+；（2）*(cos2sin 2)y x A x B x =+；（3）(cos sin )x
y Ae x B x C x *=++；
（4）cos2sin 2y A B x C x *
=++；
微分方程 综合练习题
一选择题1.B ；2.A ；3.D; 二 提示：根据线性方程解的结构证明；三.
(1ln )y x x =-;
四 1. tan tan x y C ⋅=;2. sin ()x
【经典期末卷】大学高数(下)期末单元测试卷及详细解答
学生填写）
： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线）
班级（学生填写）： 姓名： 学号： ---------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封
--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）
4．求方程y y y y '='+''2
)(的通解．
(4分)
5. 求微分方程 2d 22d x y
xy xe x -+=的通解。 (4分)
6. 求微分方程09422=+y dx
y
d 满足初始条件2
3
,
20
=
===x x dx
dy y
的特解。 （4分）
班级（学生填写）： 姓名： 学号： ------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封
--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）
高等数学下册期末试题15~16
中国传媒大学
2015─2016学年第二学期期末考试试卷（A 卷）
参考答案与评分标准
考试科目： 高等数学A （下） 课程编码： 123002 考试班级： 2015级工科及网工与自动化 考试方式： 闭卷
5小题, 每小题3分, 共15分)
1．过点(,,)203-并与直线x y z x y z -+-=+-+=⎧⎨⎩
2470
35210垂直的平面的方程为
161411650x y z ---= .
2. 函数f x y xy
x y x y x y (,)(,)(,)(,)(,)
=+≠=⎧⎨⎪
⎩⎪2000
0022
在点(0,0)处所具有的分析性质
(连续、偏导数存在、可微)是 偏导数存在 . 3. 设Ω是由222z x y =+及0z a =>所围的闭区域，将22()f x y dv Ω
+⎰⎰⎰化成柱
面坐标下的三次积分式为 220
()a a
r
d rdr f r dz πθ=⎰⎰⎰ .
4. 设C 为平面上从点11(,)A x y 到点22(,)B x y 的有向曲线弧，函数()f x 是连续函数，则积分()C
f x dx =⎰ 2
1
()x x f x dx ⎰ .
5. 设∑是柱面224x y +=介于13z ≤≤之间的部分曲面，它的法向指向含oz 轴的一侧，
则
=_____ 0__ .
4小题, 每小题3分, 共12分)
1. 函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续,且两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 存在是
(,)f x y 在该点可微的( A )
(A).必要条件,但不是充分条件 (B).充分条件,但不是必要条件 (C).充分必要条件 (D).既不是充分条件,也不是必要条件 2. 设22()D
高等数学下期末试题(((七套附答案)))
A． B． C． D．
．幂级数 的收敛域为（ ）。
A． B． C． D．
．设 是微分方程 的两特解且 常数，则下列（ ）是其通解（ 为任意常数）。
A． B．
C． D．
． 在直角坐标系下化为三次积分为（ ），其中 为 ， 所围的闭区域。
A． B． C． D．
三．计算下列各题（共 分，每题 分）
、利用高斯公式计算曲面积分： ，其中 是由 所围区域的整个表面的外侧。
、判别下列级数的敛散性：
五、求解下列各题（共 分,每题 分）
、求函数 的极值。
、求方程 满足 的特解。
、求方程 的通解。
高等数学（下）模拟试卷七
一．填空题（每空3分，共24分）
1．二元函数 的定义域为
2Fra Baidu bibliotek一阶差分方程 的通解为
3． 的全微分 _
、求函数 的极值。
、求方程 满足 的特解。
、求方程 的通解。
高等数学（下）模拟试卷六
一、填空题：（每题 分,共21分.）
．函数 的定义域为。
．已知函数 ，则 。
．已知 ，则 。
．设L为 上点 到 的直线段，则 。
．将 化为极坐标系下的二重积分。
.级数 是绝对收敛还是条件收敛？。
．微分方程 的通解为。
1、设 所确定的隐函数 的导数 。
高等数学下册试题及答案解析
高等数学〔下册〕试卷〔一〕
一、填空题〔每题3分，共计24分〕
1、 z =)0()(log 2
2
>+a y x a 的定义域为D=。
2、二重积分
⎰⎰
≤++1
||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其
值为。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()
()
(βαψϕ≤≤⎩⎨
⎧==x t y t x 那么弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为92
2=+y x 介于0=z 及3=z 间的局部的外侧，那么
=++⎰⎰
∑
ds y x )122
（ 。
6、微分方程
x
y
x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04)4(=-y y 的通解为。 8、级数
∑∞
=+1)
1(1
n n n 的和为。 二、选择题〔每题2分，共计16分〕
1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是〔 〕 〔A 〕),(y x f 在),(00y x 处连续；
〔B 〕),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域存在；
〔C 〕y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(2
2→∆+∆y x 时，是无穷小；
〔D 〕0)
()(),(),(lim
2
2
00000
=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x y
y x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，那么2222y
中南大学高等数学期末考试试卷(含答案)
中南大学高等数学期末考试试卷(含答案)
一、高等数学选择题
1．函数的定义域为.
A、正确
B、不正确
【答案】B
2．点是函数的间断点.
A、正确
B、不正确
【答案】A
3．由曲线，直线，轴及所围成的平面图形的面积为．
A、正确
B、不正确
【答案】A
4．设函数，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
5．是微分方程．
A、正确
B、不正确
【答案】A
二、二选择题
6．不定积分．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
7．设，不定积分（1）
（2）（3）则上述解法中（）．
A、第（1）步开始出错
B、第（2）步开始出错
C、第（3）步出错
D、全部正确
【答案】A
8．设为上的连续函数，且，则定积分（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D
一、一选择题
9．函数在点处连续．
A、正确
B、不正确
【答案】A
10．是偶函数．
A、正确
B、不正确
【答案】B
11． ( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
12．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
13．微分方程的通解是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】A
一、一选择题
14．设，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
二、二选择题
15．函数在点处连续．
A、正确
B、不正确
【答案】A
中南大学高等数学复习题及答案
）
2
2
B. x 2 ；
C. ( x 1) ； D. x 1 。
1 1 1 1 1 x 2 2 2 2 ( x ) 2 2 ，所以 f ( x ) ( x ) 2 2 2 x x x x x
2
则 f ( x) x 2 ，故选项 B 正确。 3．设 f ( x ) x 1 ，则 f ( f ( x) 1) =（ A． x B．x + 1 C．x + 2 ） ． D．x + 3
所以函数 f ( x) 在 x 0 处是间断的， 又 f ( x) 在 (,0) 和 (0,) 都是连续的，故函数 f ( x) 的间断点是 x 0 。
7. 设 y xx 1x 2 x n , 则 y n 1 (n 1)! 8． f ( x) x 2 ，则 f ( f ( x) 1) __________ 。 答案： (2 x 1) 2 或 4 x 4 x 1
6．函数 f ( x)
1 x sin x x 1
x0 x0
的间断点是 x
。
解：由 f ( x) 是分段函数， x 0 是 f ( x) 的分段点，考虑函数在 x 0 处的连续性。 因为 lim x sin
x 0
1 0 lim ( x 1) 1 f (0) 1 x 0 x
高数 下 期末考试试卷及答案
2017学年春季学期
注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方
1．已知
a与b
都是非
零向
量，且满足-=+
a b a b，则必有（）.
(A)-=0
a b(B)+=0
a b(C)0
⋅=
a b(D)⨯=0
a b
2.极限22
22
1
lim()sin
x
y
x y
x y
→
→
+=
+
( ).
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在
3．下列函数中，d f f
=∆的是( ).
（A）(,)
f x y xy
=（B）
00
(,),
f x y x y c c
=++为实数
（C）(,)
f x y=（D）(,)e x y
f x y+
=
4．函数(,)(3)
f x y xy x y
=--，原点(0,0)是(,)
f x y的( ).
（A）驻点与极值点（B）驻点，非极值点
（C）极值点，非驻点（D）非驻点，非极值点
5．设平面区域22
:(1)(1)2
D x y
-+-≤，若
1
d
4
D
x y
Iσ
+
=⎰⎰，
2
D
Iσ
=，
3
D
Iσ
=，则有（）.
（A）
123
I I I
<<（B）
123
I I I
>>（C）
213
I I I
<<（D）
312
I I I
<<
6．设椭圆L：1
3
4
2
2
=
+
y
x
的周长为l，则22
(34)d
L
x y s
+=
⎰（）.
(A) l(B) l3(C) l4(D) l
12
7．设级数∑∞
=1
n
n
a为交错级数，0()
n
a n
→→+∞，则（）.
(A)该级数收敛(B)该级数发散
(C)该级数可能收敛也可能发散(D)该级数绝对收敛
8.下列四个命题中，正确的命题是（）.
（A）若级数
1
n
n
a
∞
=
∑发散，则级数2
高数下学期期末试题(含答案)3套
高等数学期末考试试卷1
一、单项选择题（6×3分）
1、设直线，平面，那么与之间的夹角为( )
A.0
B.
C.
D.
2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（）
A.充分条件
B.充分必要条件
C.必要条件
D.既非充分又非必要条件
3、设函数，则等于（）
A. B.
C． D.
4、二次积分交换次序后为（）
A. B.
C. D.
5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（）
A.绝对收敛
B.条件收敛
C.发散 C.不能确定其敛散性
6、设是方程的一个解，若，则在处（）
A.某邻域内单调减少
B.取极小值
C.某邻域内单调增加
D.取极大值
二、填空题（7×3分）
1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影
＝
2、设，，那么
3、D 为，时，
4、设是球面，则＝
5、函数展开为的幂级数为
6、＝
7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为
三、计算题(4×7分)
1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为 1，求。
2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。
3、计算二重积分，其中
4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。
2
5、求级数的和。
四、综合题(10分)
曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。
五、证明题 (6分)
设收敛，证明级数绝对收敛。
一、单项选择题（6×3分）
1、 A
2、 C
3、 C
4、 B
5、 A
6、 D
二、填空题（7×3分）
1、2
2、
3、 4 、
5、6、0 7、
三、计算题(5×9分)
1、解：令则，故
2、解：令
则
所以切平面的法向量为：
切平面方程为：
3、解：＝＝＝
高等数学下期末试题(七套附答案)
高等数学（下）试卷一
一、 填空题（每空3分，共15分）
（1
）函数
z =的定义域为 （2）已知函数
arctan
y z x =，则z
x ∂=
∂
（3）交换积分次序，2
220
(,)y y dy f x y dx
⎰
⎰
＝
（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则
()L
x y ds +=⎰
（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分）
（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨
--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（ ） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交
（2
）设
是由方程xyz =(1,0,1)-处的dz =
（ ）
A.dx dy +
B.dx +
+
D.dx （3）已知Ω是由曲面2
2
2
425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()x y dv Ω
+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.
22
5
3
d r dr dz
πθ⎰
⎰⎰ B.
24
5
3
d r dr dz
πθ⎰
⎰⎰ C.
22
5
3
50
2r
d r dr dz
πθ⎰⎰⎰ D. 22
5
20
d r dr dz
π
θ⎰
⎰⎰
（4）已知幂级数
，则其收敛半径
（ ）
A. 2
B. 1
C. 1
2
D.
（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *
=（ ）
A.
B.()x ax b xe +
C.()x
ax b ce ++
D.()x
ax b cxe ++
三、计算题（每题8分，共48分）
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1
---○---○---
---○---○---
………… 评卷密封线………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理…………评卷密封
线…………
一、填空题（每小题3分，总计15分）
1、点(3,1,1)A -到平面:2340x y z π-+-=的距离为
（ ）
2、曲面4222
2
-+=y x z 在点()1,1,0-处的法线方程为
（ ）
3、设Ω是由曲面2
2
z x y =+及平面1z =围成的闭区域，则
(),,d d d f x y z x y z Ω
⎰⎰⎰
化为顺序为z y x →→的三次积分为（ ）
4、设∑是xoz 面的一个闭区域xz D , 则曲面积分(),,d f x y z S ∑
⎰⎰可化为二重积分
为（ ）
5、微分方程2
1
2y x y
'=-满足初始条件()10y =的解为（ ）
2
3分，总计15分）
=1绕z 轴旋转而成的曲面为（ ）
152=z ； （B ）15
42
22=+-z y x ； 152=z ； （D ）()15
42
2=+-z y x D 内具有二阶偏导数222222,,,
f f f f
x y x y y x
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂，则（ ） 2f
y x
∂∂∂； （B ）则(,)f x y 在区域D 内必连续； D 内必可微； (D) 以上都不对 其中D 由2y x =及2y x =-所围成，则化为二次积分后的结果为I = xydy ； （B ）⎰⎰-+21
2
2y y
xydx dy ；
⎰⎰
-+41
2
x
x xydy dx （D ）⎰⎰-+21
2
2y y
xydy dx
2=介于点(0,2)到点(2,0)的一段，则
=⎰
( )
（B ）; （C ; （D ）2. ()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 则（ ）.
（B ）12y y -也是方程的解
（D ）122y y -也是方程的解
3
三、（10分） 设平面∏:2450x y z ---=,且直线
:30
x y b l x ay z ++=⎧⎨
+--=⎩在平面∏上，求,a b 的值.
4
………
…
评卷密封线………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分
处理…………评卷密封线…………
四、（10分）
已知函数(,)f x y x y xy =++，曲线22:3C x y xy ++=，C 上的最大方向导数.
5
五、（10分）计算由旋转抛物面226z x y =--及锥面
z =所围成的立体的体积.
六、求解下列各题（每题9分，共18分）
{},1d d xy x y ，其中{}(,)02,02D x y x y =≤≤≤≤.
sin )()y y dx x e dy +++，其中L 是从(1,0)A 沿y =到(1,0)B -的
6
七、（10分）计算I xydydz yzdzdx xzdxdy ∑
=
++⎰⎰，其中∑是平面
0,0,0,2x y z x y z ===++=所围空间区域整个边界曲面的外侧.
7
…
…
…
…
评卷
密封
线
…
…
……
密
封
线内
不
要
答题，密封线外不准
填写考生信
息，
违者
考
试成
绩
按0分
处
理…
…
……评卷
密封线
…
……
…
有二阶连续导数，(cos )x
z f e y =满足2cos )x
y e ，若(0)0,(0)0f f '==， ()f u 的表达式．
D.
(),()3y x b z x a x b =-+=-+-，代入平面∏方5,2a b =-=-.
8
解法二：过直线l 的平面束方程设为3()0x ay z x y b λ+--+++= （或(3)0x y b x ay z λ++++--=），即
(1)()30x a y z b λλλ+++--+= （或(1)(1)30x a y z b λλλλ+++-+-=）， 由题意知
11241a λλ++-==--（或11241
a λλλ
++-==
--）， 解得5,1a λ=-=，将5,1a λ=-=及平面∏上的点(1,2,5)-代入平面束方程，求得
2b =-.
四．解：最大方向导数即为梯度的模，
(,)(1,1),
(,)gradf x y y x gradf x y =++=令2222(,,)(1)(1)(3)F x y x y x y xy λλ=++++++-,由
222(1)(2)0
2(1)(2)030x y F x x y F y y x x y xy λλ=+++=⎧⎪
=+++=⎨⎪++-=⎩
，解得1211,,,1112x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨
⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩，
比较：(1,1)gradf =(2,1)(1,2)3gradf gradf -=-=，
(1,1)0gradf --=，所以(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数为3.
五．
解法一： 2
622
20
32
(6)3
xy
r r
D V dv rdrd dz d r r rdr π
θθπ-Ω
===--=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰. 解法二：
1
2
26262120202832
(6)833z z
D D V V V dz dxdy dz dxdy z dz z dz πππππ=+=+=+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.
六．解： 1.
1
2
3
D D D I dxdy dxdy xydxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰