易错题之等腰三角形

等腰三角形 易易漏漏易易错错
等腰三角形 知识概要：
1、等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。

相等的两条边叫等腰三角形的__，
第三条边叫等腰三角形的 ____
2、等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等。

（简称“__________”）
（2）等腰三角形的顶角平分线__________，并且__________。

（3）等腰三角形的_________________________互相重合。

简称“三线合一”
（4）等腰三角形中的重要线段相等
（5）轴对称性
3、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

简称
“_____________”
4、等边三角形：
（1）三条边均相等的三角形是等边三角形。

（2）等边三角形的每个角都相等，并且每个角都等于60°。

（3）有一个角等于60°的______三角形是等边三角形。

等腰三角形中常见的结论：
**等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的________；
**三条线段能构成等腰三角形的条件是：为腰的两条线段（相等的两条线段）的和大于第三条线
段。

等腰三角形ABC 的周长为10cm ，底边BC 长为ycm ，腰AB 长为xcm.
（1）用含x 的代数式表示y （2）求x 的取值范围；（3）求y 的取值范围.
**过角的平分线上的点作一条边的平行线能构成等腰三角形。

第第一一类类：：关关于于边边的的易易漏漏易易错错
一一、、当当腰腰或或底底边边不不明明确确时时，，必必须须进进行行分分类类讨讨论论；；最最后后务务必必检检验验每每种种情情况况是是否否满满足足三三角角形形的的三三边
边关关系系。

No1、已知等腰三角形的两边长分别为5cm 和6cm ，则此三角形的周长为_____。

No2、已知等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三角形的周长为_____。

No3、若一个等腰三角形的三边长均能满足方程y 2-6y+8=0，则此三角形的周长为_____。

（2015•四川）一个等腰三角形的两条边长分别．．
是方程x 2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A.12
B.9
C.13
D.12或9 No4、已知等腰三角形的周长为14，如果它的一边长为4，那么它的底边为____
No5、已知等腰三角形的一边长为5，周长为21，那么这个三角形另外两边长是_____________
No6、为美化环境，计划用长度为36m 的铁丝围成一个边长为16m 的等腰三角形绿地，那么这个
等腰三角形的面积是___________
No7、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边边长分别为6米，8米。

现在要将绿地扩充为等
腰三角形，且扩充部分是以8米为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形的周长
二二、、在在等等腰腰三三角角形形中中，，若若三三边边用用字字母母表表示示时时要要分分三三种种情情况况进进行行分分类类讨讨论论；；最最后后务务必必检检验验每每种种情
情况况是是否否满满足足三三角角形形的的三三边边关关系系。

No1、已知△ABC 是等腰三角形，周长为8cm ，AB ＝3cm ，则BC ＝___________cm
No2、已知△ABC 是等腰三角形，AB =5，AC = 6，则△ABC 的周长=____
No3、(2015四川)在平面直角坐标系中，点A(2，2),B(32,32)，动点C 在x 轴上，若
以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
No4、如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点P 在x 轴上，若以P ，O ，A 为顶点的三
角形是等腰三角形，则满足条件的点P 共有
A ． 2个
B ． 3个
C ．4个
D ．5个
No5、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC ＝12，BD ＝16，E 为AD 的中点，点
P 在x 轴上移动．小明同学写出了两个使△POE 为等腰三角形的P 点坐标为(－5，0)和(5，0)．请
你写出其余所有符合这个条件的P 点的坐标
No6、在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（-1，0），点B 的坐标是（1，2）。

若点P 在坐标轴
上，且△ABP 是等腰三角形，则这样的点P 有___个，写出坐标
No7、已知：如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标
分别为A （6，0），C （0，2），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为3的等
腰三角形时，点P 的坐标是______________
No8、如图，矩形ABCD 中AB=4，BC=43，点E 是折线段A-D-C 上的一个动点（点E 与点A
不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点，在点E 运动过程中，使△PCB 为等腰三角形的点E 的
位置共有 4 个
（1）PB=PC 则P 在BC 的中垂线上，若点P 是点A 关于BE 的对称点则BA=BP ，画圆弧找P 点
有2个
（2）CB=CP 则P 在以C 为圆心CB 为半径的圆弧上，又BA=BP ，画圆弧找P 点有2个
（3）BP=BC 不存在
No9、矩形ABCD 中，AB=10，BC=3，E 为AB 边的中点，P 为CD 边上的点，且△AEP 是腰长为5的
等腰三角形，则DP=____________ 4或1或9。

No10、如图，点A 在x 轴上，OA=4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120至OB 的位置。

（1）求点B 的坐标；
（2）求经过点A 、O 、B 的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？
若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由。

提示：
A
B
C
D
E
P
No11、在等腰梯形ABCD 中，AD ‖BC ，BC=42，AD=2，∠B=45°。

直角三角板含45度角的顶
点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F 。

若△ABE 为等腰三角形，则
CF 的长为多少（仅给出1个图形，其它情况的图形自画）
（2或2
5或42-3） No12、如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，点P 从点
D 出发沿D
E 方向运动，过点P 作PQ ⊥BC 于Q ，过点Q 作QR ∥BA 交AC 于R ，当点Q 与点C 重合
时，点P 停止运动．设BQ=x ，QR=y ．如果在点P 运动的过程中，使△PQR 成为等腰三角形，则x
的值是___
提示：
No13、抛物线2
53212-+-
=x x y 与x 轴交于点A （1，0），B （___，0）,顶点为C （____，___）,其对称轴交x 轴于点D （___，0）,将∠DCB 绕点C 按顺时针方向旋转，角的两边CD 和CB 与x
轴分别交于点P 、Q ，设旋转角为β度（0<β≤90），当β等于多少度时△CPQ 是等腰三角形？
22.5
No14、已知点C （4，0），直线y=-2x+4上找一点M ，使△OMC 为等腰三角形，求出点M 的坐标
No15、已知在平面直角坐标系中点D （2，0），抛物线4212++-=x x y 经过点A （___，0），C （0，___）, 在抛物线上是否存在点P ，过P 点作x 轴的平行线交AC 于点F ，使△ODF 是等腰三角形？
若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由
No16、抛物线46
5612++-=x x y 与x 轴交于点A （-3，0），B （5，___）, C （0，___）,其对称轴交x 轴于点N （___，0）, 试问：在x 轴下方的对称轴上是否存在点P ，使△PAB 为等腰三角
形？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。

No17、已知点A （-4，0），B （8，0），C （0，-6），设点M 是BC 边上的一个动点，过M 作MN ∥AB
交AC 于点N ，试问：在x 轴上是否存在点P ，使△PMN 为等腰直角三角形？若存在，请求出点P
的坐标，若不存在，请说明理由。

No18、如图,直线AB 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A （8，0）、B （0，6）两点，P 为线段AB(异
于A 、B)之间的一动点．且PQ ∥OA 交OB 于点Q.在x 轴上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰直角三
角形，若存在，求出点M 与P 的坐标；若不存在，说明理由．
No19、如图所示，在矩形ABCD 中，AB=12厘米，BC=6厘米．点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2
厘米/秒的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1厘米/秒的速移动，如果P 、Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t ≤6），那么：
（1）当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？
（2）求四边形QAPC 的面积，并提出一个与计算结果有关的结论 t=2 一半
第第二二类类：：关关于于角角的的易易漏漏易易错错
一一、、当当顶顶角角或或底底角角不不明明确确时时，，必必须须进进行行分分类类讨讨论论；；最最后后务务必必检检验验每每种种情情况况是是否否满满足足三三角角形形的的内
内角角和和定定理理。

No1、已知等腰三角形的一内角为70°，该等腰三角形其余两角为55°，55°或70°，40°
No2、已知等腰三角形的一内角为95°，该三角形的其余两角为42.5°，42.5°
No3、等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，该三角形的顶角为__________；
No4、已知等腰三角形的一个外角为75°，该等腰三角形的三个内角为105°、37.5°、37.5° No5、已知等腰三角形的一个外角为110°，则该等腰三角形的三个内角为70°，55°，55°或
70°，70°，40°
二二、、在在等等腰腰三三角角形形中中，，若若三三边边用用字字母母表表示示时时要要分分三三种种情情况况讨讨论论；；最最后后要要检检验验每每种种情情况况是是否否满满足
足三三角角形形的的内内角角和和定定理理。

No1、在等腰△ABC 中，∠A ＝80°，那么∠B ＝
No2、已知△ABC 是等腰三角形，∠A 外角为100 °,那么∠B ＝
No3、（1）如图1，△ABC 中，∠C=90°，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC 分割成两个等腰
三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）．
（2）已知内角度数的两个三角形如图2，图3所示．请你判断，能否分别画一条直线把它们分
割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数。

No4、数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经
过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题(1)．
(1)已知：如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，直线BD 平分∠ABC 交AC 于点D ．求证：
△ABD 与△DBC 都是等腰三角形；
(2)在证明了该命题后，小颖发现：下面两个等腰三角形如图②、③也具有这种特性．请你在
图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形
两个底角的度数；
(3)接着，小颖又发现：直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性，如：直角三角形
斜边上的中线可把它分成两个小等腰三角形．请你画出两个具有这种特性的三角形的示意图，并
在图中标出三角形各内角的度数．说明：要求画出的两个三角形不相似，而且既不是等腰三角形
也不是直角三角形。

No5、已知△ABC 中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三
角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理
由，但要在图中标出相等两角的度数）
No6、在△ABC 中，AB=AC 。

若过△ABC 一个顶点的直线可将△ABC 分成两个等腰三角形，求△ABC
各内角的度数。

提示：分过顶角的顶点和过底角的顶点2种，进而再分类讨论。

你会发现，三内角度数之比分别为：(1)1∶_∶_；(2)1∶_∶_；(3) 1∶_∶_；(4)1∶_∶_
No7、△ABC 中，∠A=36°，过B 的直线BD 将△ABC 分成两个等腰三角形，则符合条件的角度不
同的△ABC 有（ ）种。

No8、在△ABC 中，∠A=30°，过点B 的直线BD 能将△ABC 分成两个等腰三角形，则∠ABC 的最
大值为_______度
A
B C h
图①
图② 图③ 36°
1 2 3
A
B C 备用图① A B
C 备用图②
第第三三类类：：有有关关垂垂直直的的易易漏漏易易错错
一一、、对对于于等等腰腰三三角角形形腰腰上上的的高高，，应应按按高高在在形形内内与与形形外外分分类类（（顶顶角角为为锐锐角角和和钝钝角角两两种种情情况况，，顶顶角
角为为直直角角的的情情况况一一般般不不存存在在））。

No1、等腰三角形两腰上的高（或延长线）相交所成的角为500，求这个三角形的各个内角的度数。

已知等腰ΔABC 腰AB 上的高CD 与另一腰AC 的夹角为30°，则其顶角的度数为
A 、60°
B 、120°
C 、60°或150°
D 、60°或120°
（（说说明明：：当当等等腰腰三三角角形形一一腰腰上上的的高高与与另另一一腰腰的的夹夹角角为为00°°时时；；显显然然为为等等腰腰直直角角三三角角形形，，只只有有一一种种情情况况））
No2、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为250，求这个三角形的各个内角的度数。

No3、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为300，腰长为a 。

则其底边上的高为____
No4、如果等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，那么顶角为___度
二二、、没没有有指指明明腰腰上上的的高高还还是是底底边边上上的的高高，，应应逐逐层层分分类类讨讨论论
No1、在等腰△ABC 中，∠A=30°，AB=8，则AB 边上的高CD 的长 4。

No2、等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为 8或 No3、如果等腰三角形一边上的高等于腰长的一半，那么顶角为___度
No4、如果等腰三角形一边上的高等于这边长的一半，那么顶角为_度
三三、、对对于于无无附附图图的的普普通通三三角角形形，，涉涉及及高高时时也也要要按按高高在在形形内内与与形形外外进进行行分分类类
No1、已知三角形相邻两边长分别为20cm 和30cm ，第三边上的高为10cm ，则此三角形的面积
为___________
No2、已知△ABC 中，AB=24，BC=13，∠BAC=30°，则第三边AC 的长为___________
No3、曙光中学有一块三角形的花圃△ABC,现可直接测量到∠A=300，AC ＝40m ，BC=25m ，请计算
出这块花圃的面积
No4、为了美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长为10米的等腰三角形绿
地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。

分析：此题只给了等腰三角形的一边为10，此边可为底，可为腰，当10为腰时还须分高在形内
与形外加以讨论，否则易漏解。

（61米，61米或10米，210米或10米，610米）
No5、在ΔABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2＝B D ×DC ，则∠BCA 的度数为
＿＿＿＿
析析解解：：当当∠∠A A C C B B 是是锐锐角角时时高高在在形形内内，，当当∠∠A A C C B B 是是钝钝角角时时高高在在形形外外，，应应填填6655°°或或111155°°。

No6、求证：等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高（运用面积法可以证明），等
腰三角形底边延长线上任一点点到两腰距离的差等于腰上的高。

请应用上述结论完成下题：已知直线33+-=x y 和直线343+=
x y ，在直线33+=x y 上有一点P ，且点P 到直线343+=x y 的距离是2，求P 点的坐标
四四、、由由腰腰的的垂垂直直平平分分线线所所引引起起的的分分类类讨讨论论
No1、在三角形ABC 中，AB=AC ，AB 边上的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为400，
则底角B 的度数为__________________。

No2、王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水
渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米（水渠的宽不算）。

请你计算
这块等腰三角形的菜地的面积
其其它它 易易漏漏易易错错
一一、、由由腰腰上上的的中中线线引引起起的的分分类类讨讨论论
No1、等腰三角形底边为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，求腰长。

No2、等腰三角形一腰上的中线将等腰三角形的周长分成8cm 和10cm 的两部分，求该等腰三角
形的各边长。

二二、、几几何何图图形形之之间间的的位位置置关关系系不不明明确确而而需需分分类类讨讨论论的的问问题题
No1、已知C 、D 两点在线段AB 的中垂线上，且∠ACB=500，∠ADB=800，求∠CAD 的度数。

No2、已知△ABC 中，BC>AB>AC ，∠ACB=400，如果D 、E 是直线AB 上的两点，且AD=AC ，BE=BC ，求∠DCE 的度数。

关关于于等等腰腰三三角角形形的的几几个个探探索索性性问问题题
1、已知线段AB ，以AB 为一边画等腰三角形，另一顶点C 在什么位置？请画图说明．
2、以已知线段AB 为一边的等腰直角三角形的另一顶点P 共有几个位置？请画图说明．
3、已知线段AB 和直线l ，等腰△PAB 的顶点P 在直线l 上．这样的P 点可能有几个？并画出一种图形．
4、已知 △ABC 中，AB=AC ，试在该平面内找一点P ，使得△PAB 、△PAC 都是等腰三角形的点P 有几个
5、已知正方形ABCD ，试在该平面内找一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 都是等腰三角形．这样的点P 共有几个位置？请画出图形．
6、已知正三角形ABC ，试在该平面内找一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形．这样的点P 共有几个位置？请画出图形．将原题中图形置于直角坐标系中，求P 点的坐标．
7、在三角形ABC 中，顶角为36度。

试在该平面内找一点P ，使得△PAB,△PBC,△PAC 都是等腰三角形.问: 这样的点P 共有几个?
8、已知 △ABC 中，AB ＞AC ，能使得△PAB 、△PAC 都是等腰三角形的点P 最多能有几个？最少能有几个？画出图形．
9、已知线段AB 、CD(直线AB 与直线CD 斜交)，能使得△PAB 、△PCD 都是等腰三角形的点P 最多能有几个？最少有几个？分别画出图形．
若AB ∥CD ，则P 点的个数还有可能为无穷多，也可能为零
10、在平面上画四个点，使得在度量它们每两点之间的距离时总共只有两个值．请画出形状不同
的各种图形．
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