北京市朝阳区高三数学第二次高考模拟考试(理) 新人教版

朝阳区2009～2010学年度高三年级第二学期统一考试（二）数学学科测试（理工类）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。

考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。

一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合1{ 2 }2x A x -=?-，{4, 2, 0, 1 }B =--，则A B I 等于（A ）{4,2,0,1}-- （B ）{2,0,1}- （C ）{4}- （D ）Æ（2）已知向量(1, 2)=a ，(3, 2)=-b ，如果k +a b 与3-a b 垂直，那么实数k 的值为（A ）19- （B ）13-（C ）119（D ）19 （3）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（A ）112 （B ）80 （C ）72 （D ）64（第3题图）（第4题图）俯视图 侧视图（4）某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值为31，则a 等于（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2 （5）已知平面a ，b ，直线l a ^，直线m b Ì，有下面四个命题：①a b∥Þl m ^ ② a b ^Þl m ∥③ l m∥Þa b ^④ l m ^Þa b ∥其中正确的命题是 （A ）①与② （B ）③与④ （C ）①与③ （D ）②与④（6）函数2()(2)e xf x x x =-的图象大致是（7）已知椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>，A 是椭圆长轴的一个端点，B 是椭圆短轴的一个端点，F 为椭圆的一个焦点. 若AB BF ⊥，则该椭圆的离心率为（A（B（C（D（8）已知函数222()(1)2f x a x bx b =--+（11b a -<-<）. 用()card A 表示集合A中元素的个数，若使得()0f x >成立的充分必要条件是x A Î，且()4c a r d A =Z I ，则实数a 的取值范围是（A ）(1, 2)- （B ）(1, 2) （C ）(2, 3) （D ）(3, 4)（A ） （B ） （C ） （D ）第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）不等式组0,10,3260x x y x y ìïïï--íïï--ïïî≥≥≤所表示的平面区域的面积等于 .（10）已知圆4cos :3sin x C y q q ì=+ïïíï=+ïî（q 为参数），直线:230l x y -+=，则圆心C 到直线l 的距离为 .（11）如右图，从圆O 外一点P 引两条直线分别交圆O 于点、A B ， 、C D ，且PA AB =，5PC =,9CD =，则AB 的长等于 .（12）如果1()nx x+展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ，展开式中的常数项的值等于 .（13）上海世博园中的世博轴是一条1000m 长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧（如下图所示）. 现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120. 据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是m .（14）已知数列{}n a 为等差数列，若m a a =，n a b =（1n m -≥，, m n *ÎN ），则m n nb maa n m+-=-. 类比等差数列{}n a 的上述结论，对于等比数列{}n b （0n b >，n *ÎN ）若m b c =，n b d =（n m -≥2，, m n *ÎN ），则可以得到m n b += .CB世博轴·A 中国馆120º三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本小题满分13分）设函数()2sin cos cos(2)6f x x x x π=--．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当2[0,]3x π∈时，求函数()f x 的最大值及取得最大值时的x 的值.(16)（本小题满分13分）袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取球.（Ⅰ）若有放回地取3次，每次取1个球，求取出1个红球2个黑球的概率； （Ⅱ）若无放回地取3次，每次取1个球，①求在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率； ②求取出的红球数X 的分布列和均值（即数学期望）.(17)（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角 形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC（Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ； （Ⅲ）当二面角E BD C --的大小为45︒时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由(18)（本小题满分13分） 已知函数22()ln axf x x e=-，（a e R,∈为自然对数的底数）． （Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；（Ⅱ）当1a =时，过点(0, )P t ()t ∈R 作曲线()y f x =的两条切线，设两切点为111(,())P x f x ，222(,())P x f x 12()≠x x ，求证：120x x +=．(19)（本小题满分13分）已知动点M 到点(1, 0)F 的距离，等于它到直线1x =-的距离． （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线C 于点,A B 和,M N ．设线段AB ，MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求FPQ ∆面积的最小值．(20)（本小题满分14分）已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，11a >，且10(21)(2)n n n S a a =++，*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）是否存在*, , m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的,,m n k 的值；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）设32n n n b a -=-，2(3)51n n n a c n +=-，若对于任意的*n ∈N ，不等式12031(1)(1)(1)nb b b +++≤恒成立，求正整数m 的最大值．（考生务必将所有题目的答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）朝阳区2009～2010学年度高三年级第二学期统一考试（二）数学学科测试答案（理工类） 2010.5一、选择题:三、解答题:(15)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为()2sin cos cos(2)6f x x x x π=-+sin 2(cos 2cossin 2sin )66x x x ππ=--3sin 222x x = )6x π=-，所以())6f x x π=-. …………5分所以函数()f x 的最小正周期为π． …………7分 （Ⅱ）由222()262k x k k p p p p p --+?Z ≤≤得，()63k x k k p pp p -+?Z ≤≤.又因为[0, ]x π∈，所以函数()f x 在[0,]p 上的递增区间为[0,]3π和5[, ]6ππ．…………13分 (16)（本小题满分13分） 解：（1）记“取出1个红球2个黑球”为事件A ，根据题意有12334144()()()77343P A C =⨯=；答：取出1个红球2个黑球的概率是144343. …………4分（2）①方法一：记“在前2次都取出红球”为事件B ，“第3次取出黑球”为事件C ，则321()767P B ⨯==⨯，3244()76535P BC ⨯⨯==⨯⨯，所以4()435(|)1()57P BC P C B P B ===.方法二：()3244(|)()3255n BC P C B n B ⨯⨯===⨯⨯. 答：在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率是45. …………7分 ②随机变量X 的所有取值为0, 1, 2, 3.3343374(0)35C A P X A ⋅===，2134333718(1)35C C A P X A ⋅===， 1234333712(2)35C C A P X A ⋅===，3333371(3)35C A P X A ⋅===.所以418121459012335353535357EX =⨯+⨯+⨯+⨯==. …………13分 (17)（本小题满分14分） 解法一：证明：（Ⅰ）连接OE ，由条件可得SA ∥OE .因为SA Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ，所以SA ∥平面BDE . …………4分（Ⅱ）由已知可得，SB SD =,O 是BD 中点，所以BD SO ^，又因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ^. 因为ACSO O =，所以BD SAC ⊥面.又因为BD BDE ⊂面，所以平面BDE ⊥平面SAC . …………8分 （Ⅲ）解：连接OE ，由（Ⅱ）知BD SAC ⊥面.而OE SAC ⊂面, 所以BD OE ⊥. 又BD AC ⊥.所以EOC ∠是二面角E BD C --的平面角，即45EOC ∠=︒. 设四棱锥S ABCD -的底面边长为2，在SAC ∆中，2SA SC ==, AC =又因为12OC AC ==SO OC ⊥, 所以SOC ∆是等腰直角三角形.由45EOC ∠=︒可知，点E 是SC 的中点. 解法二：（Ⅰ）同解法一 …………4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO ABCD ⊥面，AC 建立如图所示的空间直角坐标系. 设四棱锥S ABCD -的底面边长为2， 则(0, 0, 0)O ，(0, 0,S ，) 0, 0A，()0, 0B ，()0, 0C ，()0, 0D .所以()0, 0AC =-，()0, 0BD =-. 设CE a =（02a <<），由已知可求得45ECO ∠=︒. 所以(, 0, )22E a ，(, )22BE a =. 设平面BDE 法向量为(, , )x y z =n ，则0,0BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0, ()0.22y a x =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令1z =，得(, 0, 1)2aa=-n . 易知()0, 0BD =-是平面SAC 的法向量. 因为(, 0, 1)(0, 0)02aBD a⋅=⋅-=-n ， 所以BD ⊥n ，所以平面BDE ⊥平面SAC . …………8分（Ⅲ）解：设CE a =（02a <<），由（Ⅱ）可知，平面BDE 法向量为(, 0, 1)2aa=-n . 因为SO ABCD ⊥底面，所以(0, 0,OS =是平面SAC 的一个法向量. 由已知二面角E BD C --的大小为45︒.所以cos , cos 45OS 〈〉=︒=n ，2=，解得1a =. 所以点E 是SC 的中点. …………14分 (18)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(, 0)(0, )-∞+∞．222()()a e ax f x x e ex-'=-=. 当0a =时，由2()0f x x'=>，解得0x >；当0a >时，由2()()0e ax f x ex -'=>，解得0ex a<<； 当0a <时，由2()()0e ax f x ex-'=>，解得0x >，或e x a <． 所以当0a =时，函数()f x 的递增区间是(0, )+∞； 当0a >时，函数()f x 的递增区间是(0, )ea；当0a <时，函数()f x 的递增区间是(, )e a-∞，(0, )+∞． …………8分 （Ⅱ）因为222()()e x f x x e ex-'=-=， 所以以111(,())P x f x 为切点的切线的斜率为112()e x ex -； 以222(,())P xf x 为切点的切线的斜率为222()e x ex -． 又因为切线过点(0, )P t ，所以21111122()ln (0)x e x t x x e ex --+=-； 22222222()ln (0)x e x t x x e ex --+=-. 解得，221t x e += ，222t x e +=. 则2212x x =. 由已知12x x ¹所以，120x x +=． ……………………………13分(19)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设动点M 的坐标为(,)x y ，|1|x +，化简得24y x =，所以点M 的轨迹C 的方程为24y x =．……4分（Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为11(, )x y ，22(,)x y ，则点P 的坐标为1212(,)22x x y y ++． 由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =- (0)k ≠，由24, (1),y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=. 2242(24)416160k k k D =+-=+>.因为直线1l 与曲线C 于,A B 两点，所以12242x x k +=+，12124(2)y y k x x k+=+-=． 所以点P 的坐标为222(1, )k k+.由题知，直线2l 的斜率为1k -，同理可得点Q 的坐标为2(12,2)k k +-.当1k ≠±时，有222112k k +≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--.所以，直线PQ 的方程为222(12)1k y k x k k +=---， 整理得2(3)0yk x k y +--=.于是，直线PQ 恒过定点(3, 0)E ；当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点(3, 0)E ．综上所述，直线PQ 恒过定点(3, 0)E ． …………10分 （Ⅲ）可求的||2EF =，所以FPQ ∆面积121||(2||)2(||)42||||S FE k k k k =+=+≥. 当且仅当1k =±时，“=”成立，所以FPQ ∆面积的最小值为4．…………13分(20)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）11110(21)(2)a a a =++，得2112520a a -+=，解得12a =，或112a =． 由于11a >，所以12a =．因为10(21)(3)n n n S a a =++，所以210252n n n S a a =++.故221111101010252252n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++---，整理，得22112()5()0n n n n a a a a ++--+=，即11()[2()5]0n n n n a a a a +++--=． 因为{}n a 是递增数列，且12a =，故10n n a a ++≠，因此152n n a a +-=． 则数列{}n a 是以2为首项，52为公差的等差数列. 所以512(1)(51)22n a n n =+-=-.………………………………………………5分 （Ⅱ）满足条件的正整数, , m n k 不存在，证明如下：假设存在*, , m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=， 则15151(51)2m n k -+-=-． 整理，得3225m n k +-=， ① 显然，左边为整数，所以①式不成立．故满足条件的正整数, , m n k 不存在． …………9分（Ⅲ）313(51)21222n n n n b a n n --=-=--=+， 2(3)2(3)51351512n n n a n n c n n n ++-==⋅=+--．不等式12011131(1)(1)(1)n mb b b+++可转化为 111(1)(1)(1)b +++3121231111n n b b b bb b b b ++++=⋅⋅⋅4682235721n n +=⋅⋅⋅⋅⋅+． 设46822()35721n f n n +=⋅⋅⋅⋅⋅+， 则 (1)21()35721f n n f n n ⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅⋅⋅+2423n n +=+ 24124n n +=>===+. 所以(1)()f n f n +>，即当n 增大时，()f n 也增大． 要使不等式12031(1)(1)(1)n b b b +++对于任意的*n ∈N 恒成立，只需min ()31m f n ≤即可． 因为min 4()(1)315f n f ===， 即43112448151515m ⨯==≤. 所以，正整数m 的最大值为8． …………14分。