立体几何-点线面位置关系+线面位置关系-定理+图
线线、线面、面面的位置关系
线线、线面、面面的位置关系
1.命题方向预测：
1.点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点．以考查点、线、面的位置关系为主.
2.线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点．着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．
3.线线、线面、面面垂直的问题是命题的热点．着重考查垂直关系的转化及应用，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．
4.线线、线面、面面的位置关系问题，往往是平行、垂直关系综合考查，题型有选择题、填空题及解答题．难度中、低档题兼有.
2.课本结论总结：
1.平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2.直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
共面直线
平行
相交
异面直线：不同在任何一个平面内
(2)异面直线所成的角
①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线
a ′∥a ，
b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角). ②范围：02
π?? ??
，.
3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.
4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.
5.公理4
平行于同一条直线的两条直线互相平行. 6.定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
7.直线与平面平行的判定与性质
8.面面平行的判定与性质
9.直线与平面垂直
第六讲_立体几何之点线面之间的位置关系
第六讲 立体几何之点线面之间的位置关系
直线与平面平行、平面与平面平行
1、 直线与平面的位置关系：平行、相交、在平面内
2、 直线和平面平行的判定及性质
（1） 判定 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（简述为线线平行线面平行）
（2） 性质 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线
平行。（简述为线面平行线线平行）
3、 两个平面的位置关系：平行、相交
4、 两个平面平行的判定与性质
（1） 判定 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 （2） 性质 如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、两个平行平面的距离
和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线．公垂线夹在平行平面间的部分．叫做这两个平面的公垂线段．两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离
例1、如图，在三棱锥P-ABC 中，点Ο、D 分别是AC 、PC 的中点，求证： OD//平面PAB
例2、如图在四棱锥P-ABCD 中，M 、N 分别是AB ，PC 的中点，若ABCD 是平行四边形，
求证：MN//平面PAD
空间图形的关系
空间基本关系与公理 平行关系 垂直关系
公理 点、线、面的位置关系 判定 性质 应用 应用
性质 判定 j
E N M D C B A P D O C
B A P
例3、如图，在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求证：平面A 1BD//平面CB 1D 1
例4、在正方形
2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系课件理新人教A版
5 C. 5
2 D. 2
解析：选 C.如图，连接 BD1，交 DB1 于 O，取 AB 的中点 M， 连接 DM，OM， 易知 O 为 BD1 的中点，所以 AD1∥OM，则∠MOD 为异面直线 AD1 与 DB1 所成角．因为在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝BC＝1，AA1＝ 3， AD1＝ AD2＋DD21＝2，DM＝ AD2＋12AB2＝ 25，DB1＝ AB2＋AD2＋DD12＝ 5，
且 D1F⊂平面 A1ADD1， 所以 P∈平面 ABCD， 且 P∈平面 A1ADD1. 又平面 ABCD∩平面 A1ADD1＝AD，所以 P∈AD， 所以 CE、D1F、DA 三线交于一点．
共面、共线、共点问题的证明方法 (1)证明点或线共面，①首先由所给条件中的部分线(或点)确定 一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有 条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． (2)证明点共线，①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在 这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上． (3)证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经 过该点． [提醒] 点共线、线共点等都是应用公理 3，证明点为两平面的 公共点，即证明点在交线上．
又因为 A1D1 綊 BC，所以四边形 A1BCD1 是平行四边形， 所以 A1B∥CD1，所以 EF∥CD1， 所以 EF 与 CD1 确定一个平面 α， 所以 E、F、C、D1∈α， 即 E、C、D1、F 四点共面．
空间点线面的位置关系PPT课件
②符号语言：
A , B , C 不 共 线 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 A , B , C
③定义的说明：
过不在一条直线上的四点，不一定有平面.故要充分重视“不在一 条直线上的三点”这一条件；
“有且只有一个”强调的是存在性和唯一性两方面，不能用“只 有一个”替代；
(1)平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是 最基本的概念，即为不加定义的原始概念.
(2)平面的基本特征是无限延展性.
平面是理想的，绝对的平（平面是处处平直的面）； 平面没有大小、没有厚薄和宽窄，是不可度量的.
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的 平面概念是现实平面加以抽象的结果.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
A B C
B
A
aC
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
a
α
b
a
b
α
注3： 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据， 是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.
精选PPT课件
a A
B
B
α
A
精选PPT课件
8
2.点、直线、平面的位置关系
(3)直线与平面的位置关系：按公共点个数分三类
立体几何-点线面关系
[方法技巧] 用平移法求异面直线所成的角的步骤
(1)一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角； 如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
( ]π
0， (2)范围： 2 .
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
空间两直线位置关系的判定 [例 1] (1)下列结论正确的是( ) ①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交； ④空间四条直线 a，b，c，d，如果 a∥b，c∥d，且 a∥d，那么 b∥c.
5
A．①②③
B．②④
C．③④
D．②③
(2)在图中，G，N，M，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)
[方法技巧] 判断空间两直线位置关系的思路方法
(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准 确判断．
①公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
立体几何初步（空间点、线、面的位置关系）
立体几何初步（空间点、线、面的位置关系）
一、平面
⑴ 平面的概念：（描述性）（描述性）
⑵平面的表示：通常用希腊字母a 、β、g 表示，如平面a （通常写在一个锐角内）；
也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面A C
⑶点与平面的关系：点A 在平面a 内，记作A a Î；点A 不在平面a 内，记作A a Ï
点与直线的关系：点A 的直线l 上，记作A Îl ； 点A 不在直线l 上，记作A Ïl
直线与平面的关系：直线l 在平面a 内，记作l Ìa ；直线l 不在平面a 内，记作l Ëa 。
二、几个公理
公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，
或者平面经过直线）或者平面经过直线）
符号语言：,,,A l B l A B l a a a ÎÎÎÎÞÌ
公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：推论：
⑴一条直线和直线外一点确定一平面；⑴一条直线和直线外一点确定一平面；
⑵两条相交直线确定一平面；⑵两条相交直线确定一平面；
⑶两条平行直线确定一平面。⑶两条平行直线确定一平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号语言：l P l B A B A P Î=ÇÞÇÎ,
公理3的作用：
①它是判定两个平面相交的方法。①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。
立体几何-点线面位置关系+线面位置关系-定理+图
点、直线、平面之间的位置关系
（1）理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：
①公理1：如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直
线在此平面内。
②公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
③公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且
只有一条过该点的公共直线。
④公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。
⑤定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
n m a m 1n 1m 2
n 2
m 1n 1m 2n
2
（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。
理解以下判定定理：
①平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此
平面平行。
②一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平
面平行。
③一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此
平面垂直。
④一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。
理解以下性质定理，并能够证明：
①如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任一个平面与
此平面的交线和该直线平行。
②两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
③垂直于同一个平面的两条直线平行。
④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平
面垂直。
(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
空间点线面之间的位置关系
空间点线面之间的位置关系
一、平面
1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．
平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：
(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角 画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：
画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被
遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）
3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言
空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直
线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示
点、线、面的基本位置关系如下表所示：
b A =
a α⊂
α=∅ α
B
A
β
α
A
B
α
β
α
βB
A
A
β
αB
A
α=
l β= 二、平面的基本性质
1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
推理模式：
A A
B B ααα∈⎫
⇒⊂⎬∈⎭
． 如图示： 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂ 公理1的作用：①判定直线是否在平面内；
②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．
2. 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫
⎪
∈⇒⎬⎪∈⎭
不共线与β重合
或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
立体几何——点线面的关系
第二部分点、线、平面之间的位置关系
第一讲空间点、直线、平面之间的位置关系
一、导入
1. 正确理解平面的儿何概念，掌握平面的基本性质；
2 .熟练掌握三种数学语言的转换与翻译，熟练点线面关系符号语言的书写:;
3. 结合图形理解空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系；
4 .进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换；
5 .进一步培养学生的空间想象和全面思考问题的能力.
二、知识点梳理
（一）平面的表示方法
1. 平面是无限延伸的，但常用平面的一部分来表示平面.
2.画法:常用平彳二四边形
3.1 • （标记在角上）
②平面A BCD ③平面A C或平面BD
注意：（1）平面的两个特征:①无限延伸②平的（没有厚度）
（2）一条直线把平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分（二）点、线、面的基本位置关系
（1）符号表示：点A、线a、面a
(2)集合关系:A e a, A e a,a u a
例1判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打否则打X
1、一个平面长4米，宽2米；（）
2、平面有边界；（）
3、一个平面的面积是2 5 cnr :
4、一个平面可以把空间分成两部分・（）
例2如图，用符号表示以下各概念：
①点力、B在直线*上；
②直线a在平面a内；
点C在平面01内；
③点O不在平面0C内；直线b不在平面a内.
变式训练一
1 •将下列符号语言转化为图形语言:
(1) B 已卩、A el, Bel
(2 ) a u a、b u 卩、ar\ 卩= c y a // c, b cc = p
2. 将下列文字语言转化为符号语言：
高中数学第六章立体几何初步3.2刻画空间点线面位置关系的公理二课件北师大版必修第二册
A∉α,B∈α,l⊂α,B∉l⇒AB与l是异面直线(如图).
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
变式训练2分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是
(
)
A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能
解析如图①所示,直线a与b互相平行;如图②所示,直线a与b相交;如
所以C1M1∥CM.
由平面几何知识可知,∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.
所以∠BMC=∠B1M1C1.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟 有关证明角相等问题,一般采用下面三种途径
(1)利用等角定理.
(2)利用三角形相似.
(3)利用三角形全等.
本例是通过第一种途径来实现的.
探究一
探究二
探究三
异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②③所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用
一个或两个平面来衬托.
2.判断两直线为异面直线的方法
(1)定义法;(2)两直线既不平行也不相交.
激趣诱思
知识点拨
微思考
分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗?
情况 直,记作:a⊥b
立体几何知识梳理：线面的位置关系
立体几何知识梳理：线面的位置关系
一．基础知识：
（1）公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
作用：证明直线在平面内。
（2）公理2：经过不在同一条直线上三点，有且只有一个平面。（确定一个平面）作用：如何确定一个平面。
①推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
（3）公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
作用：证明点在直线上。
（4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
作用：证明直线与直线平行。
二．直线与平面的位置关系：
（1）直线与直线的位置关系：
（2）直线与平面的位置关系：
（3）平面与平面的位置关系：
例1．已知：三条直线两两相交，由三个交点，求证：这三条直线共面。
例2．已知：平面、，直线a、b、c且，，，，
，求证：与是异面直线。
证明
三．有关平行的判定：
1．直线与直线平行：
（1）平行于同一条直线的两条直线平行；
（2）如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线与交线平行；
（3）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；
（4）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；
2．直线与平面平行：
（1）如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；
（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；
立体几何点线面知识复习
点到平面的距离： 点P是平面外一点,
P
n
过 点P任 意 作 一 条 斜 线 与 平 面交 于 点A, 平 面的 法 向 量 为n，点P到平面的距离为d
A
PA n
d
(即PA在n上 的 投 影 的 绝 对 值)
n
注意： 投影必须加绝对值符号！！！
巩固练习 1.如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点,
立体几何-------点线面知识梳理
1.线线关系
相交直线 同一平面内，有且只有一个公共点
共面直线
两直线的
平行直线 同一平面内，没有公共点；
位置关系
异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点。
异面直线所成角
b
a
b
b
O
a
O
a 异面直线所成角
a 的范围： 00 ,900
已知两条异面直线a, b,经过空间任一点O作直线a`//a, b`//b，我们把 a`与b`所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。
B 设平面OAB的法向量n ( x, y, z)
O
A x
y
由OA n OB n
0 0
x
y
y0 z0
令x 1,则y 1, z 1
n (1,1,1)
赋值
知识探究
平面的法向量
专题3.2 立体几何--点直线平面之间的位置关系(有详细答案)
专题3.2 立体几何---点、直线、平面之间的位置关系
【考点定位】2020考纲解读和近几年考点分布———点、直线、平面之间的位置关系
一、理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.
公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
二、以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.
1、理解以下判定定理.
①如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
②如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.
③如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.
④如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.
2、理解以下性质定理，并能够证明.
①如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.
②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.
③垂直于同一个平面的两条直线平行.
④如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.
【近几年考点分布】
立体几何在高考中占据重要的地位，通过近几年的高考情况分析，考察的重点及难点稳定，高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点。
立体几何三 八大定理 线面关系
l
m
β
α
α
b
a
N
M
C
B A
D A 1
B 1
C 1
D 1α
D
C
B
A
立体几何（三）
线面位置关系的八大定理
一、直线与平面平行的判定定理：
文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行
图形语言： 符号语言：
//a b a b αα⊄⎫
⎪
⊂⎬⎪⎭
⇒//a α 作用：线线平行⇒线面平行
典例：在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是11,A B CC 的中点，
求证：//MN ABCD 平面
二、直线与平面平行的性质定理：
文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直
线就和交线平行。
图形语言：
符号语言：//l l m α
βαβ⎫⎪
⊂⎬⎪⋂=⎭
⇒//l m
作用：线面平行⇒线线平行
典例：如图，//,//,,AB AC BD C D ααα∈∈，求证：AC BD =
C
A
B
B 1
A
1
C 1
D E
b a F
E γ
βαD
C
B A
文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 图形语言： 符号语言：
//a b a b A a b αααβββ
⊂⎫⎪⊂⎪⎪
=⇒⎬⎪⎪⎪⎭
∥∥ 作用：线线平行⇒ 面面平行
典例：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点,D E 分别是BC 与11B C 的中点， 求证：平面1//A EB 平面1ADC
四、平面与平面平行的性质定理:
文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行 图形语言:
符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫
⎪
⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭
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点、直线、平面之间的位置关系
（1）理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：
①公理1：如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直
线在此平面内。
②公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
③公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且
只有一条过该点的公共直线。
④公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。
⑤定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
n m a m 1n 1m 2m 1n 1m 2
空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。
理解以下判定定理：
①平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此
平面平行。
②一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平
面平行。
③一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此
平面垂直。
④一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。
理解以下性质定理，并能够证明：
①如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任一个平面与
此平面的交线和该直线平行。
②两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
③垂直于同一个平面的两条直线平行。
④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平
面垂直。
(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。