专题四、函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性(归纳总结)
函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。
函数的对称性与周期性奇偶性导数关系
1函数的周期性与对称性（奇偶性）一.概念1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=③成中心对称。
关于点与（函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--= “横纵坐标和为常数，平均数为中心”。
（2）轴对称：①点(,)(2,)x=A x y B a x y a -与关于对称；()(2)x=y f x y f a x a ==-函数与关于对称；,)0(2,)0x=F x y F a x y a =-=函数（与关于对称。
“横纵坐标和为常数，平均数为中心”。
“横纵坐标和为常数，纵坐标相等，横纵坐标平均数为对称轴”。
（同理可得关于y=b 对称）②对称轴方程为：0=++C By Ax 。
))(2,)(2(),(),(2222//B A C By Ax B y B A C By Ax A x B y x B y x A +++-+++-=与点关于直 线成轴对称；0=++C By Ax函数))(2()(2)(2222B A C By Ax A x f B A C By Ax B y x f y +++-=+++-=与关于直线 0=++C By Ax 成轴对称。
函数的周期性与对称性
函数的周期性与对称性函数是数学中的重要概念之一，它描述了数值之间的对应关系。
在函数的研究中，周期性与对称性是两个重要的性质。
本文将从理论和实际应用的角度，探讨函数的周期性与对称性。
一、周期性函数的周期性是指在一定的范围内，函数的值以一定的规律重复出现。
如果存在一个正数T，对于函数f(x)的定义域内的任意x，有f(x+T) = f(x)，则称函数f(x)具有周期T，T是函数的周期。
周期性在数学中广泛应用于波动现象的研究中，如正弦函数和余弦函数就是典型的周期性函数。
以正弦函数为例，函数f(x) = sin(x)的周期为2π，即在每一个2π的区间内，函数的值重复出现。
这种周期性的特征在物理学中非常重要，可以用于描述电磁波、声波等的传播规律。
在实际应用中，周期性函数经常用于天文学、物理学、电路分析等领域。
例如，利用函数的周期性可以预测天体运动的规律，分析电子元件的交流电路，优化信号处理等。
二、对称性函数的对称性是指在某种变换下，函数的值保持不变。
常见的对称性有奇偶对称性和轴对称性。
1. 奇偶对称性函数f(x)具有奇对称性，如果对于定义域内的任意x，有f(-x) = -f(x)。
奇对称函数在坐标系中以原点为对称中心，左右两侧关于y轴对称。
以奇对称函数f(x) = sin(x)为例，可以观察到f(x)关于原点对称。
当x取正值时，f(x)在正半轴上取正值；当x取负值时，f(x)在负半轴上取负值。
函数的奇对称性在数学和工程中都具有广泛应用。
例如在电力系统中，交流电流的正弦波形就是一种典型的奇对称函数。
2. 轴对称性函数f(x)具有轴对称性，如果对于定义域内的任意x，有f(-x) = f(x)。
轴对称函数关于y轴对称，即函数图像关于y轴对称。
以轴对称函数f(x) = x^2为例，可以观察到函数图像在y轴上是对称的。
当x取正值时，f(x)在正半轴上取正值；当x取负值时，f(x)在正半轴上同样取正值。
轴对称函数在几何学和图像处理中有广泛应用。
函数对称性与周期性的关系
函数对称性与周期性的关系首先，我们先来明确对称性的概念。
在数学中，对称性是指在其中一种变换下保持不变的性质。
常见的对称性有关于点、直线、平面、中心等不同的类型。
对于函数而言，对称性通常指的是关于坐标轴或者一些点对称的性质。
具体而言，函数f(x)在一些点a处具有对称性，意味着当x=a 时，有f(a+h)=f(a-h)，其中h为任意实数。
这表明函数在点a处的函数值关于a对称。
对于关于坐标轴对称的函数，还满足函数在坐标轴两侧的函数值相等的性质。
接下来，我们来看周期性的概念。
周期性是指函数在一定范围内的数学性质重复出现的性质。
通常用来描述函数f(x)存在一个正数T，对于任意的x，有f(x+T)=f(x)，其中T称为函数的周期。
具有周期性的函数在周期内的性质是相同的，因此周期性可以用来分析函数在不同时间或者空间位置上的行为。
对称性和周期性在一定程度上是有关联的。
事实上，一个函数的周期性往往与函数的对称性密切相关。
具体而言，如果一个函数具有对称性，那么它可能是周期性的。
例如，正弦函数和余弦函数是具有周期性的函数，并且它们之间满足平移对称性。
具体来说，正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都具有以2π为周期的性质，即sin(x + 2π) = sin(x)和cos(x+ 2π) = cos(x)。
同时，它们的图像也具有关于y轴的对称性，即sin(-x) = -sin(x)和cos(-x) = cos(x)。
这些对称性的存在使得正弦函数和余弦函数能够在整个实数轴上不断重复。
另一个例子是带有偶函数或者奇函数性质的函数。
一个函数f(x)被称为偶函数，如果对于任意的x，有f(-x)=f(x)。
相反，如果一个函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，那么它被称为奇函数。
偶函数和奇函数的图像都具有关于y轴的对称性，因此它们都是对称性的一种特殊形式。
此外，偶函数和奇函数的周期往往是偶数或者无限大。
例如，指数函数e^x是一个偶函数，并且不存在周期性。
【高考数学】函数的对称性与周期性的结论
专题 函数的对称性与周期性一 . 函数图象的对称性与对称中心1.对于一个函数图象的对称轴 （ 1） . 函数 yf ( x) 知足 f (a x)f (b x)函数 yf ( x) 的图象对于 x=ab对称。
2（ 2） . f (a x) f (a x)f ( x) f (2a-x)yf (x) 的图象的对称轴 xaf (- x)f (2a+x)（ 3）二次函数f ( x)=ax 2 bxc (a 0)的对称轴由公式x=- b2a 1.对于一个函数图象的对称中心（ 1） .函数 yf (x) 知足 f ( a x)- f (b x)函数 yf ( x) 的图象对于点 （ab，0）对称。
2a b c （ 2） .函数 yf (x) 知足 f ( a x)- f (b x)+2 c 函数 yf ( x) 的图象对于点 （ 2，） 对称。
2（ 3） . f ( a x) - f ( a x)f (x) - f (2a-x)y f (x) 的图象的对称中心 ( a,0)f (- x) - f (2a+x)y f (x a) 为奇函数y f ( x) 的图象的对称中心 (a,0) 。
（ 4）简单分式函数f ( x)= axb (c 0, ax b 0 )，由变量分别法得对称中心 (-d , a ) 。
cx dc c二 . 函数的周期性1.周期函数的定义和简单性质（ 1）对于函数yf ( x) ，若存在一个常数 T 0,使适当 x 取遍其定义域内的全部直时，都有f ( x)=f ( x T ) ,则 yf ( x) 叫做以 T 为周期的周期函数。
（ 2）周期函数的定义域是无界的。
（ 3）若 T ( T0)是函数 y f ( x) 的周期，则 nT (n Z , n 0) 都是 y f ( x) 的周期；（ 4）周期函数yf ( x) 的周期有无数多个，若这些周期中存在最小正当T ，则 T 叫做函数 y f (x) 的最小正周期。
高考总复习之函数的对称性与周期性
高考总复习之函数的对称性与周期性【知识点】★若函数)(x f 存在两个对称关系，则)(x f 是一个周期函数.1）若函数)(x f y =的图像关于直线b a ==x x 、对称，则)(x f 是周期函数，且周期为a b 2T -=.推论：若偶函数)(x f 的图像关于直线a =x (a≠0)对称，则)(x f 是以a 2为周期的函数.2）若函数)(x f y =的图像关于点(a ，0)、(b ，0)对称，则)(x f 是周期函数，且周期为a b 2T -=.推论：若奇函数)(x f 的图像关于点(a ，0)(a≠0)对称，则)(x f 是以a 2为周期的函数.3）若函数)(x f y =的图像关于直线a =x 、点(b ，0)对称，则)(x f 是周期函数，且周期为a b 4T -=.推论：若奇函数)(x f 的图像关于直线a =x (a≠0)对称，则)(x f 是以a 4为周期的函数.【同步练习题】1）已知函数)1(-=x f y 的图像关于直线1=x 对称，且对任意实数x ，)()2(x f x f =-恒成立.若当∈x [1-，0]时，1)(2+=x x f ，则=)2021(f .2）（单选题）已知定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=.若)(x f 在区间[1，2]上是增函数，则)(x f 满足（）A.在区间[3-，2-]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数；B.在区间[3-，2-]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数；C.在区间[3-，2-]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数；D.在区间[3-，2-]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数.3）（多选题）已知函数)(x f 的定义域为R，若)1(-x f 与)2(-x f 都为偶函数，则下列说法正确的是（）A.)(x f 为偶函数B.)1(+x f 为偶函数C.)2(+x f 为奇函数D.)(x f 为周期函数4）（单选题）已知函数)(x f 为R 上的奇函数，且)(x f y =的图像关于点(2，0)对称，若当∈x (0，2)时，1)21()(-=xx f ，则函数)(x f 在区间[2018，2021]上有（）A.最小值为43- B.最小值为21-C.最大值为43D.最大值为215）（单选题）已知函数)(x f 的定义域为R，若)1(-x f 与)1(+x f 都为奇函数，则下列说法正确的是（）A.)(x f 是偶函数B.)(x f 是奇函数C.)3(+x f 为奇函数D.)1()(+=x f x f 6）（多选题）已知函数)(x f 的定义域为R，若)(x f 与)1(+x f 都为奇函数，则下列说法正确的是（）A.)1(-x f 为奇函数B.)(x f 为周期函数C.)3(+x f 为奇函数D.)2(+x f 是偶函数7）已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=-、)()3(x f x f =-，则)2022(f 的值为.8）设函数)(x f 的定义域为R，)1(+x f 为奇函数、)2(+x f 为偶函数，且当∈x [1，2]时，b a )(2+=x x f .若6)3()0(=+f f ，则=)29(f .9）已知函数)(x f 是定义域为(∞-，∞+)的奇函数，且满足)1()1(x f x f +=-，若2)1(=f ，则=++++)50()3()2()1(f f f f .10）（多选题）已知函数)(x f 为偶函数，且)2()2(x f x f --=+，则下列结论一定正确的是（）A.)(x f 的图像关于点(2-，0)对称B.)(x f 是以4为周期的函数C.)(x f 的图像关于直线2-=x 对称D.)4(+x f 为偶函数11）（多选题）已知函数)1(-=x f y 的图像关于直线1-=x 对称，且R ∈∀x ，有4)()(=-+x f x f .若当∈x (0，2]时，2)(+=x x f .则下列说法正确的是（）A.)(x f 是以8为周期的函数B.)(x f 的最大值为4C.2)2021(=f D.)2(+x f 为偶函数12）（多选题）设函数)(x f 的定义域为R，且)2(+x f 为偶函数、)12(+x f 为奇函数，则下列说法正确的是（）A.函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称；B.函数)(x f y =的图像关于点(1，0)对称；C.函数)(x f 的一个周期为4；D.0)2(=f .13）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足：)()4(x f x f -=-，且在区间[0，2]上是增函数.若方程)0m (m )(＞=x f 在区间[8-，8]上有4个不同的实数根4321x x x x 、、、，则=+++4321x x x x .【参考答案】1）2；2）B；3）ABD；4）B；5）C；6）ABC；7）0；8）25；9）2；10）AD；11）ABD；12）ABC；13）8 .。
函数周期性和对称性
例如：（1）若 f (x) = f (4 − x) ，括号内的和为 4，所以 f (x) 关于直线 x = 2 对称； （2）若 f (−x −1) = f (x − 3) ，括号内的和为－4，所以 f (x) 关于直线 x = −2 对称； （3）如果 f (x) 的对称轴为 x = 2，那么有 f (x) = f (4 − x), f (x + 2) = f (2 − x), f (2x + 2016) = f (−2x − 2012)
1
（ 3 ） 若 f (x) 的 对 称 中 心 为 (−1, 3) ， 那 么 有 f (x) + f (−2 − x) = 6 ；
f (2x +100) = 6 − f (−2x −102).
1.4 抽象复合函数的奇偶性
例：函数 y = f (x +1) 是偶函数是什么含义呢？注意抽象复合函数的自变量仍然是 x. 而偶函数的意思是：当自变量取相反数时，函数值不变，即当 x 变成 −x 时，有 f (−x +1) = f (x +1) .同样的，如果 y = f (x +1) 是奇函数，那么有 f (−x +1) = − f (x +1) .
函数 f (x) 的图象关于直线 x = a 对称，可以用图象上的点来描述，即若 x 轴上的两个
点关于 a 对称（考虑数轴上点的对称），则它们对应的函数值相等，如图：
关于 a 对称的点的横坐标 x1, x2 满足 x1 + x2 = 2a ，所以我们通过“和”去考虑就可以很
好地绕开 f 括号内的各种形式上的变化，得到： 若两个数的和为定值 2a 时，对应的函数值相等，那么这个函数的图象关于直线 x = a 轴
高考数学专题复习 函数的周期性、对称性(原卷版)
第四讲函数的周期性与对称性【套路秘籍】一．对称性（一）对称轴1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。
2.常见函数的对称轴①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。
⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。
⒁绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。
函数的对称性、周期性以及之间的关系
函数的对称性、周期性以及之间的关系对称性、奇偶性、周期性、单调性函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础．在研究函数图象的对称性时，一定要区分是一个图象自身的对称（称之为“自对称”），还是两个函数图象间的对称（称之为“互对称”）。
函数的对称性指的是函数的图象的对称性，通常包括点对称和直线对称，即中心对称和轴对称。
自对称一、函数的对称性关于函数图象的对称性，我们有这样两个命题。
命题1：如果函数y=f(x)的图像关于点M(m, n)对称，那么f (m +x) + f (m－x)=2n 即f(x)+f(2m-x)=2n命题2：如果函数y=f(x)的图像关于直线x=m对称，那么f (m +x) = f (m－x)即f (x) = f (2m－x)二、函数的奇偶性与对称性的联系命题1：函数y=f(x)的图像关于点M(0, 0)对称的充要条件是函数y= f (x)是奇函数，即f (x) + f (－x) = 0命题2：函数y=f(x)的图像关于点直线x=0对称的充要条件是函数y= f (x)是偶函数，即f (x) = f (－x)三、函数的周期性与对称性的联系包括点点对称、线线对称、点线对称的周期性命题：①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (m ,c)和点B (n ,c)成中心对称（m ≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = m 和直线x = n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．③若函数y = f (x)图像既关于点A (m ,c) 成中心对称又关于直线x =n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且4| m－n|是其一个周期．（同为中心对称或同为轴对称乘2；一中心对称一轴对称乘4）四、函数的奇偶性、周期性和对称性的联系奇偶性只是特殊的点线对称。
函数对称性、周期性全解析
函数的对称性和奇偶性函数 函数对称性、周期性根本知识 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义〔略〕，请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y 〔即x=0〕轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于〔0，0〕对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进展拓展？答案是肯定的 探讨：〔1〕函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+、、(异号考虑对称) )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -=或)2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
假设写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称〔2〕函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成或b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过bx f x a f 2)()2(=+-可知，bx f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
高中数学讲义： 函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+Û()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+Û关于2a bx +=轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a bx +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x Þ=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
①要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+éùëû：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+éùëû②本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+Û()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+Û关于,02a b +æöç÷èø轴对称在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a bx +=为所给对称中心即可。
关于函数的对称性和周期性
关于函数的对称性和周期性摘要：函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)时，函数y=f(x)的图象关于直线x=对称；函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c时，函数y=f(x)的图象关于点（，）对称；函数y=f(x)有两根对称轴x=a，x=b时，那么该函数必是周期函数，且对称轴之间距离的两倍必是函数的一个周期；函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=c和f(b+x)+f(b-x)=c （a≠b）时，函数y=f(x)是周期函数。
函数的对称性、周期性是函数的两个基本性质。
中学数学中，研究函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性、周期性，并且在高考中也经常考察函数的对称性、周期性以及它们之间的联系。
下面我们就一些常见的性质进行研究。
一、函数的对称性1.函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)时，函数y=f(x)的图象关于直线x=对称。
证明：在函数y=f(x)上任取一点（x1，y1），则y1=f(x1)，点（x1，y1）关于直线x=的对称点（a+b-x1，y1），当x=a+b-x1时，f(a+b-x1)=f[a+(b-x1)]=f[b-(b-x1)]=f(x1)=y1，故点（a+b-x1，y1）也在函数y=f(x)图象上。
由于点（x1，y1）是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线x=对称。
（注：特别地，a=b=0时，该函数为偶函数。
）2.函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c时，函数y=f(x)的图象关于点（，）对称。
证明：在函数y=f(x)上任取一点（x1，y1），则y1=f(x1)，点（x1，y1）关于点（，）的对称点（a+b-x1，c－y1），当x=a+b-x1时，f(a+b-x1)=c-f[b-(b-x1)]=c-f(x1)=c－y1，即点（a+b-x1，c－y1）在函数y=f(x)的图象上。
由于点（x1，y1）为函数y=f(x)图象上的任意一点可知，函数y=f(x)的图象关于点（，）对称。
(完整版)对称性和周期性性质总结
函数の对称性和周期性一、几个重要の结论（一）函数图象本身の对称性（自身对称）1、函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（T 为常数）の充要条件是 )(x f y =の图象关于直线 T x =对称。
2、函数 )(x f y =满足 )2()(x T f x f -=（T 为常数）の充要条件是 )(x f y =の图象关于直线 T x =对称。
3、函数 )(x f y =满足 )()(x b f x a f -=+の充要条件是 )(x f y =图象关于直线 22)()(b a x b x a x +=-++=对称。
特殊地，如果a=0,b=0,则其关于x=0即关于y 轴对称，此时)()(x b f x a f -=+变为f(x)=f(-x),其实就是偶函数。
4、如果函数 )(x f y =满足 )()(11x T f x T f -=+且 )()(22x T f x T f -=+，（ 1T 和 2T 是不相等の常数），则 )(x f y =是以为 )(212T T -为周期の周期函数。
5、如果偶函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以2T 为周期の周期性函数。
6、如果奇函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以4T 为周期の周期性函数。
我当初の总结是：函数对称包涵两种：一是点对称，而是线对称，比如偶函数属于线对称，奇函数属于点对称，奇偶函数对称都是关于0.即偶函数关于x=0对称，奇函数关于（0,0）对称。
那么如果一个函数是双重对称，那么该函数就是周期函数，那么什么叫多重对称呢？且看下面列子你就明白了：1， 若函数关于两条线x=a 和x=b 对称（这就叫双重对称），那么该函数一定是周期函数，且周期为2|b-a|。
2， 若函数关于两个点（a,0）和（b,0）(注都是x 轴上の点)，那么该函数一定是周期函数，且周期为2|b-a|。
(完整版)函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性吴江市盛泽中学数学组 徐建东对称性：函数图象存在的一种对称关系，包括点对称和线对称。
周期性：设函数)(x f 的定义域是D ，若存在非零常数T ，使得对任何D x ∈，都有D T x ∈+且)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为)(x f 的一个周期。
对称性和周期性是函数的两大重要性质，他们之间是否存在着内在的联系呢？本文就来研究一下它们之间的内在联系，有不足之处望大家批评指正。
一、一个函数关于两个点对称。
命题1：如果函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 和点)0,(b )(a b ≠对称，那么函数)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。
证明：∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称，∴)2()(x a f x f --=对定义域内的所有x 成立。
又∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(b 对称，∴)2()(x b f x f --=对定义域内的所有x 成立。
从而)2()2(x b f x a f -=-∴)()]2(2[)]2(2[x f x b b f x b a f =--=-- 即：)()])22[(x f x b a f =+- ∴)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。
特例：当0=a 时，)(x f y =为奇函数，即奇函数)(x f y =如果又关于点)0,(b )0(≠b 对称，那么函数)(x f y =是周期函数，b T 2=为函数)(x f y =的一个周期。
命题1'：如果函数)(x f y =的图象关于两点),(b a 和),(d c 对称，那么： 当d b =，c a ≠时，)(x f y =是周期函数，)(2c a T -=为函数)(x f y =的一个周期。
当d b ≠，c a ≠时，)(x f y =不是周期函数。
函数的对称性和周期性
函数的对称性和周期性函数的对称性是对整个定义域而言，是函数的一个整体性质1．一个函数的对称轴⑴若函数y = f (x)恒满足f (m + x) = f (m－x)，（m 为常数）则它的图像关于直线x = m对称⑵若函数y = f (x)恒满足f (２m－x) = f (x)，（m为常数）则它的图像关于直线x = m对称⑶特殊地，当m=0时，函数y = f (x)恒满足f (－x) = f (x)，即f (x)是偶函数，图像关于y轴对称⑷若函数y = f (x)恒满足f (a + x) = f (b－x)，（a，b为常数）则y = f (x)的图像关于直线x =2ba+对称例：设函数f (x)满足条件f (x) = f (2－x) ，(x∈R)，当x>1时，f (x)是增函数，则a = f(0)，b = f (log 241)，c = f (π)的大小关系是__________例：已知f (x)为偶函数，当－１≤x<0时，f (x) = x + 1，求０<x ≤1时，f (x)的表达式例：已知函数y = f (x)的图像关于直线x = 1对称，且x ≤1时函数解析式为y = x 2 + 1，求x ≥1时函数的解析式．例：已知函数y = f (x)在其定义域上满足f (4 + x) = f (4－x) 且f (x) = 0有且只有６个不同的根，求这６个根的和．例：已知函数y = sin2x +acos2x (a ≠0)的图像关于直线x ＝－8π对称，a ＝ ______2． y = f (|x|) 的图像是去掉y 轴左侧部分，将y 轴右侧图像沿着y 轴翻折得到，它一定是偶函数y = f (|x－b|)的对称轴是x＝b，是由y = f (|x|)左右平移得到的例：画出y = x2－2|x|－１的图像例：函数y = ３| x – b |是偶函数，则b=_____例：函数y = log a |ax－1| (a>0且a≠1)的图像关于直线x = 2 对称，则a 等于______例：若函数f (x)＝a|x－b|+2在[),0上为增函数，+∞求实数a、b的取值范围答案：显然a≠0 f (x) 的对称轴是x＝b，所以b≤0，又由单调性知a>03．⑴若一个函数关于点（a，b）对称，则f (a－x)－b＝b－f (a＋x)，即f (a－x) + f (a＋x) = 2b⑵若一个函数关于点（a，0）对称，则f (a－x)＝－f (a＋x)，即f (a－x) + f (a＋x) = 0⑶特殊地，若一个函数关于点（０，０）对称，则f (－x)＝－f (x)，即f (－x) + f (x) =０，即此函数为奇函数，图像关于原点对称例：f (x+3)为奇函数，可得到函数f (x )的什么性质例：函数y = 121+-x x的图像的对称中心的坐标是___________，渐近线方程为__________（y = 121+-x x =132++-x ）例：已知定义域为R 的函数f (x)满足f (—x) = —f (x+4)，且当x>2时，f (x)单调递增，如果x 1+x 2<4且（x 1－2）(x 2 －2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值（ ） Ａ．恒小于０ Ｂ．恒大于０Ｃ．可能为０ Ｄ．可正可负答案：Ａ 数形结合 由f (—x) = —f (x+4)知中心为：（２，０）４．周期性⑴f (x+T) = f (x) 周期：T⑵f (x+T) = －f (x)f (x+T) =)(1x f f (x+T) =)(1x f - 周期：２T⑶f (x+T) = f (x －T) 周期：２T ⑷f (x+T) = －f (x －T) 周期：４T ⑸⎩⎨⎧-=+-=+)()()()(x b f x b f x a f x a f 周期： ２(b-a ）特殊地， ⎩⎨⎧-=+是偶函数)()()(x f x a f x a f 周期： ２a⑹⎩⎨⎧--=+--=+)()()()(x b f x b f x a f x a f 周期： ２(b-a ）特殊地， ⎩⎨⎧--=+是奇函数)()()(x f x a f x a f 周期： ２a⑺⎩⎨⎧--=+-=+)()()()(x b f x b f x a f x a f 周期： ４(b －a ）例：偶函数定义域为Ｒ，恒满足f (2+x) = f (2－x)．已知x ∈[－２，２]时，f (x) =－x 2 + 1．求当x ∈[－６，－２]时，f (x)的表达式．例：已知f (x )是R 上的偶函数，对x ∈R 都有f (x +6)=f (x )+f (3)成立，若f (1)=2，则f (2005)等于（ ）A ．2005B ．2C ．1D ．0答案：B 令x=－３，由题意则有f (3)＝f (－3)＝０，所以f (x +6)=f (x )，６是一个周期。
数学 - 函数的对称性与周期性
数学 - 函数的对称性与周期性函数是数学中的一个重要概念。
通过研究函数的对称性与周期性，我们能够更好地理解函数的性质和行为。
在本文中，我们将介绍函数的对称性和周期性的定义，并讨论一些常见的例子和性质。
函数的对称性在数学中，函数的对称性指的是函数图像关于某一条直线、某个点或者坐标轴对称。
常见的对称性包括：关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称等。
关于x轴对称一个函数关于x轴对称，意味着函数图像可以在x轴上对称折叠，一半与另一半完全重合。
这意味着，对任意的x值，函数的值与对称轴上对应的函数值是相等的。
例如，函数 f(x) = x^2 就是关于x轴对称的。
对于任意的x值，f(x) = f(-x)。
函数图像可以在x轴上折叠，左右两部分完全重合。
关于y轴对称一个函数关于y轴对称，意味着函数图像可以在y轴上对称折叠，一半与另一半完全重合。
这意味着，对任意的x值，函数的值与对称轴上对应的函数值是相等的。
例如，函数f(x) = sin(x) 就是关于y轴对称的。
对于任意的x值，f(x) = f(-x)。
函数图像可以在y轴上折叠，左右两部分完全重合。
关于原点对称一个函数关于原点对称，意味着函数图像可以在原点上对称折叠，一半与另一半完全重合。
这意味着，对任意的x值，函数的值与对称轴上对应的函数值是相等的。
例如，函数 f(x) = x^3 就是关于原点对称的。
对于任意的x值，f(x) = -f(-x)。
函数图像可以在原点上折叠，左右两部分完全重合。
函数的周期性在数学中，函数的周期性是指函数在一定的水平间隔上重复。
函数图像上的一个完整周期，被定义为函数的最小正周期。
函数的周期性可以帮助我们理解函数的重复性和规律性。
正周期一个函数如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有： f(x+T) = f(x)即函数在水平方向上以T为周期。
这里的T被称为函数的正周期。
例如，函数 f(x) = sin(x) 具有正周期2π。
对于任意的x，有sin(x+2π) = sin(x)。
函数的对称性与周期性
在区间[ , ] 上零点的个数为_________.
(2).已知函数 y f (x) 满足 f (x 2) f (x) ,且 x [0,2] 时, f (x) (x 1)2 ,若令函数
g(x) f (x) log5 | x 1| ,则函数 y g(x) 的左右零点之和为(
)
i 1
A. 0
B. m
C. 2m
D. 4m
例
5. 已 知 函 数
f
(x)
| |
x 2 |, x 0 log2 x |, x 0
，
若
关
于
x
的方程
f (x) a
有四个不同的解
x1, x2 , x3, x4 且 x1 x2 x3 x4 ,求 x1x2 x3x4 的取值范围.
(减)，则 y f (x) 在 (a kT , b kT ), (k Z ) 上单调增(减).
例 10.(1). 函 数 y f (x) 满 足 f (x) f (4 x) ， 当 x [0,4)时，f (x) x2 1 ， 求
f (2014) _______.
g(x)
f
(x) ，当
x a 时，g(x) g(2a x) ，若关于 x 的方程 g(x) x a 0 有且仅有一个实数根，则 a
的取值范围为( )
A. (,0] (2,) C. (,1] (2,)
B. (,0] (9 ,) 4
D. (,1] (9 ,) 4
一 般 地 , 若 函 数 y f (x) 满 足 f (a x) f (b x) c , 则 函 数 的 图 象 关 于 点 ( a b , c ) 对称.
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经典函数的对称性、周期性一 、函数的对称性（Ⅰ）函数图象的自对称（同一个函数对称性问题）所谓函数图象的自对称是指一个函数图象的对称(中心对称或轴对称)图象是其本身.关于函数图象的自对称,有下列性质:偶函数关于y 轴（即x=0）对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f那上述关系式是否可以进行拓展？探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+（类比偶函数看结构特征）)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，所以)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
▲ 一般形式：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称 （总结特征）；（注：特别地，当a =b =0时，该函数为偶函数。
）（2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++（类比奇函数看结构特征） b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
得证。
▲ 一般形式： c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2,2(c b a + 对称。
（总结特征） （注：特别地，当a =b =c =0时，函数为奇函数。
）（3）那是否有函数)(x f y =关于点b y =对称呢？（不可能有）假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。
但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。
（Ⅱ）函数图象的互对称(即两个函数的图象对称性)所谓函数图象的互对称是指两个函数图象的上的点一一对应，且对应点相互对称（中心对称或轴对称）。
关于函数图象的互对称,有下列性质:1、函数()x f y =与函数()x f b y -=2的图象关于直线 对称。
2、函数()x a f y +=与函数()x b f y -=的图象关于直线 对称。
3、函数()x f y =与函数()x h f k y --=22的图象关于点 对称。
（类似（Ⅰ）中易得出结果）二、对称性和周期性之间的联系周期性与对称性是相互联系、紧密相关的。
①若ƒ（x ）的图象有两条对称轴x=a 和x=b(a ≠b)，则ƒ（x ）必为周期函数，其一个周期是对称轴之间距离的两倍，即2|b-a|；证明：∵()()f a x f a x +=-得()(2)f x f a x =-()()f b x f b x +=-得()(2)f x f b x =-∴(2)(2)f a x f b x -=-∴()(22)f x f b a x =-+ ∴函数()y f x =是周期函数，且22b a -是一个周期。
②若ƒ（x ）的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a ≠b)，则ƒ（x ）必为周期函数，其一个周期是2|b-a|；证明：类似③若ƒ（x ）的图象有一条对称轴x=a 和一个对称中心(b,0)(a ≠b)，则ƒ（x ）必为周期函数，其一个周期是4|b-a|；证明：类似▲∴若函数的图象同时具备两种对称性，即两条对称轴，或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。
(2006年山东卷）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为 (B)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2【考点分析】本题考查函数的周期性和奇偶性。
解析：由()()()()()x f x f x f x f x f =+-=+⇒-=+242由()x f 是定义在R 上的奇函数得()00=f ，∴()()()()002246=-==+=f f f f ，故选择B 。
②（《38套》第16套 题12）设定义在R 上的函数)(x f 满足2)2()(=+x f x f ，若2)3(=f ，则=)2009(f ____________。
③()x f y =是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线2=x 对称，且当()2,2-∈x 时，()12+-=x x f ，则当()2,6--∈x 时，()x f = 。
④（《38套》第24套 题8）已知定义在R 上的函数)(x f 的图像关于点)0,43(-对称，且满足)23()(+-=x f x f ，2)0(,1)1(-==-f f ，则=+++)2009()2()1(f f f _______________。
小结：关于函数的周期性的结论：①对于非零常数A ，若函数()y f x =满足)()(A x f x f +-=，则函数()y f x =必有一个周期为2A 。
证明：)2()]([)()(A x f A A x f A x f x f +=++--=+-= ∴函数()y f x =的一个周期为2A 。
（方法：多次迭代，一通到底）思考：若将关系式)()(A x f x f +-=改为)(1)()(1)(x f A x f x f A x f -=+=+或或)(1)(1)2(x f x f A x f -+=+或)(1)(1)2(x f x f A x f +-=+（或等式右边加负号）呢？结果如何？（没变），推导方法也一样。
【小结结构特征、推导方法、相应结论】▲ 区别：若ƒ（x+a ）=ƒ（x+b ）或ƒ（x+T ）=ƒ（x ），则ƒ（x ）具有周期性；若ƒ（a+x ）=ƒ（b-x ），则ƒ（x ）具有对称性；“内同表示周期性，内反表示对称性”；{a n }中，a 1＝a ，a 2＝b ，且a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N ＋) ①求a 100； ②求S 100.解：由已知a 1＝a ，a 2＝b ，所以a 3＝b －a ，a 4＝－a ，a 5＝－b ，a 6＝a －b ，a 7＝a ，a 8＝b ，……由此可知，{a n }是以6为周期的周期数列，于是a 100＝a 6×16＋4＝a 4＝－a又注意到a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0S 100＝a 1＋a 2＋a 3＋……＋a 96＋a 97＋a 98＋a 99＋a 100＝0＋a 97＋a 98＋a 99＋a 100＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4 ＝a ＋b ＋(b －a)＋(－a)＝2b －a（05广东卷）设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间 ［0，7］上，只有(1)(3)0f f ==．（Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程()f x =0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数)(x f y =的对称轴为72==x x 和,从而知函数)(x f y =不是奇函数,由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=- )10()(+=⇒x f x f ,从而知函数)(x f y =的周期为10=T又0)7(,0)0()3(≠==f f f 而,故函数)(x f y =是非奇非偶函数;(II)由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=- )10()(+=⇒x f x f(II) 又0)9()7()13()11(,0)0()3(=-=-====f f f f f f故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数)(x f y =在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数)(x f y =在[-2005,2005]上有802个解.练习1、（2006年安徽卷理）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________。
【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。
解析：由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则51))5((-=f f 。
2、（1996全国，15）设()f x 是()+∞∞-,上的奇函数，()()x f x f -=+2，当0≤x ≤1时，()x x f =，则f （7.5）等于（ B ） A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.53、（《38套》第5套 题7）已知定义在R 上的奇函数)(x f 的图像关于直线1=x 对称，1)1(=-f ，则=+++)2009()2()1(f f f _______________。
4、（2005天津卷）设f (x )是定义在R 上的奇函数，且()x f y =的图象关于直线21=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=______________.解析：()()00f f -=-得()00f =，假设()0f n =，因为点（n -，0）和点（1,0n +）关于12x =对称，所以()()()10f n f n f n +=-=-=因此，对一切正整数n 都有：()0f n =，从而：()()()()()123450f f f f f ++++=。