六年级奥数讲义分数应用题之工程问题2.doc

第四讲

分数应用题之工程问题

教学目标

工程问题是分数应用题中最重要的一大类，因为处理这类问题的解题技巧独特且应用广泛，所以

工程问题往往受出题者青睐，在各种数学竞赛和小升初考试中，工程问题和需要使用工程问题算术方法的类

工程问题也经常出现。

1.工程问题的基本数量关系与一般解法；

2.工程问题中的常见解题方法；

3.工程问题算术方法在其他类型式题中的使用。

经典精讲

工程问题，究其本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方法可以称作是一种“工程习惯”，这一类问题称之为“工程问题”。

1. 解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率×工作时间=工作总量，

表示出各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率。

2. 利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等。抛开“工作总量”，

和“时间” ，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，

最后利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案，一般情况下，工程问

题求的是时间。

有的情况下，工程问题并不表现为两个工程队在“修路筑桥、开挖河渠” ，甚至会表现为“行程问题”、“经济价格问题”等等，工程问题不仅指一种题型，更是一种解题方法。

基本题型

【例 1】 一项工程，甲单独做 20天完成，乙单独做 30天完成。甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲

继续做，从开工到完成任务共用了

16天。乙请假多少天 ?

【分析】

（法一）甲一共干了

16 天，完成了 1

16

4

，还有 1

4

1

，是乙做的，乙干了了

20

5

5 5

1 1 （天），休息了

（天），请假天数为： 16

1

1 1

（天）。

16 6 16

16 6 10

5 30 6

10

20

30

（法二）假设乙没有请假，则两人合作

16 天，应完成 ( 1

1 ) 16 4 ，

20 30

3 超过单位“ 1”的

4

1

1

，则乙请假 1

1 10

（天）。

3

3

3 30

【拓展】一项工程，甲队单独干

20天可以完成，甲队做了 8 天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单 独做 15天完成．问：乙队单独完成这项工作需多少天？

【分析】甲的工作效率：

1 ，甲的工作量： 1 8

2 ，

20

20 5 乙的工作量： 1 2 3

，乙的工作效率： 3 15 1 ，

5 5 5

25 所以乙单独完成这项工作需 25 天。

【例 2】 搬运一个仓库的货物，甲需 10 小时，乙需 12 小时，丙需 15小时。有同样的仓库 A 和 B ，甲在

A 仓库，乙在

B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬

完两个仓库的货物。丙帮助甲、乙各搬运了几小时？

【分析】

（ 1）甲、乙、丙搬完两个仓库共用了：

1

1

1

小时。

2 (

12 ) 8

10 15

（ 2）丙帮助甲搬运了 1

1 1 小时。

8

3

10

15

（ 3）丙帮乙搬运了 8 3 5小时。

【拓展】 甲、乙、丙三队要完成 A ， B 两项工程， B 工程的工作量是 A 工程工作量再增加

1

，如果让甲、

4

乙、丙三队单独做，完成

A 工程所需时间分别是 20天， 乙队做

B 工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做

A .

24天， 30 天 . 现在让甲队做 A 工程，

B 工程若干天，然后再与甲队合

【分析】三队合做完成二项工程所用的天数

1

1 1 1

天， 1 1

20

24 18

4

30

丙帮乙队做的天数：

1 1 1 天。

1

18

15

4

24

30

技巧与方法

一、 代换法

【例 3】 一池水，甲、乙两管同时开，

5 小时灌满，乙、丙两管同时开， 4 小时灌满。现在先开乙管

6

小时，还需甲、丙两管同时开

2 小时。乙单独开几小时可以灌满？

【分析】

根据“现在先开乙管

6 小时，还需甲、丙两管同时开 2 小时灌满”，我们可以把乙管的 6

小时分成 3 个 2 小时，第一个 2 小时和甲同时开，第二个 2 小时和丙同时开、第三个

2 小时单

独开。这样就变成了甲、乙同时开

2 小时，乙、丙同时开 2 小时，乙独开 2 小时，正好灌满一

池 水 。 可 以 计 算 出 乙 单 独 灌 水 的 工 作 量 为 1 1 2 1

2

1

， 所 以 乙 的 工 作 效 率 为

5 4

10

1

(6 2 2)

1

，所以整池水由乙管单独灌水，则需要

1 1 20 （小时）。

10

20

20

【巩固】一项工程，甲独做

6 天完成，甲 3天的工作量，乙要 4 天完成。两队合做 2 天后由乙队独做，

还要几天才能完成？

【分析】（法一）两队合做 2 天，看做甲先做两天，乙再做

2 天，然后再将剩下的工程完成，那么乙做 的部分相当于甲做的

4 天，所以乙做了 4 4

16

天，除去与甲合作的 2 天，以还要做

16

2 10

3 3

3

3

天。

（法二）甲的工作效率为

1

，所以乙的工作效率为

1

3 4

1

。两队合作 2 天后乙队独做还

6

6

8

要 1

1 2 1 2 1 10

天才能完成。

6

8 8 3

【例 4】 一项工程，甲先独做 2 天，然后与乙合做

7 天，这样才完成工程的一半。已知甲、乙工效的比

是 2 :3 。如果这项工程由乙单独做需要多少天才能完成？

【分析】

根据甲、乙工效比是

2 : 3，可以知道，完成同样的工作量，甲、乙所用的时间比是

3: 2

，

也就是同样的工作量，乙所用的时间是甲的

2

。由“甲先独做 2 天，然后与乙合做

7 天，这样

3

才完成工程的一半” 可知，甲一共做了 2

7 9 天，把甲 9 天做的工作量给乙做，

2 6

乙要 9

3

天。完成工程的一半乙要用 6+7=13 天。所以这项工作由乙单独来做需要

2 7

2 7 2 26

3

天。