[精品]2019届中考数学系统复习 第五单元 四边形 第21讲 平行四边形(8年真题训练)练习

第21讲 平行四边形命题点 平行四边形的性质与判定1．(2012·河北T9·3分)如图，在▱ABCD 中，∠A ＝70°，将▱ABCD 折叠，使点D ，C 分别落在点F ，E 处(点F ，E 都在AB 所在的直线上)，折痕为MN ，则∠AMF 等于(B)A ．70°B ．40°C ．30°D ．20°2．(2016·河北T13·2分)如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B ′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为(C)A ．66°B ．104°C ．114°D ．124°3．(2015·河北T22·10分)嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD ，并写出了如下不完整的已知和求证．已知：如图1，在四边形ABCD 中，BC ＝AD ，AB ＝CD ． 求证：四边形ABCD 是平行四边形．图1 图2 (1)在横线上填空，以补全已知和求证； (2)按嘉淇的想法写出证明；(3)用文字叙述所证命题的逆命题为平行四边形的对边相等． 证明：连接BD.在△ABD 和△CDB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，AD ＝CB ，BD ＝DB ，∴△ABD ≌△CDB(SSS)．∴∠ABD ＝∠CDB ，∠ADB ＝∠CBD. ∴AB ∥DC ，AD ∥BC.∴四边形ABCD 是平行四边形.重难点 平行四边形的性质与判定如图，在▱ABCD中，E，F在对角线AC上．(1)若BE，DF分别是△ABO，△CDO的中线，求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若BE，DF分别是△ABO，△CDO的角平分线，四边形BEDF还是平行四边形吗？若BE，DF分别是△ABO，△CDO 的高线时，四边形BEDF还是平行四边形吗？【思路点拨】(1)可从对角线互相平分上证明四边形BEDF是平行四边形；(2)BE，DF分别是△ABO，△CDO的角平分线和高线时，可得到△BOE≌△DOF，仍有OE＝OF，则有四边形BEDF是平行四边形．【自主解答】解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵BE，DF分别是△ABO，△CDO的中线，∴OE＝OF.∴四边形BEDF是平行四边形．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB∥CD.∴∠ABO＝∠CDO.∵BE，DF分别是△ABO，△CDO的角平分线，∴∠OBE＝∠ODF.又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF(ASA)．∴OE＝OF.∴四边形BEDF是平行四边形．同理可证得BE，DF分别是△ABO，△CDO的高线时，仍有四边形BEDF是平行四边形．【变式训练】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC, AD∥BC.∴∠AEO＝∠CFO.又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(AAS)．∴OE＝OF.∴四边形AECF是平行四边形．方法指导1．在平行四边形一条对角线(所在直线上)上任取两个关于对角线交点对称的点，与另一条对角线的两个端点，这四个点围成一个平行四边形．2．过平行四边形对角线交点任画一直线，在直线上取两点关于交点对称，则两个对称点与一条对角线的两个端点围成一个平行四边形．3．在一个四边形中证明其对边相等或平行，通常要证明这个四边形是平行四边形．4．判定平行四边形的基本思路：(1)若已知一组对边平行，可以证明这一组对边相等，或另一组对边平行；(2)若已知一组对边相等，可以证明这一组对边平行，或另一组对边相等；(3)若已知条件与对角线相关，可考虑证明对角线互相平分； (4)若已知一组对角相等，可以证明另一组对角相等.1．(2018·黔南)如图，在▱ABCD 中，已知AC ＝4 cm ，若△ACD 的周长为13 cm ，则▱ABCD 的周长为(D)A ．26 cmB ．24 cmC ．20 cmD ．18 cm2．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O.下列条件不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是(D)A ．AB ∥CD ，AD ∥BC B ．OA ＝OC ，OB ＝OD C ．AB ＝CD ，AD ＝BC D ．AB ∥CD ，AD ＝BC3．(2018·宜宾)在▱ABCD 中，若∠BAD 与∠CDA 的平分线交于点E ，则△AED 的形状是(B)A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定4．(2018·海南)如图，▱ABCD 的周长为36，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，BD ＝12，则△DOE 的周长为(A)A ．15B ．18C ．21D ．245．(2018·台州)如图，在▱ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3.以点C 为圆心，适当长为半径画弧，交BC 于点P ，交CD 于点Q ，再分别以点P ，Q 为圆心，大于12PQ 的长为半径画弧，两弧相交于点N ，射线CN 交BA 的延长线于点E ，则AE 的长是(B)A.12B ．1C.65D.326．(2017·广州)如图，E ，F 分别是▱ABCD 的边AD ，BC 上的点，EF ＝6，∠DEF ＝60°，将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC ′D ′，ED ′交BC 于点G ，则△GEF 的周长为(C)A ．6B ．12C ．18D ．247．(2018·常州)如图，在▱ABCD 中，∠A ＝70°，DC ＝DB ，则∠CDB ＝40°．8．(2018·临沂)如图，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，AC ⊥BC ，则BD9．【分类讨论思想】已知平面直角坐标系中有四个点O(0，0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x ，1)，若以O ，A ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形，则x ＝4或－2．10．(2018·无锡)如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，求证：∠ABF ＝∠CDE.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠A ＝∠C. ∵E ，F 分别是边BC ，AD 的中点， ∴AF ＝12AD ，CE ＝12BC.∴AF ＝CE.在△ABF 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝CE ，∠A ＝∠C ，AB ＝CD ，∴△ABF ≌△CDE(SAS)．∴∠ABF ＝∠CDE.11．(2018·河北模拟)如图，已知∠A ＝∠D ，AB ＝DC ，AC ，BD 相交于点O.(1)求证：△AOB ≌△DOC ；(2)作△BDC 关于直线BC 的对称图形△BEC ，求证：四边形ABEC 是平行四边形．证明：(1)在△AOB 和△DOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D ，∠AOB ＝∠DOC ，AB ＝DC ，∴△AOB ≌△DOC(AAS)．(2)由(1)知△AOB ≌△DOC ， ∴OB ＝OC ，AO ＝DO.∴BO ＋OD ＝CO ＋OA ，即BD ＝AC. ∵△BDC 、△BEC 关于直线BC 对称，∴DC ＝CE ，BD ＝BE. ∴AC ＝BE. 又∵AB ＝DC ， ∴AB ＝CE.∴四边形ABEC 是平行四边形．12．如图，在▱ABCD 中，∠ABC ，∠ADC 的平分线分别交AD ，BC 于点E ，F.(1)求证：四边形EBFD 是平行四边形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索．连接AF ，CE ，分别交BE ，FD 于点G ，H ，得到四边形EGFH.此时，他猜想四边形EGFH 是平行四边形，请补全他的证明思路． 小明的证明思路由(1)可知，BE ∥DF.要证四边形EGFH 是平行四边形，只要证FG ∥EH ．由(1)可证ED ＝BF ，则AE ＝FC ，又由AE ∥FC ，故四边形AFCE 是平行四边形，从而可证得FG ∥EH ，则四边形EGFH 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∠ABC ＝∠ADC.∵BE ，DF 分别平分∠ABC ，∠ADC ， ∴∠EBF ＝∠EDF ＝12∠ABC ＝12∠ADC.∵AD ∥BC ，∴∠EDF ＝∠DFC.∴∠DFC ＝∠EBF.∴BE ∥DF. ∴四边形EBFD 是平行四边形．13．(2018·安徽)在▱ABCD 中，E ，F 为对角线BD 上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF 一定为平行四边形的是(B)A ．BE ＝DFB ．AE ＝CFC ．AF ∥CED ．∠BAE ＝∠DCF14．(2018·眉山)如图，在▱ABCD 中，CD ＝2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF ，BF ，下列结论：①∠ABC ＝2∠ABF ；②EF ＝BF ；③S 四边形DEBC ＝2S △EFB ；④∠CFE ＝3∠DEF ，其中正确结论的个数共有(D)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 提示：正确的是①②③④.15．(2018·株洲)如图，在▱ABCD 中，连接BD ，且BD ＝CD ，过点A 作AM ⊥BD 于点M ，过点D 作DN ⊥AB 于点N ，且DN ＝32，在DB 的延长线上取一点P ，满足∠ABD ＝∠MAP ＋∠PAB ，则AP ＝6．16．(2018·无锡)如图，已知∠XOY ＝60°，点A 在边OX 上，OA ＝2.过点A 作AC ⊥OY 于点C ，以AC 为一边在∠XOY 内作等边三角形ABC ，点P 是△ABC 围成的区域(包括各边)内的一点，过点P 作PD ∥OY 交OX 于点D ，作PE ∥OX 交OY 于点E.设OD ＝a ，OE ＝b ，则a ＋2b 的取值范围是2≤a ＋2b ≤5．17．(2018·永州)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，以线段AB 为边向外作等边△ABD ，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F.(1)求证：四边形BCFD 为平行四边形； (2)若AB ＝6，求▱BCFD 的面积．解：(1)证明：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°， ∴∠ABC ＝60°.∵△ABD 为等边三角形， ∴∠BAD ＝∠D ＝60°. ∴∠BAD ＝∠ABC ＝60°. ∴BC ∥AD.∴∠CAD ＝180°－∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点， ∴CE ＝12AB ＝BE.∴∠BCE ＝∠ABC ＝60°. 又∵BC ∥AD ，∴∠AFC ＝∠BCE ＝60°. ∴∠D ＝∠AFC. ∴BD ∥CF.∴四边形BCFD 是平行四边形．(2)在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝30°，AB ＝6， ∴BC ＝12AB ＝3，AC ＝AB 2－BC 2＝3 3.∴S ▱BCFD ＝3×33＝9 3.18．正方形ABCD 的边长是5，点M 是直线AD 上一点，连接BM ，将线段BM 绕点M 逆时针旋转90°得到线段ME ，在直线AB 上取点F ，使AF ＝AM ，且点F 与点E 在AD 同侧，连接EF ，DF.(1)如图1，当点M 在DA 延长线上时，求证：△ADF ≌△ABM ；(2)如图2，当点M 在线段AD 上时，求证：四边形DFEM 是平行四边形；(3)在(2)的条件下，线段AM 与线段AD 有什么数量关系时，四边形EFDM 的面积最大？并求出这个面积的最大值．图1 图2解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠DAF ＝∠BAM ＝90°，AD ＝AB. 在△ADF 和△ABM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝AM ，∠DAF ＝∠BAM ，AD ＝AB ，∴△ADF ≌△ABM(SAS)．(2)证明：延长BM 交DF 于K. ∵△ADF ≌△ABM ，∴DF ＝BM ，∠ABM ＝∠ADF. ∵EM ＝BM ，∴EM ＝DF.∵∠ABM ＋∠AMB ＝90°，∠AMB ＝∠DMK ， ∴∠ADF ＋∠DMK ＝90°.∴∠BKD ＝90°. ∵∠EMB ＝90°，∴∠EMB ＝∠BKF ＝90°. ∴EM ∥DF.∴四边形EFDM 是平行四边形． (3)设DM ＝x ，则AM ＝AF ＝5－x ， S ▱EFDM ＝DM ·AF ＝x(5－x)＝－(x －52)2＋254.∵－1＜0，∴x ＝52时，▱EFDM 的面积最大，最大面积为254，即当AM ＝12AD 时，▱EFDM 的面积最大，最大面积为254.。