微积分在物理 中的简单应用
微积分在物理的应用
微积分在物理的应用
微积分在物理学中有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：
1. 速度和加速度的计算：微积分可以用于计算物体的速度和加
速度。
通过对物体的位置函数进行微分，可以得到物体的速度函数；再对速度函数进行微分，可以得到物体的加速度函数。
2. 曲线及面积的计算：微积分可以用于计算曲线和面积。
通过
对曲线进行积分，可以得到曲线下的面积；再通过对面积进行微分，可以得到曲线的长度。
同样地，对于曲面，可以通过对曲面进行积分，得到曲面下的体积。
3. 力学问题的求解：微积分可以用于求解力学问题，例如弹性
势能、动能和势能等。
通过对力学方程进行微分和积分，可以得到物体的运动状态和能量变化情况。
4. 电磁学问题的求解：微积分也可以用于求解电磁学问题。
例如，通过对带电粒子在电场中的运动轨迹进行微分和积分，可以得到带电粒子的加速度和速度等信息。
总之，微积分是物理学中非常重要的工具，可以帮助我们理解物理学中的许多现象和问题，同时也为我们提供了解决这些问题的方法。
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微积分在物理学上的应用
1 引言微积分是数学的一个基本学科，内容包括微分学，积分学，极限及其应用，其中微分学包括导数的运算，因此使速度，加速度等物理元素可以使用一套通用的符号来进行讨论。
而在大学物理中，使用微积分去解决问题是及其普遍的。
对于大学物理问题，可是使其化整为零，将其分成许多在较小的时间或空间里的局部问题来进行分析。
只要这些局部问题分的足够小，足以使用简单，可研究的方法来解决，再把这些局部问题的结果整合起来啊，就可以得到问题的结果。
而这种将问题无限的分割下去，局部问题无限的小下去的方法，即称为微分，而把这些无限个微分元中的结果进行求和的方法，即是积分。
这种解决物理问题的思想和方法即是微积分的思想和方法。
2 微积分的基本概念及微分的物理含义微积分是一种数学思想，其建立在函数，实数和极限的基础上，其主要探讨的就是连续变量。
在运用微积分去解决物理问题时，可以将我们所需要得出的结果看成是一个整体，再将这个整体先微分，即将其分成足够小的个体，我们可以将这个个体的变量看成衡量，得出个体结果后，再将其积分，即把个体的结果累积起来进行求和。
例如，在我们研究匀变速直线运动时，我们就可以在其运动过程中选取一个微小的时间dt，而这一时间内的位移为dt，在每一段时间内速度的变化量非常小，可以近似忽略，那么我们就可以将这段时间内的运动近似看成匀速直线运动，再把每段时间内的位移相加，无限求和，就可以得出总的位移。
在物理学中，每个物理公式都是某些物理现象和规律的数学表示，因此，我们在使用这些公式时，面对物理量和公式的微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑，更要从物理含义上去考虑。
在我们使用微分符号时，不能只从数学角度去理解其为无限小，更要结合具体的物理量和角度去判断他的正确含义。
例：如图所示，一通有交流电流i=的长直导线旁有一共面的单匝矩形线圈ABCD，试求线圈中的感应电动势大小。
解：设在某个时刻，长直导线电流产生的磁场为B=在图中做一个微元面dS,dS=ldx,则该面元上的磁场可以近似于均匀磁场，微元面dS上的磁通量为d线圈围成的面上通过的磁通量为线圈中的感应电动势为在这个例题中，微元面dS的磁通量与线圈的感应电动势都有，但他们的物理含义却是不一样的，前者的表示微元面 dS上的磁通量，是一个微小量，而后者的表示的是微笑时间内的磁通量变化量，是一个微小变化量。
微积分在普通物理学中的应用
微积分在普通物理学中的应用1引言从牛顿那个时代到今天，每个时代都在为一种事物惊叹不已，它不仅推动了物理学和数学的发展，也更新了人类的观念,是人类史上的里程碑,它就是微积分．微积分可以称为是人类智慧最伟大的成就之一，在各个领域内都有重要应用．如果将整个人类科学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分．微积分在物理学、天文学等自然科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用．可以说，微积分推动了现代人类社会的发展，所以我们很有必要对它进行了解和掌握．微积分是微分和积分的总称，它是一种数学思想，其中‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分．极限的思想是微积分的基础，它是用变化的思想来看待问题的．微积分在物理学中的应用相当普遍，本篇论文从导数、微分、积分三方面研究了微积分在其中的应用．2导数在力学中的应用导数在力学中有很重要的作用，通常可求得最小的力，最省的距离等极值问题，在实际生活中应用性很强．下面简单举出两个例子说明其应用(画图略)．例1 设有质量为5kg 的物体，置于水平面上，受力F 的作用开始移动，设摩擦系数0.25,μ=问力F 与水平线的交角α为多少时,才可以使力F 的大小为最小？解 由题意得cos (sin )F P F ααμ=-,其中α0,2π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，P 表示重力cos sin PF μαμα=+由于P μ为常数,欲求F 最小,只须 求分母U cos sin αμα=+的最大值. 记 U αcos sin αμα=+令U α'=sin cos 0αμα-+=tan αμ=,(0.25)arctan arctan αμ==.故当0.25arctan α=时,可使力F 最小．例2 有一支杠杆,支点在它的一端,在距支点0.1m 处挂一质量为49kg 的物体,加力于杠杆另一端使杠杆保持水平，如果杠杆每m 的质量为5kg ,求最省力的杆长.解 设杆长为x ,则杆重5x ,由力矩平衡得 490.152x xF x =⨯+⨯即 4.952F x x =+ (0x >) 两边同时对ｘ求导得24.952F x '=-+ F '0=得唯一的驻点1.4()x m == 由于F 只有最小值，所以由实际意义知,杠杆长为1.4()m 时最省力．通过上面两个例子，读者可以看到，导数的性质及意义在力学中有重要应用，尤其在求一些极值问题上应用性极强，不过导数只是微积分的基础，下面我们再通过具体例子说明微分在物理学中的应用．3 微分在运动学中的应用微分在求一些变化率方面作用很大,最简单像位移微分是速度,速度微分是加速度,下面我再举两个求速度例子,说明微分的应用.例1 落在平静水面上的石头，产生同心波纹．若最外一圈波半径的增大率总是6/m s ，问在２秒末扰动水面面积的增大率是多少？分析 由于在这里面积的增大不与半径平方的增大成正比，所以中学方法根本解不出来，用微积分就简单多了，试看下面解法：解 设波半径为()r m ，时间为()t s ，则波动面积2S x π= ，从而 2dS drr dt dtπ= 当2()t s =时，由6r t =得6212()r m =⨯=，因为6(/)drm s dt=所以 22126144(/)dSm s dtππ=⨯⨯= 即在２秒末扰动水面面积的增大率是2144(/)m s π ．例2 注入水深为8m 且上顶直径为8m 的正圆锥形容器中，其速率为34/min m ．当水深为5m 时，其表面上升的速率是多少？分析 这道题与上题一样，水表面上升速率不与水注入的速度成比例，所以是动态问题，需要用微积分知识来解，请看解法： 解 设水面高为()h t 米此时，水面圆的半径为r 米，上顶半径4R =， 由相似三角形比例性质得：48r h=， 得 12r h =所以 231()312V t r h h ππ== 两边同时对t 求导得'2231124t dh dhV h hdt dtππ==， (1) 即 24dV dh dt dt h π=， 由题设可得：'34(/min)t V m =，5h m =，代入(1)式得16(/min)25dh m dt π= 所以，当水深为5m 时，其表面上升的速率是16(/min)25m π． 除了导数和微分，积分更是物理学研究者需要掌握的，尤其是在求变力的功时只有用积分知识，在这里我通过三个例题具体来展示积分在解变力做功问题时的应用．4 积分在变力做功问题中的应用从物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且力的方向与物体运动方向一致，那么，在物体移动了距离s 时间，力F 对物体所作的功为W F s =⋅如果物体在运动过程中所受的力是变化的，这就是变力对物体作功的问题．而 积分是与求变力做功紧密联系在一起的,下面请大家看几个这方面的例子例1 直径为20 cm ，高为80cm 的圆柱体内充满压强为10N/2cm 的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需做多少功？解 由玻意耳——马略特定律，温度不变时,变化前后压强和体积的乘积不变, 而 210(1080)80000k pv ππ==⋅⋅=当底面积不变而高减少()x cm 时，设压强为2()(/)p x N cm ,则有 2()10(80)80000p x x ππ⋅⋅-=所以 800()80p x x=- 功微元 210()dW p x dx π=⋅ 所以功 4040240800108108080dx W dx dx xx ππ==⨯--⎰⎰=440810ln(80)800ln 2()0x J ππ-⨯-=例 2 一物体按规律3x ct =作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0x =移至x a =时，克服媒质阻力所做的功．解 媒质阻力2F kv =-（0k >,k 为阻力系数，阻力与运动方向相反），而'23t v x ct ==，所以249F kc t =-而13()x t c=，代入得2433()9F x kc x =-⋅，243300()9aaW F x dx kcx dx =-=⎰⎰272733333279077a kc x k c a =⋅=⋅⋅．例3 用铁锤将铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比,在击第一次时,将铁钉击入木板1cm .如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等,问锤击第二次时,铁钉又击入多少?解 设第二次又击入hcm （h 为待定系数),由于木板对铁钉的阻力F ky = 其中,k 为阻力系数, y 轴正向与打击方向相同) ,故功微元dW Fdy kydy == 击第一次时,铁锤所做的功121011022k W kydy y k ===⎰ 击第二次时,铁锤所做的功1221(1)12hk W kydy h +⎡⎤==+-⎣⎦⎰21(2)2k h h =+ 由于1W = 2W ，所以21(2)2k h h +=12k ，2210h h +-=解之得11h =-=()cm ．以上三个求变力做功问题为力学中的问题,事实上,在电磁学中也常用积分知识求变力所做的功,下面我们举一例．例4 把一个带电量0q +的点电荷放在r 轴上坐标原点Ｏ处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知道，如果另一个点电荷q +放在这个电场中距离原点o 为r 的地方，那么电场对它的作用力的大小为02kq qF k =（k 是常数） 当这个点电荷q +在电场中从r a =处沿r 轴移动到()r b a b =<处时，计算电场力F 对它所作的功．解 在移动过程中，电场对这点电荷q +的作用力是变的．取r 为积分变量，它的变化区间为[],a b ．设[],r r dr +为[],a b 上的任一小区间．当点电荷q +从r 移动到r dr +时，电场力对它所做的功近似于02kq q dr r ，即功微元为02kq qdW dr r=． 在闭区间[],a b 上作定积分，便得所求的功为0002111[]bb a akq q W dr kq q kq q r r a b ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭⎰如果将点电荷q +从该点处r a =移到无穷远处，电场力所作的功W 就是广义积分00002211lim lim b aa b b kq q kq q kq q W dr dr kq q r r a b a +∞→+∞→+∞⎛⎫===-= ⎪⎝⎭⎰⎰ 例4为积分在电磁学中的应用．除此之外，微分和导数在电磁学中的应用也有很多，这里不再一一细述．以上一些例题表明了微积分在物理学中有很强的应用．因此,要想学好物理,必须学好微积分．综上所述,在普通物理学中，尤其是在力学和电磁学中时时刻刻都在利用微积分处理问题．因此，掌握微积分的使用方法，学会用微积分的思维来解决力学和电磁学中的问题是十分必要的，希望这些工作能起到抛砖引玉的作用，引起同仁的共鸣，好能共同为微积分在各学科中的推广做出贡献．。
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用微积分是数学的一个重要分支，它研究的是变化、运动以及量的变化。
它的基本思想在物理学中具有广泛的应用，涵盖了从简单的运动到复杂的力学系统、热力学、电磁学甚至量子力学等多个领域。
本文将探讨微积分在物理学中的一些关键应用，阐明其理论基础和实际重要性。
一、微积分的基本概念在讨论微积分在物理学中的应用之前，有必要简要理解微积分的基本概念。
微积分主要由两部分组成：微分和积分。
微分主要用于研究函数在某一特定点的变化率，而积分则用于计算函数在一个区间内的累积量。
这两者通过微积分基本定理紧密相连，前者为后者提供了定义和理论基础。
二、运动学中的应用运动学是物理学的一个分支，专注于物体的运动描述。
在运动学中，微积分被用于处理位置、速度和加速度之间的关系。
位置与速度假设一个物体在直线上的位置可以用时间t的函数x(t)来表示。
通过对位置函数进行微分，可以得到物体的瞬时速度，即：反之，如果已知物体的速度v(t)，我们可以对其进行积分以求得位置x(t)：[ x(t) = v(t) dt ]加速度与速度类似地，加速度是速度随时间变化的速率。
其表达为：[ a(t) = ]同样，若已知加速度a(t)，则可以通过积分求得速度：[ v(t) = a(t) dt ]这些公式使得我们能够通过已知的条件推导出另一个量，极大地方便了运动分析。
三、力学中的应用力学是研究物质及其运动规律的一门科学，其中涉及到很多与微积分密切相关的概念。
牛顿第二定律牛顿第二定律指出，一个物体所受的总外力等于其质量与加速度的乘积。
数学表达为：[ F = m a ]考虑到加速度a可以表示为速度对时间的导数，我们有：因此，力F也可以被视为对动量p = mv（即质量与速度的乘积）时间变化率的描述：[ F = ]这表明，在系统分析中，通过微分我们能理解物体动量变化与受力之间深刻而又紧密的关系。
动能定理此外，微积分也被广泛应用于动能定理中。
动能是与物体运动状态相关的一种能量形式，其表达式为：[ KE = mv^2 ]当受力做功W时，系统的动能改变可以表示为：[ W = KE_f - KE_i = _{x_i}^{x_f} F dx ]此处，功W是通过移位过程中的力F与位移x之间关系而得出的，这展示了微积分在分析能量转化过程中的重要性。
微积分在高中物理中的应用
121微积分在高中物理中的应用邓圭恩微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
微积分是指求函数曲线的切线斜率、求函数图形的面积、求图形的体积的一种方法和过程，在高中物理概念、物理定律都包涵微积分的思想。
本文分析了微积分在高中物理的一些具体应用，目的是理解微积分思想的同时也能熟练地运用微积分来解决物理中的问题。
数学作为物理学中的重要工具，它即能准确而又简洁地表达物理概念和规律，也能为物理提供思维语言和方法。
运用数学方法解决物理问题是高中阶段学习目标之一，高中生掌握求导和积分的思想及方法，是为物理学习提供了即方便实用又强大的工具。
1微积分在高中动力学中的应用 1.1利用微积分解决变速运动问题在高中阶段，变速运动问题往往是许多同学的难点，很多变速运动问题的模型都很难建立，对许多同学甚至是教师的思维能力都是一个很大的考验。
但微积分知识和思想能帮助大家用更简洁普适的模型来解决这方面的问题，比如对于下面这一道题：例2：狐狸沿半径R 的圆轨道以恒定速率v 奔跑，在狐狸出发的同时，猎犬从圆心O 出发以相同的速率v 追击过程中，圆心、猎犬和狐狸始终连成一直线。
（1）建立相应坐标系，求出猎犬运动的轨道方程，并画出轨道曲线。
（2）判断猎犬能否追上狐狸。
这道题是一道经典的物理竞赛题，现在也是被选入许多高校的自招理论试题，其经典解法有很多，但绝大多数都复杂冗长，很多同学并不能很好的理解。
而如果我们选用微积分的方法，就会得到很容易为大家所接受，也较容易的解法了。
取圆心O 为坐标原点，从O 到狐狸的初始位置设置极轴，建立极坐标系。
我们先得到猎犬切向、径向加速度、速度与猎犬所在的r、θ的关系狐狸的圆运动角速度为：Rv dt d ==ωθ当狐狸在θ角位置时，圆心O、猎犬D 及狐狸F 共线，如图所示故猎犬的横向速度为猎犬的径向与切向速度为：r Rv dt d rv ==θθ，vRr v v v r 22221-=-=θ 径向与切向加速度为：R r R v v dtd r dt d dt dr r a 122222-⋅==+⋅=ωθθθv r a R r dt dr dr dv r dt dv dt d r d r d r r r 22222222)(-=-⋅=-=-=ωωθθ 由r R v v r d dr r22-==θθ积分：⎰⎰=-θθθ022d r R dr r 可得猎犬的轨道方程为: θ=Rr arcsin 即θsin R r =猎犬的轨道曲线如图中虚线所示。
微积分在物理学中的应用
大学物理课题名称：微积分在物理学中的应用专业：数学与应用数学班级：学号：姓名：指导老师：摘要在大学物理学当中，许多问题都会用到微积分来解决。
微积分是研究函数的的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。
微积分最重要的思想就是用“微元”与“无限逼近”，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行，这就是微积分在各个领域中应用的优点。
微积分作为一种分析连续过程累积的方法已经成为解决问题的基本方法。
物理学更是接近于生活，因此微积分也经常应用于物理学当中。
关键词：微积分物理学微元以前听过这样一句话“学好数理化，走遍天下都不怕”，可以知道，数理是不分家的。
我们知道从物理到数学其实就是一个建模抽象的过程，同时也是一个化归的过程，也就是说，物理中的任何一个领域都必然地涉及数学,不存在与数学毫无关联的物理分支。
所以，在物理学当中是处处用到数学知识的，在这里要说的就是微积分在物理学当中的应用。
微积分的方法是一种辨证的思想方法，它包含了有限与无限的对立统一，近似与精确的对立统一。
它把复杂的物理问题进行时间、空间上的有限次分割，在有限小的范围内进行近似处理，然后让分割无限的进行下去，局部范围无限变小，那么近似处理也就越来越精确，这样在理论上得到精确的结果。
微分就是在理论分析时，把分割过程无限进行下去，局部范围便无限小下去。
积分就是把无限小个微分元求和。
这就是微积分的方法。
物理学就是要抓住主要方面而忽略次要方面，从而使得复杂问题简单化，因此在大学物理中应用微积分的方法，能够把看似复杂的问题近似成简单基本可研究的问题。
物理现象及其规律的研究都是以最简单的现象和规律为基础的，例如质点运动学是从匀速、匀变速直线运动开始，带电体产生的电场是以点电荷为基础。
实际中的复杂问题，则可以化整为零，把它分割成在小时间、小空间范围内的局部问题，只要局部范围被分割到无限小，小到这些局部问题可近似处理为简单的可研究的问题，把局部范围内的结果累加起来，就是问题的结果。
微积分在高中物理学习中的应用
微积分在高中物理学习中的应用微积分在高中物理学习中的应用___________________________________高中物理学是学习物理的一个重要阶段，它涉及许多方面，其中包括传统的物理学，如力学，热学等，以及更加抽象的数学知识，如微积分。
微积分是一门利用函数和导数来研究求解曲线、曲面和复杂几何体的数学理论，是高中物理学中一个重要的基础。
为了更好地理解物理学，我们必须正确地使用微积分。
微积分可以帮助我们准确地描述物理现象，从而使我们能够更好地理解它们。
例如，我们可以使用微积分来描述一个物体运动的轨迹。
我们可以利用它来求解速度、加速度和动量的变化规律，从而有效地描述物体的运动状态。
此外，微积分还可以帮助我们更好地理解变化率问题。
例如，当我们讨论物体的加速度时，我们可以使用微积分来求出其加速度的变化率。
此外，微积分还可以帮助我们求出物体的动能、势能和动量的变化规律。
另外，微积分在理解物体的摩擦、热学、光学等方面也有重要作用。
例如，我们可以使用微积分来分析两个物体之间的摩擦力，并利用它来分析物体在不同温度下的传导性能。
此外，微积分还可以帮助我们理解光的衍射和反射原理。
最后，微积分还可以帮助我们理解物理定律的变化和发展。
例如，我们可以使用微积分来分析和证明牛顿定律的正确性。
此外，微积分还可以帮助我们更好地理解相对论的发展历史和它对物理学的影响。
总之，微积分在高中物理学习中有着重要作用。
它不仅可以帮助我们正确理解物理学，而且还可以帮助我们理解物理定律的变化和发展。
因此，为了能够正确地理解高中物理学，我们必须正确地使用微积分。
物理中常用的微积分知识
物理中常用的微积分知识在物理学的广袤领域中，微积分如同一位神奇的工具大师，为我们揭示和解决了众多复杂的问题。
它不仅是深入理解物理现象的关键，也是进行精确计算和理论推导的有力手段。
让我们先从导数说起。
导数在物理中的应用极为广泛。
比如，在运动学中，位移对时间的导数就是速度，速度对时间的导数则是加速度。
想象一下一辆汽车在公路上行驶，我们通过测量其在不同时刻的位置，然后计算位移随时间的变化率，就能得到汽车在每个瞬间的速度。
如果再进一步计算速度的变化率，就能得知加速度的大小。
这让我们能够清晰地了解汽车运动状态的变化情况。
再看积分，它在物理中的作用同样不可小觑。
积分可以帮助我们计算诸如路程、功等物理量。
以路程为例，如果我们已知物体的速度随时间的变化函数，通过对速度进行积分，就能得到物体在一段时间内所经过的路程。
而在计算力对物体做功时，如果力的大小和方向都在不断变化，我们可以将力在微小位移上做的元功进行积分，从而求得总功。
在力学中，牛顿第二定律 F ＝ ma，其中加速度 a 是速度对时间的导数。
当我们要分析物体在受到复杂力作用下的运动情况时，就需要运用微积分来求解。
比如，对于一个受到随时间变化的力作用的物体，我们可以通过建立力与时间的函数关系，然后对加速度进行积分来得到速度，再对速度积分得到位移。
在热力学中，微积分也大显身手。
比如，热传递过程中的热量变化，通过对热流密度关于时间或空间的积分，可以计算出总的热量传递。
在电磁学中，电场强度和磁场强度的计算常常涉及到微积分。
例如，通过对电荷分布函数进行积分，可以得到电场强度；对电流分布进行积分，可以得到磁场强度。
而且，电磁波的传播特性也需要用微积分来描述和分析。
还有光学领域，光的折射和反射现象中的光线传播路径，以及光强的分布等问题，都可以借助微积分进行精确的计算和描述。
微积分在物理中的应用实例数不胜数。
比如，研究简谐振动时，我们可以通过对振动方程求导和积分来分析振动物体的速度和位移变化。
微积分在物理中的应用
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
(I) 求容器的容积； (II) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？
（长度单位： m ，重力加速度为 g m/s2 ，水的密度为103 kg/m3 ）.
3
【解】（I）由对称性，所求的容积为
∫ ∫ V = 2π
1
2 x2 d y = 2π
1 2
(1
−
y2)d
y
=
9π
.
−1
−1
4
即该容器的容积为 9π 立方米. 4
（II）所求的功为
∫ ∫ W = 103
1
2 π (1− y2 )(2 − y)g d y +103
−1
12π (2 y − y2 )(2 − y)g d y
2
∫ ∫ =
103πg
⎡ ⎢
⎣
1
2 (2 − y − 2y2)d y +
−1
2
1 (4y
−
w = w1 + w2 + w3,
其中 w1 是克服抓斗自重所作的功；w2 是克服缆绳重力所作的
功； w3 为提出污泥所作的功. 由题意知
w1 = 400 × 30 = 12000. 将抓斗由 x 处提升到 x + d x 处，克服缆绳重力所作的功为
d w2 = 50(30 − x) d x,
从而
∫ 30
.
【例 2】（2015 年 2）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率
与该时刻物体和介质的温度差成正比.现将一初始温度为120 C 的物体在 20 C 恒温介质中
4
冷却， 30 min 后物体温度降至 30 C ，若要将物体的温度继续降至 21 C, 还需冷却多长
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用微积分在物理学中的应用微积分是数学中重要的一类研究工具，它可以用来表达、分析、决定非常复杂而多变的函数和动力学系统中变化的数学问题。
微积分是无时空界限的，从天文学到地质学，从力学到物理学，它都扮演着至关重要的角色。
它在物理学中的主要应用有以下几种：一、在力学中的应用研究力学任何问题都必须使用微积分，例如运动学，动量，力学能量，动能，弹性力，等等。
该字类的问题在微积分的研究中有很大的作用，尤其在微积分应用中的重要性进一步提升。
二、在热力学中的应用热力学研究是一种微积分技术，热力学是在系统中转换能量的过程，它涉及热能，动能，弹性能，动量，势能，声能和其他种类的能量。
因此，这项技术需要微积分中的白技术，如逆变换，曲线积分，欧拉积分，和拉格朗日积分等，来实现有效的转换。
三、在电磁学中的应用在电磁学中，电磁场的电动势，磁通密度，磁偏振诅和电流密度均与空间及时间有关，可以用微积分来分析和解决许多电磁学问题，从而深入了解电磁现象。
四、在宇宙学中的应用宇宙学是在天文学的基础上发展起来的一门学科，它研究宇宙的结构、演变及其物理学规律。
微积分应用于宇宙学研究中，对宇宙空间的几何形状有着重要的贡献，通过研究天体运动及时空的曲线方程式，可以更好地理解宇宙的演变和结构，以及天体的运动历史。
五、在量子物理学和核物理学中的应用量子物理学是一门新兴的学科，它研究物质的结构，行为，性能和变化的微观规律。
量子力学是量子物理学的基础，只有通过微积分技术，才能够对量子力学研究和应用有比较深入的了解。
在核物理学中，核裂变，核聚变等核反应的研究也需要微积分的技术来深入理解。
总之，微积分在物理学中的应用十分广泛，它可以帮助我们更好地理解物理学的原理、规律和现象。
谈微积分在物理学中的应用
谈微积分在物理学中的应用微积分是数学领域中一门非常重要的学科，它为我们提供了描述自然界规律的工具。
在物理学中，微积分更是无处不在，从基本力学原理到量子力学，微积分都发挥着核心的作用。
本文将探讨微积分在物理学中的应用，以及它给我们解决物理问题所带来的启示。
微积分是由函数、导数和积分三个基本概念组成的。
函数是指一种关系，它表达了两个变量之间的依存关系。
导数是指函数在某一点的变化率，它反映了函数在这一点上的斜率。
而积分则是求函数与直线围成图形面积的过程，它解决了函数在某一区间上的定积分问题。
微分方程是微积分在物理学中最重要的应用之一。
在力学、电磁学、热学等领域中，我们常常需要用微分方程来描述物理系统的运动规律。
例如，在经典力学中，物体运动的加速度可以表示为力的函数，而力和物体的质量之间的关系则可以通过一个微分方程来描述。
积分在物理学中也有着广泛的应用。
例如，在电磁学中，电场强度E 和磁场强度H都是通过积分来定义的。
在计算电势差、磁感应强度和能量密度等物理量时，也需要用到积分的知识。
微积分不仅仅是解决物理问题的工具，它的思想也给我们提供了启示。
在解决问题时，我们可以将问题分解成许多小部分，对每个小部分进行细致的分析，然后再将它们整合起来，形成对整个问题的全面理解。
这种思想方法被称为“细分-整合”方法，它是微积分的基本思想之一。
微积分也启示我们要事物的变化率和累积效果。
在物理学中，我们常常需要研究物理量随时间的变化情况，以及物理量在空间上的分布情况。
通过微积分，我们可以深入探讨物理量的变化率和累积效果，从而更好地理解物理现象的本质。
微积分作为一门强大的数学工具，在物理学中有着广泛的应用。
从基本力学原理到复杂的量子力学，从宏观世界到微观世界，微积分都发挥着不可或缺的作用。
通过深入理解微积分的基本概念和思想，我们可以更好地解决物理学中的各种问题，更深刻地理解自然界的规律。
微积分不仅仅提供了解决物理问题的数学方法，更启发了我们的思维方式。
(完整)微积分在物理 中的简单应用(DOC)
求解在立体斜面上滑动的物体的速度擦因数μ恰好满足一物体放在斜面上,物体与斜面间的摩αμtg =，α为斜面的倾角.今使物体获得一水平速度0V 而滑动，如图一，求:物体在轨道上任意一点的速度V 与φ的关系，设φ为速度与水平线的夹角。
G ，弹力N以及摩擦力解：物体在某一位置所受的力有:重力f 。
摩擦力f 总是与运动速度V 的方向相反，其数值ααααμμsin cos cos mg mg tg mg N f ====重力在斜面上的分力为1G,如图二,将1G 分解为两个分力：1G ''是1G 沿轨迹切线方向的分力，φαφsin sin sin 11mg G G =='' ；1G'是沿轨迹法向的分力，φαφcos sin cos 11mg G G =='，如图三。
根据牛顿运动定律,得运动方程为τma f G =-''1(1） n ma G ='1（2) 由（1)，)1(sin sin )sin sin sin (1-=-=φααφατg mg mg m a 而,dtdVa =τ得到 ,)1(sin sin dt g dV -=φα （3）式中φ是t 的函数,但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分,要设法在φ与t 中消去一个变量，才能积分，注意到φφd d ds V V dS dt 1==（4） 而φd ds表示曲线在该点的曲率半径ρ，根据（2）式，ρφα2cos sin V mmg = (5）由式(3）（4）（5）,可得到 ,)sec (φφφd tg V dV-= φφφφd tg V dV V V ⎰⎰-=00)sec (， 积分,得到)sin 1ln()ln(sec cos ln lnφφφφ+-=+--=tg V V， .sin 10φ+=V V运用积分法求解链条的速度及其时间子上,一边长度为1L ,另一条匀质的金属链条，质量为m,挂在一个光滑的钉一边长度为,2L 而且120L L <<，如图一。
微分方程在物理学中的应用
微分方程在物理学中的应用微分方程作为数学中的一个分支，不仅在数学领域中有着广泛的应用，还在物理学领域中发挥着重要作用。
在物理学中，微分方程可以描述多种自然现象，如运动的变化、电磁波传播等。
本文将从物理学的角度出发，探讨微分方程在物理学领域中的应用。
一、经典力学在经典力学中，牛顿第二定律描述了物体的运动状态。
牛顿第二定律可以用微分方程来表达：F = ma其中F为物体所受合力，m为物体的质量，a为物体的加速度。
对于给定的F和m，可以通过微分方程求解得到物体的运动轨迹。
举个例子，考虑一个质量为m的物体在重力场中自由落体。
设g为重力加速度，则物体的运动方程可以表示为：m(d^2y/dt^2) = -mg其中，y为物体的高度，t为时间。
运用微积分知识可以得到物体的运动轨迹为：y = -0.5gt^2 + v0t + y0其中，v0为物体的初速度，y0为物体的初始高度。
二、波动方程波动是物理学中的常见现象，如声波、电磁波等。
光学中著名的麦克斯韦方程组中也涉及到波动。
波动方程可以用微分方程来表示：d^2u/dt^2 = c^2(d^2u/dx^2)其中，u为波动的振幅，c为波速，x为空间坐标。
通过求解波动方程，可以得到波动的传播方向和速度。
在某些情况下，波动方程还可以描述某些材料的物理性质，如电导率等。
三、热传导方程热传导是物理学中的另一种常见现象。
物体的温度分布可以用微分方程来表示。
热传导方程通常可以表示为：(dT/dt) = alpha(d^2T/dx^2)其中，T为物体的温度，t为时间，x为空间坐标，alpha为比热传导率。
通过解决热传导方程可以得到物体内部的温度分布情况。
这个问题在热力学和工程学中有广泛应用。
四、电场和磁场方程电场和磁场是电磁学中的两个重要概念。
电场和磁场可由麦克斯韦方程组来描述。
其中，电磁场的分布可以用微分方程来描述。
例如，磁场方程可以表示为：curl B = mu0J + mu0(epsilon0)(dE/dt)其中，B为磁场强度，J为电流密度，E为电场强度，mu0为磁感应强度，epsilon0为真空介电常量。
35-微积分在物理学中的应用
求推动活塞前进 0.5 (m) 使气体压缩所作的功 .
解
9.8 10
O
5
建立坐标系如图所示 .
活塞的面积为 S (0.1) 2 .
1
x
根据波义耳 ( Boyle ) 定律 ,
恒温下 气体的压强P 与体积V ,
?
0 0 10 10
2500
1 4 ( 50 x x ) 4
2
10 0
7854103 (kg m).
二、液体的静压力
回顾有关的知识:
( 1 ) 液体对物体的压力 , 总是垂直于物体的表面 . (2) 在液面下深 h 处, 液体的压强为 :
P h
( 是液体的比重 ).
y
x (a, b], x 0.
当 x 很小时 , 可视物体在区间 [ x, x x] 上, 以变力在点 x 处的值
f (x)
O
f ( x) 按常力 作功, 其值为
a
x x x b x
W f ( x)x.
于是 , 变力沿直线作功问题的 微分元素为 : d W f ( x) d x.
k 9800
例2
半径为 10 (m) 的半球形的水池内装满 了水 ,
求将池内的水全部抽干 所作的功 .
解
O
y P( x, y)
建立坐标系如图所示 .
球在 x y 平面上的截面为一半圆 ,
x x x 10 x
其方程为x 2 y 2 102.
比重 体积 位移
x [0, 10], x 0, 则微分元素为
于是, 所求的使气体体积压缩 所作的功为:
微积分在大学物理的一些应
微积分在大学物理的一些应用摘要在大学物理中微积分有非常大的用处，随处可见给我们解题带来的方便。
即如在质点运动，力学，功，热学，电磁学等都有体现出了。
在习题解答中也处处能用到，也许是他们的特殊的性质和集合意义，让他们在物理应用中非常的全面。
如在质点运动中瞬时速度，用符号 “v ”表示，即00()()limlim t t r t t r t r d rv t t dt∆→∆→+∆-∆===∆∆。
微积分作为数学的一门分支学科，在物理学中有着非常重要的应用价值。
大学物理中，我们常常研究始终都在变化的物理量，会觉得很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就就可以认为是常量处理，最终加起来就行了。
关键词：微积分，取极限，分割，求导引言微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想，“无限细化”就是微分，“无限求和”就是积分。
在学习物理的过程中，我们常常是在研究不规则的物理量或物理状态。
有了这个思想，那我们就可以把问题细化，研究一个小的微元的变化量，然后相加，非常方便。
一、力学 1.1质点运动学1、若质点在t ∆时间内的位移r ∆，则定义r ∆与t ∆的比值为质点在这段时间内的平均速度，写为 rv t∆=∆ 其分量形式r x y z v i j k t t t t∆∆∆∆==++∆∆∆∆ 当0t ∆→时，平均速度的极限值叫做瞬时速度，用符号“v ”表示，即00()()limlim t t r t t r t r d rv t t dt∆→∆→+∆-∆===∆∆0t ∆→时，r ∆的量值r ∆可以看作和s ∆相等，此时瞬时速度的大小d rv dt=等于质点在该点的瞬时速率ds dt。
t 时刻质点的速度为();v t 在t t +∆时刻，质点位于下一点时其速度为()v t t +∆；则在时间t 内，质点的速度为()()v v t t v t ∆=+∆-。
定义质点在这段时间内的平均加速度为 v a t∆=∆ 平均加速度是矢量，方向与速度增量的方向相同。
微积分和微分方程在物理和工程中的应用
微积分和微分方程在物理和工程中的应用微积分和微分方程是数学中非常重要的概念，它们不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在物理和工程中也发挥着非常重要的作用。
在本文中，我们将讨论微积分和微分方程在物理和工程中的应用，以及这些领域中的一些经典问题和解决方案。
一、微积分在物理和工程中的应用微积分是分析学的分支，是研究变量间变化关系的工具。
在物理和工程中，微积分可以应用于许多领域，其中最常见的是动力学和工程力学。
动力学是研究物体的运动和相互作用的学科，而工程力学则是应用质点力学、刚体力学及弹性力学等力学基础研究工程中的各种物理问题。
在动力学中，微积分主要用来解决移动物体的位置、速度、加速度与时间的关系。
在动力学的研究中，我们经常看到运用微积分知识去解决问题：例如，在欧拉-拉格朗日方程和哈密顿方程中都应用了微积分和微分方程的知识。
在工程力学中，微积分则广泛应用于分析和解决各种结构力学问题。
在桥梁、建筑、航天器和飞机等工程中，微积分可以用来分析和解决预应力、稳定性和振动等问题。
在研究结构材料的变形特性时，微积分还可以用来求解变形和应力的关系，以及材料的变形率和弹性模量等参数。
二、微分方程在物理和工程中的应用微分方程是微积分的一个重要方向，它用来描述各种自然现象中的变化。
在物理和工程中，微分方程可以应用于许多实际问题的模型构建和解决。
例如，在建立机械和电子系统的动力学和控制理论模型时，微分方程可以被广泛应用。
在动力学中，微分方程是描述力和加速度对物体运动状态影响的重要工具。
对于任何运动系统，微分方程可以用来描述物体在时间上的变化，例如汽车从静止到匀速行驶的情形，可以用一阶微分方程来描述。
在控制理论中，微分方程的应用则更广泛。
例如，控制器可以用微分方程描述，来控制机械和电子系统的动态性能。
此外，微分方程还可以应用于热传导问题的建模，以及不同系统的稳定性、可靠性分析等领域。
三、物理和工程中的经典问题1、自由落体问题自由落体问题是物理学中的一个经典问题，它可以用微积分和微分方程的知识求解。
微积分在高中物理中的应用
微积分在高中物理中的应用一、非匀变速直线运动的位移计算一小球以速度v 做直线运动，其速度随时间变化规律为22+-=t v ，求小球在0—1s 内的位移。
由题意可知，小球的速度并不是均匀变化的，无法运用匀变速直线运动的公式计算位移，现在尝试运用微积分的思想来解决问题。
试想，将[0，1]这段时间分为n 个时间段：[0，n 1]，[n 1，n 2],…，[nn 1-,1] 每个时间段的长度为 nn t t t t t i i 101=-=-=∆- 当Δt 很小时，在[t 1-i ,t i ]上，v(t)的变化很小，可以认为物体近似的以速度v(t 1-i )做匀速运动，在这一段时间上物体的位移t t v x i i ∆≈∆-)(1在[0，1]上物体的总位移∑∑=-=∆=∆=n i i n i it t v x x 111)(∑=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=n i i n n t x 12121- ()[]()()22111131-26121n 1-2121n 1-2111110-3222322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+--=+-+⋯++=+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋯-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=n n n n n n nn n n n n 所以，n 越大即t ∆越小时，时间段[0，1]分得越细，∑=∆n i i x 1与x 的近似程度就越好，当∞→n 时，两者之差趋向于零，即3522111131-lim lim 11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆=∞→=-∞→∑x n n x tv x n ni i n 所以，小球在0—1s 内的位移为35m 由此可以看出利用微积分思想可以解决非匀速直线运动的位移问题。
此过程比较麻烦，也可以直接使用牛顿—莱布尼茨公式。
二、变力作功在弹簧的弹性限度内，将其从平衡位置拉到距平衡位置l m 处，已知弹簧劲度系数为k ,求此过程中拉力F 所做的功W 。
在弹性限度内，拉力F 与弹簧拉伸长度成正比()kx x F =所以 20202121kl kx dx kx W ll ===⎰ 拉力F 所做的功为221kl三、交变电流有效值的计算求正弦式交变电流t I i m ωsin =的有效值解： 设电流的有效值为I ，则i W Rt I =2将t I i m ωsin =等号两边同时平方得到t I i m ω222sin =Rt I Q 2=令 T t =所以在半个周期内TRI W t t RI W dt t RI W dt t I R W dt t I R W m i T m i T m i Tmi Tm i 2202202202222412sin 412122cos 2122cos 1sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==⎰⎰⎰ωωωωω所以 TR I W Rt I m i 2241==2221m I I =2mI I = 正弦式交流电的有效值为2mI I =。
微积分的实际应用
微积分是数学的分支之一，研究函数的变化与其导数之间的关系。
虽然微积分的概念有时对于初学者来说会有些难以理解，但它在各个领域中的实际应用却是不可忽视的。
本文将讨论微积分在物理学、经济学和工程学等领域的实际应用。
在物理学中，微积分被广泛应用于描述物体的运动和变化。
例如，通过对物体运动过程中的位置、速度和加速度进行微积分分析，我们可以得到物体的运动特性。
当然，这也是牛顿第二定律的基础。
微积分还可以用于求解动能和势能，从而进一步推导其他物理量。
此外，微积分还在力学、电磁学和热力学等领域中被广泛应用。
在经济学中，微积分的运用非常重要。
通过微积分，可以求解经济学中的边际成本、边际效用和边际收益等关键概念。
这些概念在决策制定和资源分配中起着至关重要的作用。
另外，微积分还被用于经济学模型的建立和分析，包括供求曲线、成本曲线和收益曲线等。
这些模型的建立和求解需要运用微积分中的导数和积分概念。
在工程学中，微积分也扮演着重要的角色。
工程师通常使用微积分来解决各种各样的问题，例如结构力学、电路分析和信号处理等。
微积分能够帮助工程师分析和优化设计，确保工程项目的稳定性和可靠性。
举个例子，当我们需要设计一座桥梁时，通过微积分可以计算出桥梁的强度和稳定性。
此外，微积分还在控制系统、光学和材料科学等领域中被广泛应用。
除了以上所述的领域，微积分还在许多其他学科中发挥重要作用。
在医学领域中，微积分可以用于分析药物的动力学和生物化学过程。
在计算机科学领域中，微积分被用于算法分析和图像处理等。
此外，在环境科学、心理学和社会学等领域中，微积分的应用也不容忽视。
综上所述，微积分在现实世界中有着广泛的应用。
无论是自然科学、社会科学还是工程技术，微积分的概念和方法都能够帮助我们更好地理解和应用知识。
对于学习微积分的学生来说，不仅需要掌握其基本理论和运算技巧，更需要深刻理解其实际应用。
只有将微积分与实际问题相结合，我们才能真正体会到微积分在各个领域中的独特魅力和价值。
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求解在立体斜面上滑动的物体的速度一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数μ恰好满足αμtg =，α为斜面的倾角。
今使物体获得一水平速度0V 而滑动，如图一，求：物体在轨道上任意一点的速度V 与φ的关系，设φ为速度与水平线的夹角。
解：物体在某一位置所受的力有：重力G ，弹力N 以及摩擦力f 。
摩擦力f总是与运动速度V 的方向相反，其数值 ααααμμsin cos cos mg mg tg mg N f ====重力在斜面上的分力为1G ，如图二，将1G 分解为两个分力：1G''是1G 沿轨迹切线方向的分力，φαφsin sin sin 11mg G G =='' ；1G '是沿轨迹法向的分力，φαφcos sin cos 11mg G G =='，如图三。
根据牛顿运动定律，得运动方程为τma f G =-''1 （1）n ma G ='1（2） 由（1），)1(sin sin )sin sin sin (1-=-=φααφατg mg mg ma 而 ,dt dV a =τ得到 ,)1(sin sin dt g dV -=φα （3）式中φ是t 的函数，但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分，要设法在φ与t 中消去一个变量，才能积分，注意到 φφd d ds V V dS dt 1== （4）而φd ds表示曲线在该点的曲率半径ρ，根据（2）式，ρφα2cos sin V m mg = （5）由式（3）（4）（5），可得到,)sec (φφφd tg V dV-=φφφφd tg V dV V V ⎰⎰-=00)sec (，积分，得到)sin 1ln()ln(sec cos ln ln 0φφφφ+-=+--=tg V V，.sin 10φ+=V V运用积分法求解链条的速度及其时间一条匀质的金属链条，质量为m ，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为1L ，另一边长度为,2L 而且120L L <<，如图一。
试求：链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。
解：设金属链条的线密度为.21L L m+=λ当一边长度为x L +1，另一边长度为x L -2时受力如图二所示，则根据牛顿运动定律，得出运动方程,)()(11a x L T g x L λλ+=-+.)()(22a x L g x L T λλ-=-- 则.2)(2121g L L x L L a ++-=,2)(2121g L L x L L dx VdV ++-= ⎰⎰++-=x Vgdx L L x L L VdV 0212102)( .)(222121x x L L L L g V +-+= 令,2L x ≈可以求得链条滑离钉子时的速度大小 全转化成与x 有关的式子，因为x 有对应的式子。
21212L L g L L V += 再由,dt dx V =得到 22121)(2x x L L L L g dtdx +-+=积分，得到,2])(2)(2ln[21022121t L L g x x L L L L x x +=+-+-+ ,2)(2)(2ln 212122121t L L g L L x x L L L L x +=-+-+-+ 令x=2L ,可以求得链条滑离钉子所需的时间为.ln 22ln 221212121212121L L L L g L L L L L L L L g L L t -++=-+++=求解棒下落过程中的最大速度在密度为1ρ的液体上方有一悬挂的长为L,密度为2ρ的均匀直棒，棒的下端刚与液面接触。
今剪断细绳，棒在重力和浮力的作用下下沉，若21ρρ<，求：棒下落过程中的最大速度。
解：剪断细绳后，直棒在下沉过程中受到重力G 和浮力F的作用，如图一所示。
根据牛顿运动定律，有 .dt dV m F mg =- （1） 随着棒往下沉，浮力逐渐增大。
当直棒所受合力为零，即mg F =时，棒的加速度为零，速度最大。
设棒达到最大速度时，棒浸入液体中的长度为1L ，设棒的截面积为S ，则有,211SLg g SL ρρ=解得，.121L L ρρ= （2） 取x 坐标如图所示，则（1）式可以写为.212dtdV SLSxg SLg ρρρ=- 做变量代换，令,dx dV V dt dx dx dV dt dV ==代入上式，得到 ;)1(21VdV gdx L x =-ρρ 两边积分，得到⎰⎰=-110021)1(V L VdV gdx L x ρρ 得到，212121121)21(V L L g gL =-ρρ将（2）式代入（3）式，得棒的最大速度为.121Lg V ρρ= 运用微分法求解阻尼平抛质量为m 的物体，以初速为0V ，方向与地面成0θ角抛出。
如果空气的阻力不能忽略，并设阻力与速度成正比，即V k f-=，k 为大于零的常数。
求：物体的运动轨道。
解：根据受力情况，列出牛顿运动定律方程 a m f g m =+其分量式，,x x x ma kV f =-= （1）y y ma kV mg =- （2） 将dtdV a x x =代入式（1），得 ,dtdV m kV x x =- 改写成,dt mk V dV x x -=⎰⎰-=x x V V t x x dt V dV 00,m k 两边积分，得到 .cos 00t m k t m k x x e V eV V --⋅==θ 可见由于空气阻力的存在，x 方向的速度不再是常数，而随时间逐渐衰减。
由于,dtdx V x =再积分，并以t=0时x=0,代入得到 ).1(cos )1(000t m kt m k x e k V e k m V x ---=-=θ （3） 同理，由于,dt dV a yy =式（2）转化为),(y y y V k mg m k V m k g dt dV -=-= 错了 不带负号积分，并以t=0时，000sin θV V V y y ==代入，得到.)sin (00kmg e k mg V V t m ky -+=-θ 可见，y 方向的速度也不再是匀减速的。
再将上式对时间积分，并以t=0时y=0代入，得到.)1)(sin (00t k mg e k mg V k m y t m k --+=-θ 在那修正 （4） 由（3）（4）两式消去t,得到有阻力时的轨道方程).cos 1ln()cos 1ln()cos (022*******x mV k kg m x mV k k g m x kV mg tg y θθθθ-+-++= 显然由于空气阻力的作用，抛体的轨道不再是简单的抛物线了，实际轨道将比理想轨道向左下方偏离，如图一。
例如：以初速620m/s,仰角045发射的步枪子弹的射程，没有空气阻力时应为40km,而实际射程只有4km. 求解飞机的滑行距离飞机以0V 的水平速度触地滑行着陆。
滑行期间受到空气的阻力为2V C x ，升力为2V C y ，其中V 是飞机的滑行速度。
设飞机与跑道间的摩擦系数为μ，试求：飞机从触地到停止所滑行的距离。
解：取飞机触地点为坐标原点，取飞机滑行方向为x 轴。
飞机在水平方向上受力为：摩擦力N f μ=，空气阻力为2V C f x ='；在竖直方向上受力为：重力、支持力和升力,2V C F y =如图一所示，应用牛顿第二定律，得到dtdV m V C N x =--2μ .02=-+mg V C N y由上两式消去N ，得到.)(2V C C mgdV my x μμ---= 得到.)(2V C C mg dx mV y x μμ---= 分离变量，积分⎰⎰-=-+VV x y x dx V C C mg mVdV 002)(μμ， 得到].)()(ln[)(2202V C C mg V C C mg C C m x y x y x y x μμμμμ-+-+--= 在飞机触地的瞬间，,0V V =支持力N=0,由运动方程，得到.20mg V C y =于是].)(ln[)(22022020V C V C C V C C C g V C x x y x y y y y μμμ-+--=这就是飞机从触地到停止所滑行的距离。
社5,/900==x y C C h km V （升阻比），10.0=μ。
代入数值计算后，得到 x=221m. 求解阻尼自由落体和阻尼竖直上抛的相遇问题两小球的质量均为m ，小球1从离地面高度为h 处由静止下落，小球2在小球1的正下方地面上以初速0V 同时竖直上抛。
设空气阻力与小球的运动速率成正比，比例系数为k(常量)。
试求：两小球相遇的时间、地点以及相遇时两小球的速度。
解：两小球均受重力和阻力作用，取坐标如图一所示，两小球的运动方程可统一表示为 ,22mg kV dt y d m --= 为什么可以把两个小球的运动合并？ 这里的V 是指矢量，这个式子不矛盾，且可以把1,2两个小球用一个式子统一起来！它们运动状态的差别仅由于初始条件的不同而引起的，故,g V m kdt dV--=分离变量.dtgV m k dV =--对于小球1，初始条件为0=t 时，,,01010h y V ==故,100⎰⎰=--V t dt g V m kdV).1(1tm k e k mg V ---= (1)对于小球2，初始条件是t=0时，,0,20020==y V V 故⎰⎰=--10,0V V t dtgm k dV得到.02k mge k mgV V t m k-+=-）（ （2）由（1）式，得到),1(1t m ke k mgdt dy ---=dt e k mg dy tm k)1(1---=⎰⎰---=101)1(y h t t m kdt e k mg dy 积分，得到.)1(221t k mg e k g m h y t m k--+=- 由式（2）得到,)(02kmg e k mg V dt dy t m k-+=- dt k mg e k mg V dy t m k ])[(02-+=- dt k mg e k mg V dy t t m ky ⎰⎰-+=-0002])[(2积分，得到t kmg e k mg V k m y t m k -+=-)(02 两小球相遇时，,21y y =相遇时间为*t ，由（3（4）两式，得到)1(*0t m k e V k m h --=，,10*mV kh e t m k-=- 故),1ln(0*mV kh k m t --= 把上述结果代入（3）或者（4），得到两小球相遇的地点).1ln()1(0220*mV kh k g m h kV mg y -++= 代入（1）（2），得到两小球相遇时的速度;)]1(1[00*1V gh mV kh k mg V -=---= .)()1)((0000*2mkh V gh V k mg mV kh k mg V V --=--+= 讨论：（1）当阻力很小时，即当0→k 时，利用展开式,2)1ln(2x x x --=-上述结果简化为 .,;2;00*20*120*0*V gh V V V gh V V gh h y V h t -=-=-== 这正是不考虑空气阻力时的结果。