九年级数学几何模型压轴题专题练习(解析版)
中考数学常见几何模型专题11 最值模型-阿氏圆问题(解析版)
专题11 最值模型-阿氏圆问题
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·P A+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2022·安徽·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径
作△C，P为△C上一动点，连接AP、BP，则1
3
AP＋BP的最小值为（）
A．7B．
C
．4D
．
PC CM
例2．（2020·广西中考真题）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P 是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_____．
中考数学常见几何模型专题12 最值模型-费马点问题(解析版)
专题12 最值模型-费马点问题
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。
【模型解读】
结论1：如图，点M 为△ABC 内任意一点，连接AM 、BM 、CM ，当M 与三个顶点连线的夹角为120°时，MA +MB +MC 的值最小。
注意：上述结论成立的条件是△ABC 的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A 。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）
【模型证明】以AB 为一边向外作等边三角形△ABE ，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN ． △△ABE 为等边三角形，△AB ＝BE ，△ABE ＝60°．而△MBN ＝60°，△△ABM ＝△EBN ．
在△AMB 与△ENB 中，△AB BE
ABM EBN BM BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，△△AMB △△ENB （SAS ）
． 连接MN ．由△AMB △△ENB 知，AM ＝EN ．△△MBN ＝60°，BM ＝BN ，△△BMN 为等边三角形． △BM ＝MN ．△AM +BM +CM ＝EN +MN +CM ．△当E 、N 、M 、C 四点共线时，AM +BM +CM 的值最小． 此时，△BMC ＝180°﹣△NMB ＝120°；△AMB ＝△ENB ＝180°﹣△BNM ＝120°；
2019年中考数学压轴题汇编(几何1)解析版
2019年中考数学压轴题汇编（几何1）解析版
（2019年安徽23题）
23．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB ＝∠BPC＝135°．
（1）求证：△P AB∽△PBC；
（2）求证：P A＝2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．
【分析】（1）利用等式的性质判断出∠PBC＝∠P AB，即可得出结论；
（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论；
（3）先判断出Rt△AEP∽Rt△CDP，得出，即h3＝2h2，再由△P AB∽△PBC，判断出，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC，
∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC
又∠APB＝135°，
∴∠P AB+∠PBA＝45°
∴∠PBC＝∠P AB
又∵∠APB＝∠BPC＝135°，
∴△P AB∽△PBC
（2）∵△P AB∽△PBC
∴
在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴
∴
∴P A＝2PC
（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，
∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，
∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°
∴∠APC＝90°，
∴∠EAP+∠ACP＝90°，
又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°
∴∠EAP＝∠PCD，
∴Rt△AEP∽Rt△CDP，
∴，即，
∴h3＝2h2
∵△P AB∽△PBC，
∴，
∴
∴．
即：h12＝h2•h3．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP＝∠PCD是解本题的关键．
上海市北初级中学数学几何模型压轴题单元测试卷附答案
上海市北初级中学数学几何模型压轴题单元测试卷附答案
一、初三数学旋转易错题压轴题（难）
1．在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．
(1) 如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，求证：PC＝PE；
(2) 如图2，把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，探索PC与PE的数量关系，并说明理由．
(3) 如图3，把图2中的△AEF绕着点A顺时针旋转，点F落在边AB上．其他条件不变，问题(2)中的结论是否发生变化？如果不变，请加以证明；如果变化，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）PC＝PE，理由见解析；（3）成立，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可；
（2）先判断△CBP≌△HPF，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
（3）先判断△DAF≌△EAF，再判断△DAP≌△EAP，然后用比例式即可；
【详解】
解：（1）证明：如图：
∵∠ACB＝∠AEF＝90°，
∴△FCB和△BEF都为直角三角形．
∵点P是BF的中点，
∴CP＝1
2BF，EP＝
1
2
BF，
∴PC＝PE．
（2）PC＝PE理由如下：
如图2，延长CP，EF交于点H，
∵∠ACB＝∠AEF＝90°，
∴EH//CB，
∴∠CBP＝∠PFH，∠H＝∠BCP，
∵点P是BF的中点，
∴PF＝PB，
∴△CBP≌△HFP(AAS)，
∴PC＝PH，
∵∠AEF＝90°，
∴在Rt△CEH中，EP＝1
2
CH，
∴PC＝PE．
（3）(2)中的结论，仍然成立，即PC＝PE，理由如下：
初三九年级上册上册数学压轴题专题练习(解析版)
初三九年级上册上册数学压轴题专题练习（解析版）
一、压轴题
1．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点
A、B(不与P，Q重合)，连接AP、BP. 若∠APQ=∠BPQ.
(1)如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O的半径；
(2)如图2，选接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上(不与P、M重合)，连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明.
2．如图1，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=100，D是BC的中点．
小明对图1进行了如下探究：在线段AD上任取一点E，连接EB．将线段EB绕点E逆时针旋转80°，点B的对应点是点F，连接BF，小明发现：随着点E在线段AD上位置的变化，点F的位置也在变化，点F可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：
（1）如图2，当点F在直线AD上时，连接CF，猜想直线CF与直线AB的位置关系，并说明理由．
（2）若点F落在直线AD的右侧，请在备用图中画出相应的图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，为什么？
（3）当点E在线段AD上运动时，直接写出AF的最小值．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线1l：
1
6
2
y x
=-+分别与x轴、y轴交于点B、C，
且与直线2l：
1
2
y x
=交于点A.
（1）分别求出点A 、B 、C 的坐标；
（2）若D 是线段OA 上的点，且COD △的面积为12，求直线CD 的函数表达式； （3）在（2）的条件下，设P 是射线CD 上的点，在平面内里否存在点Q ，使以O 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
天津市第一中学数学几何模型压轴题单元试卷(word版含答案)
天津市第一中学数学几何模型压轴题单元试卷（word版含答案）
一、初三数学旋转易错题压轴题（难）
1.探究：如图1和图2,四边形A8C。中，已知48=4。，/84） = 90。，点£、F分别在BC. CD 上,NE4F=45° .
（1）①如图1，若NB、N4DC都是直角，把△48E绕点八逆时针旋转90°至△ADG,使 A8与
4。重合，直接写出线段8E、DF和评之间的数量关系;
②如图2,若N8、ND都不是直角，但满足N8+ND=180° ,线段8£、DF和讦之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.
（2）拓展：如图3,在△川8c中，N8AC=90° , AB=AC=2版.点D、E均在边8c边上，且
ND4E=45° ，若8。= 1,求DE的长.
【答案】（1）①EF=8E+DF；②成立，理由详见解析：（2） 0£= 1 .
【解析】
【分析】
（1）①根据旋转的性质得出4E=AG, /BAE=/DAG, BE=DG,求出NEAF=NG4F= 45。，根据SAS推出乌△G4F,根据全等三角形的性质得出EF=GF,即可求出答案：②根据旋转的性质作辅助线，
得出八£=AG, /8=N4?G, ZBAE=ZDAG9求出C、。、G 在一条直线上，根据S4S推出根据全等三角形的性质得出EF=GF,即可求出答案；
（2）如图3,同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出NA8C=NC= 45。，8c=4,根据旋转的性质得出 4F=4E, /F84 = NC=45。，ZBAF=ZCAE,求出 NE4D = NO4E=45。，证△EADg/XEW,根据全等得出。/设。E=x,则 DF=x, BF=CE=3 -X,根据勾股定理得出方程，求出X即可.
九年级数学几何模型压轴题专题练习(解析版)
九年级数学几何模型压轴题专题练习（解析版）
一、初三数学旋转易错题压轴题（难）
1.如图 1,在 Rt∆ΛSC 中，Z4 = 90o, AB=AC f点 D, E 分别在边 AB, AC 上，AD=
AE f连接DC,点M, P, N分别为DE, DC, BC的中点.
（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是_,位置关系是_；
（2〉探究证明：把AADF绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接BD, CE,判断APMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把AADF绕点A在平面内自由旋转，若AD=4, AB=IO f请直接写出APMN面积的最人值.
【答案】（I）PM=PΛ∕, PM丄PN；（2） APMN是等腰直角三角形.理由见解析；（3）49 S A.PMN⅜⅛大=.
【解析】
【分析】
（1）由已知易得加=C利用三角形的中位线得出PM = ；CE , PN = ；BD,即可
2 2
得出数量关系，再利用三角形的中位线得出PM//CE得出ZDPM = ZDc4,最后用互余即可得出位置关系；
（2）先判断出MBQ三AACE,得出皮） = CE,同（1）的方法得出PM=-BD i
2
PN = LBD t即可得出PM = PN,同（1）的方法由
2
ZMPN = ZDCE+ ZDCB+ ZDBC= ZACB+ ZABC ,即可得出结论；
（3〉方法1：先判断出MN最人时，APMN的面积最大，进而求出AN, AM,即可得出MN最）＜=AM + AN,最后用面积公式即可得出结论.方法2：先判断出BD最大时，WMN的面积最大，而Br）最人是AB + AD = 14,即可得出结论.
九年级数学上册几何模型压轴题专题练习(解析版)
九年级数学上册几何模型压轴题专题练习（解析版）
一S初三数学旋转易错题压轴题（难）
1.如图，四边形ABCD为正方形，AAEF为等腰直角三角形，ZAEF=90° ,连接FC, G 为FC的中点,连接GD, ED.
（1）如图①，E在AB上，直接写出ED, GD的数量关系.
（2）将图①中的AAEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由.
（3）若AB = 5, AE = I t将图①中的ZkAEF绕点A逆时针旋转一周，当E, F, C三点共线
囹①图②
【答案】（I）DE=JjDG: （2）成立，理由见解析；（3） DE的长为4血或3 √2 •
【解析】
【分析】
（1）根据题意结论：DE= J∑ DG,如图1中，连接EG,延长EG交BC的延长线于连接 DM.证明△CMG^∆FEG （AAS）,推出 EF=CM, GM=GE.再证明△DCM^∆DAE
（SAS）即可解决问题；
（2）如图2中，结论成立.连接EG,延长EG到IVh使得GM=GE.连接CM, DM,延长 EF交CD 于R,其证明方法类似；
（3）由题意分两种情形：①如图3-1中，当E, F, C共线时.②如图3-3中，当E, F, C 共线时，分别求解即可.
【详解】
解：（I）结论：DE=JJ DG.
M l连接DM.
≡1
四边形ABCD是正方形，
・•・AD = CD, Z B = Z ADC=Z DAE=Z DCB=Z DCM = 90∖
T Z AEF = Z B = 90°,
・•・ EFIl CM t
・•・ Z CMG = Z FEG,
中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)
中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题
1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE
于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，
（1）求证：CF＝BG；
（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；
（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．
2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与
B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．
[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．
[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．
3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，求证：AD＝2DC．
（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；
（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．
几何最值问题-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(解析版)
1
2023
年中考数学压轴题专项训练
1.几何最值问题
一、压轴题速练
1一、单选题1(2023·山东烟台·模拟预测)如图，
在矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，点E 是矩形ABCD 内部一动点，且∠BEC =90°，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、PE ，则PD +PE 的最小值为(
)A.8 B.45 C.10 D.45-2
【答案】A
【分析】根据∠BEC =90°得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化即可求解．
【详解】解：如图，设点O 为
BC 的中点，由题意可知，
点E 在以BC 为直径的半圆O 上运动，作半圆O 关于AB 的对称图形(半圆O ')，
点E 的对称点为E 1，连接O 'E 1,则PE =PE 1，
∴当点D 、P 、E 1、O '共线时，PD +PE 的值最小，最小值为DE 1的长，
如图所示，在Rt △DCO '中，CD =8，CO '=6，
∴DO '=82+62=10，
又∵O 'E 1=2，
∴DE 1=DO '-O 'E 1=8，即PD +PE 的最小值为8，
故选：A ．
【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化时解题的关键．
2(2023·安徽黄山·校考模拟预测)如图，
在平面直角坐标系中，二次函数y =32x 2-32x -3的图象与x 轴交于点A ，C 两点，与y 轴交于点B ，对称轴与x 轴交于点D ，若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则12
PB +PD 的最小值为()
2
A.334
中考数学常见几何模型专题10 最值模型-胡不归问题(解析版)
专题10 最值模型---胡不归问题
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，可将胡不归问题看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决胡不归问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短。
【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、
B 为定点，点
C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21
AC BC
V V +
的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）
1）
121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛
⎫++ ⎪⎝⎭
，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值. 2）构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，
CH
k AC
=，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值. 3）过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．
人教版九年级上册数学 几何模型压轴题专题练习(解析版)
人教版九年级上册数学几何模型压轴题专题练习（解析版）
一、初三数学旋转易错题压轴题（难）
1．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，
AP＝1
3
AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，
连接PC，且ABE为等边三角形．
（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是，AP 与EC的数量关系是．
（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为93
4
，求线段AC的长．
【答案】（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3）
7 7
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；
（3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，AB＝BE，
∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，
∴∠CBP＝60°，BC＝BP，
∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，
人教版九年级上册数学 几何模型压轴题中考真题汇编[解析版]
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人教版九年级上册数学 几何模型压轴题中考真题汇编[解析版]
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC
上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是_________；
（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，
CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出
PMN 面积的最大值．
【答案】（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）492
【解析】 【分析】
（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN 与PM 等于DE 或CE 的一半，又△ABC 为等腰直角三角形，AD=AE ，所以得PN=PM ，且互相垂直；
（2）由旋转可推出BAD CAE ∆∆≌，再利用PM 与PN 皆为中位线，得到PM=PN ，再利用角度间关系推导出垂直即可；
（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM ，且PM ⊥PN ，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】
（1）PM PN =，PM PN ⊥；
已知点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，根据三角形的中位线定理可得
12PM EC =
，1
2
PN BD =，//PM EC ，//PN BD 根据平行线性质可得DPM DCE ∠=∠，NPD ADC ∠=∠ 在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，AD AE = 可得BD EC =，90DCE ADC ∠+∠=︒ 即得PM PN =，PM PN ⊥
哈尔滨数学几何模型压轴题专题练习(解析版)
哈尔滨数学几何模型压轴题专题练习（解析版）
一、初三数学旋转易错题压轴题（难）
1．如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G 为FC的中点，连接GD，ED．
（1）如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．
（2）将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由．
（3）若AB＝5，AE＝1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．
【答案】（1）DE＝2DG；（2）成立，理由见解析；（3）DE的长为42或32．【解析】
【分析】
（1）根据题意结论：DE=2DG，如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM，证明△CMG≌△FEG（AAS），推出EF=CM，GM=GE，再证明△DCM≌△DAE （SAS）即可解决问题；
（2）如图2中，结论成立．连接EG，延长EG到M，使得GM=GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R，其证明方法类似；
（3）由题意分两种情形：①如图3-1中，当E，F，C共线时．②如图3-3中，当E，F，C 共线时，分别求解即可．
【详解】
解：（1）结论：DE＝2DG．
理由：如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°，
∵∠AEF＝∠B＝90°，
∴EF∥CM，
∴∠CMG＝∠FEG，
∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF，
∴△CMG≌△FEG（AAS），
成都七中实验学校(初中部)数学几何模型压轴题单元测试题(Word版含解析)
成都七中实验学校（初中部）数学几何模型压轴题单元测试,
（Wgd版含解析）
一、初三数学旋转易错题压轴题（难）
1.在 Rt∆ACB 和 RtZ∖AEF 中，ZACB=ZAEF=90°,若点 P 是 BF 的中点，连接 PC, PE.
图1 图2 图3
（1）如图2,若点E, F分别落在边AB, AC ±,求证：PC = PE;
（2）如图2,把图1中的AAEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，探索PC与PE的数量关系，并说明理由.
（3）如图3,把图2中的AAEF绕着点A顺时针旋转，点F落在边AB上.其他条件不变，问题（2）中的结论是否发生变化？如果不变，请加以证明；如果变化，请说明理由.
【答案】（1）见解析：（2） PC=PE,理由见解析：（3）成立，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可；
（2）先判断△ CBP仝ZkHPF,再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
（3）先判断△ DAF^ΔEAF,再判断△ DAP^∆EAP,然后用比例式即可：
【详解】
解：（1）证明：如图：
∙.∙Z ACB = Z AEF=90°,
.∙.Δ FCB和厶BEF都为直角三角形.
T点P是BF的中点，
1 1
.∙. CP= — BF, EP=-BF,
2 2
.∙. PC=PE.
(2) PC=PE理由如下：
如图2,延长CP, EF交于点H,
Ii
••・ Z ACB = Z AEF=90o,
••・EH∕∕CB,
・•・ Z CBP = Z PFH, ZH = ZBCP,
∙.∙点P是BF的中点，
初中数学几何模型专题3：平行线压轴篇
平行线压轴题
1、如图所示，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与A不重合），BC，BD分别平分∠ABP 和∠PBN，交射线AM于C，D.（推理时不需写出每一步的理由）
（1）求∠CBD的度数.
（2）当点P运动时，∠APB:∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律.
（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数.
2、如图（1），四边形ABCD中，AD∥BC，点E是线段CD上一点，
（1）说明：∠AEB＝∠DAE+∠CBE；
（2）如图（2），当AE平分∠DAC，∠ABC＝∠BAC．
①说明：∠ABE+∠AEB＝90°；
②如图（3）若∠ACD的平分线与BA的延长线交于点F，且∠F＝60°，求∠BCD．
3、已知E、D分别在∠AOB的边OA、OB上，C为平面内一点，DE、DF分别是∠CDO、∠CDB的平分线．
（1）如图1，若点C在OA上，且FD∥AO，求证：DE⊥AO；
（2）如图2，若点C在∠AOB的内部，且∠DEO＝∠DEC，请猜想∠DCE、∠AEC、∠CDB之间的数量关系，并证明；
（3）若点C在∠AOB的外部，且∠DEO＝∠DEC，请根据图3、图4分别写出∠DCE、∠AEC、∠CDB之间的数量关系（不需证明）．
4、如图，点D、点E分别在△ABC边AB，AC上，∠CBD＝∠CDB，DE∥BC，∠CDE的平分线交AC于F点．（1）求证：∠DBF+∠DFB＝90°；
（2）如图②，如果∠ACD的平分线与AB交于G点，∠BGC＝50°，求∠DEC的度数．
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即：
9 5
2
12 5
2
BQ
BQ2
，
解得： BQ 15 ， 8
∴DQ=
15
BD-BQ=5-
25
；
88
③如图③-3 所示，点 Q 落在 BD 上，且 PD=DQ，
则∠3=∠4． ∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，
∴∠4=90°- 1 ∠2． 2
∵∠1=∠2，
∴∠4=90°- 1 ∠1， 2
∴∠A′QB=∠4=90°- 1 ∠1， 2
∴∠A′QB=∠A′BQ， ∴A′Q=A′B=3，
∴F′Q=A′Q-A′F′=3- 12 3 ， 55
在 Rt△BF′Q 中，由勾股定理得：BQ=
BF2 FQ2
9 2 5
3 5
2
3
10 5
，
∴DQ=BQ-BD= 5 3 10 ； 5
④如图④-4 所示，点 Q 落在 BD 上，且 PQ=PD，
（3）如图②，将 ABF 绕点 B 顺时针旋转一个角 a(0 a 180) ，记旋转中 ABF 为 A' BF ' ，在旋转过程中，设 A' F ' 所在的直线与直线 AD 交于点 P ，与直线 BD 交于点
Q ．是否存在这样的 P、Q 两点，使 DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时 DQ 的
质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点；第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋
转图形，依题意进行分类讨论．
2．已知：如图①，在矩形 ABCD 中，AB＝5， AD 20 ，AE⊥BD，垂足是 E．点 F 是点 E 3
关于 AB 的对称点，连接 AF、BF．
（1）求 AE 和 BE 的长； （2）若将△ABF 沿着射线 BD 方向平移，设平移的距离为 m（平移距离指点 B 沿 BD 方向 所经过的线段长度）．当点 F 分别平移到线段 AB、AD 上时，求出相应的 m 的值； （3）如图②，将△ABF 绕点 B 顺时针旋转一个角 α（0°＜α＜180°），记旋转中的
∴∠3=∠2，
∴BB′=B′F′ 9 ，即 m 9 ；
5
5
②当点 F′落在 AD 上时，
∵AB∥A′B′，AB⊥AD，
∴∠6=∠2，A′B′⊥AD，
∵∠1=∠2，∠5=∠1，
∴∠5=∠6，
又知 A′B′⊥AD，
∴△B′F′D 为等腰三角形，
∴B′D=B′F′ 9 ， 5
∴BB′=BD-B′D=5- 9 16 ，即 m 16 ；
长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） AF 12 , BF 9 ；（2） m 9 或 m 16 ；（3）存在 4 组符合条件的点
5
5
5
5
P 、点 Q ，使 DPQ 为等腰三角形； DQ 的长度分别为 2 或 25 或 9 10 5 或 85
5 3 10 ． 5
【解析】
【分析】
（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；
九年级数学几何模型压轴题专题练习（解析版）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．已知：如图①，在矩形 ABCD 中， AB 3, AD 4, AE BD ，垂足是 E .点 F 是点 E 关于 AB 的对称点，连接 AF、BF ．
（1）求 AF 和 BE 的长； （2）若将 ABF 沿着射线 BD 方向平移，设平移的距离为 m (平移距离指点 B 沿 BD 方向 所经过的线段长度)．当点 F 分别平移到线段 AB、AD 上时，直接写出相应的 m 的值．
则∠2=∠3．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∴BQ=BA′=3，
∴DQ=BD-BQ=5-3=2．
综上所述，存在 4 组符合条件的点 P、点 Q，使△DPQ 为等腰三角形，DQ 的长度分别为：
2 或 25 或 9 10 5 或 5 3 10 ．
85
5
【点睛】
本题是四边形综合题目，主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、旋转的性
55
5
（3）存在．理由如下：
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°，
∴∠2=∠BAE，
∵点 F 是点 E 关于 AB 的对称点，
∴∠1=∠BAE，
∴∠1=∠2，
在旋转过程中，等腰△DPQ 依次有以下 4 种情形： ①如图③-1 所示，点 Q 落在 BD 延长线上，且 PD=DQ，
则∠Q=∠DPQ， ∴∠2=∠Q+∠DPQ=2∠Q， ∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2， ∴∠3=∠Q， ∴A′Q=A′B=3，
∴F′Q=F′A′+A′Q= 12 3 27 ，
5
5
在 Rt△BF′Q 中，由勾股定理得：BQ=
BF2 FQ2
9 2 5
27 5
2
9
10 5
，
∴DQ=BQ-BD= 9 10 5 ； 5
（2）依题意画出图形，如图①-1 所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别
求出 m 的值；
（3）在旋转过程中，等腰△DPQ 有 4 种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计
算即可．
【详解】
（1）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD=90°，
在 Rt△ABD 中，AB=3，AD=4，
由勾股定理得：BD= AB2 AD2 32 42 5，
②如图③-2 所示，点 Q 落在 BD 上，且 PQ=DQ，
则∠2=∠P，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠P，
∴BA′∥PD，
则此时点 A′落在 BC 边上．
∵∠3=∠2，
Biblioteka Baidu∴∠3=∠1，
∴BQ=A′Q，
∴F′Q=F′A′-A′Q= 12 -BQ， 5
在 Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2，
32
12 5
2
9； 5
（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如图①-1 所示：
由对称点性质可知，∠1=∠2．BF=BE 9 ， 5
由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′ 9 ， 5
①当点 F′落在 AB 上时，
∵AB∥A′B′，
∴∠3=∠4，
根据平移的性质知：∠1=∠4，
∵S△ABD
1 2
BD•AE=
1 2
AB•AD，
∴AE= AB AD 3 4 12 ，
BD
55
∵点 F 是点 E 关于 AB 的对称点，
∴AF=AE 12 ，BF=BE， 5
∵AE⊥BD， ∴∠AEB=90°，
在 Rt△ABE 中，AB=3，AE 12 ， 5
由勾股定理得：BE
AB2 AE2