1977年普通高等学校招生考试数学(河北省)试题及答案

1977年高考数学试卷

1977年普通高等学校招生考试数学试题1．解答下列各题：（每题5分）（1）解方程.443=+x 解（2）解不等式|x|<5. 解：（3）已知正三角形的外接圆半径为36cm ，求它的边长解：2．计算下列各题：（每题5分）（1）.222a ma m +- 解：（2）︒⋅︒+︒⋅︒3sin 12cos 3cos 78cos （不查表求值）解：（3）)6arcsin(cos π解：3．解下列各题：（每题5分）（1）解方程.189321=-+xx解：（2）求数列2，4，8，16，……前十项的和解：4．解下列各题：（每题10分）（1）圆锥的高为6cm ，母线和底面半径成300角，求它的侧面积解：（2）求过点（1，4）且与直线0352=+-y x 垂直的直线方程解：5．如果△ABC 的∠A 的平分线交BC 于D ，交它的外接圆于E ，那么 AB ·AC=AD ·AE （本题10分）证：连结BE （如图）6．前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？（本题10分）解：7．解方程).5lg 1()1622lg(-=-+x x x （本题15分）解：8．已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm ，面积为54cm 2，求三边的长（本题15分）解：9．（参考题）如图，AP 表示发动机的连杆，OA 表示它的曲柄当A 在圆上作圆周运动时，P 在x 轴上作直线运动，求P 点的横坐标α是直角时，P ∠是最大？（本题附加10分）解：10．（加试题）求曲线x y sin =在],0[π上的曲边梯形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积（本题附加10分）解：B。

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1987 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................29 1987 年普通高等学校招生考试（全国卷）文科试卷...........................30 1988 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................31 1988 年普通高等学校招生考试（全国卷）文科试卷...........................32 1989 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................33 1989 年普通高等学校招生考试（全国卷）文科试卷...........................34 1990 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................35 1990 年普通高等学校招生考试（上海卷）数学试卷...........................36 1990 年普通高等学校招生考试（全国卷）文科数学...........................37 1991 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................38 1991 年普通高等学校招生考试（三南卷）数学试卷...........................39 1992 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................40 1992 年普通高等学校招生考试（三南卷）数学试卷...........................41 1993 年普通高等学校招生考试（新高考）理科数学...........................42 1993 年普通高等学校招生考试（新高考）文科数学...........................43 1993 年普通高等学校招生考试（旧高考）理科数学...........................44 1993 年普通高等学校招生考试（旧高考）文科数学...........................45 1994 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................46 1994 年普通高等学校招生考试（旧高考）文科数学...........................47 1995 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................48 1996 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................49 1997 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................50 1997 年普通高等学校招生考试（全国卷）文科数学...........................51 1998 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................52 1998 年普通高等学校招生考试（全国卷）文科数学...........................53 1999 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................54 1999 年普通高等学校招生考试（全国卷）文科数学...........................55 2000 年普通高等学校招生考试（京、皖卷）理科数学.......................56

精编版-1997年河北高考理科数学真题及答案

1997年河北高考理科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共65分）一．选择题:本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分,共65分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．设集合M =｛x │0≤x <2｝,集合N =｛x │x 2-2x -3<0｝,集合M ∩N = ( )(A) {}10<≤x x (B) {}20<≤x x (C) {}10≤≤x x(D) {}20≤≤x x2．如果直线ax +2y +2=0与直线3x -y -2=0平行,那么系数a = ( )(A) －3 (B) －6(C) 23-(D)32 3．函数y =tg(π3121-x )在一个周期内的图像是 ( )4．已知三棱锥D-ABC 的三个侧面与底面全等，且AB =AC =3,BC =2,则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是( )(A) arccos33 (B) arccos31 (C)2π (D)32π 5．函数y =sin(x 23-π)+cos2x 的最小正周期是 ( )(A)2π (B) π(C) π2(D) π46．满足arccos(1－x )≥arccos x 的x 的取值范围是 ( )(A) [－1,－21] (B) [－21,0] (C) [0,21] (D) [21,1] 7．将y =2x的图像( )(A) 先向左平行移动1个单位 (B) 先向右平行移动1个单位 (C) 先向上平行移动1个单位(D) 先向下平行移动1个单位再作关于直线y =x 对称的图像，可得到函数y =log 2(x +1)的图像．8．长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( )(A) 20π2(B) 25π2(C) 50π(D) 200π9．曲线的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2111t y t x (t 是参数，t ≠0),它的普通方程是( )(A) (x －1)2(y －1)=1(B) y =()()212x x x -- (C) ()1112--=x y(D) 112+-=x xy 10．函数y =cos 2x -3cos x +2的最小值为 ( )(A) 2(B) 0(C) 41-(D) 611．椭圆C 与椭圆()()1429322=-+-y x 关于直线x +y =0对称,椭圆C 的方程是( )(A) ()()1934222=+++y x(B) ()()1439222=-+-y x(C) ()()1439222=+++y x(D) ()()1934222=-+-y x12．圆台上、下底面积分别为π、π4,侧面积为π6,这个圆台的体积是 ( )(A)332π(B) π32(C)637π(D)337π13．定义在区间()+∞∞-,的奇函数f (x )为增函数；偶函数g (x )在区间[+∞,0）的图像与f (x )的图像重合，设a >b >0,给出下列不等式：①f (b )－f (－a )>g (a )－g (－b )； ②f (b )－f (－a )<g (a )－g (－b )；③f (a )－f (－b )>g (b )－g (－a )； ④f (a )－f (－b )<g (b )－g (－a )，其中成立的是 ( )(A) ①与④(B) ②与③(C) ①与③(D) ②与④14．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330 的解集是( )(A) {}20<<x x (B) {}5.20<<x x (C) {}60<<x x(D) {}30<<x x15．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )(A) 150种 (B) 147种(C) 144种(D) 141种第Ⅱ卷 (非选择题共85分)二．填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分．把答案填在题中横线上．16．已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为49,常数a 的值为________17．已知直线的极坐标方程为ρsin(4πθ+)=22,则极点到该直线的距离是_____ 18．︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为_______19．已知m ,l 是直线，α、β是平面，给出下列命题： ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α；②若l 平行于α,则l 平行于α内的所有直线； ③若α⊂m ,β⊂l ,且m l ⊥,则βα⊥； ④若β⊂l ,且α⊥l ,则βα⊥； ⑤若α⊂m ,β⊂l ,且α∥β,则m ∥l ．其中正确的命题的序号是_______ (注:把你认为正确的命题的序号都．填上)三．解答题:本大题共6小题;共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．(本小题满分10分) 已知复数i z 2123-=,i 2222+=ω．复数ωz ,32ωz 在复数平面上所对应的点分别为P ,Q ．证明OPQ ∆是等腰直角三角形（其中O 为原点）．21．(本小题满分11分)已知数列{}n a ,{}n b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为p 、q ,其中p > q ,且1≠p ，1≠q ．设n n n b a c +=,S n 为数列{}n c 的前n 项和．求1lim-∞→n nn S S ．22．（本小题满分12分）甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时．已知汽车每小时的运输成本．．．．．．．．（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比、比例系数为b ；固定部分为a 元．I ．把全程运输成本．．．．．．y （元）表示为速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；II ．为了使全程运输成本．．．．．．最小，汽车应以多大速度行驶？ 23．（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点．I ．证明AD ⊥D 1F ；II ．求AE 与D 1F 所成的角； III ．证明面AED ⊥面A 1FD 1；IV ．设AA 1=2,求三棱锥F -A 1ED 1的体积11ED A F V - 24．(本小题满分12分)设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0),方程f (x )－x =0的两个根x 1,x 2满足0<x 1<x 2<a1． I ．当x ∈(0, x 1)时，证明x <f (x )<x 1；II ．设函数f (x )的图像关于直线x =x 0对称，证明x 0<21x 25． (25)（本小题满分12分）设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l :x -2y =0的距离最小的圆的方程．1997年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准一．选择题:本题考查基本知识和基本运算．1．B2．B3．A4．C5．B6．D7．D8．C9．B 10．B11．A 12．D 13．C 14．C 15．D二．填空题:本题考查基本知识和基本运算．16．4 17．2218．32- 19．①，④ 注:第(19)题多填、漏填和错填均给0分．三．解答题20．本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．解法一：),6sin()6cos(2123ππ-+-=-=i i z4sin 4cos 2222ππωi i +=+=于是,12sin 12cos ππωi z +=),12sin()12cos(ππω-+-=i z)43sin 43(cos )]3sin()3[cos(32ππππωi i z +⨯-+-=125sin 125cosππi += 因为OP 与OQ 的夹角为2)12(125πππ=--，所以OP ⊥OQ ．因为1.132====ϖϖz OQ z OP ，所以OQ OP =由此知△OPQ 有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ 为等腰直角三角形．解法二: 因为)6sin()6cos(2123ππ-+-=-=i i z ，所以i z -=3．因为4sin 4cos 2222ππωi i +=+=，所以14-=ω 于是i z z z z z z z z ==⋅=22433232ωωωωωωωω 由此得OP ⊥OQ ，│OP │=│OQ │．由此知△OPQ 有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ 为等腰直角三角形．(21)本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．满分11分．解:,1)1(1)1(11--+--=q q b p p a S n n n)1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(1111111--+----+--=---n n n n n n q p b p q a q p b p q a S S ．分两种情况讨论． (Ⅰ)p >1． ∵,10,0<<>>pqq p1lim-∞→n nn S S)]1)(1()11)(1([)]1)(1()11)(1([lim 111111111-----∞→--+----+--=n n n n n n n n n nn pp q p b p q a p pp q p b p q a p =]1))[(1()11)(1(]1))[(1()11)(1(lim 1111111---∞→--+----+--⋅n n n n n n n pp q p b p q a pp q p b p q a p)1()1(11--⋅=q a q a p=p ．(Ⅱ)p <1． ∵ 0<q <p <1，1lim-∞→n nn S S)1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(lim111111--+----+--=--∞→n n n n n q p b p q a q p b p q a 1)1()1()1()1(1111=--------=p b q a p b q a(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，满分12分．解：（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vs，全程运输成本为)(2bv vaS v S bv v S a y +=⋅+⋅= 故所求函数及其定义域为],0(),(c v bv vaS y ∈+=(Ⅱ)依题意知S ，a ，b ，v 都为正数，故有ab S bv vaS 2)(≥+当且仅当,bv v a =．即ba v =时上式中等号成立若c b a ≤，则当b av =时，全程运输成本y 最小，若c ba>，则当],0(c v ∈时，有 )()(bc c aS bv v a S +-+ )]()[(bc bv c av a S -+-==))((bcv a v c vcS-- 因为c －v ≥0，且a >bc 2，故有a －bcv ≥a －bc 2>0，所以)()(bc caS bv v a S +≥+，且仅当v =c 时等号成立，也即当v =c 时，全程运输成本y 最小．综上知，为使全程运输成本y 最小，当c b ab ≤时行驶速度应为babv =；当c bab>时行驶速度应为v =c ． (23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力，满分12分．解:(Ⅰ)∵AC 1是正方体， ∴AD ⊥面DC 1．又D 1F ⊂面DC 1， ∴AD ⊥D 1F ．(Ⅱ)取AB 中点G ，连结A 1G ，FG ．因为F 是CD 的中点，所以GF 、AD 平行且相等，又A 1D 1、AD 平行且相等，所以GF 、A 1D 1平行且相等，故GFD 1A 1是平行四边形，A 1G ∥D 1F ．设A 1G 与AE 相交于点H ，则∠AHA 1是AE 与D 1F 所成的角，因为E 是BB 1的中点，所以Rt △A 1AG ≌Rt △ABE ，∠GA 1A =∠GAH ，从而∠AHA 1=90°，即直线AE 与D 1F 所成角为直角．(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD ⊥D 1F ，由(Ⅱ)知AE ⊥D 1F ，又AD ∩AE =A ，所以D 1F ⊥面AED ．又因为D 1F ⊂面A 1FD 1，所以面AED ⊥面A 1FD 1．(Ⅳ)连结GE ，GD 1．∵FG ∥A 1D 1，∴FG ∥面A 1ED 1， ∴G E A D ED A G ED A F V V V 111111---==∵AA 1=2，∴S S GE A =∆1正方形ABB1A12321=--∆∆GBE AG A S S 123231311111111=⨯⨯=⨯⨯==∆--GEA GE A D ED A F S D A V V (24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分．证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)－x ．因为x 1，x 2是方程f(x)－x =0的根，所以F(x)=a(x －x 1)(x －x 2)．当x ∈(0，x 1)时，由于x 1<x 2，得(x －x 1)(x －x 2)>0，又a >0，得F (x )=a (x －x 1)(x －x 2)>0，即x <f(x)．)](1)[())(()]([)(2121111x x a x x x x x x a x x x F x x x f x -+-=--+-=+-=-因为ax x x 1021<<<< 所以x 1－x >0，1+a (x －x 2)=1+ax －ax 2>1－ax 2>0．得 x 1－f(x)>0．由此得f(x)<x 1． (Ⅱ)依题意知ab x 20-= 因为x 1，x 2是方程f (x )－x =0的根，即x 1，x 2是方程ax 2+(b －1)x +c =0的根． ∴ab x x 121--=+， aax ax a x x a a b x 2121)(221210-+=-+=-=因为ax 2<1，所以22110x a ax x =<． (25)本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．满分12分．解法一:设圆的圆心为P (a ，b )，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为│b │， │a │．由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P 截X 轴所得的弦长为r 2，故r 2=2b 2，又圆P 截y 轴所得的弦长为2，所以有r 2=a 2+1．从而得2b 2－a 2=1．又点P (a ，b )到直线x －2y =0的距离为52b a d -=，所以5d 2=│a －2b │2=a 2+4b 2－4ab ≥a 2+4b 2－2(a 2+b 2)=2b 2－a 2=1，当且仅当a =b 时上式等号成立，此时5d 2=1，从而d 取得最小值．由此有⎩⎨⎧=-=12,22a b b a 解此方程组得⎩⎨⎧==;1,1b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,1b a 由于r 2=2b 2知2=r ．于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x +1) 2+(y +1) 2=2．解法二:同解法一，得52ba d -= ∴db a 52±=- 得2225544d bd b a +±=① 将a 2=2b 2－1代入①式，整理得01554222=++±d db b ②把它看作b 的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即 △=8(5d 2－1)≥0，得 5d 2≥1．∴5d 2有最小值1，从而d 有最小值55．将其代入②式得2b 2±4b +2=0．解得b =±1．将b =±1代入r 2=2b 2，得r 2=2．由r 2=a 2+1得a =±1．综上a =±1，b =±1，r 2=2．由b a 2-=1知a ，b 同号．于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x +1) 2+(y +1) 2=2．。

1977年普通高等学校招生考试全国各省市高考数学试题及解答(汇总

1977年全国各省市高考数学试题及解答北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。

经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。

2．计算121222021-++-.122:+=原式解3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45。

解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266。

4．证明αα+=α+22cos 2sin 1)1(tg 原式成立证∴αα+=αα+αα+α=⎪⎭⎫ ⎝⎛αα+α=α+222222cos 2sin 1cos sin cos sin 2cos cos sin cos )1(:tg 5．求过两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点且过（1，1）点的直线方程。

解：由x+y-7=03x-y-1=0, 解得x=2,y=5。

过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3。

6．某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？解：七月份到十月份总产值为 100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100=)(8.5362.00736.110012.1]1)2.1[(1004万元=⨯=--⨯ 7.已知二次函数y=x 2-6x+5(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; (2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x 轴、y 轴的交点坐标。

解：如图（列表，描点）略。

8．一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北450东方向，一小时后船在C 处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB 。

解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300。

由正弦定理可得9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB 。

1977年河北省高考数学试题及答案

1977年河北省普通高等学校招生考试数学试题及答案1．解答下列各题：（1）叙述函数的定义答：略（2）求函数xy 3211--=的定义域解：由.32032<>-x x 解得（3）计算.)827(])5.0(1[312-÷--解：原式=2（4）计算.2log 4 解：原式2（5）分解因式x 2y-2y 3. 解：原式=).2)(2(y x y x y -+（6）计算).43(625cos 34sinπ-⋅π⋅πtg 解：原式=.4346cos )3sin (-=π⋅π⋅π-tg2．证明：从圆O 外一点P 向这个圆所引的两条切线PA 、PB 所成的角APB 被PO 平分（本题要求写出已知、求证、证明并画图）解：已知：圆O 及圆O 外一点P ，PA 、PB 是圆O 的切线，A 、B 是切点（如图），求证：∠OPA=∠OPB 证明：联结OA 、OB∴∠OAP=∠OBP=900 在直角△OPA 与直角△OPB 中，∵OA=OB ，OP=OP ，∴△OPA ≌△OPB ，∠OPA=∠OPB 3．证明：.21212sin 2cos 112sin +α=α+α++αtg证：左边=)sin (cos cos 2)cos (sin cos sin 2cos 2cos sin cos sin 22222α+ααα+α=αα+αα+α+α⋅α αα+α=cos 2cos sin 2121+α=tg =右边4．已知),6lg(2lg lg 2+=+x x 求x 解：由原方程可得)(23,2,062),6lg(2lg 22增根-==∴=--+=x x x x x x 故原方程的解为x=2.5．某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃，其两邻边借用夹角为1350的两面墙，另外两边是总长为30米的篱笆（如图，AD 和DC 为墙），问篱笆的两边各多长时，苗圃的面积最大？最大面积是多少？解：如图，设BC 长为x ，苗圃面积为S.过D 作DE ⊥AB 交AB 于E. 由已知条件可得AB=30-x ， ∠DAB=450，ABD CA E BAE=DE=BC=x ， CD=BE=AB-AE=30-2x ，.150)10(23)360(21)(212+--=-=⋅+=∴x x x BC AB CD S 由此可知，当x=10时，S 取最大值所以，当BC=10米，AB=20米时，苗圃面积最大，这时S=150米26．工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器（上面开口），使其容积为208立方米，高为4分米，上口边长与下底面边长的比为5:2，做这样的容器需要多少平方米的铁皮？（不计容器的厚度和加工余量，不要求写出已知、求解，直接求解并画图即可）解：设正四棱台形容器上口边长AB=5x ，则下底面边长A 1B 1=2x ，设表面积为S因正四棱台的体积)(56.1)(156)2410(4)410(2144)(214).(4),(10,2,4],25)2()5[(431208).(31222111211112222121平方米平方分米由此可得分米分米==-+⋅+⋅⋅+=⋅+⋅⋅+===∴=∴=∴⋅++⋅⋅=∴++=FF B A AB B A S B A AB x x x x x x s s s s h V故共需铁皮1.56平方米7．已知：如图，MN 为圆的直径，P 、C 为圆上两点，连PM 、PN ，过C 作MN 的垂线与MN 、MP 和NP 的延长线依次相交于A 、B 、D ，求证：C BD D 1 A 1 FE 1F 1AC 2=AB ·AD证：在△ABM 与△AND 中， ∠BAM=∠NAD=900 ∠AMB=∠ADN=900-∠MND ， ∴△ABM ∽△AND ， AB:AN=AM:AD, AN ·AM=AB ·AD ……①又∵在直角△MCN 中，AC ⊥MN ， ∴AC 2=AM ·AN ………② 由①，②得AC 2=AB ·AD8．下列两题选做一题（甲）已知椭圆短轴长为2，中心与抛物线y 2=4x 的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长解：设所求之椭圆方程为12222=+b y a x ∵2b=2,∴b=1.由抛物线方程y 2=4x 可知它的焦点而（1，0），所以点（1，0）也是椭圆的一个焦点，于是c=1,从而,2,2222==+=a c b a故所求之椭圆方程为1222=+y x ，长轴的长为（乙）已知菱形的一对内角各为600，边长为4，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形600角的两个顶点为焦点，DN并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程解：设以菱形内角为600的一对顶点为端点的对角线所在的直线为X 轴，建立直角坐标系设欲求之椭圆方程为12222=+b y a x 由图及已知条件可得 b=BO=BC ·sin300=2a =BC=4.故所求之椭圆方程为.141622=+y x 参考题1．将函数x e x f =)(展开为x 的幂级数，并求出收敛区间（e=2.718为自然对数的底）)2,1(|||)(|,.1)0()0()0()0(.)()()(,)(: =≤=≤≤-==''='=∴==''='∴=n e e x f r x r f f f f e x f x f x f e x f r x n n x n x 有上函数在区间解所以函数x e 可以在区间[-r ，r]上展开成幂级数，因为r>0是任意的，所以，函数x e 在区间),(+∞-∞上可展成幂级数，特别的它的马克劳林级数是++++++=!!3!2132n x x x x e nx2．利用定积分计算椭圆)0(12222>>=+b a by a x 所围成的面积X解：因为椭圆12222=+by a x 关于x 轴和y 轴都是对称的，所以所求之面积为.22]2cos 2[222cos 14)(cos 4cos cos 4cos ,cos sin )20.(sin .44202020220222220220ab ab d ab d ab d ab d a a a b s d a dx a a a x a a x dx x a b a ydx s a aπ=π⋅=θθ+π=θθ+=θθ=θθ⋅⋅θ⋅⋅=∴θθ=θ=θ-=-π≤θ≤θ=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππ则令。

1977年普通高等学校招生考试全国各省市高考数学试题及解答(汇总

1977年全国各省市高考数学试题及解答北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。

经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。

2．计算121222021-++-.122:+=原式解3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45。

解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266。

4．证明αα+=α+22cos 2sin 1)1(tg 原式成立证∴αα+=αα+αα+α=⎪⎭⎫ ⎝⎛αα+α=α+222222cos 2sin 1cos sin cos sin 2cos cos sin cos )1(:tg 5．求过两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点且过（1，1）点的直线方程。

解：由x+y-7=03x-y-1=0, 解得x=2,y=5。

过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3。

6．某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？解：七月份到十月份总产值为 100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100=)(8.5362.00736.110012.1]1)2.1[(1004万元=⨯=--⨯ 7.已知二次函数y=x 2-6x+5(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; (2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x 轴、y 轴的交点坐标。

解：如图（列表，描点）略。

8．一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北450东方向，一小时后船在C 处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB 。

解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300。

由正弦定理可得9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB 。

【高考数学试题】1977年全国各省市高考数学试题及解答(共34页)

【高考数学试题】1977年全国各省市高考数学试题及解答（共34页）【高考数学试题】1977年全国各省市高考数学试题及解答 ...................................................... 1 北京市（理科） ............................................................................................................................... 1 北京市（文科） ............................................................................................................................... 3 上海市（理科） ............................................................................................................................... 5 上海市（文科） ............................................................................................................................... 8 天津市 ............................................................................................................................................ 10 河北省 ............................................................................................................................................ 13 福建省（理科） ............................................................................................................................. 17 福建省（文科） ............................................................................................................................. 23 黑龙江省......................................................................................................................................... 26 江苏省 .. (29)北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。

1977年普通高等学校招生考试全国各省市高考数学试题及解答（汇总

1977年全国各省市高考数学试题及解答北京市(理科)1.解方程』x-1=3—x.解：将两边平方，得x2-l=9-6x+x,BP x2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0,/.x=2,x=5o经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。

--2°12.计算22+令+^^V2V2-1解:原式=2^2+1.3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求l gA/45。

解:=0.8266。

、十“¥、21+sin2a4.证明(1+tga)2cos2 a八“(cosa+sinocY cos2a+2sinoccosa+sin2 oc1+sin2oc证:・.・(l+g)=------------=--------------------J------------------=——2—v cosa)cos a cos a.•.原式成立5.求过两直线x+y-7=0和3x-y-l=0的交点且过(1,1)点的直线方程。

解：由「x+y-7=0\3x-y-l=0,解得x=2,y=5。

过点(2,5)和(1,1)的直线方程为y=4x-3。

6.某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%,问今年七月份到十月份总产值是多少？解：七月份到十月份总产值为100+(1+20%)-100+(1+20%)2-100+(1+20%)3-100100x[(1.2)4—1]1.2-1100x1.0736ec/工一、------------=5368(万兀)0.27.已知二次函数y=x2-6x+5(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；(2)画出它的图象；(3)分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标。

解：如图(列表，描点)略。

8.一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB。

1997年全国高考数学试题

一九九七年全国高考数学试题理科试题一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合M=}20|{<≤x x ，集合N=}032|{2<--x x x ，集合=⋂N M （ B ）（A ）}10|{<≤x x （B ）}20|{<≤x x （C ）}10|{≤≤x x （D ）}20|{≤≤x x（2）如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 平行，那么系数=a （ B ）（A ）-3 (B)-6 (C)23- (D)32（3）函数)3121(π-=x tg y 在一个周期内的图象是（ A ）（4）已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=3，BC=2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是（A ）33arccos（B ）31arccos （C ）2π （D ）32π （ C ）（5）函数x x y 2cos )23sin(+-π=的最小正周期是（ B ）(A) (B) (C) (D)x x（A ）2π （B ）π （C ）π2 （D ）π4（6）满足x x arccos )1arccos(≥-的x 的取值范围是（ D ）（A ）[-1，21-]（B ）[21-，0]（C ）[0，21]（D ）[21，1] （7）将x y 2=的图象（ D ）（A ）先向左平行移动1个单位（B ）先向右平行移动1个单位（C ）先向上平行移动1个单位（D ）先向下平行移动1个单位再作关于直线x y =对称的图象，可得到函数)1(log 2+=x y 的图象（8）长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（ C ）（A ）π220 （B ）π225 （C ）π50 （D ）π200（9）曲线的参数方程是)0,(.1,112≠⎪⎩⎪⎨⎧-=-=t t t y t x 是参数，它的普通方程是（A ）1)1()1(2=--y x （B ）2)1()2(x x x y --=（ B ）（C ）1)1(12--=x y （D ）112+-=x x y （10）函数2cos 3cos 2+-=x x y 的最小值为（ B ）（A ）2 （B ）0 （C ）41- （D ）6（11）椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线0=+y x 对称，椭圆C 的方程是（ A ）（A ）19)3(4)2(22=+++y x （B ）14)3(9)2(22=-+-y x （C ）14)3(9)2(22=+++y x （D ）19)3(4)2(22=-+-y x（12）圆台上、下底面积分别为ππ4,，侧面积为π6，这个圆台的体积是（ D ）（A ）332π （B ）π32 （C ）637π （D ）337π（13）定义在区间),(+∞-∞的奇函数)(x f 为增函数;偶函数)(x g 在区间),0[+∞的图象与)(x f 的图象重合。

1977年全国各地普通高等学校招生考试数学试题及答案

1977年全国各地普通高等学校招生考试数学试题及答案北京市高考数学试卷（文科）一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）计算：．2．（10分）化简：．3．（10分）解方程：．4．（10分）不查表求sin105°的值．5．（10分）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积．6．（10分）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．7．（10分）证明：等腰三角形两腰上的高相等．8．（10分）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB．9．（10分）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？10．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．1977年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）计算：．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题．分析：由分数指数幂的运算法则，把原式转化为1+﹣，由此能求出的值．解答：解：原式=1+﹣=1+=0．点评：本题考查分数指数幂的运算法则，解题时要认真审题，仔细求解．2．（10分）化简：．考点：方根与根式及根式的化简运算．分析：分子分母同乘以，整理可得．解答：解：原式=．点评：本题考查分母或分子有理化．3．（10分）解方程：．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题．分析：先对等式两边同乘x2﹣1进行化简，然后解方程即可．解答：解：根据题意可知x≠1等式两边同乘x2﹣1得，x+1+x2﹣1=4x﹣2化简得x2﹣3x+2=0，解得x=2．∴原方程的解为x=2．点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及解方程等知识，属于基础题．4．（10分）不查表求sin105°的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：综合题．分析：把105°变为180°﹣75°，然后利用诱导公式化简，把75°变为30°+45°，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到值．解答：解：sin105°=sin（180°﹣75°）=sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=×+×=点评：此题考查学生灵活运用诱导公式、两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．5．（10分）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：因为正三棱柱形的底面积由正弦定理的推论可求得，为S=•2•2•sin60°，已知高h=10，由体积公式即可求得．解答：解：正三棱柱形的底面积为S=•2•2•sin60°，高h=10，由柱体的体积公式得，体积V=sh=•2•2•sin60°•10==（cm3）．点评：本题考查了柱体的体积公式的应用．是简单的计算题．6．（10分）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：先求与直线2x+y﹣5=0平行的直线的斜率，再根据其过点（1，﹣3），用点斜式求直线方程．解答：解：∵直线2x+y﹣5=0的斜率k=﹣2，∴所求直线斜率k′=﹣2．故过点（1，﹣3）且与已知直线平行的直线为y+3=﹣2（x﹣1），即2x+y+1=0．点评：本题考查直线的平行关系，直线的点斜式方程，是基础题．7．（10分）证明：等腰三角形两腰上的高相等．考点：三角形中的几何计算．专题：证明题．分析：由题意画出图形，利用等腰三角形的定和条件找到三角形全等即可求证．解答：zm：如图，在△BDC与△CEB中，∵∠DBC=∠ECB，∠BDC=∠CEB=90°，BC=BC，∴△BDC≌△CEB，CD=BE．点评：此题考查了等腰三角形的定义，三角形全等的判定定理及性质定理．8．（10分）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB．考点：余弦定理；解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：利用余弦定理把CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°代入即可求得答案．解答：解：由余弦定理可得AB=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos，∠ACB=70米．点评：本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题．9．（10分）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：计算题．分析：依题意设出此数列，进而根据等比中项的性质和等差中项的性质联立方程组求得x和y，则插入的两个数可求．解答：解：设此数列为2，x，y，30．于是有解得x=6，y=18．故插入的两个正数为6，18，因此，所成的数列为2、6、18、30．点评：本题主要考查等比数列的性质．考查了考生分析问题和解决问题的能力．10．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．考点：二次函数的图象．专题：作图题；综合题．分析：（1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可；（2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可；（3）令x=0求出对应的y值，写出坐标为与函数图象y轴的交点，令y=0求出对应的x值，写出坐标为函数图象与x轴的交点．解答：解：（1）∵a=1，b=﹣6，c=5∴﹣=﹣=3，==﹣1∴顶点坐标为（3，﹣1），对称轴为直线x=3．（2）如图列表（描点略）（3）图象与x轴相交，y=0即x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5，所以与x轴交点的坐标为（1，0）（5，0）；图象与y轴相交，x=0解得y=5，所以与y轴交点的坐标为（0，5）．点评：考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数标轴的交点坐标．北京市高考数学试卷（理科）一、解答题（共12小题，满分120分）1．（10分）解方程．2．（10分）计算：．3．（10分）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg．4．（10分）证明：．5．（10分）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程．6．（10分）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？7．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．8．（10分）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．9．（10分）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．10．（10分）当m取哪些值时，直线y=x+m与椭圆有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象．11．（10分）求函数f（x）=的导数．12．（10分）（1）试用ε﹣δ语言叙述“函数f（x）在点x=x0处连续的定义；（2）试证明：若f（x）在点x=x0处连续，且f（x0）＞0，则存在一个x0的（x0﹣δ，x0+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共12小题，满分120分）1．（10分）解方程．考点：方根与根式及根式的化简运算．专题：计算题．分析：先要保证方程有意义即x﹣1≥0，3﹣x≥0，再将方程两边平方，解不等式组求出x的值即为方程的解．解答：解：原方程同解于，解得x=2故方程的解为x=2点评：本题考查解无理方程常采用将方程平方去掉根号，但要注意使原方程有意义．2．（10分）计算：．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．分析：由题意根据根式与分数指数幂的运算法则进行计算．解答：解：原式=+++1=．点评：此题主要考查根式分母的有理化和分数指数幂的化简，比较简单．3．（10分）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用对数的运算法则，将欲求lg．的式子转化成条件中的式子：“lg2=0.3010，lg3=0.4771”来表示即可．解答：解：∵lg=lg．又∵知lg2=0.3010，lg3=0.4771，∴lg=lg=0.8266．答案是：0.8266．点评：本题主要考查对数的运算性质，切实掌握对数的运算律是解题的关键．4．（10分）证明：．考点：同角三角函数基本关系的运用；三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：先看左边，把正切换成正弦和余弦的形式，利用同角函数三角函数的基本关系化简整理，结果为右边，进而证明原式．解答：证：∵（1+tana）2===∴原式成立．点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系．解题的关键是熟练记忆同角三角函数基本关系的中各种公式，并灵活运用．5．（10分）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程．考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：求出两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点坐标，两点式写出直线方程，将它化为一般式．解答：解：由x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0联立方程组并解得：x=2，y=5．∵直线过点（2，5）和（1，1）∴所求的直线方程为，即：4x﹣y﹣3=0．点评：本题考查用两点式求直线方程．6．（10分）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？考点：数列的应用；等比数列的前n项和．专题：应用题．分析：由题意知七月份到十月份总产值为：100+（1+20%）•100+（1+20%）2•100+（1+20%）3•100，然后利用等比数列求和公式进行计算即可．解答：解：七月份到十月份总产值为100+（1+20%）•100+（1+20%）2•100+（1+20%）3•100=．答：今年七月份到十月份总产值是536.8万元．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细思考，合理地建立方程．7．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．考点：二次函数的图象．专题：作图题；综合题．分析：（1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可；（2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可；（3）令x=0求出对应的y值，写出坐标为与函数图象y轴的交点，令y=0求出对应的x值，写出坐标为函数图象与x轴的交点．解答：解：（1）∵a=1，b=﹣6，c=5∴﹣=﹣=3，==﹣1∴顶点坐标为（3，﹣1），对称轴为直线x=3．（2）如图列表（描点略）（3）图象与x轴相交，y=0即x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5，所以与x轴交点的坐标为（1，0）（5，0）；图象与y轴相交，x=0解得y=5，所以与y轴交点的坐标为（0，5）．点评：考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数标轴的交点坐标．8．（10分）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题．分析：根据题意可分别可知AC，∠BAC和∠ABC，进而利用正弦定理求得BC．解答：解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=45°，∠ABC=30°．由正弦定理可得（海里）．答：船和灯塔的距离CB为20海里．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的方法一般是利用三角函数中的基本公式，如正弦定理，余弦定理，勾股定理，面积公式等建立数学模型，然后求得问题的解．9．（10分）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．考点：相似三角形的性质；与圆有关的比例线段。

1977年河北省高考数学试卷

1977年河北省高考数学试卷一、解答题（共15小题，满分150分）1．（10分）（1977•河北）叙述函数的定义．2．（10分）（1977•河北）求函数的定义域．3．（10分）（1977•河北）计算：．4．（10分）（1977•河北）计算log42．5．（10分）（1977•河北）分解因式x2y﹣2y3．6．（10分）（1977•河北）计算：．7．（10分）（1977•河北）如图，AB是⊙O直径，CB是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．8．（10分）（1977•河北）证明：．9．（10分）（1977•河北）已知2lgx+lg2=lg（x+6），求x．10．（10分）（1977•河北）某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃，其两邻边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的篱笆（如图，AD和DC为墙），问篱笆的两边各多长时，苗圃的面积最大？最大面积是多少？11．（10分）（1977•河北）工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器（上面开口），使其容积为208立方分米，高为4分米，上口边长与下底面边长的比为5：2，做这样的容器需要多少平方分米的铁皮？（不计容器的厚度和加工余量，不要求写出已知、求解，直接求解并画图即可）12．（10分）（1977•河北）已知：如图，MN为圆的直径，P、C为圆上两点，连PM、PN，过C作MN的垂线与MN、MP和NP的延长线依次相交于A、B、D，求证：AC2=AB•AD．13．（10分）（1977•河北）下列两题选做一题．（甲）已知椭圆短轴长为2，中心与抛物线y2=4x的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长．（乙）已知菱形的一对内角各为60°，边长为4，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形60°角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程．14．（10分）（1977•河北）将函数f（x）=e x展开为x的幂级数，并求出收敛区间．（e=2.718为自然对数的底）15．（10分）（1977•河北）利用定积分计算椭圆所围成的面积．1977年河北省高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共15小题，满分150分）1．（10分）（1977•河北）叙述函数的定义．考点：函数的概念及其构成要素．分析：直接叙述即可．解答：答：设A，B为非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域；与x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．．点评：本题考查了函数的定义，注意原始定义的准确记忆和确切理解．2．（10分）（1977•河北）求函数的定义域．考点：函数的定义域及其求法．分析：求函数定义域就是保证函数有意义，本题只需2﹣3x＞0就可．解答：解：由．故函数定义域为{x|x＜}点评：求函数定义域的常用方法：（1）分母不为0；（2）偶次根式下的式子大于等于0；（3）对数函数的真数大于0；（4）0的0次幂没有意义3．（10分）（1977•河北）计算：．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：直接利用分数指数幂的运算性质计算．解答：解：原式=（1﹣）÷=（﹣3）÷=3×=2．点评：有理数指数幂的运算法则：①a r•a s=a r+s（a＞0，r，s都是有理数），②（a r）s=a rs（a＞0，r，s都是有理数），③（a•b）r=a r b r（a＞0，b＞0，r是有理数）．4．（10分）（1977•河北）计算log42．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用对数的性质直接计算即可．解答：解：原式=．点评：本题考查对数的运算性质，是基础题．5．（10分）（1977•河北）分解因式x2y﹣2y3．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：先提取公因式y，再利用平方差公式将已知的代数式因式分解开．解答：解：原式=y=．点评：本题考查进行因式分解时，一般先提取公因式．6．（10分）（1977•河北）计算：．考点：运用诱导公式化简求值．分析：利用诱导公式═解答：解：原式=．点评：本题主要考查诱导公式的运用．做题过程中一定要注意正负值．7．（10分）（1977•河北）如图，AB是⊙O直径，CB是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：证明题．分析：连接OD，欲证明DC是⊙O的切线，只要证明CD⊥OD即可．解答：证明：连接OD；∵OA=OD，∴∠A=∠ADO．∵AD∥OC，∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD．∴∠BOC=∠COD．∵OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC，又BC是⊙O的切线．∴∠OBC=90°．∴∠ODC=90°．∴DC是⊙O的切线．点评：本题考查切线的性质和判定及圆周角定理的综合运用，属于基础题．8．（10分）（1977•河北）证明：．考点：三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：直接利用二倍角的正弦、余弦公式化简等式的左边，通过配方、约分，化简出要证的右边即可．解答：证：左边=====右边．所以等式成立．点评：本题是基础题，考查三角恒等式的证明，二倍角的正弦、余弦公式的应用，三角函数的平方关系的应用，是本题的关键，注意恒等式的证明方法．9．（10分）（1977•河北）已知2lgx+lg2=lg（x+6），求x．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：将对数方程两边化成同底数的形式，再依据对数函数的单调性去掉对数符号，化成整式不等式解即可．解答：解：由原方程可得lg2x2=lg（x+6）2x2﹣x﹣6=0，∴（增根）故原方程的解为x=2．点评：本题主要考查对数的运算性质、对数函数的性质等，属于基础题．10．（10分）（1977•河北）某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃，其两邻边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的篱笆（如图，AD和DC为墙），问篱笆的两边各多长时，苗圃的面积最大？最大面积是多少？考点：根据实际问题选择函数类型；函数的最值及其几何意义．专题：应用题．分析：首先设出自变量x和函数s，设BC为x，则AB为30﹣x，苗圃的面积为S，由图可知苗圃是一个梯形，要表示梯形的面积必须知道梯形的上底，下底和高（过D作DE⊥AB交AB于E），梯形的上底是线段CD，下底是线段AB，高是线段DE，由题意可知四边形BCDE是一个矩形，则DE=BC=x，又因为三角形ADE为等腰直角三角形，所以AE=DE=x，则BE=CD=30﹣2x，根据梯形的面积公式得出S与x的二次函数关系式，求出其最大值即可．解答：解：如图，设BC长为x，苗圃面积为S．过D作DE⊥AB交AB于E．由已知条件可得AB=30﹣x，∠DAB=45°，AE=DE=BC=x，CD=BE=AB﹣AE=30﹣2x，∴S=+150．由此可知，当x=10时，S取最大值．所以，当BC=10米，AB=20米时，苗圃面积最大，这时S=150米2．点评：本题主要考查学生根据实际问题选择函数关系的能力，应用数学解决实际问题的能力．11．（10分）（1977•河北）工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器（上面开口），使其容积为208立方分米，高为4分米，上口边长与下底面边长的比为5：2，做这样的容器需要多少平方分米的铁皮？（不计容器的厚度和加工余量，不要求写出已知、求解，直接求解并画图即可）考点：根据实际问题选择函数类型；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：应用题．分析：设下下底边长分别为5x，2x，以之表示出体积，用体积为208立方分米建立关于x的方程即可求出上、下底边的边长．再用表面积公式求出其表面积即可知道做这样的容器需要多少平方分米的铁皮．解答：解：设正四棱台形容器上口边长AB=5x，则下底面边长A1B1=2x，设表面积为S．因正四棱台的体积∴，∴x2=4，∴x=2，∴AB=10（分米），A1B1=4（分米）．由此可得==156（平方分米）=1.56（平方米）故共需铁皮1.56平方米．点评：考查正四棱台的表面积与体积公式，训练答题者的空间想象能力与正四棱台的结构．12．（10分）（1977•河北）已知：如图，MN为圆的直径，P、C为圆上两点，连PM、PN，过C作MN的垂线与MN、MP和NP的延长线依次相交于A、B、D，求证：AC2=AB•AD．考点：相似三角形的判定；相似三角形的性质．专题：证明题．分析：首先用两个角对应相等证明两个三角形相似，在相似三角形中写出对应边成比例，又根据直角三角形的射影定理，得到比例式，结合两个比例式，得到要证明的结论．解答：证明：在△ABM与△AND中，∠BAM=∠NAD=90°∠AMB=∠ADN=90﹣∠MND，∴△ABM∽△AND，AB：AN=AM：AD，AN•AM=AB•AD①又∵在直角△MCN中，AC⊥MN，∴AC2=AM•AN②由①，②得AC2=AB•AD．点评：本题考查相似三角形的证明和性质，考查直角三角形的射影定理，是一个证明对应线段成比例的问题，是一个基础题．13．（10分）（1977•河北）下列两题选做一题．（甲）已知椭圆短轴长为2，中心与抛物线y2=4x的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长．（乙）已知菱形的一对内角各为60°，边长为4，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形60°角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程．考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合．专题：计算题；数形结合；待定系数法．分析：（甲）根据椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，可求出椭圆的焦点坐标，和判断椭圆标准方程的形式，及c的值，根据a2=b2+c2，即可求得椭圆方程及其长轴的长；（乙）由椭圆的焦点是菱形60°角的两个顶点，根据椭圆的定义可知2a=8，由图及已知条件可得b=BO=BC•sin30°=2a=BC=4，即可求出椭圆方程．解答：（甲）解：设所求之椭圆方程为∵2b=2，∴b=1．由抛物线方程y2=4x可知它的焦点而（1，0），所以点（1，0）也是椭圆的一个焦点，于是c=1，从而，故所求之椭圆方程为，长轴的长为．（乙）解：设以菱形内角为600的一对顶点为端点的对角线所在的直线为X轴，建立直角坐标系．设椭圆方程为．由图及已知条件可得b=BO=BC•sin30°=2a=BC=4．故所求之椭圆方程为．点评：此题是个基础题．考查椭圆的定义和标准方程即简单的几何性质，应用了待定系数法求椭圆方程，体现了数形结合的思想方法．14．（10分）（1977•河北）将函数f（x）=e x展开为x的幂级数，并求出收敛区间．（e=2.718为自然对数的底）考点：导数的运算．专题：计算题．分析：利用基本初等函数的导数个数求出f（x）的各阶导数相同，利用幂级数的定义找到它的收敛区间．解答：解：∵f（x）=e x，∴f′（x）=f″（x）=f n（x）=e x∴f（0）=f′（0）=f″（0）=f n（0）=1函数在区间﹣r≤x≤r上有|f n（x）|=|e x|≤e r（n=1，2）所以函数e x可以在区间[﹣r，r]上展开成幂级数，因为r＞0是任意的，所以，函数e x在区间（﹣∞，+∞）上可展成幂级数，特别的它的马克劳林级数是．点评：本题考查基本初等函数的个数、考查幂级数及收敛区间的定义．15．（10分）（1977•河北）利用定积分计算椭圆所围成的面积．考点：定积分；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：依据椭圆的对称性，只要求出椭圆在第一角限内部分的面积即可，利用定积分的几何意义，即求出即得．解答：解：因为椭圆关于x轴和y轴都是对称的，所以所求之面积为令则，dx=acosθdθ∴=．点评：运用定积分求面积，其关键是确定出被积函数和积分的上、下限．一般是应先根据题意，借助图形的直观性确定出被积函数，求出两条曲线的交点的坐标确定积分的上、下限，进而由定积分求出其面积．。

(详细解析)1997年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)

1997年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共65分）一．选择题：本大题共15小题；第（1）—（10）题每小题4分，第（11）—（15）题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合{}02M x x =≤<|，集合{}2230N x x x =--<|，集合MN =A ．{}10<≤x xB ．{}20<≤x xC ．{}10≤≤x xD ．{}20≤≤x x 【答案】B【解析】方法一：∵{}13N x x =<<|，则M N ⊂，∴M N M =．方法二：∵{}13N x x =<<|，∴{}{}{}021302M N x x x x x x =≤<<<=≤<||．2．如果直线220ax y ++=与直线320x y --=平行，那么系数a = A ．3- B ．6- C ．23- D ．32 【答案】B【解析】由平行关系条件得231a =-，解得6a =．3．函数11tan()23y x π=-在一个周期内的图像是【答案】A 【解析】由于112232x πππ-<-<，所以533x ππ-<<，又正切函数在定义域内为增函数，A 正确．4．已知三棱锥D ABC -的三个侧面与底面全等，且2AB AC BC ===，则以BC 为棱，以面BCD与面BCA 为面的二面角的大小是 A． B ．1arccos 3C ．2πD ．32π由题设可知AB AC BD DC ====，2BC AD ==．取BC 中点M ．连结,AM DM ．则,AM BC DM BC ⊥⊥．所以AMD ∠就是所求的二面角．在AMD ∆中，222AM DM AM DM AD ==+=．易知这个三角形是一个等腰直角三角形，即2AMD π∠=，所以这个二面角是2π．5．函数sin(2)cos 23y x x π=-+的最小正周期是A ．2πB ．πC ．π2D ．π4 【答案】B【解析】2(2)32sin(2)cos 2sin(2)sin(2)2sin 3322x x y x x x x πππππ-+-=-+=-+-= 2(2)5532cos 2sin(2)cos()2sin(2)cos 212121212x x x x ππππππ---⋅=-⋅-=--⋅，所以函数的最小正周期是π．6．满足arccos(1)arccos x x -≥的x 的取值范围是 A ．1[1,]2-- B ．1[,0]2- C ．1[0,]2 D ．1[,1]2【答案】D【解析】由于arccos [0,]y x π=∈，且为减函数，所以11,1x x x -≤≤-≤，解得1[,1]2x ∈．7．将2xy =的图像A ．先向左平行移动1个单位B ．先向右平行移动1个单位C ．先向上平行移动1个单位D ．先向下平行移动1个单位再作关于直线y x =对称的图像，可得到函数2log (1)y x =+的图像．【答案】D【解析】函数2log (1)y x =+的反函数为21xy =-，D 正确．8．长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是 A． B． C ．50π D ．200π 【答案】C【解析】由题设可得球的半径为22R ==，则表面积是2450R ππ=．9．曲线的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2111t y t x （t 是参数，0t ≠），它的普通方程是 A ．2(1)(1)1x y --= B ．()()221x x y x -=-C ．()1112--=x y D ．112+-=x xy 【答案】B【解析】由11x t =-得11t x =-，所以211()1y x =--，即21()11y x=--，所以 ()()221x x y x -=-．10．函数2cos 3cos 2y x x =-+的最小值为 A ．2 B ．0 C ．41- D ．6 【答案】B【解析】2231cos 3cos 2(cos )24y x x x =-+=--，由1cos 1x -≤≤，所以当1cos 2x =时，函数取得最小值为231(1)024--=．11．椭圆C 与椭圆()()1429322=-+-y x 关于直线0x y +=对称，椭圆C 的方程是A ．()()1934222=+++y x B ．()()1439222=-+-y xC ．()()1439222=+++y x D ．()()1934222=-+-y x【答案】A【解析】设椭圆C 上一点(,)x y ，其关于直线0x y +=对称的对称点为(,)y x --，代入方程()()1429322=-+-y x 并整理得()()1934222=+++y x ．12．圆台上、下底面积分别为,4ππ，侧面积为π6，这个圆台的体积是A ．332π B ．π32 C ．637π D ．337π【答案】D【解析】圆台上、下底半径分别为1,2，由侧面积公式(12)6S l ππ=+=得母线长2l =，所以高h =1(24)33V πππ=++=．13．定义在区间()+∞∞-,的奇函数()f x 为增函数；偶函数()g x 在区间[0,)+∞的图像与()f x 的图像重合，设0a b >>，给出下列不等式：①()()()()f b f a g a g b -->-- ②()()()()f b f a g a g b --<-- ③()()()()f a f b g b g a -->-- ④()()()()f a f b g b g a --<-- 其中成立的是A ．①与④B ．②与③C ．①与③D ．②与④ 【答案】C【解析】本小题考查函数的奇偶性与不等式，由条件知数()g x 在区间(),0-∞上是减函数，()f x 在区间(),0-∞上为增函数，作图并结合对称性可知①与③正确．14．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330 的解集是A ．{}02x x << B ．{}5.20<<x x C ．{}60<<x x D ．{}30<<x x【答案】C【解析】当02x <≤时得3232x x x x -->++，解得02x <≤；当2x >时得3232x xx x-->-++，解得2x <<故答案为C ．15．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 A ．150种 B ．147种 C ．144种 D ．141种【答案】D【解析】间接法：每个面内的6个点中任意4个点都共面有464C 种，每条棱与相对棱中点共面的有6种，各棱中点中四点共面的有3种，故满足条件的取法有44106463141C C ---=．【本题难度】较难．第Ⅱ卷（非选择题共85分）二．填空题：本大题共4小题;每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．已知9a x ⎛- ⎝的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为．【答案】4【解析】通项为3999221991()((1)()2r rr r r r r r r a T C C a x x ---+==-，由3932r -=得8r =，则884919(1)()24C a -=，所以4a =．17．已知直线的极坐标方程为sin()4πρθ+=，则极点到该直线的距离是．【答案】22 【解析】化为直角坐标方程为10x y +-=，原点到直线的距离为22． 18．︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为．【答案】32- 【解析】sin 7cos15sin8sin(158)cos15sin8sin15cos8sin15cos 7sin15sin8cos(158)sin15sin8cos15cos8cos15︒+︒︒︒-︒+︒︒︒︒︒===︒-︒︒︒-︒-︒︒︒︒︒tan 60tan 45tan15tan(6045)21tan 60tan 45︒-︒=︒=︒-︒===+︒︒19．已知,m l 是直线，,αβ是平面，给出下列命题： ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l α⊥； ②若l 平行于α，则l 平行于α内的所有直线； ③若,m l αβ⊂⊂，且l m ⊥，则βα⊥； ④若β⊂l ，且α⊥l ，则βα⊥； ⑤若,m l αβ⊂⊂，且//αβ，则//m l ．其中正确的命题是序号是．（注：把你认为正确的序号都．填上）【答案】①④．注：第（19）题多填、漏填和错填均给0分．【解析】略．三．解答题：本大题共6小题;共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．（本小题满分10分）已知复数1,2z i ω=-=+．复数23,z z ωω在复数平面上所对应的点分别为,P Q ．证明OPQ ∆是等腰直角三角形（其中O 为原点）．【解】本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．解法一：1cos()sin()2266z i i ππ=-=-+-， 4sin 4cos 2222ππωi i +=+=，于是cossin1212z i ππω=+，cos()sin()1212z i ππω=-+-，2333[cos()sin()](cos sin )3344z i i ππππω=-+-⨯+125sin125cos ππi += 因为OP 与OQ 的夹角为2)12(125πππ=--，所以OP OQ ⊥．因为1.132====ϖϖz OQ z OP ，所以OQ OP =．由此知△OPQ 有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ 为等腰直角三角形．解法二：因为)6sin()6cos(2123ππ-+-=-=i i z ，所以i z -=3．因为4sin 4cos 2222ππωi i +=+=，所以14-=ω 于是i z z z z z z z z ==⋅=22433232ωωωωωωωω，由此得,OP OQ OP OQ ⊥=．由此知OPQ ∆有两边相等且其夹角为直角，故OPQ ∆为等腰直角三角形．21．（本小题满分11分）已知数列{}{},n n a b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为,p q ，其中p q >，且1,1p q ≠≠．设n n n b a c +=，n S 为数列{}n c 的前n 项和．求1lim-∞→n nn S S ．【解】本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．满分11分．11(1)(1)11n n n a p b q S p q --=+--，)1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(1111111--+----+--=---n n n n n n q p b p q a q p b p q a S S ．分两种情况讨论．（ⅰ）1p >．∵0,01qp q p>><<， 111111111111[(1)(1)(1)()]limlim 11[(1)(1)(1)()]n nn n n nn x n n n n n n q p a q b p S p p pq S p a q b p p p p-→∞→∞-------+--=--+-- 11111111111(1)(1)(1)[()](1)lim 11(1)(1)(1)(1)[()]n nn n n n n q a q b p a q p p pp p p q a q a q b p p p p→∞-----+---=⋅=⋅=---+--．（ⅱ）1p <．∵01q p <<<，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)lim lim 1(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n S a q p b p q a q b p S a q p b p q a q b p --→∞→∞---+------===--+------22．（本小题满分12分）甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时．已知汽车每小时的．．．．运输成本．．．．（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/时）的平方成正比、比例系数为b ；固定部分为a 元．（I ）把全程运输成本．．．．．．y （元）表示为速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（II ）为了使全程运输成本．．．．．．最小，汽车应以多大速度行驶？【解】本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，满分12分．（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vs，全程运输成本为)(2bv vaS v S bv v S a y +=⋅+⋅= 故所求函数及其定义域为],0(),(c v bv vaS y ∈+=（Ⅱ）依题意知,,,S a b v 都为正数，故有ab S bv vaS 2)(≥+当且仅当,bv v a=．即bav =时上式中等号成立若c b a≤，则当bav =时，全程运输成本y 最小，若c ba>，则当],0(c v ∈时，有 )()(bc c a S bv v a S +-+)]()[(bc bv c a v a S -+-==))((bcv a v c vcS-- 因为0c v -≥，且2a bc >，故有20a bcv a bc >≥->，所以)()(bc caS bv v a S +≥+，且仅当v c =时等号成立，也即当v c =时，全程运输成本y 最小．综上知，为使全程运输成本y 最小，当c b ab ≤时行驶速度应为bab v =；当c bab>时行驶速度应为v c =．23．（本小题满分12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,BB CD 的中点．（I ）证明1AD D F ⊥；（II ）求AE 与1D F 所成的角；（III ）证明面AED ⊥面11A FD ；（IV ）设12AA =，求三棱锥11F A ED -的体积11F A ED V -．【解】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力，满分12分．（Ⅰ）∵1AC 是正方体，∴AD ⊥面1DC ．又1D F ⊂面1DC ，∴1AD D F ⊥．（Ⅱ）取AB 中点G ，连结1,A G FG ．因为F 是CD 的中点，所以,GF AD 平行且相等，又11,A D AD平行且相等，所以11,GF A D 平行且相等，故11GFD A 是平行四边形，11//A G D F ．设1A G 与AE 相交于点H ，则1AHA ∠是AE 与1D F 所成的角，因为E 是1BB 的中点，所以11,Rt A AG Rt ABE GA A GAH ∆≅∆∠=∠，从而190AHA ∠=︒，即直线AE 与1D F 所成角为直角．（Ⅲ）由（Ⅰ）知1AD D F ⊥，由（Ⅱ）知1AE D F ⊥，又ADAE A =，所以1D F ⊥面AED ．又因为1D F ⊂面11A FD ，所以面AED ⊥面11A FD ．（Ⅳ）连结1,GE GD ．∵11//FG A D ，∴//FG 面11A ED ，∴GE A D ED A G ED A F V V V 111111---==． ∵12AA =，∴S S GE A =∆1正方形ABB 1A 12321=--∆∆GBE AG A S S ． 123231311111111=⨯⨯=⨯⨯==∆--GE A GE A D ED A F S D A V V ．24．（本小题满分12分）设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足10x <21x a<<．（I ）当1(0,)x x ∈时，证明1()x f x x <<；（II ）设函数()f x 的图像关于直线0x x =对称，证明102x x <．【解】本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分．证明：（Ⅰ）令()()F x f x x =-．因为12,x x 是方程()0f x x -=的根，所以12()()()F x a x x x x =--．当1(0,)x x ∈时，由于12x x <，得12()()0x x x x -->，又0a >，得12()()()0F x a x x x x =-->，即()x f x <．1111212()[()]()()()[1()]x f x x x F x x x a x x x x x x a x x -=-+=-+--=-+- 因为a x x x 1021<<<<，所以12220,1()110x x a x x ax ax ax ->+-=+->->．得1()0x f x ->．由此得1()f x x <．（Ⅱ）依题意知ab x 20-=，因为12,x x 是方程()0f x x -=的根，即12,x x 是方程2(1)0ax b xc +-+=的根． ∴1212120()111,222a x x ax ax b b x x x a a a a+-+--+=-=-==，因为21ax <，所以22110x a ax x =<．25．（本小题满分12分）设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线:20l x y -=的距离最小的圆的方程．【解】本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．满分12分．解法一：设圆的圆心为(,)P a b ，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为,b a由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P 截x 轴所得的弦长为r 2，故222r b =，又圆P 截y 轴所得的弦长为2，所以有221r a =+．从而得2221b a -=．又点(,)P a b 到直线20x y -=的距离为52b a d -=，所以2222222222524442()21d a b a b ab a b a b b a =-=+-≥+-+=-=，当且仅当a b =时上式等号成立，此时251d =，从而d 取得最小值．由此有⎩⎨⎧=-=12,22a b b a 解此方程组得⎩⎨⎧==;1,1b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,1b a 由于222r b =知2=r ．于是，所求圆的方程是22(1)(1)2x y -+-=，或22(1)(1)2x y +++=．解法二：同解法一，得52b a d -=，∴d b a 52±=-，得2225544d bd b a +±=，①将2221a b =-代入①式，整理得 01554222=++±d db b ②把它看作b 的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即28(51)0d ∆=-≥，得251d ≥．∴25d 有最小值1，从而d 有最小值55．将其代入②式得22420b b ±+=．解得1b =±．将1b =±代入222r b =，得22r =．由221r a =+得1a =±．综上21,1,2a b r =±=±=．由21a b -=知,a b 同号．于是，所求圆的方程是22(1)(1)2x y -+-=，或22(1)(1)2x y +++=．。

1977年河北省高考数学试卷

1977年河北省高考数学试卷一、解答题（共15小题，满分150分）1．（10分）（1977•河北）叙述函数的定义．2．（10分）（1977•河北）求函数的定义域．3．（10分）（1977•河北）计算：．4．（10分）（1977•河北）计算log42．5．（10分）（1977•河北）分解因式x2y﹣2y3．6．（10分）（1977•河北）计算：．7．（10分）（1977•河北）如图，AB是⊙O直径，CB是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．8．（10分）（1977•河北）证明：．9．（10分）（1977•河北）已知2lgx+lg2=lg（x+6），求x．10．（10分）（1977•河北）某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃，其两邻边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的篱笆（如图，AD和DC为墙），问篱笆的两边各多长时，苗圃的面积最大？最大面积是多少？11．（10分）（1977•河北）工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器（上面开口），使其容积为208立方分米，高为4分米，上口边长与下底面边长的比为5：2，做这样的容器需要多少平方分米的铁皮？（不计容器的厚度和加工余量，不要求写出已知、求解，直接求解并画图即可）12．（10分）（1977•河北）已知：如图，MN为圆的直径，P、C为圆上两点，连PM、PN，过C作MN的垂线与MN、MP和NP的延长线依次相交于A、B、D，求证：AC2=AB•AD．13．（10分）（1977•河北）下列两题选做一题．（甲）已知椭圆短轴长为2，中心与抛物线y2=4x的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长．（乙）已知菱形的一对内角各为60°，边长为4，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形60°角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程．14．（10分）（1977•河北）将函数f（x）=e x展开为x的幂级数，并求出收敛区间．（e=2.718为自然对数的底）15．（10分）（1977•河北）利用定积分计算椭圆所围成的面积．1977年河北省高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共15小题，满分150分）1．（10分）（1977•河北）叙述函数的定义．考点：函数的概念及其构成要素．分析：直接叙述即可．解答：答：设A，B为非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域；与x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．．点评：本题考查了函数的定义，注意原始定义的准确记忆和确切理解．2．（10分）（1977•河北）求函数的定义域．考点：函数的定义域及其求法．分析：求函数定义域就是保证函数有意义，本题只需2﹣3x＞0就可．解答：解：由．故函数定义域为{x|x＜}点评：求函数定义域的常用方法：（1）分母不为0；（2）偶次根式下的式子大于等于0；（3）对数函数的真数大于0；（4）0的0次幂没有意义3．（10分）（1977•河北）计算：．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：直接利用分数指数幂的运算性质计算．解答：解：原式=（1﹣）÷=（﹣3）÷=3×=2．点评：有理数指数幂的运算法则：①a r•a s=a r+s（a＞0，r，s都是有理数），②（a r）s=a rs（a＞0，r，s都是有理数），③（a•b）r=a r b r（a＞0，b＞0，r是有理数）．4．（10分）（1977•河北）计算log42．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用对数的性质直接计算即可．解答：解：原式=．点评：本题考查对数的运算性质，是基础题．5．（10分）（1977•河北）分解因式x2y﹣2y3．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：先提取公因式y，再利用平方差公式将已知的代数式因式分解开．解答：解：原式=y=．点评：本题考查进行因式分解时，一般先提取公因式．6．（10分）（1977•河北）计算：．考点：运用诱导公式化简求值．分析：利用诱导公式═解答：解：原式=．点评：本题主要考查诱导公式的运用．做题过程中一定要注意正负值．7．（10分）（1977•河北）如图，AB是⊙O直径，CB是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：证明题．分析：连接OD，欲证明DC是⊙O的切线，只要证明CD⊥OD即可．解答：证明：连接OD；∵OA=OD，∴∠A=∠ADO．∵AD∥OC，∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD．∴∠BOC=∠COD．∵OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC，又BC是⊙O的切线．∴∠OBC=90°．∴∠ODC=90°．∴DC是⊙O的切线．点评：本题考查切线的性质和判定及圆周角定理的综合运用，属于基础题．8．（10分）（1977•河北）证明：．考点：三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：直接利用二倍角的正弦、余弦公式化简等式的左边，通过配方、约分，化简出要证的右边即可．解答：证：左边=====右边．所以等式成立．点评：本题是基础题，考查三角恒等式的证明，二倍角的正弦、余弦公式的应用，三角函数的平方关系的应用，是本题的关键，注意恒等式的证明方法．9．（10分）（1977•河北）已知2lgx+lg2=lg（x+6），求x．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：将对数方程两边化成同底数的形式，再依据对数函数的单调性去掉对数符号，化成整式不等式解即可．解答：解：由原方程可得lg2x2=lg（x+6）2x2﹣x﹣6=0，∴（增根）故原方程的解为x=2．点评：本题主要考查对数的运算性质、对数函数的性质等，属于基础题．10．（10分）（1977•河北）某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃，其两邻边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的篱笆（如图，AD和DC为墙），问篱笆的两边各多长时，苗圃的面积最大？最大面积是多少？考点：根据实际问题选择函数类型；函数的最值及其几何意义．专题：应用题．分析：首先设出自变量x和函数s，设BC为x，则AB为30﹣x，苗圃的面积为S，由图可知苗圃是一个梯形，要表示梯形的面积必须知道梯形的上底，下底和高（过D作DE⊥AB交AB于E），梯形的上底是线段CD，下底是线段AB，高是线段DE，由题意可知四边形BCDE是一个矩形，则DE=BC=x，又因为三角形ADE为等腰直角三角形，所以AE=DE=x，则BE=CD=30﹣2x，根据梯形的面积公式得出S与x的二次函数关系式，求出其最大值即可．解答：解：如图，设BC长为x，苗圃面积为S．过D作DE⊥AB交AB于E．由已知条件可得AB=30﹣x，∠DAB=45°，AE=DE=BC=x，CD=BE=AB﹣AE=30﹣2x，∴S=+150．由此可知，当x=10时，S取最大值．所以，当BC=10米，AB=20米时，苗圃面积最大，这时S=150米2．点评：本题主要考查学生根据实际问题选择函数关系的能力，应用数学解决实际问题的能力．11．（10分）（1977•河北）工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器（上面开口），使其容积为208立方分米，高为4分米，上口边长与下底面边长的比为5：2，做这样的容器需要多少平方分米的铁皮？（不计容器的厚度和加工余量，不要求写出已知、求解，直接求解并画图即可）考点：根据实际问题选择函数类型；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：应用题．分析：设下下底边长分别为5x，2x，以之表示出体积，用体积为208立方分米建立关于x的方程即可求出上、下底边的边长．再用表面积公式求出其表面积即可知道做这样的容器需要多少平方分米的铁皮．解答：解：设正四棱台形容器上口边长AB=5x，则下底面边长A1B1=2x，设表面积为S．因正四棱台的体积∴，∴x2=4，∴x=2，∴AB=10（分米），A1B1=4（分米）．由此可得==156（平方分米）=1.56（平方米）故共需铁皮1.56平方米．点评：考查正四棱台的表面积与体积公式，训练答题者的空间想象能力与正四棱台的结构．12．（10分）（1977•河北）已知：如图，MN为圆的直径，P、C为圆上两点，连PM、PN，过C作MN的垂线与MN、MP和NP的延长线依次相交于A、B、D，求证：AC2=AB•AD．考点：相似三角形的判定；相似三角形的性质．专题：证明题．分析：首先用两个角对应相等证明两个三角形相似，在相似三角形中写出对应边成比例，又根据直角三角形的射影定理，得到比例式，结合两个比例式，得到要证明的结论．解答：证明：在△ABM与△AND中，∠BAM=∠NAD=90°∠AMB=∠ADN=90﹣∠MND，∴△ABM∽△AND，AB：AN=AM：AD，AN•AM=AB•AD①又∵在直角△MCN中，AC⊥MN，∴AC2=AM•AN②由①，②得AC2=AB•AD．点评：本题考查相似三角形的证明和性质，考查直角三角形的射影定理，是一个证明对应线段成比例的问题，是一个基础题．13．（10分）（1977•河北）下列两题选做一题．（甲）已知椭圆短轴长为2，中心与抛物线y2=4x的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长．（乙）已知菱形的一对内角各为60°，边长为4，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形60°角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程．考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合．专题：计算题；数形结合；待定系数法．分析：（甲）根据椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，可求出椭圆的焦点坐标，和判断椭圆标准方程的形式，及c的值，根据a2=b2+c2，即可求得椭圆方程及其长轴的长；（乙）由椭圆的焦点是菱形60°角的两个顶点，根据椭圆的定义可知2a=8，由图及已知条件可得b=BO=BC•sin30°=2a=BC=4，即可求出椭圆方程．解答：（甲）解：设所求之椭圆方程为∵2b=2，∴b=1．由抛物线方程y2=4x可知它的焦点而（1，0），所以点（1，0）也是椭圆的一个焦点，于是c=1，从而，故所求之椭圆方程为，长轴的长为．（乙）解：设以菱形内角为600的一对顶点为端点的对角线所在的直线为X轴，建立直角坐标系．设椭圆方程为．由图及已知条件可得b=BO=BC•sin30°=2a=BC=4．故所求之椭圆方程为．点评：此题是个基础题．考查椭圆的定义和标准方程即简单的几何性质，应用了待定系数法求椭圆方程，体现了数形结合的思想方法．14．（10分）（1977•河北）将函数f（x）=e x展开为x的幂级数，并求出收敛区间．（e=2.718为自然对数的底）考点：导数的运算．专题：计算题．分析：利用基本初等函数的导数个数求出f（x）的各阶导数相同，利用幂级数的定义找到它的收敛区间．解答：解：∵f（x）=e x，∴f′（x）=f″（x）=f n（x）=e x∴f（0）=f′（0）=f″（0）=f n（0）=1函数在区间﹣r≤x≤r上有|f n（x）|=|e x|≤e r（n=1，2）所以函数e x可以在区间[﹣r，r]上展开成幂级数，因为r＞0是任意的，所以，函数e x在区间（﹣∞，+∞）上可展成幂级数，特别的它的马克劳林级数是．点评：本题考查基本初等函数的个数、考查幂级数及收敛区间的定义．15．（10分）（1977•河北）利用定积分计算椭圆所围成的面积．考点：定积分；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：依据椭圆的对称性，只要求出椭圆在第一角限内部分的面积即可，利用定积分的几何意义，即求出即得．解答：解：因为椭圆关于x轴和y轴都是对称的，所以所求之面积为令则，dx=acosθdθ∴=．点评：运用定积分求面积，其关键是确定出被积函数和积分的上、下限．一般是应先根据题意，借助图形的直观性确定出被积函数，求出两条曲线的交点的坐标确定积分的上、下限，进而由定积分求出其面积．。

数学试卷77年普通高等试全国各省市高考数学试题及解答(汇总

1977年全国各省市高考数学试题及解答北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。

经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。

2．计算121222021-++-.122:+=原式解3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45。

解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266。

4．证明αα+=α+22cos 2sin 1)1(tg 原式成立证∴αα+=αα+αα+α=⎪⎭⎫ ⎝⎛αα+α=α+222222cos 2sin 1cos sin cos sin 2cos cos sin cos )1(:tg 5．求过两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点且过（1，1）点的直线方程。

解：由x+y-7=03x-y-1=0, 解得x=2,y=5。

过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3。

6．某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？解：七月份到十月份总产值为 100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100=)(8.5362.00736.110012.1]1)2.1[(1004万元=⨯=--⨯ 7.已知二次函数y=x 2-6x+5(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; (2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x 轴、y 轴的交点坐标。

解：如图（列表，描点）略。

8．一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北450东方向，一小时后船在C 处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB 。

解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300。

由正弦定理可得9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB 。

1977年高考理化试题(河北卷)

1977年普通高等学校招生全国统一考试（河北卷）理化试题说明：解答问题的方程式、重要的演算步骤和文字说明，必须写在试卷上。

凡计算题中只写出最后答数，而未写主要演算过程者，不能得分。

物理部分一、将下列问题的答案依次填写在试卷上（12分）1.某中学锅炉房供给全校师生饮水，每天要把1000公斤20°℃的水加热到100°℃，所需要的热量是。

2.在电子技术中晶体二极管的主要作用是。

晶体三极管的主要作用是。

（2分）3.如图所示，原线圈U1=6 伏，N1=1100 匝；付线圈N2= 110匝，U2是。

（2分）4.绘出在水平道路上匀速前进的汽车受力示意图，并注明各代表什么力。

（2分）5.一辆165吨速度为2米/秒的机车与一节55吨的车箱挂接，挂接后它们后退的速度是。

（2分）6.根据凸透镜成象规律，若将物体放在焦点和二倍焦距之间，在凸透镜的另一侧的白纸屏上得到的象总是、、。

机的成象属于这种情况。

（2分）二、下列二题任选一题：（如两题都做，必须划去一题，否则按第一题给分）（8分）1.将50公斤重的物体，放在5米长、3米高的斜面上。

物体与斜面间的滑动摩擦系数是0.4。

求；①物体平行于斜面向下的分力F1是多大？②物体对斜面的压力F2是多大？③物体沿斜面滑动时的摩擦力 f 是多大？④使物体沿斜面向上作匀速滑动时，在跟斜面相平行的方向上对物体加的力F 是多大？2.下图是我国劳动人民发明并使用已久的杆秤。

O处安装提纽，A 处安装秤钩，G是秤杆、提纽和秤钩的重心，设它们共重W1=1斤。

OG=2 厘米，OA=8厘米，秤砣重W2=2斤。

求:①若在秤钩上挂W= 6斤重的物体，秤砣应挂在提纽左侧多远的地方秤杆才能平衡？②在称量某一物体时，秤砣挂在提纽左侧OB=9 厘米处秤杆平衡，求物体的重量W'=？三、（8分）在一小型动力配电盘上观察到电压表的示数为380V，电流表的示数为5.3A，电动机铭牌上标称功率因数是0.8，Y 形接线。

1977年普通高等学校招生考试(河北省)数学试题含答案

8
解：原式=2 新疆王新敞奎屯
（4）计算 log4 2.
解：原式= 1 新疆王新敞奎屯 2
（5）分解因式 x2y-2y3.
解：原式= y(x + 2y)(x − 2y).
（6）计算 sin 4 cos 25 tg(− 3).
3
6
4
解：原式= (−sin ) cos tg = − 3 .
s = 4
2
b
a
cos
a
cos
d
=
4ab
2 (cos )2 d = 4ab
2
1
+
cos
2
d
0a
0
0
2
= 2ab[ +
2
cos
2d]
=
2ab
=
ab.
20
2
a2 b2
解：因为椭圆 x2
a2
+
y2 b2
= 1关于
x
轴和
y 轴都是对称的，所以所求之面
积为
s = 4
a
ydx = 4
aa
a 2 − x2 dx.令x = a sin .(0 )
0
0b
2
则 a 2 − x2 = a 2 − a 2 sin 2 = a cos , dx C=4. 故所求之椭圆方程为
Y
B
C＇
300 C
O
X
B＇
x2 + y 2 = 1. 16 4
参考题
1．将函数
f
(x)
=
ex
展开为
x
的幂级数，并求出收敛区间（e=2.718 新疆王新敞

1997年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(全国卷.文)答案

参考答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。

第（1）-（10）题每小题4分,第（11）-（15）题每小题5分.满分65分.（1）B （2）B （3）A （4）C （5）B （6）C （7）D （8）C（9）A （10）B （11）A （12）D （13）C （14）C （15）B二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.注:第（19）题多填、漏填和错填均给0分.三、解答题（20）本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算等基础知识,考查利用三角公式进行变形的技能和运算能力.满分10分.解法一：将已知复数化为复数三角形式:------------2分依题意有 zω+zω3------------8分解法二: zω+zω3=zω（1+ω2）------------4分------------8分（21）本小题主要考查等差数列、等比数列、方程组等基础知识,考查运算能力.满分11分.解：设等差数列｛a n｝的首项a1=a,公差为d,则通项为a n=a+（n-1）d,前n项和为, ------------2分依题意有其中S5≠0.由此可得------------4分整理得解方程组得------------8分由此得a n=1;------------8分（22）本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识,考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力.满分12分.本为, ------------4分故所求函数及其定义域为.------------5分（Ⅱ）依题意知S,a,b,v都为正数,故有.因为c-v≥0,且a>bc2,故有a-bcv≥a-bc2>0,也即当v=c时,全程运输成本y最小.（23）本小题主要考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,考查逻辑推理和空间想象能力.满分12分.解：（Ⅰ）∵AC1是正方体,∴AD⊥面DC1.又D1F 面DC1,∴AD⊥D1F.------------2分（Ⅱ）取AB中点G,连结A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.设A1G与AE相交于点H,∠AHA1是AE与D1F所成的角.因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠AHA1=90°,也即直线AE与D1F所成的角为直角. ------------5分（Ⅲ）由（Ⅰ）知AD⊥D1F,由（Ⅱ）知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因为D 1F 面A1FD1,所以面AED⊥面A1FD1. ------------7分（Ⅳ）∵体积V E-AA1F=V F-AA1E,又FG⊥面ABB1A1,三棱锥F-AA1E的高FG=AA1=2,（24）本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识,考查运算能力和分析问题的能力,满分12分.解：（Ⅰ）设点A、B的横坐标分别为x1,x2,由题设知,x1>1,x2>1.则点A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.因为A、B在过点O的直线上,------------2分点C、D坐标分别为（x1,log2x1）,（x2,log2x2）.,------------4分.由此可知,k1=k2,即O、C、D在同一条直线上.------------7分（Ⅱ）由于BC平行于x轴知log2x1=log8x2,. ------------9分代入x2log8x1=x1log8x2得.由于x1>1知log8x1≠0,.------------12分（25）本小题主要考查轨迹的思想,考查综合运用知识建立曲线方程的能力.满分12分.解：设圆P的圆心为P（a,b）,半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│.由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,知圆Pr2=2b2------------3分又圆P被y轴所截得的弦长为2,所以有r2=a2+1.从而得2b2-a2=1. ------------6分,------------8分即有a-2b=±1,由此有解方程组得于是r2=2b2=2,所求圆的方程是（x+1）2+（y+1）2=2,或（x-1）2+（y-1）2=2. ------------12分。

1997年全国高校招生数学统考试题(理工农医类)

1997年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）第Ⅰ卷（选择题共65分）一.选择题:本大题共15小题;第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合M=｛x│0≤x<2｝,集合N=｛x│x2-2x-3<0｝,集合M∩N=(A)｛x│0≤x<1｝(B)｛x│0≤x<2｝ (C)｛x│0≤x≤1｝(D)｛x│0≤x≤2｝(2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a=(A)-3 (B)-6 (C)-3/2 (D)2/3(A) (B) (C) (D)(4)已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面都相等,且AB=AC=,则以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是(A)arocos(/3)(B)arccos(1/3) (C)π/2 (D)2π/3(5)函数y=sin[(π/3)-2x]+cos2x的最小正周期是(A)π/2 (B)π (C)2π (D)4π(6)满足arccos(1-x)≥arccosx的x的取值范围是(A)[-1,-1/2] (B)[-1/2,0] (C)[0,1/2] (D)[1/2,1](7)将y=2x的图象(A)先向左平行移动1个单位(B)先向右平行移动1个单位(C)先向上平行移动1个单位(D)先向下平行移动1个单位再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2(x+1)的图象.(8)长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是(A)20π(B)25π(C)50π(D)200π(10)函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为(A)2 (B)6 (C)-1/4 (D)6(12)圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积是(A)2π/3 (B)2π(C)7π/6 (D)7π/3(13)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0,+∞］的图象与f(x)的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式:①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a),其中成立的是(A)①与④(B)②与③(C)①与③(D)②与④(A){x|0＜x＜2＝(B){x|0＜x＜2.5＝(C){x|0＜x＜＝(D){x|0＜x＜3＝(15)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有(A)150种(B)147种(C)144种(D)141种第Ⅱ卷 (非选择题共85分)二.填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.(19)已知m、l是直线,α、β是平面,给出下列命题:①若l垂直于α内的两条相交直线,则l⊥α;②若l平行于α,则l平行于α内的所有直线;③若mα, l β,且l⊥m,则α⊥β; ④若l β,且l⊥α,则α⊥β;⑤若mα, l β,且α∥β,则m∥l.其中正确的命题的序号是___________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)三.解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(20)(本小题满分10分)应的点分别为P,Q.证明△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点).(21)(本小题满分11分)已知数列｛an｝,｛bn｝都是由正数组成的等比数列,公比分别为p,q,其中p>q,且p≠1,q≠1.设cn=an+bn,sn为数列｛cn｝的前n项和.求(22)(本小题满分12分)甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比, 比例系数为b;固定部分为a元.(Ⅰ)全程运输成本把y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;(Ⅱ)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?(23)(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.(Ⅰ)证明AD⊥D1F;(Ⅱ)求AE与D1F所成的角;(Ⅲ)证明面AED⊥面A1FD1;(24)(本小题满分12分)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足(Ⅰ)当x∈(0,x1)时,证明x<f(x)<x1;.(25)(本小题满分12分)设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线ι:x-2y=0的距离最小的圆的方程.1997年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分,满分65分.(1)B (2)B (3)A (4)C (5)B(6)D (7)D (8)C (9)B (10)B(11)A (12)D (13)C (14)C (15)D二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.注:第(19)题多填、漏填和错填均给0分.三.解答题(20)本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识,考查运算能力和逻辑推理能力.满分10分.解法一：-------2分于是-------5分-------7分由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三解形.----7分解法二:由此得OP⊥OQ,│OP│=│OQ│.由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三角形.----10分(21)本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识,考查逻辑推理能力和运算能力.满分11分.解:--------3分分两种情况讨论.(Ⅰ)p>1.=p. -------7分(Ⅱ)p<1.∵ 0<q<p<1,-------11分(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识,考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,满分12分.故所求函数及其定义域为(Ⅱ)依题意知S,a,b,v都为正数,故有因为c-v≥0,且a>bc2,故有a-bcv≥a-bc2>0,也即当v=c时,全程运输成本y最小.(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,考查逻辑推理能力和空间想象能力,满分12分.解:(Ⅰ)∵AC1是正方体,∴AD⊥面DC1.又D1F面DC1,∴AD⊥D1F.-------------2分(Ⅱ)取AB中点G,连结A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等, 所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE, ∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成角为直角. -------------5分(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因为D1F面A1FD1,所以面AED⊥面A1FD1. -------------7分(Ⅳ)连结GE,GD1.∵FG∥A1D1,∴FG∥面A1ED1,∵AA1=2,(24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分.证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)-x.因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,所以F(x)=a(x-x1)(x-x2). ------------2分当x∈(0,x1)时,由于x1<x2,得(x-x1)(x-x2)>0,又a>0,得F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0,即x<f(x). ------------4分所以x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0.得 x1-f(x)>0.由此得f(x)<x1. ------------7分(Ⅱ)依题意知因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,即x1,x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根.------------9分.因为ax2<1,所以. ------------12分(25)本小题主要考查轨迹的思想,求最小值的方法,考查综合运用知识建立曲线方程的能力.满分12分.解法一:设圆的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│.r2=2b2 ------------2分又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r2=a2+1.从而得2b2-a2=1. ------------5分又点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为------------7分所以 5d2=│a-2b│2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值. ------10分由此有解此方程组得由于r2=2b2知于是,所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2.-------------12分解法二:同解法一得∴得①将a2=2b2-1代入①式,整理得②把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即△=8(5d2-1)≥0, 得 5d2≥1.将其代入②式得2b2±4b+2=0.解得b=±1.将b=±1代入r2=2b2,得r2=2.由r2=a2+1得a=±1.综上 a=±1,b=±1,r2=2.由│a-2b│=1知a,b同号.于是,所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. -------------12分。

河北1977年中专考试试卷

河北1977年中专考试试卷一、听力第一节(共5小题，每小题1分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1、Who is the man talking about now?A.His girlfriend.B.His sister.C.His mother.2、What are they talking about?A.A traffic accident.B.A fire.C.A crime.3、Where does the conversation most probably take place?A.At a bookshop.B.At a kitchen.C.At a bank.4、Who was injured?A.George.B.George’s wife.C.George’s wife’s father.5、What do we learn from the conversation?A.Tony could not continue the experiment.B.Tony finished the experiment last night.C.Tony will go on with his experiment.第二节(共15小题，每小题1分)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟;听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第6段材料，回答第6至7题。

6、Where does this conversation most likely take place?A.In the street.B.At the woman’s home.C.Over the phone.7、What is the woman going to do tonight?A.Help her sister with English.B.Meet her friend at the station.C.Go to an exhibition with her parents.听第7段材料，回答第8至10题。