频率与概率[上学期]--北师大版
高中数学北师大版 必修一 频率与概率 课件
合 作 探
很大时，可以将事件 A 发生的频率mn 作为事件 A 的概率的近似值．
课 时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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·
21
[跟进训练]
自 主
2．某书业公司对本公司某教辅材料的写作风格进行了
5
次“读
课 堂
预
小
习 者问卷调查”，结果如下：
结
·
探
提
新 知
被调查人数 n
1 001 1 000 1 004 1 003 1 000
合
作
课
探 个具体的事件．
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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·
17
·
自
[跟进训练]
课
主
堂
预
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷 1 000 次，那么第 小
习
结
·
探 新
999 次出现正面朝上的概率是(
)
提 素
知
养
合 作
A．9199
B．1
1 000
C．1909090
D．12
课
探
时
究
D [抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第 999 次，有两种结果：
·
探 新
＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过
300
瓶的概率的估计值为
提 素
知
养
0.6.
合
作
(2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，
探
课 时
究
分
释
若最高气温不低于 25，则 Y＝6×450－4×450＝900；
9年级数学北师大版上册课件第3章《用频率估计概率》
中考链接
7.【2020·邵阳】如图①所示，平整的地面上有一个不规则的图案(图 中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少，他采用了以下办法： 用一个长为5 m，宽为4 m的长方形，将不规则图案围起来，然后在 适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上 的次数(小球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果)，他将若干次 有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此他估计不规 则图案的面积大约为( B ) A．6 m2 B．7 m2 C．8 m2 D．9 m2
49 0.9658
50 0.9704
51 0.9744
52 0.9780
53 0.9811
54 0.9839
……
新知讲解
通过观察上面的表格你能发现什么？
人们往往觉得两人生日相同是一种可能性不大的事情，通过观察上 面的表格能发现：如果人数不少于23人，这种可能性就达到50%. 当人数是50人时，“有2个人的生日相同”的频率高达97.04%.
新知讲解
【做一做】 （1）每个同学课外调查10个人的生日. （2）从全班的调查结果中随机选择50个被调查人的生日，记录其中 有无2个人的生日相同。每选取50个被调查人的生日为一次试验，重 复尽可能多次试验，并将数据记录在表格中.
试验总次数 “有2个人的生日相同”的次数 “有2个人的生日相同”的频率
3.2 用频率估计概率
北师版 九年级上册
新知导入
《红楼梦》第62回中有这样的情节： 当下宝玉生日已到，原来宝琴也是这日，二人相同。 袭人笑道: “这是他来给你拜寿，今儿也是他的生日，你也该给他拜 寿.”宝玉听了，喜的忙作下揖去，说：原来今儿也是姐姐的芳诞。” 平儿还福不迭。 探春忙问："原来邢妹妹也是今儿，我怎么就忘了。” 探春笑道: “倒有些意思，一年十二个月，月月有几人生日。人多了， 便这等巧了，也有三个一日，两个一日的。
北师大版九年级数学上册第三章 概率的进一步认识-教学案（PDF版 含解析）
高效提分源于优学第12讲概率与频率的计算温故知新一、三种事件的定义1）生活中,有些事情我们先能肯定它一定会发生,这些事情称为;2）有些事情我们先能肯定它一定不会发生,这些事情称为;3）有些事情我们事先无法肯定它会不会发生,这些事情称为.课堂导入一、思维导图一、概率的定义1、定义：瑞士数学家雅各布．伯努利最早阐明了可以由频率估计概率即：在相同的条件下，大量的重复实验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定的常数，可以估计这个事件发生的概率。
2、表示方法：一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近,那么事件A发生的概率P(A)=p。
二、频率的定义1、定义：在相同条件下，独立重复次试验，若随机事件A发生次数为，则随机事件A发生频率为，很显然，频率是变化的，随着试验的次数变化而变化。
2、与概率区别：概率的值可能是频率的某个具体值，也可能不是频率的具体的某个值。
概率是通过频率变化反映出来的，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
典例分析例1、在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（）A．16个B．20个C．25个D．30个例2、在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（）A．频率就是概率B．频率与试验次数无关C．概率是随机的，与频率无关D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率概率与频率的基本概念知识要点一高效提分源于优学举一反三1、某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）A ．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B ．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是“红桃”C ．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D ．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4学霸说概率是通过频率变化反映出来的，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
九年级数学北师大版上册 第3章《用频率估计概率》教学设计 教案
教学设计用频率估计概率一、学生知识状况分析学生通过以前的学习，已经会用列表法或树状图求简单的随机事件的概率。
对用试验方法估计随机事件发生的概率有了初步的认识，知道了“当试验次数较大，试验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率”.二、教学任务分析本节课的重点是掌握试验的方法估计复杂的随机事件发生的概率。
难点是试验估计随机事件发生的概率。
为此，本节课的教学目标是：1、感受随机事件发生的频率的稳定性，理解事件发生的频率与概率的关系。
2、能用试验频率估计一些随机事件发生的概率，进一步体会概率的意义。
三、教学过程分析第一环节：课前3分钟（对相关知识进行回顾学习）1、事件的分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧随机事件不可能事件必然事件确定性事件事件2、什么是频率？在相同情况下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生了m 次，则事件A 发生的频率P=nm . 3、练习：（1）下列事件,是确定事件的是( )A.投掷一枚图钉,针尖朝上、朝下的概率一样.B.从一幅扑克中任意抽出一张牌,花色是红桃.C.任意选择电视的某一频道,正在播放动画片.D.在同一年出生的367名学生中,至少有两人的生日是同一天.（2）明天下雨的概率为95％，那么下列说法错误的是（ ）A.明天下雨的可能性较大B.明天不下雨的可能性较小C.明天有可能是晴天D.明天不可能是晴天第二环节：情境引入内容：下表列出了一些历史上的数学家所做的掷硬币试验的数据：目的：以历史上的抛硬币试验引入本课，激发学生的学习兴趣.结论：当试验次数很大时,一个事件发生频率一般稳定在相应的概率附近.因此,我们可以通过多次试验,用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.在相同情况下随机的抽取若干个体进行试验,进行试验统计.并计算事件发生的频率nm ，根据频率估计该事件发生的概率.第三环节：实践演练例1、抛掷一只纸杯的重复试验的结果如下表：（1）在表内的空格初填上适当的数（2）任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率为．练习一：1、对某服装厂的成品西装进行抽查,结果如下表:(1)请完成上表(2)任抽一件是次品的概率是多少?(3)如果销售1 500件西服,那么大约需要准备多少件正品西装供买到次品西装的顾客调换?思考：摸球游戏现在有一个盒子，3个红球，7个白球，每个球除颜色外全部相同。
6.1频率与概率 课件3(北师大版九年级上册)
2
要“玩”出水平
“配紫色”游戏
小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏:下面是 两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成相等的几个扇 形 . 游戏规则是 :游戏者同时转动两个转盘,如果转盘A转出 了红色,转盘B转出了蓝色,那么他就赢了,因为红色和蓝 色在一起配成了紫色.
(1)利用树状图或列 表的方法表示游戏者 所有可能出现的结果. (2)游戏者获胜的概 率是多少?
解：随机抛掷两个这样的四面体，所有可能出现的结果如下：
第二次着地的数字
第一次着地的数字
1
2
3
4
1
（1 ， 1 ）
（1，2）
（1，3）
（1（3 ， 1 ） （4 ， 1 ）
（2，2）
（3，2） （4，2）
（2，3）
（3，3） （4，3）
（2，4）
（3，4） （4，4）
由表格可知总共有16种结果,每种结果出现的可能性相 同,而数字相同的结果有4种:(1,1) （2，2） （3，3） （4， 4）,因此着地一面的数字相同概率为4/16=1/4.
解：转动转盘A、B，所有可能出现的结果如下：
转盘A 转盘B
红色
(蓝1,红) (蓝2,红)
白色
(蓝1,白) (蓝2,白)
蓝色1 蓝色2
红 白 A 盘
黄 蓝
蓝
黄色
(黄,红)
(黄,白)
B 盘
又表格可知总共有6种结果,每种结果出现的可能性相 同,其中能配成紫色的结果有两种:(蓝1,红) (蓝2,红)， 因此游戏者获胜的概率为2/6=1/3
“配紫色”游戏的变异
用如图所示的转盘进行“配紫色”游戏. 小颖制作了下图,并据此求出游戏者获胜的 概率是1/2.
频率与概率[上学期]--北师大版
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北师大版-数学-九年级上册-6.1频率与概率 第2课时 阅读资料库
《九年级上第六章第一节频率与概率》第2课时二、阅读资料库：戳穿“摸彩”骗局“天有不测风云，人有旦夕祸福”。
这话有对的一面，也有不对的一面，对的是，说出了事物发生的偶然性。
不对的是，夸大了偶然的成份，忽视了偶然中的必然规律和量的关系，给人笼罩上一种不可知论的阴影。
举例说，在世界上火车与汽车相撞的事件，时有发生。
然而，却几乎没有人，由于担心火车与汽车相撞，不去乘火车、汽车而宁愿步行。
这是为什么呢？原因是：在现实中，这种相撞的可能性实在是太小了。
在世界上千千万万次的车祸中，能找到的也只是极少数几例。
又如，人遭遇车祸，这种可能性通常要比火车与汽车相撞的可能性大不知多少倍。
然而，在人们亿万次的外出中，遭遇车祸毕竟还是占少数。
这潜意识包含了一条极重要的原理——小概率原理，即一个概率很小的事件，一般不会在一次试验中发生。
下面给你介绍一个有趣的游戏。
如果你新到一个班级，那么你完全可以大言不惭地对你班上49 名新伙伴，作一次惊人的宣布：“新班级里一定有人生日是相同的！”我想大家一定会惊讶不已！可能连你本人也会感到难以置信吧！因为首先，你对他们的生日一无所知，其次，一年有365 天，而你班上只有50 人，难道生日会重合吗？但是，我必须告诉你，这是极可能获得成功的。
这个游戏成功的道理是什么呢？原来，班上的第一位同学要与你生日不同。
那么他的生日只能在一年365 天中的另外364 天，即生日选择可能性为364/365；而第二位同学，他的生日必须与你和第一位同学都不同，可能性有363/365；第三位同学应与前三人的生日都不同，可能性为362/365；如此等等，得到全班50 名同学生日都不同的概率为：用计算器或对数表细心计算，可得上式结果为：P（全不相同）=0.0295由于50 人中有人生日相同和全不相同这两件事，二者必居其一，所以P（有相同）＋P（全不相同）＝1。
因而 P（有相同）＝1-P（全不相同）＝1-0.0295＝0.9705，即你的成功把握有97％，而失败的可能性不足3％，根据小概率原理，你完全可以断定这是不会在一次游戏中发生的。
北师大版九年级数学上册第三章 概率的进一步认识用频率估计概率
摸到白球概率 m 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
n
00
摸到白球次数m 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球概率 m 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
n
(1)请估计：当 n 很大时，摸到白球的频率将会接近
0.6 （精确到 0.1）； (2)假如你摸一次，估计你摸到白球的概率 P (白球) =
0.6 .
的概率是多少? 口袋中有 3 个红球、7 个白球，共 10 个球，则随机 摸出红球的概率是 3 .
10
一般地，如果一个试验有 n 种等可能的结果， 事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的 概率为：P A m
n
(2)一个口袋中有红球、白球共 10 个，这些球除颜 色外都相同. 如果不将球倒出来数，那么你能设计一 个试验方案，估计其中红球与白球的比例吗？ 方案：每次随机摸出一个球并记录颜色，然后将球 放回，搅匀，当次数越多，试验频率将越稳定于理 论概率.
练一练
1. 判断正误
（1）连续掷一枚质地均匀硬币 10 次，结果 10 次全
部是正面，则正面向上的概率是 1.
错误
（2）小明掷硬币 10000 次，则正面向上的频率在 0.5
附近.
正确
（3）设一大批灯泡的次品率为 0.01，那么从中抽取
1000 只灯泡，一定有 10 只次品.
错误
想一想 (1) 一个口袋中有 3 个红球、7 个白球，这些球除颜色 外都相同，从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球
抽屉原理：把 m 个物品任意放进 n 个空抽屉里( m >
2用频率估计概率-北师大版九年级数学上册教案
用频率估计概率-北师大版九年级数学上册教案在我们的日常生活中，概率应用非常广泛。
比如说，在天气预报中，我们会听到天气预报员说“明天的降雨概率是60%”。
那么，这个“60%”到底是怎么算出来的呢？其实，这涉及到了用频率估计概率的知识。
一、理解频率在介绍频率之前，先来回顾一下我们在初中学习的关于“试验”的知识。
什么是试验？试验就是一系列具有某些特征的随机事件组成的过程。
比如说，掷一个骰子，这个过程就是一个试验。
每次掷骰子，可能出现1、2、3、4、5或者6这六个数字中的一个，我们称之为随机事件。
如果我们把这个试验重复进行很多次，比如说进行10000次，那么每一个数字出现的次数就可能不同。
如果我们把每个数字出现的次数记下来，就得到了这样一张表格：数字出现次数1 16502 17123 16724 16815 16446 1641这个表格告诉我们每个数字出现的频率，也就是它们出现的次数除以总次数。
比如说，1这个数字出现的频率为1650/10000=0.165，也就是约为0.17。
二、用频率估计概率了解了什么是频率之后，我们来看看如何用频率来估计概率。
在前面的例子中，我们重复进行了一万次试验，这样做是为了让每个数字出现的次数更接近于它们理论上出现的次数。
如果这个试验只进行了一次，那么每个数字出现的次数就只有0或者1，这样的话，我们无法从中计算出概率。
但是，现实生活中，我们也很难做到重复进行数万次试验。
因此，我们通常是通过重复进行相对较少次数的试验，然后通过统计相应的频率来估计概率。
比如说，在天气预报中，我们实际上并不会重复进行许多次“明天是否下雨”的试验，因为这样做是不可能的。
但是，我们可以根据历史的气象数据，计算出过去每个月份下雨的总次数和总天数，从而得出下雨的频率。
然后，我们就可以用这个频率来估计未来某一天下雨的概率了。
三、用频率估计概率的误差用频率来估计概率是一种常用的方法，但是，它并不是一个完美的方法。
频率与概率同步练习 高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
§3频率与概率一、必备知识基础练1.[探究点二]从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取出一张卡片并记下号码,统计结果如下:卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10取出的次数10 11 8 8 6 10 18 9 11 9则取到的号码为奇数的频率是()A.0.53B.0.5C.0.47D.0.372.[探究点一](多选题)下列说法中正确的有()A.做9次抛掷一枚质地均匀的硬币的试验,结果有5次出现正面,所以出现正面的概率是59B.盒子中装有大小和形状相同的3个红球,3个黑球,2个白球,每种颜色的球被摸到的可能性相同C.从-4,-3,-2,-1,0,1,2中任取一个数,取得的数小于0和不小于0的可能性不相同D.设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,次品的件数可能不是10件3.[探究点二]我国古代数学名著中有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米夹谷,抽样取米一把,数得254粒,夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.454石4.[探究点一]气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”,对预测的正确理解是()A.本市明天将有90%的地区降雨B.本市明天将有90%的时间降雨C.明天出行不带雨具肯定会淋雨D.明天出行不带雨具可能会淋雨5.[探究点二]已知样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为,数据落在[2,10)内的概率约为.6.[探究点二]一个容量为20的样本,数据的分组及各组的频数如下:[10,20)2个;[20,30)3个;[30,40)x个;[40,50)5个;[50,60)4个;[60,70)2个.并且样本在[30,40)之间的频率为0.2,则x=;根据样本的频率分布估计,数据落在[10,50)的概率约为.7.[探究点二]某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如下表所示.投篮次数n/次8 10 15 20 30 40 50进球次数m/次 6 8 12 17 25 32 38进球频率mn(1)填写上表中的进球频率;(2)这位运动员投篮一次,进球的概率大约是多少?8.[探究点三]已知n是一个三位正整数,若n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如135,256,345等).现要从甲、乙两名同学中,选出一个参加某市组织的数学竞赛,选取的规则如下:从由1,2,3,4,5,6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数,且只抽取1次,若抽取的“三位递增数”是偶数,则甲参加数学竞赛;否则,乙参加数学竞赛.(1)由1,2,3,4,5,6可组成多少“三位递增数”?并一一列举出来.(2)这种选取规则对甲、乙两名学生公平吗?并说明理由.二、关键能力提升练9.掷一枚均匀的硬币,如果连续抛掷1 000次,那么第999次出现正面向上的概率是()A.1999B. 11000C. 9991000D. 1210.(多选题)某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(单位:km/h)分成六个区间:[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90],得到如图所示的频率分布直方图.下列结论正确的是()A.这40辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5B.在该服务区任意抽取一辆车,车速超过80 km/h的概率为0.35C.若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆,则至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为1415D.若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆,则车速都在[60,65)内的概率为1311.用一台自动机床加工一批螺母,从中抽出100个逐个进行直径(单位:厘米)检验,结果如下:直径/厘米个数直径/厘米个数[6.88,6.89] 1 (6.93,6.94] 26(6.89,6.90] 2 (6.94,6.95] 15(6.90,6.91] 10 (6.95,6.96] 8(6.91,6.92] 17 (6.96,6.97] 2(6.92,6.93] 17 (6.97,6.98] 2从这100个螺母中任意取一个,则事件A:螺母的直径在(6.93,6.95]范围内的频率为;事件B:螺母的直径在(6.91,6.95]范围内的频率为.12.为了解市民对A,B两个品牌共享单车使用情况的满意程度,分别从使用A,B两个品牌单车的市民中随机抽取了100人,对这两个品牌的单车进行评分,满分60分.根据调查,得到A品牌单车评分的频率分布直方图和B品牌单车评分的频数分布表:A品牌分数频率分布直方图B品牌单车评分的频数分布表分数区间频数[0,10) 1[10,20) 3[20,30) 6[30,40) 15[40,50) 40[50,60) 35根据用户的评分,定义用户对共享单车评价的“满意度指数”如下:评分[0,30) [30,50) [50,60]满意度指数0 1 2(1)求对A品牌单车评价“满意度指数”为0的人数;(2)从对A,B两个品牌单车评分都在[0,10)范围内的人中随机选出2人,求2人中恰有1人是A品牌单车的评分人的概率.三、学科素养创新练13.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数140 50 300 200 800 510好评率0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)?参考答案1.A 由题意知,本题是一个古典概型,∵有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,∴事件总数是100,由表可以看出取到号码为奇数有10+8+6+18+11=53(种)结果,∴P=53100=0.53,故选A .2.CD 对于A 中,应为出现正面的频率是59,故A 错误;对于B 中,摸到白球的概率要小于摸到红球或黑球的概率,故B 错误;对于C 中,取得的数小于0的概率大于不小于0的概率,故C 正确;对于D 中,任取100件产品,次品的件数是随机的,故D 正确.故选CD . 3.B 由题意可知,这批米内夹谷约为1 534×28254≈169(石),故选B .4.D “本市明天降雨的概率是90%”也即为“本市明天降雨的可能性为90%”.故选D .5.64 0.4 由于[6,10)范围内,频率为0.08×4=0.32,所以频数为0.32×200=64.在[2,10)范围内的概率约为(0.02+0.08)×4=0.4.6.4 0.7 样本总数为20个,∴x=20-(2+3+5+4+2)=20-16=4,∴数据落在[10,50)的概率P=1420=0.7.7.解(1)表中从左到右依次填:0.75 0.80 0.80 0.85 0.83 0.80 0.76.(2)由于进球频率都在0.80左右摆动,故这位运动员投篮一次,进球的概率约是0.80. 8.解(1)由题意知,所有由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增数”共有20个. 分别是123,124,125,126,134,135,136,145,146,156,234,235,236,245,246,256,345,346,356,456. (2)不公平.由(1)知,所有由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增数”有20个,记“甲参加数学竞赛”为事件A ,记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A 含有样本点有:124,134,234,126,136,146,156,236,246,256,346,356,456共13个.由古典概型计算公式,得P (A )=1320,又A 与B 对立,所以P (B )=1-P (A )=1-1320=720,所以P (A )>P (B ).故选取规则对甲、乙两名学生不公平.9.D每一次出现正面朝上的概率都是1,故选D.210.ABC在A中,由题图可知,众数的估计值为75+80=77.5,A正确;2在B中,车速超过80 km/h的频率为0.05×5+0.02×5=0.35,用频率估计概率知,B正确;在C中,由题可知,车速在[60,65)内的车辆数为2,车速在[65,70)内的车辆数为4,运用古典,即车速都在[60,65)内的概率为概型求概率得,至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为14151,故C正确,D错误.故选ABC.1511.0.410.75螺母的直径在(6.93,6.95]范围内的频数为26+15=41,所以事件A的频率=0.41.螺母的直径在(6.91,6.95]范围内的频数为17+17+26+15=75,所以事件B的频为41100=0.75.率为7510012.解(1)由A的频率分布直方图可知,对A评分低于30的频率为(0.003+0.005+0.012)×10=0.2,所以评分低于30的人数为100×0.2=20.(2)设事件A为“2人中恰有1人是A品牌单车的评分人”.对A评分在[0,10)范围内的有3人,设为M1,M2,M3;对B评分在[0,10)范围内的有1人,设为N.从这4人中随机选出2人的选法为(M1,M2),(M1,M3),(M1,N),(M2,M3),(M2,N),(M3,N),共6种.其中,恰有1人是A的选法.为(M1,N),(M2,N),(M3,N),共3种.故概率为P(A)=1213.解(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2 000,第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.故所求概率为50=0.025.2000(2)由题意知,样本中获得好评的电影部数是140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=56+10+45+50+160+51=372.故所求概率估计为1-372=0.814.2000(3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.。
北师大版九年级数学上册3
1.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生主动探索、合作学习的能力。
2.通过观察、分析、归纳等方法，使学生掌握从特殊到一般、从具体到抽象的认知规律。
3.利用频率估计概率的方法，使学生学会用数学手段解决实际问题，提高学生的应用能力。
4.引导学生运用数形结合的思想，将抽象的数学问题具体化、形象化，提高学生的数学素养。
2.讨论问题：各小组分享自己的实验过程和结果，讨论频率与概率之间的关系，探讨如何利用频率来估计概率。
3.教师指导：在各小组讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入探讨问题。
（四）课堂练习
1.设计练习题：根据本节课所学内容，设计具有代表性的练习题，让学生独立完成。
2.练习题类型：选择题、填空题、解答题等，涵盖频率与概率的基本概念、频率分布表和直方图的制作等。
4.部分学生可能在面对复杂问题时，缺乏解决问题的信心和耐心，教师需要关注这些学生的心理状态，给予适当的鼓励和支持。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：使学生掌握频率和概率的关系，能够运用频率来估计概率。
难点：让学生理解频率与概率之间的内在联系，并能够将这一概念应用于实际问题中。
2.重点：培养学生通过观察、分析、归纳等方法，从实际问题中抽象出数学模型的能力。
4.布置作业：布置与本节课相关的课后作业，要求学生在课后进一步巩固所学知识。
五、作业布置
为了巩固学生对频率估计概率的理解和应用能力，特布置以下作业：
1.必做作业：
a.完成课本第3.2节后的练习题1、2、3。
b.选择一个生活中的随机事件，通过实验收集数据，并制作频率分布表和频率分布直方图，用频率估计该事件发生的概率，并将实验过程和结果写成报告。
北师大版九年级数学上册第3章2用频率估计概率
6
出现的次数
7
9
6
8
20
10
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；
（2）小颖说：“根据试验，一次试验中出现‘5点朝上’的概率大”；
小红说：“如果掷600次，那么出现‘6点朝上’的次数正好是
100次.”小颖和小红的说法正确吗？为什么？
解：（1）“3点朝上”的频率为＝
为
=
=
（同意）
④400个同学中,一定有2人的生日相同(可以不同年)吗？（一定）
⑤300个同学中，一定有2人的生日相同吗？（不一定）
2.完成70页想一想. （略）
设计一个模拟试验方案,估计6个人中有两个人的生
肖相同的概率（以卡片为试验道具）。
（有从1到12共12张卡片，这些卡片除数字不同外，
其他都相同，从中任取一张，放回，然后混合均匀以
后再任意抽出一张，…，如此循环 6次，则可估计6
次抽到的卡片有两张的数字相同的概率）
判断对错：
1.400人中至少有两人生日相同.（√）2.300人中至少有两人生日相同.（ × ）
3.2人的生日不可能相同.（ × ）
4.2人的生日很有可能相同.（ × ）
5.某种彩票中奖的概率为1%，那么买100张这种彩票一定会中奖.（ ×）
学态度.
【旧知回顾】
1.什么是频数? 频率?
(频数是次数，频率是每个对象出现的次数与总次数的比值)
2.如何计算频率?
频数
频率=
总数
小明周末参加了一个生日宴会，一共来了13名同学，
他对在座的同学说：“如果我们每个人过生日都办生日
宴会，那么今年有一个月至少能参加2次这样的宴会.”
北师大版九年级数学上册《用频率估计概率》概率的进一步认识PPT精品课件
◆问题3
为什么要用投掷硬币的方法呢？ 理由： _这__样__做_公__平___．_能___保__证__小__强__和__小__明__得__到__球__票__的__可__能__性__一__样__大__，___ _即_得__票__概___率__相_同___．_______________________________________
试验者
抛掷次数 n
“正面向上” 次数m
棣莫弗 2048
1061
布 丰 4040
2048
费 勒 10000
4979
皮尔逊 12000
6019
皮尔逊 24000 12012
“正面向上” 频率( ) 0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
归纳总结
通过大量重复试验，可以用随机事件 发生的频率来估计该事件发生的概率.
活动2
图钉落地的试验 从一定高度落下的图钉，着地时会有哪些可能的结果？ 其中顶帽着地的可能性大吗？
做做试验来解 决这个问题.
(1)选取20名同学，每位学生依次使图钉从高处落下20次，并根据试验结 果填写下表.
试验累计次数
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
钉帽着地的次数(频数) 9 19 36 50 61 68 77 84 95 109
对于问题(2)， “不一定”的答案．
对于问题(3)，表示怀疑，不太相信．
典例讲解
例1 某篮球队教练记录该队一名主力前锋练习罚篮的结果如下：
练习罚篮次数
30
60 90 150 200 300 400 500
罚中次数
27
45 78 118 161 239 322 401
北师大版数学九年级上册6.1.1《频率与概率》教学设计
北师大版数学九年级上册6.1.1《频率与概率》教学设计一. 教材分析《频率与概率》是北师大版数学九年级上册第六章第一节的内容。
本节内容主要介绍了频率与概率的概念，以及如何通过实验来估计事件的概率。
本节课的内容对于学生来说比较抽象，需要通过大量的实验和案例来理解和掌握。
教材通过具体的案例和实验，引导学生认识频率与概率之间的关系，培养学生运用概率知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一些基本的数学概念和运算规则有一定的了解。
但是，由于本节课的内容比较抽象，学生可能对于频率与概率的概念和关系有一定的困难。
因此，在教学过程中，需要通过具体的案例和实验，让学生直观地感受频率与概率之间的关系，从而更好地理解和掌握本节课的内容。
三. 教学目标1.理解频率与概率的概念，掌握频率与概率之间的关系。
2.能够通过实验来估计事件的概率，并运用概率知识解决实际问题。
3.培养学生的动手操作能力和数据分析能力，提高学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.频率与概率的概念及其关系。
2.如何通过实验来估计事件的概率。
3.运用概率知识解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过具体的案例和实验，引导学生自主探索频率与概率之间的关系。
2.利用多媒体课件和实物教具，进行直观演示，帮助学生理解和掌握概念。
3.学生进行小组讨论和合作交流，培养学生的团队合作能力和口头表达能力。
4.结合课后习题和实际问题，进行巩固练习，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.多媒体课件和实物教具。
2.实验器材：骰子、卡片、抽奖箱等。
3.课后习题和实际问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的猜数字游戏，引导学生思考概率的概念。
教师提出问题：“如果你猜一个数字，有多少的概率能够猜中？”让学生思考并回答。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件或者实物教具，呈现频率与概率的概念。
解释频率是指事件发生的次数与总次数的比值，概率是指事件发生的可能性。
频率与概率的关系ppt 北师大版
北师大版初中数学九年级上册
6.1频率与概率(一)
频率与概率的关系
高峰中学 郑富 春
回顾与思考
频率：每个考察对象出现的次数 与总次数的比值称为频率. 概率：事件发生的可能性,也称 为事件发生的概率。
三人为一个小组，每个小组 两组相同的牌, 每组牌面的数字 分别是1和2，从两组牌中各摸出 一张为一次试验。 （1）一次试验中两张牌的牌 面的数字和可能有哪些值?
动脑筋 想一想
(6)将全班各组的数据集中起来, 相应得到试验60次、90次、120次、 150次、180次、240次、300次、360 次、420次时两张牌的牌面数字和等 于3的频率，并绘制相应的折线统计 图。
动动脑筋
议一议
（1）在上面的试验中,你发现了什么?如 果继续增加试验次数呢? （2）当试验次数很大时,你估计两张牌的 牌面数字和等于3的频率大约是多少?你是 怎样估计的?
课外作业
1、将全班各组的数据集中起来,相应得到 试验60次、90次、120次、150次、180次、 240次、300次、360次、420次时两张牌的 牌面数字和等于2的频率，并绘制相应的统计 图表。能据此估计两张牌的牌面数字和等于2 的概率大约是多少吗？ 2、课本第174页习题6.1 第1题
谢谢各位老师光临指导
同学们再见
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46．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！ 47．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践． 48．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星． 49．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价． 50．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。 51．宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子． 52．为成功找方法，不为失败找借口． 53．不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。 54．垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！ 55．不一定要做最大的，但要做最好的． 56．死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！ 57．成功是动词，不是名词！ 28、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。 59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。 60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也； 立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。——《孝经》 61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。——荀子《劝学篇》 62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！ 63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！ 64、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。 65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。 66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。 67、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。 68、找不到路不是没有路，路在脚下。 69、幸福源自积德，福报来自行善。 70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。 71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。 72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。 73、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。 74、今天学习不努力，明天努力找工作。 75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。 76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。 77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。 78、技艺创造价值，本领改变命运。 79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。 80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。 81、我不是来龙飞享福的，但，我是为幸福而来龙飞的！ 82、校兴我荣，校衰我耻。 83、今天我以学校为荣，明天学校以我为荣。 84、不想当老板的学生不是好学生。 85、志存高远虽励志，脚踏实地才是金。 86、时刻牢记父母的血汗钱来自不易，永远不忘父母的养育之恩需要报答。 87、讲孝道读经典培养好人，传知识授技艺打造能人。 88、知技并重，德行为先。 89、生活的理想，就是为了理想的生活。 —— 张闻天 90、贫不足羞，可羞是贫而无志。 —— 吕坤
北师版数学高一-教学设计频率与概率-1.2生活中的概率
1．1频率与概率1．2生活中的概率三维目标1．知识与技能(1)了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；(2)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；(3)了解概率的概念和意义以及事件发生的频率与概率的区别与联系；(4)利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题．2．过程与方法(1)发现法教学：经历抛硬币试验获取数据的过程，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高；(2)通过三种事件的区分及用统计算法计算随机事件的概率，提高学生分析问题、解决问题的能力；(3)通过概念的提炼和小结的归纳提高学生的语言表达和归纳能力．3．情感、态度与价值观(1)通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系；培养学生以随机的观点认识世界，使学生了解偶然性和必然性的辩证统一，培养其辩证唯物主义思想．(2)通过动手实验，培养学生的“做”数学的精神，享受“做”数学带来的成功喜悦．重点难点重点：事件的分类；了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性；正确理解概率的定义．难点：随机事件的概率的统计定义．由于概念比较抽象，突破难点的重要途径是注重它们的实际意义，通过实例、试验来加深学生对概念的理解．教学建议实践教学法，指导学生做简单易行的试验，让学生自然地发现随机事件的某一结果发生的规律性．以实际生活中的例子展开，让学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，学生参与到知识的发生、发展中来，体会数学知识与现实世界的联系．教学流程创设情境引入新课：明天下雨的可能性为95%，明天一定下雨吗？怎样理解这句话⇒引导学生结合初中所学的概率知识分析、思考概率与频率的区别与联系⇒通过引导学生回答所提问题给出概率的统计意义⇒通过例1及变式训练，使学生掌握判断随机事件的基本方法⇒通过例2及互动探究，使学生明确概率与频率的关系⇒通过例3及其变式训练，学生能初步掌握现实生活中的一些概率问题的合理解释⇒归纳整理，进行小结，使学生从整体上把握本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正课前自主导学附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A 的概率，记作P(A)．我们有0≤P(A)≤1.做一个简单的实验：把一枚骰子掷多次，观察出现的结果，并记录各结果出现的频数．1．在本实验中出现了几种结果？【提示】一共出现了1点、2点、3点、4点、5点、6点六种结果．2．一次试验中的试验结果试验前能确定吗？【提示】不能．3．若做大量地重复试验，你认为出现每种结果的次数有何关系？【提示】大致相等．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小．在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切得到，因此，我们常常通过做大量的重复试验，用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值．【问题导思】某同学投篮命中率为50%，那么他投篮10次，一定会投中5次吗？【提示】不一定．投篮命中率为50%，并不能说他投篮10次一定投中5次，但随着投篮次数的增加，他投中的次数会越来越接近一半，即投中率接近50%.概率和日常生活有着密切的联系，对生活中的随机事件，我们可以利用概率知识作出合理的判断与决策.例1(1)在标准大气压下，水在温度达到90 ℃时沸腾；(2)某一天内电话收到的呼叫次数为0；(3)一个袋内装有形状、大小都相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球为白球．【思路探究】可先判断在给定条件下，所给事件是否一定发生，然后再确定其事件类型．解根据“在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件”，可知(2)、(3)为随机事件．根据“在一定条件下一定不会发生的事件叫作不可能事件，一定条件下必然会发生的事件叫作必然事件”可知，(1)为不可能事件．规律方法1．准确掌握随机事件、必然事件、不可能事件的概念是解决此类问题的关键．2．应用时要特别注意看清条件，在给定条件下判断一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生来确定哪一类事件．变式训练指出下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件：(1)我国东南沿海某地明年将受到3次热带气旋的侵袭；(2)若a为实数，则|a|≥0；(3)某人开车通过10个路口都将遇到绿灯；(4)一个正六面体的六个面分别写有数字1,2,3,4,5,6，将它抛掷2次，数字之和大于12.解(1)(3)所陈述的事件可能发生也可能不发生，故为随机事件；(2)所陈述的事件在此条件下一定会发生，故为必然事件；(4)中的事件在此条件下一定不会发生，故为不可能事件．例210分，然后作了统计，统计结果如下：贫困地区：(1)(2)估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．【思路探究】先分析两个地区参加测试的儿童得60分以上的频率，然后根据频率估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．解(1)贫困地区：规律方法1．计算数值要细心，保留小数的位数要相同，试验次数越多，频率就越接近概率．2．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，用事件发生的频率去“测量”，通过计算事件发生的频率去估计概率．互动探究利用本例的计算结果，分析贫富差距为什么会带来人的智力差别？解由条件可知，贫困地区经济不发达、生活水平低，儿童的健康和发育会受到一定的影响；另外经济落后也会使教育事业发展落后，这都是贫富差距带来人的智力差别的原因．例3) A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，则有90人会治愈B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会治愈C．说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%D．以上说法都不对【思路探究】本题主要考查概率的意义，概率从数量上客观地反映了随机事件发生的可能性的大小．【解析】概率是指一个事件发生的可能性的大小．治愈某种疾病的概率为90%，说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%，但不能说明使用一剂这种药物一定可以治愈这种疾病，只能说是治愈的可能性较大，故选C.【答案】 C规律方法1．根据概率的定义可知“90%”表示的含义：使用一剂药后此病治愈的可能性是90%.2．概率只是说明了事件发生的可能性的大小，是在事件发生之前对事件是否发生进行的一种猜测．变式训练某射手击中靶心的概率是0.9是不是说明他射击10次就一定能击中靶心9次？解从概率的定义出发，击中靶心的概率是0.9并不意味着射击10次就一定能击中靶心9次，只有进行大量射击试验时，击中靶心的次数才约为910n，其中n为射击次数，而且n越大，射中的次数就越接近于910n.易错易误辨析混淆频率与概率致误典例把一枚质地均匀的硬币连续掷1 000次，其中有498次正面朝上，502次反面朝上，求掷一次硬币正面朝上的概率．【错解】由题意，据公式可知4981 000＝0.498.【错因分析】混淆了频率与概率的概念，事实上频率本身是随机的，做同样的试验得到的事件的频率是不同的，如本题中的0.498是1 000次试验中正面朝上的频率；而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关．【防范措施】 1.正确理解频率与概率的概念．2．弄清频率与概率的区别与联系．【正解】通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率都在0.5附近摆动，故掷一次硬币，正面朝上的概率是0.5.课堂小结1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．2．随机事件的发生既是随机的，又是有规律的．每次试验的结果是随机的，大量试验的结果才呈现出其规律性．3．概率体现了随机事件发生的可能性，故可用样本的频率来近似地估计总体中该结果出现的概率．当堂检测1．下列事件是随机事件的是()①从一个三角形的三个顶点各任意画一条射线，这三条射线交于一点；②把9写成两个数的和，其中一定有一个数小于5；③汽车排放尾气，污染环境；④明天早晨有雾；⑤明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温．A．①④B．②③⑤C．①④⑤D．②③④【解析】对于②，③为必然事件，①，④，⑤为随机事件．【答案】 C2．下列关于随机事件的频率与概率的关系的叙述中正确的是()A．频率就是概率B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率C．概率是随机的，在试验前不能确定D．频率是客观存在的，与试验次数无关【解析】根据频率与概率的关系可得答案为B.【答案】 B3．某地天气预报说“明天降水概率为90%”，这是指()A．明天该地区约90%的地方会降水B．明天该地区约90%的时间会降水C．气象台的专家中，有90%认为明天会降水，其余专家认为不降水D．明天该地区降水的可能性为90%【解析】概率是指某一随机事件发生的可能性，题中的90%只跟降水这个事件有关，而与该地区的降水范围、时间等无关．【答案】 D4．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：(1)将各组的频率填入表中；(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．解(1)频率依次是：0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.(2)样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中寿命不足1 500小时的频率是6001 000＝0.6.所以灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.。
2用频率估计概率-北师大版九年级数学上册教案
用频率估计概率-北师大版九年级数学上册教案一、教学目标1.了解频率和概率的关系，掌握用频率估计概率的方法。
2.能够运用用频率估计概率的方法解决实际问题。
3.提高学生的观察能力和自主学习能力。
二、教学重点1.频率和概率的关系。
2.用频率估计概率的方法。
三、教学难点用频率估计概率的方法。
四、教学方式1.探究式教学。
2.案例式教学。
3.合作学习。
五、教学准备1.计算器。
2.板书工具。
六、教学过程1. 导入请同学们回忆一下上课学到的内容，回答以下问题：1.什么是“实验”？2.什么是“样本空间”？3.什么是“事件”？2. 操作过程1.情境引入请同学们想一想，在日常生活中，我们如何估计一个事件发生的概率？是否可以通过实验来完成？2.引出频率和概率的关系通过实验的方法，同学们可以得到若干次实验结果，那么这些实验结果中，某个事件发生的频率与概率是否有关系？通过给出小球模拟实验的例子，让学生感受到频率和概率的关系。
3.讲解用频率估计概率的方法在实际生活中，我们往往不能做出无限次的实验，那么我们如何根据有限的实验次数估计事件的概率呢？讲解用频率估计概率的方法，并结合实例进行说明。
4.案例演示案例：某地区的饮用水源主要是水井，地方政府为了保障饮用水的安全，要求对100口水井进行水质检测，得到以下结果：含铁量超标：60口井含铬量超标：45口井含锰量超标：25口井同学们通过以上数据，计算出相应的频率和概率，并解释结果的含义。
5.合作学习分组讨论，在小组内进行合作学习，完成以下题目：有一组班级的学生成绩数据，如下所示：成绩优秀良好及格不及格学生人数10 25 35 30假设从中随机选出一个学生，求：(1) 选中的学生成绩优秀的概率； (2) 用频率估计成绩较好（不包括不及格）的概率。
6.结束语总结本节课的主要内容，并要求学生预习下一节课内容。
七、作业1.完成教师发放的作业。
2.充分利用生活中的实例，用频率估计概率。
八、板书设计频率和概率的关系用频率估计概率的方法。
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山风吹起来了，黄蝴蝶，红蝴蝶，纷纷空中飞舞。我蹲下身子拾起一片落叶，仿佛看到了自己凋零的心，一串温热的泪水，滴落在早逝的叶片上，滴落在自己冰凉的掌心里。我打了个寒颤，有些倦意的 闭上双眼，恍惚间有位天使轻轻地走来，为我披上了一袭柔和的外衣，心间遂升腾起些潺潺的暖意。 动漫/ 下山时，过三石梁，忆及当年一家三口，同声背诵银河倒挂三石梁的情景。因了曾经，因了儿子，我无怨无悔今生的天作之合。走过风，走过雨，走出深山，走出狭谷，想起了海子的诗：面朝大海，春 暖花开！