广东省广州市广州大学附属中学、铁一中学、广州外国语中学2018届高三上学期期中考试数学(文)试题含解析
广州市铁一中学、广州大学附属中学、广州外国语学校2018-2019三校联考高三第一次理科数学试题(解析版)
广州市铁一中学、广大附中、广外2018－2019三校联考高三第一次理科数学（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据的定义域求出集合；解不等式得到集合，再由交集的运算即可求出结果. 【详解】因为的定义域为，所以；又解不等式得，即，所以.故选A【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可求解，属于基础题型.2.已知复数满足，则A. B. 3 C. 4 D. 5【答案】D【解析】【分析】先由复数的四则运算求出，再由复数模的运算即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故选D【点睛】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模的运算，熟记公式即可求解，属于基础题型.3.已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则该双曲线的标准方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程，先设出双曲线方程，再将点代入即可求出结果.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以可设双曲线的方程为，又双曲线过点，所以，即，所以双曲线的方程为.故选A【点睛】本题主要考查双曲线，由双曲线的渐近线方程求出双曲线方程，只需熟记双曲线性质即可求解，属于基础题型.4.已知满足约束条件，则最大值为A. 6B. 4C. 3D. 1【答案】B【解析】【分析】先由约束条件作出可行域，再将目标函数化为，结合可行域即可求出结果.【详解】由约束条件作出可行域如下：又可化为，所以的最大值，即是直线在轴截距的最大值，由可行域易知，直线过点时，截距最大，即最大值为.故选B【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需先作出可行域，再由目标函数的几何意义即可求解，属于基础题型.5.展开式中x2的系数为A. 15B. 20C. 30D. 35【答案】C【解析】因为(1＋x)6的通项为x r，所以1＋(1＋x)6展开式中含x2的项为1·x2和x4.因为＋＝2＝30，所以1＋(1＋x)6展开式中x2的系数为30.故选C.6.已知函数是上的奇函数，且的图象关于对称，当时，，则的值为A. B. C. 0 D. 1【答案】C【解析】【分析】先根据函数的图象关于对称且是上的奇函数，可求出函数的最小正周期，再由时，，即可求出结果.【详解】根据题意，函数的图象关于对称，则，又由函数是上的奇函数，则，则有，变形可得，即函数是周期为4的周期函数，则，又由函数是上的奇函数，则，故.故选C【点睛】本题主要考查函数的基本性质，周期性、奇偶性、对称性等，熟记相关性质即可求解，属于常考题型.7.下列程序框图中，输出的A的值是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析框图的作用，逐步执行框图，即可求出结果.【详解】执行程序框图如下：初始值，则，进入循环，，进入循环，，进入循环，，进入循环，，进入循环，，进入循环，，进入循环，，进入循环，，结束循环，输出.【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图作用，逐步列举即可取出结果.8.已知点是圆内的一点，直线是以为中点的弦所在的直线，直线的方程为，那么（）A. 且与圆相交B. 且与圆相切C. 且与圆相离D. 且与圆相离【答案】C【解析】试题分析：以点M为中点的弦所在的直线的斜率是，直线m∥l，点M（a，b）是圆内一点，所以，圆心到，距离是，故相离考点：直线与圆的位置关系9.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图中如图所示，已知该几何体的体积为，则图中A. 1B.C. 2D.【答案】B【解析】【分析】由三视图可得：该几何体为一个四棱锥和一个三棱柱组合而成，作出其直观图，分别利用体积公式即可求出结果.【详解】由三视图可得：该几何体为一个四棱锥和一个三棱柱组合而成，作出其直观图如下：所以该几何体的体积为：，解得.故选B【点睛】本题主要考查几何体的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于基础题型.10.已知函数的最大值为2，且满足，则A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】【分析】先由函数的最大值为2求出，再由得是函数的一条对称轴，进而可求出结果.【详解】因为函数的最大值为2，所以，所以，所以，又因为，所以是函数的一条对称轴，所以，所以，又因为，所以或.故选D【点睛】本题主要考查正弦型复合函数的图像和性质，熟记相关性质即可求解，属于常考题型. 11.已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若，则的最小值为（）A. 3B.C.D. 4【答案】A【解析】解析：设，则抛物线的定义及梯形中位线的性质可得，所以由题设可得，因为，即，所以，应选答案A。
广州市铁一中学、广州大学附属中学、广州外国语学校2018-2019三校联考高三第一次理科数学试题(解析版)
广州市铁一中学、广大附中、广外2018－2019三校联考高三第一次理科数学（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据的定义域求出集合；解不等式得到集合，再由交集的运算即可求出结果.【详解】因为的定义域为，所以；又解不等式得，即，所以.故选A【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可求解，属于基础题型.2.已知复数满足，则A. B. 3 C. 4 D. 5【答案】D【解析】【分析】先由复数的四则运算求出，再由复数模的运算即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故选D【点睛】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模的运算，熟记公式即可求解，属于基础题型.3.已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则该双曲线的标准方程为A. B. C. D.【答案】A【分析】根据双曲线的渐近线方程，先设出双曲线方程，再将点代入即可求出结果.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以可设双曲线的方程为，又双曲线过点，所以，即，所以双曲线的方程为.故选A【点睛】本题主要考查双曲线，由双曲线的渐近线方程求出双曲线方程，只需熟记双曲线性质即可求解，属于基础题型.4.已知满足约束条件，则最大值为A. 6B. 4C. 3D. 1【答案】B【解析】【分析】先由约束条件作出可行域，再将目标函数化为，结合可行域即可求出结果.【详解】由约束条件作出可行域如下：又可化为，所以的最大值，即是直线在轴截距的最大值，由可行域易知，直线过点时，截距最大，即最大值为.故选B【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需先作出可行域，再由目标函数的几何意义即可求解，属于5.展开式中x2的系数为A. 15B. 20C. 30D. 35【答案】C【解析】因为(1＋x)6的通项为x r，所以1＋(1＋x)6展开式中含x2的项为1·x2和x4.因为＋＝2＝30，所以1＋(1＋x)6展开式中x2的系数为30.故选C.6.已知函数是上的奇函数，且的图象关于对称，当时，，则的值为A. B. C. 0 D. 1【答案】C【解析】【分析】先根据函数的图象关于对称且是上的奇函数，可求出函数的最小正周期，再由时，，即可求出结果.【详解】根据题意，函数的图象关于对称，则，又由函数是上的奇函数，则，则有，变形可得，即函数是周期为4的周期函数，则，又由函数是上的奇函数，则，故.故选C【点睛】本题主要考查函数的基本性质，周期性、奇偶性、对称性等，熟记相关性质即可求解，属于常考题型.7.下列程序框图中，输出的A的值是A. B. C. D.【答案】B【分析】分析框图的作用，逐步执行框图，即可求出结果.【详解】执行程序框图如下：初始值，则，进入循环，，进入循环，，进入循环，，进入循环，，进入循环，，进入循环，，进入循环，，进入循环，，结束循环，输出.【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图作用，逐步列举即可取出结果.8.已知点是圆内的一点，直线是以为中点的弦所在的直线，直线的方程为，那么（）A. 且与圆相交B. 且与圆相切C. 且与圆相离D. 且与圆相离【答案】C【解析】试题分析：以点M为中点的弦所在的直线的斜率是，直线m∥l，点M（a，b）是圆内一点，所以，圆心到，距离是，故相离考点：直线与圆的位置关系9.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图中如图所示，已知该几何体的A. 1B.C. 2D.【答案】B【解析】【分析】由三视图可得：该几何体为一个四棱锥和一个三棱柱组合而成，作出其直观图，分别利用体积公式即可求出结果.【详解】由三视图可得：该几何体为一个四棱锥和一个三棱柱组合而成，作出其直观图如下：所以该几何体的体积为：，解得.故选B【点睛】本题主要考查几何体的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于基础题型.10.已知函数的最大值为2，且满足，则A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】【分析】先由函数的最大值为2求出，再由得是函数的一条对称轴，进而可求出结果.【详解】因为函数的最大值为2，所以，又因为，所以是函数的一条对称轴，所以，所以，又因为，所以或.故选D【点睛】本题主要考查正弦型复合函数的图像和性质，熟记相关性质即可求解，属于常考题型.11.已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若，则的最小值为（）A. 3B.C.D. 4【答案】A【解析】解析：设，则抛物线的定义及梯形中位线的性质可得，所以由题设可得，因为，即，所以，应选答案A。
广州市铁一中学、广大附中、广外2018-2019高三第一次三校联考文科数学试题及答案
2018---2019学年上学期高三第一次三校联考文 科 数 学试卷共4页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合{}()|,,2A x x a B =≤=-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a ≥ B ．2a > C ．2a ≤ D ．2a <2. 已知复数z 满足+|12|z i i =+,则复数 z 在复平面上对应点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34.已知椭圆C ：2213x y m +=的一个焦点为(01)，，则实数m 的值为（ ） A ．4B．2 D ．2或45. 已知命题:p x R ∀∈,23x x <;命题:q x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝6. 在区间上随机取一个数x ，的值介于0到之间的概率为（ ） A.B. C. D. [,]22ππ-cos x 2131π221327. 已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数4f x π⎛⎫-⎪⎝⎭图象的一个对称中心是（ ） A ．,03π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭C ．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,04π⎛⎫⎪⎝⎭8. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（ ）A ．2 B. 1 C.32D. 39. 已知等比数列}{n a 的各项均为正数，若7344a a a =，则75a a +的最小值为（ ）A ．4 B. 2 C. 1 D.2110. 在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1 B. 2 C. 3 D.4 11. 已知点A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为. （ ）A.213 B.211C.235 D. 23312. 如图所示，在棱长为 6的正方体1111ABCD A BC D -中，点,E F 分别是棱1111,C D B C 的中点，过,,A E F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为（ ）A ．18+．C. D ．10+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若()2+ca b ，则λ=________．14. 函数()(2)xf x x e =-（e 为自然对数的底数）的极大值为15.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =16. 过双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的左焦点向圆222+x y a =作一条切线，若该切线与双曲线的两条渐进线分别相交于第一、二象限，，则该双曲线的离心率为 ．三、解答题：共70分。
广州市铁一中学广州大学附属中学广州外国语学校2018-2019三校联考高三第一次理科数学试题(解析版)
广州市铁一中学、广大附中、广外2018－2019三校联考高三第一次理科数学（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则 A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据的定义域求出集合；解不等式得到集合，再由交集的运算即可求出结果.【详解】因为的定义域为，所以；又解不等式得，即，所以.故选A【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可求解，属于基础题型.2.已知复数满足，则 A. B. 3 C. 4 D. 5【答案】D【解析】【分析】先由复数的四则运算求出，再由复数模的运算即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故选D【点睛】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模的运算，熟记公式即可求解，属于基础题型.3.已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则该双曲线的标准方程为 A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程，先设出双曲线方程，再将点代入即可求出结果.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以可设双曲线的方程为，又双曲线过点，所以，即，所以双曲线的方程为.故选A【点睛】本题主要考查双曲线，由双曲线的渐近线方程求出双曲线方程，只需熟记双曲线性质即可求解，属于基础题型.4.已知满足约束条件，则最大值为 A. 6B. 4C. 3D. 1【答案】B【解析】【分析】先由约束条件作出可行域，再将目标函数化为，结合可行域即可求出结果.【详解】由约束条件作出可行域如下：又可化为，所以的最大值，即是直线在轴截距的最大值，由可行域易知，直线过点时，截距最大，即最大值为.故选B【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需先作出可行域，再由目标函数的几何意义即可求解，属于基础题型.5.展开式中x2的系数为A. 15B. 20C. 30D. 35【答案】C【解析】因为(1＋x)6的通项为x r，所以1＋(1＋x)6展开式中含x2的项为1·x2和x4.因为＋＝2＝30，所以1＋ (1＋x)6展开式中x2的系数为30.故选C.6.已知函数是上的奇函数，且的图象关于对称，当时，，则的值为 A. B. C. 0 D. 1【答案】C【解析】【分析】先根据函数的图象关于对称且是上的奇函数，可求出函数的最小正周期，再由时，，即可求出结果.【详解】根据题意，函数的图象关于对称，则，又由函数是上的奇函数，则，则有，变形可得，即函数是周期为4的周期函数，则，又由函数是上的奇函数，则，故.故选C【点睛】本题主要考查函数的基本性质，周期性、奇偶性、对称性等，熟记相关性质即可求解，属于常考题型.7.下列程序框图中，输出的A的值是 A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析框图的作用，逐步执行框图，即可求出结果.【详解】执行程序框图如下：初始值，则，进入循环，，进入循环，，进入循环，，进入循环，，进入循环，，进入循环，，进入循环，，进入循环，，结束循环，输出.【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图作用，逐步列举即可取出结果.8.已知点是圆内的一点，直线是以为中点的弦所在的直线，直线的方程为，那么（）A. 且与圆相交B. 且与圆相切C. 且与圆相离D. 且与圆相离【答案】C【解析】试题分析：以点M为中点的弦所在的直线的斜率是，直线m∥l，点M（a，b）是圆内一点，所以，圆心到，距离是，故相离考点：直线与圆的位置关系9.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图中如图所示，已知该几何体的体积为，则图中 A. 1B.C. 2D.【答案】B【解析】【分析】由三视图可得：该几何体为一个四棱锥和一个三棱柱组合而成，作出其直观图，分别利用体积公式即可求出结果.【详解】由三视图可得：该几何体为一个四棱锥和一个三棱柱组合而成，作出其直观图如下：所以该几何体的体积为：，解得.故选B【点睛】本题主要考查几何体的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于基础题型.10.已知函数的最大值为2，且满足，则 A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】【分析】先由函数的最大值为2求出，再由得是函数的一条对称轴，进而可求出结果.【详解】因为函数的最大值为2，所以，所以，所以，又因为，所以是函数的一条对称轴，所以，所以，又因为，所以或.故选D【点睛】本题主要考查正弦型复合函数的图像和性质，熟记相关性质即可求解，属于常考题型.11.已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若，则的最小值为（）A. 3B.C.D. 4【答案】A【解析】解析：设，则抛物线的定义及梯形中位线的性质可得，所以由题设可得，因为，即，所以，应选答案A。
广州市铁一中学、广大附中、广外2018-2019三校联考高三第一次理科数学试题
2018-2019学年上学期高三第一次三校联考高三理科数学命题学校：广州大学附属中学 命题人：曹勇 审题人：陈建武本试卷共4页，共23小题，满分150分. 考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题各有四个选项，仅有一个选项正确. 请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．） 1.已知集合}032|{},ln |{2<--===x x x B x y x A ，则=B A （ ）),3.()3,0(.)1,0.()0,1.(+∞-D C B A2.已知复数z 满足i z i -=+3)3(，则=||z （ ）5.4.3.13.D C B A3.已知双曲线的渐近线方程为x y 21±=，且过点），（34，则该双曲线的标准方程为（ ） 13.13.14.14.22222222=-=-=-=-x y D y x C x y B y x A4.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥222y x y x x y ，则y x z 2+=最大值为（ ）1.3.4.6.D C B A5.()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ）35.30.20.15.D C B A6. 已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，且()f x 的图象关于1x =对称，当[0,1]x ∈时，()21x f x =-，则)2018(f 的值为( ) 1.0.1.2.D C B A --7．下列程序框图中，输出的A 的值是（ ）211.201.191.171.D C B A 8．已知()(),0M a b ab ≠是圆222:O x y r +=内一点，现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线l ：2ax by r +=，则( )A .m l ，且l 与圆相离B .m l ，且l 与圆相交C . l m ⊥，且l 与圆相交D .l m ⊥，且l 与圆相离9.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，已知该几何体的体积为635，则图中=x （ ）32.2.3.1.D C B A10.已知函数)0)(2cos()2sin()(R a x a x x f ∈<<+++=，πϕϕϕ的最大值为2，且满足),2()(x f x f -=π则=ϕ（ ） 323.656.32.6.ππππππ或或D C B A11.已知点N M ,是抛物线24x y =上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足,32π=∠MFN 弦MN 的中点P 到直线161-=y l ：的距离记为d ，若,||22d MN λ=则λ的最小值为（ ） 3.31.2.2.D C B A +12. 设()f x '是函数()f x 的导函数，且))((3)(R x x f x f ∈>'，e f =)31(（e 为自然对数的底数），则不等式3)(ln x x f <的解集为（ ）)30.e A ，（ )3,1.(e e B ),0.(3e C ),3.(3e e D二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上） 13.已知向量,a b 的夹角为π3，(3,1)a =，1b =，则-a b =__________． 14.已知53cos =α，且），（20πα∈，则_______)3cos(=+απ.15.已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若7,3==a A π，且ABC ∆的面积为233，则ABC ∆的周长为_______.16.已知C B A P ,,,是半径为2的球面上的点，2===PC PB PA ，2ABC π=∠，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥ABD P -体积的最大值为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=, 424S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列}1{nS 的前n 项和n T .18．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，AC EF //，1=EF ，060=∠ABC ，⊥CE 平面ABCD ，3=CE ，2=CD ，G 是DE 的中点.（1）求证：平面//ACG 平面BEF ；（2）求直线AD 与平面ABF 所成的角的正弦值.19．（本小题满分12分）某保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为C B A ,,三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）：已知C B A ,,三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元.（1）求保险公司在该业务所获利润的期望值； （2）现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议. 20．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点)0,3(1-F ，)0,3(2F ，Q 为平面上的动点，且4||2=Q F ，线段Q F 1的中垂线与线段Q F 2交于点P .（1）求||||21PF PF +的值，并求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若直线l 与曲线E 相交于B A ,两点，且存在点)0,4(D （其中D B A ,,不共线），使得BDO ADO ∠=∠，证明：直线l 过定点.21．（本小题满分12分）已知函数()()ln xe f x a x x x=+-（其中a R ∈且a 为常数，e 为自然对数的底数， 2.71828e =）.（1）若函数()f x 的极值点只有一个，求实数a 的取值范围；（2）当0a =时，若()f x kx m ≤+（其中0m >）恒成立，求()1k m +的最小值()h m 的最大值.选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分. 22． [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，直线l 过点)2,1(P ，且倾斜角为α，)2,0(πα∈.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为12)sin 3(22=+θρ. （1）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，并判断曲线C 是什么曲线； （2）设直线l 与曲线C 相交于N M ,两点，当2||||=⋅PN PM 时，求α的值.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数3|2|)(|,3||2|)(+-=++-=x x g x a x x f . （1）解不等式6|)(|<x g ；（2）若对任意的R x ∈2，均存在R x ∈1，使得)()(21x f x g =成立，求实数a 的取值范围.。
广州市铁一中学、广州大学附属中学、广州外国语学校2018-2019三校联考高三第一次理科数学试题及精品解析
广州市铁一中学、广大附中、广外2018－2019三校联考高三第一次理科数学（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则 A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据的定义域求出集合；解不等式得到集合，再由交集的运算即可求出结果.【详解】因为的定义域为，所以；又解不等式得，即，所以.故选A【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可求解，属于基础题型.2.已知复数满足，则 A. B. 3 C. 4 D. 5【答案】D【解析】【分析】先由复数的四则运算求出，再由复数模的运算即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故选D【点睛】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模的运算，熟记公式即可求解，属于基础题型.3.已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则该双曲线的标准方程为 A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程，先设出双曲线方程，再将点代入即可求出结果.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以可设双曲线的方程为，又双曲线过点，所以，即，所以双曲线的方程为.故选A【点睛】本题主要考查双曲线，由双曲线的渐近线方程求出双曲线方程，只需熟记双曲线性质即可求解，属于基础题型.4.已知满足约束条件，则最大值为 A. 6B. 4C. 3D. 1【答案】B 【解析】【分析】先由约束条件作出可行域，再将目标函数化为，结合可行域即可求出结果.【详解】由约束条件作出可行域如下：又可化为，所以的最大值，即是直线在轴截距的最大值，由可行域易知，直线过点时，截距最大，即最大值为.故选B【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需先作出可行域，再由目标函数的几何意义即可求解，属于基础题型.5.展开式中x2的系数为A. 15B. 20C. 30D. 35【答案】C【解析】因为(1＋x)6的通项为x r，所以1＋(1＋x)6展开式中含x2的项为1·x2和x4.因为＋＝2＝30，所以1＋ (1＋x)6展开式中x2的系数为30.故选C.6.已知函数是上的奇函数，且的图象关于对称，当时，，则的值为 A. B. C. 0 D. 1【答案】C【解析】【分析】先根据函数的图象关于对称且是上的奇函数，可求出函数的最小正周期，再由时，，即可求出结果.【详解】根据题意，函数的图象关于对称，则，又由函数是上的奇函数，则，则有，变形可得，即函数是周期为4的周期函数，则，又由函数是上的奇函数，则，故.故选C【点睛】本题主要考查函数的基本性质，周期性、奇偶性、对称性等，熟记相关性质即可求解，属于常考题型.7.下列程序框图中，输出的A的值是 A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析框图的作用，逐步执行框图，即可求出结果.【详解】执行程序框图如下：初始值，则，进入循环，，进入循环，，进入循环，，进入循环，，进入循环，，进入循环，，进入循环，，进入循环，，结束循环，输出.【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图作用，逐步列举即可取出结果.8.已知点是圆内的一点，直线是以为中点的弦所在的直线，直线的方程为，那么（）A. 且与圆相交B. 且与圆相切C. 且与圆相离D. 且与圆相离【答案】C【解析】试题分析：以点M为中点的弦所在的直线的斜率是，直线m∥l，点M（a，b）是圆内一点，所以，圆心到，距离是，故相离考点：直线与圆的位置关系9.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图中如图所示，已知该几何体的体积为，则图中 A. 1B.C. 2D.【答案】B【解析】【分析】由三视图可得：该几何体为一个四棱锥和一个三棱柱组合而成，作出其直观图，分别利用体积公式即可求出结果.【详解】由三视图可得：该几何体为一个四棱锥和一个三棱柱组合而成，作出其直观图如下：所以该几何体的体积为：，解得.故选B【点睛】本题主要考查几何体的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于基础题型.10.已知函数的最大值为2，且满足，则 A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】【分析】先由函数的最大值为2求出，再由得是函数的一条对称轴，进而可求出结果.【详解】因为函数的最大值为2，所以，所以，所以，又因为，所以是函数的一条对称轴，所以，所以，又因为，所以或.故选D【点睛】本题主要考查正弦型复合函数的图像和性质，熟记相关性质即可求解，属于常考题型.11.已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若，则的最小值为（）A. 3B.C.D. 4【答案】A【解析】解析：设，则抛物线的定义及梯形中位线的性质可得，所以由题设可得，因为，即，所以，应选答案A。
2017-2018学年广东省广州大学附中、铁一中学、外国语中学高三上学期期中数学试卷(文科)[word答案]
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2017-2018学年广东省广州大学附中、铁一中学、外国语中学高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题0分，满分0分）1．若集合A={x|x2﹣x﹣12≤0}，B={x|﹣5＜x＜1}，A∩B=（）A．（﹣5，1）B．（1，4]C．[﹣3，﹣1）D．[﹣3，1）2．已知复数z满足z（1+i）3=1﹣i（i为虚数单位），则|z|为（）A．B．C．D．13．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率？（）A．B．C．D．4．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=15．将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（）A．y=sin（x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin x D．y=sin（x﹣）6．如图所示的程序框图，若输出的S=127，则判断框内填入的条件是（），。
，?!!？？！！..A．i＞5？B．i＞6？C．i≤5？D．i≤6？7．若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a m=4，S m=0，S m+2=14（m≥2），且m∈N*，则a2017的值为（）A．2018 B．4028 C．5037 D．30199．已知x，y满足，若目标函数z=3x+y的最大值为10，则z的最小值为（）A．4 B．5 C．﹣4 D．﹣510．设0＜x＜，记a=ln（tanx），b=tanx，c=e tanx，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a11．已知圆（x+3）2+y2=64的圆心为M，设A为圆上任一点，点N的坐标为（3，0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则的取值范围是（）A．[，8]B．[，6]C．[，7]D．[，4]12．如图，OPQ是半径为1，∠PO Q=α的扇形，C是弧PQ上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=x，cosα＝，当x=θ时四边形ABCD的面积S取得最大，则cosθ的值为（）A．B．C．D．二、填空题13．已知向量=（1，2），=（a，﹣1），若（+）⊥，则实数a的值为．14．若函数f（x）=（a＞0，且a≠1）的值域为（﹣∞，2]，则实数a的取值范围为．15．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…+log3a10=．16．如图，三棱锥A﹣BCD的顶点A、B、C、D都在同一球面上，BD过球心O，且BD=2，△ABC是边长为等边三角形，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP=CQ，则三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．。
广东省广州大学附属中学、铁一中学等中学2018-2019学年高二上学期期中数学(文)试题(含解析)
C.
������2
=
3������
2
D.
������2
=
9������
2
12. 已知正三角形 ABC 的边长为 2 3，平面 ABC 内的动点 P，M 满足|AP|=1，M 是 PC 的中点，则|BM|2 的最大值是（ ）
7
49
A. 2
B. 4
C. 7
D. 49
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
3，则图中 x=（
）
A. 1
B. 3
C. 2
D. 2 3
11. 如图，过抛物线 y2=2px（p＞0）焦点 F 的直线 l 交抛物线于点
A、B，交其准线于点 C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物
线的方程为（ ）
A. ������2 = 3������
B. ������2 = 9������
【解析】
解：由 2017 年 1 月至 2017 年 11 月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公 里）的数据，绘制的折线图，知： 在 A 中，月跑步平均里程的中位数为 5 月份对应的里程数，故 A 错误； 在 B 中，月跑步平均里程 2 月、7 月、8 月和 11 月减少，故 B 错误； 在 C 中，月跑步平均里程高峰期大致在 9、10 月，故 C 错误； 在 D 中，1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变 化比较平稳，故 D 正确． 故选：D． 月跑步平均里程的中位数为 5 月份对应的里程数；月跑步平均里程 2 月、7 月、 8 月和 11 月减少；月跑步平均里程高峰期大致在 9、10 月；1 月至 5 月的月跑 步平均里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳． 本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数 据处理能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题． 5.【答案】A
(解析版)广东省广州市广州大学附属中学、铁一中学、广
2017—2018学年第一学期期中三校联考高三文科数学1. 若集合，，（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，集合中，，即，所以，故选D.2. 已知复数满足（为虚数单位），则为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由，则，所以，故选A.3. 甲、乙两校各有名教师报名支教，其中甲校男女，乙校男女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选名，求选出的名教师性别相同的概率？【答案】【解析】试题分析：由题意从甲校和乙校报名的教师中各任选名，列出基本事件的总数，利用古典概型的概率公式，即可求解概率值.试题解析：若从甲校和乙校报名的教师中各任选名，写出所有可能的结果有：，，，，，，，，共计个，选出的名教师性别相同的结果有，，，，共计个．故选出的名教师性别的概率为4. 已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的方程为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为，∵双曲线的渐近线与圆相切，∴，∴，∵双曲线的一个焦点为，∴，∴，，∴双曲线的方程为．故选D．考点：双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用．5. 将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍，（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位，则所得函数图像对应的解析式为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象对应的解析式为，再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为，本题选择A选项.6. 如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内填入的条件是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，执行程序可图，可得；第一次循环：；第二次循环：第三次循环：第四次循环：第五次循环：第六次循环：7. 若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】根据几何体的三视图，可得如图为所求几何体为（如图所示）的三棱锥：其中底面为直角边长分别为的直角三角形，高为，所以几何体的体积为．故选．8. 设等差数列的前项和为，若，，，且，则的值为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，设等差数列的首项为，公差为，则，解得，所以，所以，故选B.9. 已知，满足，若目标函数的最大值为，则的最小值为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，画出不等式组对应的平面区域，如图所示：由得，平移直线，则由图像可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，为，由，解得，即，此时在上，则，当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，由，得，即，此时，故选D.10. 设，记，，，则，，的大小关系为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】令，则，作出函数图象，如图所示，又，，，由图可得，故选A.11. 已知圆的圆心为，设为圆上任一点，点的坐标为，线段的垂直平分线交于点，则的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，圆的圆心为，设为圆上任一点，点的坐标为，线段的垂直平分线交于点，∴是的垂直平分线上一点，∴，又∵，所以点满足，即点满足椭圆的定义，焦点是，，半长轴，故点轨迹方程式，所以，，∵，∴，所以，故选．点睛：本题考查了圆的性质，椭圆的标准方程的求解以及椭圆的定义的应用，本题通过利用圆的性质和椭圆的定义，确定椭圆的方程，再利用椭圆的定义，进而确定结果，试题着重考查了转化与化归思想和运算求解能力，以及分析问题和解答问题的能力.12. 如图，是半径为，的扇形，是弧上的点，是扇形的内棱矩形，经，若，且当时，四边形的面积取得最大，则的值为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，则，，，则∴，∴，∴，当的最大值时，，故选B.点睛：此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角函数的定义，三角函数的基本关系式，三角函数的恒等变换，得到三角函数的解析式，进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围，难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.二、填空题13. 已知向量，，若，则实数的值为__________．【答案】3【解析】由，则，解得.14. 若函数，且的值域为，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】由，图象如图所示，若要使值域为，则，且，，∴，∴的取值范围为．15. 等比数列的各项均为正数，且，则__________．【答案】10【解析】因为等比数列的各项均为正数，且，所以，∴，所以．点睛：本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、对数的运算性质和等比中项公式的应用，对于等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列性质在解题中的应用，同时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.16. 如图，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上，过球心且，是边长为等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为__________．【答案】【解析】设，∵为中点，，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面，∴是三棱锥的高，，∴，，在中，，，∴，，∴．，当且仅当时取等号，∴三棱锥体积的最大值为．点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）根据结合体的结构特征，利用球的性质，列出方程，求得求得半径.三、解答题17. 在锐角中，，，为内角，，的对边，且满足．（）求角的大小．（）已知，边边上的高，求的面积的值．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（）由，利用正弦定理和三角函数的恒等变换，可得，即可得到角的值；（）由三角形的面积公式，代入，解得的值，及的值，再根据余弦定理，求得的值，由三角形的面积公式，即可求解三角形的面积.试题解析：（）∵，由正弦定理得，∴，，∵且，∴，∵，．（）∵，代入，，，得，由余弦定理得：，代入，得，解得，或，又∵锐角三角形，∴，∴，∴18. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，且，平面平面，，，．（）求证：平面平面．（）若，为等边三角形，求点到平面的距离．【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（）根据勾股定理，得，利用面面垂直的性质，证得平面，即可证明平面平面；（）设中点，的中点为，得，进而由（1）求得，再根据体积相等法，即可求解点到平面的距离．试题解析：（）证明：，，，，即，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．（）设中点，的中点为，因为为等边三角形，所以有，因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以，由（）可得，设点到平面的距离为，因为，所以，所以点到平面的距离为．19. 某中学随机选取了名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，观察图中数据，完成下列问题．（）求的值及样本中男生身高在（单位：）的人数．（）假设用一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高．（）在样本中，从身高在和（单位：）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于的概率．【答案】（1）4；（2）0.4【解析】试题分析：（）由题意，根据频率分布直方图各个矩形的面积之和为，即可求解的值，进而得到身高在的频率和人数为；（）根据平均数的计算公式，即可求解全校男生的平均身高；（）根据频率分布直方图，可得身高在和内的男生的人数，再利用古典概型的概率计算公式，即可求解相应的概率.试题解析：（）由题意：，身高在的频率为，人数为．（）设样本中男生身高的平均值为，则：，所以，估计该校全体男生的平均身高为．（）在样本中，身高在和（单位：）内的男生分别由人，人，从身高在和（单位：）内的男生中任选两人，有种，这两人的身高都不低于，有种，所以所求概率为．20. 如图，已知抛物线，交点为，直线交抛物线于，两点，为中点，且．（）求抛物线的方程．（）若过作抛物线的切线，过作轴平行的直线，设与相交于点，与相交于点，求证：为定值，并求出该定值．【答案】（1）；（2）1【解析】试题分析：（）根据抛物线的定义，列出方程，求得的值，即可得到抛物线的方程；（）设过的切线方程为，联立方程组，根据，求得的值，结合的方程，得到，即可求得，得到结论.试题解析：（）根据抛物线的定义知，，∵，∴，∴的方程为．（）设过的切线方程为，联立与切线的方程得，∴，解得，∴过点的切线方程为，联立直线的方程，解得点，∴，∴，∴，∴，即的定值为．21. 设函数，．（）设，讨论函数的单调性．（）设，求证：当时，．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（）求得，分两种讨论，即可求解函数的单调性；（）当，由（）可知，当时，，在上单调递增，当时，，是低调递减，得在取得最大值，得到，代入得，得到，即可作出证明.试题解析：（）∵，且定义域为，当时，，∴在上单调递增，当时，，有，当，，当，，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，综上，当时，在上单调递增，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．（）∵，由（）可知，在上单调递增，∵，，∴存在唯一，使得，且，∵，∴有或，当时，，在上单调递增，当时，，是低调递减，∴在取得最大值，即为在区间的最大值，∴，∵，∴，代入，∵在在单调递增，，∴，∴当时，有．点睛：本题主要考查导数、函数的性质,考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题； (4)考查数形结合思想的应用.22. 以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线的参数方程为，（为参数，且），曲线的极坐标方程为．（）求的极坐标方程与的直角坐标方程．（）若是上任意一点，过点的直线交于点，，求的取值范围．【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（）消去参数，即可得到的普通方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到的极坐标方程，同理可得的直角坐标方程；（）设，把直线的参数方程代入曲线的方程，利用直线参数的几何意义，即可得到的取值范围.试题解析：（）消去参数可得，由，则，，∴曲线是在轴上方的部分，∴曲线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．（）设，则，直线的倾斜角为，则直线的参数方程为：（为参数），代入的直角坐标方程得，由直线参数方程中的几何意义可知，因为，∴．23. 已知函数．（）解关于的不等式．（），，试比较与的大小．【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（）分类讨论，去掉绝对值，即可求解不等式的解集；（）由题意得，根据绝对值不等式得，，作差比较，即可作出比较.试题解析：（）当时，，，即为，解得，即为，当时，，，即为，解得，即为，当时，，，即为，解得，即为，综上可得，或．则解集为．（）由于，则，，，由于，，则，，即有，则．。
2017-2018广东省广州市广州大学附属中学、铁一中学等高三上9月联考(文科)数学真题卷(含解析)
“超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（文）一、选择题1．已知i 是虚数单位，复数i1i z =+，则z 的虚部为（）．A ．1i 2B ．1i 2- C ．12D ．12-【答案】C 【解析】i i(1i)1i 11i 1i (1i)(1i)222z -====-++++，所以虚部为12． 故选C ．2．已知集合2{log (4)}A x y x ==-，2{230}B x x x =-->，则A B = （）．A ．(3,4)B ．(,1)-∞-C ．(,4)-∞D ．(3,4)(,1)-∞-【答案】D【解析】{4}A x x =<，{1B x x =<-或3}x >，所以{1A B x x =<- 或34}x <<． 故选D ．3．设m 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程2310x mx =++有实数根的概率为（）．A ．56B ．23C ．12D ．13【答案】C【解析】因为方程2310x mx =++有实根，所以0∆≥， 即2120m -≥，所以m ≥m -≤又因为{1,2,3,4,5,6}m ∈，所以4,5,6m =，所以所求概率3162P ==． 故选C 4．《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的一段话“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．”用程序框图表示如图，那么这个程序的作用是（）．A ．求两个正数a ,b 的最大公约数B ．求两个正数a ，b 的最小公倍数C ．判断其中一个正数是否能被另一个正数整除D ．判断两个正数a ,b 是否相等 【答案】A【解析】此框图的功能就是求两个正数a ，b 的最大公约数． 故选A ．5．下列说法正确的是（）．A ．命题“若2340x x --=，则4x =．”的否命题是“若2340x x --=，则4x ≠．”B ．0a >是函数a y x =在定义域上单调递增的充分不必要条件C ．0(,0)x ∃∈-∞，0034x x <D ．若命题:p n ∀∈N ，3500n >，则0:p n ⌝∃∈N ，03500n ≤ 【答案】D【解析】A 中，命题的否命题是“若2340x x --≠，则4x ≠．”，所以A 不正确； B 中，当2a =时，2y x =在定义域上不单调，充分性不成立，所以B 不正确； C 中，因为(,0)x ∈-∞，34x x >恒成立，所以C 不正确； D 中，全称命题的否命题是特称命题，所以D 正确． 故选D ．6．若实数x ，y 满足3,,23,x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥++则y z x =的取值范围为（）．A ．(1,)∞+B ．[1,)∞+C ．(2,)∞+D ．(0,1)【答案】B【解析】作出可行域如图中阴影部分（含边界）所示，yz x=表示可行域内的点与点(0,0)连线的斜率，由图可得1k ≥． 故选B ．7．在ABC △中，4AB =，6BC =，π2ABC ∠=，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且AE BD ⊥，则A E B C ⋅= （）．A ．16B ．12C ．8D ．4-【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则(4,0)A ，(0,0)B ，(0,6)C ，(2,3)D ．设(0,)E b ，因为AE BD ⊥，所以0AE BD ⋅= ，即(4,)(2,3)0b -⋅=，所以83b =，所以80,3E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，84,3AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以16AE BC ⋅= ．故选A ．8．将函数π()2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭+的图象向右平移π6ω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为（）． A ．3 B ．2 C ．32D ．125【答案】B【解析】将()f x 的图象向右平移π6ω得ππ()2sin 66g x x ωω⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦+，即()2sin()g x x ω=的图象．所以当()y g x =满足ππ2π,2π()22x k k k ω⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦Z ++，即π2ππ2π,()22k k x k ωωωω⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦Z ++时，()y g x =单调递增． 因为()y g x =在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以ππ26ππ24ωω⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≥，即2ω≤．故选B ．9．已知数列{}n a 满足1,*2,*2n n n n a d a n qa ⎧∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩N N ++（q 为非零常数），若{}n a 为等比数列，且首项为(0)a a ≠，公比为q ，则{}n a 的通项公式为（）．A ．n a a =或1n n a q -=B ．1(1)n n a a -=-C ．n a a =或1(1)n n a a -=-D ．1n n a q -=【答案】C【解析】由已知得1a a =，2a a d =+，3()a a d q =+，4()a a d q d =++，由2132a a a ⋅=，得a d aq =+，由2243a a a ⋅=，得2()()a d q a d q d =+++，两式联立得0,1d q =⎧⎨=⎩或2,1,d a q =-⎧⎨=-⎩所以1(1)n n a a -=-或n a a =．故选C ．10．已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，P 是y 轴正半轴上一点，以OP 为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点M （O 为坐标原点）．若P ，M ，F 三点共线，且MFO △的面积是PMO △的面积的3倍，则双曲线C 的离心率为（）．ABC ．2D 【答案】C【解析】设(0,)P m ，(,0)F c ，所以直线:1x yPF c m=+，与渐近线b y x a =，联立得,acm bcm M am bc am bc ⎛⎫ ⎪⎝⎭++，由MFO △的面积是PMO △的面积的3倍，得3FM MP =，所以3bc m a =，所以,44c bc M a ⎛⎫⎪⎝⎭， 以OP 为直径的圆的方程为22224m m x y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭+，由点,44c bc M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足圆的方程，得223a b =，所以224c a =，即2e =．故选C ．11．已知函数()e ||x f x a x =-有三个零点，则实数a 的取值范围为（）．A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．(0,e)D ．(e,)∞+【答案】D【解析】函数()e ||x f x a x =-有三个零点等价于()e x g x =与()||h x a x =有三个交点， 当0a ≤时，()e x g x =与()||h x a x =显然没有交点，不符合题意； 当0a >时，当0x <时，()e x g x =与()||h x a x =有且仅有一个交点； 当0x ≥时，()e x g x =与()||h x a x =得有两个交点， 即转化为求()h x ax =与()e x g x =相切时a 的值， 设切点00(,e )x P x ，()e x g x '=，切线斜率为0e x k =，所以切线方程为000e e ()x x y x x -=-，切线过(0,0)点，所以01x =，即e k =． 所以当0x ≥时，若()e x g x =与()h x ax =有两个交点，则e k >． 综上，函数()e ||x f x a x =-有三个零点时e a >． 故选D ．12．若正四棱锥P ABCD-内接于球O，且底面ABCD过球心O，则球O的半径与正四棱锥P ABCD-内切求的半径比为（）．A1B．2CD1【答案】A【解析】设球O的半径为R，正四棱锥P ABCD-内切球半径为r，即2211))433R r⎡⨯⨯=⨯⎢⎣⎦+，得1Rr．故选A．二、填空题13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________．【答案】π8+【解析】该几何体为前面是底面半径为1，高为2的半个圆柱，后面是棱长为2的正方体的组合体，所以体积为1π28π82⨯⨯=++．14．已知直线y x b=+与圆222x y=+相交于A，B两点，O为坐标原点，若1OA OB⋅=-，则b= _________．【答案】1±【解析】设11(,)A x y，22(,)B x y，直线y x b=+与圆222x y=+，联立得222220x bx b-=++．所以222(2)42(2)1640b b b∆=-⨯⨯-=->，即22b-<<，则12x x b=-+，2121(2)2x x b=-，由1OA OB⋅=-,22121212122()21x x y y x x b x x b b==-=-++++，所以21b=，所以1b=±．15．已知函数323()232tf x x x x t=-++在区间(0,∞+)上既有极大值又有极小值，则t的取值范围是__________．【答案】90,8⎛⎫⎪⎝⎭俯视图正视图侧视图【解析】函数323()232t f x x x x t =-++在区间(0,∞+)上既有极大值又有极小值等价于方程()f x '在区间(0,)∞+上有两个互异实根1x ，2x ，由已知，2()32f x tx x '=-+，123x x t =+，122x x t=，则10x >，20x >，0∆>，即302980t tt ⎧>⎪⎪⎪>⎨⎪->⎪⎪⎩，所以908t <<．16．已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，22a =，11b =-，且对任意的正整数m ，n ，p ，q ，当m n p q =++时，都有m n p q a b a b -=-，则201811()2018i i i a b =-∑的值是___________．【答案】2019【解析】对任意的正整数m ，n ，p ，q ，当m n p q =++时，都有m n p q a b a b -=-， 所以2112a b a b -=-，所以22b =-，所以112n n a b a b -=-+，所以11n n a a -=+， 所以n a n =，所以211n n a b a b -=-+，所以11n n b b -=-+，所以n b n =-， 所以2n n a b n -=，20181122111120182019()[()()()]220192018201820182i i n ni a b a b a b a b =⨯-=---=⨯⨯=∑ +++．三、解答题 17．（12分）已知ABC △中，AC =,4BC =，π4ABC ∠=． （1）求角A 和ABC △的面积． （2）若CD 为AB 上的中线，求2CD ． 【答案】【解析】由4sin sin 4BAC ∠1sin 2BAC ∠=，又BC AC <，则π4BAC ∠<，解得π6BAC ∠=， 所以7π12ACB ∠=． 所以ABC △的面积17π4sin 1)212S =⨯⨯=．（2）设AB x =，则ABC △中，由余弦定理得2π32168cos 4x x =-+，即2160x --=，解得x =，∴BD =．在BCD △中，由余弦定理222π2cos 164CD BC BD BC BD =-⋅=-+18．（12分）如图1，四边形ABCD 为等腰梯形，2AB =，1AD DC CB ===，将ADC △折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，E 为AB 的中点．（1）求证：BC AD ⊥． （2）求E 到平面BCD 的距离． 【答案】【解析】（1）证明：在图1中，作CH AB ⊥于H ，则12BH =，32AH =，又1BC =，∴CH =，∴CA AC BC ⊥．∵平面ADC ⊥平面ABC ，且平面ADC 平面ABC AC =，∴BC ⊥平面ADC ， 又AD ⊂平面ADC ， ∴BC AD ⊥．（2）如图2，∵E 为AB 的中点，∴E 到平面BCD 的距离等于A 到平面BCD 距离的一半． 而平面ADC ⊥平面BCD ，所以过A 作AQ CD ⊥于Q ，又由AQ BC ⊥，BC CD C = ，则AQ ⊥平面BCD ，AQ 就是A 到平面BCD 的距离． 由图易得AQ CH ==∴E 到平面BCD ．图1D AB C图2C DBAEH CBAD 图1Q E ABDC 图219．（12分）某研究小组为了研究某品牌智能手机在正常使用情况下的电池供电时间，分别从该品牌手机的甲、乙两种型号中各选取6部进行测试，其结果如下：（1（2）为了进一步研究乙种手机的电池性能，从上述6部乙种手机中随机抽取2部，求这两部手机中恰有一部手机的供电时间大于该种手机供电时间平均值的概率． 【答案】【解析】（1）甲的平均值1=(121230)2020.56x --=甲+++++，乙的平均值1(2 2.5032 2.5)2020.56x =--=乙+++++．甲的方差222222135=(20.519)(20.518)(20.521)(20.522)(20.520)]612s -----=甲++++．乙的方差222222114=[(20.518)(20.517.5)(20.520)(20.523)(20.522)(20.522.5)]63s 2------=乙+++++．因为甲、乙两种手机的平均数相同，甲的方差比乙的方差小，所以认为甲种手机电池质量更好． （2）由题意得上述6部乙种手机中有3部手机的供电时间大于该种手机供电时间平均值，记它们分别是1A ，2A ，3A ，其余的为1a ，2a ，3a ，从上述6部乙种手机中随机抽取2部的所有结果为12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A a ，12(,)A a ，13(,)A a ，23(,)A A ，21(,)A a ，22(,)A a ，23(,)A a ，31(,)A a ，32(,)A a ，33(,)A a ，12(,)a a ，13(,)a a ，23(,)a a 共15种．其中恰有一部手机的供电时间大于该种手机供电时间平均值的结果为11(,)A a ，12(,)A a ，13(,)A a ，21(,)A a ，22(,)Aa ，23(,)A a ，31(,)A a ，32(,)A a ，33(,)A a 共有9种．所以所求概率为93155P ==． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b=>>+过点．（1）求椭圆E 的方程．（2）直线:l y x m =+与E 相交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点C ，使ABC △为正三角形，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】【解析】（1）由已知22222211a b ca abc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩++，解得2a =，b∴椭圆E 的方程为22142x y =+．（2）把y x m =+代入E 的方程得2234240x mx m -=++．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1243m x x =-+，212243m x x -=，28(6)0m ∆=->，m ，||AB设AB 的中点为P ，则12223P x x m x ==-+，3P P m y m x ==+，∴2,33m m P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴:3m PC y x =--，令0x =，则0,3m C ⎛⎫- ⎪⎝⎭．由题意知，|||PC AB =，43m =0∆>，∴直线l的方程为y x =．21．（12分）已知函数()ln f x x =，21()2g x ax x =-，a ∈R ．（1）设()()()h x f x g x =-，若(1)0h =，求()h x 的单调区间． （2）设0m n >>，比较()()f m f n m n --与222nm n +的大小．【答案】【解析】（1）∵1(1)102h a =-=+，所以2a =，此时2()ln h x x x x =-+，0x >，2112()21x xh x x x x-'=-=++．∵0x >，由()0h x '>得01x <<，由()0h x '<得1x >， ∴()h x 的单调区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)∞+． （2）设()[()()]()x m f x f m x m ϕ=---，0x >，则()m xx xϕ-'=， 当(0,)x m ∈时，()0x ϕ'>，∴()x ϕ在(0,)m 上单调递增．∵0m n >>，∴()()0n m ϕϕ<=，即[()()]()0m f n f m n m ---<，∴()()1f m f n m n m->-．又∵222m n mn >+，∴2221n m n m<+， ∴22()()2f m f n nm n m n->-+．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）已知圆2,:2x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，点A ，B 的极坐标分别为(1,π)，(1,0)．（1）求圆C 的极坐标方程．（2）若P 为圆C 上的一动点，求22||||PA PB +的取值范围． 【答案】【解析】（1）把圆C 的参数方程化为普通方程为22(2)(2)2x y --=+，即224460x y x y --=++， 由222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，得圆C 的极坐标方程为24cos 4sin 60ρρθρθ--=+．（2）设(2,2)P θθ，A ，B 的直角坐标分别为(1,0)-，(1,0)，则222222||||(3)(2)(1)(2)PA PB θθθθ=++++ π2216sin [6,38]4θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭++，所以22||||PA PB +的取值范围为[6,38]．23．【选组4—5“不等式选讲”】（10分） 已知函数()|21||2|f x x x =--+． （1）求不等式()3f x ≥的解集． （2）若11()(,0)f x m n m n≥≥+对任意x ∈R 恒成立，求m n +的最小值． 【答案】【解析】（1）13321()12233(2)x x f x x x x x ⎧⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪->⎪⎩≤≤++，其图象如图所示，由图可知()3f x ≥的解集为{0x x ≤或2}x ≥． （2）由图知min 3()2f x =，∴1132m n ≤+，∴32m n mn ≤+， 即233222m n m n mn ⎛⎫⎪⎝⎭≤≤++，当且仅当m n =时等号成立．∵m ，0n >，解得83m n ≥+，当且仅当m n =是等号成立，8 3．故m n+的最小值为。
广东省广州大学附属中学、铁一中学、广州外国语中学2018-2019学年高二上学期期中数学(文)试题(解析版)
2018-2019学年广东省广州市铁路一中、外国语学校、广州大学附属中学三校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A ={1，2，3}，B ={x |x 2＜9}，则A ∩B =（ ）A. 0，1，2，B. 0，1，{‒2,‒1,3}{‒2,‒1,2}C. 2， D. {1,3}{1,2}2.已知命题p ：∀x ＞0，总有（x +1）e x ≥1，则¬p 为（ ）A. ，使得B. ，使得∃x 0≤0(x 0+1)ex 0≤1∃x 0>0(x 0+1)e x 0≤1C. ，使得 D. ，总有∃x 0>0(x 0+1)ex 0<1∀x ≤0(x 0+1)e x 0≤13.下列函数中，在区间（-1，1）上为减函数的是（ ）A.B. C. D. y =11‒x y =cosx y =2‒x y =ln(x ‒1)4.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（ ）A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B. 月跑步平均里程逐月增加C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳5.双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（ ）x 2a 2‒y 2b 23A. B. C. D. y =±2x y =±3x y =±22x y =±32x6.下列推断错误的个数是（ ）①命题“若x 2-3x +2=0，则x =1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2-3x +2≠0”②命题“若x 2=1，则x =1”的否命题为：若“x 2=1，则x ≠1”③“x ＜1”是“x 2-3x +2＞0”的充分不必要条件④若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题．A. 1B. 2C. 3D. 47.为得到函数y =-sin2x 的图象，可将函数y =sin （2x -）的图象（ ）π3A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位π3π6C.向右平移个单位 D. 向右平移个单位π32π38.设直线y =x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为（ ）|AB|=23A. B. C. D. π2π4π6π9.阅读程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）A. 9B. 11C. 13D. 1510.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图中如图所示，已知该几何体的体积为，则图中x =（ ）563A. 1B.C. 2D. 32311.如图，过抛物线y 2=2px （p ＞0）焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |=2|BF |，且|AF |=3，则此抛物线的方程为（ ）A. y 2=3xB. y 2=9xC. y 2=32xD.y 2=92x 12.已知正三角形ABC 的边长为2，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP |=1，M 是PC 的中点，则|BM |2的最大值3是（ ）A. B. C. 7 D. 4972494二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知平面向量=（1，2），=（-2，m ），且⊥，则|=______．⃗a ⃗b ⃗a ⃗b |⃗b 14.某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为______的学生．15.已知，则=______．sin(α‒π3)=14cos(π3+2α)16.已知函数f （x ）=，若f （x 1）=f （x 2）=f （x 3）（x 1，x 2，x 3互不相等），则实数x 1+x 2+x 3的{|2x +1|,x ≤1log 2(x ‒1),x >1取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c =sin C +c cos A ．3a （1）求A ；（2）若a =8，△ABC 的面积为4，求b +c ．318.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =，{b n }为等差数列，且a 1=b 1，a 2（b 2-b 1）=a 1．2‒12n ‒1（Ⅰ）求数列{a n }和{b n }通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n }的前n 项和T n ．c n =b n a n 19.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠BAD =60°，AB =2，PD =，O 为AC 与6BD 的交点，E 为棱PB 上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若PD ∥平面EAC ，求三棱锥P -EAD 的体积．20.在某单位的食堂中，食堂每天以10元/斤的价格购进米粉，然后以4.4元/碗的价格出售，每碗内含米粉0.2斤（其余材料忽略不计），如果当天卖不完，剩下的米粉以2元/斤的价格卖给养猪场根据以往统计资料，得到食堂某天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂某天购进了80斤米粉，以x （单位：斤）（其中50≤x ≤100）表示米粉的需求量，T （单位：元）表示利润．（1）计算当天米粉需求量的中位数和平均数；（2）将T 表示为x 的函数；（3）根据直方图估计该天食堂利润不少于760元的概率．21.椭圆E ：=1（a ＞b ＞0）经过点A （0，-1），且离心率为．x 2a 2+y 2b 222（1）求椭圆E 的方程；（2）经过点（1，1），且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q （均异于点A ），求直线AP 与AQ 的斜率之和．22.已知函数f （x ）=x |x -a |+，g （x ）=2x +x -2．12（1）当a =1时，讨论函数f （x ）的单调性；（2）当a ＞0时，对任意x 1∈[1，2]，存在x 2∈[1，3]使得f （x 1）≥g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B的值．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}={x|-3＜x＜3}，∴A∩B={1，2}．故选D．2.【答案】C【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x≥1，则¬p为∃x0＞0，使得．故选：C．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=，在（-1，1）上为增函数，不符合题意；对于B，y=cosx，在（-1，0）上为增函数，在（0，1）上为减函数，不符合题意；对于C，y=2-x=（）x，在R上为减函数，符合题意；对于D，y=ln（x-1），其定义域为（1，+∞），在（-1，1）上不具有单调性，不符合题意．故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．本题考查函数的单调性判断，关键四掌握常见函数的单调性，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制的折线图，知：在A中，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数，故A错误；在B中，月跑步平均里程2月、7月、8月和11月减少，故B错误；在C中，月跑步平均里程高峰期大致在9、10月，故C错误；在D中，1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确．故选：D．月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程2月、7月、8月和11月减少；月跑步平均里程高峰期大致在9、10月；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳．本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．5.【答案】A【解析】解：∵双曲线的离心率为e==，则=====，即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，故选：A．根据双曲线离心率的定义求出a，c的关系，结合双曲线a，b，c的关系进行求解即可．本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：对于①，命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0”正确；对于②，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：若“x2≠1，则x≠1”，故错对于③，“x＜1”时“x2-3x+2＞0”成立，“x2-3x+2＞0”时“x＞2，或x＜1“，故正确；对于④，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故错．故选：B．①，根据命题与其逆否命题的关系判定；②，命题“的否命题，同时否定条件、结论”③，“x＜1”时“x2-3x+2＞0”成立，“x2-3x+2＞0”时“x＞2，或x＜1“；④，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题．本题考查了命题真假判定，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：将函数y=sin（2x-）=-sin（2x-+π）=-sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得函数y=-sin[2（x-）+]=-sin2x的图象，故选：C．利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：圆C：x2+y2-2ay-2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，∵直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，且|AB|=2，∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d=，即+3=a2+2，解得：a2=2，故圆的半径r=2．故圆的面积S=4π，故选：C．圆C：x2+y2-2ay-2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积．本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档．9.【答案】A【解析】解：模拟执行程序，可得i=1，S=0，S=lg3，不满足条件1＜S，执行循环体，i=3，S=lg3+lg=lg5，不满足条件S＞1，执行循环体，i=5，S=lg5+lg=lg7，不满足条件S＞1，执行循环体，i=7，S=lg7+lg=lg9，不满足条件S＞1，执行循环体，i=9，S=lg9+lg=lg11，满足条件S＞1，终止循环，输出i的值为9．故选：A．模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能是S＞1时终止循环；根据S的值求出终止循环时的i 值．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：如图所示，由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱锥与三棱柱的组合体，其直观图如下图所示：∴该几何体的体积为=1×+，解得x=．故选：B．如图所示，由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱锥与三棱柱的组合体，其直观图如下图所示，分别利用体积计算公式即可得出．本题考查了四棱锥与三棱柱的三视图与体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，∴∠NCB=30°，有|AC|=2|AM|=6，设|BF|=x，则2x+x+3=6⇒x=1，而x1+=3，x2+=1，且x1x2=，∴（3-）（1-）=，解得p=．得y2=3x．故选：A．根据过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定义，可得∠NCB=30°，设A（x1，y1），B（x2，y2），|BF|=x，而x1+=3，x2+=1，且x1x2=，即有（3-）（1-）=，可求得p的值，即求得抛物线的方程．此题是个中档题．考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．12.【答案】B【解析】解：如图所示，建立直角坐标系，B（0，0），C（2，0），A（，3）．∵M满足||=1，∴点P的轨迹方程为：（x-）2+（y-3）2=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又M是的中点，则M（cosθ，sinθ），∴||2=（cosθ）2+（sinθ）2=+3sin（θ+）≤．∴||2的最大值是．故选：B．如图所示，建立直角坐标系，B（0，0），C（2，0），A（，3），点P的轨迹方程为：（x-）2+（y-3）2=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π），又M是的中点，可得M点坐标，代入||2计算即可得答案．本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】5【解析】解：∵⊥，∴•=-2+2m=0，解得m=1．∴||==．故答案为：．令•=0列方程解出m，代入模长公式得出||．本题考查了平面向量垂直与坐标的关系，向量的坐标运算，属于基础题．14.【答案】37【解析】解：这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为12+（8-3）×5=37．故答案为：37．由题设知第八组的号码数比第三组的号码数大（8-3）×5，由此能求出结果．抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．15.【答案】-7 8【解析】解：∵，∴cos（）=cos[（）+]=-sin（）=-，∴=cos2（）=2cos2（）-1=2×（-）2-1=-．故答案为：-．由已知利用诱导公式可求cos（）的值，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】（1，8）【解析】解：作出函数f（x）=|2x+1|的图象，x=1时，f（1）=3，令t=f（x1）=f（x2）=f（x3），设x1＜x2＜x3，则有x1+x2=-1，作出y=log2（x-1）（x＞1）的图象，若f（x1）=f（x2）=f（x3），则0＜f（x3）＜3．由y=3，即有log2（x-1）=3，x=9，即x3＜9，y=0时，有log2（x-1）=0，解得x=2，即x3＞2，可得x 1+x 2+x 3的取值范围为（1，8），故答案为：（1，8）．作出函数f （x ）=|2x+1|的图象，令t=f （x 1）=f （x 2）=f （x 3），设x 1＜x 2＜x 3，由图象的对称性可得x 1+x 2=-1，由条件可得2＜x 3＜9．作出y=log 2（x-m ）（x ＞1）的图象，由0＜t ＜3，即可得到m 的值．本题考查分段函数的图象和运用，主要考查函数的对称性和对数的运算性质，正确画图和通过图象观察是解题的关键．17.【答案】解：（1）在△ABC 中，c =sin C +c cos A ．3a 利用正弦定理：sin C =+sin C cos A ，3sinAsinC 由于：0＜C ＜π，，3sinA +cosA =1所以：，2sin(A +π6)=1解得：．A =2π3（2）由于：△ABC 的面积为4，3所以：，12cbsinA=43解得：bc =16．所以：a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，整理得：a 2=（b +c ）2-2bc -2bc cos A ，由于：a =8，bc =16，A =，2π3所以：b +c =4．5【解析】（1）直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理的应用求出A 的值． （2）利用三角形的面积公式和余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（Ⅰ）当n =1时，a 1=S 1=1，当n ≥2时，a n =S n -S n -1=（）-（）=，2‒12n ‒12‒12n ‒212n ‒1经验证当n =1时，此式也成立，所以，从而b 1=a 1=1，，a n =12n ‒1b 2‒b 1=a 1a 2=2又因为{b n }为等差数列，所以公差d =2，∴b n =1+（n -1）•2=2n -1，故数列{a n }和{b n }通项公式分别为：，b n =2n -1．a n =12n ‒1（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，c n =2n ‒112n ‒1=(2n ‒1)⋅2n ‒1所以+（2n -1）•2n -1 ①T n =1×20+3×21+5×22+…①×2得+（2n -3）•2n -1+（2n -1）•2n ②2T n =1×21+3×22+5×23+…①-②得：-（2n -1）•2n‒T n =1+2(2+22+…+2n ‒1)==1+2n +1-4-（2n -1）•2n =-3-（2n -3）•2n ．1+22(1‒2n ‒1)1‒2‒(2n ‒1)⋅2n∴数列{c n }的前n 项和．T n =3+(2n ‒3)⋅2n【解析】（Ⅰ）由可求数列{a n }的通项公式，进而可求数列{b n }通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，故可用错位相减法来求数列的前n 项和．本题为数列的求通项和求和的综合应用，涉及等差等比数列以及错位相减法求和，属中档题．19.【答案】（Ⅰ）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥PD ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，又∵PD ∩BD =D ，AC ⊥平面PBD ．而AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBD ．（Ⅱ）解：∵PD ∥平面EAC ，平面EAC ∩平面PBD =OE ，∴PD ∥OE ，∵O 是BD 中点，∴E 是PB 中点．取AD 中点H ，连结BH ，∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD =60°，∴BH ⊥AD ，又BH ⊥PD ，AD ∩PD =D ，∴BH ⊥平面PAD ，．BH =32AB =3∴V P ‒EAD =V E ‒PAD =12V B ‒PAD ==．12×13×S △PAD ×BH16×12×2×6×3=22【解析】（Ⅰ）由已知得AC ⊥PD ，AC ⊥BD ，由此能证明平面EAC ⊥平面PBD ．（Ⅱ）由已知得PD ∥OE ，取AD 中点H ，连结BH ，由此利用，能求出三棱锥P-EAD 的体积．本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.【答案】解：（1）由频率分布直方图得：[50，70）的频率为：（0.015+0.02）×10=0.35，[70，80）的频率为：0.03×10=0.3，∴中位数为：70+×10=，0.5‒0.30.32303平均数为：55×0.015×10+65×0.02×10+75×0.03×10+85×0.015×10+95×0.02×10=75.5．（2）一斤米粉的售价是4.4×5=22元．当50≤x ≤80时，T =22x -10×80+2（80-x ）=20x -640．当80＜x ≤100时，T =22×80-10×80=960．故T 表示为x 的函数为：T =．{20x ‒640,50≤x ≤80960,80<x ≤100（3）设利润T 不少于760元为事件A ，利润T 不少于760元时，即20x -640≥760．解得x ≥70，即70≤x ≤100．由直方图可知，当70≤x ≤100时，P （A ）=10×（0.03+0.015+0.02）=0.65．【解析】（1）利用频率分布直方图能求出当天米粉需求量的中位数和平均数．（2）一斤米粉的售价是22元．当50≤x≤80时，T=22x-10×80+2（80-x ）=20x-640．当80＜x≤100时，T=22×80-10×80=960．由此能将T 表示为x 的函数．（3）设利润T 不少于760元为事件A ，利润T 不少于760元时，70≤x≤100．由此能估计该天食堂利润不少于760元的概率．本题考查频率分布直方图、样本的数字特征、古典概型等基础知识，着重考查化归与转化思想，是中档题．21.【答案】解：（1）由题意知=，b =1，结合a 2=b 2+c 2，c a 22解得a =，b =1，2∴椭圆的方程为+y 2=1．x 22（2）由题设知，直线PQ 的方程为y =k （x -1）+1 （k ≠2），代入+y 2=1，得：（1+2k 2）x 2-4k （k -1）x +2k （k -2）=0，x 22由已知△＞0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），x 1x 2≠0，则x 1+x 2=，x 1x 2=，4k(k ‒1)1+2k 22k(k ‒2)1+2k 2从而直线AP 与AQ 的斜率之和：k AP +k AQ =+=y 1+1x 1y 2+1x 2kx 1+2‒kx 1+kx 2+2‒kx 2=2k +（20k ）=2k +（2-k ）•⋅(1x 1+1x 2)x 1+x 2x 1x 2=2k +（2k -1）•=2k -2（k -1）=2．4k(k ‒1)2k(k ‒2)【解析】（1）由题意可得b=1，结合椭圆的离心率及隐含条件求得a ，则椭圆E 的方程可求；（2）设出直线PQ 的方程，联立直线方程和椭圆方程，然后借助于根与系数的关系整体运算得答案．本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，涉及直线和圆锥曲线位置关系的问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解，是中档题．22.【答案】解：（1）a =1时，函数f （x ）=x |x -1|+==，12{x(x ‒1)+12，x ≥1x(1‒x)+12，x ＜1{(x ‒12)2+14，x ≥1‒(x ‒12)2+34，x ＜1可得：函数f （x ）在[1，+∞）单调递增，在（-∞，]单调递增，在内单调递减．12(12，1)（2）当a ＞0时，对任意x 1∈[1，2]，存在x 2∈[1，3]使得f （x 1）≥g （x 2）成立，⇔当a ＞0时，对任意x 1∈[1，2]，存在x 2∈[1，3]使得f （x 1）min ≥g （x 2）min ．①x ∈[1，3]时，g （x ）=2x +x -2单调递增，∴g （x ）min =g （1）=1．②下面对a 分类讨论：a ≥4时，∵x ∈[1，2]，函数f （x ）=x |x -a |+=x （a -x ）=-++．函数f （x ）在x ∈[1，2]单调递增，12(x‒a 2)212a 24∴f （x ）min =f （1）=a -，12∴a -≥1，a ≥4，解得a ≥4．120＜a ≤2时，∵x ∈[1，2]，函数f （x ）=x |x -a |+=x （a -x ）=-++．12(x‒a 2)212a 24函数f （x ）在x ∈[1，2]单调递减，∴f （x ）min =f （2）=2（2-a ）+=-2a +，1294∴-2a +≥1，0＜a ≤2，解得0＜a ≤．94582＜a ＜4时，∵x ∈[1，2]，函数f （x ）=x |x -a |+=x （a -x ）=-++．12(x‒a 2)212a 24函数f （x ）在x ∈[1，）内单调递增，在单调递减，a 2(a2，2]∴f （x ）min =f （）=+，a2a 2412∴+≥1，2＜a ＜4，解得＜a ＜4．a 24122综上可得：a 的取值范围是∪．(0，58](2，+∞)【解析】（1）a=1时，函数f （x ）=x|x-1|+==，利用二次函数的单调性即可得出．（2）当a ＞0时，对任意x 1∈[1，2]，存在x 2∈[1，3]使得f （x 1）≥g （x 2）成立，⇔当a ＞0时，对任意x 1∈[1，2]，存在x 2∈[1，3]使得f （x 1）min ≥g （x 2）min ．①x ∈[1，3]时，g （x ）=2x +x-2单调递增，可得g （x ）min =g （1）．②下面对a 分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
【精品】2018学年广东省广大附中、铁一中学、外国语中学高二上学期期中数学试卷和解析(理科)
2017-2018学年广东省广州大学附中、铁一中学、外国语中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题1．（3分）已知集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0}，则A∩B=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤﹣1}C．{x|x≥3}D．{x|x≥3或x≤﹣1}2．（3分）下列有关命题的说法中，正确的是（）A．∃x0∈R，使得3≤0B．“x=”是“cosx=”的必要不充分条件C．∀x∈R+，lgx＞0D．x=1”是“x≥0”充分不必要条件3．（3分）某校举行演讲比赛，9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若统计员计算无误，则数字x应该是（）A．5 B．4 C．3 D．24．（3分）已知正数a，b，c满足2a﹣b+c=0，则的最大值为（）A．8 B．2 C．D．5．（3分）如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角．现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．6．（3分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=，则输入的n=（）A．3 B．4 C．5 D．67．（3分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=2a3，则=（）A．B．C．D．8．（3分）设l，m，n为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题的个数为（）①若l⊥α，l⊥β，则α∥β ②若l⊥α，l∥β，则α⊥β③若α⊥β，l∥α，则l⊥β ④若m∥n，m⊥α，则n⊥αA．0 B．1 C．2 D．39．（3分）为得到函数f（x）=2sinxcosx+的图象，可以把函数的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位10．（3分）台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的时间为（）A．0.5小时 B．1小时C．1.5小时 D．2小时11．（3分）已知AB=3，A、B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，=+，则动点P的轨迹方程是（）A．+y2=1B．x2+=1 C．+y2=1 D．x2+=112．（3分）已知f（x）=（x﹣4）3+x﹣1，{a n}是公差不为0的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a9）=27，则f（a5）的值为（）A．0 B．1 C．3 D．4二、填空题13．（3分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最大值是．14．（3分）已知x，y取值如表，画散点图分析可知y与x线性相关，且求得回归方程为，则m的值为．15．（3分）某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是cm3，侧面积是cm2．16．（3分）点P 在椭圆+=1（a＞b＞0）上，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=60°，且△F1PF2的三条边|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，则此椭圆的离心率是．三、解答题17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；（2）若bsin（π﹣A）=acosB，且，求△ABC的面积．18．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*，a3=5，S10=100．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．19．（13分）近年来城市“共享单车”的投放在我国各地迅猛发展，“共享单车”为人们出行提供了很大的便利，但也给城市的管理带来了一些困难，现某城市为了解人们对“共享单车”投放的认可度，对[14，45]年龄段的人群随机抽取n人进行了一次“你是否赞成投放共享单车”的问卷调查，根据调查结果得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）求n、a、p的值．（2）在第四、五、六组“赞成投放共享单车”的人中，用分层抽样的方法抽取7人参加“共享单车”骑车体验活动，求第四、五、六组应分别抽取的人数．（3）在（2）中抽取的7人中随机选派2人作为领队，求所选派的2人中至少有一人为第五组的概率．20．（13分）如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且FD=，．（Ⅰ）求证：平面EBC∥平面FAD．（Ⅱ）若∠CBA=60°，求几何体EFABCD的体积．21．（13分）已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T．若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（13分）函数f（x）=x+﹣2，g（x）=mx2﹣2mx+1．（1）关于x的方程f（2x）=3k2x在[﹣1，2]上有一解，求k的取值范围．（2）若对任意x1∈[2，3]，存在x2∈[3，4]，使得|f（x1）﹣g（x2）|＜5成立，求m的取值范围．2017-2018学年广东省广州大学附中、铁一中学、外国语中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）已知集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0}，则A∩B=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤﹣1}C．{x|x≥3}D．{x|x≥3或x≤﹣1}【解答】解：集合A={x|（）x≤1}={x|x≥0}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≤﹣1或x≥3}，∴A∩B={x|x≥3}．故选：C．2．（3分）下列有关命题的说法中，正确的是（）A．∃x0∈R，使得3≤0B．“x=”是“cosx=”的必要不充分条件C．∀x∈R+，lgx＞0D．x=1”是“x≥0”充分不必要条件【解答】解：根据指数函数的性质，∵任意x，都有3x＞0，∴A错误；x=时，cosx=，但是cosx=，x不一定为，所以“x=”，是“cosx=”的必要不充分条件，∴B错误；根据对数函数的性质得到x＞0时，lgx∈R，∴B错误；x=1”是“x≥0”的充分不必要条件，正确故选：D．3．（3分）某校举行演讲比赛，9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若统计员计算无误，则数字x应该是（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：根据茎叶图中的数据，结合题意，得；去掉一个最低分87，去掉一个最高分94，平均分是91，则88+89+92+（90+x）+93+92+91=91×7；解得x=2．故选：D．4．（3分）已知正数a，b，c满足2a﹣b+c=0，则的最大值为（）A．8 B．2 C．D．【解答】解：∵正数a，b，c满足2a﹣b+c=0，∴b=2a+c，则===≤=，当且仅当c=2a＞0时取等号．故选：C．5．（3分）如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角．现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为﹣1，面积为=4﹣2；所以，飞镖落在阴影区域的概率为：P==．故选：A．6．（3分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=，则输入的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S=0执行循环体，S=，i=2不满足条件i＞n，执行循环体，S=+，i=3不满足条件i＞n，执行循环体，S=++，i=4不满足条件i＞n，执行循环体，S=+++=×（1﹣﹣+﹣+）=，i=5由题意，此时应该满足条件5＞n，退出循环，输出S的值为．可得：4≤n＜5，可得n的值为4．故选：B．7．（3分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=2a3，则=（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a6=2a3，∴a1+5d=2（a1+2d），化为：a1=d．则==．故选：D．8．（3分）设l，m，n为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题的个数为（）①若l⊥α，l⊥β，则α∥β ②若l⊥α，l∥β，则α⊥β③若α⊥β，l∥α，则l⊥β ④若m∥n，m⊥α，则n⊥αA．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由l，m，n为直线，α，β是两个不同的平面，知：在①中，若l⊥α，l⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故①正确；在②中，若l⊥α，l∥β，则由面面垂直的判断定理得α⊥β，故②正确；在③中，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故③错误；在④中，若m∥n，m⊥α，则由线面垂直的判断定理得n⊥α，故④正确．故选：D．9．（3分）为得到函数f（x）=2sinxcosx+的图象，可以把函数的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：函数f（x）=2sinxcosx+，=sin2x﹣cos2x，=2sin（2x﹣），所以：①函数=2cos（2x﹣）的图象向左平移个单位，得到：y=2cos[2（x+）﹣]=2cos（2x+）的图象，故A错误．②函数=2cos（2x﹣）的图象向左平移个单位，得到：y=2cos[2（x+）﹣]=2cos（2x+）的图象，故B错误．③函数=2cos（2x﹣）的图象向右平移个单位，得到：y=2cos[2（x﹣）﹣]=2cos（2x﹣）=2sin（2x﹣）的图象，故C正确．④函数=2cos（2x﹣）的图象向右平移个单位，得到：y=2cos[2（x﹣）﹣]=2cos（2x﹣）的图象，故D错误．故选：C．10．（3分）台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的时间为（）A．0.5小时 B．1小时C．1.5小时 D．2小时【解答】解：如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则B（40，0），台风中心移动的轨迹为射线y=x（x≥0），而点B到射线y=x的距离d==20＜30，故l=2=20，故B城市处于危险区内的时间为1小时，故选：B．11．（3分）已知AB=3，A、B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，=+，则动点P的轨迹方程是（）A．+y2=1B．x2+=1 C．+y2=1 D．x2+=1【解答】解：设A（a，0），B（O，b），P（x，y）．∵|AB|=3，∴=3，化为a2+b2=9．∵=+，∴（x，y）==．∴．∴，化为=1．∴动点P的轨迹方程是=1．故选：A．12．（3分）已知f（x）=（x﹣4）3+x﹣1，{a n}是公差不为0的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a9）=27，则f（a5）的值为（）A．0 B．1 C．3 D．4【解答】解：∵f（x）=（x﹣4）3+x﹣1，∴f（x）﹣3=（x﹣4）3+x﹣4，令x﹣4=t，可得函数g（t）=t3﹣t为奇函数且单调递增．∵{a n}是公差不为0的等差数列，∴a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5．∵f（a1）+f（a2）+…+f（a9）=27，∴g（a1）+g（a2）+…+g（a9）=0，∴g（a5）=0，则f（a 5）=g（a5）+3=3．故选：C．二、填空题13．（3分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最大值是0．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=x﹣y可得y=x﹣z，则﹣z表示直线y=x﹣z在直线上的截距的相反数，截距越小，z越大结合图形可知，当直线z=x﹣y经过点B时，z最大由可得B（1，1），此时z=0故答案为：014．（3分）已知x，y取值如表，画散点图分析可知y与x线性相关，且求得回归方程为，则m的值为3．【解答】解：根据表中数据，计算=×（0+1+3+5+6）=3，=×（1+2m+3﹣m+3.8+9.2）=，且回归方程过样本中心点，所以=3×3﹣5，解得m=3．故答案为：3．15．（3分）某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是12cm3，侧面积是27cm2．【解答】解：由三视图得到几何体如图：体积为=12；侧面积为=27；故答案为：12；27．16．（3分）点P在椭圆+=1（a＞b＞0）上，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=60°，且△F1PF2的三条边|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，则此椭圆的离心率是．【解答】解：根据题意，设边|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由椭圆的定义得m+n=2a，①又由△F1PF2的三条边|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，则2m=n+2c，②联立①②可得m=，n=，又由∠F1PF2=60°，由余弦定理得（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，则有4c2=（）2+（）2﹣•，变形可得2c2﹣ac﹣a2=0，由e=，则有2e2﹣e﹣1=0，解可得e=或﹣1（舍），故椭圆的离心率e=．故答案为：．三、解答题17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；（2）若bsin（π﹣A）=acosB，且，求△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，由，由余弦定理：a2+b2﹣c2=2abcosC，可得：2acsinB=2abcosC．由正弦定理：2sinCsinB=2sinBcosC∵0＜B＜π，sinB≠0，∴2sinC=2cosC，即tanC=，∵0＜C＜π，∴C=．（2）由bsin（π﹣A）=acosB，∴sinBsinA=sinAcosB，∵0＜A＜π，sinA≠0，∴sinB=cosB，∴，根据正弦定理，可得，解得c=1，∴．18．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*，a3=5，S10=100．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d ，由题意知，解得a1=1，d=2．所以数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1，（2），∴==．19．（13分）近年来城市“共享单车”的投放在我国各地迅猛发展，“共享单车”为人们出行提供了很大的便利，但也给城市的管理带来了一些困难，现某城市为了解人们对“共享单车”投放的认可度，对[14，45]年龄段的人群随机抽取n人进行了一次“你是否赞成投放共享单车”的问卷调查，根据调查结果得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）求n、a、p的值．（2）在第四、五、六组“赞成投放共享单车”的人中，用分层抽样的方法抽取7人参加“共享单车”骑车体验活动，求第四、五、六组应分别抽取的人数．（3）在（2）中抽取的7人中随机选派2人作为领队，求所选派的2人中至少有一人为第五组的概率．【解答】解：（1）由频率表中第五组数据可知，第五组总人数为=100，再结合频率分布直方图：可知n==1000，∴a=0.03×5×1000×0.4=60，第二组的频率为0.3，∴p==0.65．（2）∵第四、五、六组“喜欢骑车”的人数共有105人，由分层抽样原理可知，第四、五、六组分别的人数为4人，2人，1人．（3）设第四组4人为：A1，A2，A3，A4，第五组2人为：B1，B2，第六组1人为：C1，则从7人中随机抽取2名领队所有可能的结果为21种，分别为：A1A2、A1A3、A1A4、A1B1、A1B2、A1C1、A2A3、A2A4、A2B1、A2B2、A2C1、A3A4、A3B1，A3B2、A3C1、A4B1、A4B2、A4C1、B1B2、B1C1、B2C1．其中至少有一人是第五组的有11种，∴所选派的2人中至少有一人为第五组的概率为p=．20．（13分）如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且FD=，．（Ⅰ）求证：平面EBC∥平面FAD．（Ⅱ）若∠CBA=60°，求几何体EFABCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：过E作EH⊥BC，∵菱形ABCD⊥平面BEC，菱形ABCD∩平面BEC=BC，∴EH⊥平面ABCD，又∵FD⊥平面ABCD，∴EH∥FD，又AD∥BC，且EH∩BC=H，AD∩FD=D，∴平面EBC∥平面FAD．（Ⅱ）解：连接CF，HA，由题意，得HA⊥BC，∵HA⊂平面ABCD，平面ABCD⊥平面BCE于BC，∴HA⊥平面BCE，在Rt△AHB中，可得AH=．∴V EFABCD=V F﹣BCE+V F﹣ABCD==．21．（13分）已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T．若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b=c，∴，∴．又∵椭圆经过点，代入得，解得b=1，∴，故所求椭圆方程为．（2）由动直线mx+，得到动直线l过定点（0，）．当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：．当l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+y2=1．由即两圆相切于点（0，1），因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）．事实上，点T（0，1）就是所求的点．证明如下：当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）若直线l不垂直于x轴，可设直线L：由记点A（x1，y1）、，==∴TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）∴在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．22．（13分）函数f（x）=x+﹣2，g（x）=mx2﹣2mx+1．（1）关于x的方程f（2x）=3k2x在[﹣1，2]上有一解，求k的取值范围．（2）若对任意x1∈[2，3]，存在x2∈[3，4]，使得|f（x1）﹣g（x2）|＜5成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）f（2x）=3k2x在[﹣1，2]上有一解，即2x+﹣2=3k2x在[﹣1，2]上有一解，由（2x）2﹣2•2x+1=3k•（2x）2，得（1﹣3k）（2x）2﹣2•2x+1=0，令2x=t，t∈（，4]，则（1﹣3k）t2﹣2t+1=0在（，4]上有一解．①当1﹣3k=0时，﹣2t+1=0，t=，满足题意．②当1﹣3k≠0时，令h（x）=（1﹣3k）t2﹣2t+1，在[，4]上有一个零点，∴f（）f（4）＜0，[（1﹣3k）﹣2×+1]×（1﹣3k）×42﹣2×4+1]＜0，解得：＜k＜．③若h（x）在[，4]上有且只有一个零点，则，解得k=0，∴＜k＜或k=0．（2）f（x）=x+﹣2在[2，3]上单调递增，∴f（x）min=f（2）=，f（x）max=f（3）=，∵|f（x1）﹣g（x2）|＜5在x2∈[3，4]恒成立，∴．①当m＞0时，g（x）max=8m+1，g（x）min=3m+1，∴，解得：0＜m＜．②当m=0时，g（x）=1，满足题意．③m＜0时，g（x）max=3m+1，g（x）min=8m+1，，解得：﹣＜m＜0，∴﹣＜m＜．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
2024学年广东省广州大学附属中学、铁一中学、广州外国语中学物理高三第一学期期中综合测试试题含解析
2024学年广东省广州大学附属中学、铁一中学、广州外国语中学物理高三第一学期期中综合测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、如图甲所示，x轴上固定两个点电荷Q1、Q2（Q2位于坐标原点O），其上有M、N、P 三点，间距MN=NP，Q1、Q2在轴上产生的电势ϕ随x变化关系如图乙．则A．M点电势和电场强大小均为零B．N点电势和电场强大小均不为零C．一正试探电荷从P移到M过程中，电场力做功|W PN|=|W NM|D．由图可知，Q1为负电荷，Q2为正电荷，且Q1电荷量大于Q22、以下说法正确的是（）A．绕地球沿圆轨道飞行的航天器中悬浮的液滴处于平衡状态B．洗衣机脱水时利用离心运动把附着在衣物上的水份甩掉C．匀速直线运动因为受合力等于零，所以机械能一定守恒D．合力对物体做功为零时，机械能一定守恒3、A和B两物体在同一直线上运动的v-t图线如图，已知在第3s末两个物体相遇，则此过程中两物相同的是（）4、假设未来某天，我国宇航员乘飞船到达火星，测得火星两极的重力加速度是火星赤道重力加速度的k倍，已知火星的半径为R，则火星同步卫星轨道半径为（）A．31kRk+B．31kRk-C．311kRk+-D．2311kRk+⎛⎫⎪-⎝⎭5、如图所示，A、B两球分别套在两光滑无限长的水平直杆上，两球通过一轻绳绕过一定滑轮（轴心固定不动）相连，某时刻连接两球的轻绳与水平方向的夹角分别为α、β，A球向左的速度为v，下列说法正确的是A．此时B球的速度为cos cosvαβB．此时B球的速度为cos cosvβαC．当β增大到等于90︒时，B球的速度达到最大，A球的速度也最大D．在整个运动过程中，绳对B球的拉力一直做正功6、如图所示，足够长的竖直绝缘管内壁的粗糙程度处处相同，处于方向互相垂直的匀强电场和匀强磁场中．一带正电的小球从静止开始沿管下滑，下列小球运动速度v和时间t、小球所受弹力F N和速度v的关系图像中正确的是A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024学年广州市铁一中学、广州大学附属中学、广州外国语学校物理高三上期中考试试题含解析
2024学年广州市铁一中学、广州大学附属中学、广州外国语学校物理高三上期中考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、图甲中理想变压器原、副线圈的匝数之比n 1:n 2=5:1，电阻R =20 Ω，L 1、L 2为规格相同的两只小灯泡，S 1为单刀双掷开关．原线圈接正弦交变电源，输入电压u 随时间t 的变化关系如图乙所示．现将S 1接l 、S 2闭合，此时L 2正常发光．下列说法正确的A ．输入电压u 的表达式是()20250πV u t =B ．只断开S 2后，L 1、L 1均正常发光C ．只断开S 2后，原线圈的输入功率增大D ．若S 1换接到2后，R 消耗的电功率为0.8 W2、 “蹦极”运动中，长弹性绳的一端固定，另一端绑在人身上，人从几十米高处跳下．将蹦极过程简化为人沿竖直方向的运动．从绳恰好伸直，到人第一次下降至最低点的过程中，下列分析正确的是（）A ．绳对人的冲量始终向上，人的动量先增大后减小B ．绳对人的拉力始终做负功，人的动能一直减小C ．绳恰好伸直时，绳的弹性势能为零，人的动能最大D ．人在最低点时，绳对人的拉力等于人所受的重力3、如图所示，放在不计电阻的金属导轨上的导体棒 ab , 在匀强磁场中沿导轨做下列哪种运动时，钢制闭合线圈 c 将被螺线管吸引( )A．向右做匀速运动B．向左做匀速运动C．向右做减速运动D．向右做加速运动4、将演员从高处跳下的视频倒序播放，可突现演员轻松跳上高处的特效，在观众看来，演员上升过程中在低处的高度变化（）A．比高处快，加速度向下B．比高处慢，加速度向下C．比高处快，加速度向上D．比高处慢，加速度向上5、如图a所示，小物体从竖直弹簧上方离地高h1处由静止释放，其动能E k与离地高度h的关系如图b所示．其中高度从h1下降到h2，图象为直线，其余部分为曲线，h3对应图象的最高点，轻弹簧劲度系数为k，小物体质量为m，重力加速度为g．以下说法正确的是（）A．小物体下降至高度h3时，弹簧形变量为0B．小物体下落至高度h5时，加速度为0C．小物体从高度h2下降到h4，弹簧的弹性势能增加了D．小物体从高度h1下降到h5，弹簧的最大弹性势能为mg（h1-h5）6、如图所示，光滑水平面上有质量均为m的物块A和B，B上固定一轻弹簧.B静止，v水平向右运动，通过弹簧与B发生作用.作用过程中，弹簧获得的最大弹性A以速度E为()势能PA ．20116mvB ．2018mv C ．2014mv D ．2012mv 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年广东省广州大学附中、铁一中学、外国语中学高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)
2017-2018学年广东省广州大学附中、铁一中学、外国语中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题0分，满分0分）1．若集合A={x|x2﹣x﹣12≤0}，B={x|﹣5＜x＜1}，A∩B=（）A．（﹣5，1）B．（1，4]C．[﹣3，﹣1）D．[﹣3，1）2．已知复数z满足z（1+i）3=1﹣i（i为虚数单位），则|z|为（）A．B．C．D．13．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率？（）A．B．C．D．4．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=15．将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（）A．y=sin（x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin x D．y=sin（x﹣）6．如图所示的程序框图，若输出的S=127，则判断框内填入的条件是（）A．i＞5？B．i＞6？C．i≤5？D．i≤6？7．若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a m=4，S m=0，S m+2=14（m≥2），且m∈N*，则a2017的值为（）A．2018 B．4028 C．5037 D．30199．已知x，y满足，若目标函数z=3x+y的最大值为10，则z的最小值为（）A．4 B．5 C．﹣4 D．﹣510．设0＜x＜，记a=ln（tanx），b=tanx，c=e tanx，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a11．已知圆（x+3）2+y2=64的圆心为M，设A为圆上任一点，点N的坐标为（3，0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则的取值范围是（）A．[，8]B．[，6]C．[，7]D．[，4]12．如图，OPQ是半径为1，∠POQ=α的扇形，C是弧PQ上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=x，cosα=，当x=θ时四边形ABCD的面积S取得最大，则cosθ的值为（）A．B．C．D．二、填空题13．已知向量=（1，2），=（a，﹣1），若（+）⊥，则实数a的值为．14．若函数f（x）=（a＞0，且a≠1）的值域为（﹣∞，2]，则实数a的取值范围为．15．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…+log3a10=．16．如图，三棱锥A﹣BCD的顶点A、B、C、D都在同一球面上，BD过球心O，且BD=2，△ABC是边长为等边三角形，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP=CQ，则三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．三、解答题17．在锐角△ABC中，a，b，c为内角A，B，C的对边，且满足（2c﹣a）cosB ﹣bcosA=0．（1）求角B的大小．（2）已知c=2，边AC边上的高BD=，求△ABC的面积S的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是梯形，且AB∥CD，平面PAD⊥平面ABCD，BD﹣2AD=4，AB=2，PA=PD．（1）求证：平面PAD⊥平面PBD．（2）若DC=BC，△PAD为等边三角形，求点C到平面PBD的距离．19．某中学随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中数据，完成下列问题．（Ⅰ）求a的值及样本中男生身高在[185，195]（单位：cm）的人数；（Ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；（Ⅲ）在样本中，从身高在[145，155）和[185，195]（单位：cm）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于185cm的概率．20．如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点为F，直线l交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，D（x0，y0）为AB中点，且|AF|+|BF|=2+2x0．（1）求抛物线C的方程．（2）若过A作抛物线C的切线l1，过D作x轴平行的直线l2，设l1与l2相交于点E，l2与C相交于点H，求证：为定值，并求出该定值．21．设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，g（x）=2lnx+1﹣．（1）设a∈R，讨论函数g（x）的单调性．（2）设a＞1，求证：当x∈（0，a）时，f（x）＜4a2（lna）3．22．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C1的参数方程为，（α为参数，且α∈[0，π]），曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ．（Ⅰ）求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若P是C1上任意一点，过点P的直线l交C2于点M，N，求|PM|•|PN|的取值范围．23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|．（1）解关于x的不等式f（x）≥4﹣x；（2）a，b∈{y|y=f（x）}，试比较2（a+b）与ab+4的大小．2017-2018学年广东省广州大学附中、铁一中学、外国语中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题0分，满分0分）1．若集合A={x|x2﹣x﹣12≤0}，B={x|﹣5＜x＜1}，A∩B=（）A．（﹣5，1）B．（1，4]C．[﹣3，﹣1）D．[﹣3，1）【解答】解：∵集合A={x|x2﹣x﹣12≤0}={x|﹣3≤x≤4}，B={x|﹣5＜x＜1}，∴A∩B={x|﹣3≤x＜1}=[﹣3，1）．故选：D．2．已知复数z满足z（1+i）3=1﹣i（i为虚数单位），则|z|为（）A．B．C．D．1【解答】解：∵（1+i）2=1﹣1+2i=2i，∴（1+i）3=2i（1+i）=﹣2+2i．∵z（1+i）3=1﹣i（i为虚数单位），∴z（﹣2+2i）=1﹣i，∴z=﹣．则|z|=．故选：A．3．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率？（）A．B．C．D．【解答】解：若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果有：A3，A4，AB，13，14，1B，23，24，2B共计9个，选出的2名教师性别相同的结果有AB，13，14，24，共计4个；则选出的2名教师性别的概率为P=．故选：B．4．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，∵双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，∴=，∴b=a，∵焦点为F（2，0），∴a2+b2=8，∴a=，b=，∴双曲线的方程为：﹣=1．故选：D．5．将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（）A．y=sin（x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin x D．y=sin（x﹣）【解答】解：将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为y=sin（x﹣），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为y=sin[（x+）﹣]=sin（x﹣），故选：D．6．如图所示的程序框图，若输出的S=127，则判断框内填入的条件是（）A．i＞5？B．i＞6？C．i≤5？D．i≤6？【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，i=0，不满足输出条件，执行循环体后，i=1，S=3；不满足输出条件，执行循环体后，i=2，S=7；不满足输出条件，执行循环体后，i=3，S=15；不满足输出条件，执行循环体后，i=4，S=31；不满足输出条件，执行循环体后，i=5，S=63；不满足输出条件，执行循环体后，i=6，S=127；此时，由题意，满足输出条件，退出循环，输出S的值为127，可得判断框内的条件应为：i≤5？．故选：C．7．若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可以知道该几何体是如图所示的三棱锥：PO⊥平面ABC，PO=4，AO=2，CO=3，BC⊥AC，BC=4．∴V=．三棱锥P﹣ABC故选：A．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a m=4，S m=0，S m+2=14（m≥2），且m∈N*，则a2017的值为（）A．2018 B．4028 C．5037 D．3019【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a m=4，S m=0，S m+2=14（m≥2），且m∈N*，∴a1+（m﹣1）d=4，ma1+d=0，S m﹣S m=a m+2+a m+1=2a1+（2m+1）d=14，+2联立解得a1=﹣4，m=5，d=2．则a2017=﹣4+2016×2=4028．故选：B．9．已知x，y满足，若目标函数z=3x+y的最大值为10，则z的最小值为（）A．4 B．5 C．﹣4 D．﹣5【解答】解：x，y满足可行域如图阴影部分所示，将直线2x﹣y﹣m=0分别与直线x+y=4与直线x=2联立，解得A（，），B（2，4﹣m），C（2，2），由图可知，当直线z=3x+y过点A时，取得最大值，根据已知条件最大值为10，所以，解得m=5，所以B（2，﹣1），所以当直线z=3x+y经过B点时，取得最小值，所以z=3×2﹣1=5．故选：B．10．设0＜x＜，记a=ln（tanx），b=tanx，c=e tanx，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a【解答】解：令tanx=t，则t∈（0，+∞），∴a=lnt，b=t，c=e t，由图可得a＜b＜c．故选：A．11．已知圆（x+3）2+y2=64的圆心为M，设A为圆上任一点，点N的坐标为（3，0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则的取值范围是（）A．[，8]B．[，6]C．[，7]D．[，4]【解答】解：∵圆（x+3）2+y2=64的圆心为M，设A为圆上任一点，点N的坐标为（3，0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，∴P是AN的垂直平分线上的一点，∴PA=PN，又∵AM=8，∴PM+PN=AM=8＞6，即P点满足椭圆定义．焦点是（3，0），（﹣3，0），a=4，P点轨迹方程为，=，∴7≥PN≥1，∴的取值范围为[．故选：C．12．如图，OPQ是半径为1，∠POQ=α的扇形，C是弧PQ上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=x，cosα=，当x=θ时四边形ABCD的面积S取得最大，则cosθ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵在直角△OBC中，OB=cosθ，BC=sinθ，又∵在直角△OAD中：=tanα，又∵cosα=，∴OA=AD=BC=sinθ，S矩形ABCD=AB•BC=（cosθ﹣sinθ）sinθ=﹣（1﹣cos2θ）=sin（2θ+φ）﹣，当sin（2θ+φ）=1时，S最大．即sin2θ+cos2θ=1⇒sinθcosθ+（cos2θ﹣sin2θ）=cos2θ+sin2θ．即（2sinθ﹣cosθ）2=0，2sinθ=cosθ，∵sin2θ+cos2θ=1，0＜θ＜，∴cosθ=．故选：B．二、填空题13．已知向量=（1，2），=（a，﹣1），若（+）⊥，则实数a的值为﹣3．【解答】解：∵向量=（1，2），=（a，﹣1），∴=（1+a，1），∵（+）⊥，∴（）•=1+a+2=0，解得a=﹣3．∴实数a的值为﹣3．故答案为：﹣3．14．若函数f（x）=（a＞0，且a≠1）的值域为（﹣∞，2]，则实数a的取值范围为（0，] ．【解答】解：∵f（x）=（a＞0，且a≠1）的值域为（﹣∞，2]，∴0＜a＜1，∵f（x）=x﹣1（x≤3）满足值域为（﹣∞，2]，而3+log a x单调递减，∴3+log a3≤2，得0，∴实数a的取值范围为（0，]，故答案为：（0，]．15．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…+log3a10= 10．【解答】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，∴a5a6+a4a7=2a5a6=18，∴a5a6=9，∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1×a2×a3×…×a10）=log3[（a1a10）×（a2a9）×（a3a8）×（a4a7）×（a5a6）]==5log39=10．故答案为：10．16．如图，三棱锥A﹣BCD的顶点A、B、C、D都在同一球面上，BD过球心O，且BD=2，△ABC是边长为等边三角形，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP=CQ，则三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．【解答】解：∵BD过球心O，∴∠DAB=∠DCB=90°，又BD=2，△ABC是边长为等边三角形，∴，AO=CO=1，∴AO2+CO2=AC2，⇒AO⊥CO因为AD=AB且O为DB中点，所以AO⊥BD，由线面垂直的性质定理可得AO⊥平面BCD，即PO平面CQO．设AP=CQ=x，（0＜x＜1）S，则三棱锥P﹣QCO体积V==，当且仅当x=1﹣x，即x=时取等号．故答案为：．三、解答题17．在锐角△ABC中，a，b，c为内角A，B，C的对边，且满足（2c﹣a）cosB ﹣bcosA=0．（1）求角B的大小．（2）已知c=2，边AC边上的高BD=，求△ABC的面积S的值．【解答】解：（1）∵（2c﹣a）cosB﹣bcosA=0，由正弦定理得（2sinC﹣sinA）cosB﹣sinBcosA=0，∴（2sinC﹣sinA）cosB=sinBcosA，2sinCcosB﹣sin（A+B），∵A+B=π﹣C，且sinC≠0，∴cosB=，∵B∈（0，π），∴B=．（2）∵S=acsinB=BD•b，代入c，BD=，sinB=，得b=，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=a2﹣2a+4，代入b=，得a2﹣9a+18=0，解得，或，又∵锐角三角形，∴a2＜c2+b2，∴a=3，=acsinB==．∴S△ABC18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是梯形，且AB∥CD，平面PAD⊥平面ABCD，BD﹣2AD=4，AB=2，PA=PD．（1）求证：平面PAD⊥平面PBD．（2）若DC=BC，△PAD为等边三角形，求点C到平面PBD的距离．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面是梯形，且AB∥CD，平面PAD ⊥平面ABCD，BD=2AD=4，AB=2，PA=PD．∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，∵BD⊂平面PBD，∴平面PAD⊥平面PBD．解：（2）设AD中点为M，BD的中点为N，∵△PAD为等边三角形，∴PM=，∵DC=BC，∴CN⊥BD，∵AB∥DC，∴sin∠ADC=sin（π﹣∠DAB）=sin∠DAB==，∵∠ADC=90°+∠BDC，∴cos∠BDC=sin（90°+∠BDC）=sin∠ADC=，∴CD===，∴CN==1，∴S=，△BCD==4，由（1）得S△PAD设点C到平面PBD的距离为h，∵V C=V P﹣BCD==，﹣PAD∴h===，∴点C到平面PBD的距离为．19．某中学随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中数据，完成下列问题．（Ⅰ）求a的值及样本中男生身高在[185，195]（单位：cm）的人数；（Ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；（Ⅲ）在样本中，从身高在[145，155）和[185，195]（单位：cm）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于185cm的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意，a=0.1﹣0.04﹣0.025﹣0.02﹣0.005=0.01，身高在[185，195]的频率为0.1，人数为4；（Ⅱ）估计该校全体男生的平均身高150×0.05+160×0.2+170×0.4+180×0.25+190×0.1=171.5；（Ⅲ）在样本中，身高在[145，155）和[185，195]（单位：cm）内的男生分别有2人，4人，从身高在[145，155）和[185，195]（单位：cm）内的男生中任选两人，有=15种，这两人的身高都不低于185cm，有=6种，所以所求概率为=0.4．20．如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点为F，直线l交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，D（x0，y0）为AB中点，且|AF|+|BF|=2+2x0．（1）求抛物线C的方程．（2）若过A作抛物线C的切线l1，过D作x轴平行的直线l2，设l1与l2相交于点E，l2与C相交于点H，求证：为定值，并求出该定值．【解答】解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，根据抛物线的定义知|AF|+|BF|=x1+x2+p=2+2x0，且x1+x2=2x0，∴p=2，∴C的方程为y2=4x；（2）设过A（x1，y1）的切线l1方程为x=m（y﹣y1）+x1，联立C与切线的方程得y2﹣4my+4my1﹣4x1=0，∴△=16m2﹣4（4my1﹣4x1）=0，解得m=，∴过点A的切线方程为y1y=2（x+x1），联立直线l2的方程y=y0，解得点E（，），即（，y0），∴H（，y0），∴|EH|=﹣==，由D（x0，y0），∴|HD|=x0﹣=﹣=﹣=，∴=1，即的定值为1．21．设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，g（x）=2lnx+1﹣．（1）设a∈R，讨论函数g（x）的单调性．（2）设a＞1，求证：当x∈（0，a）时，f（x）＜4a2（lna）3．【解答】解：（1）∵g′（x）=，且定义域为（0，+∞），当a≥0时，g′（x）＞0，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＜0时，令′（x）=0，有x=﹣，当x∈（0，﹣），g′（x）＜0，当x∈（﹣，+∞），g′（x）＞0，∴g（x）在区间（0，﹣）上单调递减，在区间（﹣，+∞）上单调递增，综上，当a≥0时，g（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＜0时，g（x）在区间（0，﹣）上单调递减，在区间（﹣，+∞）上单调递增．证明：（2）∵a＞1，由（1）可知，g（x）在（0，+∞）上单调递增，∵g（a）=2lna+1﹣=2lna＞0，g（1）=2ln1+1﹣a﹣1﹣a=﹣2a＜0，∴g′（x）=0在（0，a）上有唯一的实数根x0，且x0∈（1，a），∴f′（x）=（x﹣a）g（x），∴f′（x）=0有x=x0或x=a，当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（x0，a）时，f′（x）＜0，函数h（x）单调递减，从而当x=x0时，f（x）取极大值，也是最大值，∴f（x）＜f（x0）=（x0﹣a）2lnx0，∵g（x0）=2lnx0+1﹣=0，∴a=2x0lnx0+x0，代入f（x0）=（x0﹣a）2lnx0=（x0﹣2x0lnx0﹣x0）2lnx0=4x02ln3x0，∵h（x）=x2lnx在（1，+∞）在单调递增，1＜x0＜a，∴f（x0）=4x02ln3x0＜4a2ln3a，∴f（x）＜4a2（lna）3．22．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C1的参数方程为，（α为参数，且α∈[0，π]），曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ．（Ⅰ）求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若P是C1上任意一点，过点P的直线l交C2于点M，N，求|PM|•|PN|的取值范围．【解答】解：（1）消去参数可得x2+y2=1，由α∈[0，π），则﹣1⩽x⩽1，0⩽y⩽1，∴曲线C1是x2+y2=1在x轴上方的部分，∴曲线C1的极坐标方程为ρ=1（0⩽θ⩽π）．…（2分）曲线C2的直角坐标方程为x2+（y+1）2=1；…（5分）（2）设P（x0，y2），则0⩽y0⩽1，直线l的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为：{x=x 0+tcosαy=y 0+tsinα}（t 为参数）．…（7分） 代入C 2的直角坐标方程得（x 0+tcosα）2+（y 0+tsinα+1）2=1， 由直线参数方程中t 的几何意义可知|PM |⋅|PN |=|1+2y 0|， 因为0⩽y 2⩽1，∴|PM |⋅|PN |=∈[1，3]…（10分）23．已知函数f （x ）=|x ﹣2|+|x +1|． （1）解关于x 的不等式f （x ）≥4﹣x ；（2）a ，b ∈{y |y=f （x ）}，试比较2（a +b ）与ab +4的大小．【解答】解：（Ⅰ）当x ＜﹣1时，f （x ）=1﹣2x ，f （x ）≥4﹣x 即为1﹣2x ≥4﹣x ，解得x ≤﹣3，即为x ≤﹣3；当﹣1≤x ≤2时，f （x ）=3，f （x ）≥4﹣x 即为3≥4﹣x ，解得x ≥1，即为1≤x ≤2；当x ＞2时，f （x ）=2x ﹣1，f （x ）≥4﹣x 即为2x ﹣1≥4﹣x ，解得x ≥，即为x ＞2．综上可得，x ≥1或x ≤﹣3．则解集为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）； （Ⅱ）由于f （x ）≥3，则a ≥3，b ≥3，2（a +b ）﹣（ab +4）=2a ﹣ab +2b ﹣4=（a ﹣2）（2﹣b ）， 由于a ≥3，b ≥3，则a ﹣2＞0，2﹣b ＜0， 即有（a ﹣2）（2﹣b ）＜0， 则2（a +b ）＜ab +4．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质图象定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。
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）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】根据几何体的三视图，可得如图为所求几何体为（如图所示）的三棱锥：
其中底面为直角边长分别为
的直角三角形，高为
，
所以几何体的体积为
．
故选 ．
8. 设等差数列
的前 项和为 ，若
值为（
）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】 由题意得，设等差数列的首项为
，
，
，公差为 ，
用圆的性质和椭圆的定义，确定椭圆的方程，再利用椭圆的定义，进而确定结果，试题着重
考查了转化与化归思想和运算求解能力，以及分析问题和解答问题的能力
.
12. 如图，
是半径为 ，
的扇形， 是弧 上的点，
是扇形的内棱矩形，经
，若
，且当
时，四边形
的面积 取得最大，则
的值为（
）．Βιβλιοθήκη A.B.C.【答案】 B
【解析】由题意，则
D. ，
，
，则
∴
，∴
，
∴
，
当 的最大值时，
，故选 B.
点睛：此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典
. 解答本题，关键在于能利用三
角函数的定义，三角函数的基本关系式，三角函数的恒等变换，得到三角函数的解析式，进
一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的
范围，难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等
（ 2 ）直棱柱的外接球
可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，
再根据勾股定理求球的半径； （ 3）根据结合体的结构特征，利用球的性质，列出方程，求得
，则
【答案】 10
__________ ．
【解析】 因为等比数列
的各项均为正数，且
，
所以
，∴
，
所以
．
点睛：本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、对数的运算性质和等比中项公式的应
用，对于等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟 练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列性质在解题
的高，
，∴
，
平面
，∴
平面
，
，∴
，
，
在
中，
，
，∴
，
，
∴
．
，
当且仅当
时取等号，∴三棱锥
体积的最大值为
．
点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注
意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（
1）三条棱两两互相垂直时，可恢
复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；
，且
，则
的
则
，解得
，
所以
，所以
，故选 B.
9. 已知 ， 满足
，若目标函数
的最大值为 ，则 的最小值为（
）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】由题意，画出不等式组对应的平面区域，如图所示：
由
得
，
平移直线
，则由图像可知当直线
经过点 时，直线
此时 最大，为
，
由
，解得
，即
，
此时 在 当直线
上，则
，
经过点 时，直线
1. 若集合
2017 — 2018 学年第一学期期中三校联考 高三文科数学
，
，
（
）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】 由题意得，集合 中，
，即
，
所以 2. 已知复数 满足
，故选 D.
（ 为虚数单位） ，则 为（
）．
A. B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】 由
，则
， 所以
，故选 A.
3. 甲、乙两校各有 名教师报名支教，其中甲校
的截距最小，此时 最小，
由
，得
，即
，此时
，故选 D.
的截距最大，
10. 设
，记
，
，
，则 ， ， 的大小关系为（
）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】令
，则
，作出函数
图象，如图所示，
又
，，
，由图可得
，故选 A.
11. 已知圆 直平分线交
的圆心为 ，设 为圆上任一点，点
于点 ，则 的取值范围是（
）．
男 女，乙校 男 女，若从甲校和乙校报名的
教师中各任选 名，求选出的 名教师性别相同的概率？
【答案】
【解析】试题分析：由题意从甲校和乙校报名的教师中各任选
名，列出基本事件的总数，利
用古典概型的概率公式，即可求解概率值
.
试题解析：
若从甲校和乙校报名的教师中各任选
名，写出所有可能的结果有：
，
，
，，
，
，
，，
共计 个，
选出的 名教师性别相同的结果有
，
，
，
，共计 个．
故选出的 名教师性别的概率为
4. 已知双曲线
的一个焦点为
，且双曲线的渐近线与圆
相切，则双曲线的方程为（
A.
B.
C.
【答案】 D 【解析】双曲线的渐近线方程为
）． D.
，∵双曲线的渐近线与圆
相切，
∴
，∴
，∵双曲线的一个焦点为
，∴
，∴
，
，
∴双曲线的方程为
中的应用，同时还应善于运用整体代换思想简化运算过程
.
16. 如图，三棱锥
的顶点 ， ， ， 都在同一球面上，
过球心 且
是边长为 棱锥
等边三角形，点 、 分别为线段 体积的最大值为 __________ ．
， 上的动点（不含端点） ，且
， ，则三
【答案】
【解析】设 ∵平面
，∵ 为 中点，
平面
，平面
∴ 是三棱锥
.
二、填空题
13. 已知向量
，
，若
，则实数 的值为 __________ ．
【答案】 3
【解析】 由
，则
， 解得
.
14. 若函数
，且
的值域为
，则实数 的取值范围为
__________ ．
【答案】
【解析】由
，图象如图所示，
若要使值域为
，则
，且
，
，
∴
，∴ 的取值范围为
．
15. 等比数列
的各项均为正数，且
，
再将所得图象向左平移
个单位，
则所得函数图象对应的解析式为
，
本题选择 A 选项 .
6. 如图所示的程序框图，若输出的
，则判断框内填入的条件是（
）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】由题意得，执行程序可图，可得；
第一次循环：
；
第二次循环：
第三次循环：
第四次循环：
第五次循环：
第六次循环：
7. 若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（
．故选 D．
考点：双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用．
5. 将函数
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的
倍，（纵坐标不变） ，再将所得图
像向左平移 个单位，则所得函数图像对应的解析式为（
）．
A.
B.
【答案】 D
【解析】将函数
C.
D.
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
2 倍 ( 纵坐标不变 ) ，
得到的图象对应的解析式为
的坐标为
，线段 的垂
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】由题意，圆
的圆心为 ，设 为圆上任一点，
点 的坐标为
，线段 的垂直平分线交
于点 ，
∴ 是 的垂直平分线上一点，∴
，
又∵
，所以点 满足
，
即 点满足椭圆的定义，焦点是
，
，半长轴
，
故 点轨迹方程式
，所以
，
，
∵
，∴
，所以
，故选 ．
点睛：本题考查了圆的性质，椭圆的标准方程的求解以及椭圆的定义的应用，本题通过利