3第三章 能控性和能观测性

a T An1B 0
写成矩阵形式
a T [B AB An1B] 0,
由于a ≠0，
rank[B AB An1B] n
与系统能控矛盾，所以假设不成立，rank[lI-A,B]=n，必要性得证。 对于等价式，由于[sI-A,B]为多项式矩阵，对复数域上除li外所有的 det(sI-A)都不为零，则有
0
e At1
x0

e
A t1
Wc
(0, t1)

W
1 c
(0,
t1
)
x0
结果表明，对于任一x0≠0，存在有限时间t1>0和控制量u(t)， 使状态由x0转移到t1时刻x(t1 ) ＝0。充分性得证。
7
再证必要性：即系统能控那么Wc(0,t1)一定非奇异。
采用反证法，假设系统能控，而Wc(0,t1)是奇异，那么一定存在
0 0
1 0
0 2
0 1
0 0
0 0
x
0 0
0 0
04u



0 0 0 0 0 2 0 0 1 2 0
0 0 0 0 0 0 2 0 0 3 3 Nhomakorabea
0 0 0 0 0 0 0 5 3 0 0
解：此为8阶系统，n＝8
19
S
0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0
线性定常连续系统{A，B} 状态完全能控的充要条件是：
能控性判别阵S行满秩，其中
为能控性判别阵。S [B AB A2 B An1B]
证明:充分性：已知S满秩，证系统能控。
用反证法，假设rankS=n，而系统不能控，那么根据格拉姆矩
阵判据可知

Wc (0, t1 )
t1 e A BB T e AT d
0
为奇异，即存在一个非零n维向量a使
a TWc (0, t1)a
t1 a T e A BB T e ATad
0
t1 [a T e A B][a T e A B]T d 0 0
a T e A B 0, t [0, t1]
11
对上式对t求导直至n-1次，并令t=0有
[lI A,
B]


0
l
1
0
1 0
0 0 l 1 0 1
l1 l2 0

0
0
5
l
2 0
0 1 0 0 0 1
[lI A, B] 0 0
0 0
1 0 1 0 0 1 0 1
0 0 5 0 2 0
l3 5
5 1 0 0 0 1
rank[li I A B] rank[sI A B], i 1,2, n
充分性的证明类似，大家自己证明。
15
例：给定线性定常系统的状态方程为
0 1 0 0 0 1
x 0
0
1
0
x

1
0u
0 0 0 1 0 1
0 0 5 0 2 0
0
0
a TWc (0, t1)a 0
由于a ≠0，推得格拉姆矩阵 Wc (0, t1奇) 异。
与系统能控矛盾，所以假设不成立，rankS=n，必要性得证。 13
3、PBH秩判据 由Popov和Belevitch最先提出，由Hautus指出其广泛应用性 线性定常系统为完全能控的充要条件是，对矩阵A的所有特征
5
3.1.2 线性系统能控性的判据
x(t) Ax(t) Bu (t)
1、线性定常连续系统可控性的格拉姆矩阵判据
线性定常连续系统{A，B} 状态完全可控的充要条件是：存在时
刻t1>0，使如下定义的可控性格拉姆（Gram)矩阵为非奇异。

Wc (0, t1 )
t1 e A BB T e AT d
t0
实际上，对于线性时变系统也存在类似的能控性判据
线性时变连续系统{A(t)，B (t)} 状态完全能控的充要条件是：存
在时刻t1> t0 ，使如下定义的格拉姆（Gram)矩阵为非奇异。

Wc (t0 , t1)
t1 t0

(t
0
,
)
B
(t
)
B
T
(t
)

T
(t
0
,
)
d
10
2、线性定常连续系统能控性的秩判据
a T e At B 0, t [0, t1]
a T B 0, a T AB 0,a T An1B 0
写成矩阵形式 a T [B AB An1B] 0,
由于a ≠0，
rank[B AB An1B] n
与条件rankS=n矛盾，所以系统一定能控，充分性得证。 再证必要性，即已知系统能控，证明rankS=n。 同样采用反证法假设rankS<n,表明S的各行线性相关，那么一 定存在一个非零的向量a使
第三章 线性系统的 能控性和能观测性
1
3.1 线性连续系统的能控性 线性连续系统的能控性概念 线性连续系统的能控性判据 线性连续系统的能控性指数
2
3.1.1 线性连续系统能控性的概念
1、状态能控
x(t) A(t) x(t) B(t)u(t)
对于系统{A(t)，B(t)} 及某一个特定的初始状态xi(t0)。若 对每一个tf＞t0，总有定义在时间域[t0，tf]上的控制函数u(·)，能 把系统{A(t)，B(t)}从初始状态xi (t0)，转移到状态xi (tf)=0，则 称该系统的这一特定状态xi (t0)在t0时刻是能控的。 若xi (t0)对所有初始时刻都是能控的，则称xi (t)为一致能控的。
4
3、线性连续系统的输出能控性
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t) y(t) C(t)x(t) D(t)u(t)
系统{A(t)，B(t)，C(t)，D(t)})及某一个特定的初始输出y(t0)。 若对每一个tf＞t0，总存在定义在时间域[t0，tf]上的控制函数 u(·)，能把系统{A(t)，B(t)，C(t)，D(t)}从初始输出y(t0)，转 移到任意输出y(tf)，则称该系统{A(t)，B(t)，C(t)，D(t)}为输 出完全能控的。 物理意义是： 不论初始输出在何处，通过控制函数u(t)，可以将初始输出 转移到指定位置。 这个问题实际上是系统设计的基本问题。
8
BT e AT t x0 0, t [0, t1 ]
其中 x0 0,
而因为系统完全能控，对于这样一个非零向量 x0 找到一个控制
量u，使得
x (t1) e At1 x0
t1 e A(t1 ) Bu ( )d
0
0
x0
e At1
t1 e A(t1 ) Bu ( )d
rank[l1I A , B] 4
rank[l3I A , B] 4
rank[l4I A , B] 4 系统能控 17
4、PBH特征向量判据
线性定常系统为完全能控的充要条件是A不能有与B的 所有列相正交的非零左特征向量。即对A的任一特征值li，使 同时满足下两式的特征向量一定为零
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
1
00
1
0
0

0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0
,
t [0, t1]
x(t1) e At1 x0
t1 e A(t1 ) Bu ( )d
0
e At1 x0 e At1
t1 0
e

A
BB
T
e

AT
Wc1
(0,
t1
)
x0
d
e At1 x0 e At1
t1 0
e A
BB T e AT
d
Wc1(0, t1) x0
那么一定存在一个非零的向量a使 a T [lI A
B] 0
则可导出 a T (lI A) 0, a T B 0
14
a T B 0, a T (lI A) 0
展开 a T B 0
a T A laT
a T AB la T B 0 a T A2B la T AB 0
值 li(i=1,2, …,n),下式均成立。
rank[li I A B] n, i 1,2, , n 或可等价表示为 rank[sI A B] n, s C
即(sI-A)和B是左互质的。
证明：必要性，即系统能控，则上式成立。
采用反证法。假设对某个特征根l有
rank[lI A B] n 则表明矩阵[lI A B] 行线性相关

[l3I A,
B]

0 0

5 1 0 1 0 0 5 1 0 1

0 0 5 5 2 0
l4 5
5 1 0 0 0 1

[l4I A,
B]


0 0

5 1 0 0 5 1
1 0 0 1

0 0 5 5 2 0
解：此为4阶系统，n＝4
0 1 1 0 0 1 2 0
S


1
0
0
1
2
0 1 2 0 0
0 0 5 5 10 0
2 0 0 5 10 0
0