构造函数,利用导数证明不等式1

构造函数，利用导数证明不等式（1）

一、问题背景

根据题目的结构特征，构造适当的函数，利用导数作为工具，达到最终证明不等式的目的，是近几年高考中的常考题型．

二、常见的思想方法

主元法、换元之后构造、将不等式变形后构造、利用熟悉的结论构造等；主要思想：等价转化思想、数形结合、化归思想等．

三、范例

例1 已知,a b 为正实数，且b a ≠

ln ln 2a b a b a b -+<-． 【思路】我们称ln ln a b a b

--为正数,a b 的对数平均数，则结论可以叙述为：两正数（不等）的对数平均数介于它们的几何平均数与算术平均数之间．该不等式可以通过构造函数，利用导数作为工具来证明．

【解答】不妨设0a b >>

ln ln a b a b -<-，即a

b b a b a -

(1)t t >，1()2ln (1)f t t t t t =-+>， 则0)1(112)(2

2

2<+-=--='t t t t t f ，所以()f t 在),1(+∞递减，而(1)0f =，因此当1t >时，1

()2ln 0f t t t t =-+<恒成立，即a

b b a b a -

a b a b a ， 令(1)a t t b =>，2(1)g()ln (1)1

t t t t t -=->+， 则0)1()1()1(41)(2

2

2>+-=+-='t t t t t t g ，所以g()t 在),1(+∞递增，而g(1)0=，因

此当1t >时，2(1)ln 01t t t -->+恒成立，即ln ln 2

a b a b a b -+<-成立． 例2 ()x f x e ax a =-+，

（1）2a =时，求过(0,2)P 的()f x 的切线方程；

（2）当()f x 存在两个不同零点1212,x (x )x x <时，求证：1212x x x x <+．

【思路】第（2）题中我们先要探究：当()f x 存在两个不同零点1212,x (x )x x <时，要具备什么条件，又能推得什么结论？在得出21221,x x e a <<<>的基础上，要证明1212x x x x <+，可转化为证明1112

1>+x x ，或1)1)(1(21<--x x 等思路． 【解答】（1）切线方程为(2)2y e x =-+；

（2）研究x e y =和a ax y -=，当直线与曲线相切时，设切点为),(00x e x ，切线方程

为)(000x x e e y x x -=-，因此⎩⎨⎧==⇒⎩

⎨⎧-=-=2002)1(00e a x a x e a e x x ．这样当()f x 存在两个不同零点1212,x (x )x x <时，212

21,x x e a <<<>． 方法一：即证11121>+x x ，令)21,0(1),1,21(12211∈=∈=x t x t ，由于⎩⎨⎧-=-=)

1()1(2121x a e x a e x x ，所以⎩⎨⎧-+=-+=)

1ln(ln )1ln(ln 2211x a x x a x ，21,t t 为方程0ln 1)11ln()(=+--=a t t t h 的两根． 由于)

1(121111)(22--=+---='t t t t t t t h ，所以)(t h 在)21,0(递增，在）（1,21递减． 设)1()()(t h t h t --=ϕ，则)1()()(t h t h t -'+'='ϕ，)(t ϕ在)21

,0(递增，

从而，当)21,0(∈t 时0)21()(=<ϕϕt ，即)1()(t h t h -<，

所以)1()()(221t h t h t h -<=，因此211t t ->，不等式成立．

方法二：由方法一知，121121221(1)(1)ln(1)ln(1)1

x x x e x x x x x --=⇔---=----， 令),1(1),1,0(12211+∞∈-=∈-=x t x t ，则1122lnt lnt t t -=-，

h (t )l n t t =-在)1,0(递增，在

）（+∞,1递减． 设1(t)(t)()h h t ϕ=-，其在)1,0(递减，所以1(t )(1)0ϕϕ>=，

所以)1

()()(112t h t h t h >=，从而11211

2<⇒

方法三： 令),1(1),1,0(12211+∞∈-=∈-=x t x t ，则1122

ln t t t t =-， 令12(0,1)t u t =∈，则12ln 1ln 1u u t u u

t u ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩

，要证121， 由u

u u u h 1ln )(+-=在)1,0(递减，故0)1()(=>h u h ，得证． 方法四：

1212(1)(1)1ln(1)ln(1)x x x x ---=---， 从而1)1)(1(21<--x x ，即1212x x x x <+．

方法五：将⎩⎨⎧-=-=)1()1(2121x a e x a e x x 两式相乘得，即证12

2x x e a +<，12x 2ln x a +<， 令()()(2ln ),1ln h x f x f a x x a =--<<，则()h x 递增，()(ln )0h x h a <=， 所以211()()(2l n )f x f x f a x =<-．而()f x 在(ln ,)a +∞递增，因此212ln x a x <-，即不等式成立．

四、练习

1．已知：,a R b R +∈∈，求证：1ln a ab e

b b -≤+． 2．设()x

f x e ax a =--．

（1）若()0f x ≥对于[1,)x ∀∈-+∞恒成立，求a 的范围；

（2）求证：1100822015()2016e -<．