【VIP专享】2013年高中数学教学论文在解析几何中求参数范围的9种方法

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解析几何中求参数取值范围的5种常用方法

解析几何中求参数取值范围的5种常用方法解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），=-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）令y=0得 x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（）A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q（ y024 ，y0）由|PQ| ≥a得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ）二、利用判别式构造不等式在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是（）A [-12 ，12 ]B [-2，2]C [-1，1]D [-4，4]分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为（-2，0），则直线L的方程为y = k（x+2）由得 k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选（C）例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得（k2-2）x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<-2三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P 在曲线上，则f（x0，y0）=0;若P在曲线内，则f（x0，y0）<0;若P在曲线外，则f（x0，y0）>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。

【高中数学】解析几何中求参数取值范围的方法

公式四：利用公式二和公式三可以得到 π -α 与 α 的三角函数值之间的关系： sin（π －α ）＝sinα cos（π －α ）＝－cosα tan（π －α ）＝－tanα cot（π －α ）＝－cotα
公式五：利用公式一和公式三可以得到 2π -α 与 α 的三角函数值之间的关系： sin（2π －α ）＝－sinα cos（2π －α ）＝cosα tan（2π －α ）＝－tanα cot（2π －α ）＝－cotα
sin（α ＋β ）＝sinα cosβ ＋cosα sinβ sin（α －β ）＝sinα cosβ －cosα sinβ cos（α ＋β ）＝cosα cosβ －sinα sinβ cos（α －β ）＝cosα cosβ ＋sinα sinβ tan（α ＋β ）＝(tanα +tanβ )／(1-tanα tanβ ) tan（α －β ）＝(tanα －tanβ )／(1＋tanα ²tanβ ) 二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式） sin2α ＝2sinα cosα cos2α ＝cos^2(α )－sin^2(α )＝2cos^2(α )－1＝1－2sin^2(α ) tan2α ＝2tanα /[1－tan^2(α )] 半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） sin^2(α /2)＝(1－cosα )／2 cos^2(α /2)＝(1＋cosα )／2 tan^2(α /2)＝(1－cosα )／(1＋cosα ) 另也有 tan(α /2)=(1－cosα )/sinα =sinα /(1+cosα ) 万能公式 sinα =2tan(α /2)/[1+tan^2(α /2)] cosα =[1-tan^2(α /2)]/[1+tan^2(α /2)] tanα =2tan(α /2)/[1-tan^2(α /2)] 万能公式推导

解析几何中参数取值范围问题（精）

解析⼏何中参数取值范围问题（精）解析⼏何中参数取值范围问题⼀．学习⽬标：1、掌握求参数取值范围的基本思路与⽅法，会解决⼀些简单的求参数取值问题；2、了解双参数问题的求解思路。

⼆．思想⽅法技巧1．利⽤数形结合思想求解：挖掘参数的⼏何意义，转化为直线斜率、距离等问题求解； 2．通过建⽴参数的不等式求解：（1）利⽤题设中已有的不等关系建⽴不等式；（2）利⽤判别式建⽴不等式（3）利⽤图形特征建⽴不等式 3．双参数问题求解策略：建⽴参数的不等式、⽅程的混合组，通过消元转化为⼀元不等式，或转化为求函数值域问题求解。

4、分类讨论思想的运⽤三．基础训练1．已知两点A （－3，4）．B （3，2），过点P （2，－1）的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．[1,3]-B ．(1,3)-C ．(,1][3,)-∞-?+∞D ．(,1)(3,)-∞-?+∞2．直线y kx =与双曲线221169x y -=不相交，则k 的取值范围是 3．已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（）（A ）），（2222-（B ）），（22-（C ）），（4242-（D ）），（8181-⼆．典型例题1．若直线y=x+b 与曲线21y x -=恰有⼀个公共点,则有b 的取值范围是。

2．双曲线1422=+ky x 的离⼼率为e ，且e ∈(1，2)则k 的范围是________。

3．若直线y x b =+与曲线224(0)x y y +=≥有公共点，则b 的取值范围是（）A ． [2,2]-B ． [0,2]C ．D ． [-4．直线y=kx －2与焦点在x 轴上的椭圆1522=+my x 恒有公共点，求m 的取值范围5．已知椭圆C ：2214x y += 和直线:2l y x m =+，椭圆C 上存在两个不同的点A 、B 关于直线l 对称，求m 的取值范围三．巩固练习1．若平⾯上两点A （-4，1），B （3，-1），直线2+=kx y 与线段AB 恒有公共点，则k 的取值范围是。

解析几何中求参数取值范围的方法(精)

解析几何中求参数取值范围的方法近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。

学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。

那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0)求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x 1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF•FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ<ARCTAN4例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是 ( )A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<A<2分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )二、利用判别式构造不等式在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是 ( )A [-12 ,12 ]B [-2,2]C [-1,1]D [-4,4]分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为(-2,0) , 则直线L的方程为y = k(x+2)由得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选 (C)例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则△>0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<K<-2三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系：若P在曲线上，则f(x0,y0)=0;若P在曲线内，则f(x0,y0)<0;若P在曲线外，则f(x0,y0)>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。

2013年高中数学教学论文在解析几何中求参数范围的9种方法

从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。

由于不少考生在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，本文通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，期望对考生的备考有所帮助。

背景之一：题目所给的条件利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。

这是求范围问题最显然的一个背景。

例1：椭圆),0(12222为半焦距c b c a bya x>>>=+的焦点为F 1、F 2，点P(x , y )为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是___。

解：设P(x 1, y )，∠F 1PF 2是钝角⇔cos∠F 1PF 2 =||||2||||||212212221PF PF F F PF PF ⋅-+222212221)(||||||0y c x F F PF PF ++⇔<+⇔<2)(c x -+22224yx c y +⇔<+22222222222)(x ab a cx a ab x c-⇔<-+⇔<)(2222222b c ca xbc -<⇔-<2222b c ca x bc ca -<<--⇔。

说明：利用∠F 1PF 2为钝角，得到一个不等式是解题的关键。

把本题特殊化就可以得到2000年全国高考题理科第14题：椭圆14922=+yx的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是__________。

（答案为 x 553(-∈，)553）例2：（2000年全国高考题理科第22题）如图，已知梯形ABCD 中，AB =2CD ，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过点C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。

导数求参数范围求解技巧

导数求参数范围求解技巧求解参数范围的问题在数学中是非常常见的。

特别是当我们需要优化一个函数时，对参数进行限制是非常重要的。

在这篇文章中，我将介绍一些常用的技巧来求解参数范围的问题。

一、符号法在一些简单的问题中，我们可以使用符号法来得到参数的范围。

首先，我们可以将函数的导数表示为一个关于参数的符号表达式。

然后，我们可以观察这个符号表达式的一些特征，比如符号和零点的位置，来确定参数的范围。

例如，假设我们需要求解函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的参数范围，其中$a$和$b$是实数，$c$是一个正常数。

我们可以计算函数的导数：$f'(x) = 2ax + b$。

由于导数是线性的，对于任意的$x$，导数都是连续的。

因此，我们只需要考虑导数的正负号。

当$a > 0$时，函数的导数为正，说明函数是单调递增的。

因此，我们可以得出结论：$a > 0$。

当$a < 0$时，函数的导数为负，说明函数是单调递减的。

因此，我们可以得出结论：$a < 0$。

而当$a = 0$时，函数的导数为常数$b$，说明函数是一个平面。

因此，我们可以得出结论：$a = 0$。

二、零点法在一些复杂的问题中，使用符号法往往不够直观。

因此，我们可以使用零点法来求解参数范围的问题。

这种方法的基本思想是寻找函数的零点，并通过分析零点的数量和位置来确定参数的范围。

首先，我们可以先计算函数的导数，并找到导数为零的点。

然后，我们可以观察这些零点的位置和数量，从而得到参数的范围。

特别地，我们可以使用二次函数的零点公式来求解二次函数的参数范围。

例如，假设我们需要求解二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的参数范围，其中$a$和$b$是实数，$c$是一个正常数。

我们可以计算函数的导数：$f'(x) = 2ax + b$。

我们可以令导数为零，得到方程$2ax + b = 0$。

解这个方程，我们可以得到$x = -\\frac{b}{2a}$。

求参数取值范围的方法

求参数取值范围的方法参数取值范围是在科学研究和工程设计中常见的问题。

确定参数的取值范围对于正确的模型建立和系统设计至关重要。

本文将介绍一些常用的方法来确定参数的取值范围。

一、理论分析法理论分析法是通过对问题进行深入研究和分析，结合已有的理论知识和经验，来确定参数的取值范围。

这种方法适用于已有较为完善的理论模型或经验公式的情况。

通过对模型或公式的推导和分析，可以得到参数的取值范围。

二、实验测定法实验测定法是通过实验手段来确定参数的取值范围。

通过设计合理的实验方案，对参数进行系统的测量和观察，得到参数的实际取值范围。

这种方法适用于对参数的影响机理不清楚或无法通过理论分析得到准确结果的情况。

三、经验估计法经验估计法是通过借鉴过去的经验和类似问题的解决方法，来估计参数的取值范围。

通过对类似问题的分析和总结，可以得到参数的典型取值范围。

这种方法适用于缺乏理论模型或实验数据的情况。

四、专家咨询法专家咨询法是通过请教相关领域的专家来确定参数的取值范围。

专家凭借自己的经验和知识，可以给出合理的参数取值范围。

这种方法适用于问题比较复杂或涉及多个学科领域的情况。

五、参数优化算法参数优化算法是通过数值计算的方法来确定参数的取值范围。

通过建立数学模型和定义优化目标，可以使用优化算法来搜索最优的参数取值范围。

这种方法适用于参数之间存在复杂的相互关系或目标函数不易通过解析方法求解的情况。

在确定参数取值范围时，需要考虑以下几个因素：1. 系统要求：根据系统的要求和性能指标，确定参数的取值范围。

例如，对于一个控制系统，参数的取值范围应该能够满足系统的稳定性和响应速度要求。

2. 物理限制：考虑参数的物理限制，例如材料的强度、温度的范围等。

参数的取值范围应该在物理限制范围内。

3. 经济因素：考虑参数的取值对系统成本的影响。

参数的取值范围应该在经济可接受范围内。

4. 安全因素：考虑参数的取值对系统安全性的影响。

参数的取值范围应该能够保证系统的安全运行。

求参数取值范围一般方法

求参数取值范围一般方法参数取值范围是指参数在特定条件下允许的取值范围。

在软件开发、数据分析、科学实验等领域中，确定参数的取值范围是非常重要的，因为这会影响到结果的准确性、可信度以及应用的有效性。

下面介绍一般的方法来确定参数的取值范围。

1.理论分析法：通过对问题的物理、数学或其他理论进行分析，可以确定参数的取值范围。

例如，在设计一个模型时，可以根据模型的基本原理和公式来确定参数该取值范围。

这种方法特别适用于已有理论支持的情况。

2.经验法：根据以往的经验或类似问题的实例，可以推断参数的取值范围。

这种方法通常适用于缺乏理论依据的情况下。

例如，针对其中一种疾病的药物剂量，可以参考以往的治疗经验来确定剂量的取值范围。

3.数据分析法：通过对已有数据进行统计分析，可以确定参数的取值范围。

例如，在建立一种新的预测模型时，可以通过对历史数据的分析来确定参数的范围。

这种方法可以利用统计方法，如均值、方差、相关性等来分析数据。

4.试错法：通过反复尝试参数的不同取值，观察实际效果，逐步逼近最佳取值范围。

这种方法适用于直观的实验或模拟过程。

例如，在优化算法的应用中，可以通过不断调整参数的取值来获得最佳的结果。

5.常识法：根据实际情况和常识来确定参数的大致取值范围。

例如，在设计一个电子产品的电池寿命时，可以根据用户的使用习惯和常见的电池寿命来估算参数的范围。

总结起来，确定参数的取值范围是一个综合性的问题，需要结合理论、经验、数据分析、试错和常识等多种方法。

在确定参数的取值范围时，需要考虑到参数的物理限制、问题的实际需求以及结果的准确性和可靠性。

此外，还需要根据具体情况灵活运用不同的方法，以确保参数的取值范围能够满足问题的要求。

解析几何中的范围问题的解法

解析河北迁安一中汪昌武邮编 064400在解析几何中，求参数的取值范围是高考重点考查内容之一。

求参数的取值范围的关键是构建不等关系，现就构造不等关系提供如下方法： 1．判别式法例1．曲线()222:10x C y a a-=>与直线:1l x y +=相交于不同两点B A 、。

求双曲线离心率的取值范围。

解：双曲线222:1x C y a-=与直线:l x y + 211220x x a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭依条件得得22021a a <<≠且又c e a a=== )2e ⎛∴∈⋃+∞⎝⎭说明：解本题的关键是抓住直线与圆锥曲线有两个不同交点，构造关于a 的不等关系，从而达到求e 得范围的目的。

2．重要不等式法例2．椭圆()222210x y a b ab+=>>两焦点为12,F F ，M 是椭圆上一点，且满足120F M F M =。

求椭圆离心率e 的范围。

解：由120F M F M = 得122F M F π∠=，在12Rt F M F 中，22212||||4F M F M c+= 又有椭圆定义 12||||2F M F M a +=()212222212||||4||||22F M F M c F M F M a+∴=+≥=，12e ∴≤<。

说明：解本题的关键是构造a ，b ，c 基本量的不等关系。

3．比对法例3．求使抛物线()2:10C y ax a =-≠上有不同两点关于直线:0l x y +=对称。

求实数a 的取值范围。

解：设()11,A x y ， ()22,B x y 是C 上关于:0l x y +=对称的两点，易知0a >，()00,M x y 是A ，B 的中点。

则有2111y ax =-，2221y ax =- 两式相减得()()121212y y a x x x x -=-+ 又12121y y x x -=- 且 1202x x x +=021ax ∴=， 012x a=， 012y a=-。

高考解析几何题求参数取值范围的九种途径

高考解析几何题求参数取值范围的九种途径解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。

由于不少同学在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，下面通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，期望对同学们的备考有所帮助。

背景之一：题目所给的条件利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。

这是求范围问题最显然的一个背景。

例1：椭圆),0(12222为半焦距c b c a by a x >>>=+的焦点为F 1、F 2，点P(x , y )为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是___。

解：设P(x 1, y )，∠F 1PF 2是钝角⇔cos ∠F 1PF 2 =||||2||||||212212221PF PF F F PF PF ⋅-+222212221)(||||||0y c x F F PF PF ++⇔<+⇔<2)(c x -+22224y x c y +⇔<+22222222222)(x ab ac x a a b x c -⇔<-+⇔<)(2222222b c c a x b c -<⇔-< 2222b c ca xbc c a -<<--⇔。

说明：利用∠F 1PF 2为钝角，得到一个不等式是解题的关键。

把本题特殊化就可以得到某年全国高考题理科第14题：椭圆14922=+y x 的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是__________。

（答案为 x 553(-∈，)553）背景之二：曲线自身的范围圆、椭圆、双曲线及抛物线都有自身的范围，如椭圆a by a x (12222=+>b>0)中，x ,10],,[],,[<<-∈-∈e b b y a a ，利用这些范围是确定参数范围的途径之一。

高中数学必备知识点解析几何中求参数取值范围的5种常用方法

一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a 的取值范围是（）A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q（ y024 ，y0）由|PQ| ≥a得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ）二、利用判别式构造不等式在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是（）A [-12 ，12 ]B [-2，2]C [-1，1]D [-4，4]分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为（-2，0），则直线L的方程为y = k（x+2）由得 k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选（C）例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得（k2-2）x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<-2三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P在曲线上，则f（x0，y0）=0;若P在曲线内，则f（x0，y0）<0;若P在曲线外，则f（x0，y0）>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。

处理解析几何中的最值与范围问题的九种方法廖庆伟

处理解析几何中的最值与范围问题的九种方法ʏ湖北省巴东县第三高级中学廖庆伟最值与范围问题是解析几何中的重要题型,也是高考的重点,题目难度较大,处理方法灵活多变㊂求解方法一般有:圆锥曲线的性质法㊁二次函数性质法㊁函数的单调性法㊁基本不等式法㊁三角函数性质法㊁三角形边的关系法㊁垂线段性质法㊁柯西不等式法以及仿射变换法㊂一㊁圆锥曲线的性质法例1 (2021年河南省商丘市期末卷)已知F 1㊁F 2是椭圆C :x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的左㊁右焦点,O 为坐标原点,点M 是椭圆C 上的点(不在坐标轴上),点N 是O F 2的中点,若MN 平分øF 1M F 2,则椭圆C 的离心率的取值范围是( )㊂A.12,1 B .0,12C .13,1D .0,13解析:因为O 是F 1F 2的中点,N 是O F 2的中点,所以|N F 1|=3|N F 2|㊂因为MN 平分øF 1M F 2,所以|M F 1||M F 2|=|N F 1||N F 2|=3㊂因为|M F 1|+|M F 2|=2a ,所以|M F 1|=3a 2,|M F 2|=a2㊂由a -c <|M F 1|=3a2<a +c ,可得椭圆C 的离心率e =c a >12㊂又e <1,故椭圆C 的离心率的取值范围是12,1㊂选A ㊂评注:椭圆上的点到焦点的最大距离为a +c ,最小距离为a -c ㊂二㊁二次函数性质法例2 已知F为抛物线y 2=2x 的焦点,A (x 0,y 0)为抛物线上的动点,点B (-1,0),则2|A B |2|A F |+1的最大值为( )㊂A.12 B .2 C .62 D .5解析:由题意知x 0ȡ0,F 12,0㊂易得|A B |=(x 0+1)2+y 20=x 20+4x 0+1,|A F |=x 0+12㊂所以2|A B |2|A F |+1=2x 20+4x 0+12x 0+2=x 20+4x 0+1x 0+1㊂令t =x 0+1ȡ1,则x 0=t -1㊂所以2|A B |2|A F |+1=(t -1)2+4(t -1)+1t=t 2+2t -2t2=-2t 2+2t +1㊂则当1t =12,即t =2时,2|A B |2|A F |+1取最大值,此时2|A B |2|A F |+1=62㊂故选C ㊂评注:换元后应注意新元素的取值范围㊂三㊁函数的单调性法例3 已知椭圆C 1:x23+y 2=1的左顶点为A ,若曲线C 2的方程为(x -t )2+y2=(t 2+3t )20<t ɤ22,过椭圆C 1的左顶点A 的直线l 与曲线C 2相切,则直线l 被椭圆C 1截得的线段长度的最小值为㊂解析:已知椭圆C 1的方程为x 23+y 2=1,故左顶点A 的坐标为(-3,0)㊂易知直线l 的斜率存在,不妨设直线l 的方程为y =k (x +3)㊂由直线l 与曲线C 2相切得|k (t +3)|k 2+1=(t +3)t ,整理得|k |k 2+1=t ㊂又因为0<t ɤ22,所以0<|k |k 2+1ɤ22,解得0<k 2ɤ1㊂联立x 23+y 2=1,y =k (x +3),消去y 整理得:(3k 2+1)x 2+63k 2x +9k 2-3=0㊂易知直线l 被椭圆C 1截得线段的一个端点为A (-3,0)㊂设椭圆的另一端点为B ,解方程可得点B 的坐标为-33k 2+33k 2+1,23k 3k 2+1㊂所以|A B|=-33k 2+33k 2+1+32+12k2(3k 2+1)2=23k 2+13k 2+1㊂令m =k 2+1(1<m ɤ2)㊂则|A B |=23m 3(m 2-1)+1=233m -2m ㊂由函数y =3m -2m的性质知,y =3m -2m在区间(1,2]上是增函数,所以当m =2时,y =3m -2m 取得最大值22,从而|A B |m i n =62㊂评注:函数y =x -kx (k >0)的单调递增区间为(-ɕ,0),(0,+ɕ)㊂四㊁基本不等式法例4 (2022年河南部分名校联考)已知F 1㊁F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点,P 为双曲线左支上的任意一点,若|P F 2|2|P F 1|的最小值为8a ,则双曲线的离心率e 的取值范围是( )㊂A.(1,+ɕ) B .(2,3]C .(1,3]D .(1,2]解析:因为F 1㊁F 2是左㊁右焦点,P 为双曲线左支上的任意一点,所以|P F 2|-|P F 1|=2a ㊂代入|P F 2|2|P F 1|,得|P F 2|2|P F 1|=(|P F 1|+2a )2|P F 1|=|P F 1|+4a +4a2|P F 1|ȡ2|P F 1|ˑ4a2|P F 1|+4a =8a ,当且仅当|P F 1|=2a 时取等号㊂又点P 是双曲线左支上任意一点,所以|P F 1|ȡc -a ,即2a ȡc -a ㊂因为e =ca ,所以1<e ɤ3㊂选C ㊂评注:解题的关键是由定义得|P F 2|2|P F 1|=(|P F 1|+2a )2|P F 1|=|P F 1|2+4a |P F 1|+4a2|P F 1|=|P F 1|+4a +4a2|P F 1|㊂五㊁三角函数性质法例5 (2022年江西省丰城市第九中学检测)已知F 1㊁F 2分别为双曲线C :x24-y212=1的左㊁右焦点,E 为双曲线C 的右顶点㊂过F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ,B 两点(其中点A 在第一象限),设M ,N 分别为әA F 1F 2,әB F 1F 2的内心,则|M E |-|N E |的取值范围是( )㊂A.-ɕ,-433 ɣ433,+ɕB .-433,433C .-335,335D .-53,53解析:设A F 1㊁A F 2㊁F 1F 2与内切圆M的切点分别为H㊁I㊁J,则|A H|=|A I|, |F1H|=|F1J|,|F2J|=|F2I|㊂由|A F1|-|A F2|=2a,得(|A H|+ |H F1|)-(|A I|+|I F2|)=2a㊂所以|H F1|-|I F2|=2a,即|J F1|-|J F2|=2a㊂设内心M的横坐标为x0,由J Mʅx轴得点J的横坐标也为x0,则(c+x0)-(c-x0)=2a,得x0=a,即E为直线J M与x轴的交点,J与E重合㊂同理可得,әB F1F2的内心在直线J M 上㊂设直线A B的倾斜角为θ(0ɤθ<π),则øE F2M=π-θ2,øE F2N=θ2㊂|M E|-|N E|=(c-a)t a nπ-θ2-(c-a)t a nθ2=(c-a)㊃c o sθ2s i nθ2-s i nθ2c o sθ2=(c-a)2c o sθs i nθ=(c-a)2t a nθ㊂①当θ=π2时,|M E|-|N E|=0㊂②当θʂπ2时,由题意知,a=2,c=4,b a =3㊂因为A,B两点在双曲线的右支上,所以π3<θ<2π3,且θʂπ2,即t a nθ<-3或t a nθ>3㊂所以-33<1t a nθ<33,且1t a nθʂ0㊂因此,|M E|-|N E|=4t a nθɪ-433,0ɣ0,433㊂综上所述,|M E|-|N E|=4t a nθɪ-433,433㊂故选B㊂评注:正切函数y=t a n x在0,π2,π2,π上分别单调递增㊂六㊁三角形边的关系法例6(2022年河南创新发展联盟联考)已知A,B是抛物线y2=-6x上的两点,且|A B|=11,则线段A B的中点到y轴距离的最小值为()㊂A.72B.4C.92D.5解析:由抛物线方程可知,其焦点为F-32,0,准线为l:x=32㊂分别过A,B作准线的垂线,垂足分别为C,D,A C与B D分别交y轴于M,N㊂则|A M|=|A C|-32=|A F|-32, |B N|=|B D|-32=|B F|-32㊂设A B的中点为E,过E作y轴的垂线,垂足为G,所以|E G|=12(|A M|+|B N|) =12|B D|-32+|A C|-32=12(|A F|+ |B F|-3)ȡ12(|A B|-3)=4(当且仅当A, B,F三点共线时,等号成立)㊂所以线段A B的中点到y轴距离的最小值为4㊂选B㊂评注:三角形任意两边之和大于第三边㊂七㊁垂线段性质法例7已知O为坐标原点,A,B为抛物线y2=2p x(p>0)上异于点O的两个动点,且øA O B=90ʎ㊂若点O到直线A B的距离的最大值为8,则p的值为㊂解析:由题意知,直线O A,O B均有斜率且都不为0㊂设直线O A的方程为y=k x,联立方程y=k x,y2=2p x,解得点A2pk2,2p k㊂易知直线O B的方程为y=-1k x,所以B(2p k2,-2p k)㊂因此,直线A B的方程为y+2p k= 2pk+2p k2pk2-2p k2(x-2p k2),即y+2p k=k1-k2㊃(x-2p k2)㊂令y=0,得x=2p,所以直线A B必过定点(2p,0)㊂所以当直线A B垂直于x轴时,点O到直线A B的距离最大,即2p=8,p=4㊂评注:过定点的直线与已知直线垂直时,点到直线的距离最大㊂八㊁柯西不等式法例8(2022年天津西青区杨柳青第一中学期末卷)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且øF1P F2=π3,则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为()㊂A.43B.433C.4D.463解析:设椭圆的长半轴为a,双曲线的实半轴为a1(a>a1),半焦距为c㊂由椭圆和双曲线的定义可设|P F1|= m,|P F2|=n,|F1F2|=2c,椭圆和双曲线对应的离心率分别为e1=c a,e2=c a1㊂因P是它们的一个公共点,且øF1P F2 =π3,故由余弦定理可得:4c2=m2+n2-2m n c o sπ3㊂①在椭圆中,由定义知m+n=2a,①式化简为4c2=4a2-3m n㊂②在双曲线中,由定义知|m-n|=2a1,①式化简为4c2=4a21+m n㊂③由②③两式消去m n得:16c2=4a2+12a21㊂等式两边同除以c2得4=a2c2+3a21c2,即4=1e21+3e22㊂由柯西不等式得1e21+3e221+13ȡ1 e1+3e2㊃132㊂所以1e1+1e2ɤ433㊂选B㊂评注:柯西不等式的代数形式:设a,b, c,d为实数,则(a2+b2)㊃(c2+d2)ȡ(a c+ b d)2,当且仅当a d=b c时等号成立㊂九㊁仿射变换法例9已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b> 0),F1㊁F2分别为椭圆的左㊁右焦点,过F1㊁F2作两条互相平行的弦,分别与椭圆交于M㊁N㊁P㊁Q四点,若两条弦垂直于x轴时,点M㊁N㊁P㊁Q所形成的平行四边形面积最大,则椭圆离心率的取值范围为㊂解析:作仿射变换,令x'=x,y'=a b y,可得仿射坐标系x'O'y'㊂在此坐标系中,上述椭圆变换为圆x'2+ y'2=a2,点F1㊁F2坐标分别为(-c,0)㊁(c, 0),过F1㊁F2作两条平行的弦分别与圆交于M'㊁N'㊁P'㊁Q'四点㊂由平行四边形性质易知,әO'P'Q'的面积为M'㊁N'㊁P'㊁Q'四点所形成的平行四边形面积的14,故只需取әO'P'Q'面积的最大值㊂当cɪ0,22a 时,әO'P'Q'面积的最大值在弦P'Q'与x轴垂直时取到㊂故椭圆离心率的取值范围为0,22 ㊂评注:利用仿射变换将椭圆变换为圆,此时M㊁N㊁P㊁Q四点分别变换为M'㊁N'㊁P'㊁Q'四点,由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质,将上述题目中的椭圆变换为圆时,M'㊁N'㊁P'㊁Q'四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与x轴垂直时取到㊂只需研究在圆的一条直径上,取关于圆心对称的两点F1㊁F2,当|O F1|为多少时,能使得过F1㊁F2的两条互相平行的弦与此直径垂直,此时与圆的四个交点所形成的面积最大㊂(责任编辑徐利杰)。

解析几何中求参数取值范围的方法

解析几何中求参数取值范围的方法
戴冬纯
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2014(000)008
【摘要】近年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中．这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式．那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法．
【总页数】1页(P18-18)
【作者】戴冬纯
【作者单位】江西省赣州市崇义县崇义中学,341300
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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高中数学解析几何中有关参数范围问题的求解策略

解析几何中有关参数范围问题的求解策略〔浙江省宁波市北仑明港中学 315800〕刘允忠解析几何中的参数范围问题是一类综合性强、变量多、涉及知识面广的题目，因而也是例1、m分析：1l 与2l 直线，而m 简解：1l 过〔 2l 过〔 5(202+x 由得到关于x 的一元二次方程m x y +-=的斜率-m 应为倾角的正切，而当倾角在(0°,90°)或(90°,180°)内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在∠ACB 内部变化时，k 应大于或等于k BC ，或者k 小于或等于k AC ，当A 、B 两点的坐标变化时，也要能求出m 的范围。

二．构造含参不等式探求参数范围例3 . (2005年广州市高考模拟题)抛物线C 的顶点在原点，以双曲线22115y x -=的左准线为准线。

〔Ⅰ〕求抛物线C 的方程；〔Ⅱ〕假设直线:1(1)l y k x -=-〔0k ≠〕垂直平分抛物线C 的弦，求实数k 的取值范围。

分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，可以设法得到关于k 的不等式，通过解不等式求出k 的范围，即：“求范围，找不等式〞。

或者将k 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出k 的范围。

解：〔Ⅰ〕双曲线22115y x -=的左准线方程是14x =-，故抛物线C 的方程为2y x =；〔Ⅱ〕设抛物线C 被直线l 垂直平分的弦AB 的方程为0x ky c ++=，那么2220400y xy ky c k c x ky c ⎧=⇒++=⇒∆=->⎨++=⎩…①设11(,)A x y 、22(,)B x y ，那么12y y k +=-，21212()22x x k y y c k c +=-+-=-，从而弦AB的中点22,22k c k M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由此及点M 在直线l 上得：232211222k k c k k k c k ⎛⎫--+--=-⇒=⎪⎝⎭，代入①式得：33222(2)2400(2)(22)0k k k k k k k k k k k-+-+->⇒<⇒+-+<，解之得：20k -<<，故实数k 的取值范围是(2,0)-。