函数的性质 函数的极值与最值

故每月每套租金为350元时收入最高. 最高收入为
又R( x ) 0 x 350是唯一极值点且是极大值点.
350 R( x ) (350 20)(68 ) 10890 (元 ) 10
25
小结与习题
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点都是可能极值点,也称为临界点.
2
令 y 0 , 得函数有唯一的驻点 h 2r . 2 2r 2r 0 h 时, y( h) 0, h 时, y ( h) 0, 2 2 2r h 是函数的极大值点,且为最大值点, 2
2r 因而高度 h 时,桌面边缘的照度最强. 2
20
例 (补充) 铁路线上AB段
3 2 求函数 y 2 x 3 x 12 x 25 在区间 [2, 4]
上的最大和最小值. 解 函数可能的极值点是 x1 1, x2 2. 且 f ( 1) 32, f (2) 5, 又 f ( 2) 21, f (4) 57,
由此可得,函数在区间 [2, 4] 上的最大值是
例2 求函数 y (2 x 5) x
解 由上一节，已知
5 3 2 3
2 3
的极值.
2 3 1 3
10 10 y (2 x 5 x ) x x 3 3

1 0
10( x 1) 3x
1 3
,
注意: 题中有不可导点,因而不能用第二充分条件,列表
x
y
y
(, 0)
0
(1)建立目标函数;
(2)求最值;
若目标函数只有唯一的极值点,则极大值 即为最大值,极小值即为最小值.
23
例
某房地产公司有50套公寓要出租，当租金
定为每月180元/套时，公寓会全部租出去。当租金
每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出 去的房子每月需花费20元/套的整修维护费。试问 房租定为多少可获得最高收入？最高收入是多少？ 解 设房租为每月x 元/套，
f (4) 57, 最小值是 f (2) 5.
17
例 求函数
y (2 x 5) x 在区间 [1, 2] 上的
2 3
最大和最小值． 解 由例2可知, 函数可能的极值点是驻点 x 1 和不可导点 x 0, 且 f (0) 0, f (1) 3,
2 3
又 f ( 1) 7, f (2) 2 , 所以可得函数在区间 [1, 2] 上的最大值是 f (0) 0, 最小值是 f ( 1) 7. 应用题举例 (书上例5、6请学生自己看书 )．
第二节 函数的性质
一、函数的单调性 二、函数的极值 三、函数的最值 四、曲线的凹凸性 五、函数的分析作图法
1
二、函数的极值
1.函数极值的定义
定义 设函数 f ( x ) 在 x0 的某邻域 N ( x0 , ) 内有定义,
x N ( x0 , )时,有 f ( x ) f ( x0 ) ( f ( x ) f ( x0 )),
30
思考题2解答
结论不成立. 例
因为最值点不一定是内点.
y f ( x ) x x [0,1]
在 x 0 有最小值，但 f (0) 1 0
m min{ f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f (a ), f (b)}; 则 M , m 分别为函数 f ( x ) 在区间 [a , b] 上的
最大值,最小值.
16
2.函数 f ( x ) 在一般区间(包括无穷区间)上连续, 且有唯一极值点，则极值即为最值。 例
7
注意
(1)定理3应用时,必须注意条件“ x 0 是函数 f ( x ) 的驻点”； (2)若 f ( x0 ) 0, 不能用定理3. 如
y x4
y x ,y x
4
3
在 x = 0 处都不能用定理3.
8
( x 2)3 例 求函数 y 的极值. x 解 由上一节，已知
2 3
的距离为100km,某工厂C
距A为20km, AC AB.
A 20 C
x
400 x 2
D 100
100 x
B
要在AB上选定一D点向工厂C修一条公路. 运费之比为3:5. 省,D应选在何处?
已知
铁路线上每千米货运运费与公路上每千米货运运 为使货物从B运到工厂C的运费最
解
设D点选在距A为 x km 处, 则 DB 100 x,
^
则称 f ( x0 )为函数 f ( x ) 的一个 极大(小)值. 函数的极大值
y
与极小值统称为函数的极值. 使函数取得极值的点称为函 数的极值点.
O
x
2
说明:
(1)函数的极值是局部概念, 不一定是整个定义域上的最
y
值,且极值点不能是定义区间
的端点； (2)在函数的定义域内可
x
O
能有多个极值,其中极大值
不一定大于极小值.
3
2.极值点的求法
驻点:函数的导数为零的点称为函数的驻点. 定理1(必要条件) 若点 x0是函数 值点, 则 注意:
y f ( x ) 的极
x0 是 f ( x ) 的驻点或导数不存在的点.
y x3
定理1的逆命题不成立.
如函数y x 3的驻点x 0 不是函数的极值点.
3( x 2) x ( x 2) 2( x 2) ( x 1) y 2 2 x x
2
x
y
y
(,1)
1
(1,0)
(0,2)
2
(2,)
-
0
极小值 27
+
+
0
+
x 1 是极小值点, 极小值 f (1) 27.
9
( x 2)3 y x
10
18
例 一盏灯悬挂在半径为r 的圆桌中心的上方,
问悬挂的高度 h 为多少时,桌子边缘有最 强的照度 (照度与光线入射角 的余弦 成正比,与离光源的距离的平方成反比)? 解 如图:设灯与桌面的边缘的距离为R, 则桌面边缘的照度y为
h
O

R
r
h h 1 cos k 2 k yk 3 2 2 2 2 R R R (r h )
4
函数取得极值的两个充分条件 定理2(第一充分条件) 设函数 f ( x )在 x0 处连续 且在 x0 的某个空心邻域内可导, 则
(1)在空心邻域内,如果 x x0 时,有 f ( x ) 0 ( 0);
而 x x0 时,有 f ( x) 0 ( 0), 那么 x0 为 f ( x )的极 大(小)值点； (2)若 f ( x ) 在 x0 的左右同号, 那么
1是极大值点,
32;
又 y(2) 18 0, 所以 x 2 是极小值点,
极小值为 f (2) 5.
13
返回
y 2 x 3 3 x 2 12 x 25
14
例
求函数
f ( x ) ( x 1) 1 的极值
2 3
(请学生自己练习) 由函数图形可看出:
' ''
(1)当 f '' ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x )在 x0 处取得极大值; (2)当 f '' ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x )在 x0 处取得极小值.
(1) f ( x0 ) lim f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, 证
x0 不是 f ( x )
的极值点.
5
用表格说明:
x
f (x)
f (x)
x x0
+
x0
0或不存在
x x0
-
极大值
x
f (x)
f (x)
x x0
x0
0或不存在
x x0
+
-
极小值
6
定理3(第二充分条件)设 f ( x )在 x0 处具有二阶导数,
且 f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0 , 那末
2 由 y 0 得 x 225, 得出函数驻点(舍去负值) x 15.
求出 y(0) 400k , y (15) 380k ,
y(100) 5k 400 10000 500k , 所以最小值是
y(15) 380k ,
即
AD =15 (km)
22
实际问题求最值步骤:
即求函数在区间 (0, ) 内的最大值.
( h 0)
19
由
yk
2
h ( r 2 h2 )
2 3 2
3
, 得:
2
y k
(r h )
1 3 2 2 2 h ( r h ) 2h 2 2 2 3 (r h )
k
r 2h
2 2 2
2 5
(r h )
.
x 0
x
故f ( x0 x ) f ( x0 )与x异号，
当x 0时，有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, 当x 0时，有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0,
所以，函数 f ( x ) 在 x0 处取得极大值．同理可证(2).
当 x 0时，
1 1 f ( x ) 2 x ( 2 sin ) cos x x
当 x 0 时，
1 1 2 x( 2 sin ) 0, cos 在–1和1之间振荡 x x
因而 f ( x ) 在 x 0的两侧都不单调.