第7课时 动量定理与动量守恒定律的应用

第7课时 动量定理与动量守恒定律的应用

高考考点目标

动量定理和动量守恒定律是解决力学问题的解题思路之一，也是历届高考的重点。高考涉及到的知识主要包括力、时间、速度、冲量、动量等概念，动量定理的研究对象可以是单个物体，也可以是多个物体组成的系统；故常考查学生整体法与隔离法的应用能力；动量定理是矢量式，它是力在时间上的累积效应，不仅适用于恒力，而且适用于变力，可以通过它求时间、力、速度等物理量并可解释一些物理现象；动量守恒定律可以解答碰撞、爆炸、反冲等物理问题，许多弹簧连体问题也需用动量守恒定律解答，并且动量定理和动量守恒定律很容易与动力学、电磁学等知识点融为一体，常涉及能量构成大型的综合题，故此专题必须给予足够的重视。

例题分析与方法指导

1．动量定理应用中的极值问题

例1：人从一定高度落地容易造成骨折. 一般成人胫骨的极限抗压强约为1.5×108N/m 2

，胫骨最小横截面积大多为3.2cm 2

. 假若一质量为50kg 的人从一定高度直膝双足落地，落地时其重心又约下降1cm. 试计算一下这个高度超过多少时，就会导致胫骨骨折.

【命题立意】本题意在考查学生理解和应用动量定理的能力，审题能力，严密的逻辑思维能力.解答本题的难点是确定什么情况下会出现极限，据此列式求解.注意人有双足，时间的求解用平均速度.

解析：据题意胫骨最小处受冲击力不能超过N

N S P F

4

4

8

106.910

2.32105.1⨯=⨯⨯⨯⨯=⋅=-

设下落的安全高度为h 1，触地时重心又下降高度为h 2. 据动量定理有：

()mv

mv t F =--=∆0（与地碰撞中忽略重力冲量）而12gh v =，v

h t

2=

∆（v 为碰撞过

程中的平均速度2

v ），故可解得：m

m h mg

F h 9.101.0500

106.94

21

≈⨯⨯=

⋅=

.

所以，一般人直膝落高的极限为1.9m.

方法指导：①.物理情景的转折点就是极限点；②.运用公式时是否考虑重力的问题，只有当时间足够短才可忽略重力，如果有具体值，可进行比较再决定是否计重力；③.若要求的量是矢量，当结果为正值时，其方向可以认为与假定的正方向相同，当结果为负值时，说明要求的矢量方向与假定的正方向相反.

2．用动量定理求变质量问题

例2：某地强风的风速是20m/s ，空气的密度ρ=1.3kg/m 3. 一风力发电站的有效面积

s=20m 2

，如果风力通过发电机后风速减为12m/s ，且该风力发电机的效率η=80%，则该风力发电机的电功率为多大？风作用于风力发电机的平均力为多大？

【命题立意】风的质量是连续的，要求电功率需知时间，但题设中无时间，许多学生无从下手，原因是缺乏“微元”思想，求风作用于风力发电机的平均力，只能运用动量定理，故本题考查了功率公式、动量定理、能量守恒、微元法思想等，属小型力学综合题.

解析：风力发电机是将风的动能转化为电能，时间t 内通过风力发电机的空气是一个以S 为底、v 0t 为高的横放的空气柱，其质量为m =ρSv 0t ，它通过发电机所减小的动能用以发电. 设电功率为P ，则：()2

200220212121v

v t Sv mv mv Pt

-=⋅⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=ηρη 代入数据解得：

53=P kW 设风作用于风力发电机的平均力为F ，则：()v v t Sv mv mv Ft -=-=000ρ，代入数据得：

4160

=F N.

方法指导：在计算连续性流体的平均作用力、能量等问题时，通常在流体的运动路径上选取一段流体作为研究对象，计算出流体的质量，再用动量定理、动能定理解题，值得一提的是，在竖直方向上应用动量定理时，重力的冲量是否可忽略要看具体情况.

微元思想就是选取一段很短的时间Δt 内参入相互作用的物质作为研究对象，如水、空气等我们常隔离出一定形状作为研究对象，选取的对象常称为“微元”；

3．巧用动量定理解答多过程抛接问题

例3：如图2-3-1所示，人和冰车的总质量为M ，另有一个质量为m 的坚固木箱，开始时人坐在冰车上静止不动，某一时刻人将原来静止在冰面的 木箱以相对冰面的速度v 0推向前方的弹性挡板，同时冰车反 向滑动. 木箱与挡板碰撞后又反向弹回，设碰撞挡板过程中

无机械能损失，人接到木箱后再以同样相对冰面的速度v 0将木箱推向挡板……如此反复多次，试分析人推木箱多少次后将不可能再接到木箱？（已知M ∶m =31∶2，不计摩擦）. 【命题立意】人推木箱而反冲，数次后反弹的木箱速度小于或等于人的速度，则人将不

再接到木箱，可以对每次人抛接木箱运用动量守恒定律，此法传统、复杂；若始终把人与木箱看成一个系统，巧用动量定理则简单明了，故本题意在考查学生灵活运用动量定理解题的能力.

解析：把人和冰车及木箱看作一个系统，这个系统开始动量为零，当人反复推木箱后，系统获得了动量，动量的获取来源于弹性挡板给系统的冲量，木箱与弹性挡板碰撞一次，系统的动量就增加了2mv 0，故人推木箱n 次后有:()02mv n v m M ⋅=+

图2-3-1

当v ≥v 0，人不可能再接到木箱，即0

2v m

M nmv

≥+，代入数据可得：25.8≥n ，因n 只能取整

数，故9=n ,即人推木箱9次后将不可能再接到木箱.

方法指导：此题通常解法是求出前三次人推出木箱后人和冰车的速度，找出速度的通项式，再求解.传统方法较之此法繁琐，找出通项式需要较好的数学水平，故同学们常常出错；此法一旦掌握解题极易，可达到速解的目的.

4．动量定理与动量守恒定律解答综合问题

例4：一块足够长的木板，放在光滑水平面上，在木板上自左向右放有序号是1、2、3……n 号的木块，所有木块的质量均为m ，与木板间的动摩擦因数都为μ，开始时，木板静止不动，第1、2、3……n 号的木块的初速度分别为v 0、2v 0、3v 0……nv 0，v 0方向向右，如图2-3-2所示. 木板的质量与所有木块的总质量相等，最终所有木板以相同的速度匀速运动. 试求：

（1）所有木块与木板一起做匀速运动的速度v n .

（2）从t=0到所有木块与木板共同匀速运动经历的时间t. （3）第n-1号木块在整个运动过程中的最小速度v n -1.

【命题立意】①.把所有的木块和木板看成一个系统，则系统动量守恒，故本题考查了动

量守恒的条件；②.第二问选取第n 个木块为研究对象，则问题很容易解答，故本题考查了学生灵活选取研究对象的能力；③. 第n-1号木块与木板相对静止时，它在整个运动过程中速度最小，故本题又考查了学生分析复杂物理过程的能力.

解析：（1）对于系统，由动量守恒定律有：()n nmv nv v v v m 2320000=++++ ， 解得：()4

10v n v n +=.

（2）因为第n 号木块始终做匀减速运动，所以对第n 号木块，由动量定理得：

0mnv mv mgt n -=-μ，解得：()0

413v g

n t μ-=.

（3）第n-1号木块与木板相对静止时，它在整个运动过程中的速度最小，设此时第n -1号木块的速度为v n-1，第n 号木块的速度为v ，对系统，由动量守恒得： ()()mv mv n nv v v v m n +-=++++-100001232

对第n-1号木块，由动量定理得：()01/

1v n m mv mgt

n --=--μ

对第n 号木块，由动量定理得：0

/

mnv

mv mgt

-=-μ，联立以上三式解得：

()()n

v n n v n 42101+-=

-

.

图2-3-2