数理方程期末考试试题

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数理方程练习题（1）

数理方程练习题（1）一、填空题1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（双曲）型，取值为负对应的是（椭圆）型，取值为零对应的是（抛物）型。

2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程：第一个叫（弦自由横振动），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型；第二个叫（热传导），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（椭圆）型；第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0x x y yu u+=，(,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型；二、选择题1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］(A) 260t xx u u xt u ++=；(B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ()220y xxxxy u x yuu +++=； (D) 340t x xx u u u ++=；2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］(A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=；(C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题()()()()()()2,0,00,,0,0,,0tt xx x x t u a u t x lu t u l t u x x u x xφ?=><<?==??==?的形式解可写成［ D ］(A) ()01,coscos2n n a n at n x u x t a ll ππ∞==+∑(B) ()001,coscosn n n at n x u x t a b t a llππ∞==++∑(C) ()0,cos sin cos n nn n at n at n x u x t a b l l l πππ∞=?=+∑(D) ()001,cos sin cos n n n n at n at n x u x t a b t a b l llπππ∞=??=+++??∑ 4. 若非齐次边界条件为12(0,)(),(,)()x u t t u l t t μμ==，则辅助函数可取［C ］(A) ()()12(,)W x t t x t μμ=+； (B) ()()21(,)W x t t x t μμ=+；(C) ()()()12(,)W x t x l t t μμ=-+； (D) ()()()21(,)W x t x l t t μμ=-+；三、求解下列问题（1）2,0,tt xx u a u t x =>-∞<<∞ ，其中a 为常数。

数理方程试题

太原科技大学数学物理方程课程试卷卷一．填空（每小题3分，共15分）（1）三维热传导方程的一般形式为_____________。

（2）设函数的傅里叶变换为 , 则方程的傅里叶变换为______________。

（3）下列拉普拉斯方程的诺依曼问题是否有解________。

（4）区域的格林函数在区域边界上 =______。

（5）一维热传导方程的基本解为_____________________。

二．化下列方程为标准型，说明其类型并求解此定解问题（15分）。

()u x t ,()U t α,2tt xxu a u =2220,sin 4r R u x y R u n θ=⎧=+⎪⎨∂=⎪∂⎩ Ω()0,G M M 21(,0)0,(,0)2xx xy yy y u u u u x u x x--=⎧⎪⎨==⎪⎩三．用行波法求下列初值问题的解（20分）。

241,,0,(,0),(,0)1,.tt xx t u u x R t u x x u x x x R =+∈⎧⎪⎨==+∈⎪⎩四．用分离变量法求下列初边值问题的解（15分）。

22,01,0,(0,)1,(1,)0,0,(,0),.t xx u u x t u t u t t u x x x R =-⎧⎪=-=⎨⎪=∈⎩五．用拉普拉斯变换法求下列初边值问题的解（15分）。

六．证明题（20分）（1）（5分）证明9,0,0,(0,)cos ,lim (,)0,(,0)0,(,0)0,0.tt xx x t u u x t u t t u x t u x u x x →+∞⎧=+∞⎪⎪==⎨⎪==+∞⎪⎩ ()()x x x δδ'=-（2）（8分）已知格林第二公式ds )nu v n v u(dxdy )u v v u (∂∂-∂∂=∆-∆⎰⎰⎰ΩΩ∂，证明：二维调和函数的积分表达式为011u 1u(,y )ln u (ln )ds 2r n n r 0x π∂Ω∂∂⎡⎤=-⎢⎥∂∂⎣⎦⎰. 其中)y ,(00x 为区域Ω内任一点，22)()(r 00y y x x -+-=，n 为区域边界的外法线方向。

数理方程试卷

南昌航空大学2009—2010 学年第二学期期末考试课程名称：数理方程闭卷 A （B ）卷分钟一、解答题（共40 分）1、当n 为正整数时，讨论()n J x 的收敛范围。

（5分）2、解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为：0t u x ==，0x u x=∂=∂，0x lu x=∂=∂ （10分）3、有一均匀杆，只要杆中任一小段有纵向位移或速度，必导致邻段的压缩或伸长，这种伸缩传开去，就有纵波沿着杆传播。

试推导杆的纵振动方程。

（10分）4、写出01(),(),()n J x J x J x （n 是正整数）的级数表示式的前5项。

（15分）二、计算题（共60分）1、求方程：22,1,0ux y x y x y∂=>>∂∂，满足边界条件： 20y u x ==，1cos x u y ==的解。

（10分）2、就下列初始条件及边界条件解弦振动方程：(,0)0,0u x x l =≤≤；(,0)(),0u x x l x x l t∂=-≤≤∂； (0,)(,)0,0u t u l t t ==> （15分）3、试确定下列定解问题：22200(),0,0,,,0,(),0x x l t u ua f x x l t t x u A u B t u g x x l ===⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪==>⎨⎪=≤≤⎪⎪⎩（15分）解的一般形式。

4、（20分）求下列柯西问题：22222200280,0,3,0,y y u u uy x x x y y u u x x y ==⎧∂∂∂+-=>-∞<<+∞⎪∂∂∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解。

（20分）。

西安邮电大学期末数理方程试题+答案

数学物理方程与特殊函数09级试题选讲一、求解定解问题22200,0,(0,0)x x lt u u a t x u u x l t xx u x ===ì¶¶=ï¶¶ï¶¶ï==<<>í¶¶ïï=ïî)()(),(t T x X t x u =)()()()(2t T x X a t T x X ¢¢=¢22)()()()(b -=¢¢=¢x X x X t T a t T 0>b 设，代入原方程得，则)()(22=+¢t T a t T b 0)()(2=+¢¢x X x X b 则，0x x lu u xx==¶¶==¶¶'(0)'()0X X l Þ==又因为得固有值问题2()()0'(0)'()0X x X x X X l b ¢¢ì+=í==î22)(ln pb =()cos 0,1,2,n n n xX x A n lp ==则固有值固有函数，数学物理方程与特殊函数09级试题选讲)()()(2=+¢t T la n t T p 2()()n a tl n T t C ep -Þ=2()01(,)cosn a tln n n x u x t C C elp p ¥-==+å从而0t ux==有因为01cosnn n x x C C lp ¥==+å所以220022[(1)1]cos 12n ln l n x l C x dx l l nl C xdx lp p --====òò2()2212(1)1(,)cos 2n a ntln l l n xu x t enlp p p¥-=--=+å数学物理方程与特殊函数09级试题选讲二、求解定解问题2222,,0(),0(),0(0)(0)t x t x u ut x t t t x ux x u x x =-=ì¶¶=-<<>ï¶¶ïï=F £íï=Y ³ïïF =Y î解：特征变换为x t x tx h =-ìí=+î2u x h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为00(),()()(),()()2222t xt x ux u x u u h x x h x h x h=-====F =Y +-Þ=F =F =Y =Y 又因为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲1212(0)()()2()(0)()2f f f f h h xx +=Y +=F 2112()()(0)2()()(0)2f f f f h h x x ì=Y -ïïÞíï=F -ïî12()()((0)(0))22()()(0)22u f f x t x tx h=F +Y -+-+=F +Y -F 则它的解为三、求解定解问题)0,(,0,3,03202022222>+¥<<-¥ïïïîïïíì=¶¶==¶¶-¶¶¶+¶¶==y x y ux u y uy x u x u y y 解：原方程的特征方程为22()23()0dy dydx dx --=13C x y +=2C x y +-=，则特征线为3x y x yx h =-ìí=+î特征变换20ux h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲12(,)(3)()u x y f x y f x y =-++即203,y y u ux y==¶==¶又因为21212(3)()3(3)()0f x f x xf x f x ì+=í¢¢-+=î则可得C x x f¢-=2149)3(C x x f ¢+=2243)(C x x f¢-=2141)(222234)(34)3(),(yx y x y x y x u +=++-=22()()C Du vv u u v d v u ds n n s ¶¶Ñ-Ñ=-¶¶òòò 四、证明平面上的格林公式其中n 为曲线的外法线向量。

数学物理方程期末试卷

数学物理方程期末试卷第一部分：选择题请在每个题目中选择仅一个正确答案并将字母填入括号内。

1.求解y″+y=0有解的方法是？A. 特征根法 ( )B. 系数法 ( )C. 齐次线性微分方程法 ( )D. 变量分离法 ( )2.求解 $\\frac{\\partial^2u}{\\partialx^2}+\\frac{\\partial^2u}{\\partial y^2}=0$ 有解的条件是？A. u在区域内为调和函数 ( )B. u在区域内为多项式函数 ( )C. 区域的边界条件为第一类边界条件 ( )D. 区域的边界条件为第二类边界条件 ( )3.解 $\\frac{\\partial u}{\\partial t}+2u=0$，u(x,0)=x，在t=1时，u(x,1)=?A. $\\frac{x}{2}$B. xe−2C. $\\frac{x}{e^2}$D. xe2 ( )4.对于一般的偏微分方程，逐步消去导数的方法称为？A. 特征线法 ( )B. 微分方程求解法 ( )C. 变量分离法 ( )D. 特征值法 ( )5.$y=A\\cos(x)-B\\sin(x)$ 是如下微分方程的？A. $y''+y=\\sin(x)$B. $y''-y=\\cos(x)$ ( )C. $y''+y=\\cos(x)$D. $y''-y=\\sin(x)$第二部分：填空题请在每个题目中填入恰当的答案。

1.y″−2y′+2y=0的通解为______。

2.$\\frac{\\partial^2 u}{\\partial t^2}-c^2\\frac{\\partial^2u}{\\partial x^2}=0$ 的波动方程，初始时刻条件为$u(x,0)=\\varphi(x)$，$u_t(x,0)=\\psi(x)$，其解为$u(x,t)=\\frac{1}{2}(f_1(x-ct)+f_2(x+ct))$，其中f1(x),f2(x)分别是u(x,0)和u t(x,0)的__________。

数理方程试卷

工程数学一、 (10分)填空题1、初始位移为)(x ϕ,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题:⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<∞-===).(),(0,,002x u x u t x u a u t t t xx tt ψϕ 2、为使定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=======0,00002t lx x x xxt u u u u u a u (0u 为常数)中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w xu 03、方程0=xyu 的通解为)()(),(y G x F y x u +=4.只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题、5.方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为1cos 61),(223-++=y x y x y x u 二、 (10分)判断方程02=+yy xx u y u的类型,并化成标准形式.解:因为)0(02≠<-=∆y y ,所以除x 轴外方程处处就是椭圆型的。

……2分它的特征方程就是 022=+⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy ……5分即iy dxdy±= 特征线为 21ln ,ln c ix y c ix y =+=-作变换:⎩⎨⎧==x yηξln ……7分求偏导数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-====)(112ξξξξηηηu u y u u y u u u u u yy y xx x 将二阶偏导数代入原方程,便可得到标准形式ξηηξξu u u =+ ……10分三、 (10分)求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<∞-===x u x u t x u u t t t xx tt cos ,0,,4020解:x x x x a cos )(,)(,22===ψϕ利用达朗贝尔公式⎰+-+-++=atx atx d a at x at x t x u ξξψϕϕ)(21)]()([21),( ……5分得)]2sin()2[sin(414cos 41])2()2[(21),(222222t x t x t x d t x t x t x u tx tx --+-+=+-++=⎰+-ξξt x t x 2sin cos 21422++= ……10分四、 (15分)用分离变量法解定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====><<=====.0,0|,00,0,0002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u 解先求满足方程与边界条件的解、设解为)()(),(t T x X t x u = ……2分代入方程得)()()()(2t T x X a t T x X ''=''除以)()(2t T x X a 有λ-=''='')()()()(2t T a t T x X x X得到两个常微分方程0)()(=+''x X x X λ ……3分0)()(2=+''t T a t T λ ……4分由边界条件得0)()(,0)()0(='='t T l X t T X 由0)(≠t T ,得0)(,0)0(='='l X X ……5分于就是固有值问题为⎩⎨⎧='='=+''0)(,0)0(,0)()(l X X x x X λ解之得一系列固有值Λ,2,1,0,)(2===n ln n πλλ 相应的固有函数为x ln x X n πcos)(= ……8分再解方程 0)()()(2=+''t T l a n t T π,通解为t lan D t l a n C t T n n n ππsin cos )(+= ……10分利用解的叠加原理,可得满足方程与边界条件的级数形式解∑∞=+=1cos )sin cos(),(n n n x ln t l a n D t l a n C t x u πππ ……12分由初始条件0|0==t t u ,得0=n D , ……13分由得,0x u t == ∑∞==1cos n n x ln C x π其中⎰==l l xdx l C 0021⎰=--==l nn n n l dx l n x l C 02,2,1],1)1[()(2cos 1Λππ ……14分将n n D C ,代入),(t x u 得定解问题解∑∞=--+=122cos cos 1)1(22),(n n x l n t l a n n l l t x u πππ……15分五、 (15分)解非齐次方程的混合问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=≥==><<+====πππx u t u u t x x u u t x x xx t 0.00,0,00,0,00 解先确定固有函数)(x X n 、令)()(),(t T x X t x u =代入相应的齐次方程与齐次边界条件得固有值问题⎩⎨⎧===+''0)(,0)0(0)()(πλX X x X x X 固有函数为 Λ,2,1,sin )(==n nx x X n ……5分设解为∑∞==1sin )(),(n n nx t T t x u (1) ……7分其中)(t T n 就是待定函数、显然),(t x u 满足边界条件、为确定函数)(t T n ,先将方程中的非齐次项展为固有函数级数 ∑∞==1sin )(n n nxt f x (2) ……8分其中nnxdx x t f n n 2)1(sin 2)(10+-=⋅=⎰ππ……9分再将(1),(2)代入方程得∑∞=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+'1120sin 2)1()()(n n n n nx n t T n t T比较系数,有Λ,2,1,2)1()()(12=-=+'+n nt T n t T n n n ……10分由初始条件得0sin )0(1=∑∞=n n nx T所以0)0(=n T ……11分解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=+''+,0)0(2)1()()(12nn n n T n t T n t T 得)1(2)1()(231tn n n e n t T -+--=……14分将)(t T n 代入级数(1),得定解问题的解、nx e n t x u n tn n sin )1()1(2),(1312∑∞=-+--= ……15分六、 (15分)用积分变换法解无界杆热传导问题⎪⎩⎪⎨⎧=>+∞<<∞-==).(0,,02x u t x u a u t xx t ϕ 本题所用公式:ta x ta eta eF 22224121][---=πλ解对x 作傅氏变换,记=),(~t uλ F )],([t x u =)(~λϕF )]([x ϕ ……2分对方程与初始条件关于x 取傅氏变换,有⎪⎩⎪⎨⎧=-==)(~~~~022λϕλt u u a dtu d ……7分解常微分方程的初值问题,得t a et u 22)(~),(~λλϕλ-= ……10分再对),(~t uλ进行傅氏逆变换得 =),(t x u F])(~[221t a e λλϕ-- ……13分 ta x eta x 22421)(-*=πϕ⎰∞+∞---=ξξϕπξd et ata x 224)()(21 ……15分七、 (15分)用静电源像法求解上半平面0>y 的狄利克雷问题⎪⎩⎪⎨⎧=>=+=).(|0,00x f u y u u y yy xx解先求格林函数,由电学知在上半平面0>y 的点),(000y x M 处置单位负电荷,在0M 关于x 轴的对称点),(001y x M -处置单位正电荷,则它与0M 产生的电势在x 轴上互相抵消,因此上半平面0>y 的格林函数为)1ln 1(ln 21),(100MM MM r r M M G -=π[][]}{20202020)()(ln )()ln(41y y x x y y x x ++---+--=π……7分下面求==∂∂-=∂∂y y yG nG0)()()(2)()()(2412020020200=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+--+--=y y y x x y y y y x x y y π2200)(1y x x y +-⋅-=π ……10分所以dx y x x x f y dl n Guy x u ⎰⎰+∞∞-Γ+-=∂∂-=220000)(1)(),(π……15分八、 (10分)证明调与方程的狄利克雷内问题的解如果存在,则必就是唯一的,而且连续地依赖于所给的边界条件f .证明:假设有两个调与函数),,(1z y x u 与),,(2z y x u ,它们在有界区域Ω的边界Γ上完全相同,则它们的差21u u u -=在Ω中也满足方程0=∆u ,且0|=Γu 。

数理方程期末试题及答案

带入微分方程求解得：
k
a2
A 2
则得通解
T1
t
C1
cos
n l
a
t
D1
sin
n l
a
t
a2
A 2
sin t
带入初始条件得： C1
0,
D1
A a2 2
l a
则原定解问题的解为
u x,t
A a2 2
l sin a t cos
a l
l
x
2、求解下列初值问题：（10 分）
uuttx,0u
xx
数；（3）将形式解带入泛定方程以及初始条件，求解待定函数 Tn(t).
4、试述行波法的适用范围，并写出无限长弦自由振动的达朗贝尔公式。答：行波法（特征线法）对双曲型方程是有效的，沿着双曲型方程两条特征线做
自变量替换总可以把双曲型方程化为可积形式，获得通解，由此行波法仅适用于
无界条件的波动方程。
3x x ,t sin x,ut x,0 x
0
解：应用达朗贝尔公式： u 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
其中
2
2a xat
，
x sin x, x x ，带入上式得：
u
1 2
sin
x
at
sin
x
at
1 2a
xat
d
xat
sin x cos at t
数学物理方程期末试题答案
一、简述题：（每题 7 分，共 28 分） 1、简述数学物理中的三类典型方程，并写出三类方程在一维情况下的具体形
式。
答：波动方程：
2u t 2

数学物理方程考试试题及解答

数学物理方程试题（一）一、填空题（每小题5分, 共20分）1.长为的两端固定的弦的自由振动, 如果初始位移为 , 初始速度为x 2cos 。

则其定解条件是2.方程.的通解................3.已知边值问题 , 则其固有函数 =4.方程0)(222'"2=-++y n x xy y x α的通解为二.单项选择题（每小题5分, 共15分）1. 拉普拉斯方程的一个解是.. ）（A ）xy e y x u x sin ),(= （B ）22),(y x y x u +=（C ）221),(y x y x u += （D ）22ln),(y x y x u += 2.一细杆中每点都在发散热量, 其热流密度为 ,热传导系数为 , 侧面绝热,体密度为 ,比热为 , 则热传导方程....)（A ）ρc t x F x u a t u),(22222+∂∂=∂∂ （B ）ρc t x F x u a t u ),(222+∂∂=∂∂ (C ) ρc t x u x F a t F ),(22222+∂∂=∂∂ (D) ρc t x u x F a t F ),(222+∂∂=∂∂ (其中ρc k a =2) 3.理想传输线上电压问题( 其中CL a 12=)的解为（）（A ）)(cos ),(at x A t x u +=ω （B ）t a x A t x u ωωcos cos ),(=（C ）t a x A t x u ωωsin cos ),(= （D ）)(cos ),(t a x A t x u -=ω1. 三.解下列问题2. ( 本题8分) 求问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂+∂∂x ex u yu x u 38)0,(03的解3. ( 本题8分)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==∂∂∂222),0(,cos 1)0,(6y y u x x u y x y x u...本题8分.求问. 的解1. 四.用适当的方法解下列问题2. ( 本题8分) 解问题 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=∂∂=∂∂2222321)0,(x x x u x u a t u 2.( 本题8分) 解问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂==202202222222226,32)(y t uxz y u z u y u x u a t u t t 五. ( 本题10分)解混合问题:六. ( 本题15分)用分离变量法解下列混合问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-===∂∂=∂∂=xt u x x x u t u t u x u a t u t 2sin 3,)(2)0,(0),(),0(022222ππ 一.单项选择题（每小题4分, 共20分）1.（D..2.（B..3.（D..4.（D ）二.填空题（每空4分, 共24分）1....2...3.. ，4.)(x X n =cos ,(0,1,2,3,)2n n x B n π= 5.通解为223(,)()()2u x t x y f x g y =++ 三.解下列问..本题7分.1. 求问题的解解: 设（2分）代入方程,330,1m m +==- （6分）所以解为 3(,)8x y u x t e -= （7分）2． ( 本题7分) 求问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂=20222223,2sin )0,(x t ux x u x u a t u t 的解解: 由达朗贝尔公式, 得211(,)[sin 2()sin 2()]322x at x at u x t x at x at d aξξ+-=++-+⎰（3分） 223cos 2sin 23at x x t a t =++ （7分）四.用适当的方法解下列问题1. .本题7分.解问.解: 设代入方程,令 2066A A a x''=⎧⎨=+⎩ 显然成立解为 22(,)12366u x t x x a t xt =-+++2.( 本题7分) 解问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂++=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂==202202222222226,32)(y t u yz y x u z u y u x u a t u t t 解: 设（2分）代入方程22326[(212)(12)]A Bt a y At t Bt +=++∆++∆ （4分）令 , 显然成立, 解为322222632),(t a t y t a yz y x t x u +++++=五. ( 本题7分)解混合问题:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===∂∂=∂∂x x u t u t u x u a t u πsin 2)0,(0),1(),0(222 解1(,){(,)}u x t L U x s -=222sin a t e x ππ-= 六. ( 本题15分)用分离变量法解下列混合问题:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-===∂∂=∂∂=xt u x x x u t u t u x u a t u t 2sin 3,)(2)0,(0),(),0(022222ππ 解: 设代入方程及边界200(0)()0T a T X X X X λλπ''⎧+=⎪''+=⎨⎪==⎩22(),sin n n n n X nx πλπ=== (cos sin )sin n n n u C ant D ant nx =+1(,)(cos sin )sin n n n u x t C ant D ant nx ∞==+∑其中 3028[1(1)]()sin n n C x x nxdx n ππππ--=-=⎰ 00(2)23sin 2sin 3(2)n n D x nxdx n aππ≠⎧⎪==⎨=⎪⎩⎰ 所以解为3138[1(1)](,)sin 2sin 2cos sin n n u x t at x ant nx a n π∞=--=+∑2009-2010学年第一学期数学物理方程试题一、填空题（每小题4分, 共24分）1.方程.的特征线..........2.长为的弦做微小的横振动, 、两端固定, 且在初始时刻处于水平状态, 初始速度为 .则其定解条件.................3.方程的通解.........4.已知边值问. .. 则其固有函数)(x X n =5.方程的通解............6...........二. 单项选择题（每小题4分, 共20分）1.微分方程.是..）（A ）三阶线性偏微分方程（B ）三阶非线性偏微分方程（C ）三阶线性齐次常微分方.....（D ）三阶非线性常微分方程2. 拉普拉斯方程的一个解是.. ）（A ）xy e y x u x sin ),(= （B ）22),(y x y x u +=（C ）221),(y x y x u += （D ）22ln),(y x y x u += 3.一细杆中每点都在发散热量, 其热流密度为 ,热传导系数为 , 侧面绝热,体密度为 ,比热为 , 则热传导方程....)（A ）ρc t x F x u a t u),(22222+∂∂=∂∂ （B ）ρc t x F x u a t u ),(222+∂∂=∂∂ (C ) ρc t x u x F a t F ),(22222+∂∂=∂∂ (D) ρc t x u x F a t F ),(222+∂∂=∂∂ (其中ρc k a =2) 4.理想传输线上电压问题（A ）)(cos ),(at x A t x u +=ω （B ）t a x A t x u ωωcos cos ),(=（C ）t a x A t x u ωωsin cos ),(= （D ）)(cos ),(t a x A t x u -=ω5.单位半径的圆板的热传导混合问题⎪⎩⎪⎨⎧=<=<∂∂+∂∂=∂∂)()0,(,),(,0),1()1()1(222ρρρρρρρf u M t u t u u u a t u 有形如（）的级数解。

数理方程期末试题14~15A(另一版本)

u x=0 = 0
t =0
=
sin
πx 10
,
0 < x < 10,t > 0
u x=10 = 0 ∂u = 0 ∂t t=0
解设该定解问题的解为 u( x,t ) = X ( x )T( t )
则 T ′′( t ) = X ''( x ) = −λ T(t ) X( x )
T ′′( t ) + λT ( t ) = 0
cr n + dr−n
∂u

∂t
=
a2
∂2u ∂x2
+
A
7、定解问题

∂u = B ∂x x=0

u t =0
= cos π x l
0 ≤ x ≤ l,t ≥ 0
∂u = C ∂x x=l
，A, B,C 均为常数，
要想选用函数代换 u(x,t) = V (x,t) +W (x) 将方程和边界条件都化
阶贝塞尔函数
Jn (x)
=
∞
( −1)m
m=0
xn+2m 2n+2m m! Γ( n +
m +1)
，
∫R 0
rJ
n
(
µm(n R
)
r
)
J
n
(
µm(n R
)
r)dr
=
R2 2
J
( 2
n−1
µ(mn
)
)=
R2 2
J
( 2
n+1
µ(mn
)
)。
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13、勒让德方程可表示为 ( 1 −

数理方程17期末复习题

数学物理方程期末复习题2017.6一、试用分离变量法计算下列定解问题222201000010000010x x t t u u x ,t t x u u x u u sin ,t ====⎧∂∂=<<>⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪π∂⎪==∂⎪⎩解设该定解问题的解为u(x,t )X(x )T(t )= 则T (t )X ''(x )T(t )X (x )''==-λ 0T (t )T(t )''+λ=0X ''(x )X(x )+λ= 由0100 , 0 x x u u ====得00100X(),X()==解特征值问题000100X ''(x )X(x )X(),X()+λ=⎧⎨==⎩通过讨论得:1、0λ≤时，()0X x =2、0λ>，2λβ=，()cos sin X x A x B x ββ=+由(0)0X =，知0A =，(10)0X =，知sin100B β=，从而10n πβ=， 2(), (1,2,...)10n n πλ==, 特征函数()sin 10n X x B x π= 将特征值2)(l n n πλ=代入20n T (t )()T(t )l π''+=，得 121010n n n n t n t T (t )C cos D sin ,n ,,ππ''=+=L设1n u(x,t )∞==∑ 12101010n n n t n t n (C cosD sin )sin x,n ,,πππ+=L 由于00|t u t =∂=∂，所以0n D = 代入初始条件 010|t x u sin=π= 得 11010n n n x x C sinsin ∞=ππ=∑ 所以，11C =，01n C ,n =≠，于是1010u(x,t )cost sin x ππ=二、求解下列特征值问题0)(',0)0(' )0( , 0(x)(x)''⎩⎨⎧==<<=+l X X l x X X λ 解(i),0<λ02=+λr 解得λ-±=r 通解：x x Be Ae x X λλ---+=)(由0)(',0)0('==l X X 解得0,0==B A所以0)(≡x X(ii),0=λ0)(''=x X通解：Bx A x X +=)(由0)(',0)0('==l X X 解得0=B所以A x X ≡)((iii),0>λ02=+λr 解得i r λ±= 通解：x B x A x X λλsin cos )(+=x B x A x X λλλλcos sin )('+-=由0)0('=X 得0=B由0)('=l X 得0sin =-l A λλ 从而0sin =l λ 所以πλn l =2)(ln πλ=,,.....3,2,1=n 对应特征函数x l n A x X πcos)(=三、求解具有非齐次边界条件的非齐次方程的定解问题2202020,0023sin 2x x l t u u x l t t x u u l x u x x l π===⎧∂∂=-≤≤≥⎪∂∂⎪∂⎪==⎨∂⎪⎪=+⎪⎩解：设 )(),(x w t x v u +=则有：()2(0)0 ()2w x w w l l ''=⎧⎪=⎨⎪'=⎩2() w x x ⇒=222020 0x t 0 0 0 3 v sin ()2x x l t v v a l t x v v x x x w x l π===⎧∂∂=≤≤>⎪∂∂⎪∂⎪==⎨∂⎪⎪=+-⎪⎩2220l 0 0x t 0 0 0 3 v sin 2x x t v v a l tx v v x x l π===⎧∂∂=≤≤>⎪∂∂⎪∂⎪==⎨∂⎪⎪=⎪⎩设该定解问题的解为v(x,t )X(x )T(t )= 则T (t )X ''(x )T(t )X(x )'==-λ 0T (t )T(t )'+λ=0X ''(x )X(x )+λ= 由00 ,0 x x lv v x ==∂==∂得000X(),X (l )'== 解特征值问题 0000X ''(x )X(x )X(),X (l )+λ=⎧⎨'==⎩ 通过讨论得:1、0λ≤时，()0X x =2、0λ>，2λβ=，()cos sin X x A x B x ββ=+由(0)0X =，知0A =，()cos X x B x ββ'=()0X l '=，知cos 0l β=，从而2l n πβπ=+， 2(21)(), (0,1,2,...)2n n lπλ+==, 特征函数(21)()sin 2n n n X x B x lπ+= 将特征值2(21)()2n n l πλ+=代入22102(n )T (t )()T(t )l +π'+=，得 2212012(n )()t l n nT (t )C e ,n ,,,+π-'==L设0n v(x,t )∞==∑221221 0122(n )()t l n (n )C esin x,n ,,,l+π-+π=L代入初始条件得021322n n (n )x x C sinsin l l∞=+ππ=∑ 所以，11C =，01n C ,n =≠，于是23232()t l v(x,t )esin x l π-π= 232232()t l u(x,t )e sin x x lπ-π=+四、求下列初值问题的解：, , 0 0 , , 1 3 2 0|0|22222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞-=∂∂=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂∂+∂∂==x x y u u y x y u y x u x u y y解特征方程:0)(32)(22=--dx dxdy dy解得C y x =-3 或 C y x =+ 令,3y x -=ξ y x +=η,将),(y x u u =看作),(ηξF u =与,3y x -=ξy x +=η的复合函数则由复合函数求导法则,得x x x u u u ηξηξ+==ηξηξu u u u +=⋅+⋅313y y y u u u ηξηξ+==ηξηξu u u u +-=⋅+-⋅1)1(ηηξηξξu u u u xx ++=69ηηξηξξu u u u xy ++-=23,ηηξηξξu u u u yy +-=2则原方程化为:1162=∂∂∂ηξu上式两端积分两次,得通解:)()(16121ηξξηf f u ++= )()3())(3(16121y x f y x f y x y x ++-++-= 由 ,00|0|x y u u y y =∂∂=== 得 221163)()3(x x f x f -=+ (1) x x f x f x=+-)(')3('821即x x f x f 87)(')3('21-=- 上式两边积分,得 C x x f x f +-=-2211621)(3)3( (2) 解(1)(2)得=)(2x f 43292c x - =)3(1x f 432152c x +-即=)(1x f 49652c x +-所以,初值问题的解为 )()3())(3(161),(21y x f y x f y x y x y x u ++-++-= 22)(329)3(965))(3(161y x y x y x y x ++--+-=五、利用傅里叶变换求解该定解问题2222200t t u u a x t x u u (x ),(x )t ==⎧∂∂=-∞<<∞⎪∂∂⎪⎨∂⎪=ϕ=ψ⎪∂⎩解：记 i x U(,t )u(x,t )e dx ∞-ω-∞ω=⎰， i x ˆ()(x )e dx ∞-ω-∞ϕω=ϕ⎰，i x ˆ()(x )e dx ∞-ω-∞ψω=ψ⎰ 对方程和初始条件关于x 做傅里叶变换，得222200t t d U(,t )a U(,t )dt dU(,t )ˆˆU(,t )(),()dt ==⎧ω=-ωω⎪⎪⎨ω⎪ω=ϕω=ψω⎪⎩方程的通解为ia t ia t U(,t )A()e B()e ω-ωω=ω+ω 利用初始条件得112112ˆˆA()(()())a i ˆˆB()(()())a i ⎧ω=ϕω+ψω⎪⎪ω⎨⎪ω=ϕω-ψω⎪ω⎩，带入得 1122a ti a ti ˆˆU(,t )()e ()e ω-ωω=ϕω+ϕω 1122a ti a ti ˆˆ()e ()e a i a iω-ω+ψω-ψωωω1a ti ˆF (()e )(x at )-ωϕω=ϕ+，1a ti ˆF (()e )(x at )--ωϕω=ϕ- 1a ti ˆF (()e )(x at )-ωψω=ψ+，1a ti ˆF (()e )(x at )--ωψω=ψ- xF(f (x ))i F(f ()d )-∞=ωξξ⎰，1x F(f (x ))F ()f ()d i --∞=ξξω⎰，从而有∧ 11ia t x at ()e F((x at ))F ()F ()()d i i ω+---∞ψωψ+==ψξξωω⎰ ∧11ia t x at ()e F((x at ))F ()F ()()d i i -ω----∞ψωψ-==ψξξωω⎰ 对U(,t )ω进行傅里叶反变换，得12u(x,t )((x at )(x at ))=ϕ++ϕ- +12x at x at (()d ()d )a +--∞-∞ψξξ-ψξξ⎰⎰ 12((x at )(x at ))=ϕ++ϕ-+12x at x at (()d ()d )a +--∞-∞ψξξ-ψξξ⎰⎰ 12((x at )(x at ))=ϕ++ϕ-12x at x at()d a +-+ψξξ⎰六、?)]([=x J x dxd 35 解 )]([)]([33235x J x x dxd x J x dx d ⋅= )]([)(][332332x J x dxd x x J x x dx d ⋅+⋅= )]()(223233x J x x x J xx +=)]()(22534x J x x J x +=七、书上例题1、认真阅读教材P97的例4及其后面的注,掌握其方法.2、认真阅读教材P163的例3,掌握其方法.记住拉普拉斯方程在球坐标系下的表示式.能写出半径为a 的球体在稳恒状态下的温度分布,即:球坐标系下的拉普拉斯方程.。

数理方程试题

数理方程试题一．判断题（每题2分）.1. 2u u x y x y x+=是非线性偏微分方程.( )2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( )3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式，则 ( )4. (,)0xy f x y =的解是调和函数.( )5. **12u u 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12u u -是0u ?= 的解.( )二．填空题（每题2分）.1. ()sin t xx yy u u u xt -+= 是____________型偏微分方程.2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________.3. 2x 的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________.4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________.5. []()____________.at m L e t s = 三．求解定解问题（12分）20sin ;0,0;0.t xx xx xx lt u a u A t u u u ω===-====四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分）（1）1,0,0;1,1.xy x y u x y uy u===>>=+=（2） 00230, 1.tt t y y y e y y =='''+-='==五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。

（12分）六．设有长为a ，宽为b 的矩形薄板，两侧面绝热，有三边的温度为零，另一边的温度分布为x ，内部没有热源，求稳定状态时板内的温度分布。

数学物理方程期末考试题及答案

数学物理方程期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪一项不是数学物理方程的特点？A. 连续性B. 离散性C. 线性D. 非线性答案：B2. 波方程是描述什么的方程？A. 热传导B. 电磁波C. 机械波D. 流体动力学答案：C3. 拉普拉斯方程通常出现在哪种物理现象中？A. 热传导B. 流体流动C. 电磁场D. 弹性力学答案：C4. 以下哪个不是偏微分方程的解的性质？A. 唯一性B. 线性C. 稳定性D. 离散性答案：D5. 波动方程的解通常表示什么？A. 温度分布B. 电荷分布C. 压力分布D. 位移分布答案：D二、填空题（每空2分，共20分）6. 波动方程的基本形式是 _______。

答案：$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u $7. 热传导方程，也称为________方程。

答案：傅里叶8. 拉普拉斯方程 $ \nabla^2 \phi = 0 $ 在静电学中描述的是________。

答案：电势9. 边界条件通常分为________和________。

答案：狄利克雷边界条件；诺伊曼边界条件10. 波动方程的一般解可以表示为________和________的叠加。

答案：基频解；高阶谐波三、简答题（每题10分，共30分）11. 解释什么是边界层的概念，并给出一个实际应用的例子。

答案：边界层是流体力学中的一个概念，指的是流体靠近物体表面处的一层非常薄的流体，其中速度梯度很大。

在边界层内，流体的速度从物体表面的零速度逐渐增加到与外部流体速度相匹配。

一个实际应用的例子是飞机的机翼，边界层的厚度和特性对飞机的升力和阻力有重要影响。

12. 描述什么是格林函数，并解释它在解决偏微分方程中的作用。

答案：格林函数是一种数学工具，用于解决线性偏微分方程。

它是一个特定的函数，当它与方程的算子相乘时，结果是一个狄利克雷问题，其解是原始方程的一个解。

大连理工大学2020数学物理方程期末考

大连理工大学课程名称：数学物理方程试卷： C 考试形式：闭卷授课院 (系)：数学科学学院考试日期：2020年月号试卷共 6页一二三四五六总分标准分 10 40 15 12 13 10 100 得分一、 (10分) 简要解释惠更斯原理。

二、（共40分，每题10分）计算题. 1.求函数2()t f t e −−=在实数轴上的傅立叶变换。

姓名：学号：院系：班级装订线2.求函数()sin()=在实数轴上的傅立叶逆变换。

f t t3.求函数5=+在正实轴上的Laplace变换。

f t t t()34.求23F()23p p p =++的拉普拉斯逆变换。

三、（15分）解答题.利用分离变量法求下述方程的解22,(0,1),0u ux t t x∂∂=∈>∂∂其中u 满足初值0|(1),[0,1]t u x x x ==−∈，与边值01||0,0x x u u t ====>四、解释题（12分）一均匀细杆长为20米，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长0.1米静止，突然放手任其振动，试建立该运动方程与定解条件（每一步需要说明理由）。

五、解答题（13分）求下述方程的解：222227100,(,),0u u ut x t t x x∂∂∂−+=∈−∞+∞>∂∂∂∂ 其中边值为200|,|1x x u u t x==∂==∂六、证明题（10分）。

证明调和函数方程解的唯一性：310,(,,)u x y z B R ∆=∈⊂，其中边值为2221|2x y z u z ++==。

数理方程试卷

utt a2uxx,(0 x l,t 0), u(0,t) 0,u(l,t) 0,
u(x,
0)
sin
x
l
,
ut
(x,
0)
sin
x
l
.
• 三. 求解问题
utt a2uxx,(0 x l,t 0), u(0,t) 0,u(l,t) 0,
u(x,
0)
sin
x
l
,
ut
l
0),
u(0,t) 0,u(l,t) 0,(t 0),
u(x,0) 0,ut(x,0) 0,(0 x l).
• 四. 用固有函数法求解 utt
a2uxx
tsinx,(0 x l,t
l
0),
u(0,t) 0,u(l,t) 0,(t 0),
u(x,0) 0,ut(x,0) 0,(0 x l).
固有函数 Rm(r)J0(m (0)r).
Tm(t)Cme(m (0)a)2t.
u(r,t)
Ce J( (m (0)a)2t
m
0
m (0)r).
由 m 1
u(r,0) C mJ0( m (0)r)1r2,
得 Cm0 1r(1 m 1 2 1rJ212)(J0m ((0))m (0)r)dr( m (4 0)J)2 2(J12m ((0))m (0)).
0)
u(r,0) 1 r2.
答（p122例1）：
u(r,t)R (r)T(t).
Ta2T 0.
r2RrR(r2 02)R0,
R(1) 0,| R(0)|.
R (r) C J 0 ( r) D Y 0 ( r).D 0.
固有值 m (m (0 )) 2 ,m (0 ) 为 J 0 (x ) 正零点 .

数理方程期末试题-07-08-2-B-答案

北京交通大学2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ）（参考答案）学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __一、计算题（共80分，每题16分） 1．求下列定解问题（15分）2．用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分）3．设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。

初速度为零，又没有外力作用。

求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。

[ 解 ] 问题的定解条件是由初始条件可得4．证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求出波动方程的通解。

5．用分离变量法解下列定解问题[ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。

][ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n πsin ，其解可以表示成把原问题中非齐次项t x t x f l a l ππ22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数因此有利用参数变易法，有于是6．用Bessel 函数法求解下面定解问题[ 解 ] 用分离变量法求解。

令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得以及设0ρβλn n =为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为问题（I ）的解为于是原问题的解是由初始条件得到故于是最后得到原问题的解是二、证明题（共2分，每题10分） 7．证明平面上的Green 公式其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分。

[证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数，n 为C 的外法线方向，其方向余弦为βαcos ,cos ，则有再设u,v 在D 内有二阶连续偏导数，在D+C 上有一阶连续偏导数，令得到交换u,v ，得到上面第二式减去第一式，得到证毕。

数学系期末考试题目及答案

数学系期末考试题目及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 如果函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，那么f(-1)的值是？A. -8B. -7C. -6D. -4答案：A3. 圆的面积公式是什么？A. A = πrB. A = πr^2C. A = 2πrD. A = πr^3答案：B4. 以下哪个是复数的共轭？A. z + z*B. z - z*C. z * z*D. z / z*答案：B5. 以下哪个是欧拉公式？A. e^(iπ) + 1 = 0B. e^(iπ) - 1 = 0C. e^(iπ) * 1 = 0D. e^(iπ) / 1 = 0答案：A6. 以下哪个是实数集的符号表示？A. NB. ZC. QD. R答案：D7. 两个向量a和b的点积定义为？A. a * b = |a||b|cosθB. a * b = |a||b|sinθC. a * b = |a||b|tanθD. a * b = |a||b|cotθ答案：A8. 以下哪个是泰勒级数的展开？A. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...B. cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...C. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...D. ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...答案：C9. 以下哪个是矩阵的特征值？A. 矩阵的对角线元素B. 矩阵的行和C. 矩阵的列和D. 满足Av = λv的λ答案：D10. 以下哪个是线性方程组的解？A. 唯一解B. 无穷多解C. 无解D. 以上都是可能的解答案：D二、填空题（每空2分，共20分）11. 一个二维向量(3, 4)的模长是________。

答案：512. 一个函数f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2的导数是________。