数理方程期末考试试题

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研究生数理方程期末试题-10-11-1-A-答案

北京交通大学硕士研究生2010-2011学年第一学期

《数学物理方程》期末试题(A 卷)

(参考答案)

学院__________ 专业___________ 学号 __________ 姓名____________

1、( 10分)试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为：

玫［I h .丿&」V h .丿&

其中E是圆锥体的杨氏模量，「是质量密度，h是圆锥的高(如下图所示)

【提示：已知振动过程中，在x处受力大小为ES ，S为x处截面面积。】

【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是r1和r2，如图所示。于是，我们有

2、：：u(x dx,t) 2 u(x,t) — 2 u2(x,t)

E( D) E( * ) ( A )dx 于

x x t r1 = (h「x)tan :

r2= (h _(x dx)) tan :

上式化简后可写成

：：U(X,t)

:：u(x,t) 2, ；u (x,t)

E[(h -x)

卜亠 & -(h -'X) 〔x J - - (h -'X)dx 2

从而有

E ：：[(^x)2；：U(x ,t)H-(^x)2：：u2(x,t) .x :X

:t 或成

::[(1「)2汽("]“2(1「)小叩)

h ：：x h ；：t

其中a^E

，证明完毕。

2、 (20分)考虑横截面为矩形的散热片，它的一边y=b 处于较高温度U ，其它三边y=0.

x = 0和x = a 则处于冷却介质中，因而保持较低的温度 u o 。试求该截面上的稳定温度

分布u(x,y)，即求解以下定解问题:

u|y 卫二 %, u|y 生二 U, 0 x a. 【提示：可以令u(x, y)二u 0 v(x, y)，然后再用分离变量方法求解。】

数理方程模拟试题1X

200__～200__学年第___学期《数理方程》期末模拟试卷1 题号一二三四五六总分得分

一、选择题(每题只有一个正确答案，每小题4分，共28分）

1、34233

(,,)v v v xyv g x y z x x y z ∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( )偏微分方程 A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 2、2(,)tt xx u a u x t ϕ-= (其中0>a ) 属于( )型偏微分方程 A 、抛物 B 、双曲 C 、椭圆 D 、混合 3、在用分离变量法求解定解问题

200

,0,0

|0,|0|()t x x x x x

l t u a u x l t u u u x ϕ===⎧=<<>⎪

==⎨⎪=⎩

时，得到的固有函数系为( )

A 、,...2,1,sin

=⎭⎬⎫⎩

⎨⎧n x l n π B 、,...2,1,0,cos

=⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧n x l n π C 、(21)cos

,1,2,...2n x n l π-⎧

⎫

=⎨⎬⎩

⎭

D 、 (21)sin

,1,2,...2n x n l π-⎧⎫

=⎨⎬⎩

⎭

4、下列方程是非线性偏微分方程的是（） A 22(

)()sin u u x x y 抖+=抖 B (,)u u f x y x y

抖+=抖 C 2

2(,)(,)cos u u a x t b x t x x t 抖+=抖 D 3433(,,)v v v g x y z x x y z

∂∂∂++=∂∂∂∂ 5、对Laplace 变换的性质下列式子错误的是（） A 22

数学物理方程试卷

一、选择题（每题2分，共20分）

1.下列不属于二次方程的是：

A.x^2+2x+1=0

B.x^2-x-6=0

C.x^2+4=0

D.x^2-4x+4=0

2.函数y=2x+3在x=2处的导数为：

A.2

B.5

C.-1

D.1

3. 若a + b + c = 0，则二次方程x^2 + (a + b + c)x + (ab + ac + bc) = 0的一个根为：

A.a

B.b

C.c

D. None of the above

4.物理中常用的力的单位是：

A.米

B.秒

C.焦耳

D.牛顿

5.当一个力作用在一个物体上，其背心点的速度为零，则该力对物体的做功为：

A.正

B.负

C.0

D.无法确定

6.物体在水平地面上匀速运动，它的加速度和速度的关系是：

A.加速度等于速度的平方

B.加速度等于速度的倒数

C.加速度等于速度的倒数的平方

D.加速度等于零

7. 汽车以50km/h速度行驶10分钟后，停下来。该汽车的加速度是多少？

A.1m/s^2

B.5m/s^2

C.10m/s^2

D.15m/s^2

8.若两个正电荷间的距离减小为原来的1/4，它们之间的相互作用力将：

A.增大为原来的4倍

B.增大为原来的2倍

C.减小为原来的1/2

D.减小为原来的1/4

9.下列哪个单位不是功的单位？

A.焦耳

B.瓦特

C.牛顿·米

D.千瓦时

10.静止的物体受到净外力作用，则它：

A.静止下来

B.匀速直线运动

C.匀变速直线运动

D.加速直线运动

二、填空题（每题3分，共30分）

1.已知二次方程x^2-4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为_______。

数学物理方程期末试卷

第一部分：选择题

请在每个题目中选择仅一个正确答案并将字母填入括号内。

1.求解y″+y=0有解的方法是？

A. 特征根法 ( )

B. 系数法 ( )

C. 齐次线性微分方程法 ( )

D. 变量分离法 ( )

2.求解 $\\frac{\\partial^2u}{\\partial

x^2}+\\frac{\\partial^2u}{\\partial y^2}=0$ 有解的条件是？

A. u在区域内为调和函数 ( )

B. u在区域内为多项式函数 ( )

C. 区域的边界条件为第一类边界条件 ( )

D. 区域的边界条件为第二类边界条件 ( )

3.解 $\\frac{\\partial u}{\\partial t}+2u=0$，u(x,0)=x，在

t=1时，u(x,1)=?

A. $\\frac{x}{2}$

B. xe−2

C. $\\frac{x}{e^2}$

D. xe2 ( )

4.对于一般的偏微分方程，逐步消去导数的方法称为？

A. 特征线法 ( )

B. 微分方程求解法 ( )

C. 变量分离法 ( )

D. 特征值法 ( )

5.$y=A\\cos(x)-B\\sin(x)$ 是如下微分方程的？

A. $y''+y=\\sin(x)$

B. $y''-y=\\cos(x)$ ( )

C. $y''+y=\\cos(x)$

D. $y''-y=\\sin(x)$

第二部分：填空题

请在每个题目中填入恰当的答案。

1.y″−2y′+2y=0的通解为______。

2.$\\frac{\\partial^2 u}{\\partial t^2}-c^2\\frac{\\partial^2

数理方程试卷

南昌航空大学2009—2010 学年第二学期期末考试

课程名称：数理方程闭卷 A （B ）卷分钟

一、解答题（共40 分）

1、当n 为正整数时，讨论()n J x 的收敛范围。（5分）

2、解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为：

0t u x ==，

0x u x

=∂=∂，

0x l

u x

=∂=∂ （10分）

3、有一均匀杆，只要杆中任一小段有纵向位移或速度，必导致邻段的压缩或伸长，这种伸缩传开去，就有纵波沿着杆传播。试推导杆的纵振动方程。（10分）

4、写出01(),(),()n J x J x J x （n 是正整数）的级数表示式的前5项。（15分）

二、计算题（共60分）

1、求方程：22,1,0u

x y x y x y

∂=>>∂∂，

满足边界条件： 2

0y u x ==，1cos x u y ==的解。（10分）

2、就下列初始条件及边界条件解弦振动方程：

(,0)0,0u x x l =≤≤；

(,0)

(),0u x x l x x l t

∂=-≤≤∂； (0,)(,)0,0u t u l t t ==> （15分）

3、试确定下列定解问题：

2200(),0,0,,,0,

(),0x x l t u u

a f x x l t t x u A u B t u g x x l ===⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪

==>⎨⎪

=≤≤⎪⎪⎩

（15分）解的一般形式。

4、（20分）求下列柯西问题：

22222200

80,0,3,0,y y u u u

y x x x y y u u x x y ==⎧∂∂∂+-=>-∞<<+∞⎪∂∂∂∂⎪

解方程练习题及答案期末

在数学学科中，解方程是一个非常重要的技能。无论是在学习数学还是在日常生活中，我们经常会遇到各种各样的方程，并需要找到它们的解。为了帮助大家更好地掌握解方程的方法和技巧，本文将提供一系列解方程的练习题，并附上详细的答案解析。

一、一元一次方程练习题

1. 求解方程：3x + 7 = 16

解答：

首先，我们可以将方程变形为：3x = 16 - 7

然后，继续化简得：3x = 9

最后，将方程两边同时除以3：x = 9/3 = 3

因此，方程的解为：x = 3

2. 求解方程：2(x + 3) - 4x = 5 + 3(2x - 1)

解答：

首先，我们可以将方程展开：2x + 6 - 4x = 5 + 6x - 3

然后，继续整理得：-2x - 6x = 5 - 3 - 6

接着，合并同类项得：-8x - 6 = -4

最后，将方程移项整理：-8x = -4 + 6

进一步化简得：-8x = 2

最后，将方程两边同时除以-8：x = 2/(-8) = -1/4

因此，方程的解为：x = -1/4

二、一元二次方程练习题

1. 求解方程：x^2 + 5x + 6 = 0

解答：

首先，我们可以尝试因式分解：(x + 2)(x + 3) = 0

然后，根据乘积为零的性质，得到两个因式分别为0：x + 2 = 0，x + 3 = 0

接着，分别解出x的值：x = -2，x = -3

因此，方程的解为：x = -2，x = -3

2. 求解方程：2x^2 + 7x - 15 = 0

解答：

首先，我们可以尝试使用求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

数理方程期末试题及答案

3x x ,t sin x,ut x,0 x
0
解：应用达朗贝尔公式： u 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
其中
2
2a xat
，
x sin x, x x ，带入上式得：
u
1 2
sin
x
at
sin
x
at
1 2a
xat
d
xat
sin x cos at t
数；（3）将形式解带入泛定方程以及初始条件，求解待定函数 Tn(t).
4、试述行波法的适用范围，并写出无限长弦自由振动的达朗贝尔公式。答：行波法（特征线法）对双曲型方程是有效的，沿着双曲型方程两条特征线做
自变量替换总可以把双曲型方程化为可积形式，获得通解，由此行波法仅适用于
无界条件的波动方程。
无限长自由振动的达朗贝尔公式： u 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
2
2a xat
其中x为初始时刻位移条件，x为初始时刻速度条件。
二、简答题：（每题 9 分，共 18 分）
1、试说明函数 u = x3 – 3xy2 是调和函数。
解：
u x
3x2
3y2 ，
2u x2
6x
5、
试证明：
d dx
xJ
0

数理方程试卷

工程数学

一、 (10分)填空题

1、初始位移为)(x ϕ,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题:

⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<∞-===).(),(0,,00

x u x u t x u a u t t t xx tt ψϕ 2、为使定解问题

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧=======0

,000

02t l

x x x xx

t u u u u u a u (0u 为常数)

中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w x

u 0

3、方程0=xy

u 的通解为)()(),(y G x F y x u +=

4.只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题、

5.方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为1cos 6

1),(22

3-++=

y x y x y x u 二、 (10分)判断方程

02=+yy xx u y u

的类型,并化成标准形式.

解:因为)0(02≠<-=∆y y ,所以除x 轴外方程处处就是椭圆型的。 ……2分

它的特征方程就是 022

=+⎪⎭

⎫

⎝⎛y dx dy ……5分

即

iy dx

±= 特征线为 21ln ,ln c ix y c ix y =+=-

作变换:⎩⎨⎧==x y

ηξln ……7分

求偏导数

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨⎧-====)(1

2ξξξξ

ηηηu u y u u y u u u u u yy y xx x 将二阶偏导数代入原方程,便可得到标准形式

ξηηξξu u u =+ ……10分

小学列方程数学期末试卷

一、选择题（每题2分，共20分）

1. 小华有苹果和香蕉共15个，苹果比香蕉多3个，小华有多少个苹果？

A. 6个

B. 7个

C. 8个

D. 9个

2. 小明骑自行车从家到学校用了15分钟，如果速度提高一倍，那么他需要多少分钟？

A. 10分钟

B. 12分钟

C. 15分钟

D. 20分钟

3. 小刚的储蓄罐里有10元、5元和2元的硬币共20枚，总额是110元，5元硬币有多少枚？

A. 5枚

B. 10枚

C. 15枚

D. 20枚

4. 小红有红色和蓝色铅笔共25支，红色铅笔比蓝色铅笔多5支，小红有多少支红色铅笔？

A. 10支

B. 15支

C. 20支

D. 25支

5. 小李的书架上有小说、科普书和漫画书共40本，科普书比漫画书多10本，小说有多少本？

A. 10本

B. 20本

C. 30本

D. 40本

6. 小明和妈妈一起去超市购物，买了5千克苹果和3千克香蕉，一共花了75元，苹果每千克15元，香蕉每千克多少元？

A. 10元

B. 12元

C. 15元

D. 18元

7. 小丽有铅笔和圆珠笔共30支，铅笔比圆珠笔多10支，小丽有多少支铅笔？

A. 10支

B. 15支

C. 20支

D. 25支

8. 小明去图书馆借了5本书，每天看1本，看5天后还剩下2本，小明一共借了多少本书？

A. 5本

B. 7本

C. 8本

D. 10本

9. 小刚的房间里有红、黄、蓝三种颜色的球共20个，红色球比黄色球多5个，蓝色球有多少个？

A. 5个

B. 10个

C. 15个

D. 20个

10. 小明、小红和小丽三人共有自行车、电动车和摩托车共8辆，电动车比摩托车多1辆，小明有多少辆自行车？

数论期末考试试题

一、选择题（每题2分，共20分）

1. 欧拉函数φ(n)表示不超过n且与n互质的正整数的个数。若n=12，则φ(12)等于多少？

A. 4

B. 6

C. 8

D. 10

2. 哥德巴赫猜想是指每个大于2的偶数都可以表示成两个素数之和。

以下哪个陈述是错误的？

A. 哥德巴赫猜想尚未被证明

B. 哥德巴赫猜想是关于素数的猜想

C. 哥德巴赫猜想是数论中最著名的未解决问题之一

D. 哥德巴赫猜想已被证明

3. 以下哪个数是完全数？

A. 6

B. 28

C. 496

D. 1000

4. 如果一个数n可以被2到n-1的所有整数整除，则称n为素数。以

下哪个数是素数？

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

5. 费马小定理指出，如果p是一个素数，a是一个不能被p整除的整数，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。根据费马小定理，以下哪个等式是正确的？

A. 3^4 ≡ 1 (mod 5)

B. 5^4 ≡ 1 (mod 7)

C. 7^3 ≡ 1 (mod 8)

D. 2^3 ≡ 1 (mod 4)

二、填空题（每空2分，共20分）

6. 一个数如果只能被1和它本身整除，则称这个数为________。

7. 素数是指大于1的自然数中，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除的数。最小的素数是________。

8. 一个数如果除了1和它本身外，还能被其他数整除，则称这个数为________。

9. 根据中国剩余定理，如果存在整数x，使得x ≡ a1 (mod n1)，x ≡ a2 (mod n2)，...，x ≡ ak (mod nk)，且n1, n2, ..., nk两两互质，则x存在且唯一的解模为________。

数理方程期末试题14~15A(另一版本)

cr n + dr−n
∂u

∂t
=
a2
∂2u ∂x2
+
A
7、定解问题

∂u = B ∂x x=0

u t =0
= cos π x l
0 ≤ x ≤ l,t ≥ 0
∂u = C ∂x x=l
，A, B,C 均为常数，
要想选用函数代换 u(x,t) = V (x,t) +W (x) 将方程和边界条件都化
−∞
−∞
对方程和初始条件关于 x 做傅里叶变换，得

d
2U( ω,t dt 2
)
=
−a2ω2U
(
ω,t
)

U( ω,t ) t=0 = ϕˆ ( ω ),
dU( ω,t ) = ψˆ ( ω ) dt t=0
方程的通解为U ( ω,t ) = A( ω )eiaωt + B( ω )e−iaωt
X ''( x ) + λX ( x ) = 0
由 u x=0 = 0 , u x=10 = 0 解特征值问题
得 X ( 0 ) = 0, X (10 ) = 0
X ''( x ) + λX ( x ) = 0

X
(

数理方程试卷A

一. (10分)填空题

1.初始位移为)(x ϕ,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题:

2.为使定解问题

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=======0,00002t l x x x xx t u u u u u a u （0u 为常数）

中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w

3.方程0=xy u 的通解为

4．只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题.

5．方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为

二. (10分)判断方程

02=+yy xx u y u

的类型，并化成标准形式．

三. (10分)求解初值问题

⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<∞-===x u x u t x u u t t t xx tt cos ,0,,4020

四. (15分)用分离变量法解定解问题

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====><<=====.

0,0|,00,0,0002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u

五. (15分)解非齐次方程的混合问题

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=≥==><<+====πππx u t u u t x x u u t x x xx t 0.

00,0,00,0,00

六. (15分)用积分变换法解无界杆热传导问题

⎪⎩⎪⎨⎧=>+∞<<∞-==).(0,,0

2x u t x u a u t xx t ϕ

七. (15分)用静电源像法求解上半平面0>y 的狄利克雷问题

数理方程17期末复习题

数学物理方程期末复习题2017.6

一、试用分离变量法计算下列定解问题

222201000010000010x x t t u u x ,t t x u u x u u sin ,t ====⎧∂∂=<<>⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪π∂⎪==∂⎪⎩

解设该定解问题的解为u(x,t )X(x )T(t )= 则T (t )X ''(x )T(t )X (x )

''==-λ 0T (t )T(t )''+λ=

0X ''(x )X(x )+λ= 由0100 , 0 x x u u ====得00100X(),X()==

解特征值问题

000100X ''(x )X(x )X(),X()+λ=⎧⎨==⎩

通过讨论得:

1、0λ≤时，()0X x =

2、0λ>，2λβ=，()cos sin X x A x B x ββ=+

由(0)0X =，知0A =，(10)0X =，知sin100B β=，从而

10n πβ=， 2(), (1,2,...)10n n πλ==, 特征函数()sin 10

n X x B x π= 将特征值2)(

l n n πλ=代入20n T (t )()T(t )l π''+=，得 121010

n n n n t n t T (t )C cos D sin ,n ,,ππ''=+=L

设1n u(x,t )∞==∑ 12101010

n n n t n t n (C cos

D sin )sin x,n ,,πππ+=L 由于0

0|t u t =∂=∂，所以0n D = 代入初始条件 010|t x u sin

数理方程练习题(作业)

数理方程练习题一（2009研）

1. 设(,)u u x y =，求二阶线性方程

20u

x y

∂=∂∂ 的一般解。

2. 设

u f = 满足Laplace 方程

222

0u u x y ∂∂∂∂+

求函数u.

3. 求Cauchy 问题

2000(,)(0,)cos tt xx t t t u a u x t u x u x x ==⎧-=∈⨯∞⎪⎨==∈

⎪

⎩

的解．

4. 求解Cauchy 问题

200cos (,)(0,)cos 010tt xx t t t u a u t x x t x x u x u x ==⎧-=∈⨯∞⎪

≥⎧⎨

==⎨⎪<⎩⎩

5. 解在半无界问题

20000(,)(0,)sin (0)0

(0)tt xx t t t x u a u x t u x u x x u t +===⎧+=∈⨯∞⎪⎪

==≤≤∞⎨⎪

=≥⎪⎩

6. 求解二维Cauchy 问题

00(,,)(0,)0()(,)tt t t t u a u x y t u u x x y x y ==⎧-∆=∈⨯∞⎪⎨==+∈

⎪⎩

求下列函数的Fourier 变换

1 0()00

e x

f x a x -⎧≥=>⎨

<⎩

2 1||()0

||a x a x x a

≤⎧∏=⎨

>⎩

3 2

()x f x e -=

7. 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动．研

究两端自由棒的自由纵振动，即定解问题。

200,0(,0)(),(,0)()0(0,)(,)00

tt xx t x

x u a u x l t u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧-=<<>⎪

数学物理方程期末练习题

一、填空题.

1.初始位移为ϕ(x )，初始速度为ψ(x )的无界弦的自由振动可表述为定解问题：；

2.为使定解问题2

220000,0,00,,

0()0,

0===⎧∂∂=<<>⎪∂∂⎪⎪

==>⎨⎪

=≤≤⎪⎪⎩

x x x x l t u u

a x l t t x u u u t u u x l 为常数中的边界条件齐次化，而设(,)(,)(,)=+u x t v x t w x t ，则可选(,)=w x t ；

3.方程22220∂∂+=∂∂u u

y x y 所属类型为；

4.方程222222

30∂∂∂+-=∂∂∂∂u u u

x x y y

的特征方程为；通解为； 5.泛函2

2[(,)](2(,))=

++⎰⎰x y D

J u x y u

u uf x y dxdy 的欧拉方程为 .

二、1.长为l 的均匀细杆，内部有热源，热源强度为-t

xe ，杆的侧面是热.假设热是经过杆的两个端

点流到介质或流入杆内，且杆的两端保持零度.已知初始温度分布为()-x l x ，则此热传导问题可归

结为 2

2200,0,00,0,

0(),

0-===⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪

==>⎨⎪

=-≤≤⎪⎪⎩

x x l t u u a xe x l t t x u u t u x l x x l 试求该定解问题的解.

2.解定解问题22

222000()sin ,0,00,0,

0,()0,0,

0x x l t t t u u

a A x t x l t t x u u t A x u u x l ωω====⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪

数理方程试题

一．判断题（每题2分）.

1. 2u u x y x y x

+=是非线性偏微分方程.( )

2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( )

3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式，则 ( )

4. (,)0xy f x y =的解是调和函数.( )

5. **12u u 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12u u -是0u ?= 的解.( )

二．填空题（每题2分）.

1. ()sin t xx yy u u u xt -+= 是____________型偏微分方程.

2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________.

3. 2x 的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________.

4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________.

5. []()____________.at m L e t s = 三．求解定解问题（12分）

sin ;0,0;0.

t xx x

x x

x l

t u a u A t u u u ω===-====

四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分）（1）

1,0,0;

1,1.

xy x y u x y u

y u

===>>=+=