基于对偶混合变分原理的Signorini问题的数值模拟

［对偶混合变分形式 ． 出了一种非协 调有限元逼近 格式 ， 明了离 散的 ＢＢ条 件 ， ｇ ｎ 提 证 －
获 得了 Ｅ ｖ ｒＴｏ ｓ（ ａｉ ｖ ｈｍ ｓ ＝０ 有 限元 逼近的误差 界 ０ ＾ ）并且 扭仳 型算法对 调与非协调有限元逼近格式进行 ａ ） （ ． 了数值求解 根据数值结果的分析和 比较 。 明应用非协调 有限元逼近格式求解更有效 ． 表 ［ 美■词 ］ Ｓｇｏ ｎ 问题 ： ｉ ｒｉ ￣ｉ 对偶捏合 变分形式 ； ａｉ ｔ ｈｍ ｓ ； Ｒ ｖ ｒＴ ｏ ｓ 元 非协调有限元 ；ｚｗ 算｛ ａ－ Ｕａａ 击
而
其 中
（ ； ）： ｒ ， （ ， ）＋ ６ ｒ ， ） ｒｒ （； 一
一
（ ｇ） ＋（ ，ｉｒ＋ ） ｒ， ｒ ｆ ｄｖ ，
值试 验 ， 用这 种格 式进 行数值 求解 ， 在保 证精 度 的前 提 下计 算量 明显 减少 ．
这 里
ａ ｒ ｒ ＝ （ ， ）＋ （ｉｒ ｄｖ ） （ ，） ｒｒ ｄｖ ， ｌｒ ，
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第 卷 第 ２期 ２ ０ 年 ３月 ０２
Ｃｍ Ｎ Ｓ Ｏ Ｅ Ｅ Ｊ ＵＲ ＮＡ Ｆ Ｃ ＭＰ Ｔ Ｔ Ｏ ＬＯ Ｏ Ｕ Ａ Ｉ ＮＡ ＨＹｓＣ ＬＰ ＩＳ
计
算
物
理
Ⅷ ．９ № ． １． ２
ｈ ． １２ ． ０
在
㈩
式 是混台 有 限元 方 法 的基 础 ， 有 限 元 离 散空 间 的 而
选 取与 方法 的稳 定 性 、 值 解 的精 度 及 求 解速 度 都 数
ｌ ｇ０ ， 上 ， ０在 ， — 雾
【（ ｇ＝， 在 ． 赛 ）０ 一 上
其中 是 ０ 边 界ａ 上 的单位 外法 向量 ． ［ ］ 出 ｎ 文 １给 了如下对 偶混 合变分 形式 及相应 的协 谓有 眼元离 散
６ ｒ ， ） （ ｌｒ ）＋（ ）＾ （ ； ＝ ｄｖ ， ｒ， ｒ
１ ｓｏａｒ ｉ 分 边值 问题 乜 ｉ ｏｉ 微 ｎ
Ｓ ｎｒ ｌ ｉ ｏ ｎ 微分边 值问 题 ｇ ｉ
［ 藕 Ｅ期 】 ００— ７—２ ；［ 回 日期 】２ｏ 一０ —０ 收 ｌ ２０ ０ ４ 惨 ｏｌ ３ ５
求 ｄ ∈Ｌ （ ， ∈Ａ， ∈Ｑ ， ｎ） 使得
Ｌ ｄ ， ）≤ Ｌ 口 ， ≤ Ｌ ｒ ． ， （； （ ； ＾） （ ； ） Ｖｒ ∈ Ｑ。 ∈ Ｌ （ ， ∈ Ａ ， ， ｎ） （） ２
力的协调 有 限元 逼近 ， 以确保 离 散的 ＢＢ条件成立 ， ，
［ 章 一号 】 ｌ０ —４Ｘ（０２ ０－１９０ 文 Ｏ １２６ ２０ ）２０４－６
基 于对 偶 混 合 变 分原 理 的 Ｓｇ ｏ ｉｉ ｉｎ ｒ ｎ 问题 的数 值 模 拟
王 光辉 王 烈衡 ，
（． 华 大 学 计 算 机科 学 与技 术 系 ， 京 Ｉ清 北 １ ∞噼 ４ ； １０８ ） ０００ ２ 中科 院 计 算 数 学 与 科学 工 程 计 算研 究 所 ， 学 与 工 程 计算 国家 重 点 试 验 室 。 京 科 北
［ 田 分 类 号 Ｊ ０ ５ 中 ７３ ［ 蘸标识码】 Ａ 文
ｒ ＝ｆ 一△ ，
在 ０ 内，
０ 引言
用 混 合 有 限元 方法 求 解 弹性 力 学 问题 ， 具有 同 时求 解位 移和 应 力 的优 点 ． 力学 问题 的混 台 变 分 形
ｌ ＝０ ，
“
在 ／ 上， ＇ ｏ
应 力元 不 得 不 用 Ｒ ｖ ｒ Ｔ ｏ ｓ ＾＝１ 不 完 全 二 次 ａｉ ｔ ｈｍａ（ ａ， ） 多 项式 逼近 ， 样必然 导致较 大 的计算 量 ． 了减 少 这 为 因插 值多 项式 的 次 数增 大 而 带 来 的计 算 量 ， 文 基 本 于文 ［ ］ １ 的对偶 混合 变分 形式 ， 出 了一种非 协调 有 提 限元逼 近格 式 ． 力元 用 Ｒ ｖ ｒＴ ｏ ａ（ 应 ｓｉ ｔ ｈｍ ｓ ＾＝０ 不完 ａ． ） 全一次多 项式 逼 近 ， 移 和接 触 边 界应 力分 别 用分 位 片常数 和分段 常 数 逼 近 ． 过有 限 元 误 差分 析和 数 通
格式 ：
有直接 的关 系 ． ［ ］ 于 对偶 混 合 变 分 原 理 对 ｓ． 文 １基 ｇｏｎ 问题 给 出 了一 种 能 同 时 求 解位 移 、 力 和 接 ｎｆｉ ｉ 应
触边 界应 力 的混 合变 分形 式 ， 并用 Ｒ ｖ ｒＴ ｏ 元 ａｉ ｔ ｈ —ｓ ａ－ 给 出了该变分 形 式 的协调有 限元 离散 格式及 相应 的 误差 分 析 ． 然而 ， 了保 证 位 移 、 力 和 接 触边 界 应 为 应
∑』ｄ 一） ＝，Ｖ ∈ 。 ｉ ” ｄ ０ Ｌ ｖ （ ｄ ； ∑』 一 ｓ ＝ （ ）ｓｏ ｄ
进 一步令
础 （ ） 的范数定义为
∞
Ｉ Ｉ ＝ ｌＩ ５ ＋ ｌｄ Ｉ Ｉ＋ ｌ ｌ ， ５ ． ２ ｌ
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１０ ５
计
算
物
理
第 ｌ ９卷
Ｑ ＝ ｌ ∈ 日（ｊ， １ ‘ ＝ ｒ ｄｖ ｎ） ｆ ，在 ｒ ，上 ｝ ，
Ａ ＝｛ 日 （ Ｉ ∈ ｒ ） ｓ０ 在 ｒ ， 上 ｝ ， Ｈ （ ＝｝ ∈日 ｒ ）户 。 ∈Ｌ （ ｝ ｒ） （ Ｉ － ｒ ）．
ｒ ：
，
ｒ ： ｒ ‘以 ，
Ｑ ＝｛ ∈Ｈ（ ｉ， Ｉ ・ ＝ ， 在 。 ｒ ｄ ｎ） ０ ｖ ｒ
上ｌ ，
【 基童项 ｌ ａ】国家 自然科学 基金 （９７０４ 资助项 目 １ ２６ ） ６ 【 作者简介】王光牌 （ ６ 一 。 ． １ ２ ）男 湖南益 阳． ９ 博士 ， 从事应用数值分析研究