《初等数论》模拟试卷
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浙江师范大学《初等数论》考试卷（G
卷）
一、填空（30分）
1、d （1001）= 6 。σ（2002）= 4032
2、c x a x a x a n n =++....2211有解的充要条件是c a a a n |),...,(21 。
3、不能表示成5X+6Y （X 、Y 非负）的最大整数为 19 。
4、2003！中末尾连续有 499 个零。
5、（21a+4，14a+3）= 1 。
6、222z y x =+通解为 。
7、两个素数的和是39，这两个素数是 2 、 37 。 8、从1001到2000的所有整数中，13的倍数有 77 。
9、p,q 是小于是100的素数，pq- 1=x 为奇数，则x 的最大值是 193 。 二、解同余方程组（12分）
⎪⎩
⎪
⎨⎧≡+≡≡)7mod 25)5(mod 1)4(mod 1x x x 由孙子定理得).140(mod 81≡x
三、证明费尔马定理。 （10分） 四、明：设ｄ是自然数ｎ的正因子，则有
∏=n
d n d n
d )(2
1
（10分）
答、设d 是n 的因子，则
d
n
也是n 的因子，而n 的因子数为d （n ） 所以∏∏=n d n d d n d |，所以∏=n
d n d n d )(2)(即有∏=n d n d n d )(2
1
五、Ｐ为奇素数，则有（10分）
)(mod )(p b a b a p p p +≡+
答、由费尔马小定理知对一切整数有 a p ≡a （p ） b p ≡b (P )，
由同余性质知有 a p +b p ≡a+b (p )
又由费尔马小定理有（a+b ）p ≡a+b (p ) （a+b ）p ≡a p +b p (p )
六、用初等方法解不定方程01996202=+-xy x 。 （10分） 答：由题意知x 为偶数，设12x x =，则有04991012
1=+-y x x 即有
499)10(11-=-y x x
由499为素数有两因子只能取499,1 ±，从而 得
⎩⎨⎧==502y x ⎩⎨⎧-=-=502y x ⎩⎨⎧==50998y x ⎩
⎨
⎧-=-=50998
y x 七、解不定方程式15x+25y=-100. (8分) 答： Z t t y t x ∈+-=-=,34,5
八、请用1到9这九个数中的六个（不重复）写出一个最大的能被6整除的六位数（10分）答：987654
浙江师范大学《初等数论》考试卷（A 卷）
一、填空（30分）
1、d （1000）= 16 (2的3次*5的3次 。φ（1000）= 2340 [（2∧4-1）]/(2-1)*[(5^4-1)]/(5-1) 。(
101
74
)=__1____ 。 2、 ax+bY=c 有解的充要条件是 (a,b)/c 。
3、2002
2002
被3除后余数为
1 。
4、[X]=3，[Y]=4，[Z]=2，则[X —2Y+3Z]可能的值为 3，4，5，6，7，8，9，10，11 。
5、φ（1）＋φ（P ）＋…φ（n
P ）=
n p 。
6、高斯互反律是 )()
1()(2
121q
p
p
q
q p ---=，p ，q 为奇素数 。 7、两个素数的和为31，则这两个素数是 2和29 。
8、带余除法定理是 a 和b 是整数，b>=0,则存在唯一的整数，使得a=b*q+r, 0= 二、解同余方程组（12分） ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≡≡-≡)15(mod 1)10(mod 6)12(mod 2x x x 答：原方程等价于⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≡-≡-≡)5(mod 1)3(mod 2)4(mod 2x x x 由孙子定理得)60(mod 46≡x 三、叙述并且证明威尔逊定理。（10分） 四、解方程 474 ++x x ≡0（mod ２７） （10分） 答： )27(mod 22≡x 五、设2Ｐ+1为素数,试证)12(mod 0)1()!(2+≡-+p p p （10分） 答：因n=2Ｐ+1为素数，由威尔逊定理)(mod 01)!1(n n ≡+-即有 ) (mod 1)()2(2)1(1123)2)(1(1)!1(n p n p n n n n n +--⋅⋅-⋅≡⋅⋅--≡+- )12(mod 01)1()!(2+≡+-≡p p p 即证 六、设P=4n+3是素数，证明当q=2p+1也是素数时，梅森数12-=P P M 不是素数。（10 分） 答：因q=8n+7，由性质2是q=8n+7的平方剩余，)(mod 1)2 (q q ≡即 12|34-+n q 七、证3 3 3 93z y x =+ 无正整数解。（8分） 八、 设n 是大于2的整数，证明)(n ϕ为偶数（10分） 答：假设3 3 3 93z y x =+有解，设（x ，y ，z ）是一组正整数解，则有x 是3的倍 数，设x =3x 1,又得到y 为3的倍数，设13y y =,又有13z z =，3 1313193z y x =+则有解),,(111z y x 且z>z 1 这样可以一直进行下去，z>z 1>z 2> z 3>z 4>… 但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾。