如何对几何习题拓展

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一道立体几何课本题的拓展研究

这时，一位学生Ｆ提出了一个新的观点：看见有他
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对高一新课标《立体几何》中一个例题拓展和

对高一新课标《立体几何》中一个例题的拓展和探究摘要:高一年级普通高中课程标准实验教科书《数学②》(必修人民教育出版社)第二章第45页有这样的一道例题,例2.已知空间四边形abcd中e、f、g、h分别是ab、bc、cd、da的中点,如图1.求证:四边形efgh是平行四边形。

现对该例题进行拓展和探究:拓展1:若拓展条件bd=ac,探究1:四边形efgh是什么四边形? 拓展2:若拓展条件bd⊥ac,探究2:四边形efgh是什么四边形? 拓展3:若拓展条件bd=ac,bd⊥ac,探究3:四边形efgh是什么四边形?拓展4:如图(2)若拓展条件==,==,探究4:四边形efgh是什么四边形?关键词:高一“新课标教材”例题拓展探究高一年级普通高中课程标准实验教科书《数学②》(必修人民教育出版社)第二章第45页有这样的一道例题:例2.已知空间四边形abcd中e、f、g、h分别是ab、bc、cd、da的中点,如图1。

求证:四边形efgh是平行四边形。

证明:连结bd、ac,由e、f、g、h分别是ab、bc、cd、da的中点四边形efgh是平行四边形。

分析:如果我们对这个例题的已知条件进行拓展、变形,就会发现这是一道难得的好题,它蕴含着较大的教育价值、教学价值和智力价值,对例题进行变式、拓展、探究是高中“新课标教材”的重要理念,同时,这也是高中数学学习中的一个重要环节。

在学习立体几何中,如果能充分拓展一些课本例题,那么立体几何中的一些重点和难点问题都能迎刃而解,这样做还能给学生以发现、探索、总结、发展、创造的空间。

这对我们培养学生的发散性思维、培养学生的想象能力和数学能力、提高学生学习数学的积极性和主动性、提高学生探究知识的意识都是大有益处的,同时,这对我们培养学生的创新能力起到了很好的启发作用。

拓展1:已知空间四边形abcd中e、f、g、h分别是ab、bc、cd、da的中点,且bd=ac,如图1。

探究1:四边形efgh是什么四边形?分析:连结bd、ac,由e、f、g、h分别是ab、bc、cd、da的中点,且bd=ac四边形efgh是菱形.拓展2:已知空间四边形abcd中e、f、g、h分别是ab、bc、cd、da的中点,且bd⊥ac,如图1。

几何定理拓展知识点总结

几何定理拓展知识点总结首先，我们来看一些重要的几何定理。

1. 直角三角形的勾股定理直角三角形的勾股定理是几何学中最著名的定理之一。

它表明在一个直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边平方和。

具体而言，如果我们用a、b、c分别表示直角三角形的三条边，其中c为斜边，a和b为直角边，那么有a² + b² = c²。

这个定理有许多应用，其中最常见的是用来求解三角形的边长或角度。

此外，勾股定理也可以用来证明其他几何定理，比如勾股数的存在性以及勾股数的性质。

2. 圆的性质定理圆的性质定理包括了一系列关于圆的基本性质和定理。

其中最重要的是圆的直径定理和圆心角定理。

圆的直径定理表明，如果一条直线经过圆的圆心并与圆相交，则这条直线一定等于圆的直径。

这个定理非常有用，可以用来证明一些三角形的性质，比如圆锥相似定理。

此外，圆的直径定理也有重要的物理应用，比如在光学中用来解释光的反射和折射现象。

圆心角定理表明，如果一个角的顶点在圆的圆心上，那么这个角的度数一定等于所对的圆弧的度数。

圆心角定理可以用来解决一些与圆弧度数相关的问题，比如用来证明三角形的内切圆性质。

3. 相似三角形相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的三角形。

相似三角形的性质定理包括了许多与相似三角形相关的定理，比如AAA相似定理、AA相似定理、SAS相似定理等等。

其中最重要的是AAA相似定理。

AAA相似定理指出，如果两个三角形的对应角分别相等，那么这两个三角形是相似的。

利用相似三角形的性质，我们可以解决各种与比例相关的问题，比如用相似三角形证明勾股定理。

以上是一些重要的几何定理和其相关的应用。

接下来，我们将探讨几何定理的证明方法和拓展知识点。

证明几何定理的方法证明几何定理是几何学中的重要问题。

几何定理的证明通常需要使用数学推理和逻辑推导，并且可能涉及到一些几何图形的性质和定理。

在证明几何定理时，可以使用几何学的基本公设，比如点、直线、面、平行公设、垂直公设等。

如何提升四年级学生的几何问题解决能力

如何提升四年级学生的几何问题解决能力对于四年级的学生来说，几何问题可能是数学学习中的一个挑战。

但通过正确的方法和持续的练习，他们的几何问题解决能力可以得到显著提升。

以下是一些有效的策略和方法，可以帮助四年级学生更好地应对几何问题。

一、建立扎实的基础知识1、理解基本概念几何的基本概念是解决问题的基石。

确保学生清楚地理解点、线、面、角、三角形、四边形、圆形等的定义和特征。

例如，让学生通过观察和实际操作，认识到角的大小与边的长短无关，而是由两条边张开的程度决定。

2、掌握测量方法准确测量长度、角度和面积是解决几何问题的重要技能。

教会学生使用尺子测量线段的长度，使用量角器测量角的度数，以及使用合适的方法计算图形的面积。

3、熟悉图形的分类和性质让学生了解不同图形的分类标准和各自的性质。

比如，三角形可以按照角的大小分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按照边的长度关系分为等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。

每种三角形都有其独特的性质，学生只有熟悉这些性质，才能在解决问题时灵活运用。

二、培养空间想象力1、观察实物鼓励学生观察周围的实物，如教室中的桌椅、门窗、书本等，让他们从不同角度观察物体的形状和结构，培养空间感知能力。

2、制作模型通过手工制作几何模型，如用硬纸板制作三角形、四边形、正方体、圆柱体等，可以让学生更直观地感受图形的特征和空间关系。

3、进行空间想象训练给出一些简单的几何图形，让学生闭上眼睛想象图形的旋转、平移、对称等变化，或者描述一个物体，让学生在脑海中构建出它的形状。

三、多做练习1、课本习题认真完成课本上的几何习题，这些题目通常是按照教学大纲设计的，能够帮助学生巩固所学知识。

2、课外练习册选择适合四年级学生的课外练习册，增加练习的量和难度，逐步提高学生的解题能力。

3、趣味数学题可以找一些有趣的几何数学题，如谜题、游戏等，激发学生的学习兴趣和积极性。

四、注重解题思路和方法1、画图辅助在解决几何问题时，鼓励学生画出图形，将问题中的条件和关系直观地表示出来。

运用《几何画板》进行习题变形和拓展（精）

运用《几何画板》进行习题变形和拓展湖北省孝感市孝南区西湖中学；电话2468503 《几何画板》在作图时有两大特点：一是“动态性”，二是“保持几何关系不变性”，也就是说我们可以随意移动一个图形的位置而保持几何关系的不变，这种特性正适合我们进行习题的变形和拓展。

下面特举几例说明之。

例1：如图（1）：四边形ABCD是正方形，点E为BC中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于F，求证：AE=EF（选自人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书八年级下册P133）《几何画板》作图：“保持几何关系不变性”：“四边形ABCD是正方形”、“∠AEF=90°”、“CF是正方形外角平分线”。

设计“动态性”：“点E是直线BC上任意一点”、“射线EF与直线CF交于一点F”。

观察测量结果：“线段AE和EF是否相等”。

习题变形：例1中在其他条件不变，将“点E为BC中点”变为“点E为直线BC上任一点”，观察结论还成立。

变形题1：如图（2）四边形ABCD是正方形，，∠AEF=90°，点E为边BC上任一点，EF交正方形外角平分线CF于F，求证：AE=EF 变形题2：如图（3）四边形ABCD是正方形，，∠AEF=90°，点E为边BC延长线上任一点，EF交正方形外角平分线CF于F，求证：AE=EF 变形题3如图（4）四边形ABCD是正方形，，∠AEF=90°，点E为边CB延长线上任一点，EF交正方形外角平分线CF 的反向延长线于F，求证：AE=EF 例2：如图（1）：OA⊥BC，∠AOB=50°，试确定∠ADC的大小.（选自人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书九年级下册P94）《几何画板》作图：“保持几何关系不变性”：“OA⊥BC”，“∠AOB=50°”。

设计“动态性”：“点D是⊙O上任意一点” 变形题1：如图（2）：OA⊥BC，∠AOB=50°，试确定∠ADC的大小. 变形题2：如图（3）：OA⊥BC，∠AOB=50°，试确定∠ADC的大小. 还可以进行组合变形：设计“动态性”：“点D是⊙O上任意一点”和“弦BC垂直于直线OA 变形题3：如图（4）：OA⊥BC，∠AOB=130°，试确定∠ADC的大小. 变形题4：如图（3）：OA⊥BC，∠AOB=130°，试确定∠ADC的大小. 变形题5：如图（3）：OA⊥BC，∠AOB=130°，试确定∠ADC的大小. 例3 ：如图（1）：⊿ABD、⊿AEC都是等边三角形，求证：BE=DC.（选自人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书八年级上册P150）《几何画板》作图：“保持几何关系不变性”：“⊿ABD、⊿AEC都是等边三角形”。

拓展小学生数学视野空间几何题目

拓展小学生数学视野空间几何题目数学是一门需要拓展思维的学科，尤其是在几何学方面。

拓展小学生的数学视野，让他们接触更多空间几何题目，不仅能够培养他们的逻辑思维和创造力，还能够提高他们的空间想象能力。

本文将介绍一些拓展小学生数学视野的空间几何题目。

1. 平行四边形的性质平行四边形是小学生学习的重点内容之一。

除了要求学生掌握平行四边形的定义和性质外，我们可以给他们一些拓展题目来提高他们的思维能力。

例如：已知一个平行四边形的边长分别为a、b，对角线的长度分别为p、q，让学生推导出p和q之间的关系。

这样的题目不仅能够拓展学生的数学思维，还能够让他们在解题的过程中深入理解平行四边形的性质。

2. 空间图形的展开和折叠我们可以给学生一些展开和折叠的题目，让他们通过观察和操作来加深对空间几何图形的认识。

例如：给学生一张正方体的展开图纸，让他们剪下来，然后折叠成一个立方体。

通过这样的练习，学生不仅可以加深对正方体的理解，还能够培养他们的观察力和动手能力。

3. 空间几何图形的旋转和镜像旋转和镜像是空间几何中常见的操作。

我们可以给学生一些旋转和镜像的题目，让他们在实践中理解这些操作的具体意义。

例如：给学生一段绳子，让他们围成一个三角形，然后进行旋转，观察旋转后的图形和原始图形有何不同。

通过这样的活动，学生不仅可以理解旋转的含义，还能够加深对三角形的认识。

4. 空间几何图形的投影投影是空间几何中的重要内容之一。

我们可以给学生一些投影的题目，让他们通过观察和绘制来理解投影的概念和特点。

例如：给学生一些正方体、长方体等简单的立体图形，让他们观察这些图形在不同平面上的投影。

通过绘制投影图，学生可以更好地理解投影的含义和应用。

总之，通过给小学生拓展数学视野的空间几何题目，我们能够培养他们的逻辑思维和创造力，并提高他们的空间想象能力。

在设计这些题目时，我们可以根据学生的年级和学科水平来确定难度，让他们逐步地掌握和应用相关的概念和技能。

初一数学学习中的常见知识点拓展与延伸

初一数学学习中的常见知识点拓展与延伸数学作为一门理科学科，对于初中学生而言，是一门既重要又有挑战性的学科。

初一阶段的数学学习，主要围绕基础知识点展开，如数的运算、图形的认识等。

然而，仅仅停留于基础知识的学习，远远不能满足学生的探索欲望和学科素养的培养。

因此，在初一数学学习中，除了打牢基本知识之外，我们还要拓展与延伸一些常见知识点，帮助学生更加全面地了解数学的魅力和应用。

一、数的运算拓展初一阶段的数学学习中，数的运算是一个重点内容。

针对这一部分知识，我们可以进一步拓展学生的运算能力和思维方式。

1. 分数与小数的转换在初一学习中，学生已经初步认识了分数和小数，并掌握了它们的基本运算。

为了更好地理解和应用这两种数形式，可以引导学生探索分数和小数的相互转换规律，例如如何将一个小数转换为分数，如何将一个分数转换为小数。

2. 真分数的运算初一学习中，学生对于假分数的加减乘除已有一定的掌握。

但对于真分数的运算，如何进行乘除法运算，仍需加强训练。

可以通过教学案例和练习题的方式，引导学生灵活运用乘除法的方法，进行真分数的运算。

二、几何形状的拓展初一学习中，了解和认识几何形状是必不可少的。

除了熟悉的几何形状，可以进一步延伸学生对于几何形状的认识。

1. 立体图形的认识初一学习中，学生已经开始认识了简单的立体图形，如正方体、长方体等。

可以进一步引导学生了解常见的立体图形，如球体、圆锥体等，并了解其特征和应用。

2. 平面图形的变换除了认识平面图形的基本属性外，我们还可以帮助学生学习平面图形的变换。

例如平移、旋转、对称等。

通过实例演示和练习，让学生掌握平面图形变换的规律和方法。

三、方程与代数式的拓展初一数学学习中，方程和代数式占据了重要的位置。

在打牢基本的方程与代数式的知识之后，我们可以对学生进行更深入的学习和拓展。

1. 一元一次方程的解法初一阶段，学生已经了解和掌握了一元一次方程的解法。

在此基础上，可以引导学生探究复杂一些的一元一次方程的解法，如带有分数、小数或绝对值的方程。

解析几何中五类定点定值问题的研究与拓展解答

专题:解析几何中五类定点定值问题的研究与拓展【问题提出】1.无论k 取任何实数，直线(1 +4k)x-(2 -3k)y+(2 -14k) =0必经过一个定点，则这个定点的坐标为2.已知直线丨：2ax +by-a +b =0 ；圆C : x 2 + y 2 - 2x-1 = 0 ,则直线I 与圆C 的位置关系为=1(a >■ b A 0)，点A,F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，点P 是圆PA 若 ——为常数，则椭圆的离心率为PF过点(1, 0).若对任意的实数 m ,定直线 l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线 I 的方程为.2x + y — 2= 0【探究拓展】2探究1：已知F 1、F 2分别为椭圆 G ：詁+詁=1(a Ab 》。

)的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 2：x 2=4y 的5焦点，点M是C 1与C 2在第二象限的交点，且阿七.(1) 求椭圆C 1的方程.(2)已知点P(1,3)和圆O ：X 2 +y 2 =b 2,过点P 的动直线I 与圆0相交于不同的两点 A,B ,在线段AB 上取一点Q ,满足：AP = -A P B ,瓷=Z QB ,( A H 0且A H ±1).求证：点Q 总在某定直线上.4.平面直角坐标系 xOy 中,已知圆C ： x 2+ y 2— (6 — 2m)x — 4my + 5m 2— 6m = 0,直线 I 经 2 2x y3.已知椭圆C : —2 + —2a b2 2 2 O : x + y =b 上的动点,1 4变式1 :在平面直角坐标系 xOy 中，已知定点A( — 4,0)、B(4,0),动点P 与A 、B 两点连线的斜率之积为①求O M 的方程;直线AF i , AF 2分别交椭圆于点 (1 )求证直线BO 平分线段AC ;(2) 设点P (m , n ) ( m , n 为常数)在直线BO 上且在椭圆外，过P 的动直线(1)求点 p 的轨迹方程;(2)设点 P 的轨迹与y 轴负半轴交于点 C.半径为r 的圆M 的圆心M 在线段 AC 的垂直平分线上，且在 y轴右侧，圆 M 被y 轴截得的弦长为a②当r 变化时，是否存在定直线 I 与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线I 的方程；如果不存在，说明理由.2 2X y 变式2 :已知椭圆E : —2 + a b= 1(a Ab >0)的离心率为弓3 ,它的上顶点为A ,左、右焦点分别为F 1,F 2 ,MP N ,在线段MN 上取点Q ,满足—PN=器，试证明点Q 恒在一定直线上.B ,C .I 与椭圆交于两个不同点 M ,P探究2:平面直角坐标系xoy 中，圆G：(x + 3)2+(y -1)2=4和圆C2：(X-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线I过点A(4,0)，且被圆C I截得的弦长为2J3，求直线I的方程;(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线|1和|2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线|1被圆C1截得的弦长与直线12被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.-- ----------- ►A H变式1：在直角坐标系xOy中，点M到点F i(-J3,0)，F2(J3,O)的距离之和为4，点M的轨迹是C，与x轴的负半轴交于点A，轨迹C上有不同的两点P和Q，且AP-AQ-O(1)求轨迹C的方程;(2)直线PQ是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点？若不过定点，请说明理由.变式2:已知圆C:x2+y2=9，点A(—5,0)，直线l :x-2y = 0.(1)求与圆C相切，且与直线I垂直的直线方程;PB (2)在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B (不同于点A),满足：对于圆C上任一点P ,都有——PA 为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标.变式3 :在平面直角坐标系xOy中，已知直线1: 2岳—y+ 3+ 8返=0和圆C1: x2+ y2+ 8x + F= 0.若直线I被圆C i截得的弦长为2j3 .设圆C i和x轴相交于A, B两点，点P为圆C i上不同于A, B的任意一点，直线FA, PB交y轴于M, N两点.当点P变化时，以MN为直径的圆C?是否经过圆C1内一定点?请证明你的结论;变式4:如图，椭圆的中心为原点 O ,离心率e =¥，—条准线的方程为x = 2{2.(1)求该椭圆的标准方程; (2)设动点P 满足：O P = OM + 2ON ，其中M , N 是椭圆上的点，直线 0M 与ON 的斜率之积为一2,问: 是否存在两个定点 F i , F 2，使得|PFJ +|PF 2I 为定值？若存在，求出 F i , F 2的坐标；若不存在，说明理由.5:已知左焦点为F(— 1 , 0)的椭圆过点E(1 , 亜).过点P(1 , 1)分别作斜率为k i , k 2的椭圆的动弦 3 CD ，设M , N 分别为线段AB , CD 的中点. 求椭圆的标准方程；若P 为线段AB 的中点，求k i ；若k i + k 2=1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.变式 AB ,2 2 X y探究 3 :已知椭圆p +笃=1（a；＞bA0）的左顶点为a b+ y2+ J3x -3y -6 = 0过A, F2两点求椭圆标准的方程; A，左、右焦点分别为F1,F2，且圆X2(2) 设直线PF2的倾斜角为a,直线PF1的倾斜角为3,当a,3- a= I n时证明：点P在一定圆上;3变式设椭圆的上顶点为Q,在满足条件（2）的情形下证明: PQ = PF i + PF2 .1:在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（X—1）2+ y2= 4, P为圆C上一点•若存在一个定圆过P作圆M的两条切线PA, PB,切点分别为A, B，当P在圆C上运动时，使得/ APB恒为60。

紧扣母题,培养学生几何创新思维

紧扣母题，培养学生几何创新思维初中几何教材中的许多例题、习题，往往是具有代表性的典型题型，教师在教学中，除了让学生掌握课本中所列知识和方法外，还要让学生理解其精髓，善于引导学生去挖掘例题、习题的潜在内涵和外延，尝试多方位多渠道改编典例，进行针对性训练，提高推理论证能力，从而培养学生的创新思维。

如课本中的此道习题。

已知：如图1，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是高，AE 是角平分线，交CD 于点F ，EG AB ⊥，G 为垂足。

求证：四边形CEGF 是菱形。

一、利用“一题多证”来培养学生的创新思维对于一道几何题能用几种解法的题目，应该用不同的思维方式，从不同的思维角度去寻找多种解题的方法，这样不仅有利于培养学生灵活运用知识的能力，而且有助于培养学生发散思维训练。

思路分析1：证四边形CEGF 的对角线互相垂直平分。

证法1：连结CG 交EF 于点O ，如图2，AE 平分BAC ∠，EC AC ⊥，EG AB ⊥,AEC AEG CE EG ∴∠=∠=12∴∠=∠∴在CEG ∆中，,AE CG CO GO ⊥=又CD AB ⊥ CD EG ∴ 32∴∠=∠在GOE ∆和COF ∆中，由23,,90GO CO GOE COF ∠=∠=∠=∠=︒得GOE COF ∆≅∆OE OF ∴= EF ∴与CG 互相垂直平分∴四边形CEGF 是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）思路分析2：先证四边形CEGF 是平行四边形，再证.EG EC =证法二：如图3，AE 平分,,BAC EC AC EG AB ∠⊥⊥ ,EC EG EG CF ∴=又90ACD CAD ∠+∠=︒ ，90B CAB ∠+=︒ACD B ∴∠=∠又,CEA B EAB CFE ACD CAF ∠=∠+∠∠=∠+∠ CEF CFE ∴∠=∠ C E C F ∴= C F E G ∴= 又CF EG∴四边形CEGF 为平行四边形，又EC EG =∴四边形CEGF 为菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）思路分析3：先证四边形CEGF 是平行四边形，再证.CG EF ⊥证法三：如图4，连结CG 交EF 于点O 。

对一道几何题的探究与拓展

图５
ＰＰＤ＋Ｅ＝ＣＦ．
Ｐ／ＦＤ／Ｃ，
ＰＤＢｐ
一
这种证法，不仅让同学们复习了“ 三角形
全等 ” 等腰三角形 ” 平行四边形 ”等相关知 “ “
丽
识，而且使同学们掌握了 “ 利用平行线构造全
等ｉ角形 ” 方法．的
条线段移到同一个三角形中，或者移到两个全等三角形中来证明．但是很难作出辅助线．而将三角形补全为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等的性质，由等量代换的方可
所以Ｂ＝Ｆ从而有Ａ＝ＦＨＢ．Ｂ．Ｃ
语数外学习（ ຫໍສະໝຸດ 年级）已知：图１在ＡＡＣ中，ＢＡＰ是如，ＢＡ＝Ｃ，
题得以证明．
图３
证法５如图６连接Ａ．：，Ｐ根据５
Ｓ￣ｃ得 — ＡＢ・ＺＢ，４１尸＋
，
ｓ
这种证明方法巧妙地利用了矩形的相关性质．
Ａｃ・户＝
曰・．ＣＦ
证法３如图４延长Ｊ：，ＤＰ至Ｍ，ＰＰ使Ｍ＝Ｅ，
＼
１ｈ
继续对这道题进行探究和引申，同学们不
ｌ＼、
Ｃ
Ｂ
Ｍ
难发现下面一些结论： ①等腰三角形底边上任
意一点与两腰的距离之和是一个定值； ②若三角形一边上的任意一点与其他两边的距离之
和等于其中一边上的高，则这个三角形是等腰
图９
三角形； ③若将底边上任意一点改为底边的延长线上任意一点，其他条件不变，则有等腰三

解析几何试题的背景及拓展

仿射几何与北京高考解析几何试题——2016北京卷第19题的背景和拓展我们知道，圆锥曲线的很多问题都可以在“圆”那里找到源头，那么圆的哪些性质可拓广到其它曲线呢？那些不能照搬的性质，又有什么样的变化形式？举个例子：圆有一个重要的性质——“直径所对的圆周角为直角”。

那么类似的，对于椭圆能得到什么相应的结论呢？设AB 为椭圆22221x y a b +=的“直径”（即过中心的弦），P 为椭圆上一点（异于,A B ），,PA PB 仍垂直吗？会有什么关系？分析：设1100(,),(,)A x y P x y ，则11(,)B x y -， 2201010122010101PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-，又因为2200221x y a b +=，2211221x y a b+=，所以22012201y y x x --22b a=-，也就是说直线,PA PB 的斜率之积为定值。

在2010年高考北京卷的第19题涉及到了这个内容：在平面直角坐标系xOy 中，点B与点(1,1)A -关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-。

求动点P的轨迹方程。

这里，实际上就是把上面的问题反过来了。

这些是简单的问题，对于圆的更复杂的性质，圆锥曲线里又会有怎样相应的结论呢？我们知道，对圆锥曲线的研究，思路的起点经常是圆，而圆里面的问题太丰富了，中学教师如果能够把圆锥曲线和圆的关系搞清楚，那么解析几何问题的探索与研究的源泉将永不枯竭。

本文简述仿射几何的几条基本理论，探讨如何把圆里的问题转化到圆锥曲线中去，寻找高等数学观点下的圆锥曲线（包括圆）的一致性，并谈谈在这方面北京卷命题所做的一些探索和实践。

一、仿射几何的几条基本结论结论1: 仿射变换保持同素性. 仿射变换使得点对应点, 直线对应直线. 结论2：仿射变换保持结合性. ,,A B C在直线L 上, 经过仿射变换后, 其对应点',','A B C 在直线L 的对应直线'L 上.结论3：两个封闭图形面积之比经过仿射变化后保持不变。

初中几何定理拓展训练教案

初中几何定理拓展训练教案教学目标：1. 让学生掌握三角形全等的判定方法（SAS、ASA、AAS）。

2. 培养学生运用几何定理解决实际问题的能力。

3. 提高学生的逻辑思维能力和团队合作能力。

教学重点：1. 三角形全等的判定方法（SAS、ASA、AAS）。

2. 几何定理在实际问题中的应用。

教学难点：1. 三角形全等的判定方法的灵活运用。

2. 复杂图形中几何定理的识别和应用。

教学准备：1. 教学课件。

2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾三角形全等的定义。

2. 提问：我们已经学过哪些三角形全等的判定方法？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解SAS（边-角-边）全等判定方法：如果两个三角形的一边和它的两个角分别与另一个三角形的一边和它的两个角相等，那么这两个三角形全等。

2. 讲解ASA（角-边-角）全等判定方法：如果两个三角形的两个角和它们之间的一边分别与另一个三角形的两个角和它们之间的一边相等，那么这两个三角形全等。

3. 讲解AAS（角-角-边）全等判定方法：如果两个三角形的两个角和一个边分别与另一个三角形的两个角和一个边相等，那么这两个三角形全等。

三、案例分析（15分钟）1. 出示案例，引导学生运用几何定理解决问题。

案例1：已知：三角形ABC与三角形DEF中，AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，求证：三角形ABC与三角形DEF全等。

案例2：已知：四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形。

2. 学生分组讨论，教师巡回指导。

3. 学生汇报解题过程和结果。

四、练习巩固（15分钟）1. 出示练习题，让学生独立完成。

2. 学生互评、教师点评。

五、拓展提高（15分钟）1. 引导学生运用几何定理解决实际问题。

问题1：已知：在三角形ABC中，AB=5cm，BC=8cm，∠A=30°，求AC的长度。

问题2：已知：在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm，求对角线AC的长度。

几何图形的拓展性技巧

几何图形的拓展性技巧几何图形是我们在学习数学过程中经常遇到的一个重要概念。

它们不仅能够帮助我们理解空间关系和形状特征，还能够培养我们的逻辑思维和问题解决能力。

然而，对于许多学生来说，几何图形的拓展性技巧往往是一个难以把握的问题。

在本文中，我们将探讨几何图形的拓展性技巧，并提供一些实用的方法和示例。

首先，我们来谈谈几何图形的拓展性。

拓展性指的是将一个图形进行变形或扩展，使其具有新的特征或性质。

通过拓展，我们可以更好地理解图形的结构和关系，并且能够在解决问题时灵活运用。

下面我们将介绍一些常见的拓展性技巧。

1. 平移：平移是指将一个图形沿着平行于某一方向的直线移动一定距离，而保持其形状和大小不变。

平移可以帮助我们观察图形的对称性和平行性质。

例如，我们可以通过平移来证明两个平行线之间的距离是恒定的。

2. 旋转：旋转是指将一个图形绕着某一固定点旋转一定角度，而保持其形状和大小不变。

旋转可以帮助我们观察图形的对称性和角度特征。

例如，我们可以通过旋转来证明两个角度相等或互补。

3. 缩放：缩放是指将一个图形按照一定比例进行放大或缩小，而保持其形状和相似性质不变。

缩放可以帮助我们观察图形的比例关系和相似性质。

例如，我们可以通过缩放来证明两个三角形相似或同比例。

4. 反射：反射是指将一个图形沿着某一直线进行镜像，而保持其形状和大小不变。

反射可以帮助我们观察图形的对称性和镜像特征。

例如，我们可以通过反射来证明两个图形相等或全等。

除了以上几种常见的拓展性技巧外，还有一些其他的方法可以帮助我们更好地理解和运用几何图形。

例如，我们可以通过拆分图形、组合图形或者应用平行线、垂直线等特性来解决问题。

这些方法都可以帮助我们发现图形中隐藏的规律和性质，并且能够提高我们的思维灵活性和创造力。

在实际应用中，几何图形的拓展性技巧也发挥着重要的作用。

例如，在建筑设计中，我们可以通过平移、旋转和缩放来调整建筑物的形状和尺寸。

在工程测量中，我们可以通过反射和投影来确定物体的位置和大小。

六年级圆柱圆锥几何题奥数题拓展难题

六年级圆柱圆锥几何题奥数题拓展难题问题1已知一个圆柱的底面半径为4 cm，高度为10 cm，求圆柱的体积。

解答：圆柱的体积可以通过以下公式计算：V = 底面积 ×高度底面积可以通过以下公式计算：底面积= π × 半径的平方代入已知值，可以得到：底面积= π × 4^2 = 16π（cm^2）圆柱的体积= 16π × 10 = 160π（cm^3）所以，圆柱的体积为160π立方厘米。

问题2已知一个圆锥的底面半径为5 cm，高度为12 cm，求圆锥的体积。

解答：圆锥的体积可以通过以下公式计算：V = 1/3 ×底面积 ×高度底面积可以通过以下公式计算：底面积= π × 半径的平方代入已知值，可以得到：底面积= π × 5^2 = 25π（cm^2）圆锥的体积= 1/3 × 25π × 12 = 100π（cm^3）所以，圆锥的体积为100π立方厘米。

问题3已知一个圆柱的体积为300π立方厘米，底面半径为6 cm，求圆柱的高度。

解答：圆柱的体积可以通过以下公式计算：V = 底面积 ×高度底面积可以通过以下公式计算：底面积= π × 半径的平方代入已知值，可以得到：300π = π × 6^2 × 高度高度= 300π / (π × 6^2) = 300 / 36 = 25/3 ≈ 8.33 cm所以，圆柱的高度约为8.33厘米。

问题4已知一个圆锥的体积为500π立方厘米，底面半径为8 cm，求圆锥的高度。

解答：圆锥的体积可以通过以下公式计算：V = 1/3 ×底面积 ×高度底面积可以通过以下公式计算：底面积= π × 半径的平方代入已知值，可以得到：500π = 1/3 × π × 8^2 ×高度高度= 500π / (1/3 × π × 8^2) = 500 / (1/3 × 8^2) = 500 / (1/3 ×64) = 500 / (64/3) ≈ 23.44 cm所以，圆锥的高度约为23.44厘米。

解析几何在高数中的应用和拓展

解析几何在高数中的应用和拓展解析几何是数学中的一个重要分支，它的研究对象是空间中的几何图形及其性质。

在高等数学中，解析几何作为一门独立的课程，是数学专业学生必修的课程之一。

解析几何主要探讨欧几里得空间中的点、直线、平面等基础图形的性质，并运用代数工具进行解析研究。

本文将对解析几何在高数中的应用和拓展进行解析和探讨。

首先，解析几何在高等数学中的应用主要包括坐标系、直线、曲线、曲面等基础图形的表示和运算。

通过引入坐标系，我们可以将点在空间中的位置用坐标表示出来，从而进行运算和分析。

例如，利用直线与曲线的方程可以求解它们的交点；通过曲面的方程可以分析曲面的类型、性质等。

这些具体的应用使得解析几何成为一种强大的工具，可以帮助我们更好地理解和研究几何图形。

其次，解析几何在高数中的拓展可以涉及到更加深入和复杂的几何对象的研究和分析。

例如，直线和平面之间的关系可以导出向量的概念，进而拓展到向量运算、向量空间等进阶内容。

通过解析几何的方法，我们可以研究高维空间中的几何结构，如多维空间中的超平面、超体等。

解析几何的拓展使得我们能够从更广泛的视角思考和探索几何的本质和性质。

此外，解析几何在高数中还可以应用于数学建模和实际问题的求解。

数学建模是将实际问题转化为数学模型，并利用数学方法进行分析和求解的过程。

解析几何作为一种强大的工具，可以在数学建模中发挥重要的作用。

例如，利用解析几何的方法可以建立物体运动的方程，研究物体的轨迹和速度等。

同时，解析几何还可以应用于计算机图形学、机器学习等领域，为相关技术提供基础支持。

另外，解析几何的研究还可以与其他数学分支相结合，形成交叉学科的发展。

例如，解析几何与微积分的结合可以建立参数方程、极坐标系等新的表示方法，扩展了解析几何的研究领域；解析几何与线性代数的结合可以研究向量空间、矩阵等内容，为线性代数提供了几何的直观解释和应用背景。

这些交叉学科的发展使得解析几何在高数中的应用和拓展更加丰富和多样化。

中考几何拓展知识点总结

中考几何拓展知识点总结一、平面几何1.1 直角三角形直角三角形是一个有趣的三角形类型，其中一个角是直角，即90度。

在几何中，直角三角形有许多有趣的性质和定理，如毕达哥拉斯定理和三角函数。

毕达哥拉斯定理是直角三角形中最为著名的定理之一，表达为：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

即a² + b² = c²，其中 a 和 b 是直角边，c 是斜边。

这一定理在解决多种几何和物理问题时都极为有用。

另外，直角三角形还与三角函数有着紧密的联系。

正弦、余弦和正切三角函数均可用于描述直角三角形中角度与边长之间的关系，因此对于理解三角函数的性质和应用也是十分重要的。

1.2 多边形多边形是平面几何中的重要概念，它是指由若干条线段所组成的闭合图形。

在中考几何中，学生需要掌握各种多边形的性质和计算方法，包括正多边形、不规则多边形等。

正多边形是指所有边和角均相等的多边形，最常见的是正三角形、正方形和正五边形等。

在学习中，学生需要了解正多边形各边长和角度的关系、正多边形内角和外角之和的计算方法等。

不规则多边形则是指各边和角都不相等的多边形，学生需要学会如何计算不规则多边形的周长和面积，这对于实际问题求解有着重要的应用价值。

1.3 圆和圆的性质圆是平面上的一种特殊曲线，它由到圆心距离相等的所有点组成。

在中考几何中，学生需要了解圆的各种性质和相关计算方法。

首先，学生需要掌握圆的周长和面积的计算方法。

圆的周长也称为圆的周长，它的计算公式是：C = 2πr，其中 r 是圆的半径。

而圆的面积计算公式是：S = πr²。

这两个公式是学生需要牢记的重要知识点。

此外，学生还需要了解圆与直线的关系，如切线、弦、相交弦等。

这些知识点对于理解圆的性质和解题都有着重要意义。

1.4 三视图三视图是工程制图中的重要概念，也是几何学的一个分支。

它是指根据物体的实际形状绘制出物体的正视图、侧视图和俯视图，以便于工程师进行设计和制造。

一道立体几何题的变式与拓展

一道立体几何题的变式与拓展吴康【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2018(000)018【总页数】2页(P14-15)【作者】吴康【作者单位】山东省邹城市第二中学【正文语种】中文从近几年高考数学试卷来看,立体几何试题的题型绝大多数为一大二小,注重基础,强调能力,常见的考点有: 1)空间几何体的三视图、直观图、表面积、体积等; 2)点、线、面的位置关系; 3)平行和垂直关系; 4)角和距离; 5)与其他知识的交会与综合问题等.下面就一道立体几何题加以分析,并通过变式加以拓展与应用.例1 一个多面体的直观图和三视图如图1所示,其中M是AB的中点.图1(1)求几何体ADF-BCE的表面积;(2)求几何体F-AMCD的体积.分析从多面体的直观图和三视图入手,确定空间几何体的性质特征,进而求解相应几何体的表面积与体积.解由三视图可得几何体为直三棱柱,且在底面ADF中,AD⊥DF,DF=AD=a,AB=2a,进而可得(1) SADF-BCE=S矩形ABCD+S矩形DCEF+S矩形ABEF+(2)变式1 一个多面体的直观图和三视图如图1所示,其中M是AB的中点.求证:CM⊥平面FDM.分析本题将例1从线面关系的角度来进行变式.从多面体的直观图和三视图入手,确定空间几何体的性质特征,结合线面垂直的性质进行转化得到线线垂直,再利用线面垂直的判定定理加以证明.证明由三视图可得直观图为直三棱柱,且在底面ADF中,AD⊥DF,DF=AD=a,AB=2a.因为FD⊥平面ABCD,CM⊂平面ABCD,所以FD⊥CM.在矩形ABCD中,CD=2a,AD=a,M为AB中点,所以CM⊥DM,而F D∩DM=D,所以CM⊥平面FDM.变式2 一个多面体的直观图和三视图如图2所示,其中M、G分别是AB、DF的中点.图2(1)求证:CM⊥FM;(2)求证:GA∥平面FMC;(3)一只小飞虫在几何体ADF-BCE内自由飞,求它飞入几何体F-AMCD内的概率. 分析本题是对变式1中证明线面垂直的进一步深化,证明线线垂直.第3问是在例1中求解几何体体积的基础上进一步与几何概型交会.解由三视图可得几何体为直三棱柱,且在底面ADF中,AD⊥DF,DF=AD=a,AB=2a,(1) 同变式1可得CM⊥平面FDM,而FM ⊂平面FDM,所以CM⊥FM.(2)取DC中点S,连接AS、GS、GA,因为G是DF的中点,GS∥FC,AS∥CM,所以平面GSA∥平面FMC,而GA⊂平面GSA,所以GA∥平面FMC.(3) 由于所以根据几何概型的概率公式可得所求的概率为变式3 一个多面体的直观图和三视图如图2所示,其中M、G分别是AB、DF的中点.(1) 求直线CD与平面FDM所成的角的大小.(2) 在线段AD上(含A、D端点)确定一点P,使得GP∥平面FMC,并给出证明.分析本题是变式2的进一步拓展,线面角的求解是变式1中线面垂直的进一步应用,而第2问是对变式2中线面平行证明的进一步探究.从多面体的直观图和三视图入手,确定空间几何体的性质特征,结合线面垂直的性质与判定加以转化,进而利用线面角的定义先确定线面角,再进行求解;最后结合几何体的位置关系,通过确定点的位置来判定线面平行问题.解由三视图可得几何体为直三棱柱,且在底面ADF中,AD⊥DF,DF=AD=a,AB=2a, (1) 因为FD⊥平面ABCD,CM⊂平面ABCD,所以FD⊥CM.在矩形ABCD中,CD=2a,AD=a,M为AB中点,所以CM⊥DM,而FD∩DM=D,所以CM⊥平面FDM,则直线CD在平面FDM内的射影为DM,所以直线CD与平面FDM所成的角为∠CDM.在Rt△CDM中,则∠CDM=45°,故直线CD与平面FDM所成的角的大小为45°. (2) 点P在点A处.方法1 取DC中点S,连接AS、GS、GA,因为G是DF的中点,GS∥FC,AS∥CM,故平面GSA∥FMC,而GA⊂平面GSA,所以GA∥平面FMC.方法2 取FC中点N,连接AG、GN、NM,由GN又AM所以AMGN,所以四边形AGNM为平行四边形,所以AG∥NM.又NM⊂平面FMC,故AG∥平面FMC.故点P与A重合.上述几例通过线面垂直关系的进一步深化,综合利用线面垂直的性质与判定来证明相关的线线垂直、线面垂直、线面角等问题,同时把线线平行、线面平行问题加以交会,考查了考生探究思维与应用能力.涉及立体几何的交会与综合问题,高考复习时要做到: 1)重基础，立体几何复习的首要任务就是强化基础知识的训练,确实掌握基本概念、性质、定理、公理、推论等,建立知识框架和网络; 2)突出重点，高考的落脚点是几何体的主视图、证明平行或垂直、求解空间角度或距离等,对这几方面的问题要熟练掌握其解题思路; 3)总结规律和解题方法.总之,无论其题目如何变换、交会,都离不开基本知识与基本技能的综合与应用.。

初中数学拓展技能教案

初中数学拓展技能教案教学目标：1. 让学生掌握平面几何的基本概念，了解三角形、四边形、圆等图形的性质和判定方法。

2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维和空间想象力。

3. 培养学生合作学习、探究学习的精神，提高学生的自主学习能力。

教学内容：1. 平面几何的基本概念及图形性质2. 三角形、四边形、圆的判定方法3. 几何图形的应用与实践教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过向学生展示一些生活中常见的几何图形，如房屋、车辆、文具等，引导学生关注几何图形在生活中的应用。

2. 学生分享自己对几何图形的认识，教师总结并板书。

二、新课导入（10分钟）1. 教师讲解平面几何的基本概念，如点、线、面等，并通过示例让学生理解这些概念。

2. 教师讲解三角形、四边形、圆的性质和判定方法，引导学生通过观察、思考、交流来掌握这些知识。

三、课堂实践（10分钟）1. 教师给出几道有关三角形、四边形、圆的练习题，要求学生独立完成。

2. 学生展示自己的解题过程，教师点评并讲解解题思路。

四、小组合作（10分钟）1. 教师给出一个实际问题，如设计一个三角形不等式，要求学生分组讨论、合作探究。

2. 学生展示自己的设计方案，教师点评并讲解解题思路。

五、总结与反思（5分钟）1. 教师引导学生总结本节课所学知识，巩固记忆。

2. 学生分享自己的学习心得，教师给予鼓励和指导。

教学评价：1. 课堂练习：通过课堂练习题，检验学生对平面几何知识的掌握程度。

2. 小组合作：通过小组合作实践，评价学生在实际问题中的运用能力和合作精神。

3. 课后作业：布置有关平面几何的课后作业，要求学生在课后巩固所学知识。

教学反思：本节课通过讲解平面几何的基本概念和图形性质，以及三角形、四边形、圆的判定方法，使学生掌握了平面几何的基本知识。

在课堂实践中，学生通过独立解题和小组合作，提高了运用几何知识解决实际问题的能力。

但在教学过程中，要注意引导学生观察、思考、交流，培养学生的空间想象力和逻辑思维能力。