大学物理第二章功 动能定理
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大学物理功-动能定理-保守力的功
m
l
T
v
ds
mg
θ
mcgoθsldθmgslinθ 0
AT 0
AATAmg12mυ20 v
2glsinθ
20
例题 一链条总长为l，质量为m。放在桌面上并 使其下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑
动摩擦系数为，令链条从静止开始运动，则：1）
到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多 少功？2）链条离开桌面时的速率是多少？
Ai外Ai内1 2mivi21 2mivi20
17
对所有质点求和：
A i外 A i内 1 2m ivi2 1 2m ivi2 0
式中：
1 2
m
i
v
2 i
为质点系的动能，用
E
k
表示
有 A i 外 ： A i 内 E k E k 0 Δ E k
教学基本要求
一 掌握功的概念，能计算变 力的功，理解保守力作功的特点及势 能的概念，会计算万有引力、重力和 弹性力的势能。
二 掌握动能定理、功能原理 和机械能守恒定律，掌握运用守恒定 律分析问题的思想和方法。
1
4.1 功 动能定理
一、功与功率 力对空间积累效应用功来表示。
1、恒力直线运动的功
14
二 、质点系的动能定理
大学物理B(Ⅱ)动能定理
F2
m1
f21
F1
对m1 :
l1
F1
dr
l1
f12
dr
1 2
m1v12
1 2
m1v120
对m2 :
l2
F2
dr
l2
f21
dr
1 2
m2v22
1 2
m2v220
令W外力 W内力
l1 l1
F1
dr
f12
dr
l2
F2
f l2 21
dr dr
Ek
1 2
m1v12
1 2
动到（0，2R）位置过程中，力所作的功.
y
解:
dFrFd0x(ixi
yj )
dyj
R
ox
0
0
Wx 0 Fxdx 0 F0xdx 0
Wy
2R 0
F0
ydy
2F0
R
2
W Wx Wy 2F0R2
3.作用在质点上的力为 F 2 yi 4 j(N ) 在下列情况下求质点从x1 2(m)处运动到 x2 3(m) 处该力作的功： 1）质点的运动轨道为抛物线 x2 4 y
1） 平均功率
N W t
2） 瞬时功率(简称功率) N lim W dW
F
dr
F
v
2.5 动能定理和功能原理
有人说： 作用力和反 作用力大小 相等，方向 相反
§2.5 动能定理和功能原理
质点组内 力矢量和 为零
质点组内力的 功的代数和必 为零！！
第二章 质点动力学
3. 成对力作功
《大学物理》教程
推导：设有两个质点 m1 和 m 2 ， F1 和 F2为 两质点间的一对作用力和反作用力。
d W1 dW2 F1 d r1 F2 d r2 m1相对m2的 F1 (d r1 d r2 ) 元位移 y 设：用 r12 (r1 r2 ) F1 m m 2 F2 1 表示m1相对m2的位矢， (r1 r2 ) dr1 r2 dr2 则： dr12 dr1 dr2 r1
b
b
a
mg cos dr
dr dy
mg
mgdy
ya
yb
x
mgya mgyb
§2.5 动能定理和功能原理 第二章 质点动力学
《大学物理》教程
讨论
定义式法 求功的计算举例
y
例1 重力做功 或者：
W
b
a b
F dr ( Fx dx Fy dy Fz dz)
W
b
a
b
b m2 F dr F cos dr
大学物理第二章动能定理
W保 (Epb Epa ) Ep
保守力做正功，系统势能减少；保守力做负功，系 统势能增加. 系统具有势能，就具有了做功的本领.
3. 势能曲线: 由势能函数确定的势能随坐标变化的曲线
E p Ep mgh
Ep
Ep
1 2
k x2
o
h
重力势能曲线
o
x
弹性势能曲线
Ep
Ep
G0
Mm r
o
r
万有引力势能曲线
dt
Mdt dL
t2 t1
Mdt
L2
L1
质点的角动量定理的积分形式
冲量矩
F
dp
dt
t2 t1
Fdt
p2
p1
2.4.4 质点角动量守恒定律
t2 t1
M 0
dt
L2
Lr
L1
mv
0
常矢量
质点角动量守恒
质点角动量守恒定律：当质点所受对参考点O的
合力矩为零时, 质点对该参考点的角动量为一恒矢量.
M
F
O. r
r P
M F r F r sin
M rF
➢力矩是矢量，其方向由右手螺旋法则确定.
F
F
F
F
Fi 0 , M i 0 Fi 0 , M i 0
2.4.2 质点角动量 (动量矩)
保守力做正功，系统势能减少；保守力做负功，系 统势能增加. 系统具有势能，就具有了做功的本领.
3. 势能曲线: 由势能函数确定的势能随坐标变化的曲线
E p Ep mgh
Ep
Ep
1 2
k x2
o
h
重力势能曲线
o
x
弹性势能曲线
Ep
Ep
G0
Mm r
o
r
万有引力势能曲线
dt
Mdt dL
t2 t1
Mdt
L2
L1
质点的角动量定理的积分形式
冲量矩
F
dp
dt
t2 t1
Fdt
p2
p1
2.4.4 质点角动量守恒定律
t2 t1
M 0
dt
L2
Lr
L1
mv
0
常矢量
质点角动量守恒
质点角动量守恒定律：当质点所受对参考点O的
合力矩为零时, 质点对该参考点的角动量为一恒矢量.
M
F
O. r
r P
M F r F r sin
M rF
➢力矩是矢量，其方向由右手螺旋法则确定.
F
F
F
F
Fi 0 , M i 0 Fi 0 , M i 0
2.4.2 质点角动量 (动量矩)
大学物理教案_动能定理
课时：2课时
教学目标：
1. 理解动能定理的概念，掌握其表达式和物理意义。
2. 能够运用动能定理解决实际问题，分析物体运动状态。
3. 培养学生逻辑思维能力和分析问题的能力。
教学重点：
1. 动能定理的概念和表达式。
2. 动能定理的应用。
教学难点：
1. 动能定理的理解和应用。
2. 复杂问题中动能定理的应用。
教学过程：
一、导入
1. 回顾牛顿第二定律和功的定义，引出动能定理。
2. 提问：动能定理与牛顿第二定律和功有何关系？
二、新课讲授
1. 动能定理的概念：物体动能的变化等于物体所受合外力所做的功。
2. 动能定理的表达式：ΔE_k = W
3. 动能定理的物理意义：动能定理揭示了物体运动状态与外力做功之间的关系。
4. 动能定理的应用：
a. 计算物体在一段时间内的动能变化。
b. 确定物体运动状态。
c. 分析物体受力情况。
三、例题分析
1. 例题1：一个质量为m的物体，从高度h自由落下，求落地时的速度。
2. 例题2：一辆质量为m的汽车，从静止开始加速，在时间t内通过距离s，求汽车所受合外力。
3. 例题3：一个物体在水平面上做匀速直线运动，求物体所受合外力。
四、课堂练习
1. 练习1：一个质量为m的物体，从高度h自由落下，求落地时的动能。
2. 练习2：一辆质量为m的汽车，从静止开始加速，在时间t内通过距离s，求汽车所受合外力。
3. 练习3：一个物体在水平面上做匀速直线运动，求物体所受合外力。
五、总结
1. 总结动能定理的概念、表达式和物理意义。
2. 强调动能定理的应用。
教学反思：
1. 本节课通过引入牛顿第二定律和功的概念，引出动能定理，使学生更容易理解动能定理的物理意义。
大学物理2-3功 动能 动能定理
3
G
正压力 FN所做的功A3
A3 FN l cos90 0
摩擦力f所作的功A4 分析木箱的受力，由于木箱在垂直于斜面方向上 没有运动，根据牛顿第二定律得
FN F sin10 G cos30 0
FN＝G cos30 －F sin10 727N 由此可求得摩擦力 f N 145N
例题2-10
利用动能定理重做例题1-13。
解：如图所示，细棒下落过程中，合外力对它作的 l l 1 2 功为 2
应用动能定理，因初速度为0，末速度v可求得如下
A (G B)dx ( l x) gdx l g l g 0 0 2
1 2 1 2 1 2 l g l g mv lv 2 2 2 ( 2 l l ) v g
2
l G x
所得结果相同，而现在 的解法无疑大为简便。
x
B
例题2-11 传送机通过滑道将长为L，质量为m的柔软 匀质物体以初速v0向右送上水平台面，物体前端在台 面上滑动 S距离后停下来（如图）。已知滑道上的磨 擦可不计，物与台面间的摩擦系数为 μ ，而且 S>L ， 试计算物体的初速度v0。
b
（1）dr 位移内力所作的功为：
dA F dr
（2）整个过程变力作功为：
A
G
正压力 FN所做的功A3
A3 FN l cos90 0
摩擦力f所作的功A4 分析木箱的受力，由于木箱在垂直于斜面方向上 没有运动，根据牛顿第二定律得
FN F sin10 G cos30 0
FN＝G cos30 －F sin10 727N 由此可求得摩擦力 f N 145N
例题2-10
利用动能定理重做例题1-13。
解：如图所示，细棒下落过程中，合外力对它作的 l l 1 2 功为 2
应用动能定理，因初速度为0，末速度v可求得如下
A (G B)dx ( l x) gdx l g l g 0 0 2
1 2 1 2 1 2 l g l g mv lv 2 2 2 ( 2 l l ) v g
2
l G x
所得结果相同，而现在 的解法无疑大为简便。
x
B
例题2-11 传送机通过滑道将长为L，质量为m的柔软 匀质物体以初速v0向右送上水平台面，物体前端在台 面上滑动 S距离后停下来（如图）。已知滑道上的磨 擦可不计，物与台面间的摩擦系数为 μ ，而且 S>L ， 试计算物体的初速度v0。
b
（1）dr 位移内力所作的功为：
dA F dr
（2）整个过程变力作功为：
A
《大学物理(祝之光)》2-3
得
l
F T
v
v = 2 gl (cosθ cosθ 0 )
= 1.53 m s
第二章 力 动量 动能
1
ds Pθ
7
三 质点系的动能定理 考虑其中两质点: 考虑其中两质点:
m1
m2
m1
F1
F2
1 1
f 12
f 21
12
dr1
dr2
dr1 = E k 1
21
F2
f 21
f12
m1
Fiex
∫ F dr + ∫ f
θ0
θ
dθ
l
W = mgl ∫ sinθ dθ
θ0
θ
F T
v
= mgl (cosθ cosθ 0 )
第二章 力 动量 动能
ds Pθ
6
m = 1 .0 kg θ 0 = 30
l = 1.0m θ = 10
θ
θ0
dθ
W = mgl (cosθ cosθ 0 )
1 2 1 2 由动能定理 W = mv mv 0 2 2
动能(状态函数) 动能(状态函数) 函数
动能定理 外力对质点所作的功, 质点所作的功 合外力对质点所作的功 等于质点动能的增量 等于质点动能的增量 . 注意
第二章 力 动量 动能
1 p2 Ek = mv2 = 2 2m
l
F T
v
v = 2 gl (cosθ cosθ 0 )
= 1.53 m s
第二章 力 动量 动能
1
ds Pθ
7
三 质点系的动能定理 考虑其中两质点: 考虑其中两质点:
m1
m2
m1
F1
F2
1 1
f 12
f 21
12
dr1
dr2
dr1 = E k 1
21
F2
f 21
f12
m1
Fiex
∫ F dr + ∫ f
θ0
θ
dθ
l
W = mgl ∫ sinθ dθ
θ0
θ
F T
v
= mgl (cosθ cosθ 0 )
第二章 力 动量 动能
ds Pθ
6
m = 1 .0 kg θ 0 = 30
l = 1.0m θ = 10
θ
θ0
dθ
W = mgl (cosθ cosθ 0 )
1 2 1 2 由动能定理 W = mv mv 0 2 2
动能(状态函数) 动能(状态函数) 函数
动能定理 外力对质点所作的功, 质点所作的功 合外力对质点所作的功 等于质点动能的增量 等于质点动能的增量 . 注意
第二章 力 动量 动能
1 p2 Ek = mv2 = 2 2m
05动能定理
例3、如图所示，物体从高出地面H
处由静止自由落下，不考虑空气阻
力，落至地面，掉入沙坑h深处后停
止.求物体在沙坑中受到的阻力是其
重力的多少倍（假设阻力不变）？
• 例4、如图甲所示,在倾角为30°的足够长光滑斜面AB 前,有一粗糙水平面OA,OA长为4 m.有一质量为m的滑 块,从O处由静止开始受一水平向右的力F作用.F只在水 平面上按图乙所示的规律变化.滑块与OA间的动摩擦因 数μ=0.25,g取10 m/s2,试求: (1)滑块到A处的速度大 小.(2)不计滑块在A处的速率变化,滑块冲上斜面的长度 是多少?
• 课堂练习：静止在粗糙水平面上的物块A受方向始终水 平向右、大小先后为F1、F2、F3的拉力作用做直线运 动,t=4 s时停下,其v-t图象如图所示,已知物块A与水平面 间的动摩擦因数处处相同,下列判断正确的是 ( ) A.全过程中拉力做的功等于物块克服摩擦力做的功 • B.全过程拉力做的功等于零 • C.一定有F1+F3=2F2 • D.有可能F1+F3>2F2
点由静止开始沿雪道滑下，从B点水平飞出后又落在与水平面成倾
角θ=37°的斜坡上C点.己知AB两点间的高度差为h=25 m，B、C两 点间的距离为S=75 m，（g取10 m/s2，sin37°=0.6， cos37°=0.8），求：
（1）运动员从B点飞出时的速度vB的大小； （2）运动员从A到B过程中克服摩擦力所做的功.
3.1 功 动能定理
l
处，然后放手使小球沿圆弧下
落。试求绳与竖直线成 10o角
时小球的速率。
第三章 守恒定律极其在力学中的应用
15
大学物 理学
3.1 功 动能定理
解
dW
P
F d
d r r
FT mgl
d r
d
Pd
cos
r
mgl sin d
W mgl sin d 0 mgl (cos cos0 )
当子弹射入木板的深度等于其厚度的一半时，子
弹的速度是
(A) 1 v
4
(B) 1v
3
(C) 1 v
2
(D) 1 v
2
第三章 守恒定律极其在力学中的应用
14
大学物 理学
3.1 功 动能定理
例 2 一质量为1.0 kg 的小 球系在长为1.0 m 细绳下端，绳 0
的上端固定在天花板上。起初
把绳子放在与竖直线成 30o 角
dW
F
dr
W
B
F
dr
B
F cosds
A
A
dri
i
B
*
dr
Fi
dr1*A1
F1
F
普遍公式： W
大学物理-动能定理
dr?i B
dr? ?
?i * ? ? Fi
dr?1 ?1
*A
? F1
F
? ? W ?
B
? F
?dr?
?
B
F cos? ds
A
A
称为力 F沿曲线 L 从A 到B 对质点所做的功。
2
在直角系下
????
F? dr? ?
Fx
i? ?
dxi ?
Fy
j ?
dyj
? ?
Fz k? dzk
? ? W ?
B
? F
? W ? s2 F cos? ds s1
o s1
ds
s
s2
4
（3）功是一个过程量，与路径有关．
（4）合力的功，等于各分力的功的代数和．
F ? F1 ? F2 ? F3
? ? W ?
B
F ?dr ?
A
A（B F1 ?dr ? F2 ?dr ? F3 ?dr）
B
B
B
? ? ? W1 ? A F1 ?dr W2 ? A F2 ?dr W3 ? A F3 ?dr
?dr?
?
A
A（B Fxdx ? Fydy ? Fzdz）
在自然系下
B
B
? ? W ?
F cos? ds ?
A
§2-6功 动能 动能定理
2.n个质点的系统
对第 i 个质点，受力情况为 外力：系统以外物体施于其的力； 内力：系统以内物体施于其的力。 对第 i 个质点应用质点的动能 定理有
A
i
外
A内
i
1 2
miv
2 ib
1 2
miv
2 ia
太原理工大学物理系
对系统内各质点求和有
i
A
i
外
i
A内
i
i
1 2
miv
2 ib
i
1 2
miv
2 ia
令
A外
A外
i
A内
有
A
i 内
A外 A内 E kb E ka E k
质点系的动能定理：物体系所受的一切外力和一切 内力所做功的代数和等于系统动能的增量 。 太原理工大学物理系
四、 一对内力的功 由于内力做功可以改变质点系的动能，内 力又总是成对出现的，所以有必要讨论一对内 力的功。 d s1 系统中任意两质点 m1 m2 f1 m1 ds2 的相互作用力 f , f 1 2 f2 在某段时间内，两质点相对 r1 m2 于o点的位移分别为 d s 1和 d s 2 r2 o 这一对力的功 d A d A1 d A 2 f 1 d s1 f 2 d s 2 太原理工大学物理系
大学物理第二章 守恒定律
2.3功能定理与机械能守恒定律
• 2.3.1 A外 + A非保守内力 = E2 -来自百度文库E1 即外力 和非保守力所做的功的总和等于系统机械 能的增量，这一结论称为质点系的功能定 理
2.4能量守恒定律
• 概念：对于一个孤立的系统来说，不论是 发生任何变化，各种形式的能量都可以发 生相互转化，但它们的总和是一个常量
2.2保守力与势能
• 2.2.1保守力与非保守力 • 保守力：沿闭合路径做功为0，做功只与始 末位置有关 • 保守力： 重力，弹力， 万有引力， • 非保守力：摩擦力 • 2.2.2势能 • A = EPA - EPB • （1）势能是相对量，与势能零点选择有关
• （2）势能的引进条件是物体间存在着相互 作用的保守力，对于一种保守力就有一种 相关的势能 • （3）保守力不存在势能的概念 • （4）势能是属于系统的，而不是属于一种 物体的
2.5动能定理和动量守恒定律
• 2.5.1动量 P =MV • F= Ma • 2.5.2 质点的动量定理 I = P2 - P1即物体 所受合外力在一段时间内的冲量等于物体 动量的增量 • 2.5.3质点系的动量定理 • 质点系的动量定理:作用于系统的合外力的 冲量的增量
• 2.5.4 质点系的动量守恒定律 • 质点系的动量守恒定律：当系统所受的合 外力为0时，系统总动量保持不变 • 质点系的动量守恒定律注意： （1）系统不受外力或者所受外力的矢量和 为0 （2）在研究打击，爆炸的问题时所受的外 力如摩擦力，重力，空气阻力可以忽略
大学物理动能势能机械能守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
10
保守力和非保守力 保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 . 引力功 重力功 弹力功
Mm Mm A (G ) (G ) rB rA
A (mgz mgz0 )
ACB
F dr
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
1
一 1.功
功 功率
力对质点所做的功为力在质点位移方向的分量与 位移大小的乘积 . （功是过程量）
A F r
A F r cos
恒力的功等于力与质点 位移的标积。
功是标量，只有大小，没有方向，但有正负之分。
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
9
3 ） 弹簧弹性力的功 F
F F
o x0
dA
x x
x x0
O
x0
x x0
dx
x
x
F kxi
A Fdx kxdx
A
1 2 1 2 A ( kx kx0 ) 2 2
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
kxdx 0
j
n 1
m1
m2
Fi内
Fi外
1 1 2 mi vi 2 mi vi21 2 2
2.4 功 动能 势能 机械能守恒
Wiex Wiin Eki Eki0
外力功 内力功
对质点系，有
m1
Fiex
m2 Fiin mi
Wiex Wiin Eki Eki0 Ek Ek0
i
i
i
i
质点系动能定理 W ex W in Ek Ek0
注意 内力可以改变质点系的动能
大学物 理学
大学物
理学 2．弹性力做功
F F
F
dW
o x1 x2 x
x
O x1 dx x2
W
x2 F dx
x1
x2 kxdx
x1
在弹性限度内具有给定劲 度系数k的弹簧，弹性力
所做的功只由物体的始末
位置有关，而与物体移动
W kxdx 0
的具体路径无关。
大学物
理学 3．万有引力做功 M对m的万有引力为
dx
dr
FG
C
y2
dy
B
W
B A FG dr
y2 mgdy
y1
O
x
大学物
理学
W
B A FG dr
y2 mgdy
y1
(mgy2 mgy1)
y A
y1
dr D θ
dx
dr
外力功 内力功
对质点系，有
m1
Fiex
m2 Fiin mi
Wiex Wiin Eki Eki0 Ek Ek0
i
i
i
i
质点系动能定理 W ex W in Ek Ek0
注意 内力可以改变质点系的动能
大学物 理学
大学物
理学 2．弹性力做功
F F
F
dW
o x1 x2 x
x
O x1 dx x2
W
x2 F dx
x1
x2 kxdx
x1
在弹性限度内具有给定劲 度系数k的弹簧，弹性力
所做的功只由物体的始末
位置有关，而与物体移动
W kxdx 0
的具体路径无关。
大学物
理学 3．万有引力做功 M对m的万有引力为
dx
dr
FG
C
y2
dy
B
W
B A FG dr
y2 mgdy
y1
O
x
大学物
理学
W
B A FG dr
y2 mgdy
y1
(mgy2 mgy1)
y A
y1
dr D θ
dx
dr
大学物理2.3 动能 动能定理
若W < 0, 则质点的动能减小 .
2.3.4 质点组的动能定理
1. 内力的功
B1
B2
dW = f21 ⋅ dr21
W = ∫ f21 ⋅ dr21
A B
dr1 r 1
m1
f12
f21
r21 r2 A1 A2
dr2 m2
dW = f12 ⋅ dr1 + f 21 ⋅ dr2 = − f 21 ⋅ dr1 + f 21 ⋅ dr2 = f 21 ⋅ d ( r2 − r1 ) = f 21 ⋅ dr21
而 v A = 0， v B = v ，所以
v = 2gl sin θ
v0
v
l
d
若把物块与车选为一个质点组， 解 （1）若把物块与车选为一个质点组，则 该质点组在水平方向无外力作用， 该质点组在水平方向无外力作用，所以质点 组在水平方向上动量守恒， 组在水平方向上动量守恒，在上述所描述的 过程中，初末态的动量相等， 过程中，初末态的动量相等，有 m v 0 = ( M + m )v
ϕ dr
2. 力沿曲线所做的功
B
dr
A
B
F
WAB = ∫ dW = ∫ F ⋅ dr
L A
3. 功的单位 功的单位为牛·米 功的单位为牛 米（ N ⋅ m）, 1N ⋅ m = 1J.
2.3.4 质点组的动能定理
1. 内力的功
B1
B2
dW = f21 ⋅ dr21
W = ∫ f21 ⋅ dr21
A B
dr1 r 1
m1
f12
f21
r21 r2 A1 A2
dr2 m2
dW = f12 ⋅ dr1 + f 21 ⋅ dr2 = − f 21 ⋅ dr1 + f 21 ⋅ dr2 = f 21 ⋅ d ( r2 − r1 ) = f 21 ⋅ dr21
而 v A = 0， v B = v ，所以
v = 2gl sin θ
v0
v
l
d
若把物块与车选为一个质点组， 解 （1）若把物块与车选为一个质点组，则 该质点组在水平方向无外力作用， 该质点组在水平方向无外力作用，所以质点 组在水平方向上动量守恒， 组在水平方向上动量守恒，在上述所描述的 过程中，初末态的动量相等， 过程中，初末态的动量相等，有 m v 0 = ( M + m )v
ϕ dr
2. 力沿曲线所做的功
B
dr
A
B
F
WAB = ∫ dW = ∫ F ⋅ dr
L A
3. 功的单位 功的单位为牛·米 功的单位为牛 米（ N ⋅ m）, 1N ⋅ m = 1J.
大学物理功和能
大学物理功和能
大学物理中的重点知识
§3-2 牛顿第二定律的积分形式之二：动能定理一.功和功率 1.功:力在位移方向上的分量与位移大小的乘积为该力所作的功。(1)恒力直线功
A FScos F S
F
s
大学物理中的重点知识
(2)变力曲线运动
dA F dr cos
dr
b F
F dr
a
r r1 20
----元功或
dA F cos ds
大学物理中的重点知识
由a移动到b
在直角坐标系中
A dA ab a
b
F dr
A 2.功率
b
a
b F dr ( Fx dx Fy dy Fz dz )a
单位时间内力所作的功：
A dA F dr N lim F v t 0 t dt dt
大学物理中的重点知识
3.成对力的功作用力和反作用力：
y
f12、f 21
r1 dr1 r2O
m1
f 12
f 21 m2 dr2
m2相对于m1的位移
dr ' dr2 dr1 dA1 f12 d r1 dA2 f 21 dr2 z
dr2
dr '
dr1
x
大学物理中的重点知识
作用力和反作用力的元功之和：
dA dA1 dA2 f 21 (dr2 dr1 ) f 21 d r '
成对力的总功只与相互作用力及相对位移有关。----与参考系的选择无关
大学物理中的重点知识
[例1]如下图所示，在井中提水，桶漏，漏水率k 0.24kg m ,井深20m,设桶离开水面时m0 10kg ,桶匀速上升到井口。问拉力作功多少？解：建立如图所示的坐标系y
f
dy y
o
大学物理中的重点知识
桶提到y处时取一元过程。位移为dyj dA m0 ky gdy 元功：整个过程：dA A20 0
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aL
2L
WG WG
L m ygdy mg (L2 a2 )
aL
2L
(2) 链条离开桌边时的速率由动能定理求得
o ay
dy
WG
Wf
1 mv2 0 2
y
mg 2L
( L2
a2)
m
2L
g(L a)2
1 2
mv 2
解得:
v g [(L2 a 2 ) (L a)2 ]
L
《大学物理简明教程》
0
0
《大学物理简明教程》
（3）合力的功
第2章 质点动力学
物体受几个力作用时，合力的功
功 动能定理
W
F dr L L F1 dr
L L
F1 F2
F2
dr
Fn dr
L Fn dr
W W1 W2 Wn
即：合力的功等于各分力的功的代数和。
《大学物理简明教程》
F 的总功
y
dr
a
O z
F cos
a
Lb
F
x
b
b
W dW a F dr
dWi
功的几何意义 力曲线下的面积
o ra dri rb
r
《大学物理简明教程》
第2章 质点动力学
在直角坐标系中 ，因为
y
F
Fxi
Fy
j
Fz
k
dr dxi dy j dzk
a
所以
W L F dr
O z
功 动能定理
f m (L y)g
L
G m yg L
链条由y处再下滑长度dy , 摩擦力f
和重力G的元功分别为:
dW f
m (L y)gdy
L
dWG
m L
ygdy
o ay
dy
y
《大学物理简明教程》
第2章 质点动力学
功 动能定理
链条全部滑离桌边过程中, 摩擦力和重力的总功分别为
Wf
dW f
L m (L y)gdy m g(L a)2
例2.一条长度为L，总质量为m的柔软链条，放在桌面上靠边处，
其 数中为一 端。下设垂开，始长时度链为条a静(止a 。<求L:)(1,)链链条条与离桌开面桌的边滑过动程摩中擦系，
摩擦力以及重力所做的功；(2) 链条离开桌边时速率。
解: (1) 建立坐标系如图. 当链条下
滑的长度为 y 时, 链条受到的摩 擦力f 和重力G分别为:
功的单位： N.m 即 J
《大学物理简明教程》
第2章 质点动力学
功 动能定理
（2）变力的功 质运在用a点动于、在到质b上变点b，任力的计取力F算 位为作力移用FF元下所 ，沿d做Fr曲，的在线d功drLr 上从。上作a的
元功
dW F dr F cos dr
若F 在a、b上连续，则从a到b，变力
dr
Lb
F
x
L (Fxi Fy j Fzk ) (dxi dyj dzk )
L Fxdx Fydy Fzdz
上述积分是线积分，一般与路径有关。所以
功是一个过程量
《大学物理简明教程》
第2章 质点动力学
功 动能定理
例1. 一质点做圆周运动，有一力 F F0 xi yj 作用于 P43 2-9
相对滑动, 则F应满足( )
功 动能定理
m1 m2
解：假设共同运动的最大加速度为a, 根据牛顿第二定律:
对A、B整体：F= (m1+m2)a ① 对B：A对B的最大静摩擦力就是它所受的合外力
m1g μs =m2a
②
联立①②解得：F=m1g μs(m1+m2)/m2
2.要使AB不发生相对滑动，则F的范围是:
第2章 质点动力学
功 动能定理
P 21:
+
《大学物理简明教程》
第2章 质点动力学
功 动能定理
P 21:
《大学物理简明教程》
第2章 质点动力学
P 42 选2:
质量分别为m1和m2的滑块A和B, 叠放在光滑水平面上, 如图所示，AB间静摩擦系数为μs, 动摩擦系数为μ, 系统 处于静止, 今有一水平力F作用于A上, 要使A、B不发生
(4) 功率 (power)
第2章 质点动力学
功 动能定理
(表征做功快慢程度的物理量)
Hale Waihona Puke Baidu
平均功率：
P W 单位： W = J/s t
lim 瞬时功率： P
W dW
t0 t dt
P dW F dr F v dt dt
瞬时功率等于力和速度的点积。
《大学物理简明教程》
第2章 质点动力学
2.3.2 动能 动能定理 ◎ 质点的动能
0≤F≤m1g μs(m1+m2)/m2
《大学物理简明教程》
P 44-45:
第2章 质点动力学
功 动能定理
《大学物理简明教程》
第2章 质点动力学
功 动能定理
§2-3 功 动能定理 (书 P24～27)
§2-4 势能 机械能守恒定律 (书 P27～32)
重点： 1. 动能定理的内容和物理意义； 2. 功能定理及机械能守恒的条件
Ek
1 2
mv2
单位：J
a
下面研究力对质点做功后的效果
功 动能定理
b vb
dr
F
va
◎ 质点动能定理
推导中用了牛顿第二定律
W
b
F dr
b
m
dv
dr
vb m dr dv
a
a dt
va dt
vb mv
va
dv
1 2
mvb2
1 2
mva2
即：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量
《大学物理简明教程》
质点，在质点由原点至P(0，2R)点过程中，力 F 做的功 W = ？
解：OP上任取位移元 dr ，dr 上
作用于质点的力为
F F0 xi F0 yj
P35例2-5
y P
dr dxi dyj
R
元功： F d r F0xdx F0 ydy
总功： W F d r
0
2R
r dr
O
x
F0x d x F0 y d y 2F0R2
第2章 质点动力学
功 动能定理
W
b
F dr
a
1 2
mvb2
1 2
mva2
Ekb
Eka
—— 质点动能定理
功是过程量，而动能是状态量。
注意 ● 动能定理左边的功指合外力的功；
● 动能定理由牛顿第二定律导出，只适用于惯性参 考系，动能也与参考系有关。
《大学物理简明教程》
第2章 质点动力学
功 动能定理
《大学物理简明教程》
第2章 质点动力学
§2.3 功 动能定理
功 动能定理
2.3.1 功 功是能量转换的度量；是力在空间上的积累
（1）恒力的功 大小方向都不变的力叫恒力.
W F cos r F r
功是标量，但有正负。
F
r
0 900, W 0 , 力做正功
900 1800, W 0 , 力做负功 900, W 0 , 力不做功