贵州省遵义航天高级中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

2017—2018学年度第一学期期末考试高二数学(理科)（试题满分：150分 考试时：120分钟）一、选择题（每小题5分，共60分。

每小题只有一个．．．．选项符合题意） 1. 设集合{}=13A x x <<，{}=B x x m <，若A B ⊆，则m 的取值范围是A. 3m ≥B. 1m ≤C.1m ≥D. 3m ≤ 2.下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是A. 22=14y x - B. 22=14x y - C. 22=14y x - D. 22=14x y - 3.已知1sin ,,32πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan θ= A. 2- B.4-C. 2-D. 4. 下列说法正确的是A.()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，则()0f x ≥的充分条件是240b ac -≤B.若 ,,m k n R ∈，则22mk nk >的充要条件是m n >C.对任意x R ∈，20x ≥的否定是存在0x R ∈，200x ≥D.m 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若m α⊥，m β⊥，则//αβ 5.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A. 12πB.323π C.8π D. 4π 6.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k = A.12 B. 1 C.32D. 2 7.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若191734a a a +=，则179S S = A. 9 B.185 C.689 D. 948. 若执行右侧的程序框图，当输入的x 的值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为（ ）A. 3x >B. 4x >C.4x ≤D. 5x ≤ 9.设函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，则()f x 是A. 奇函数，且在()0,1上是增函数B. 奇函数，且在()0,1上是减函数C. 偶函数，且在()0,1上是增函数D. 偶函数，且在()0,1上是减函数10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为A. 13B. 23C.1D. 4311.已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆满足AB =90ACB ∠= ，PA 为球O 的直径，且4PA =，则点P 到底面ABC 的距离为12.过抛物线x y C 4:2=的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为 A.5 B.22 C. 33 D. 32 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量()()1,2,,1a b m =-=.若向量a b + 与a 垂直，则m =14.若,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为 ______15. 函数()cos 26cos 2f x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的最大值为 16.平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B .若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为三、解答题（本题6小题，第17小题10分，第18-22小题，每小题12分， 共70分。

解答应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．） 17．（本小题满分10分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C的对边，1cos 2,26cos 253A c A C =-==- （I ）求a 的值；（II ）若角A 为锐角，求b 的值及ABC ∆的面积.18．（本小题满分12分）n S 为数列{}n a 的前项n 和，已知0n a >，2243n n n a a S +=+.（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前项n 和.19．（本小题满分12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)20,30，[)30,40，…，[]80,90，并整理得到如下频率分布直方图：（I ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（II ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)40,50内的人数；（III ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，PA ABCD ⊥平面，=21PA AB =，.设,M N 分别为,PD AD 的中点.（I ）求证：平面//CMN 平面PAB ； （II ）求二面角N PC A --的平面角的余弦值.B21．（本小题满分12分）中心在原点的双曲线C 的右焦点为02F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，渐近线方程为y =.（I ）求双曲线C 的方程；（II ）直线:1l y kx =-与双曲线C 交于,P Q 两点，试探究，是否存在以线段PQ 为直径的圆过原点.若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由.22．（本小题满分12分）已知函数()()2232log ,log f x x g x x =-=； （I ）当[]1,4x ∈时，求函数()()()()2f x h x f x g x =-⎡⎤⎣⎦的最值；（II ）如果对任意的[]1,4x ∈，不等式()()2f xf kg x ∙>∙恒成立，求实数k 的取值范围.遵义航天高级中学2017——2018年度第一学期期末考试高二数学理科答案一、选择题13、7 14、5- 15、5 16、3217、（I ）由,52cos 62cos -=C A得,5)sin 21(6sin 2122--=-C A 化简得：,sin 6sin 22C A =………………2分C A , 均为三角形内角，ππ<<<<C A 0,0即： 0sin ,0sin >>∴C AC A sin 6sin =∴……………3分结合已知3=c ，由正弦定理sin sin a cA C=6分（II cos A =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22150b b --=．解得5b =或3b =-（舍负）． 12分18、（I ）当1n =时，2111124343a a S a +=+=+，因为0n a >，所以13a =.当2n ≥时，2211143434n n n n n n n a a a a S S a ---+--=+--=，即()()()1112n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以12n n a a --=. 所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列， 所以21n a n =+； （II ）由（I ）知，()()1111212322123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭所以数列{}n b 前n 项和为：12111111111235572123646n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ . 19、（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.020.04)100.6+⨯=，所以样本中分数小于70的频率为10.60.4-=.所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=，分数在区间[40,50)内的人数为1001000.955-⨯-=.所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为540020100⨯=. （Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.020.04)1010060+⨯⨯=，所以样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯=. 所以样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=，男生和女生人数的比例为60:403:2=. 所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2. 20、（Ⅰ）证明：∵,M N 分别为,PD AD 的中点，则MN ∥PA .又∵MN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， ∴MN ∥平面PAB . ………………2分 在Rt ACD ∆中，60,CAD CN AN ∠==o ，∴60ACN ∠=o . 又∵60BAC ∠=o ， ∴CN ∥AB .∵CN ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴CN ∥平面PAB . ………………4分 又∵CN MN N =I ， ∴平面CMN ∥平面PAB . ………………6分 （II ）∵PA ⊥平面ABCD ，∴平面PAC ⊥平面ACD ，又∵DC AC ⊥，平面PAC I 平面ACD AC =，∴DC ⊥平面PAC ，如图，以点A 为原点，AC 为x 轴，AP为z 轴建立空间直角坐标系，…………8分 ∴(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2),A C P D ，(1N，∴(1(12)CN PN =-=-，设(,,)x y z =n 是平面PCN 的法向量，则0CN PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即020x x z ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，可取=n ， 又平面PAC 的法向量为CD =，∴cos ,|||CD CD CD ⋅===n n n |，………………11分 由图可知，二面角N PC A --的平面角为锐角， ∴二面角NPC A --. …………12分21、（Ⅰ）设双曲线的方程为22221x y a b -=(00)ab >>，，则有222c ba c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，…（2分）得1a b ==，所以双曲线方程为2221x y -=． ……………………………（4分） （Ⅱ）由22121y kx x y =-⎧⎨-=⎩，，得22(2)220k x kx -+-=， ……………………………（5分）依题意有22220(2)4(2)(2)0k k k ⎧-≠⎪⎨∆=--->⎪⎩，，解得22k -<<且k ≠，① ………………………………………………………（6分） 且12222k x x k +=-，12222x x k =-， ……………………………………………（7分）设11()P x y ，，22()Q x y ，，依题意有OP OQ ⊥，所以12120OP OQ x x y y =+=， ……………………………（8分） 又212121212(1)(1)()1y y kx kx k x x k x x =--=-++， ………………………………（9分）所以22222(1)21022k k k k +-+=--，化简得0k =，…………………………………（11分）符合①，所以存在这样的圆. ……………………………………………………（12分） 22、（Ⅰ）()()2232log 32log 2232log 2log 3xx h x x x --=-+=又()h x 在上[]1,4单调递减，()()232log 4min 143h x h -∴===，()()232log 1max 127h x h -===；（Ⅱ）由()()2f xf kg x ∙>∙，得()()22234log 3log logx x k x -->∙令[][]2log ,1,4,0,2t x x t =∈∴∈所以()()343t t k t -->∙对[]0,2t ∈恒成立. ①当0t =时，k R ∈； ②当(]0,2t ∈时，9415k t t <+-，令()9415r t t t=+- 由于()r t 在30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦递减，在3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增. 所以()min 332r t r ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则3k <-； 综上知(),3k ∈-∞-.。